Kajian Overdispersi pada Regresi Poisson Menggunakan Semiparametrik Zero-Inflated Poisson
KAJIAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON
MENGGUNAKAN SEMIPARAMETRIK
ZERO-INFLATED POISSON
NANDA PINANDITA RAMADHANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Kajian Overdispersi
pada Regresi Poisson Menggunakan Semiparametrik Zero-Inflated Poisson adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Nanda Pinandita ramadhani
NIM G14100060
ABSTRAK
NANDA PINANDITA RAMADHANI. Kajian Overdispersi pada Regresi
Poisson Menggunakan Semiparametrik Zero-Inflated Poisson. KUSMAN SADIK
dan DIAN KUSUMANINGRUM.
Salah satu penyebab overdispersi adalah banyaknya amatan bernilai nol
pada peubah respon yang dapat dideteksi melalui nilai dispersi yaitu rasio antara
deviance dengan derajat bebas. Metode yang dapat digunakan untuk mengatasi
permasalahan tersebut adalah Zero-Inflated Poisson (ZIP). Pendekatan
semiparametrik menjadi model alternatif yang digunakan karena mengandung
komponen parametrik dan nonparametrik sehingga memiliki tingkat fleksibilitas
tinggi. Nilai bias relatif mutlak (BRM) digunakan untuk mengetahui tingkat
akurasi penduga parameter dan akar kuadrat tengah galat (AKTG) digunakan
untuk mendeteksi kebaikan model. Nilai BRM terkecil data simulasi terdapat pada
ZIP untuk overdispersi sedangkan regresi Poisson untuk nonoverdispersi. Nilai
AKTG terkecil secara keseluruhan terdapat pada model semiparametrik sehingga
untuk jenis data campuran lebih baik menggunakan model semiparametrik. Pada
model semiparametrik ZIP untuk data aplikasi angka kematian ibu hamil di
Provinsi Jawa Timur terjadi overdispersi karena menunjukkan nilai dispersi yang
lebih besar dari satu. Model semiparametrik ZIP ini juga merupakan model
terbaik karena menghasilkan nilai AKTG terkecil. Peubah penjelas yang
berpengaruh nyata terhadap jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur
berdasarkan model semiparametrik ZIP ini adalah peubah penjelas X1 (kunjungan
ibu hamil K1).
Kata kunci : Overdispersi, Semiparametrik, Zero-Inflated Poisson
ABSTRACT
NANDA PINANDITA RAMADHANI. Overdispersion Assessment in Poisson
Regression Using Semiparametric Zero-Inflated Poisson. Supervised by
KUSMAN SADIK and DIAN Kusumaningrum.
One of the causes of overdispersion is that there are many zero observations
on the response variable which can be detected by the dispersion value which is
the ratio of deviance and degrees of freedom. The method to overcome this
problem is the Zero-Inflated Poisson (ZIP). Semiparametric approach be used as
an alternative model because it has parametric and nonparametric component so it
has a high degree of flexibility. Absolute of Relative Bias (ARB) is used to
determine the level of accuracy of parameter estimators and Root of Mean Square
of Error (RMSE) is used to determine the goodness of fit of the model. Results
show that the ARB smallest value from simulation data was found in ZIP for
overdispersion while Poisson regression for nonoverdispersion. The smallest
RMSE was found on semiparametric model that show that semiparametric model
was more suitable for mixed data. On the semiparametric ZIP model for the
maternal mortality rate in East Java application data, which had overdispersion
indicated by the dispersion values is greater than one. This semiparametric ZIP
model also has the smallest RMSE values so that it can be said to be the best
model. Variable which affect the number of maternal mortality in East Java based
on the semiparametric ZIP model is X1 (visits of pregnant women K1).
Keywords: Overdispersion, Semiparametric, Zero-Inflated Poisson
KAJIAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON
MENGGUNAKAN SEMIPARAMETRIK
ZERO-INFLATED POISSON
NANDA PINANDITA RAMADHANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Kajian Overdispersi pada Regresi Poisson Menggunakan
Semiparametrik Zero-Inflated Poisson
Nama
: Nanda Pinandita Ramadhani
NIM
: G14100060
Disetujui oleh
Dr Kusman Sadik, MSi
Pembimbing I
Dian Kusumaningrum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dan penulisan karya ilmiah
yang berjudul Kajian Overdispersi pada Regresi Poisson Menggunakan
Semiparametrik Zero-Inflated Poisson.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan
Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku komisi pembimbing, atas bimbingan dan
motivasi yang diberikan selama kegiatan penelitian dan penulisan karya ilmiah ini.
Terima kasih juga penulis sampaikan kepada eyang yang selalu memberikan doa
dan motivasi kepada penulis. Tidak lupa kepada teman-teman Statistika 47
tercinta, terima kasih atas perhatian dan motivasinya.
Terima kasih disampaikan juga kepada Program Beasiswa Bidikmisi
Kementerian Pendidikan RI atas bantuan beasiswa yang diberikan sehingga
penulis bisa menyelesaikan studi hingga selesai. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Nanda Pinandita Ramadhani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Regresi Poisson
2
Zero-Inflated Poisson
2
Model Semiparametrik
3
METODE
4
Data
4
Data Simulasi
4
Data Aplikasi
4
Prosedur Analisis Data
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Simulasi
5
6
6
Pendekatan Nonparametrik dengan B-Spline
6
Mendeteksi Overdispersi
8
Mendeteksi Multikolinieritas
9
Akurasi Penduga Parameter
9
Kebaikan Model
Data Aplikasi
10
11
Identifikasi Komponen Parametrik dan Nonparametrik
12
Letak Titik Knot dan Basis B-Spline
12
Identifikasi Multikolinieritas dan Overdispersi
13
Model Terbaik
14
Model Semiparametrik Zero-Inflated Poisson
14
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
16
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Nilai parameter koefisien regresi
Nilai dispersi dan jumlah peubah respon bernilai nol pada setiap n dan
Hasil uji multikolinieritas data simulasi
5
Hasil uji multikolinieritas data aplikasi
Nilai AKTG
Nilai dugaan parameter semiparametrik ZIP
6
7
Nilai AKTG regresi Poisson dan ZIP model parametrik dan
semiparametrik pada setiap n dan
4
8
9
10
13
14
15
DAFTAR GAMBAR
1
Plot antara peubah penjelas dengan peubah respon yang dibangkitkan pada 7
2
3
Jumlah kematian ibu hamil di kabupaten/kota provinsi jawa timur
Plot pencar antara jumlah kematian ibu hamil dengan faktor yang diduga
mempengaruhi
11
12
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Nilai BRM regresi Poisson dan ZIP model Parametrik dan Semiparametrik pada
setiap n dan
Algoritma data aplikasi
Penduga model semiparametrik Poisson data aplikasi
Penduga model parametrik Poisson data aplikasi
Penduga model parametrik ZIP data aplikasi
18
22
22
22
22
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan metode dalam statistika yang digunakan untuk
mengkaji hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas. Analisis
regresi Poisson merupakan salah satu jenis analisis regresi yang digunakan untuk
memodelkan kejadian yang jarang terjadi dengan peubah respon berupa data
cacah atau data diskrit. Data cacah termasuk dalam data kuantitatif yang tidak
berbentuk pecahan. Analisis regresi Poisson memiliki asumsi yaitu kesamaan nilai
rata-rata dan nilai ragam yang disbut dengan equidispersi. Akan tetapi dalam
kenyataannya, sering terjadi pelanggaran dalam asumsi tersebut. Pelanggaran
yang terjadi adalah underdispersi yaitu nilai ragam yang lebih kecil dari rataan
dan overdispersi yaitu nilai ragam yang lebih besar dari rataan (Long 1997).
Penyebab overdispersi salah satunya adalah banyaknya amatan bernilai nol pada
peubah respon. Metode yang dapat digunakan untuk menangani overdispersi pada
regresi Poisson adalah regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) (Li 2012).
Regresi ZIP dengan model semiparametrik menjadi alternatif yang
digunakan beberapa peneliti karena memiliki tingkat fleksibilitas tinggi. Penelitian
menggunakan model semiparametrik pada ZIP diantaranya dapat dilihat pada Li
(2012), Lam KF et al (2006), dan Chiogna M dan Gaetan C (2002). Model
semiparametrik mampu menjelaskan hubungan antara peubah respon dengan
peubah penjelas yang sebagian pola datanya diketahui dan sebagian lagi tidak
diketahui. Hal ini dikarenakan, model semiparametrik mengandung komponen
parametrik dan nonparametik (Sugiantari dan Budiantara 2013). Pendugaan
koefisien regresi pada komponen parametrik dapat menggunakan metode kuadrat
terkecil sedangkan pada nonparametrik dapat menggunakan berbagai pendekatan,
salah satunya adalah spline (Wibowo et al 2009).
Penelitian ini menerapkan model semiparametrik ZIP dengan data simulasi
dan data aplikasi. Pada proses simulasi digunakan nilai dispersi untuk mendeteksi
terjadinya overdispersi. Nilai dispersi merupakan rasio antara deviance dengan
derajat bebas, jika hasil nilai dugaan dispersi lebih dari satu maka model
mengalami overdispersi (Halekoh et al 2007). Penelitian dilanjutkan dengan
mendeteksi keakuratan nilai penduga parameter melalui nilai bias relatif mutlak
(BRM) atau Absolute of Relative Bias (ARB) terkecil dan mengidentifikasi model
terbaik melalui nilai akar kuadrat tengah galat (AKTG) atau Root of Mean Square
of Error (RMSE) terkecil. Data aplikasi yang digunakan berupa data Angka
Kematian Ibu Hamil di Provinsi Jawa Timur. Angka Kematian Ibu Hamil
merupakan kejadian yang jarang terjadi untuk beberapa daerah di Jawa Timur
sehingga data ini dapat digunakan sebagai penerapan model semiparametrik ZIP
pada data riil.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini sebagai berikut:
1. Membandingkan keakuratan penduga parameter regresi Poisson dan ZIP pada
data peubah respon yang mengandung banyak nilai nol.
2. Menentukan kebaikan model dengan membandingkan nilai RMSE model
parametrik dan semiparametrik pada regresi Poisson dan ZIP.
TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Poisson
Peluang data cacah pada regresi Poisson ditentukan berdasarkan sebaran
Poisson. Fungsi peluang sebaran Poisson dengan parameter adalah:
Nilai rata-rata dan ragam sebaran Poisson bernilai sama yaitu
kondisi ini disebut sebagai equidispersi. Nilai tengah parameter regresi Poisson
adalah
sehingga model regresi Poisson dituliskan sebagai berikut:
dengan x adalah peubah penjelas,
adalah banyaknya peubah penjelas
adalah parameter koefisien regresi, dan k
(Long 1997)
Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) merupakan gabungan dari sebaran
Poisson dengan sebaran kejadian bernilai nol. Kondisi tersebut dituliskan oleh Li
(2012) sebagai berikut:
[
]
dengan
adalah fungsi indikator, sebagai parameter sebaran Poisson, dan
adalah peluang kejadian bernilai nol dengan 0 ≤ ≤ 1, ketika
maka sebaran
ZIP menjadi sebaran Poisson. Fungsi sebaran ZIP diatas dituliskan dengan lebih
jelas sebagai berikut (Chiogna dan Gaeta 2007):
{
Berdasarkan fungsi sebaran diatas diperoleh nilai ragam yang lebih besar dari
rataan yaitu
dan
(Xiang et al
2007).
3
Fungsi penghubung untuk
dan
menurut Xiang et al (2007) adalah :
dengan X adalah matriks peubah penjelas, dan adalah parameter model
berukuran (p+1)x1 dan (q+1)x1 dengan
. Menurut Ridout et al (1998)
adalah parameter skalar yang menggambarkan banyak sedikitnya nilai nol pada
peubah respon yang terbentuk namun tidak dapat mengontrol banyaknya nilai nol
yang terbentuk. Nilai
menghasilkan jumlah nol yang semakin kecil
sedangkan
menghasilkan nilai nol yang semakin besar.
Model Semiparametrik
Model semiparametrik mengandung dua komponen yaitu parametrik dan
nonparametrik. Salah satu pendekatan nonparametrik dalam model
semiparametrik adalah spline. Pendekatan spline yang biasa digunakan adalah
spline truncated dan B-Spline.
Bentuk umum regresi parametrik yaitu:
Bentuk matriksnya:
Pendugaan koefisien regresi
dapat
menggunakan metode kuadrat terkecil dengan meminimumkan
terhadap
̂
sehingga diperoleh penduga sebagai berikut:
(Laome 2009).
Bentuk umum regresi nonparametrik sebagai berikut:
merupakan kurva regresi yang tidak diketahui polanya. Fungsi
didekati dengan B-Spline dapat dituliskan menjadi:
yang
∑
dengan
merupakan basis B-Spline dari titik knot
dengan orde m, knot K, dan
adalah parameter. Fungsi B-Spline
secara rekursif yaitu:
dengan
{
(Budiantara et al 2006)
Berdasarkan bentuk parametrik dan nonparametrik diatas maka bentuk
regresi semiparametrik adalah:
Lam et al (2006) menuliskan model semiparametrik ZIP yang berasal dari model
log seperti berikut :
4
METODE
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data simulasi dan data
aplikasi. Data simulasi dibangkitkan menggunakan software R 3.0.1 dan data
aplikasi diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur pada Profil
Kesehatan Provinsi Jawa Timur tentang Angka Kematian Ibu Hamil 2012.
Data Simulasi
Secara umum prosedur simulasi ini mengacu pada algoritma Setyawan
(2012). Data yang dibangkitkan adalah data peubah respon yang memiliki banyak
amatan bernilai nol dengan kondisi overdispersi dan nonoverdispersi. Model yang
akan dibentuk seperti berikut:
dengan
merupakan komponen nonparametrik yang mengikuti persamaan
Peubah penjelas
pada penelitian Wibowo (2009) bernilai
dibangkitkan mengikuti sebaran seragam dan merupakan sebaran diskret, untuk
mempermudah pemakaian dan meminimalisasi dummy maka
digunakan
peubah biner yang menghasilkan intersep berbeda. Peubah penjelas diasumsikan
sebagai peubah tetap dengan n yang digunakan adalah 15, 30, 50, 100, dan 200.
Nilai
ditetapkan secara subjektif oleh peneliti yaitu
.
Parameter yang diperlukan terbagi menjadi dua komponen yaitu parametrik dan
nonparametrik. Pendekatan nonparametrik menggunakan B-Spline dengan m=2
dan K=1. Model semiparametrik memiliki tingkat keefektifan lebih baik
dibandingkan model parametrik, untuk mengkaji kondisi tersebut digunakan pula
model parametrik dengan mengabaikan
sebagai komponen nonparametrik
sehingga
diasumsikan sebagai
Penentuan parameter ditentukan secara
subjektif oleh peneliti sebagai berikut:
Tabel 1 Nilai parameter koefisien regresi
Parameter
Parametrik
Nonoverdispersi
Overdispersi
1
1
-0.3
0.8
0.5
0.2
0.6
0.6
-
Semiparametrik
Nonoverdispersi
Overdispersi
1
1
-0.3
0.8
0.5
0.2
0.1
0.1
0.35
0.35
0.15
0.15
Data Aplikasi
Peubah yang digunakan berdasarkan penelitian Kartiningrum (2013). Satuan
pengamatan yang digunakan sebanyak 38 Kabupaten/Kota di Jawa Timur. Peubah
respon (Y) adalah jumlah kematian Ibu Hamil dan peubah penjelas yang
digunakan meliputi:
1. Persentase Kunjungan Ibu Hamil K1 (X1)
2. Persentase Kunjungan Ibu Hamil K4 (X2)
3. Persentase Ibu Hamil mendapat tablet FE1 (X3)
5
4. Persentase Ibu Hamil mendapat tablet FE3 (X4)
5. Persentase Komplikasi kehamilan yang ditangani (X5)
Prosedur Analisis Data
A. Tahapan analisis yang digunakan pada simulasi data adalah:
1. Membangkitkan n buah data peubah penjelas
yang menyebar
Seragam(1,2),
yang bersifat biner(0,1), dan
untuk
komponen nonparametrik.
2. Mencatat nilai , , , dan nilai minimum
, maksimum
dari .
3. Model semiparametrik dilakukan tahapan:
a. Mencari nilai interval dan letak knot dengan rumus (Permatasari 2009):
dengan nknot=K+2
b. Menentukan persamaan basis berdasarkan fungsi rekursif B-Spline.
c. Menghitung nilai masing-masing basis B-Spline.
4. Menghitung nilai masing-masing amatan dengan:
a. Parametrik:
b. Semiparametrik:
5. Membangkitkan peubah respon:
I. Nonoverdispersi: Membangkitkan
Poisson( )
II. Overdispersi:
a. Menghitung parameter
b. Menghitung nilai
yaitu:
n data respon
yang menyebar
∑
∑
c. Membangkitkan n data yang menyebar Seragam(0,1) sebagai variabel c.
d. Membangkitkan bilangan acak variabel yp yang menyebar Poisson( ).
e. Membandingkan variabel c setiap pengamatan dengan nilai . Jika
maka
dan jika
maka
.
6. Mencatat dan menghitung peubah respon yang bernilai nol.
7. Menghitung nilai dispersi yang merupakan rasio dari deviance dengan
derajat bebas. Rodriguez (2007) menuliskan fungsi deviance sebagai
berikut:
∑{
( )
̂
̂ }
8. Menghitung nilai Variance Inflation Factors (VIF) untuk memastikan tidak
terjadi multikolinieritas seperti berikut:
dengan
adalah koefisien determinasi.
6
9.
Melakukan pendugaan parameter model parametrik dan semiparametrik
pada regresi Poisson dan ZIP.
10. Menghitung nilai bias relatif mutlak (Savic 2009 dalam Setyawan 2012):
̂
∑|
|
11.
12.
13.
14.
dengan r adalah banyaknya data dugaan, ̂ adalah penduga ke-i
parameter , dan adalah parameter sebenarnya.
Mengulangi langkah 1-10 sebanyak 1000 kali
Menghitung rata-rata dari 1000 nilai dispersi yang dihasilkan regresi
Poisson.
Menghitung rata-rata dari 1000 nilai BRM masing-masing penduga
parameter.
Menghitung nilai AKTG sebagai berikut (Moses dan Devadas 2012):
√
∑(
̂)
15. Membandingkan nilai BRM dan AKTG model parametrik dan
semiparametrik pada regresi Poisson dan ZIP. Nilai BRM terkecil
menunjukkan penduga dengan akurasi baik dan AKTG terkecil
menunjukkan model yang disarankan penggunaannya.
B. Tahapan untuk analisis dan pemodelan jumlah kematian ibu hamil adalah:
1. Membuat plot pencar untuk menentukan komponen parametrik dan
nonparametrik.
2. Memilih peubah penjelas untuk menghindari multikoliniearitas.
3. Menentukan letak titik knot dan basis menggunakan B-Spline untuk
komponen nonparametrik.
4. Mengidentifikasi overdispersi dengan menghitung nilai dispersi.
5. Menghitung dan membandingkan nilai AKTG model semiparametrik dan
parametrik pada regresi Poisson dan ZIP.
6. Melakukan pemodelan data dengan model yang menghasilkan AKTG
terkecil.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Simulasi
Pendekatan Nonparametrik dengan B-Spline
Data simulasi yang digunakan telah ditentukan terdiri dari dua komponen
yaitu parametrik dan nonparametrik. Plot yang terdapat pada Gambar 1
menunjukkan bahwa
cenderung membentuk pola linier sedangkan
tidak
membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan bahwa data yang dibangkitkan
terbukti terdiri dari komponen parametrik dan nonparametrik. Berdasarkan
7
kondisi data tersebut maka model alternatif berupa model semiparametrik dapat
digunakan pada data simulasi ini.
Gambar 1 Plot antara peubah penjelas dengan peubah respon yang dibangkitkan
pada
Komponen nonparametrik pada data simulasi dilakukan pendekatan fungsi
B-Spline menggunakan orde
sebanyak 2 dan knot asli
sebanyak 1. Cara
membentuk fungsi B-Spline diperlukan pendefinisian knot tambahan sebanyak 2m
yaitu
dengan
dan
, adalah nilai minimum dan adalah nilai maksimum (Budiantara
et al 2006). Pada kasus ini knot tambahan yang terbentuk sebanyak 4 yaitu
dan
sehingga total knot yang terbentuk sebanyak 5 knot
yaitu
Diperlukan penghitungan nilai interval untuk mengetahui
jarak antar knot, hasil dari nilai interval ini digunakan untuk mencari letak knot
dan perhitungan rekursif B-Spline (Permatasari 2009). Nilai interval yang
terbentuk pada
adalah 49.5. Data diurutkan dari yang
terkecil sehingga knot asli terletak pada data ke-50.5, dilakukan pembulatan ke
bawah maka knot asli terletak pada data ke-50. Pendefinisian nilai dari masingmasing knot adalah
;
;
dengan adalah knot asli. Persamaan basis B-Spline ditentukan melalui fungsi
rekursif B-Spline. Persamaan basis yang terbentuk adalah:
{
{
{
8
Mendeteksi Overdispersi
Adanya overdispersi pada data simulasi dideteksi dengan nilai dispersi
.
Halekoh et al (2007) menyatakan apabila nilai
maka terjadi overdispersi.
Hasil simulasi pada Tabel 2 menunjukkan bahwa data nonoverdispersi memiliki
nilai
sehingga terbukti bahwa peubah respon yang dibangkitkan tidak
mengandung overdispersi sedangkan pada data overdispersi menghasilkan nilai
yang berarti pada peubah respon yang dibangkitkan terbukti terjadi
overdispersi. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa semakin besar nilai memberikan
hasil nilai nol yang semakin besar. Data dengan n kecil dan besar tidak bisa
menghasilkan iterasi yang konvergen sehingga tidak dapat dideteksi jumlah
amatan bernilai nol dan nilai dispersinya. Hal ini menunjukkan bahwa semakin
besar nilai nol pada ukuran data yang semakin kecil tidak dapat dilakukan analisis
lebih lanjut.
Tabel 2 Nilai dispersi dan jumlah peubah respon bernilai nol pada setiap n dan
Model
Parametrik
n
15
30
50
100
200
Semiparametrik
15
30
50
100
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
-
Hasil Simulasi
Jumlah amatan
Nilai dispersi ( )
bernilai nol
10.56
0.86
8.18
14.29
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
13.35
0.88
17.15
8.39
19.81
8.64
Tidak Konvergen
26.36
0.90
28.62
10.78
34.63
11.23
37.41
13.65
40.51
0.97
57.16
10.90
74.73
11.59
82.74
13.58
47.22
0.99
57.76
8.54
73.79
10.97
82.97
13.51
12.50
0.87
12.08
14.92
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
15.50
0.91
18.87
9.81
21.03
10.99
Tidak Konvergen
27.45
0.92
29.94
10.34
37.53
12.75
38.12
14.28
42.57
0.98
9
Model
Semiparametrik
n
100
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
Hasil Simulasi
Jumlah amatan
Nilai dispersi ( )
bernilai nol
57.22
8.31
74.48
10.52
84.19
12.60
Mendeteksi Multikolinieritas
Mendeteksi terjadi multikolinieritas diperlukan untuk menghindari besarnya
nilai ragam pada peubah penjelas. Menurut Draper dan Smith (1998), salah satu
metode untuk mengetahui adanya multikolineritas antar peubah bebas dengan melihat
nilai VIF. Apabila nilai VIF > 10 maka menunjukkan terjadi multikolinieritas yang
tinggi. Tabel 3 menunjukkan hasil dari nilai VIF data simulasi kurang dari 10 maka
dapat dikatakan bahwa tidak terjadi multikolinieritas pada peubah penjelas yang
digunakan sehingga data dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut.
Tabel 3 Hasil uji multikolinieritas data simulasi
n
15
30
50
100
200
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
Nilai VIF Parametrik
X1
X2
X3
2.654
2.232
1.187
1.311
2.482
2.560
3.101
2.260
3.570
1.022
1.075
1.097
3.123
2.330
3.395
2.269
2.529
2.460
2.298
2.468
2.622
2.243
2.503
2.591
2.775
2.375
2.425
1.062
1.009
1.191
1.023
1.042
1.019
1.025
1.016
1.053
1.004
1.013
1.002
2.178
2.534
2.589
2.273
2.430
2.591
2.278
2.486
2.583
2.771
2.384
2.428
X1
Nilai VIF Semiparametrik
X2
2.692 1.459
1.572 1.352
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
1.153 1.090
2.339 1.087
1.218 1.191
Tidak Konvergen
1.161 1.068
3.045 1.034
1.203 1.168
1.163 1.052
1.027 1.024
1.061 1.025
1.057 1.015
1.058 1.025
1.034 1.012
1.047 1.008
1.007 1.004
1.002 1.005
2.706
1.472
4.530
4.748
4.683
4.898
1.920
3.345
1.843
2.301
2.844
2.414
1.804
1.602
1.602
1.493
3.158
1.537
1.543
1.265
1.282
1.320
1.301
1.045
1.048
1.047
1.041
1.957
2.300
2.009
2.127
2.174
2.181
2.199
2.211
1.140
1.135
1.123
1.122
1.616
1.802
1.624
1.573
2.152
2.130
2.178
2.191
1.136
1.147
1.135
1.136
Akurasi Penduga Parameter
Nilai BRM dari masing-masing penduga parameter untuk semua set data
terdapat pada Lampiran 1. Nilai BRM regresi ZIP model parametrik maupun
semiparametrik pada data nonoverdispersi memiliki nilai yang relatif lebih besar
dibandingkan regresi Poisson. Hal ini menunjukkan bahwa regresi Poisson
memiliki tingkat keakuratan yang baik dalam menduga parameter pada data yang
tidak mengalami overdispersi karena regresi ZIP melakukan pendugaan dua jenis
parameter yaitu
pada model log dan
pada model logit. Regresi ZIP
menghasilkan nilai BRM yang relatif lebih kecil daripada regresi Poisson pada
data yang mengalami overdispersi untuk model parametrik dan semiparametrik.
10
Hasil tersebut menunjukkan bahwa ZIP memiliki tingkat keakuratan yang lebih
baik dalam menduga parameter pada data yang mengalami overdispersi karena
banyaknya peubah respon bernilai nol. Nilai BRM masing-masing penduga
semakin kecil pada ukuran data yang semakin besar dan berlaku sebaliknya pada
yang semakin besar.
Kebaikan Model
Pemilihan model terbaik antara model parametrik dan semiparametrik pada
regresi Poisson dan ZIP dilakukan dengan melihat nilai AKTG yang dihasilkan
model tersebut. Semakin kecil nilai AKTG yang dihasilkan maka model dikatakan
semakin baik. Tabel 4 menunjukkan nilai AKTG regresi Poisson lebih besar
daripada ZIP pada data yang mengalami overdispersi karena banyaknya peubah
respon bernilai nol sehingga dapat dikatakan bahwa ZIP lebih baik digunakan.
Tabel 4 Nilai AKTG regresi Poisson dan ZIP model parametrik dan
semiparametrik pada setiap n dan
N
15
30
50
100
200
AKTG
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
Poisson
Parametrik
Semiparametrik
3.36
2.37
4.69
3.88
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.53
2.67
10.91
9.76
4.67
4.21
Tidak Konvergen
2.03
1.99
9.99
8.94
5.51
4.50
4.81
3.44
5.35
4.23
10.77
8.88
7.09
4.56
6.39
5.36
3.25
3.13
10.39
9.91
6.57
6.49
5.52
5.49
ZIP
Parametrik
Semiparametrik
3.57
2.43
4.86
3.27
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.31
2.58
8.56
4.76
3.71
3.65
Tidak Konvergen
2.66
1.73
6.00
3.58
5.27
3.71
5.57
3.27
6.18
3.57
7.51
5.24
6.52
3.93
7.38
5.27
3.72
3.50
6.38
5.96
4.32
3.67
4.83
4.62
Nilai AKTG pada data nonoverdispersi memberikan hasil yang berbeda,
regresi Poisson memiliki nilai lebih kecil daripada ZIP sehingga regresi Poisson
lebih baik digunakan pada data nonoverdispersi. Hasil AKTG model parametrik
dan semiparametrik menunjukkan bahwa model semiparametrik memiliki nilai
lebih kecil daripada model parametrik. Hal ini menunjukkan bahwa model
semiparametrik lebih baik digunakan daripada model parametrik. Berdasarkan
hasil tersebut semiparametrik ZIP lebih disarankan untuk digunakan pada data
overdispersi karena banyaknya peubah respon bernilai nol dengan jenis data
campuran sedangkan semiparametrik Poisson lebih disarankan untuk digunakan
pada data nonoverdispersi dengan jenis data campuran. Kondisi ini menunjukkan
11
bahwa diperlukannya penentuan karakteristik dari komponen data yang digunakan
sebelum memutuskan jenis metode yang diterapkan. Apabila kondisi
nonparametrik diabaikan dan diasumsikan sebagai komponen parametrik akan
memberikan hasil yang tidak efisien dan keakuratan penduga parameter yang
kurang baik karena pada model parametrik dibutuhkan kondisi data dari peubah
penjelas dan peubah respon yang linier atau menyebar normal.
Data Aplikasi
Data aplikasi yang digunakan berupa data Angka Kematian Ibu Hamil
(AKIH) provinsi Jawa Timur pada tahun 2012. Provinsi Jawa Timur merupakan
salah satu provinsi yang terletak di pulau Jawa yang memiliki 29 Kabupaten dan 9
Kota sehingga amatan yang digunakan pada data aplikasi sebanyak 38
Kabupaten/Kota. Peubah penjelas yang digunakan sebanyak lima peubah yang
diduga dapat mempengaruhi banyak sedikitnya jumlah kematian ibu hamil dengan
satuan yang digunakan adalah persentase. Persentase tersebut diperoleh dari
jumlah ibu hamil yang tercatat dalam suatu kategori peubah penjelas dibagi
jumlah ibu hamil, misalnya X1 (persentase kunjungan ibu hamil K1) untuk
kabupaten Pacitan diperoleh dari jumlah kunjungan ibu hamil K1 di Pacitan
dibagi jumlah ibu hamil di Pacitan seperti berikut:
Gambar 2 Jumlah kematian ibu hamil di kabupaten/kota provinsi jawa timur
Beberapa daerah di provinsi jawa timur memiliki nilai persentase lebih dari
100, nilai ini disebabkan oleh adanya ibu hamil yang mendapat pelayanan
berdasarkan kategori peubah penjelas bukan merupakan ibu hamil dari daerah
tersebut. Data AKIH untuk beberapa daerah merupakan kejadian yang jarang
terjadi dan pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa data AKIH merupakan jenis data
cacah sehingga data ini dapat digunakan pada regresi Poisson. Selain itu, dalam
data AKIH ini diduga terjadi overdispersi karena ditemukan 6 daerah yaitu
12
Kabupaten Bangkalan, Kota Madiun, Kota Mojokerto, Kota Pasuruan, Kota Batu,
dan Kota Probolinggo yang memiliki nilai AKIH nol yang berarti ±15% dari data.
Identifikasi Komponen Parametrik dan Nonparametrik
Pola yang terbentuk antara Y dengan X1, X2, X3, dan X4 pada Gambar 3
cenderung mengikuti garis linier dan mayoritas data bergerombol mendekati garis
linier, berbeda dengan pola Y dengan X5 yang mayoritas datanya menyebar
menjauhi garis linier dan ketika dilakukan analisis regresi menghasilkan R2=0%.
Perbedaan kelima plot pada Gambar 3 tidak terlalu signifikan namun secara
sederhana kondisi tersebut dapat dikategorikan bahwa X1, X2, X3, dan X4
merupakan komponen parametrik sedangkan X5 adalah komponen nonparametrik.
Gambar 3 Plot pencar antara jumlah kematian ibu hamil dengan faktor yang
diduga mempengaruhi
Letak Titik Knot dan Basis B-Spline
Komponen nonparametrik data aplikasi yaitu X5 dilakukan pendekatan
dengan B-Spline menggunakan orde
= dan knot asli
=1. Pembentukan
fungsi B-Spline pada data aplikasi sama seperti pada data simulasi yaitu
menentukan knot tambahan sebanyak
sehingga knot tambahan yang terbentuk
13
adalah
, yaitu
dan
. Total knot yang terbentuk
adalah 5 knot (4 knot tambahan dan 1 knot asli) yaitu
.
Data yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 38 observasi dengan
nilai interval sebesar 18.5 sehingga knot asli berada pada data ke-19.5, dilakukan
pembulatan ke bawah berarti terletak pada data ke 19. Data ke-19 bernilai sebesar
82.23, nilai minimum
sebesar 49.65 dan maksimum
sebesar 125.84. Basis
B-Spline yang dihasilkan sebanyak 3 basis yaitu
dengan masing-masing basis mempunyai 2 fungsi berbeda setiap selangnya.
Persamaan setiap basis B-Spline data aplikasi adalah:
{
{
{
Identifikasi Multikolinieritas dan Overdispersi
Data aplikasi penelitian ini menggunakan lima peubah penjelas yang diduga
mempengaruhi peubah respon berupa jumlah kematian ibu hamil dengan model
semiparametrik dan parametrik. Peubah penjelas kelima (X5) merupakan komponen
nonparametrik dalam model semiparametrik sehingga X5 terbagi menjadi tiga bagian
yaitu B1, B2, dan B3 berdasarkan hasil B-Spline. Model parametrik mengabaikan
kondisi X5 sebagai komponen nonparametrik yang berarti menganggap seluruh
peubah penjelas merupakan komponen parametrik.
Tabel 5 Hasil uji multikolinieritas data aplikasi
Peubah
X1
X2
X3
X4
B1
B2
B3
VIF
6.027
4.502
8.958
8.466
3.312
3.223
1.974
Peubah
X1
X2
X3
X4
X5
VIF
5.378
4.240
8.934
8.433
1.327
Pada peubah penjelas yang digunakan dilakukan penghitungan VIF untuk
menghindari terjadinya multikolinieritas. Hasil pengujian multikolinieritas pada
Tabel 5 menunjukkan seluruh peubah penjelas memiliki nilai VIF < 10 yang berarti
tidak terjadi multikolinieritas namun terdapat beberapa peubah penjelas yang
menghasilkan nilai VIF cukup besar karena itu dilakukan pengecekan korelasi antar
peubah penjelas menggunakan korelasi pearson. Hasil korelasi pearson menunjukkan
bahwa X1 dan X2 memiliki korelasi yang kuat yaitu 0.805 selain itu, X3 dan X4 juga
14
memiliki korelasi yang kuat sebesar 0.889. Berdasarkan hasil tersebut dilakukan
pemilihan peubah penjelas, pemilihan peubah penjelas ini dilakukan secara subjektif
karena antar peubah penjelas memiliki nilai korelasi yang sama kuat, dalam penelitian
ini digunakan peubah penjelas X1, X3, dan X5.
Pendeteksian overdispersi secara sederhana dapat dilihat melalui nilai ragam
yang lebih besar dari rataan. Peubah respon data aplikasi memiliki nilai rataan
3.026 dan nilai ragam sebesar 10.837. Hasil tersebut menunjukkan bahwa nilai
ragam lebih besar dari rataan sehingga diduga terjadi overdispersi. Dugaan
terjadinya overdispersi diperkuat dengan hasil nilai dispersi
yang lebih besar
dari 1, model semiparametrik memberikan hasil sebesar 3.385 dan model
parametrik memiliki
sebesar 3.307. Berdasarkan hasil tersebut dapat
disimpulkan bahwa pada data aplikasi yang digunakan terjadi overdispersi.
Model terbaik
Pemilihan model antara model semiparametrik dan parametrik pada regresi
Poisson dan ZIP dalam kasus jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur
dengan melihat nilai AKTG terkecil. Tabel 6 menunjukkan nilai AKTG pada
semiparametrik ZIP lebih kecil dibandingkan model lain sehingga model
semiparametrik ZIP lebih baik untuk digunakan dalam pemodelan kasus data
penelitian ini.
Tabel 6 Nilai AKTG
Model
Parametrik Poisson
Semiparametrik Poisson
Parametrik ZIP
Semiparametrik ZIP
AKTG
3.228
3.224
2.956
2.952
Nilai AKTG pada Tabel 6 menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan
yang signifikan antar model, hal ini disebabkan oleh karakteristik data aplikasi
masing-masing peubah penjelas memiliki kemiripan satu dengan yang lain
sehingga hasilnya pun tidak berbeda jauh. Kementrian Kesehatan menyatakan
beberapa penyebab lain dari kematian ibu hamil yaitu pendarahan, eklampsia,
sepsis, dan infeksi. Penyebab tersebut dihasilkan berdasarkan kajian kinerja IGD
Obstetri-Ginekologi dari RSUP Cipto Mangunkusumo. Namun, karena tidak
ditemukan data yang jelas dari penyebab-penyebab tersebut maka pada penelitian
ini hanya digunakan penyebab-penyebab berdasarkan dugaan Dinas Kesehatan.
Model Semiparametrik Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Model pada regresi ZIP terbagi menjadi dua jenis. Model pertama disebut
count model atau model log yang digunakan untuk menentukan peluang dari
peubah respon suatu amatan bernilai selain nol sedangkan model kedua yaitu
zero-inflation model atau model logit digunakan untuk menentukan peluang dari
peubah respon suatu amatan bernilai nol (Long 1997). Tabel 7 merupakan hasil
pendugaan parameter dengan model semiparametrik ZIP menggunakan R 3.0.1.
15
Tabel 7 Nilai dugaan parameter semiparametrik ZIP
Count Model
(Intercept)
X1
X3
B1
B2
B3
Zero-Inflation Model
(Intercept)
X1
X3
B1
B2
B3
Nilai Dugaan
2.84718
-0.03184
0.01650
-0.38100
0.08290
-0.82695
Galat Baku
2.12699
0.01815
0.01208
0.74174
0.65195
0.58351
Nilai-Z
1.339
-1.755
1.366
-0.514
0.127
-1.417
Nilai-p
0.1807
* 0.0793
0.1720
0.6075
0.8988
0.1564
-16.67908
0.07669
-0.00380
9.09480
8.77352
-0.17111
16.22252
0.08991
0.07647
8.78226
9.27532
4.29819
-1.028
0.853
-0.050
1.036
0.946
-0.040
0.304
0.394
0.960
0.300
0.344
0.968
*) signifikansi pada taraf nyata 10%
Persamaan model untuk semua peubah penjelas dapat dituliskan sebagai
berikut:
dan
(
)
(
)
Tabel 7 menunjukkan pada model log, peubah penjelas yang berpengaruh
nyata terhadap respon pada taraf nyata 10% adalah X1 sedangkan pada model
logit tidak terdapat peubah penjelas yang berpengaruh nyata. Persamaan model
log menunjukkan bahwa kunjungan ibu hamil K1 (X1) memiliki hubungan negatif
dengan jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur. Kondisi tersebut
menjelaskan bahwa semakin sedikit ibu hamil yang melakukan kunjungan K1
akan semakin meningkatkan angka kematian ibu hamil maka disarankan kepada
ibu hamil melakukan kunjungan K1 untuk proses pemeriksaan awal kehamilan
sehingga dapat dideteksi dari awal kondisi janin dan kesehatan ibu.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan jenis data campuran
yang terdiri dari komponen parametrik dan nonparametrik dengan komponen
nonparametriknya dilakukan pendekatan B-Spline. Berdasarkan jenis data tersebut,
didapatkan penduga parameter regresi ZIP yang lebih baik daripada regresi
Poisson untuk data kondisi overdispersi karena nilai nol berlebih pada peubah
respon. Kebaikan model didapatkan pada model semiparametrik baik
menggunakan regresi Poisson maupun ZIP sehingga untuk jenis data seperti
penelitian ini lebih baik digunakan semiparametrik Poisson pada kasus
nonoverdispersi dan semiparametrik ZIP pada kasus overdispersi karena nilai nol
berlebih pada peubah respon.
Saran
Komponen nonparametrik pada penelitian ini dibentuk menggunakan fungsi
sinus sehingga pola yang terbentuk pun mengikuti fungsi sinus dengan
pendekatan yang digunakan adalah B-Spline. Pada penelitian berikutnya
disarankan untuk menggunakan fungsi matematika yang lain dalam pembentukan
komponen nonparametrik. Disarankan pula untuk menggunakan pendekatan
nonparametrik selain B-Spline sehingga dapat diketahui apakah kesimpulan pada
penelitian ini juga berlaku untuk fungsi dan pendekatan nonparametrik yang lain.
Pada data aplikasi yang digunakan dalam penelitian ini dihasilkan nilai AKTG
yang tidak berbeda jauh. Hal ini disebabkan karakteristik data peubah penjelas
yang digunakan memiliki kemiripan. Oleh karena itu pada penelitian berikutnya
disarankan untuk menambahkan peubah penjelas berdasarkan faktor-faktor yang
disebutkan oleh RSUP Cipto Mangunkusumo yang diharapkan dapat
menghasilkan nilai lebih beragam.
DAFTAR PUSTAKA
Budiantara IN, Suryadi F et al. 2006. Pemodelan B-Spline dan MARS pada Nilai
Ujian Masuk terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual UK.
Petra Surabaya. [Internet]. [diunduh tanggal 2014 Maret 23]. Terdapat pada:
http://cpanel.petra.ac.id/ejournal/index.php/ind/article/viewFile/16497/16489.
Chiogna M, Gaetan C. 2007. Semiparametric zero-inflated Poisson Models with
application to animal abundance studies. Environmetrics. 18(3):303:314.
http://dx.doi.org/10.1002/env.830.
Draper NR, Smith H. 1998. Applied Regression Analysis. Canada: A WileyInterscience Publication.
17
Halekoh U, Hojsgaard S. 2007. Overdispersion. Denmark: Unit of Statistics and
Decision Analysis, The Faculty of Agricultural Sciences, University of Aarhus.
Kartiningrum ED, Nursaidah. 2013. Pemodelan Faktor Yang Mempengaruhi
Kematian Ibu Di Propinsi Jawa Timur Menggunakan Zero Inflated Poisson
Regression. Prosiding Seminar Nasional. ISBN:978-979-98438-8-3.
Lam KF, Xue H, Cheung YB. 2006. Semiparametric Analysis of Zero-Inflated
Count Data. Biometrics. 62:996-1003. doi:10.1111/j.1541-0420.2006.00575.x.
Laome L. 2009. Model Regresi Semiparametrik Spline Untuk Data Longitudinal
Pada Kasus Kadar CD4 Penderita HIV. Paradigma Vol.13 No. 2 hlm. 189-194.
Li CS. 2012. Score Test for Semiparametric Zero-Inflated Poisson Models.
Journal of Statistics and Probanility. http://dx.doi.org/10.5539/ijsp.v1n2p1.
Long JS. 1997. Regression Models for Categorical and Limited Dependent
Variables. Number 7 in Advance Quantitative Techniques in The Social
Sciences. California : Sage Publications.
Moses KP, Devadas MD. 2012 . An Approach to Reduce Root Mean Square Error
in Toposheets. J of Scientific Research. 91(2):268-274.
Permatasari D. 2009. Pemodelan Kurva Imbal Hasil Obligasi Korporasi Rating
AA dan A dengan Nelson Siegel Svensson dan Cubic Spline Smooting. Institut
Teknologi Sepuluh November. [Internet]. [diunduh pada tanggal 18 Mei 2014].
Terdapat pada: http://oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=1211.
Ridout , M. 1998. Models for count data with many zeros. International Biometric
Conference. [Internet]. [diunduh 2014 Juni 27]. Tersedia pada:
https://www.kent.ac.uk/smsas/personal/msr/webfiles/zip/ibc_fin.pdf.
Rodriguez G. 2007. Poisson Models for Count Data. [Internet]. [diunduh 2014 Jan
17]. Terdapat pada: http://data.princeton.edu/wws509/notes/c4.pdf.
Setyawan A. 2013. Perbandingan antara Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan
Zero Inflated Poisson pada data Overdispersi [skripsi]. Bogor (ID) : Institut
Pertanian Bogor.
Sugiantari AP, Budiantara IN. 2013. Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi
Angka Harapan Hidup di Jawa Timur Menggunakan Regresi Semiparametrik
Spline. Jurnal Sains dan Semi Pomits Vol.2 No.1.
Wibowo W, Haryatmi S, Budiantara IN. 2009. Metode Kuadrat Terkecil Untuk
Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik Spline. [Internet]. [diunduh tanggal
2014 Februari 02]. Terdapat pada:
http://eprints.uny.ac.id/7064/1/S.12%20Wahyu%20Wibowo.pdf.
Xiang L, Lee AH, Yau KKW, McLachlan GJ. 2007. A score test for
overdispersion in zero-inflated poisson mixed regression poisson. Statistics in
Medicine. 26:1608-1622.doi:10.1002/sim.2616.
18
Lampiran 1 Nilai BRM regresi Poisson dan ZIP model Parametrik dan
Semiparametrik pada setiap n dan
Model
n
Parameter
BRM
Poisson
Parametrik
15
-
0.1
0.4
0.6
30
-
0.1
0.4
0.6
50
-
0.1
0.4
0.6
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
ZIP
3.41
1.53
0.89
1.08
3.78
0.61
2.22
7.12
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.38
1.34
0.72
1.29
6.03
2.24
0.68
7.43
5.99
1.33
1.99
8.35
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.05
1.22
0.59
1.06
4.12
0.91
1.48
5.63
8.35
4.36
2.25
6.71
8.74
4.51
2.30
7.23
4.42
2.26
1.29
1.17
2.62
0.35
1.04
5.29
3.45
1.89
1.23
2.14
2.50
0.98
0.32
1.65
1.99
0.45
0.67
2.77
2.32
1.43
0.97
1.95
1.25
0.30
0.44
1.68
2.75
1.46
0.71
2.28
2.88
1.53
0.79
2.35
19
Model
n
Parametrik
100
Parameter
BRM
Poisson
-
0.1
0.4
0.6
200
-
0.1
0.4
0.6
Semiparametrik
15
-
0.1
\
0.4
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
ZIP
1.53
0.84
0.27
0.58
2.75
0.59
1.02
3.72
5.14
2.71
1.51
4.21
8.13
5.06
2.05
5.65
1.18
0.45
0.07
0.16
2.00
0.43
0.69
2.60
3.59
1.87
1.04
2.87
5.37
3.41
1.41
3.72
3.58
1.37
0.92
2.30
1.20
0.84
1.87
0.94
1.59
3.32
1.91
0.83
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.04
1.08
0.42
1.15
0.87
0.21
0.29
1.16
1.48
0.81
0.43
1.21
2.55
1.62
0.61
1.79
1.51
0.93
0.13
0.72
0.56
0.13
0.21
0.74
1.03
0.55
0.29
0.83
1.67
1.06
0.39
1.17
5.70
3.54
1.36
4.17
2.24
1.25
0.77
0.39
0.95
2.18
1.52
0.68
20
Model
n
Parameter
Semiparametrik
15
0.6
30
-
BRM
Poisson
0.1
0.4
0.6
50
-
0.1
0.4
0.6
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
ZIP
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
3.21
1.10
0.79
1.87
0.82
0.53
1.11
0.75
1.18
6.39
1.17
0.79
6.54
7.14
1.86
5.11
8.38
2.45
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.72
0.93
0.41
1.02
0.46
0.25
1.07
0.67
1.21
5.91
1.53
0.76
5.86
6.40
1.78
4.59
7.46
2.18
7.62
8.46
5.26
3.22
0.93
3.38
1.82
0.88
0.26
0.22
0.38
2.01
0.62
0.27
2.39
2.67
0.54
2.77
3.01
0.94
4.51
2.48
0.69
2.32
0.97
0.50
0.25
0.20
0.34
1.84
0.57
0.25
2.03
2.25
0.52
1.60
2.56
0.67
2.72
3.07
21
Model
n
Parameter
Semiparametrik
50
0.6
100
-
BRM
Poisson
0.1
0.4
0.6
200
-
0.1
0.4
0.6
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
ZIP
1.90
6.23
9.01
1.85
1.27
0.23
0.13
0.76
0.24
0.11
0.97
0.63
1.09
5.52
1.41
0.68
5.46
5.84
1.65
4.23
6.79
2.03
4.60
5.99
1.23
6.37
5.21
1.36
0.83
0.12
0.06
0.30
0.11
0.02
0.83
0.42
0.72
4.08
0.81
1.64
3.42
3.66
1.15
2.67
4.12
1.11
2.54
2.59
0.53
2.23
3.16
0.60
2.50
1.17
0.42
1.72
0.69
0.32
0.22
0.17
0.32
1.66
0.54
0.23
1.88
2.09
0.48
1.49
2.35
0.60
1.56
2.23
0.67
2.95
2.10
0.59
1.29
0.74
0.13
0.82
0.23
0.15
0.18
0.16
0.24
1.31
0.29
0.50
1.22
1.36
0.31
1.97
1.45
0.32
0.92
0.99
22
Model
n
Semiparametrik
200
Parameter
BRM
Poisson
0.6
b2
b3
b4
b5
ZIP
1.22
8.90
4.41
6.35
0.36
6.91
1.56
1.65
Lampiran 2 Algoritma data aplikasi
parametrik
MENGGUNAKAN SEMIPARAMETRIK
ZERO-INFLATED POISSON
NANDA PINANDITA RAMADHANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Kajian Overdispersi
pada Regresi Poisson Menggunakan Semiparametrik Zero-Inflated Poisson adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Nanda Pinandita ramadhani
NIM G14100060
ABSTRAK
NANDA PINANDITA RAMADHANI. Kajian Overdispersi pada Regresi
Poisson Menggunakan Semiparametrik Zero-Inflated Poisson. KUSMAN SADIK
dan DIAN KUSUMANINGRUM.
Salah satu penyebab overdispersi adalah banyaknya amatan bernilai nol
pada peubah respon yang dapat dideteksi melalui nilai dispersi yaitu rasio antara
deviance dengan derajat bebas. Metode yang dapat digunakan untuk mengatasi
permasalahan tersebut adalah Zero-Inflated Poisson (ZIP). Pendekatan
semiparametrik menjadi model alternatif yang digunakan karena mengandung
komponen parametrik dan nonparametrik sehingga memiliki tingkat fleksibilitas
tinggi. Nilai bias relatif mutlak (BRM) digunakan untuk mengetahui tingkat
akurasi penduga parameter dan akar kuadrat tengah galat (AKTG) digunakan
untuk mendeteksi kebaikan model. Nilai BRM terkecil data simulasi terdapat pada
ZIP untuk overdispersi sedangkan regresi Poisson untuk nonoverdispersi. Nilai
AKTG terkecil secara keseluruhan terdapat pada model semiparametrik sehingga
untuk jenis data campuran lebih baik menggunakan model semiparametrik. Pada
model semiparametrik ZIP untuk data aplikasi angka kematian ibu hamil di
Provinsi Jawa Timur terjadi overdispersi karena menunjukkan nilai dispersi yang
lebih besar dari satu. Model semiparametrik ZIP ini juga merupakan model
terbaik karena menghasilkan nilai AKTG terkecil. Peubah penjelas yang
berpengaruh nyata terhadap jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur
berdasarkan model semiparametrik ZIP ini adalah peubah penjelas X1 (kunjungan
ibu hamil K1).
Kata kunci : Overdispersi, Semiparametrik, Zero-Inflated Poisson
ABSTRACT
NANDA PINANDITA RAMADHANI. Overdispersion Assessment in Poisson
Regression Using Semiparametric Zero-Inflated Poisson. Supervised by
KUSMAN SADIK and DIAN Kusumaningrum.
One of the causes of overdispersion is that there are many zero observations
on the response variable which can be detected by the dispersion value which is
the ratio of deviance and degrees of freedom. The method to overcome this
problem is the Zero-Inflated Poisson (ZIP). Semiparametric approach be used as
an alternative model because it has parametric and nonparametric component so it
has a high degree of flexibility. Absolute of Relative Bias (ARB) is used to
determine the level of accuracy of parameter estimators and Root of Mean Square
of Error (RMSE) is used to determine the goodness of fit of the model. Results
show that the ARB smallest value from simulation data was found in ZIP for
overdispersion while Poisson regression for nonoverdispersion. The smallest
RMSE was found on semiparametric model that show that semiparametric model
was more suitable for mixed data. On the semiparametric ZIP model for the
maternal mortality rate in East Java application data, which had overdispersion
indicated by the dispersion values is greater than one. This semiparametric ZIP
model also has the smallest RMSE values so that it can be said to be the best
model. Variable which affect the number of maternal mortality in East Java based
on the semiparametric ZIP model is X1 (visits of pregnant women K1).
Keywords: Overdispersion, Semiparametric, Zero-Inflated Poisson
KAJIAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON
MENGGUNAKAN SEMIPARAMETRIK
ZERO-INFLATED POISSON
NANDA PINANDITA RAMADHANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Kajian Overdispersi pada Regresi Poisson Menggunakan
Semiparametrik Zero-Inflated Poisson
Nama
: Nanda Pinandita Ramadhani
NIM
: G14100060
Disetujui oleh
Dr Kusman Sadik, MSi
Pembimbing I
Dian Kusumaningrum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dan penulisan karya ilmiah
yang berjudul Kajian Overdispersi pada Regresi Poisson Menggunakan
Semiparametrik Zero-Inflated Poisson.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan
Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku komisi pembimbing, atas bimbingan dan
motivasi yang diberikan selama kegiatan penelitian dan penulisan karya ilmiah ini.
Terima kasih juga penulis sampaikan kepada eyang yang selalu memberikan doa
dan motivasi kepada penulis. Tidak lupa kepada teman-teman Statistika 47
tercinta, terima kasih atas perhatian dan motivasinya.
Terima kasih disampaikan juga kepada Program Beasiswa Bidikmisi
Kementerian Pendidikan RI atas bantuan beasiswa yang diberikan sehingga
penulis bisa menyelesaikan studi hingga selesai. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Nanda Pinandita Ramadhani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Regresi Poisson
2
Zero-Inflated Poisson
2
Model Semiparametrik
3
METODE
4
Data
4
Data Simulasi
4
Data Aplikasi
4
Prosedur Analisis Data
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Simulasi
5
6
6
Pendekatan Nonparametrik dengan B-Spline
6
Mendeteksi Overdispersi
8
Mendeteksi Multikolinieritas
9
Akurasi Penduga Parameter
9
Kebaikan Model
Data Aplikasi
10
11
Identifikasi Komponen Parametrik dan Nonparametrik
12
Letak Titik Knot dan Basis B-Spline
12
Identifikasi Multikolinieritas dan Overdispersi
13
Model Terbaik
14
Model Semiparametrik Zero-Inflated Poisson
14
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
16
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
24
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Nilai parameter koefisien regresi
Nilai dispersi dan jumlah peubah respon bernilai nol pada setiap n dan
Hasil uji multikolinieritas data simulasi
5
Hasil uji multikolinieritas data aplikasi
Nilai AKTG
Nilai dugaan parameter semiparametrik ZIP
6
7
Nilai AKTG regresi Poisson dan ZIP model parametrik dan
semiparametrik pada setiap n dan
4
8
9
10
13
14
15
DAFTAR GAMBAR
1
Plot antara peubah penjelas dengan peubah respon yang dibangkitkan pada 7
2
3
Jumlah kematian ibu hamil di kabupaten/kota provinsi jawa timur
Plot pencar antara jumlah kematian ibu hamil dengan faktor yang diduga
mempengaruhi
11
12
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Nilai BRM regresi Poisson dan ZIP model Parametrik dan Semiparametrik pada
setiap n dan
Algoritma data aplikasi
Penduga model semiparametrik Poisson data aplikasi
Penduga model parametrik Poisson data aplikasi
Penduga model parametrik ZIP data aplikasi
18
22
22
22
22
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan metode dalam statistika yang digunakan untuk
mengkaji hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas. Analisis
regresi Poisson merupakan salah satu jenis analisis regresi yang digunakan untuk
memodelkan kejadian yang jarang terjadi dengan peubah respon berupa data
cacah atau data diskrit. Data cacah termasuk dalam data kuantitatif yang tidak
berbentuk pecahan. Analisis regresi Poisson memiliki asumsi yaitu kesamaan nilai
rata-rata dan nilai ragam yang disbut dengan equidispersi. Akan tetapi dalam
kenyataannya, sering terjadi pelanggaran dalam asumsi tersebut. Pelanggaran
yang terjadi adalah underdispersi yaitu nilai ragam yang lebih kecil dari rataan
dan overdispersi yaitu nilai ragam yang lebih besar dari rataan (Long 1997).
Penyebab overdispersi salah satunya adalah banyaknya amatan bernilai nol pada
peubah respon. Metode yang dapat digunakan untuk menangani overdispersi pada
regresi Poisson adalah regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) (Li 2012).
Regresi ZIP dengan model semiparametrik menjadi alternatif yang
digunakan beberapa peneliti karena memiliki tingkat fleksibilitas tinggi. Penelitian
menggunakan model semiparametrik pada ZIP diantaranya dapat dilihat pada Li
(2012), Lam KF et al (2006), dan Chiogna M dan Gaetan C (2002). Model
semiparametrik mampu menjelaskan hubungan antara peubah respon dengan
peubah penjelas yang sebagian pola datanya diketahui dan sebagian lagi tidak
diketahui. Hal ini dikarenakan, model semiparametrik mengandung komponen
parametrik dan nonparametik (Sugiantari dan Budiantara 2013). Pendugaan
koefisien regresi pada komponen parametrik dapat menggunakan metode kuadrat
terkecil sedangkan pada nonparametrik dapat menggunakan berbagai pendekatan,
salah satunya adalah spline (Wibowo et al 2009).
Penelitian ini menerapkan model semiparametrik ZIP dengan data simulasi
dan data aplikasi. Pada proses simulasi digunakan nilai dispersi untuk mendeteksi
terjadinya overdispersi. Nilai dispersi merupakan rasio antara deviance dengan
derajat bebas, jika hasil nilai dugaan dispersi lebih dari satu maka model
mengalami overdispersi (Halekoh et al 2007). Penelitian dilanjutkan dengan
mendeteksi keakuratan nilai penduga parameter melalui nilai bias relatif mutlak
(BRM) atau Absolute of Relative Bias (ARB) terkecil dan mengidentifikasi model
terbaik melalui nilai akar kuadrat tengah galat (AKTG) atau Root of Mean Square
of Error (RMSE) terkecil. Data aplikasi yang digunakan berupa data Angka
Kematian Ibu Hamil di Provinsi Jawa Timur. Angka Kematian Ibu Hamil
merupakan kejadian yang jarang terjadi untuk beberapa daerah di Jawa Timur
sehingga data ini dapat digunakan sebagai penerapan model semiparametrik ZIP
pada data riil.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini sebagai berikut:
1. Membandingkan keakuratan penduga parameter regresi Poisson dan ZIP pada
data peubah respon yang mengandung banyak nilai nol.
2. Menentukan kebaikan model dengan membandingkan nilai RMSE model
parametrik dan semiparametrik pada regresi Poisson dan ZIP.
TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Poisson
Peluang data cacah pada regresi Poisson ditentukan berdasarkan sebaran
Poisson. Fungsi peluang sebaran Poisson dengan parameter adalah:
Nilai rata-rata dan ragam sebaran Poisson bernilai sama yaitu
kondisi ini disebut sebagai equidispersi. Nilai tengah parameter regresi Poisson
adalah
sehingga model regresi Poisson dituliskan sebagai berikut:
dengan x adalah peubah penjelas,
adalah banyaknya peubah penjelas
adalah parameter koefisien regresi, dan k
(Long 1997)
Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) merupakan gabungan dari sebaran
Poisson dengan sebaran kejadian bernilai nol. Kondisi tersebut dituliskan oleh Li
(2012) sebagai berikut:
[
]
dengan
adalah fungsi indikator, sebagai parameter sebaran Poisson, dan
adalah peluang kejadian bernilai nol dengan 0 ≤ ≤ 1, ketika
maka sebaran
ZIP menjadi sebaran Poisson. Fungsi sebaran ZIP diatas dituliskan dengan lebih
jelas sebagai berikut (Chiogna dan Gaeta 2007):
{
Berdasarkan fungsi sebaran diatas diperoleh nilai ragam yang lebih besar dari
rataan yaitu
dan
(Xiang et al
2007).
3
Fungsi penghubung untuk
dan
menurut Xiang et al (2007) adalah :
dengan X adalah matriks peubah penjelas, dan adalah parameter model
berukuran (p+1)x1 dan (q+1)x1 dengan
. Menurut Ridout et al (1998)
adalah parameter skalar yang menggambarkan banyak sedikitnya nilai nol pada
peubah respon yang terbentuk namun tidak dapat mengontrol banyaknya nilai nol
yang terbentuk. Nilai
menghasilkan jumlah nol yang semakin kecil
sedangkan
menghasilkan nilai nol yang semakin besar.
Model Semiparametrik
Model semiparametrik mengandung dua komponen yaitu parametrik dan
nonparametrik. Salah satu pendekatan nonparametrik dalam model
semiparametrik adalah spline. Pendekatan spline yang biasa digunakan adalah
spline truncated dan B-Spline.
Bentuk umum regresi parametrik yaitu:
Bentuk matriksnya:
Pendugaan koefisien regresi
dapat
menggunakan metode kuadrat terkecil dengan meminimumkan
terhadap
̂
sehingga diperoleh penduga sebagai berikut:
(Laome 2009).
Bentuk umum regresi nonparametrik sebagai berikut:
merupakan kurva regresi yang tidak diketahui polanya. Fungsi
didekati dengan B-Spline dapat dituliskan menjadi:
yang
∑
dengan
merupakan basis B-Spline dari titik knot
dengan orde m, knot K, dan
adalah parameter. Fungsi B-Spline
secara rekursif yaitu:
dengan
{
(Budiantara et al 2006)
Berdasarkan bentuk parametrik dan nonparametrik diatas maka bentuk
regresi semiparametrik adalah:
Lam et al (2006) menuliskan model semiparametrik ZIP yang berasal dari model
log seperti berikut :
4
METODE
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data simulasi dan data
aplikasi. Data simulasi dibangkitkan menggunakan software R 3.0.1 dan data
aplikasi diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur pada Profil
Kesehatan Provinsi Jawa Timur tentang Angka Kematian Ibu Hamil 2012.
Data Simulasi
Secara umum prosedur simulasi ini mengacu pada algoritma Setyawan
(2012). Data yang dibangkitkan adalah data peubah respon yang memiliki banyak
amatan bernilai nol dengan kondisi overdispersi dan nonoverdispersi. Model yang
akan dibentuk seperti berikut:
dengan
merupakan komponen nonparametrik yang mengikuti persamaan
Peubah penjelas
pada penelitian Wibowo (2009) bernilai
dibangkitkan mengikuti sebaran seragam dan merupakan sebaran diskret, untuk
mempermudah pemakaian dan meminimalisasi dummy maka
digunakan
peubah biner yang menghasilkan intersep berbeda. Peubah penjelas diasumsikan
sebagai peubah tetap dengan n yang digunakan adalah 15, 30, 50, 100, dan 200.
Nilai
ditetapkan secara subjektif oleh peneliti yaitu
.
Parameter yang diperlukan terbagi menjadi dua komponen yaitu parametrik dan
nonparametrik. Pendekatan nonparametrik menggunakan B-Spline dengan m=2
dan K=1. Model semiparametrik memiliki tingkat keefektifan lebih baik
dibandingkan model parametrik, untuk mengkaji kondisi tersebut digunakan pula
model parametrik dengan mengabaikan
sebagai komponen nonparametrik
sehingga
diasumsikan sebagai
Penentuan parameter ditentukan secara
subjektif oleh peneliti sebagai berikut:
Tabel 1 Nilai parameter koefisien regresi
Parameter
Parametrik
Nonoverdispersi
Overdispersi
1
1
-0.3
0.8
0.5
0.2
0.6
0.6
-
Semiparametrik
Nonoverdispersi
Overdispersi
1
1
-0.3
0.8
0.5
0.2
0.1
0.1
0.35
0.35
0.15
0.15
Data Aplikasi
Peubah yang digunakan berdasarkan penelitian Kartiningrum (2013). Satuan
pengamatan yang digunakan sebanyak 38 Kabupaten/Kota di Jawa Timur. Peubah
respon (Y) adalah jumlah kematian Ibu Hamil dan peubah penjelas yang
digunakan meliputi:
1. Persentase Kunjungan Ibu Hamil K1 (X1)
2. Persentase Kunjungan Ibu Hamil K4 (X2)
3. Persentase Ibu Hamil mendapat tablet FE1 (X3)
5
4. Persentase Ibu Hamil mendapat tablet FE3 (X4)
5. Persentase Komplikasi kehamilan yang ditangani (X5)
Prosedur Analisis Data
A. Tahapan analisis yang digunakan pada simulasi data adalah:
1. Membangkitkan n buah data peubah penjelas
yang menyebar
Seragam(1,2),
yang bersifat biner(0,1), dan
untuk
komponen nonparametrik.
2. Mencatat nilai , , , dan nilai minimum
, maksimum
dari .
3. Model semiparametrik dilakukan tahapan:
a. Mencari nilai interval dan letak knot dengan rumus (Permatasari 2009):
dengan nknot=K+2
b. Menentukan persamaan basis berdasarkan fungsi rekursif B-Spline.
c. Menghitung nilai masing-masing basis B-Spline.
4. Menghitung nilai masing-masing amatan dengan:
a. Parametrik:
b. Semiparametrik:
5. Membangkitkan peubah respon:
I. Nonoverdispersi: Membangkitkan
Poisson( )
II. Overdispersi:
a. Menghitung parameter
b. Menghitung nilai
yaitu:
n data respon
yang menyebar
∑
∑
c. Membangkitkan n data yang menyebar Seragam(0,1) sebagai variabel c.
d. Membangkitkan bilangan acak variabel yp yang menyebar Poisson( ).
e. Membandingkan variabel c setiap pengamatan dengan nilai . Jika
maka
dan jika
maka
.
6. Mencatat dan menghitung peubah respon yang bernilai nol.
7. Menghitung nilai dispersi yang merupakan rasio dari deviance dengan
derajat bebas. Rodriguez (2007) menuliskan fungsi deviance sebagai
berikut:
∑{
( )
̂
̂ }
8. Menghitung nilai Variance Inflation Factors (VIF) untuk memastikan tidak
terjadi multikolinieritas seperti berikut:
dengan
adalah koefisien determinasi.
6
9.
Melakukan pendugaan parameter model parametrik dan semiparametrik
pada regresi Poisson dan ZIP.
10. Menghitung nilai bias relatif mutlak (Savic 2009 dalam Setyawan 2012):
̂
∑|
|
11.
12.
13.
14.
dengan r adalah banyaknya data dugaan, ̂ adalah penduga ke-i
parameter , dan adalah parameter sebenarnya.
Mengulangi langkah 1-10 sebanyak 1000 kali
Menghitung rata-rata dari 1000 nilai dispersi yang dihasilkan regresi
Poisson.
Menghitung rata-rata dari 1000 nilai BRM masing-masing penduga
parameter.
Menghitung nilai AKTG sebagai berikut (Moses dan Devadas 2012):
√
∑(
̂)
15. Membandingkan nilai BRM dan AKTG model parametrik dan
semiparametrik pada regresi Poisson dan ZIP. Nilai BRM terkecil
menunjukkan penduga dengan akurasi baik dan AKTG terkecil
menunjukkan model yang disarankan penggunaannya.
B. Tahapan untuk analisis dan pemodelan jumlah kematian ibu hamil adalah:
1. Membuat plot pencar untuk menentukan komponen parametrik dan
nonparametrik.
2. Memilih peubah penjelas untuk menghindari multikoliniearitas.
3. Menentukan letak titik knot dan basis menggunakan B-Spline untuk
komponen nonparametrik.
4. Mengidentifikasi overdispersi dengan menghitung nilai dispersi.
5. Menghitung dan membandingkan nilai AKTG model semiparametrik dan
parametrik pada regresi Poisson dan ZIP.
6. Melakukan pemodelan data dengan model yang menghasilkan AKTG
terkecil.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Simulasi
Pendekatan Nonparametrik dengan B-Spline
Data simulasi yang digunakan telah ditentukan terdiri dari dua komponen
yaitu parametrik dan nonparametrik. Plot yang terdapat pada Gambar 1
menunjukkan bahwa
cenderung membentuk pola linier sedangkan
tidak
membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan bahwa data yang dibangkitkan
terbukti terdiri dari komponen parametrik dan nonparametrik. Berdasarkan
7
kondisi data tersebut maka model alternatif berupa model semiparametrik dapat
digunakan pada data simulasi ini.
Gambar 1 Plot antara peubah penjelas dengan peubah respon yang dibangkitkan
pada
Komponen nonparametrik pada data simulasi dilakukan pendekatan fungsi
B-Spline menggunakan orde
sebanyak 2 dan knot asli
sebanyak 1. Cara
membentuk fungsi B-Spline diperlukan pendefinisian knot tambahan sebanyak 2m
yaitu
dengan
dan
, adalah nilai minimum dan adalah nilai maksimum (Budiantara
et al 2006). Pada kasus ini knot tambahan yang terbentuk sebanyak 4 yaitu
dan
sehingga total knot yang terbentuk sebanyak 5 knot
yaitu
Diperlukan penghitungan nilai interval untuk mengetahui
jarak antar knot, hasil dari nilai interval ini digunakan untuk mencari letak knot
dan perhitungan rekursif B-Spline (Permatasari 2009). Nilai interval yang
terbentuk pada
adalah 49.5. Data diurutkan dari yang
terkecil sehingga knot asli terletak pada data ke-50.5, dilakukan pembulatan ke
bawah maka knot asli terletak pada data ke-50. Pendefinisian nilai dari masingmasing knot adalah
;
;
dengan adalah knot asli. Persamaan basis B-Spline ditentukan melalui fungsi
rekursif B-Spline. Persamaan basis yang terbentuk adalah:
{
{
{
8
Mendeteksi Overdispersi
Adanya overdispersi pada data simulasi dideteksi dengan nilai dispersi
.
Halekoh et al (2007) menyatakan apabila nilai
maka terjadi overdispersi.
Hasil simulasi pada Tabel 2 menunjukkan bahwa data nonoverdispersi memiliki
nilai
sehingga terbukti bahwa peubah respon yang dibangkitkan tidak
mengandung overdispersi sedangkan pada data overdispersi menghasilkan nilai
yang berarti pada peubah respon yang dibangkitkan terbukti terjadi
overdispersi. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa semakin besar nilai memberikan
hasil nilai nol yang semakin besar. Data dengan n kecil dan besar tidak bisa
menghasilkan iterasi yang konvergen sehingga tidak dapat dideteksi jumlah
amatan bernilai nol dan nilai dispersinya. Hal ini menunjukkan bahwa semakin
besar nilai nol pada ukuran data yang semakin kecil tidak dapat dilakukan analisis
lebih lanjut.
Tabel 2 Nilai dispersi dan jumlah peubah respon bernilai nol pada setiap n dan
Model
Parametrik
n
15
30
50
100
200
Semiparametrik
15
30
50
100
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
-
Hasil Simulasi
Jumlah amatan
Nilai dispersi ( )
bernilai nol
10.56
0.86
8.18
14.29
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
13.35
0.88
17.15
8.39
19.81
8.64
Tidak Konvergen
26.36
0.90
28.62
10.78
34.63
11.23
37.41
13.65
40.51
0.97
57.16
10.90
74.73
11.59
82.74
13.58
47.22
0.99
57.76
8.54
73.79
10.97
82.97
13.51
12.50
0.87
12.08
14.92
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
15.50
0.91
18.87
9.81
21.03
10.99
Tidak Konvergen
27.45
0.92
29.94
10.34
37.53
12.75
38.12
14.28
42.57
0.98
9
Model
Semiparametrik
n
100
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
Hasil Simulasi
Jumlah amatan
Nilai dispersi ( )
bernilai nol
57.22
8.31
74.48
10.52
84.19
12.60
Mendeteksi Multikolinieritas
Mendeteksi terjadi multikolinieritas diperlukan untuk menghindari besarnya
nilai ragam pada peubah penjelas. Menurut Draper dan Smith (1998), salah satu
metode untuk mengetahui adanya multikolineritas antar peubah bebas dengan melihat
nilai VIF. Apabila nilai VIF > 10 maka menunjukkan terjadi multikolinieritas yang
tinggi. Tabel 3 menunjukkan hasil dari nilai VIF data simulasi kurang dari 10 maka
dapat dikatakan bahwa tidak terjadi multikolinieritas pada peubah penjelas yang
digunakan sehingga data dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut.
Tabel 3 Hasil uji multikolinieritas data simulasi
n
15
30
50
100
200
Parameter
skalar
( )
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
Nilai VIF Parametrik
X1
X2
X3
2.654
2.232
1.187
1.311
2.482
2.560
3.101
2.260
3.570
1.022
1.075
1.097
3.123
2.330
3.395
2.269
2.529
2.460
2.298
2.468
2.622
2.243
2.503
2.591
2.775
2.375
2.425
1.062
1.009
1.191
1.023
1.042
1.019
1.025
1.016
1.053
1.004
1.013
1.002
2.178
2.534
2.589
2.273
2.430
2.591
2.278
2.486
2.583
2.771
2.384
2.428
X1
Nilai VIF Semiparametrik
X2
2.692 1.459
1.572 1.352
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
1.153 1.090
2.339 1.087
1.218 1.191
Tidak Konvergen
1.161 1.068
3.045 1.034
1.203 1.168
1.163 1.052
1.027 1.024
1.061 1.025
1.057 1.015
1.058 1.025
1.034 1.012
1.047 1.008
1.007 1.004
1.002 1.005
2.706
1.472
4.530
4.748
4.683
4.898
1.920
3.345
1.843
2.301
2.844
2.414
1.804
1.602
1.602
1.493
3.158
1.537
1.543
1.265
1.282
1.320
1.301
1.045
1.048
1.047
1.041
1.957
2.300
2.009
2.127
2.174
2.181
2.199
2.211
1.140
1.135
1.123
1.122
1.616
1.802
1.624
1.573
2.152
2.130
2.178
2.191
1.136
1.147
1.135
1.136
Akurasi Penduga Parameter
Nilai BRM dari masing-masing penduga parameter untuk semua set data
terdapat pada Lampiran 1. Nilai BRM regresi ZIP model parametrik maupun
semiparametrik pada data nonoverdispersi memiliki nilai yang relatif lebih besar
dibandingkan regresi Poisson. Hal ini menunjukkan bahwa regresi Poisson
memiliki tingkat keakuratan yang baik dalam menduga parameter pada data yang
tidak mengalami overdispersi karena regresi ZIP melakukan pendugaan dua jenis
parameter yaitu
pada model log dan
pada model logit. Regresi ZIP
menghasilkan nilai BRM yang relatif lebih kecil daripada regresi Poisson pada
data yang mengalami overdispersi untuk model parametrik dan semiparametrik.
10
Hasil tersebut menunjukkan bahwa ZIP memiliki tingkat keakuratan yang lebih
baik dalam menduga parameter pada data yang mengalami overdispersi karena
banyaknya peubah respon bernilai nol. Nilai BRM masing-masing penduga
semakin kecil pada ukuran data yang semakin besar dan berlaku sebaliknya pada
yang semakin besar.
Kebaikan Model
Pemilihan model terbaik antara model parametrik dan semiparametrik pada
regresi Poisson dan ZIP dilakukan dengan melihat nilai AKTG yang dihasilkan
model tersebut. Semakin kecil nilai AKTG yang dihasilkan maka model dikatakan
semakin baik. Tabel 4 menunjukkan nilai AKTG regresi Poisson lebih besar
daripada ZIP pada data yang mengalami overdispersi karena banyaknya peubah
respon bernilai nol sehingga dapat dikatakan bahwa ZIP lebih baik digunakan.
Tabel 4 Nilai AKTG regresi Poisson dan ZIP model parametrik dan
semiparametrik pada setiap n dan
N
15
30
50
100
200
AKTG
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
0.1
0.4
0.6
Poisson
Parametrik
Semiparametrik
3.36
2.37
4.69
3.88
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.53
2.67
10.91
9.76
4.67
4.21
Tidak Konvergen
2.03
1.99
9.99
8.94
5.51
4.50
4.81
3.44
5.35
4.23
10.77
8.88
7.09
4.56
6.39
5.36
3.25
3.13
10.39
9.91
6.57
6.49
5.52
5.49
ZIP
Parametrik
Semiparametrik
3.57
2.43
4.86
3.27
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.31
2.58
8.56
4.76
3.71
3.65
Tidak Konvergen
2.66
1.73
6.00
3.58
5.27
3.71
5.57
3.27
6.18
3.57
7.51
5.24
6.52
3.93
7.38
5.27
3.72
3.50
6.38
5.96
4.32
3.67
4.83
4.62
Nilai AKTG pada data nonoverdispersi memberikan hasil yang berbeda,
regresi Poisson memiliki nilai lebih kecil daripada ZIP sehingga regresi Poisson
lebih baik digunakan pada data nonoverdispersi. Hasil AKTG model parametrik
dan semiparametrik menunjukkan bahwa model semiparametrik memiliki nilai
lebih kecil daripada model parametrik. Hal ini menunjukkan bahwa model
semiparametrik lebih baik digunakan daripada model parametrik. Berdasarkan
hasil tersebut semiparametrik ZIP lebih disarankan untuk digunakan pada data
overdispersi karena banyaknya peubah respon bernilai nol dengan jenis data
campuran sedangkan semiparametrik Poisson lebih disarankan untuk digunakan
pada data nonoverdispersi dengan jenis data campuran. Kondisi ini menunjukkan
11
bahwa diperlukannya penentuan karakteristik dari komponen data yang digunakan
sebelum memutuskan jenis metode yang diterapkan. Apabila kondisi
nonparametrik diabaikan dan diasumsikan sebagai komponen parametrik akan
memberikan hasil yang tidak efisien dan keakuratan penduga parameter yang
kurang baik karena pada model parametrik dibutuhkan kondisi data dari peubah
penjelas dan peubah respon yang linier atau menyebar normal.
Data Aplikasi
Data aplikasi yang digunakan berupa data Angka Kematian Ibu Hamil
(AKIH) provinsi Jawa Timur pada tahun 2012. Provinsi Jawa Timur merupakan
salah satu provinsi yang terletak di pulau Jawa yang memiliki 29 Kabupaten dan 9
Kota sehingga amatan yang digunakan pada data aplikasi sebanyak 38
Kabupaten/Kota. Peubah penjelas yang digunakan sebanyak lima peubah yang
diduga dapat mempengaruhi banyak sedikitnya jumlah kematian ibu hamil dengan
satuan yang digunakan adalah persentase. Persentase tersebut diperoleh dari
jumlah ibu hamil yang tercatat dalam suatu kategori peubah penjelas dibagi
jumlah ibu hamil, misalnya X1 (persentase kunjungan ibu hamil K1) untuk
kabupaten Pacitan diperoleh dari jumlah kunjungan ibu hamil K1 di Pacitan
dibagi jumlah ibu hamil di Pacitan seperti berikut:
Gambar 2 Jumlah kematian ibu hamil di kabupaten/kota provinsi jawa timur
Beberapa daerah di provinsi jawa timur memiliki nilai persentase lebih dari
100, nilai ini disebabkan oleh adanya ibu hamil yang mendapat pelayanan
berdasarkan kategori peubah penjelas bukan merupakan ibu hamil dari daerah
tersebut. Data AKIH untuk beberapa daerah merupakan kejadian yang jarang
terjadi dan pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa data AKIH merupakan jenis data
cacah sehingga data ini dapat digunakan pada regresi Poisson. Selain itu, dalam
data AKIH ini diduga terjadi overdispersi karena ditemukan 6 daerah yaitu
12
Kabupaten Bangkalan, Kota Madiun, Kota Mojokerto, Kota Pasuruan, Kota Batu,
dan Kota Probolinggo yang memiliki nilai AKIH nol yang berarti ±15% dari data.
Identifikasi Komponen Parametrik dan Nonparametrik
Pola yang terbentuk antara Y dengan X1, X2, X3, dan X4 pada Gambar 3
cenderung mengikuti garis linier dan mayoritas data bergerombol mendekati garis
linier, berbeda dengan pola Y dengan X5 yang mayoritas datanya menyebar
menjauhi garis linier dan ketika dilakukan analisis regresi menghasilkan R2=0%.
Perbedaan kelima plot pada Gambar 3 tidak terlalu signifikan namun secara
sederhana kondisi tersebut dapat dikategorikan bahwa X1, X2, X3, dan X4
merupakan komponen parametrik sedangkan X5 adalah komponen nonparametrik.
Gambar 3 Plot pencar antara jumlah kematian ibu hamil dengan faktor yang
diduga mempengaruhi
Letak Titik Knot dan Basis B-Spline
Komponen nonparametrik data aplikasi yaitu X5 dilakukan pendekatan
dengan B-Spline menggunakan orde
= dan knot asli
=1. Pembentukan
fungsi B-Spline pada data aplikasi sama seperti pada data simulasi yaitu
menentukan knot tambahan sebanyak
sehingga knot tambahan yang terbentuk
13
adalah
, yaitu
dan
. Total knot yang terbentuk
adalah 5 knot (4 knot tambahan dan 1 knot asli) yaitu
.
Data yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 38 observasi dengan
nilai interval sebesar 18.5 sehingga knot asli berada pada data ke-19.5, dilakukan
pembulatan ke bawah berarti terletak pada data ke 19. Data ke-19 bernilai sebesar
82.23, nilai minimum
sebesar 49.65 dan maksimum
sebesar 125.84. Basis
B-Spline yang dihasilkan sebanyak 3 basis yaitu
dengan masing-masing basis mempunyai 2 fungsi berbeda setiap selangnya.
Persamaan setiap basis B-Spline data aplikasi adalah:
{
{
{
Identifikasi Multikolinieritas dan Overdispersi
Data aplikasi penelitian ini menggunakan lima peubah penjelas yang diduga
mempengaruhi peubah respon berupa jumlah kematian ibu hamil dengan model
semiparametrik dan parametrik. Peubah penjelas kelima (X5) merupakan komponen
nonparametrik dalam model semiparametrik sehingga X5 terbagi menjadi tiga bagian
yaitu B1, B2, dan B3 berdasarkan hasil B-Spline. Model parametrik mengabaikan
kondisi X5 sebagai komponen nonparametrik yang berarti menganggap seluruh
peubah penjelas merupakan komponen parametrik.
Tabel 5 Hasil uji multikolinieritas data aplikasi
Peubah
X1
X2
X3
X4
B1
B2
B3
VIF
6.027
4.502
8.958
8.466
3.312
3.223
1.974
Peubah
X1
X2
X3
X4
X5
VIF
5.378
4.240
8.934
8.433
1.327
Pada peubah penjelas yang digunakan dilakukan penghitungan VIF untuk
menghindari terjadinya multikolinieritas. Hasil pengujian multikolinieritas pada
Tabel 5 menunjukkan seluruh peubah penjelas memiliki nilai VIF < 10 yang berarti
tidak terjadi multikolinieritas namun terdapat beberapa peubah penjelas yang
menghasilkan nilai VIF cukup besar karena itu dilakukan pengecekan korelasi antar
peubah penjelas menggunakan korelasi pearson. Hasil korelasi pearson menunjukkan
bahwa X1 dan X2 memiliki korelasi yang kuat yaitu 0.805 selain itu, X3 dan X4 juga
14
memiliki korelasi yang kuat sebesar 0.889. Berdasarkan hasil tersebut dilakukan
pemilihan peubah penjelas, pemilihan peubah penjelas ini dilakukan secara subjektif
karena antar peubah penjelas memiliki nilai korelasi yang sama kuat, dalam penelitian
ini digunakan peubah penjelas X1, X3, dan X5.
Pendeteksian overdispersi secara sederhana dapat dilihat melalui nilai ragam
yang lebih besar dari rataan. Peubah respon data aplikasi memiliki nilai rataan
3.026 dan nilai ragam sebesar 10.837. Hasil tersebut menunjukkan bahwa nilai
ragam lebih besar dari rataan sehingga diduga terjadi overdispersi. Dugaan
terjadinya overdispersi diperkuat dengan hasil nilai dispersi
yang lebih besar
dari 1, model semiparametrik memberikan hasil sebesar 3.385 dan model
parametrik memiliki
sebesar 3.307. Berdasarkan hasil tersebut dapat
disimpulkan bahwa pada data aplikasi yang digunakan terjadi overdispersi.
Model terbaik
Pemilihan model antara model semiparametrik dan parametrik pada regresi
Poisson dan ZIP dalam kasus jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur
dengan melihat nilai AKTG terkecil. Tabel 6 menunjukkan nilai AKTG pada
semiparametrik ZIP lebih kecil dibandingkan model lain sehingga model
semiparametrik ZIP lebih baik untuk digunakan dalam pemodelan kasus data
penelitian ini.
Tabel 6 Nilai AKTG
Model
Parametrik Poisson
Semiparametrik Poisson
Parametrik ZIP
Semiparametrik ZIP
AKTG
3.228
3.224
2.956
2.952
Nilai AKTG pada Tabel 6 menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan
yang signifikan antar model, hal ini disebabkan oleh karakteristik data aplikasi
masing-masing peubah penjelas memiliki kemiripan satu dengan yang lain
sehingga hasilnya pun tidak berbeda jauh. Kementrian Kesehatan menyatakan
beberapa penyebab lain dari kematian ibu hamil yaitu pendarahan, eklampsia,
sepsis, dan infeksi. Penyebab tersebut dihasilkan berdasarkan kajian kinerja IGD
Obstetri-Ginekologi dari RSUP Cipto Mangunkusumo. Namun, karena tidak
ditemukan data yang jelas dari penyebab-penyebab tersebut maka pada penelitian
ini hanya digunakan penyebab-penyebab berdasarkan dugaan Dinas Kesehatan.
Model Semiparametrik Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Model pada regresi ZIP terbagi menjadi dua jenis. Model pertama disebut
count model atau model log yang digunakan untuk menentukan peluang dari
peubah respon suatu amatan bernilai selain nol sedangkan model kedua yaitu
zero-inflation model atau model logit digunakan untuk menentukan peluang dari
peubah respon suatu amatan bernilai nol (Long 1997). Tabel 7 merupakan hasil
pendugaan parameter dengan model semiparametrik ZIP menggunakan R 3.0.1.
15
Tabel 7 Nilai dugaan parameter semiparametrik ZIP
Count Model
(Intercept)
X1
X3
B1
B2
B3
Zero-Inflation Model
(Intercept)
X1
X3
B1
B2
B3
Nilai Dugaan
2.84718
-0.03184
0.01650
-0.38100
0.08290
-0.82695
Galat Baku
2.12699
0.01815
0.01208
0.74174
0.65195
0.58351
Nilai-Z
1.339
-1.755
1.366
-0.514
0.127
-1.417
Nilai-p
0.1807
* 0.0793
0.1720
0.6075
0.8988
0.1564
-16.67908
0.07669
-0.00380
9.09480
8.77352
-0.17111
16.22252
0.08991
0.07647
8.78226
9.27532
4.29819
-1.028
0.853
-0.050
1.036
0.946
-0.040
0.304
0.394
0.960
0.300
0.344
0.968
*) signifikansi pada taraf nyata 10%
Persamaan model untuk semua peubah penjelas dapat dituliskan sebagai
berikut:
dan
(
)
(
)
Tabel 7 menunjukkan pada model log, peubah penjelas yang berpengaruh
nyata terhadap respon pada taraf nyata 10% adalah X1 sedangkan pada model
logit tidak terdapat peubah penjelas yang berpengaruh nyata. Persamaan model
log menunjukkan bahwa kunjungan ibu hamil K1 (X1) memiliki hubungan negatif
dengan jumlah kematian ibu hamil di Provinsi Jawa Timur. Kondisi tersebut
menjelaskan bahwa semakin sedikit ibu hamil yang melakukan kunjungan K1
akan semakin meningkatkan angka kematian ibu hamil maka disarankan kepada
ibu hamil melakukan kunjungan K1 untuk proses pemeriksaan awal kehamilan
sehingga dapat dideteksi dari awal kondisi janin dan kesehatan ibu.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan jenis data campuran
yang terdiri dari komponen parametrik dan nonparametrik dengan komponen
nonparametriknya dilakukan pendekatan B-Spline. Berdasarkan jenis data tersebut,
didapatkan penduga parameter regresi ZIP yang lebih baik daripada regresi
Poisson untuk data kondisi overdispersi karena nilai nol berlebih pada peubah
respon. Kebaikan model didapatkan pada model semiparametrik baik
menggunakan regresi Poisson maupun ZIP sehingga untuk jenis data seperti
penelitian ini lebih baik digunakan semiparametrik Poisson pada kasus
nonoverdispersi dan semiparametrik ZIP pada kasus overdispersi karena nilai nol
berlebih pada peubah respon.
Saran
Komponen nonparametrik pada penelitian ini dibentuk menggunakan fungsi
sinus sehingga pola yang terbentuk pun mengikuti fungsi sinus dengan
pendekatan yang digunakan adalah B-Spline. Pada penelitian berikutnya
disarankan untuk menggunakan fungsi matematika yang lain dalam pembentukan
komponen nonparametrik. Disarankan pula untuk menggunakan pendekatan
nonparametrik selain B-Spline sehingga dapat diketahui apakah kesimpulan pada
penelitian ini juga berlaku untuk fungsi dan pendekatan nonparametrik yang lain.
Pada data aplikasi yang digunakan dalam penelitian ini dihasilkan nilai AKTG
yang tidak berbeda jauh. Hal ini disebabkan karakteristik data peubah penjelas
yang digunakan memiliki kemiripan. Oleh karena itu pada penelitian berikutnya
disarankan untuk menambahkan peubah penjelas berdasarkan faktor-faktor yang
disebutkan oleh RSUP Cipto Mangunkusumo yang diharapkan dapat
menghasilkan nilai lebih beragam.
DAFTAR PUSTAKA
Budiantara IN, Suryadi F et al. 2006. Pemodelan B-Spline dan MARS pada Nilai
Ujian Masuk terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual UK.
Petra Surabaya. [Internet]. [diunduh tanggal 2014 Maret 23]. Terdapat pada:
http://cpanel.petra.ac.id/ejournal/index.php/ind/article/viewFile/16497/16489.
Chiogna M, Gaetan C. 2007. Semiparametric zero-inflated Poisson Models with
application to animal abundance studies. Environmetrics. 18(3):303:314.
http://dx.doi.org/10.1002/env.830.
Draper NR, Smith H. 1998. Applied Regression Analysis. Canada: A WileyInterscience Publication.
17
Halekoh U, Hojsgaard S. 2007. Overdispersion. Denmark: Unit of Statistics and
Decision Analysis, The Faculty of Agricultural Sciences, University of Aarhus.
Kartiningrum ED, Nursaidah. 2013. Pemodelan Faktor Yang Mempengaruhi
Kematian Ibu Di Propinsi Jawa Timur Menggunakan Zero Inflated Poisson
Regression. Prosiding Seminar Nasional. ISBN:978-979-98438-8-3.
Lam KF, Xue H, Cheung YB. 2006. Semiparametric Analysis of Zero-Inflated
Count Data. Biometrics. 62:996-1003. doi:10.1111/j.1541-0420.2006.00575.x.
Laome L. 2009. Model Regresi Semiparametrik Spline Untuk Data Longitudinal
Pada Kasus Kadar CD4 Penderita HIV. Paradigma Vol.13 No. 2 hlm. 189-194.
Li CS. 2012. Score Test for Semiparametric Zero-Inflated Poisson Models.
Journal of Statistics and Probanility. http://dx.doi.org/10.5539/ijsp.v1n2p1.
Long JS. 1997. Regression Models for Categorical and Limited Dependent
Variables. Number 7 in Advance Quantitative Techniques in The Social
Sciences. California : Sage Publications.
Moses KP, Devadas MD. 2012 . An Approach to Reduce Root Mean Square Error
in Toposheets. J of Scientific Research. 91(2):268-274.
Permatasari D. 2009. Pemodelan Kurva Imbal Hasil Obligasi Korporasi Rating
AA dan A dengan Nelson Siegel Svensson dan Cubic Spline Smooting. Institut
Teknologi Sepuluh November. [Internet]. [diunduh pada tanggal 18 Mei 2014].
Terdapat pada: http://oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=1211.
Ridout , M. 1998. Models for count data with many zeros. International Biometric
Conference. [Internet]. [diunduh 2014 Juni 27]. Tersedia pada:
https://www.kent.ac.uk/smsas/personal/msr/webfiles/zip/ibc_fin.pdf.
Rodriguez G. 2007. Poisson Models for Count Data. [Internet]. [diunduh 2014 Jan
17]. Terdapat pada: http://data.princeton.edu/wws509/notes/c4.pdf.
Setyawan A. 2013. Perbandingan antara Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan
Zero Inflated Poisson pada data Overdispersi [skripsi]. Bogor (ID) : Institut
Pertanian Bogor.
Sugiantari AP, Budiantara IN. 2013. Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi
Angka Harapan Hidup di Jawa Timur Menggunakan Regresi Semiparametrik
Spline. Jurnal Sains dan Semi Pomits Vol.2 No.1.
Wibowo W, Haryatmi S, Budiantara IN. 2009. Metode Kuadrat Terkecil Untuk
Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik Spline. [Internet]. [diunduh tanggal
2014 Februari 02]. Terdapat pada:
http://eprints.uny.ac.id/7064/1/S.12%20Wahyu%20Wibowo.pdf.
Xiang L, Lee AH, Yau KKW, McLachlan GJ. 2007. A score test for
overdispersion in zero-inflated poisson mixed regression poisson. Statistics in
Medicine. 26:1608-1622.doi:10.1002/sim.2616.
18
Lampiran 1 Nilai BRM regresi Poisson dan ZIP model Parametrik dan
Semiparametrik pada setiap n dan
Model
n
Parameter
BRM
Poisson
Parametrik
15
-
0.1
0.4
0.6
30
-
0.1
0.4
0.6
50
-
0.1
0.4
0.6
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
ZIP
3.41
1.53
0.89
1.08
3.78
0.61
2.22
7.12
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.38
1.34
0.72
1.29
6.03
2.24
0.68
7.43
5.99
1.33
1.99
8.35
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.05
1.22
0.59
1.06
4.12
0.91
1.48
5.63
8.35
4.36
2.25
6.71
8.74
4.51
2.30
7.23
4.42
2.26
1.29
1.17
2.62
0.35
1.04
5.29
3.45
1.89
1.23
2.14
2.50
0.98
0.32
1.65
1.99
0.45
0.67
2.77
2.32
1.43
0.97
1.95
1.25
0.30
0.44
1.68
2.75
1.46
0.71
2.28
2.88
1.53
0.79
2.35
19
Model
n
Parametrik
100
Parameter
BRM
Poisson
-
0.1
0.4
0.6
200
-
0.1
0.4
0.6
Semiparametrik
15
-
0.1
\
0.4
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
ZIP
1.53
0.84
0.27
0.58
2.75
0.59
1.02
3.72
5.14
2.71
1.51
4.21
8.13
5.06
2.05
5.65
1.18
0.45
0.07
0.16
2.00
0.43
0.69
2.60
3.59
1.87
1.04
2.87
5.37
3.41
1.41
3.72
3.58
1.37
0.92
2.30
1.20
0.84
1.87
0.94
1.59
3.32
1.91
0.83
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.04
1.08
0.42
1.15
0.87
0.21
0.29
1.16
1.48
0.81
0.43
1.21
2.55
1.62
0.61
1.79
1.51
0.93
0.13
0.72
0.56
0.13
0.21
0.74
1.03
0.55
0.29
0.83
1.67
1.06
0.39
1.17
5.70
3.54
1.36
4.17
2.24
1.25
0.77
0.39
0.95
2.18
1.52
0.68
20
Model
n
Parameter
Semiparametrik
15
0.6
30
-
BRM
Poisson
0.1
0.4
0.6
50
-
0.1
0.4
0.6
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
ZIP
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
3.21
1.10
0.79
1.87
0.82
0.53
1.11
0.75
1.18
6.39
1.17
0.79
6.54
7.14
1.86
5.11
8.38
2.45
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
Tidak Konvergen
2.72
0.93
0.41
1.02
0.46
0.25
1.07
0.67
1.21
5.91
1.53
0.76
5.86
6.40
1.78
4.59
7.46
2.18
7.62
8.46
5.26
3.22
0.93
3.38
1.82
0.88
0.26
0.22
0.38
2.01
0.62
0.27
2.39
2.67
0.54
2.77
3.01
0.94
4.51
2.48
0.69
2.32
0.97
0.50
0.25
0.20
0.34
1.84
0.57
0.25
2.03
2.25
0.52
1.60
2.56
0.67
2.72
3.07
21
Model
n
Parameter
Semiparametrik
50
0.6
100
-
BRM
Poisson
0.1
0.4
0.6
200
-
0.1
0.4
0.6
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b0
b1
ZIP
1.90
6.23
9.01
1.85
1.27
0.23
0.13
0.76
0.24
0.11
0.97
0.63
1.09
5.52
1.41
0.68
5.46
5.84
1.65
4.23
6.79
2.03
4.60
5.99
1.23
6.37
5.21
1.36
0.83
0.12
0.06
0.30
0.11
0.02
0.83
0.42
0.72
4.08
0.81
1.64
3.42
3.66
1.15
2.67
4.12
1.11
2.54
2.59
0.53
2.23
3.16
0.60
2.50
1.17
0.42
1.72
0.69
0.32
0.22
0.17
0.32
1.66
0.54
0.23
1.88
2.09
0.48
1.49
2.35
0.60
1.56
2.23
0.67
2.95
2.10
0.59
1.29
0.74
0.13
0.82
0.23
0.15
0.18
0.16
0.24
1.31
0.29
0.50
1.22
1.36
0.31
1.97
1.45
0.32
0.92
0.99
22
Model
n
Semiparametrik
200
Parameter
BRM
Poisson
0.6
b2
b3
b4
b5
ZIP
1.22
8.90
4.41
6.35
0.36
6.91
1.56
1.65
Lampiran 2 Algoritma data aplikasi
parametrik