MODUL PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
x1 + x 2 =
b
a
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan
2
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax + bx + c, a ≠
( x2 , 0 )
2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :
3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D
2
( dengan D = b – 4.a.c )
Gunakan rumus x =
Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada
3 jenis :`
x=
a>0
D=0
X
x1 x 2
2
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :
a>0
D>0
b
atau
2a
a>0
D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan
keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama
sekali terhadap sumbu X
2
Jika y = -2 x +3x – 4; maka titik potong dengan
sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )
Titik puncak/ titik balik
x1 x 2
2
xb
b
2a
yb
D
atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga
4a
menjadi
Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )
atau dapat di cari dengan xb =
yb axb2 bxb c
D b2 4ac ( diskriminan )
Dan ingat
4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :
xb , y b
http://matematrick.blogspot.com
Y
X
Titik puncak / titik
balik ( pada grafik di
samping berupa titik
balik maksimum )
Titik potong dg
Sumbu X, di titik
tersebut y = 0
1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan
2
y=x –
+9 adalah….
a. ( -2 , 21)
b. ( -2 , 9 )
c. ( 0 , 9)
Titik potong dengan
sumbu Y, di titik
tersebut x = 0
Garis / Sumbu simetri( di
tengah antara dua titik
potong dg sumbu X )
d. ( 2 , 9 )
e. ( 2 , 5 )
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
2
persamaan grafiknya ( y = a x + b x + c ) atau diketahui
gambarnya:
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X :
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi
xb
b
(4) 4
2
2a
2.1 2
yb xb2 4 xb 9 2 2 4.2 9 4 8 9 5
( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x
a.
dengan xb pada persamaan yang diketahui )
2
2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x + 7x – 6
dengan sumbu X adalah ....
2
,0 dan 3,0
3
d.
3,0 dan 3 ,0
b.
2
,0 dan 3,0
3
e.
3
0, dan 0,3
2
2
Penyelesaian :
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =
b
7
= , maka jawabannya ( A ) sebab
a
3
2
29
7
(3)
3
3
3
1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang
persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
c.
(1, –15)
d.
(2, –16)
e.
(3, –24)
2
http://matematrick.blogspot.com
d.
5
2
e.
1
2
(-1,0), 2 ,0 , dan (0,2)
3
b.
2 , (1,0), dan (0, -2)
,0
3
c.
2
2 , (1,0), dan
0,
,0
3
3
d.
2 , (-1,0), dan (0, -1)
,0
3
e.
3 , (1,0), dan (0, 3)
,0
2
6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat
harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
(–1, –7)
7
2
a.
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang
b.
c.
y 3x 2 x 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(
3
c. ,0 dan 3,0
2
(–2, 0)
9
2
UN 2010 )
a.
a.
b.
5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
11
2
2. Koordinat titik potong kurva y = x – 2x – 8 dengan sumbu X
adalah ….
a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0)
b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0)
c. (-2 , 0) dan (4 , 0)
d. (2 , 0) dan ( 4 , 0)
e. (2 , 0) dan (8 , 0)
2
3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x – 6x + 5 adalah ....
a.
(6, 5)
d. ( – 3,32)
b.
(3, – 4)
e. ( – 6,5)
c.
(3, – 14)
2
4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x – 2x + 6 adalah ....
2
y = 5x -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a.
x=4
b.
x=2
c.
x = -2
d.
x = -3
e.
x = -4
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
y = 3. (x – 3 x + 2)
2
y = 3x – 9 x + 6 ( jawaban D ).
2
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )
(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )
dan ( x2 , 0 ) diketahui )
Persamaannya :
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim
y a( x x1 ).( x x2 )
Cara singkatnya : y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian
2
a.
y = –x + 2x – 3
b.
y = –x + 2x + 3
c.
y = –x – 2x + 3
d.
y = –x – 2x – 5
e.
y = –x – 2x + 5
2
2
disesuaikan ( lihat contoh )
2.
Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb )
diketahui )
2
2
2
Penyelesaian :
Persamaannya :
y a ( x xb ) y b
2
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa
y ax (1) 4
2
. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
y ax 1 4
2
Y
a. y = x2 – 3x + 2
c. y = 3x2 + 9x + 6
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka :
2
=2 -3x + 9x + 6
3 = a ( 0 +1 ) + 4
d. y = 3x2 – 9x + 6
3 = a .1 + 4
b. y = x2 + 3x + 2
6
2
e. y = -3x + 9x + 6
Ini artinya titik
potong dg sumbu
Y; yaitu ( 0,6 )
3=a+4
2
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1) +4
2
Y = -1.(x +2x+1)+4
y =f(x)
2
1
Y = -x -2x-1+4
X
2
2
Y = -x -2x +3 ( C )
Cara singkat :
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong
Penyelesaian :
dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )
adalah B dan C.
Cara Biasa :
Y=a(x–1).(x–2)
Jelas xb = -1, padahal xb =
2
Y = a ( x -3x + 2 )
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
2
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 – 3.0 + 2 )
6 = a.2
http://matematrick.blogspot.com
x1 x2
,
2
dan kita punya bahwa x1 + x2 = b , maka antara pilihan B dan
a
C pilih saja yang nilai b = -2.
a
2a = 6
a=3
Jadi Persamann fungsinya adalah :
Jadi jawabannya C.
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang
2
Y = 3. ( x -3x + 2 )
memenuhi
2
Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )
Cara singkat :
b
= 2xb.
a
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....
susun saja bentuk y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
2
y = x – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 )
2
kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ),
maka c harus 6, padahal :
pada y = x – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja
2
dengan 3. maka hasilnya :
3
a. y = –2x2 + 4x + 3
b. y = –2x2 + 2x + 3
c. y = –x2 – 2x + 3
d. y = –x2 + 2x – 3
e. y = –x2 + 2x + 3
-1
3
2. Persamaan grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
y
x
o
a.
b.
c.
d.
e.
y = x2 +3
y = x2 -3
y = -x2 +3
y = x2 - 2x -3
y = -x2 + 2x -3
b.
y x 2 4 x 21
c.
y x2 4x 5
d.
y 2 x 2 8x 6
e.
y 2 x 2 4 x 10 ( UN 2011 )
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
(1,-2)
ax 2 bx c 0, a 0, a, b, c R
(0,-3)
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
Cara Biasa : - Faktorisasi
3. Persa aa grafik di bawah i i adalah ….
1
(ax m).(ax n) 0
a
a. y = -x2 + 4x + 5
Y
b. y = -x2 - 4x + 5
9
Y = f(x)
- Melengkapkan kuadrat sempurna
c. y = -2x2 + x + 5
5
- Rumus abc
d. y = -2x2 - x + 5
e. y
1 2 + x +5
x
2
x1, 2
X
2
4
b b 2 4ac
2a
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar
4. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah …
–2
dengan
m + n = b; dan m.n = a.c
ax 2 bx c 0
persamaan kuadrat
a. y = –x2 + 2x – 8
b. y = –x2 + 2x + 8
c. y = –x2 – 2x + 8
d. y = –x2 – 2x – 8
e. y = –x2 + x + 8
x1 x 2
b
a
x1 x 2
c
a
Dengan maksud : cari saja dua bilangan (
x1 dan x 2 )
yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan
-8
(
b
x1 dan x 2 ) yang memenuhi x1 x 2 .
a
http://matematrick.blogspot.com
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah
Y
....
1
a. y x 2 2 x 2
Jika
x1 dan x 2 akar – akar persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0, maka berlaku :
2
b.
2
c.
2
X
d.
e.
1
y x 2 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
1
y x 2 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2
atau pakai titik puncak )
x1 x 2
x1 x 2
b
a
c
a
4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil
kali akar – akar persamaan kuadrat :
x12 x22 x1 x2 2.x1 x2
2
2
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X
di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .
a.
y 2 x 2 8x 6
c
b
2.
a
a
b2
c
2.
2
a
a
b
1 1 x2 x1 x1 x2
b
a
c
x1 x2
x1 .x2
x1 .x2
c
a
( + masuk jadi - )
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya
k dan k , Caranya :
2
2
2
x1 x2 x1 .x1 x2 .x2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2.x1 .x2
x2 x1
x1 .x2
x1 .x2
x1 .x2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k ,
2
sehingga diperoleh PK baru :
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan
2
a(x + k) + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...
x1 dan x 2 , kada g di ataka dala α da β, p dan
dalam
q, dsb.
( - masuk jadi + )
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan
Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
Maka Cara penyelesaiannya :
Cara I : pakai pola
Cara II : pakai pola
( x x1 ).( x x2 ) 0
tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak
simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar –
akarnya dan k )
k
x 2 ( x1 x2 ) x x1 .x2 0
2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x – 6x - 8 = 0 adalah ....
Kasus 2 :
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun
a.
berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang
b.
54 dan -2
4
5
4
5
c.
dan 2
d. - 54 dan 2
dan -2
lain
e.
Maka Cara penyelesaiannya :
15 dan 2
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar
Penyelesaian :
dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain
Cara Singkat :
Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :
Jelas : Nilai b (6) 6 , maka pilih saja pada pilihan
5
5
a
2
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c =0, memiliki
akar – akar α da β,
aka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang
memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :
tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 6 .
5
Sehingga jawabannya D, karena - 54 + 2 = 4 10 6
5
5
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x , sehingga
k
2
2. Persamaan kuadrat 4x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
akar dan . Nilai + = ....
2
diperoleh PK baru :
http://matematrick.blogspot.com
a( kx ) 2 b.( kx ) c 0 dan seterusnya...
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya dan
k
1
4
a. 5 3
d. 2
b. 2 7
16
e. 3 3
4
4
( kali masuk jadi bagi )
, Caranya :
2
c. 2 5
16
Penyelesaian :
k
Jelas + = α + β
2
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan kx , sehingga
2
2
– .αβ
2
= 3 2. 6
4
4
diperoleh PK baru :
2
a( kx ) +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
= 9 3
16
( bagi masuk jadi kali )
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k dan
= 9 48 39 2 7 ( jawaban : B )
16
16
16
k , Caranya :
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k ,
2
sehingga diperoleh PK baru :
2
a(x – k) + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...
2
3. Akar – akar persamaan kuadrat x –
+ = adalah α
da β . Persa aa kuadrat baru a g akar – akar a α
da
β adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
2
2
5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x – 7x – 6 = 0
2
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2
a. -3
Penyelesaian :
2
Ganti saja x pada persamaan x – 3x + 1 = 0 dengan
x
, maka
3
2
x
x
3. 1 0
3
3
x2
x 1 0 ( x 9 )
9
c.
3
14
d.
4
7
e.
6
7
2
6. Persamaan kuadrat 3x – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar
dan . Nilai ( + ) + 2 = ....
2
x 2 9x 9 0 ( E )
a.
1
3
d.
b.
5
9
e. 2
c.
7
9
2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x – 9x + 7 = 0 adalah ....
1
c. 1 dan 3
2
a. 1 dan 7
1
dan 7
2
7
6
b.
Persamaan kuadratnya adalah :
b.
d. -1 dan - 3
2
1
2
akar dan . Nilai + = ....
2
2
2. Akar-akar persamaan kuadrat x –3x + 2 = 0 adalah A dan B,
a.
5
3
4
b.
3
3
4
c.
2
3
4
d.
3
1
4
e.
3
3
4
dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....
a. –5
d. 4
b. –4
e. 5
c. –1
2
http://matematrick.blogspot.com
3. Akar-akar dari 2x – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2.
2
2
Nilai dari x1 + x2 = ....
1
4
d.
6
6
3
4
e.
11
2
1
4
a.
11
b.
c.
2
4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x –
da β. Nilai dari α + β
2
- αβ = ....
10
a.
9
1
d.
3
b. 1
e. 0
4
9
13
9
7. Persamaan kuadrat 2x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
e. -1 dan -7
c.
1
1
adalah ….( UN 2010 )
x1 x 2
adalah x1 dan x2. Nilai
2
3
4
1
4
+ = adalah α
2
8. Akar-akar persamaan kuadrat
dan . Nilai dari
a.
–4
b.
–2
c.
–1
d.
4
e.
5
2
2
x 2 4 x 2 0 adalah
=….
2
9. Persamaan kuadrat x - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1
2
2
dan x2. Nilai dari x1 x2+ x1.x2 = ....
a.
7
5
d. 21
4
b.
11
4
c.
3
a. -12,5
e. 6.
b. -7,5
c. 12,5
2
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0adalah
10.
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1
dan 2x2 adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x + 6x + 4 =0
e.
x - 6x + 4 =0
2
2
2
2
Akar – akar persamaan kuadrat 2x + x + 6 = 0 adalah
2
11.
dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
3
dan
adalah ....
a.
6x + x + 2 =0
b.
6x + x + 3 =0
c.
18x - 3x + 6 =0
d.
18x + 2x - 6 =0
e.
18x + 2x + 6 =0
3
2
2
2
2
2
2
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah
12.
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1
dan 3x2 adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2
2
2
2
2
13.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x - x + 9 = 0,
http://matematrick.blogspot.com
maka nilai
a.
53
27
b.
3
27
c.
1
27
d.
3
27
e.
54
27
x1 x2
= ….( UN 2011 )
x2 x1
2
14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan
x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )
d. 20
e. 22
b
a
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan
2
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax + bx + c, a ≠
( x2 , 0 )
2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :
3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D
2
( dengan D = b – 4.a.c )
Gunakan rumus x =
Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada
3 jenis :`
x=
a>0
D=0
X
x1 x 2
2
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y :
a>0
D>0
b
atau
2a
a>0
D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan
keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama
sekali terhadap sumbu X
2
Jika y = -2 x +3x – 4; maka titik potong dengan
sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )
Titik puncak/ titik balik
x1 x 2
2
xb
b
2a
yb
D
atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga
4a
menjadi
Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )
atau dapat di cari dengan xb =
yb axb2 bxb c
D b2 4ac ( diskriminan )
Dan ingat
4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :
xb , y b
http://matematrick.blogspot.com
Y
X
Titik puncak / titik
balik ( pada grafik di
samping berupa titik
balik maksimum )
Titik potong dg
Sumbu X, di titik
tersebut y = 0
1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan
2
y=x –
+9 adalah….
a. ( -2 , 21)
b. ( -2 , 9 )
c. ( 0 , 9)
Titik potong dengan
sumbu Y, di titik
tersebut x = 0
Garis / Sumbu simetri( di
tengah antara dua titik
potong dg sumbu X )
d. ( 2 , 9 )
e. ( 2 , 5 )
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
2
persamaan grafiknya ( y = a x + b x + c ) atau diketahui
gambarnya:
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X :
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi
xb
b
(4) 4
2
2a
2.1 2
yb xb2 4 xb 9 2 2 4.2 9 4 8 9 5
( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x
a.
dengan xb pada persamaan yang diketahui )
2
2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x + 7x – 6
dengan sumbu X adalah ....
2
,0 dan 3,0
3
d.
3,0 dan 3 ,0
b.
2
,0 dan 3,0
3
e.
3
0, dan 0,3
2
2
Penyelesaian :
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =
b
7
= , maka jawabannya ( A ) sebab
a
3
2
29
7
(3)
3
3
3
1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang
persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
c.
(1, –15)
d.
(2, –16)
e.
(3, –24)
2
http://matematrick.blogspot.com
d.
5
2
e.
1
2
(-1,0), 2 ,0 , dan (0,2)
3
b.
2 , (1,0), dan (0, -2)
,0
3
c.
2
2 , (1,0), dan
0,
,0
3
3
d.
2 , (-1,0), dan (0, -1)
,0
3
e.
3 , (1,0), dan (0, 3)
,0
2
6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat
harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
(–1, –7)
7
2
a.
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang
b.
c.
y 3x 2 x 2 dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .(
3
c. ,0 dan 3,0
2
(–2, 0)
9
2
UN 2010 )
a.
a.
b.
5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
11
2
2. Koordinat titik potong kurva y = x – 2x – 8 dengan sumbu X
adalah ….
a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0)
b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0)
c. (-2 , 0) dan (4 , 0)
d. (2 , 0) dan ( 4 , 0)
e. (2 , 0) dan (8 , 0)
2
3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x – 6x + 5 adalah ....
a.
(6, 5)
d. ( – 3,32)
b.
(3, – 4)
e. ( – 6,5)
c.
(3, – 14)
2
4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x – 2x + 6 adalah ....
2
y = 5x -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a.
x=4
b.
x=2
c.
x = -2
d.
x = -3
e.
x = -4
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
y = 3. (x – 3 x + 2)
2
y = 3x – 9 x + 6 ( jawaban D ).
2
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )
(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )
dan ( x2 , 0 ) diketahui )
Persamaannya :
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim
y a( x x1 ).( x x2 )
Cara singkatnya : y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian
2
a.
y = –x + 2x – 3
b.
y = –x + 2x + 3
c.
y = –x – 2x + 3
d.
y = –x – 2x – 5
e.
y = –x – 2x + 5
2
2
disesuaikan ( lihat contoh )
2.
Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb )
diketahui )
2
2
2
Penyelesaian :
Persamaannya :
y a ( x xb ) y b
2
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa
y ax (1) 4
2
. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
y ax 1 4
2
Y
a. y = x2 – 3x + 2
c. y = 3x2 + 9x + 6
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka :
2
=2 -3x + 9x + 6
3 = a ( 0 +1 ) + 4
d. y = 3x2 – 9x + 6
3 = a .1 + 4
b. y = x2 + 3x + 2
6
2
e. y = -3x + 9x + 6
Ini artinya titik
potong dg sumbu
Y; yaitu ( 0,6 )
3=a+4
2
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1) +4
2
Y = -1.(x +2x+1)+4
y =f(x)
2
1
Y = -x -2x-1+4
X
2
2
Y = -x -2x +3 ( C )
Cara singkat :
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong
Penyelesaian :
dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )
adalah B dan C.
Cara Biasa :
Y=a(x–1).(x–2)
Jelas xb = -1, padahal xb =
2
Y = a ( x -3x + 2 )
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
2
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 – 3.0 + 2 )
6 = a.2
http://matematrick.blogspot.com
x1 x2
,
2
dan kita punya bahwa x1 + x2 = b , maka antara pilihan B dan
a
C pilih saja yang nilai b = -2.
a
2a = 6
a=3
Jadi Persamann fungsinya adalah :
Jadi jawabannya C.
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang
2
Y = 3. ( x -3x + 2 )
memenuhi
2
Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )
Cara singkat :
b
= 2xb.
a
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....
susun saja bentuk y = x – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
2
y = x – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 )
2
kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ),
maka c harus 6, padahal :
pada y = x – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja
2
dengan 3. maka hasilnya :
3
a. y = –2x2 + 4x + 3
b. y = –2x2 + 2x + 3
c. y = –x2 – 2x + 3
d. y = –x2 + 2x – 3
e. y = –x2 + 2x + 3
-1
3
2. Persamaan grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
y
x
o
a.
b.
c.
d.
e.
y = x2 +3
y = x2 -3
y = -x2 +3
y = x2 - 2x -3
y = -x2 + 2x -3
b.
y x 2 4 x 21
c.
y x2 4x 5
d.
y 2 x 2 8x 6
e.
y 2 x 2 4 x 10 ( UN 2011 )
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
(1,-2)
ax 2 bx c 0, a 0, a, b, c R
(0,-3)
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
Cara Biasa : - Faktorisasi
3. Persa aa grafik di bawah i i adalah ….
1
(ax m).(ax n) 0
a
a. y = -x2 + 4x + 5
Y
b. y = -x2 - 4x + 5
9
Y = f(x)
- Melengkapkan kuadrat sempurna
c. y = -2x2 + x + 5
5
- Rumus abc
d. y = -2x2 - x + 5
e. y
1 2 + x +5
x
2
x1, 2
X
2
4
b b 2 4ac
2a
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar
4. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah …
–2
dengan
m + n = b; dan m.n = a.c
ax 2 bx c 0
persamaan kuadrat
a. y = –x2 + 2x – 8
b. y = –x2 + 2x + 8
c. y = –x2 – 2x + 8
d. y = –x2 – 2x – 8
e. y = –x2 + x + 8
x1 x 2
b
a
x1 x 2
c
a
Dengan maksud : cari saja dua bilangan (
x1 dan x 2 )
yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan
-8
(
b
x1 dan x 2 ) yang memenuhi x1 x 2 .
a
http://matematrick.blogspot.com
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah
Y
....
1
a. y x 2 2 x 2
Jika
x1 dan x 2 akar – akar persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0, maka berlaku :
2
b.
2
c.
2
X
d.
e.
1
y x 2 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
1
y x 2 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2
atau pakai titik puncak )
x1 x 2
x1 x 2
b
a
c
a
4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil
kali akar – akar persamaan kuadrat :
x12 x22 x1 x2 2.x1 x2
2
2
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X
di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .
a.
y 2 x 2 8x 6
c
b
2.
a
a
b2
c
2.
2
a
a
b
1 1 x2 x1 x1 x2
b
a
c
x1 x2
x1 .x2
x1 .x2
c
a
( + masuk jadi - )
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya
k dan k , Caranya :
2
2
2
x1 x2 x1 .x1 x2 .x2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2.x1 .x2
x2 x1
x1 .x2
x1 .x2
x1 .x2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k ,
2
sehingga diperoleh PK baru :
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan
2
a(x + k) + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...
x1 dan x 2 , kada g di ataka dala α da β, p dan
dalam
q, dsb.
( - masuk jadi + )
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan
Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
Maka Cara penyelesaiannya :
Cara I : pakai pola
Cara II : pakai pola
( x x1 ).( x x2 ) 0
tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak
simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar –
akarnya dan k )
k
x 2 ( x1 x2 ) x x1 .x2 0
2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x – 6x - 8 = 0 adalah ....
Kasus 2 :
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun
a.
berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang
b.
54 dan -2
4
5
4
5
c.
dan 2
d. - 54 dan 2
dan -2
lain
e.
Maka Cara penyelesaiannya :
15 dan 2
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar
Penyelesaian :
dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain
Cara Singkat :
Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :
Jelas : Nilai b (6) 6 , maka pilih saja pada pilihan
5
5
a
2
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c =0, memiliki
akar – akar α da β,
aka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang
memiliki akar – akar k dan k ,Caranya :
tersebut yang jika dijumlahkan nilainya 6 .
5
Sehingga jawabannya D, karena - 54 + 2 = 4 10 6
5
5
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x , sehingga
k
2
2. Persamaan kuadrat 4x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
akar dan . Nilai + = ....
2
diperoleh PK baru :
http://matematrick.blogspot.com
a( kx ) 2 b.( kx ) c 0 dan seterusnya...
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya dan
k
1
4
a. 5 3
d. 2
b. 2 7
16
e. 3 3
4
4
( kali masuk jadi bagi )
, Caranya :
2
c. 2 5
16
Penyelesaian :
k
Jelas + = α + β
2
2
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan kx , sehingga
2
2
– .αβ
2
= 3 2. 6
4
4
diperoleh PK baru :
2
a( kx ) +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
= 9 3
16
( bagi masuk jadi kali )
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k dan
= 9 48 39 2 7 ( jawaban : B )
16
16
16
k , Caranya :
Ganti saja x pada ax + bx + c =0 dengan x k ,
2
sehingga diperoleh PK baru :
2
a(x – k) + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...
2
3. Akar – akar persamaan kuadrat x –
+ = adalah α
da β . Persa aa kuadrat baru a g akar – akar a α
da
β adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
2
2
5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x – 7x – 6 = 0
2
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2
a. -3
Penyelesaian :
2
Ganti saja x pada persamaan x – 3x + 1 = 0 dengan
x
, maka
3
2
x
x
3. 1 0
3
3
x2
x 1 0 ( x 9 )
9
c.
3
14
d.
4
7
e.
6
7
2
6. Persamaan kuadrat 3x – x + 2 = 0 mempunyai akar – akar
dan . Nilai ( + ) + 2 = ....
2
x 2 9x 9 0 ( E )
a.
1
3
d.
b.
5
9
e. 2
c.
7
9
2
1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x – 9x + 7 = 0 adalah ....
1
c. 1 dan 3
2
a. 1 dan 7
1
dan 7
2
7
6
b.
Persamaan kuadratnya adalah :
b.
d. -1 dan - 3
2
1
2
akar dan . Nilai + = ....
2
2
2. Akar-akar persamaan kuadrat x –3x + 2 = 0 adalah A dan B,
a.
5
3
4
b.
3
3
4
c.
2
3
4
d.
3
1
4
e.
3
3
4
dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....
a. –5
d. 4
b. –4
e. 5
c. –1
2
http://matematrick.blogspot.com
3. Akar-akar dari 2x – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2.
2
2
Nilai dari x1 + x2 = ....
1
4
d.
6
6
3
4
e.
11
2
1
4
a.
11
b.
c.
2
4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x –
da β. Nilai dari α + β
2
- αβ = ....
10
a.
9
1
d.
3
b. 1
e. 0
4
9
13
9
7. Persamaan kuadrat 2x + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
e. -1 dan -7
c.
1
1
adalah ….( UN 2010 )
x1 x 2
adalah x1 dan x2. Nilai
2
3
4
1
4
+ = adalah α
2
8. Akar-akar persamaan kuadrat
dan . Nilai dari
a.
–4
b.
–2
c.
–1
d.
4
e.
5
2
2
x 2 4 x 2 0 adalah
=….
2
9. Persamaan kuadrat x - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1
2
2
dan x2. Nilai dari x1 x2+ x1.x2 = ....
a.
7
5
d. 21
4
b.
11
4
c.
3
a. -12,5
e. 6.
b. -7,5
c. 12,5
2
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0adalah
10.
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1
dan 2x2 adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x + 6x + 4 =0
e.
x - 6x + 4 =0
2
2
2
2
Akar – akar persamaan kuadrat 2x + x + 6 = 0 adalah
2
11.
dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
3
dan
adalah ....
a.
6x + x + 2 =0
b.
6x + x + 3 =0
c.
18x - 3x + 6 =0
d.
18x + 2x - 6 =0
e.
18x + 2x + 6 =0
3
2
2
2
2
2
2
Akar – akar persamaan kuadrat x – 3x + 1 = 0 adalah
12.
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1
dan 3x2 adalah ....
2
a.
x + 3x + 3 =0
b.
x - 3x + 3 =0
c.
x + 3x - 3 =0
d.
x - 9x + 3 =0
e.
x - 9x + 9 =0
2
2
2
2
2
13.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x - x + 9 = 0,
http://matematrick.blogspot.com
maka nilai
a.
53
27
b.
3
27
c.
1
27
d.
3
27
e.
54
27
x1 x2
= ….( UN 2011 )
x2 x1
2
14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x - 13x – 7 = 0 adalah x1 dan
x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )
d. 20
e. 22