bebas dari n
i
, dan menambahkannya pada persamaan 2.14 kita dapatkan hailnya sebagai berikut:
∑
− −
+
i i
i i
n g
n
δ βε
α
ln ln
= 0 2.18
Dalam masing-masing persamaan yang harus dijumlahkan menjadi persamaan 2.18 variasi
i
n δ secara efektif merupakan variabel bebas. Supaya persamaan 2.18 di
penuhi, kuantitas dalam tanda kurung harus 0 untuk setiap harga I, jadi - ln n
i i
- -
g ln
βε α
+
i
= 0 sehingga kita dapatkan hukum distribusi Maxwell-Boltzmann
n
i
=
βε α −
−
e e
g
i
2.19 Rumus ini memberi banyaknya molekul n
i
yang memiliki energi
i
ε dinyatakan dalam banyaknya sel dalam ruang fase g
i
yang memiliki energi
i
ε dan kuantitas α serta β .
Kuantitas e
βε α −
−
e dalam persamaan 2.19 menjadi fungsi distribusi Ae
kT ε
−
dari persamaan e A
=
α
, suatu cara untuk menulis e
α −
, dan jika 1kT.
= β
Hubungan yang terakhir ini dapat diturunkan dengan memberi syarat bahwa energi interanal total
dari sebuah sistem dari N molekul pada temperature mutlak T ialah 2
3 NkT.
2.2.3 Distribusi Bose-Einstein
Dasar pembeda antara statistika Maxwell-Boltzmann dan statistika Bose-Einstein ialah yang terdahulu mengatur partikel identik yang dapat dibedakan dengan suatu
cara tertentu, sedangkan yang mengatur partikel identik yang tidak dapat dibedakan, walaupun partikel itu dapat dicacah. Dalam statistika Bose-Einstein, semua keadaan
kuantum dianggap berpeluang sama untuk di
Partikel pembatas
2 0 1 3 6 2 2 0 1 2 1
gambar 2.2
Universitas Sumatera Utara
Banyaknya partikel tak terbedakan =
i
n
= 20 Banyaknya pembatas = g
i
- 1 = 11 Banyaknya
sel g
i
= 12
Sehingga g
i
menyatakan banyaknya keadaan yang memiliki energi sama ε
i
. Setiap keadaan kuantum bersesuain dengan satu sel dalam ruang fase, dan langkah kita yang
pertama ialah menetukan banyaknya cara n
i
partikel tak terbedakan dapat didistribusikan dalam sel
i
g . Untuk mencarinya, kita anggap deretan n
i
+ g
i
- 1 benda yang diletakkan dalam gambar I-ii . Kita perhatikan bahwa g
i
- 1 benda dapat dianggap sebagai pembatas yang memisahkan g
i
selang, sedangkan seluruh deretan mengambarkan n
i
partikel yang diatur dalam g
i
sel. Dalam gambar itu g
i
= 12 dan n
i
= 20; 11 pembatas memisahkan 20 partikel menjadi 12 sel. Sel pertama berisi dua partikel, yang kedua
tidak ada, yang ketiga satu partikel, yang keempat tiga partikel, dan seterusnya. Terdapat n
i
+ g
i
- 1 Permutasi n
i
partikel diantara mereka dan g
i
-1 Permutasi dari g
i
- 1 pembatas yang tidak mempengaruhi distribusi dan tak relevan. Jadi terdapat
1 1
g
i
− −
+
i i
i
g n
n
Pengaturan yang berbeda mungkin dari n
i
partikel tak terbedakan diantara g
i
sel. Banyaknya cara W supaya N partikel dapat didistribusikan ialah perkalian
W = Π
1 1
g
i
− −
+
i i
i
g n
n
2.20 Dari banyaknya pengaturan yang berbeda dari partikel diantara keadaan yang
memiliki energi tertentu. Kita anggap n
i
+ g
i
1 Sehingga n
i
+ g
i
- 1 dapat diganti dengan n
i
+ g
i
, dan dianggap mengambil logaritma natural dari persamaan 2.20 didapatkan
ln W =
∑
− −
− +
] 1
ln ln
[ln
i i
i i
g n
g n
Rumus Strilling ln n = n ln n – n memperbolehkan kita untuk menulis ln W sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Ln W
=
∑
− −
− −
+ +
] 1
ln ln
ln [
i i
i i
i i
i i
g g
n n
g n
g n
2.21 Persyaratan supaya distribusi ini berpeluang terbesar ialah perubahan kecil
i
n δ dalam
setiap n
i
individual tidak mempengaruhi harga W. Jika perubahan ln W yaitu δ ln W
terjadi ketika n
i
berubah dengan
i
n δ , persyaratan tersebut dapat ditulis sebagai
berikut:
max
ln W
δ = 0
Jadi, jika W dari persamaan 2.21 menyatakan maksimum maka:
max
ln W
δ =
∑
− +
i i
i i
n n
g n
δ
] ln
[ln
= 0 Disini kita telah membahas fakta
n n
n δ
δ 1
ln =
2.22 Seperti sebelumnya kita memasukkan kekekalan jumlah partikel dengan
menyatakan dalam bentuk
∑
i
n
δ = 0 Dan kekekalan energi, dalam bentuk
∑
i i
n
δ ε
= 0 Dengan mengalikan persamaan yang terdahulu dengan -
α dan yang kemudian - β
dan menambahkannya pada persamaan
max
ln W
δ =
∑
− +
i i
i i
n n
g n
δ
] ln
[ln
= 0 kita dapatkan:
∑
− −
− +
] ln
[ln
i i
i i
n g
n βε
α
i
n δ = 0
Karena secara efektif
i
n δ bebas, maka kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk
setiap harga i. Jadi Ln
= −
− +
i i
i i
n g
n
βε α
1 +
i i
n g
=
β α
e e
Dan
n
i
=
1 −
i
e e
g
i
βε α
2.23 karena
β = -1kT, maka kita dapatkan hokum distribusi Bose-einstein
Universitas Sumatera Utara
n
i
=
1
kT
−
i
e e
g
i
ε α
2.24
2.2.4 Distribusi Fermi-Dirac
