v + w = Sutojo, S.Si., dkk, Aljabar Linier Matriks, Penerbit Andi, 2010
STIMATA BY : SRI ESTI
Secara geometri
1
menyatakan komponen pada sumbu
x
dan
2
menyatakan komponen pada sumbu
y
.
Jika v =
1
,
2
dan w =
1
,
2
adalah vektor-vektor pada bidang �
2
, maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika
1
=
1
dan
2
=
2
.
Jika v =
1
,
2
dan w =
1
,
2
, maka berlaku
1. v + w =
1
+
1
,
2
+
2
2.
k
v =
�
1
, �
2
dengan
k
suatu skalar
Contoh :
Misalkan v = −2, 1 dan w = 1, 3, maka
v + w
= −2, 1 + 1, 3 = −2+1, 1+3 = −1, 4
2v
= 2−2, 1 = 2.−2, 2.1 = −4, 2
v − w = −2, 1 − 1, 3 = −2−1, 1−3 = −3, −2
w − v = 1, 3 − −2, 1 = 1−−2, 3−1 = 3, 2
Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah
�
1 1
,
1
dan titik ujungnya adalah
�
2 2
,
2
maka �
̅ � ̅̅̅=
2
−
1
,
2
−
1
. Komponen �
̅ � ̅̅̅ didapat dengan
mengurangkan koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula
� ̅ �
̅̅̅ = ̅ � ̅̅̅ − ̅ �
̅ =
2
,
2
−
1
,
1
=
2
−
1
,
2
−
1
.
STIMATA BY : SRI ESTI
Jika v =
1
,
2
adalah vektor di R
2
maka panjang vektor disebut norm v didefinisikan sebagai
‖ ‖ = √ Jika
�
1 1
,
1
dan �
2 2
,
2
adalah dua titik di R
2
, maka jarak dua titik tersebut
didefinisikan sebagai norm dari vektor �
̅ � ̅̅̅ , yaitu
d =
√
Vektor Satuan dan Basis di Ruang R
3
Tinjaulah vektor-vektor berikut :
Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu
koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan dan menjadi vektor basis di ruang R
3
. Vektor basis vektor satuan di ruang R
3
pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, sedang vektor satuan pada sumbu z
dinyatakan dengan k, atau dalam bentuk vektor baris berikut :
e
1
= 1,0,0, e
2
= 0,1,0, e
3
= 0,0,1 atau dalam bentuk vektor kolom berikut :
z
k=0,0,1 y
x i=1,0,0
j=0,1,0
STIMATA BY : SRI ESTI
e
1
= [
] e
2
= [
] e
3
= [
]
Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R
3
, maka setiap vektor ̅ = V
1
, V
2
, V
3
di ruang R
3
dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut : ̅ = V
1
, V
2
, V
3
= V
1
1,0,0 + V
2
0,1,0 + V
3
0,0,1 = V
1
i, V
2
j, V
3
k = V
1
[ ] + V
2
[ ] + V
3
[ ]
Contoh : Vektor
̅ � artinya sama dengan [
] [ ] [ ] [
] [ ]
Vektor di ruang R
2
dan R
3
diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut
dinamakan komponen-komponen vektor.
Misalkan v suatu vektor pada ruang
�
3
, maka komponen dari v adalah
1
,
2
,
3
yang secara geometri
1
menyatakan komponen pada sumbu
x
dan
2
menyatakan komponen pada sumbu
y
dan
3
menyatakan komponen pada sumbu
z
.
Jika v =
1
,
2
,
3
, dan w =
1
,
2
,
3
, maka: