n
i
=
1
kT
−
i
e e
g
i
ε α
2.24
2.2.4 Distribusi Fermi-Dirac
Statistika Fermi-Dirac berlaku untuk partikel takterbedakan yang diatur oleh prinsip eksklusi. Penurunan kita mengenai hokum distribusi Fermi-Dirac akan sejajar denagn
hokum distribusi Bose-Einstein kecuali sekarang setiap yaitu, keadaan kuantum dapat diisi paling banyak 1 partikel.
Jika ada g
i
sel yang berenergi sama
i
ε dan ada n
i
partikel, maka n
i
sel terisi dan g
i
-
i
n Permutasi sel kosong di antara mereka yang tak relevan karena sel itu tidak ada isinya. Jadi banyaknya pengaturan partikel diantara sel ialah
i i
i i
n g
n g
−
Peluang W dari seluruh distribusi partikel ialah perkalian W
= Π
i i
i i
n g
n g
−
2.25 Dengan mengambil logaritma natural dari kedua ruas,
ln W =
∑
− −
− ]
ln ln
[ln
i i
i i
n g
n g
2.26 kemudian dengan memakai rumus stirling ln n = n ln n-n, kita dapat menulisnya
dalam bentuk ln W =
∑
− −
− −
] ln
ln ln
[
i i
i i
i i
i i
n g
n g
n n
g g
2.27 supaya distribusi ini menyatakan peluang terbesar, perubahan kecil
i
n δ dari setiap n
i
individual harus tidak berubah W. Jadi
max
ln W
δ =
∑
− +
−
i i
n n
g n
δ
] ln
ln [
1 1
= 0 2.28
Kita memperhitungkan kekekalan jumlah partikel dan kekekalan energi dengan menambahkan
-
∑
i
n
δ α
= 0 Dan
-
∑
= 0
i i
n
δ ε
β Dari persamaan 2.28 maka diperoleh
Universitas Sumatera Utara
∑
− −
− +
−
i
n i
i i
i
n g
n
δ
βε α
]
ln ln
[
= 0 2.29
Karena
i
n δ secara efektif bebas, kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk setiap
I, sehingga ln
= −
− −
i i
i i
n n
g
βε α
ln
i
-
e ln
βε α
= −
i i
i
n n
g
i
e n
g
i i
βε α −
= −1
1 +
=
−
i
e n
g
i i
βε α
i
g = 1
+
+
i
e n
i βε
α
n
i
= 1
+
+
i
e g
i βε
α
subsitusi kT
1 −
= β
, dan
kT
f
ε α
=
n
i
=
1 +
kT i
i
e e
g
ε α
2.30
2.2.5 Fungsi Gelombang
Kuantitas variabel yang memeberi karakterisasi de Broglie disebut fungsi gelombang yang diberi lambang
ψ huruf yunani psi. Harga fungsi gelombang yang berkaitan dengan sebuah benda bergerak pada suatu titik tertentu x,y,z dalam ruang pada saat t
berpautan dengan peluang untuk mendapatkan benda tersebut di tempat tersebut pada saat t, namun
ψ sendiri tidak mempunyai arti fisis langsung. Terdapat alasan yang sederhana mengapa
ψ tidak dapat langsung ditafsirkan berdasarkan eksperimen. Peluang kemungkinan P bahwa sesuatu berada di suatu tempat pada suatu saat
mempunyai harga diantara dua batas: 0 yang bersesuain dengan absennya, dan 1 bersesuaian dengan kehadirannya. Peluang 0,2 misalnya, menyatakan 20 untuk
mendapatkan benda itu, namun amplitudo suatu gelombang dapat berharga negative tidak mempunyai arti. Jadi
ψ itu sendiri tidak bias merupakan kuantitas yang teramati.
Universitas Sumatera Utara
Keberatan tersebut tidak berlaku untuk
2
ψ , kuadrat dari harga mutlak fungsi gelombang yang dikenal sebagai kerapatan peluang. Peluang untuk secara
eksperimental mendapatkan benda yang diberikan oleh fungsi gelombang ψ pada titik
x,y,z pada saat t berbanding lurus dengan harga
2
ψ di tempat itu pada saat t. Harga
2
ψ yang besar menyatakan peluang yang besar untuk mendapatkan benda itu. Selama
2
ψ tidak nol, terdapat peluang tertentu untuk mendapatkan benda tersebut disitu.
Pada pihak lain, bila eksperimennya berkaitan dengan banyak benda identik yang semuanya diberikan dengan fungsi gelombang yang sama
ψ , kerapatan yang sebenarnya dari benda itu di x,y,z pada saat t berbanding dengan harga
2
ψ .
Panjang-panjang gelombang de Broglie yang berkaitan dengan sebuah benda bergerak dinyatakan dengan rumus sederhana
=
λ mv
h Menentukan amplitude
ψ sebagai fungsi kedudukan dan waktu biasanya merupakan persoalan sulit. Pada kejadian dengan fungsi gelombang
ψ kompleks dengan bagian nyata real dan khayalimaginer nya tidak nol, kerapatan peluang dinyatakan
dengan perkalian ψ ψ dari konjugate ψ kompleks ψ . Konjugate kompleks suatu
fungsi diperoleh dengan mengganti I =
1 −
dengan –i bilamana huruf itu muncul dalam fungsi gelombang. Setiap fungsi kompleks
ψ dapat ditulis dalam bentuk ψ = A + iB
Dengan A dan B menyatakan fungsi real. Konjugate kompleks ψ dapat ditulis
dalam bentuk : ψ = A – iy
Sehingga ψ ψ = A
2
- i
2
y
2
= A
2
+ y
2
Karena i
2
= -1. Jadi ψ ψ selalu merupakan kuantitas real positip.
Universitas Sumatera Utara
2.2.6 Asas Larangan Pauli