Perbandingan antara Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan Zero-Inflated Poisson pada Data Overdispersi

PERBANDINGAN ANTARA REGRESI POISSON, BINOMIAL NEGATIF,
DAN ZERO-INFLATED POISSON PADA DATA OVERDISPERSI

AJI SETYAWAN

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012

ABSTRAK
AJI SETYAWAN. Perbandingan antara Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan Zero-Inflated
Poisson pada Data Overdispersi. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan INDAHWATI.
Regresi Poisson digunakan untuk mengkaji hubungan antara peubah penjelas dengan peubah
respon yang berupa data cacah. Regresi Poisson mengasumsikan nilai tengah dan ragam dari
peubah respon mempunyai nilai yang sama. Akan tetapi, dalam penerapannya sering terjadi
kondisi overdispersi. Overdispersi adalah kondisi pada saat ragam dari peubah respon lebih besar
dari nilai tengah peubah respon. Overdispersi dapat terjadi karena banyaknyajumlah pengamatan
yang bernilai nol pada peubah respon.Salah satu penanganan overdispersi pada regresi Poisson
adalah menggunakan Regresi Binomial Negatif. Sedangkan penanganan overdispersi yang
disebabkan oleh banyaknya jumlah amatan dengan peubah respon yang bernilai nol dapat

menggunakan regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP).Kajian simulasi dilakukan untuk
membandingkan kinerja metode regresi Poisson, regresi Binomial Negatif, dan regresi ZIP yang
dicobakan pada data yang tidak overdispersi dan data overdispersi. Pada data overdispersi diatur
berbagai persentase jumlah amatan dengan peubah respon yang bernilai nol pada tiap jumlah
amatan. Ketiga metode memberikan hasil yang sama baiknya pada data yang tidak mengalami
overdispersi baik dari penduga parameter, penduga galat baku, dan sisaan. Overdispersi pada
regresi Poisson akan menghasilkan galat baku yang lebih kecil dari nilai sesungguhnya
(underestimate). Semakin besar jumlah amatan maka penduga parameter yang dihasilkan akan
semakin mendekati parameter yang sebenarnya. Semakin besar persentase jumlah amatan yang
bernilai nol pada peubah respon maka parameter yang dihasilkan akan semakin jauh dari
parameter yang sebenarnya. Penerapan regresi ZIP pada data dengan banyak jumlah amatan yang
bernilai nol pada peubah respon menghasilkan penduga parameter dan penduga galat baku dari
penduga parameter yang sangat dekat dengan nilai sebenarnya daripada penduga parameter dan
penduga galat baku yang dihasilkan oleh regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif.
Kata kunci: Regresi Poisson, Overdispersi, Regresi Binomial Negatif,Regresi Zero-Inflated
Poisson

PERBANDINGAN ANTARA REGRESI POISSON, BINOMIAL NEGATIF,
DAN ZERO-INFLATED POISSON PADA DATA OVERDISPERSI

Oleh :
AJI SETYAWAN

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012

Judul
Nama
NRP

: Perbandingan antara Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan Zero-Inflated Poisson
pada Data Overdispersi
: Aji Setyawan

: G14080021

Disetujui

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si
NIP : 196909121997021001

Dr. Ir. Indahwati, M.Si
NIP : 19650712199032002

Diketahui
Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si

NIP : 196504211990021001

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya,
penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul ”Perbandingan antara
Regresi Poisson, Binomial Negatif, dan Zero-Inflated Poisson pada Data Overdispersi”.Karya
ilmiah ini penulis susun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan oleh penulis tidak lepas dari dukungan,
bimbingan, dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB.
2. Bapak Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Sidan Ibu Dr. Ir. Indahwati, M.Si selaku dosen
pembimbing yang telah memberikan bimbingan,masukan dan arahan kepada penulis.
3. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama
penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika serta seluruh staf Departemen Statistika
yang telah banyak membantu penulis.

4. Kedua orang tua, adik, dan bude yang telah memberikan doa, kasih sayang serta dukungan
baik moril maupun materil selama menuntut ilmu.
5. Rizki Fadhilah dan keluarga yang telah memberikan doa, kasih sayang, nasehat, dan
dukungannya.
6. Bimandra A. Djafaara, Rifki Rizal, Andzar Syafa’atur Rahman, Iqbal Noviandi, Hadi
Septian Guna Putra, M. Ferdiansyah, M. Seftian, Wisnu Panata Praja, Ferdian Bangkit
Wijaya, Agus Sopian, dan De Budi Sudarsono yang telah memberikan dukungan dan
bantuan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.
7. Teman-teman seperjuangan statistika khususnya Statistika 45 yang telah bersama-sama
dalam segala suka maupun duka.
8. Seluruh pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelesaian karya
ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat bagi semua pihak. Amin.

Bogor, November2012

Aji Setyawan

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Rembangpada tanggal 9 Agustus 1990 dari pasangan Suwarno dan

Sulistyaningsih. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara. Tahun 2002 penulis lulus
dari SD Negeri Kutoharjo2Rembang. Kemudian melanjutkan studi di SLTP Negeri 2 Rembang
hingga tahun 2005. Selanjutnya, penulis menyelesaikan pendidikan di SMA Negeri 1Rembang dan
lulus pada tahun 2008. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor
(IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa
Departemen Statistika, FMIPA IPB dengan mayor Statistika dengan pilihan minor Matematika
Keuangan dan Aktuaria.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan statistika
Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB)sebagai Ketua Badan Pengawas Himpunan Profesi
Gamma Sigma Beta periode kepengurusan 2011 dan menjadi staf Beta ClubHimpunan Profesi
Gamma Sigma Beta (GSB) pada periode kepengurusan 2010. Selain itu, penulis juga aktif dalam
kegiatan kepanitiaan seperti Lomba Jajak Pendapat Statistika 2011 sebagai staf Divisi Logistik dan
Transportasi, Statistika Ria 2010 sebagai Ketua Divisi Acara dan 2009 sebagai staf Divisi Logistik
dan Transportasi,Welcome Ceremony Statistics (WCS) 2010 sebagai Ketua Pelaksana, serta
beberapa kegiatan lainnya. Pada Februari - April 2012, penulis melaksanakan kegiatan praktik
lapang di Balai Penelitian Tanaman Pemanis dan Serat (BALITTAS), Malang.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii

DAFTAR TABEL .................................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ viii
PENDAHULUAN ....................................................................................................................
Latar Belakang ....................................................................................................................
Tujuan .................................................................................................................................

1
1
1

TINJAUAN PUSTAKA ...........................................................................................................
Regresi Poisson ....................................................................................................................
Overdispersi ........................................................................................................................
Regresi Binomial Negatif ...................................................................................................
Regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) .....................................................................................
Evaluasi Penduga Parameter dan Penduga Galat Baku Relatif .............................................

1
1
2

2
3
3

METODOLOGI .......................................................................................................................
Data .....................................................................................................................................
MetodeSimulasi ....................................................................................................................

3
3
4

HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................
Mendeteksi Overdispersi ......................................................................................................
Data Tidak Overdispersi .......................................................................................................
Data Overdispersi .................................................................................................................

5
5
5

6

KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................................................
Kesimpulan ...........................................................................................................................
Saran .....................................................................................................................................

8
8
9

DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................

9

LAMPIRAN .............................................................................................................................

10

viii

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4

Halaman
Plot peluang sebaran Poisson ............................................................................................
1
Plot hubungan peubah penjelas dengan peubah respon pada regresi Poisson ...................
2
Plot antara sisaan dengan nilai Y dari ketiga model pada data tidak overdispersi ...........
6
Plot antara sisaan dengan nilai Y dari ketiga model pada data overdispersi ....................
8

DAFTAR TABEL
1
2
3

4
5

Halaman
Rata-rata nilai-p dan jumlah amatan bernilai nol pada peubah respon dari setiap set data
5
Nilai mutlak bias relatif (ARB) dan MSE dari setiap penduga parameter regresi pada
data yang tidak overdispersi ...............................................................................................
6
Galat baku dugaan dan galat baku sebenarnyadari penduga parameter regresi pada data
yang tidak overdispersi .....................................................................................................
7
Nilai mutlak bias relatif (ARB) dan MSE pada persentase jumlah amatan dengan
peubah respon yang bernilai nol sebesar 60%....................................................................
7
Galat baku dugaan dan galat baku sebenarnya penduga parameter pada persentase
jumlah amatan dengan peubah respon yang bernilai nol sebesar 60%...............................
8

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5

Halaman
Diagram alir metode simulasi ........................................................................................... 11
Diagram kotak garis nilai bias relatif penduga parameter (bukan dalam satuan persen)
untuk data yang tidakoverdispersi .................................................................................... 12
Diagram kotak garis nilai bias relatif penduga parameter (bukan dalam satuan persen)
untuk data yang mengalami overdispersi .......................................................................... 13
Nilai mutlak bias relatif (ARB) dan MSE pada setiap persentase jumlahamatan dengan
peubah respon yang bernilai nol ....................................................................................... 16
Galat baku dugaan dan galat baku sebenarnya dari penduga parameter pada setiap
persentase jumlah amatan dengan peubah respon yang bernilai nol ................................. 17

1

Latar belakang
Dalam
berbagai
penelitian
yang
menggunakan penerapan statistika, sering
dilakukan pengkajian hubungan antara peubah
respon dengan peubah penjelas. Hubungan
fungsional antara peubah respon dengan
peubah penjelas dapat dijelaskan oleh analisis
regresi. Analisis regresi linier mengasumsikan
bahwa peubah respon merupakan peubah
kontinu yang mengikuti sebaran normal.
Apabila peubah respon berupa diskret atau
data cacah, maka analisis ini tidak dapat
digunakan. Jika analisis regresi linier
digunakan untuk peubah respon berupa data
cacah maka akan menyebabkan hasil yang
tidak efisien, tidak efektif, dan pendugaan
parameter yang berbias (Long 1997).
Metode yang tepat digunakan untuk
peubah respon berupa data cacah adalah
analisis regresi Poisson. Pada regresi Poisson,
peluang data cacah ditentukan berdasarkan
sebaran Poisson. Nilai tengah dari sebaran
Poisson merupakan fungsi dari peubah
penjelasnya. Regresi Poisson mengasumsikan
nilai tengah dan ragam dari peubah respon
mempunyai nilai yang sama. Akan tetapi,
dalam penerapannya sering terjadi kondisi
overdispersi. Overdispersi adalah kondisi pada
saat ragam dari peubah respon lebih besar dari
nilai tengah peubah respon (Long 1997).
Overdispersi dapat terjadi karena banyaknya
pengamatan yang bernilai nol pada peubah
respon (Ridout et al. 1998).
Salah satu penanganan overdispersi pada
regresi Poisson adalah menggunakan Regresi
Binomial Negatif. Sedangkan penanganan
overdispersi
yang disebabkan oleh
banyaknyaamatanyang bernilai nol pada
peubah respon dapat menggunakan regresi
Zero-Inflated Poisson (ZIP). Regresi ZIP ini
membagi amatan ke dalam dua proses atau
model. Model pertama digunakan untuk
menentukan peluang dari peubah respon suatu
amatan bernilai nol yang selanjutnya disebut
model logit sedangkan model kedua
digunakan untuk menentukan peluang dari
peubah respon suatu amatanyang bernilai
selain nol (Long 1997).
Tujuan
Penelitian ini dilakukan dengan tujuan
sebagai berikut:
1. Membandingkan penduga parameter dari
regresi Poisson, regresi Binomial Negatif,
dan regresi ZIPuntuk data dengan banyak
jumlahamatan bernilai nol pada peubah

respon dengan kondisi overdispersi dan
tidak overdispersi.
2. Membandingkan penduga galat baku dari
penduga parameter dari regresi Poisson,
regresi Binomial Negatif, dan regresi ZIP
untuk data dengan banyak jumlah amatan
bernilai nol pada peubah respon dengan
kondisi overdispersi dan tidak overdispersi.

TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Poisson
Regresi Poisson sering digunakan untuk
memodelkan kejadian yang jarang terjadi
dengan data berupa data cacah. Fungsi
peluang dari sebaran Poisson dengan
parameter µ (Hardin & Hilbe 2007) adalah:

P (Y = y | µ ) =

exp(- µ ) µ

y

y!
dengany = 0, 1, 2, … dan µ > 0. Contoh plot
peluang sebaran Poisson dapat dilihat pada
Gambar 1.
Plot peluang sebaran Poisson

0.25

Keterangan
µ=3
µ=5
µ=8
µ=12

0.20

Peluang

PENDAHULUAN

0.15
0.10
0.05
0.00
0

10

20

30

40

50

y

Gambar 1 Plot peluang sebaran Poisson
Poisson juga merupakan bagian dari
keluarga
eksponensial,
sehingga
bisa
dituliskan:

P (Y = y | µ ) = exp { y ln( µ ) - µ - ln Γ ( y + 1)}
Kemudian nilai tengah parameter dapat ditulis:
E ( yi | xi ) = µi = exp(xi β)
sehingga model regresi Poisson (Long 1997)
adalah:
ln(µi )=xi β
=β 0 +β1 x i1 +β 2 x i2 +...+β k x ik +ε i
dengan:
i =
j =
xij =
β0 =

1, 2, ..., n
1, 2, ..., k
peubah penjelas ke-j, amatan ke-i
konstanta

2

βj

= koefisien regresi peubah penjelas
ke-j
n = banyaknya amatan
k = banyaknya peubah penjelas
Keluarga eksponensial biasanya ditulis dalam
bentuk:
 yθ − b (θ )

f y ( y; θ , φ ) = exp 
+ c( y, φ ) 
 a (φ )

Dengan θ adalah parameter natural dan ø
adalah skala yang dibutuhkan untuk
menghasilkan galat baku yang mengikuti
distribusi dalam keluarga eksponensial
(Hardin & Hilbe 2007). Gambar 2
memperlihatkan contoh plot hubungan antara
peubah respon dengan peubah penjelas pada
regresi Poisson.
P lo t re g re s i P o is s o n
30
25
20

Y 15
10
5

overdispersi dapat ditulis var(Y) > E(Y).
Sebaliknya, data yang ragam peubah respon
bernilai lebih kecil dari rata-rata peubah
respon
disebut
dengan
underdispersi
(McCullagh & Nelder 1989).
Long (1997) dalam Jackman (2007)
menyatakanoverdispersi dapat terjadi karena
adanya sumber keragaman yang tidak teramati
pada data atau adanya pengaruh peubah lain
yang mengakibatkan peluang terjadinya suatu
kejadian
bergantung
pada
kejadian
sebelumnya.
Overdispersi
akan
mengakibatkan
simpangan
baku
dari
parameter dugaan menjadi berbias ke bawah
(underestimate) dan signifikansi dari pengaruh
peubah penjelas menjadi berbias ke atas
(overstate) (Ismail & Jemain 2007).
Dugaan overdispersi dapat diukur melalui
rasio antara deviance dengan derajat bebasnya.
Jika rasio ini menghasilkan nilai yang lebih
besar dari satu, maka model tersebut dikatakan
mengalami overdispersi. Deviance model
regresi Poisson memiliki persamaan sebagai
berikut :
௡

0
0

Gambar 2

2

4

6

X

8

‫ ܦ‬ൌ ʹ ෍ ൜‫ݕ‬

10

௜ Ž

Plot hubungan peubah penjelas
dengan peubah respon pada
regresi Poisson

Pendugaan dari parameter koefisien regresi
Poisson dapat dilakukan dengan menggunakan
metode Maximum Likelihood Estimation
(MLE). Fungsi kemungkinan dari regresi
Poisson adalah (Yesilova et al. 2010a):
n

L(β) =

∏P( y | β)
i

i =1

(∑

n

exp =

i =1

{

[ exp(xiβ)]) ∏ [ exp(xiβ)]
n

∏

i =1

n

i =1

yi

}

yi !

dan
logaritma
natural
dari
kemungkinannya sebagai berikut:

fungsi

n

ln L(β ) = ∑ { yi x i β - exp( x i β ) - ln ( yi !)}
i =1

௜ୀ௜

௜
  െ ௜ െ ̂ ௜

̂ ௜

dengan yi merupakan nilai aktual amatan ke-i
dari peubah respon dan ̂ ௜ merupakan nilai
dugaan peubah respon untuk amatan ke-i
(Hardin & Hilbe 2007).Rasio dispersi(α) ini
dapat diuji secara formal dengan hipotesis
sebagai berikut :
H0 : α = 1
H1 : α > 1
Hipotesis nol ditolak jika D > χ2(n-p;α) (Halekoh
et al. 2007) dengan n adalah jumlah amatan
dan p adalah jumlah parameter.
Regresi Binomial Negatif
Regresi Binomial Negatif merupakan salah
satu
cara untuk
mengatasi
masalah
overdispersi pada data cacah yang didasarkan
pada model campuran Poisson-Gamma
(Hardin & Hilbe 2007). Fungsi peluang
Binomial Negatif adalah sebagai berikut :

(

)  αµ  y  1 α
P ( y | µ,α ) =

 

y ! Γ (α )  1 + αµ   1 + αµ 
Γ y +α

−1

−1

Overdispersi
Dalam model regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi. Asumsi tersebut
adalah nilai rata-rata dari peubah respon harus
bernilai sama dengan ragam peubah respon,
yang disebut juga ekuidispersi. Namun, dalam
analisis data cacah sering dijumpai data
dengan ragam peubah respon bernilai lebih
besar dari rata-rata peubah respon, biasa
disebut dengan overdispersi. Fenomena

dengan y merupakan nilai dari data cacah,µ
adalah nilai harapan y, dan α merupakan
parameter dispersi, α>0 (Yesilova et al.
2010b). Jika α 0, maka distribusi ini
mendekati sebaran Poisson(µ). Sebaran
Binomial Negatif memiliki nilai tengah
 

dan ragam 


  ଶ (Ismail
& Jemain 2007).

→

-1

3

Peubah respon didefinisikan sebagai
peubah acak berdistribusi Binomial Negatif
dengan fungsi penghubung log. Model regresi
yang akan dibentuk, yaitu :
ln(µ i )=x i β

=β 0 +β1 x i1 +β 2 x i2 +...+β k x ik
Parameter regresi Binomial Negatif (β) diduga
menggunakan
penduga
kemungkinan
maksimum.
Regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Model Regresi ZIP merupakan model
campuran untuk data cacahdengan banyak
nilai nol pada peubah respon. Model ini
merupakan kombinasi dari sebaran Poisson
dengan sebaran kejadian yang bernilai nol
(Cameron & Trivedi 1998). Berikut fungsi
sebaran dari ZIP:
 ω + (1 - ω ) exp(- µ ); y = 0
Pr(Y = y ) = 
y
(1 - ω ) exp ( - µ ) µ / y !; y > 0
dengan Y~ZIP(µ,ω). µ adalah parameter dari
sebaran Poisson, sedangkan ω adalah peluang
dari kejadian bernilai nol (Ridout et al. 1998).
Kemudian dari fungsi sebaran tersebut
didapatkan E(Y) dan var(Y) sebagai berikut:
E(Y)=(1-ω)µ

 ω  ( E (Y ))2

 1- ω 

var(Y ) = E (Y ) + 

Berdasarkan nilai di atas regresi ZIP tidak
mengasumsikan nilai var(Y)=E(Y) karena nilai
dari var(Y) ZIP lebih besar dari E(Y) sehingga
ZIP bisa digunakan untuk mengatasi masalah
overdispersi.
Model penghubung yang digunakan untuk
µ dan ω adalah

 ω  = Gγ

 1- ω 

ln( µ ) = X β dan ln 

X dan G adalah matriks peubah penjelas
(Yesilova et al. 2010b). Sedangkanβ dan γ
adalah vektor-vektor parameter model
berukuran (p+1)x1 dan (q+1)x1 yang akan
diduga nilainya. Peubah penjelas yang
digunakan dalam model log dapat bernilai
sama atau berbeda dengan peubah penjelas
yang digunakan dalam model logit. Jika
peubah penjelas yang digunakan dalam model
log dan model logit sama maka fungsi
penghubungnya menjadi
ln( µ ) = X β dan

 ω  = τ Xβ (Ridout et al. 1998).

 1- ω 

ln 

Fungsi log-likelihood untuk model ZIP
dapat ditulis sebagai:

n

(

(

))

lnL(β,γ)=∑ I(yi =0)ln exp ( gi γ ) +exp -exp ( xiβ ) +
i=1
n

∑(1-I ( y =0) ) ( y xiβ-exp ( xiβ) ) i

i

i=1
n

∑ ln (1+exp ( gi γ ) )
i=1

dengan I(yi=0) bernilai 1 jikayi=0 danbernilai
0
jikayiselainnya.
Pendugaankemungkinanmaksimumuntukβdan
γdiperolehdenganmenggunakanalgoritmaExpe
ctation-Maximization
(EM)
(Cameron
&Trivedi 1998).
Evaluasi Penduga Parameter dan Penduga
Galat Baku Relatif
Menurut Savic (2009) akurasi nilai
penduga parameter dapat dilihat dari nilai bias
relatif (BR) dan Root Mean Square Error
(RMSE). Persamaan dari nilai bias relatif
adalah:

BR=

1

 βɵi -β 
x100%
β 
i=1 
r

∑
r

Menurut Muzathik (2011) jika nilai bias relatif
terletak dalam selang -10% sampai 10% maka
penduga parameter tersebut dapat diterima.
Sedangkan nilai RMSE dapat diketahui dari
persamaan:

RMSE=

1

r

∑ ( βɵ -β )
r

2

i

i=1

dengan:
r = banyaknya data dugaan

୧ = penduga ke-i parameter

= parameter yang sebenarnya.
Semakin kecil nilai bias relatif dan nilai
RMSE maka model dikatakan semakin baik.
Sedangkan jika ingin mengetahui nilai
penduga galat baku relatif dapat dicari dengan
membagi antara galat baku penduga dengan
penduga
parameter.
Kemudian
untuk
mengetahui nilai galat baku relatif sebenarnya
dapat menggunakan persamaan (Savic 2009):

1 r  βɵ i -β 
sd (βɵ )=
∑ 
r i=1  β 

2

*

METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data hasil
simulasi dengan parameter yang telah
ditentukan. Data yang dibangkitkan digunakan
untuk mendapatkan penduga parameter dari

4

regresi Poisson, regresi Binomial Negatif, dan
regresi ZIP. Data yang dibangkitkan adalah
data dengan banyak jumlah amatan bernilai
nol (excess zero) pada peubah respon dengan
kondisi overdispersi dan tidak overdispersi.
Pada data overdispersi, persentase jumlah
amatan pada peubah respon yang bernilai nol
ditentukan sebesar 40%, 60%, dan 80%.
Besaran parameter dan peubah yang
ditentukan
untuk
membuat
model
ln(µ)=β0+β1X1i+β2X2i, adalah:
1. Parameter koefisien regresi:
a. Untuk data tanpa overdispersi:
β0=1.5, β1=-ln(2), β2=ln(3)
b. Untuk data dengan overdispersi:
β0=1, β1=0.4, β2=0.6, dan τ yang
berbeda-beda untuk setiap persentase
amatan pada peubah respon yang
bernilai nol. Untuk 40% τ ditetapkan
sebesar -0.15, untuk 60% τ=0.175, dan
untuk 80% τ=0.5
2. Peubah bebas:
a. Untuk data tanpa overdispersi:
peubah X1 adalah peubah acak yang
menyebar Normal (5,2) dan peubah X2
adalah peubah acak yang menyebar
Seragam (1,2). X1 dan X2 diasumsikan
sebagai peubah tetap.
b. Untuk data dengan overdispersi:
Peubah X1 adalah peubah acak yang
menyebar Normal (3,1), sedangkan X2
adalah peubah acak yang menyebar
Seragam (0,2). X1 dan X2 diasumsikan
sebagai peubah tetap.
3. Peubah respon:
Peubah respon Yi merupakan data yang
akan dibangkitkan. Dalam simulasi ini
peubah respon yang dibangkitkan adalah
a. Peubah respon dengan banyak jumlah
amatan bernilai nol pada kondisi tanpa
overdispersi (α=0).
b. Peubah respon dengan banyak jumlah
amatan bernilai nol pada kondisi
overdispersi.
4. Respon yang diamati dalam penelitian
sebanyak n=60, 100, dan 200. Untuk
memperoleh hasil pendugaan yang
mewakili populasi maka pembangkitan
data diulang sebanyak r=1000 kali.

1.
2.

3.

Metode Simulasi
Membangkitkan n buah data peubah
penjelasX1 dan peubah bebas X2.
Menghitung nilai µ pada masing-masing
amatan dengan cara µi=exp(β0+β1x1i+
β2x2i).
Membangkitkan peubah respon:

a.

4.
5.
6.

7.

8.
9.

10.

11.
12.

13.

Pada data yang tidak mengalami
overdispersi, data respon didapat
dengan cara membangkitkan n buah
data peubah respon yang menyebar
Poisson (µi).
b. Pada
data
yangmengalami
overdispersi, data respon didapat
dengan cara:
1) Menghitung parameter γ0=τβ0,
γ1= τβ1,dan γ2= τβ2
2) Menghitung nilai ωi pada
masing-masing amatan dengan
cara:
exp ( γ 0 +γ1 x 1i +γ 2 x 2i )
ωi =
1+exp ( γ 0 +γ1 x 1i +γ 2 x 2i )
3) Membangkitkan
variabel
c
dengan cara membangkitkan n
buah data yang menyebar
Seragam (0,1).
4) Membangkitkan variabel Yp
dengan cara membangkitkan
bilangan acak yang menyebar
Poisson (µi).
5) Membandingkan variabel c pada
tiap amatan dengan nilai ωi.
Apabila ci>ωi maka Yi=Yp,
sedangkan apabila ci≤ωimaka
Yi=0.
Mencatat nilai peubah respon dan semua
peubah penjelas.
Menghitung jumlah data respon yang
bernilai nol.
Melakukan
pendugaan
parameter
menggunakan regresi Poisson, regresi
Binomial Negatif, dan regresi ZIP.
Mencatat nilai deviance yang dihasilkan
dari regresi Poisson dan menghitung nilaip yang digunakan untuk melakukan uji
formal overdispersi.
Mencatat nilai pendugaan parameter dari
masing-masing metode regresi.
Mencatat penduga galat baku dari masingmasing penduga parameter untuk ketiga
metode regresi.
Menghitung nilai bias relatif, nilai mutlak
bias relatif mutlak (ARB/Absolute
Relative Bias), dan Mean Square Error
(MSE) dari masing-masing penduga
parameter.
Mengulangi langkah 1-10 1000 kali
Menghitung rata-rata nilai-p dan ratarataamatanyang bernilai nol pada peubah
respon.
Membuat diagram kotak garis dari nilainilai bias relatif masing-masing penduga
parameter dari regresi Poisson, regresi
Binomial Negatif,dan regresi ZIP.

5

14. Menghitung rata-rata dari 1000 nilai bias
relatif mutlak dan MSE dari masingmasing penduga parameter untuk ketiga
metode.
15. Menghitung rata-rata dari penduga galat
baku masing-masing penduga parameter
untuk ketiga metode
16. Menghitung galat baku sebenarnya dari
penduga parameter pada ketiga metode
regresi, dengan rumus:

sd*(βɵ )=

1

1000

βɵ -β )
(
∑
n

2

i

i=1

17. Melihat nilai mutlak bias relatif dan MSE
dari penduga parameter serta nilai galat
baku duga dan sebenarnya dari
setiappenduga parameter untuk ketiga
metode.
Diagram alir dari metode simulasi dapat
dilihat pada Lampiran 1.

besar dibandingkan yang lain tetapi
perbedaannya tidak signifikan. Dari hasil nilai
mutlak bias relatif dan MSE yang dihasilkan
dapat dikatakan bahwa regresi Poisson, regresi
Binomial Negatif, dan regresi ZIP sama
baiknya dalam pendugaan parameter untuk
data yang tidak mengalami overdispersi.
Namun, regresi Poisson dan regresi Binomial
Negatif lebih efektif digunakan dalam
pendugaan parameter karena pada regresi ZIP
selain menduga parameter β (model log) juga
dilakukan pendugaan terhadap parameter γ
(model logit).
Tabel 1 Rata-rata nilai-p dan jumlah amatan
bernilai nol pada peubah respon dari
setiap set data
Ditetapkan
n

HASIL DAN PEMBAHASAN
60

Mendeteksi Overdispersi
Adanya overdispersi pada data hasil
simulasi dapat dideteksi dengan menggunakan
nilai deviance atau nilai-p yang terbentuk.
Pendeteksian overdispersi untuk data hasil
simulasi dapat dilihat pada Tabel 1. Pada data
cacah yang tidak mengandung overdispersi
(α=0), pengujian rasio dispersi menghasilkan
nilai peluang yang lebih besar dari taraf nyata
yang ditentukan, yaitu sebesar 5%, artinya
data cacah hasil simulasi tersebut terbukti
tidak mengandung overdispersi. Sedangkan
pada data cacah yang
mengandung
overdispersi (α>0), uji formal untuk rasio
dispersi memiliki nilai pelung yang lebih kecil
dari taraf nyata yang ditentukan, artinya data
cacah yang dibangkitkan terbukti mengalami
overdispersi.
Data Tidak Overdispersi
Data cacah yang tidak mengalami
overdispersi dianalisis menggunakan regresi
Poisson, regresi Binomial Negatif, dan regresi
ZIP. Ketiga metode ini menghasilkan penduga
parameter yang mendekati nilai parameter
sebenarnya. Semakin besar ukuran contoh
maka nilai penduga parameter yang dihasilkan
akan semakin dekat dengan parameter yang
sebenarnya.Tabel 2 memperlihatkan bahwa
nilai mutlak bias relatifdan MSE dari ketiga
metode pada setiap parameter bernilai kecil.
Selain itu, nilai mutlak bias relatifdan MSE
antar metode menghasilkan nilai yang hampir
sama. Nilai mutlak bias relatif dan MSE pada
regresi ZIP memiliki nilai yang sedikit lebih

100

200

Hasil simulasi

Parameter
dispersi

Jumlah
nol

Jumlah
nol

Nilai-p

Keterangan

α=0

-

46.22%

0.583

Ekuidispersi

α>0

40%

39.67%

0

Overdispersi

α>0

60%

62.07%

0

Overdispersi

α>0

80%

79.44%

0

Overdispersi

α=0

-

46.47%

0.632

Ekuidispersi

α>0

40%

39.72%

0

Overdispersi

α>0

60%

61.89%

0

Overdispersi

α>0

80%

79.80%

0

Overdispersi

α=0

-

46.39%

0.693

Ekuidispersi

α>0

40%

39.74%

0

Overdispersi

α>0

60%

62.00%

0

Overdispersi

α>0

80%

79.96%

0

Overdispersi

Sebaran nilai bias relatif dari masingmasing penduga parameter untuk semua data
disajikan dalam diagram kotak garis pada
Lampiran 2. Berdasarkan diagram kotak garis
tersebut dapat dilihat bahwa nilai tengah dari
bias relatif untuk semua parameter dari seluruh
data yang tidak mengalami overdispersi
mendekati nol.
Pada penelitian ini juga dilakukan
pendugaan terhadap galat baku dari penduga
parameter regresi. Ketiga metode regresi ini
menghasilkan penduga galat baku yang
mendekati nilai galat baku sebenarnya dari
setiap penduga parameter regresi. Nilai
penduga galat baku dari penduga parameter
dan galat baku sebenarnya dapat dilihat pada
Tabel 3. Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa
penduga galat baku dari ketiga metode regresi
menghasilkan nilai yang hampir sama dengan
nilai galat baku sebenarnya dari penduga
parameter. Pada regresi ZIP menghasilkan

6

Tabel 2 Nilai mutlak bias relatif (ARB) dan MSE dari setiap penduga parameter regresi pada data
yang tidak overdispersi
Poisson
Binomial Negatif
ZIP
n
Parameter
ARB(%)
MSE
ARB(%)
MSE
ARB(%)
MSE
60

100

200

b0

34.664

0.437

34.888

0.443

35.590

0.473

b1

6.832

0.004

6.929

0.004

8.508

0.006

b2

28.730

0.160

28.943

0.162

30.612

0.180

b0

24.440

0.216

24.538

0.218

25.096

0.236

b1

4.897

0.002

4.931

0.002

5.719

0.003

b2

20.224

0.079

20.224

0.079

21.002

0.088

b0

17.160

0.104

17.303

0.106

17.662

0.111

b1

3.262

0.001

3.290

0.001

3.728

0.001

b2

14.284

0.040

14.462

0.040

14.955

0.043

selisih antara penduga galat baku dengan galat
baku sebenarnya yang sedikit lebih besar
dibandingkan regresi Poisson dan regresi
Binomial Negatif tetapi selisih atau perbedaan
tersebut tidak terlalu signifikan.
Plot sisaan dengan nilai Y
Keterangan

6

Poisson
Binomial Negatif
ZIP

Sisaan

4
2
0
-2
-4

0

2

4

6

Y

8

10

12

Gambar 3 Plot antara sisaan dengan nilai Y
dari ketiga model pada data tidak
overdispersi
Contoh plot sisaan dari ketiga model
regresi dengan setiap nilai Y atau setiap
amatan pada salah satu set data (n=100) dapat
dilihat
pada
Gambar
3.
Plot
ini
memperlihatkan
bahwa
residual
yang
terbentuk menghasilkan nilai yang hampir
sama untuk model regresi Poisson, regresi
Binomial Negatif, dan regresi ZIP. Hal ini
menunjukkan ketiga model memberikan hasil
penduga parameter yang sama baiknya.
Data Overdispersi
Data cacah yang mengalami overdispersi
dibangkitkan dengan berbagai persentase
jumlah amatan yang bernilai nol pada peubah
responnya. Hal ini dilakukan untuk
mengetahui
penduga
parameter
yang
dihasilkan menggunakan regresi Poisson,

regresi Binomial Negatif, dan regresi ZIP
dalam berbagai kondisi jumlah amatan yang
bernilai nol pada peubah respon. Penelitian ini
ingin melihat seberapa besar penyimpangan
yang terjadi pada data cacah yang mengalami
overdispersi dengan banyak jumlah amatan
yang bernilai nol pada peubah respon jika
dianalisis menggunakan regresi Poisson dan
regresi Binomial Negatif.
Pada data yang mengalami overdispersi
dengan persentase jumlah amatan yang
bernilai nol pada peubah respon sebesar 40%,
60%, dan 80%, regresi Poisson dan regresi
Binomial Negatif tidak tepat digunakan dalam
pendugaan parameter karena penduga
parameter regresi yang dihasilkan sangat jauh
dari nilai parameter sebenarnya. Nilai
mutlakbias relatif dan MSE yang dihasilkan
untuk persentase jumlah amatan yang bernilai
nol pada peubah respon sebesar 60% dapat
dilihat pada Tabel 4 dan selengkapnya terdapat
pada Lampiran 3.
Semakin besar
ukuranpersentase jumlah amatan yang bernilai
nol pada peubah respon maka nilai mutlak bias
relatif dan MSE yang dihasilkan akan semakin
besar. Semakinbesar ukuran contoh maka nilai
mutlak bias relatif dan MSE dari masingmasing penduga parameter akan semakin
kecil.
Pada
keseluruhan
data
yang
dibangkitkan, nilai mutlak bias relatif dan
MSE yang dihasilkan oleh regresi Poisson dan
regresi Binomial Negatif jauh lebih besar
daripada yang dihasilkan oleh regresi ZIP.
Bahkan untukpersentase jumlah amatan
dengan peubah respon yang bernilai nol
sebesar 80% padajumlah amatan (n) sebesar
60 dan 100 regresi Binomial Negatif tidak bisa
menghasilkan iterasi yang konvergen yang
menyebabkan tidak ada penduga parameter
yang dihasilkan. Dari nilai mutlak bias relatif

7

Tabel 3 Galat baku dugaan dan galat baku sebenarnyadari penduga parameter regresi pada data
yang tidak overdispersi
Poisson
Binomial Negatif
ZIP
n
Parameter
Dugaan
Sebenarnya
Dugaan
Sebenarnya
Dugaan
Sebenarnya
60

100

200

b0

0.614

0.661

0.629

0.665

0.635

0.688

b1

0.061

0.061

0.063

0.062

0.067

0.076

b2

0.373

0.399

0.383

0.402

0.388

0.425

b0

0.455

0.465

0.464

0.466

0.469

0.486

b1

0.043

0.044

0.044

0.044

0.046

0.052

b2

0.277

0.280

0.283

0.281

0.287

0.297

b0

0.308

0.323

0.314

0.325

0.317

0.334

b1

0.028

0.029

0.029

0.029

0.030

0.033

b2

0.188

0.199

0.191

0.200

0.194

0.208

dan MSE yang dihasilkan menunjukkan
bahwa penduga parameter yang dihasilkan
oleh regresi Binomial Negatif dan regresi
Poisson tidak sesuai dengan parameter
sebenarnya atau parameter yang ditetapkan.
Pada Tabel 4 dan Lampiran 4 nilai mutlak bias
relatif dan MSE dari regresi ZIP memiliki nilai
yang kecil untuk keseluruhan data yang telah
dibangkitkan dengan kriteria yang ditentukan.
Hal ini menunjukkan bahwa regresi ZIP baik
digunakan dalam pendugaan parameter untuk
data yang mengalami overdispersi dengan
seluruh jenis persentase jumlah amatan
bernilai nol pada peubah respon yang telah
ditetapkan.
Sebaran nilai bias relatif dari masingmasing penduga parameter untuk semua data
yang mengalami overdispersi dengan berbagai
persentase jumlah amatan yang bernilai nol
pada peubah respon disajikan dalam diagram
kotak garis pada Lampiran 3. Berdasarkan
diagram kotak garis tersebut dapat dilihat
bahwa nilai tengah dari bias relatif untuk
semua parameter regresi ZIP sangat dekat
dengan nol. Hal ini menunjukkan parameterparameter yang dihasilkan oleh regresi ZIP
tidak berbias.
Pengaruh overdispersi pada regresi Poisson
terlihat jelaspada penduga galat baku koefisien

regresi yang dihasilkan. Pada data yang tidak
mengalami overdispersi, nilai galat baku dari
koefisien regresi Poisson mendekati nilai
galat baku sebenarnya. Namun pada data yang
mengalami overdispersi,nilai galat baku dari
penduga parameter regresi Poisson menjadi
lebih kecil dari nilai galat baku sebenarnya
(underestimate). Kondisi ini juga terjadi pada
penduga dari galat baku penduga parameter
yang dihasilkan oleh regresi Binomial Negatif.
Nilai penduga galat baku dari penduga
parameter dan nilai galat baku sebenarnya dari
penduga parameter regresi ketiga model untuk
persentase jumlah amatan dengan peubah
respon yang bernilai nol sebesar 60% dapat
dilihat pada Tabel 5 dan selengkapnya terdapat
pada Lampiran 5. Pada Tabel 5 dan Lampiran
5 juga dapat dilihat bahwa regresi ZIP
menghasilkan penduga galat baku yang
mendekati nilai galat baku sebenarnya dari
setiap penduga parameter regresi. Dari
penduga parameter dan penduga galat baku
yang dihasilkan menunjukkan bahwa regresi
ZIP mampu mengatasi overdispersi pada
regresi Poisson dengan data yang memiliki
banyak jumlah amatan yang bernilai nol pada
peubah respon.

Tabel 4 Nilai mutlak bias relatif (ARB) dan MSE pada persentase jumlah amatan dengan peubah
respon yang bernilai nol sebesar 60%
Persentase
respon bernilai
nol

Jumlah
amatan

60%

60

Parameter

Poisson

Binomial Negatif

ZIP

ARB (%)

MSE

ARB (%)

MSE

ARB (%)

MSE

b0

88.379

1.180

86.033

1.100

18.207

0.053

b1

45.247

0.052

44.427

0.050

11.243

0.003

b2

47.146

0.131

46.984

0.130

13.014

0.010

8

Persentase
respon bernilai
nol

Jumlah
amatan

Poisson

Parameter

100
60%
200

Binomial Negatif

ZIP

ARB (%)

MSE

ARB (%)

MSE

ARB (%)

MSE

b0

84.191

1.041

83.560

1.016

13.037

0.027

b1

37.143

0.034

36.747

0.033

8.162

0.002

b2

37.518

0.079

37.322

0.078

9.560

0.005

b0

78.369

0.787

78.306

0.784

9.231

0.013

b1

24.863

0.016

24.816

0.016

5.587

0.001

b2

27.510

0.043

27.511

0.043

6.795

0.003

dari model regresi ZIP berada sekitar nilai nol.
Hal ini menunjukkan bahwa pada data
overdispersi dengan banyak jumlah amatan
yang bernilai nol pada peubah respon, regresi
ZIP akan menghasilkan pendugaan model
yang lebih baik.

Plot sisaan dengan nilai Y
50

Keterangan

Poisson
Binomial Negatif
ZIP

40
30
20

na
sai 10
S

0

KESIMPULAN DAN SARAN

-10
-20
-30

0

20

40

Y

60

80

Kesimpulan
Parameter dugaan yang dihasilkan oleh
regresi ZIP memberikan hasil yang lebih baik
dibandingkan regresi Poisson dan regresi
Binomial Negatif pada data yang mengandung
overdispersi dengan banyak jumlah amatan
yang bernilai nol pada peubah respon.
Penerapan regresi ZIP pada data yang
mengalami overdispersi dengan banyak
jumlah amatan yang bernilai nol pada peubah
respon menghasilkan penduga galat baku yang
hampir sama dengan nilai galat baku
sebenarnya dari masing-masing penduga
parameter. Pada data yang mengandung
overdispersidengan banyak jumlah amatan
yang bernilai nol pada peubah respon,

100

Gambar 4 Plot antara sisaan dengan nilai Y
dari ketiga model pada data
overdispersi
Plot sisaan dari ketiga model regresi
dengan setiap nilai Y atau setiap amatan pada
salah satu set data yang mengalami
overdispersi yaitu n=100 dengan persentase
jumlah amatan yang bernilai nol pada peubah
respon sebesar 60 % dapat dilihat pada
Gambar 4. Plot ini memperlihatkan bahwa
residual yang terbentuk dari model regresi ZIP
menghasilkan nilai yang lebih baik dari model
regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif
karena sebagian besar sisaan yang dihasilkan

Tabel 5 Galat baku dugaan dan galat baku sebenarnya penduga parameter pada persentase jumlah
amatan dengan peubah respon yang bernilai nol sebesar 60%
Persentase
respon
bernilai nol

Jumlah
amatan

60

60%

100

200

Poisson

Binomial Negatif

ZIP

Parameter
Dugaan

Sebenarnya

Dugaan

Sebenarnya

Dugaan

Sebenarnya

b0

0.210

1.086

0.241

1.049

0.225

0.231

b1

0.052

0.228

0.061

0.224

0.056

0.057

b2

0.093

0.362

0.109

0.360

0.097

0.100

b0

0.159

1.020

0.165

1.008

0.166

0.166

b1

0.039

0.185

0.041

0.183

0.041

0.041

b2

0.070

0.281

0.073

0.279

0.071

0.073

b0

0.111

0.887

0.112

0.886

0.113

0.116

b1

0.027

0.125

0.027

0.125

0.028

0.028

b2

0.048

0.208

0.049

0.208

0.049

0.051

9

regresi ZIP dapat memberikan uji signifikansi
peubah bebas yang lebih berarti dibandingkan
regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif.
Padadata yang tidak mengalami overdispersi,
regresi Poisson, regresi Binomial Negatif, dan
regresi ZIP memberikan hasil yang sama
baiknya dalam penduga parameter dan
penduga galat baku.
Semakin besar ukuran contoh atau jumlah
amatan maka nilai mutlak bias relatif dan
MSE dari masing-masing parameter akan
semakin kecil. Sedangkan semakin besar
persentase jumlah amatan yang bernilai nol
pada peubah respon maka nilai mutlak bias
relatif dan MSE dari masing-masing parameter
untuk tiap metode akan semakin besar.
Saran
Hal yang perlu diberikan perhatian dalam
penelitian ini adalah penentuan parameter,
persentase jumlah amatan yang bernilai nol
pada peubah, dan ukuran contoh. Tentunya
akan lebih menarik jika parameter, persentase
jumlah amatan yang bernilai nol pada peubah
respon, jenis peubah bebas, dan ukuran contoh
yang ditetapkan lebih bervariasi agar lebih
dapat mewakili populasi sehingga akan
diperoleh kesimpulan yang lebih mewakili
kondisi yang sebenarnya di lapangan.

DAFTAR PUSTAKA
Cameron AC, Trivedi PK. 1998. Regression
Analysis of Count Data. Cambridge:
Cambridge University Press.
Halekoh
U,
Hojsgaard
S.
2007.
Overdispersion. Denmark: Unit of
Statistics and Decision Analysis, The
Faculty
of
Agricultural
Sciences,
University of Aarhus.
Hardin JW, Hilbe JM. 2007. Generalized
Linear Models and Extensions. Texas: A
Stata Press Publication.
Ismail N, Jemain AA. 2007. Handling
Overdispersion with Negative Binomial
and Generalized Poisson Regression
Models. Virginia: Casualty Actuarial
Society Forum.
Jackman S. 2007. Models for Counts Political
Science.
[terhubung
berkala].
http://jackman.stanford.edu/classes/350C/
Poisson.pdf [4 Mei 2012].
Long JS. 1997. Regression Models for
Categorical and Limited Dependent
Variables. Number 7 in Advance
Quantitive Techniques in The Social
Sciences. California: Sage Publications.

McCullagh P, Nelder JA. 1989. Generalized
Linear Models. London: Chapman &
Hall.
Muzathik MA, Nik WBW, Samo KB, Sopian
K, Alghoul MA. 2011. Daily Global
Solar Radiation Estimate Based on
Sunshine Hours.International Journal of
Mechanical and Materials Engineering
(IJMME), Vol.6 (2011), No.1, 75-80
Ridout M, Demetrio CGB, Hinde JP. 1998.
Models for Counts Data with Many
Zeros.
Proceedings
of
XIXth
International Biometric Conference,
Cape Town, Invited Papers, pp. 179-192.
Savic R. 2009. Performance in Population
Models for Count Data, Part II: A New
SAEM algorithm. Paris: Universite ParisDiderot-Paris VII.
Yesilova A, Kaya Y, Kaki B, Kasap I. 2010.
Analysis of Plant Protection Studies with
Excess Zeros Using Zero-Inflated and
Negative Binomial Hurdle Models.
Turkey: Gazi University Journal of
Science.
Yesilova A, Kaydan MB, Kaya Y. 2010.
Modelling Insect-Egg Data with Excess
Zeros Using Zero-Inflated Regression
Models. Turkey: Faculty of Science,
Hacettepe University.

LAMPIRAN

11

Lampiran 1 Diagram alir metode simulasi
Non-overdispersi

Menentukan jumlah amatan (n)
n=60, 100, dan 200

Overdispersi

Membangkitkan X1i dan X2i
X1i ~ Normal (5,2);
X2i ~ Seragam (1,2)

Membangkitkan X1i dan X2i
X1i ~ Normal (3,1);
X2i ~ Seragam (0,2)

Menghitung nilai µ i
µ i=exp(β0+β1X1i+β2X2i)
β0=1.5; β1=-ln(2); β2=ln(3)

Menghitung nilai µ i
µ i=exp(β0+β1X1i+β2X2i)
β0=1; β1=0.4; β2=0.6

Menentukan persentase
amatan yang bernilai nol
(40%, 60%, dan 80%)

Yi~Poisson (µ i)

Menghitung parameter
γ0=τβ0, γ1=τβ1, dan γ2=τβ2
τ40%=-0.15; τ60%=0.175; τ80%=0.5

Menghitung nilai





       


         
























Membangkitkan variabel ci ~ Seragam(0,1)

Yi=0

Ya