STIMATA BY : SRI ESTI
e
1
= [
] e
2
= [
] e
3
= [
]
Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R
3
, maka setiap vektor ̅ = V
1
, V
2
, V
3
di ruang R
3
dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut : ̅ = V
1
, V
2
, V
3
= V
1
1,0,0 + V
2
0,1,0 + V
3
0,0,1 = V
1
i, V
2
j, V
3
k = V
1
[ ] + V
2
[ ] + V
3
[ ]
Contoh : Vektor
̅ � artinya sama dengan [
] [ ] [ ] [
] [ ]
Vektor di ruang R
2
dan R
3
diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut
dinamakan komponen-komponen vektor.
Misalkan v suatu vektor pada ruang
�
3
, maka komponen dari v adalah
1
,
2
,
3
yang secara geometri
1
menyatakan komponen pada sumbu
x
dan
2
menyatakan komponen pada sumbu
y
dan
3
menyatakan komponen pada sumbu
z
.
Jika v =
1
,
2
,
3
, dan w =
1
,
2
,
3
, maka:
1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika
1
=
1
,
2
=
2
,
3
=
3
.
2. v + w =
1
+
1
,
2
+
2
,
3
+
3
3.
k
v =
�
1
, �
2
, �
3
dengan
k
suatu skalar Jika
P
1
1
,
1
,
1
dan
P
2
2
,
2
,
2
adalah titik-titik di �
3
, maka �
̅ � ̅̅̅ =
2
−
1
,
2
−
1
,
2
−
1
Jika w =
1
,
2
,
3
suatu vektor di �
3
, maka panjang vektor norm w
didefinisikan sebagai
‖ ‖ = √
STIMATA BY : SRI ESTI
Jika
1
,
1
,
1
dan
P
2
2
,
2
,
2
adalah dua titik di �
3
, maka jarak antara dua titik
tersebut adalah norm dari vektor �
̅ � ̅̅̅
,
yaitu
d =
√ Contoh :
Norma vektor v = 3, 4, 0 adalah ‖ ‖= √
=5
Jarak di antara titik P12, 1, 0 dan P24, −3, 1 adalah
d=
√ =
√
=
√21
.
Latihan soal:
Tentukan komponen vektor dari gambar berikut: 1.
2.
1.2 Vektor di ruang R
n
Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan , hanya dikenal vektor – vektor di
R
2
dan R
3
saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor
– vektor di ruang berdimensi 4 , 5 atau secara umum merupakan vektor
– vektor di R
n
. Secara geometris memang vektor
– vektor di R
4
dan seterusnya memang belum bisa digambarkan , tetapi dasar yang digunakan seperti operasi
– operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektor
– vektor di R
2
dan R
3
. Orang yang pertama kali mempelajari vektor – vektor
di R
n
adalah Euclidis sehingga vektor – vektor yang berada di R
n
dikenal sebagai vektor Euclidis , sedangkan ruang vektornya disebut ruang
–n Euclidis.
Y v
j 0 i 4 x
2
6
5 i
j k
w z
4 y
STIMATA BY : SRI ESTI
Vektor ̅ di ruang R
n
dinyatakan sebagai ̅ [
�
] Panjang sebuah vektor
̅ disebut juga norma ̅ dinyatakan dengan :
Vektor satuan dalam arah ̅ adalah :
Contoh : Tentukan panjang vektor
̅ = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a adalah : ‖ ‖ √
√
� [ ]
√ √
√ √
2. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor
Jarak vektor ̅ [
�
] dan vektor ̅ [
�
] dinyatakan sebagai :
Contoh : Jarak vektor
̅ � dan vektor ̅ � adalah ‖ ‖ √
√ √
Aplikasi Jarak Euclidean dalam Pengenalan Pola Wajah
Contoh: Diketahui tiga buah citra wajah yaitu Citra 1 Dila, Citra 2 Agil, dan Citra 3 Alim
yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer.
‖ ‖
�
� �
‖ ‖
‖ ‖ √
� �
STIMATA BY : SRI ESTI
1 2
3 Citra 1 :
σ = 0,15 μ = 40
e
= 1,25 Citra 2 :
σ = 0,05 μ = 60
e
= 2,35 Citra 3 :
σ = 0,24 μ = 53
e
= 0,85 Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.
Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut: Citra 4 :
σ = 0,23 μ = 55
e
= 0,82 Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari
citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?
Penyelesaian:
Komputer bisa mengenali citra ke-4 menggunakan metode jarak dari euclidean. Pertama masing-masing basis data dari ciri citra dan citra uji dijadikan bentuk vektor
berikut. C =
[ ]
C
1
= [
] C
2
= [
] C
3
= [
] C
4
= [
] d
14
= √
d
24
= √
d
34
= √
Dari hasil perhitungan jarak menunjukkan bahwa citra ke-3 dan citra ke-4 mempunyai jarak paling kecil. Artinya citra ke-4 sangat mirip dengan citra ke-3,
dibanding dengan citra ke-1 dan ke-2. Sehingga dari hasil perhitungan ini komputer memutuskan bahwa nama dari cara uji citra ke-4 adalah Alim.
3. Aljabar Vektor
