Pemodelan Mean Residual Life Dengan Adanya Resiko Persaingan

PEMODELAN MEAN RESIDUAL LIFE DENGAN ADANYA RESIKO PERSAINGAN
TESIS Oleh AMALIA 097021082/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

PEMODELAN MEAN RESIDUAL LIFE DENGAN ADANYA RESIKO PERSAINGAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Oleh
AMALIA 097021082/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PEMODELAN MEAN RESIDUAL LIFE DENGAN ADANYA RESIKO PERSAINGAN
: AMALIA : 097021082 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 19 Januari 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 19 Januari 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN
PEMODELAN MEAN RESIDUAL LIFE DENGAN ADANYA RESIKO PERSAINGAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 19 Januari 2012 Penulis Amalia
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Penambahan konstan resiko bersaing biasanya sering meningkatkan peranan reliability dan analisis survival. Hal ini sering disebut mengangkat, sebagai efek untuk meningkatkan fungsi tingkat hazard (HR) yang konstan. Tentu saja perubahan bentuk ini mengubah titik balik dari fungsi hazard (HR). Namun menaiknya fungsi hazard (HR) tidak berarti menurunkan fungsi mean residual life (MRL) yang konstan. Penting untuk memeriksa perubahan bentuk fungsi mean residual life (MRL) dan dalam lokasi titik-titik balik yang dihasilkan dari fungsi hazard (HR). Kata kunci: Resiko bersaing, Reliability, Fungsi hazard, Mean residual life
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The addition of a constant competing risk corresponding to an additional, usually less significant, source of failure, frequently improves the fit in reliability and survival analysis. This is often termed a lift, as the effect is to increase the hazard rate (HR) function by a constant, which does not, of course, change the shape and hence the turning points of the HR function. However, lifting the HR function does not, in general, mean lowering the corresponding mean residual life (MRL) function by a constant. Hence, it is of interest to examine the changes in the shape of the MRL function, and in the locations of its turning points, resulting from a lift in the HR function. Keyword: Competing risk, Reliability, Hazard function, Mean residual life
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Dengan ucapan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan karunia-Nya yang telah diberikkan kesempatan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul Pemodelan Mean Residual Life Dengan Adanya Resiko Persaingan.

Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada program studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai pembimbing pada penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Opim Salim, S, M.Sc juga sebagai pembimbing dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.
Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh sahabat dan rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2010 atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung.
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada orang tua penulis Ayahanda tercinta (Alm.) Syamsuddin Bahasan dan Ibunda Zuraida serta kepada abang dan kakak, terimakasih atas dorongan dan perhatiannya yang disertai dengan doa-doanya yang tulus, sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan sehingga tulisan ini jauh dari sempurna.
Medan, Januari 2012 Penulis,
Amalia
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Amalia dilahirkan di Medan pada tanggal 8 juli 1987, yang merupakan putri bungsu dari pasangan Bapak (Alm.) Syamsuddin Bahasan dan Ibu Zuraida. Menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 060834 Medan pada tahun 1999, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 5 Pekanbaru pada tahun 2002, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 9 Pekanbaru pada tahun 2005. Pada tahun 2005 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2009. Pada tahun 2010 mengikuti pendidikan program studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana USU Medan.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

Halaman i ii
iii iv vi vii ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian

1 2 2 3 3

BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE

4

2.1 Sifat-Sifat Peluang 2.1.1 Identitas dasar 2.1.2 Batas untuk fungsi MRL 2.1.3 Sifat dari MRL (formula invers)
2.2 Fungsi MRL untuk Distribusi Spesifik 2.2.1 Linier MRL

4 4 6 7 9 9

BAB 3 MENGHITUNG MEAN RESIDUAL LIFE

13

3.1 Menghitung Fungsi Mean Residual Life (MRL) µ(t) dan µλ(t) 13 vii

Universitas Sumatera Utara

3.2 Perbandingan Fungsi MRL dan Mengubah Titik 3.3 Reliability 3.4 Fungsi Hazard 3.5 Fungsi Analisis Survival 3.6 Distribusi Weibull 3.7 Weibull Proportional Hazard Model 3.8 Simulasi distribusi Weibull dengan MATLAB

13 13 15 16 16 18 19

BAB 4 PEMBAHASAN

20

4.1 Perhitungan Fungsi Mean Residual Life (MRL) µ(t) dan µλ(t) 21 4.2 Perbandingan Fungsi MRL dan Mengubah Titik-Titik Baliknya 26

4.3 Resiko Bersaing

28

BAB 5 KESIMPULAN

36

DAFTAR PUSTAKA

37

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1 (kiri)Linier MRL untuk X dengan A = 4 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dari X

10

2.2 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = −0.2 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X 11

2.3 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = 0 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X 12

3.1 Hubungan antara fungsi Hazard dan fungsi Survivor

18

4.1 Fungsi lognormal survival (panel atas) dan fungsi MRL (panel bawah) dengan parameter α = 2 dan σ = 0.5, dan mengangkat λ = 0 (garis padat), λ = 0.005 (garis putus-putus), λ = 0.01 (garis titik), λ = 0.02 (titik-titik).

25

ix
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Penambahan konstan resiko bersaing biasanya sering meningkatkan peranan reliability dan analisis survival. Hal ini sering disebut mengangkat, sebagai efek untuk meningkatkan fungsi tingkat hazard (HR) yang konstan. Tentu saja perubahan bentuk ini mengubah titik balik dari fungsi hazard (HR). Namun menaiknya fungsi hazard (HR) tidak berarti menurunkan fungsi mean residual life (MRL) yang konstan. Penting untuk memeriksa perubahan bentuk fungsi mean residual life (MRL) dan dalam lokasi titik-titik balik yang dihasilkan dari fungsi hazard (HR). Kata kunci: Resiko bersaing, Reliability, Fungsi hazard, Mean residual life
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT The addition of a constant competing risk corresponding to an additional, usually less significant, source of failure, frequently improves the fit in reliability and survival analysis. This is often termed a lift, as the effect is to increase the hazard rate (HR) function by a constant, which does not, of course, change the shape and hence the turning points of the HR function. However, lifting the HR function does not, in general, mean lowering the corresponding mean residual life (MRL) function by a constant. Hence, it is of interest to examine the changes in the shape of the MRL function, and in the locations of its turning points, resulting from a lift in the HR function. Keyword: Competing risk, Reliability, Hazard function, Mean residual life
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak aplikasi dalam aktuaria, ekonomi, teknik, dan literature medis melibatkan penggunaan tingkat hazard (HR) dan fungsi mean residual life (MRL). Dalam matematika sifat fungsi ini mengungkapkan berbagai fitur dalam data. Hal ini juga umum untuk mengamati kekuatan eksternal, yang biasanya disebut dengan resiko bersaing. Yang mana resiko bersaing ini dapat bekerja pada sistem dan dapat mengubah dinamikanya. Perubahan tersebut dan efek dari resiko persaingan ini menarik untuk diamati karena berbagai alasan seperti merumuskan pencegahan pemeliharaan kebijakan dalam rekayasa kehandalan atau pengaturan premi asuransi. Masalah ini akan dibahas secara detail dengan mengacu pada sejumlah distribusi reliability yang umum dan model mortalitas.

Data survival merupakan data yang mendeskripsikan waktu terhadap suatu kejadian tertentu. Kejadian ini dapat mengacu pada kegagalan mesin atau meninggalnya seseorang. Begitupun data survival dapat juga mempresentasikan waktu hingga pasien penderita kanker yang memburuk. Fungsi survival dari variabel acak positif x mendefinisikan probabilitas hidup setelah waktu x, yang ditulis dengan bentuk
S(x) = Pr(X > x) = 1 − F (x)

F (x) adalah fungsi distribusi. Fungsi Hazard menentukan probabilitas kegagalan dalam waktu berikutnya dengan diketahui hidup hingga waktu x, yaitu :

h(x) = lim Pr[x < X
∆x→0

x + ∆x|X > x] ∆x

=

f (x) S(x)

(apabila x kontinu)

1
Universitas Sumatera Utara

2

Dimana f(x) fungsi kepadatan probabilitas (Klugman, 2004). Mean Residual

Life (MRL) menghitung ekspektasi waktu hidup sisa dari suatu subjek dengan

diketahui hidup hingga waktu x. Andaikan bahwa F (0) = 0 dan µ = E(x) =

∞ 0

S(x)dx

<

∞.

Maka

fungsi

MRL

untuk

x

kontinu

di

definisikan

sebagai

:

µ(x) = E(X − x|X > x) =

∞ x

(t

− x)f(t)dt S(x)

=

∞ x

S(t)dt

S(x)

(1.1)

dan µ(x) = 0 bilamana S(x) = 0.

Fungsi mean residual life banyak menarik perhatian karena kemudahan pema-

hamannya dan pemakaiannya (Gauss dan Proschan, 1985). Lebih lanjut lagi

fungsi ini mengkarakterisasi distribusi survival melalui formula inversi untuk x

kontinu dengan µ < ∞, fungsi survival didefinisikan melalui fungsi mean residual

life :

S(x)

=

µ(0) µ(x)

exp

−

x 0

1 µ(t)

dt

(1.2)

Selanjutnya akan dihitung fungsi mean residual life (MRL) µλ(t) untuk beberapa distribusi lifetime parametric yang menggambarkan kompleksitas µλ(t) pada kasus sederhana. Lalu akan dibahas jarak antara fungsi MRL µ(t) dan µλ(t) pada titik balik dan fungsi serta hubungannya ke titik-titik yang sesuai dengan fungsi hazard (HR).

1.2 Perumusan Masalah
Dengan adanya resiko persaingan maka penting untuk memeriksa perubahan bentuk fungsi mean resisual life (MRL) dan lokasi titik-titik balik yang dihasilkan dalam fungsi hazard (HR) yang akan mengacu pada sejumlah distribusi umum dalam keandalan dan model mortalitas.

1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penulisan ini adalah menemukan model dari mean residual life (MRL) dengan adanya resiko persaingan.

Universitas Sumatera Utara

3 1.4 Manfaat Penelitian
Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca mengenai bentuk model mean residual life (MRL) dengan adanya resiko persaingan, dalam bidang ekonomi penelitian ini juga bermanfaat untuk membantu pengambilan kebijakan perusahaan dan juga premi asuransi. 1.5 Metode Penelitian
1. Membuat formulasi model mean residual life (MRL) 2. Menghitung fungsi mean residual life (MRL) µ(t) dan µλ(t) 3. Membandingkan fungsi mean residual life (MRL) dan mengubah titik-titik
baliknya 4. Diperoleh model fungsi dari Mean residual life (MRL) dengan adanya resiko
persaingan
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE

2.1 Sifat-Sifat Peluang

2.1.1 Identitas dasar

Pertama akan ditunjukkan sebuah hubungan dasar di antara fungsi survival

dan momen dari distribusi. Untuk sebuah random variabel kontinu dengan ni-

lai non-negatif dan mempunyai rata-rata yang berhingga, maka µ ≡ E(X) =

∞ 0

xf (x)dx

=

∞ 0

S(x)dx

(Klein,

2005).

∞
E(X) = xf(x)dx

menggunakan integral parsial dengan u = x, du = dx, dv = f(x), v = −S(x)

0 ∞

= [−xS(x)]0∞ − −S(x)dx

0 ∞

= lim xS(x) + 0S(0) + S(x)dx
x→∞ 0
∞

= 0 + 0 + S(x)dx

0 ∞
= S(x)dx

0

dimana limit x menuju tak berhingga dari xS(x) adalah 0, karena diasumsikan

rata-ratanya berhingga

∞ 0

tf (t)dt

<

∞

dan fungsi distribusinya kontinu. Se-

cara umum, fungsi distribusi hanya membutuhkan kontinu ke kanan dengan rata-

rata berhingga untuk limit menuju 0. Argumen mengikuti: untuk sebuah fungsi

distribusi kanan, fungsi distribusi didefinisikan sebagai S(x) =

∞ x

f

(t)dt

⇒

xS(x)

=x

∞ x

f

(t)dt

(perlu

diingat

bahwa

integral

tersebut

dapat

dengan

mu-

dah dipecah menjadi sebuah penjumlahan dari integral-integral untuk distribusi-

distribusi kontinu kanan yang mengandung sebuah lompatan dalam fungsi densi-

ty). Dengan x dan f(x) yang non-negatif, diperoleh 0 ≤ x

∞ x

f

(t)dt

≤

∞ x

tf

(t)dt.

4

Universitas Sumatera Utara

5

Mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk, limx→∞ 0 ≤ limx→∞ x

∞ x

f

(t)dt

≤

limx→∞

∞ x

tf

(t)dt

⇒

0

≤

limx→∞

x

∞ x

f

(t)dt

≤

0,

maka

dengan

Teorema

Squeeze

diperoleh limx→∞ xS(x) = 0.

Momen kedua dapat juga ditulis sebagai sebuah fungsi dari fungsi survival. Mengasumsikan keberadaan dari momen ke-2, dapat ditulis

∞
E(X2) = x2f (x)dx

0 ∞

=

−x2S(x)

∞ 0

−

−2xS(x)dx

0 ∞

= − lim x2S(x) + 0S(0) + 2 x(S(x))dx
x→∞ 0
∞

= 2 xS(x)dx

0

Selanjutnya dengan mengasumsikan keberadaan dari momen kedua

∞
x2f (x)dx < ∞
0

untuk fungsi distribusi kontinu (setidaknya kontinu ke kanan), dapat ditulis

∞ ∞∞
x2S(x) = x2 f (t)dt ⇒ 0 ≤ x2 f (t)dt ≤ t2f (t)dt
x xx
Dengan mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk

∞∞

∞

lim 0 ≤ lim x2 f (t)dt ≤ lim t2f (t)dt ⇒ 0 ≤ lim x2 f (t)dt ≤ 0

x→∞

x→∞

x

x→∞ x

x→∞

x

kemudian dengan menggunakan Teorema Squeeze, lim x2S(x) = 0.
x→∞

Secara umum, jika rth momen ada untuk sebuah random variabel kontinu

X maka berlaku:

∞
E(Xr) = r xr−1S(x)dx

(2.1)

0
Bentuk ini sangat menarik karena dengan menetapkan formula inversnya maka diperoleh sebuah langkah untuk memperoleh momen dari fungsi MRL. Dengan

Universitas Sumatera Utara

6

demikian dapat ditentukan pula variansi dari fungsi survivalnya yaitu sebagai

berikut:

∞

∞

2

V ar(X) = E(X2) − E2(X) = 2 xS(x)dx −  S(x)dx

00
Telah didefinisikan MRL sebagai ekspektasi dari sisa hidup sampai waktu x.

Diperoleh bentuk untuk fungsi MRL dari fungsi survival dengan bentuk berikut

(London , 1988):

∞

m(x) = E(X − x|X > x) = (t − x)dP (X ≤ t|X > x)

x

∞
= (t − x)d
x

F (t) − F (x) 1 − F (x)

∞
= (t − x)d
x

−S(t) + S(x) S(x)

∞
= (t − x)
x

d

−S(t) S(x)

+ d[1]

=

∞
(t − x)
x

−S′(t)dt S(x)

=

(t

−

x)S(t)|∞x + S(x)

∞ x

S(t)dt

=

limx→∞(t

−

x)S(t)

− (x − S(x)

x)S(x)

+

∞ x

S(t)dt

=

∞ x

S

(t)dt

S(x)

dimana limit pertama di langkah terakhir mengarah ke 0 karena diasumsikan

bahwa momen pertama ada, dan limit kedua mengarah ke 0 karena F (∞) =

1. Maka dapat dengan mudah dilihat bahwa momen pertama ekuivalen dengan

fungsi MRL dengan x = 0.

m(0) =

∞ x

(t

− 0)f(t)dt S(0)

=

∞ 0

tf (t)dt 1

=

µ

(2.2)

2.1.2 Batas untuk fungsi MRL

Pertama diketahui bahwa m(x) + x (=i) E(X|X > x), yang mengarah ke

(m(x) + x)S(x) (=ii) E(X · 1(X>x)) (=iii) µ − E(X · 1(X≤x)). Juga benar bahwa E(X ·

(iv) (v)
1(X>x)) ≤ T S(x) ≤ µ,

dan

E

(X

· 1(X >x))

(vi)
≤

(E

(X r

))

1 r

S

(x)1−

1 r

,

untuk r

>

1.

Juga,

E(X

·

1(X ≤x)

(vii)
≤

xF (x),

dan

E(X

·

1(X ≤x) )

(viii)
≤ (E

(X

r

))

1 r

F

(x)1−

1 r

,

untuk

r

>

1.

Sekarang telah siap untuk menentukan batasan-batasan untuk fungsi MRL. Jika F adalah bukan menurun dengan MRL, m(x), rata-rata, µ, dan νr ≡ E(Xr) ≤ ∞ (Hall dan Wallner, 1981).

Universitas Sumatera Utara

7

(a) m(x) ≤ (T − x)+ untuk semua x, dengan persamaan jika dan hanya jika F (x) = F (T −) atau 1, (perlu diingat T − bahwa kita mendekati T dari kiri)

(b)

m(x)

≤

µ S(x)

−

x

untuk

semua

x

dengan

persamaan

jika

dan

hanya

jika

F (x) = 0

1

(c) m(x) <

νr S(x)

r
− x untuk semua x dan r > 1

(d)

m(x)

≥

(µ − x)+ S(x)

untuk

x

<

T

dengan

persamaan

jika

dan

hanya

jika

F (x) = 0

1

µ − F (x) (e) m(x) >

νr F (x)

r
− x untuk x < T dan r > 1

S(x)

(f) m(x) ≥ (µ − x)+ untuk setiap x, dengan persamaan jika dan hanya jika F (x) = 0 atau 1

Jika F disusutkan pada µ, m(x) = (µ − x)+, untuk semua x.

2.1.3 Sifat dari MRL (formula invers)
Sifat berikut adalah dasar dari pengembangan untuk teorema karakterisasi untuk fungsi MRL, yaitu (Hall dan Wallner, 1981):

(a) m(x) non negatif dan kontinu ke kanan, dan m(0) = µ > 0

(b) v(x) ≡ m(x) + x tidak menurun

(c) m(x−) > 0 untuk x ∈ (0, T ); jika T < ∞, m(T −) = 0, dan m kontinu saat

T m(t−) ≡ lim m(x)
x→t−

(d)

S(x) =

m(0) m(x)

exp

−

x 0

m1(t) dt

, untuk semua x < T (Formula Invers)

(e)

x 0

m1(t) dt

→

∞

dengan

x

→

T

Universitas Sumatera Utara

8 Sifat (d) diketahui sebagai Formula Invers. Dan dibuktikan sebagai berikut:

Pembuktian Formula Invers (Hall dan Wallner, 1981): Didefinisikan fungsi

k(x) ≡ m′(x) =

∞ x
S

S(t)dt 2(x) +

= m(x)S

f (x)

x 0

S

S2(x)

(x). (t)dt

Diperoleh k′(x) = f (x)m(x) − S(x)m′(x),

=

1

+

f

(x)m(x) S(x)

,

dan

dengan

demikian

dengan k′(x) =

−S(x). Sekarang diperlihatkan

xx

x

1 m(t)

dt

=

−

−S(t) S(t)

m1(t) dt

=

−

k′(t) k(t)

dt

=

−[log(k(x))

−

log(k(0))]

00

0

= − log

k(x) k(0)

= − log

S(x)m(x) S(0)m(0)

= − log

S(x)m(x) m(0)

x



⇒ exp −

1 m(t)

dt

=

exp

log

S(x)m(x) m(0)

0

x



⇔ exp −

1 m(t)

dt

=

S(x)m(x) m(0)

0

x



⇔

S(x)

=

m(0) m(x)

exp

−

m1(t) dt

0

(2.3)

Disimpulkan ringkasan dari sifat untuk fungsi MRL dengan sebuah hasil utama bahwa syarat perlu dan cukup yang mana sebuah fungsi adalah fungsi MRL untuk sebuah distribusi survival, dan dengan demikian merupakan karakter dari fungsi MRL.

Teorema Karakterisasi (Hall dan Wallner, 1981): Diketahui sebuah fungsi

m(x) dengan pemetaan R+ → R+ dari (a) m(x) adalah kontinu ke kanan dan

m(0) > 0; (b) v(x) ≡ m(x) + x tidak menurun; (c) jika m(x−) = 0 untuk bebera-

pa x = x0, maka m(x) = 0 untuk x ∈ [x0, ∞); (d) jika m(x−) > 0 untuk semua x,

maka

∞ 0

1 m(t)

dt

=

∞.

Diberikan

T

≡

inf {x

:

m(x−)

=

0}

≤

∞,

dan

didefinisikan

S(x) oleh (2.3) untuk x < T dan S(x) ≡ 0 untuk x ≥ T . Maka F (x) ≡ 1 − S(x)

adalah sebuah fungsi distribusi atas R+ dengan F (0) = 0, TF = T , batas rata-rata

µF = m(0), dan fungsi MRL mF (x) = m(x).

Universitas Sumatera Utara

2.2 Fungsi MRL untuk Distribusi Spesifik

9

2.2.1 Linier MRL

Jika fungsi MRL adalah linier, m(x) = Ax + B(A > −1, B > 0), maka dengan menggunakan formula invers, fungsi Survival menjadi berbentuk:

S(x) =

B

1 A

+1

Ax + B +

(2.4)

ditunjukkan bentuk asal Survival ketika A = 0 berikut :

S(x) = = =

B Ax + B
B Ax + B
B Ax + B

exp

−

x 0

At

1 +

B

dt

exp

−

1 A

ln(At

+

B)

x 0

exp

ln(Ax

+

B

)−

1 A

exp

ln(B

)−

1 A

=

B Ax + B

1
BA Ax + B

B1 A

+1

= Ax + B +

Dimana bagian positif diperlukan untuk memenuhi bagian nonnegatif dari fungsi Survival (Oakes dan Dasu, 2003). Untuk A > 0 fungsi Survival adalah merupakan distribusi Pareto. Bentuk fungsi Survival dari distribusi Pareto untuk variabel acak Z adalah

S(z) =

β z

α
untuk β > 0 (scale), α > 0 (shape), dan z ∈ [β, +∞]

jika

dipilih

transformasi

Z

=

Ax+B

dimana

B

=

β

dan

1 A

+1

=

α,

maka

diperoleh

Z ∼ P areto(α, β). Untuk lebih jelas diketahui β > 0 didapat dari B = β dengan

B

> 0.

Juga

diketahui bahwa parameter shape diperoleh α > 1

dari

1 A

+

1

=

α

dan

1 A

>

0.

Perlu

diingat

bahwa

moment

pertama

hanya

berlaku

untuk

distribusi

Pareto ketika α > 1 oleh karena itu terdapat rata-rata dari fungsi survival untuk

Universitas Sumatera Utara

10

MRL linier dengan A, B > 0. Misalkan diberikan z ∈ [β, +∞] dimana z = Ax+B

dan

Ax > 0.

Akhirnya,

karena

Z

≥

β

>

0

⇒

β z

>

0

fungsi

survival

selalu

positif,

maka tidak diperlukan penyesuaian untuk membuat fungsi bernilai positif.

Gambar 2.1 (kiri)Linier MRL untuk X dengan A = 4 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dari X

Untuk −1 < A < 0 fungsi survival adalah berasal dari distribusi beta. pdf

dari sebuah distribusi beta diberikan dengan

f(z; a,

b, p, q)

=

(z − a)p−1(b − z)q−1 B(p, q)(b − a)p+q+1

dimana a ≥ z ≥ b, p, q > 0, dan B(., .) adalah fungsi beta yang didefinisikan

B(p, q) =

1 0

tp−1(1

−

t)q−1dt.

Dimulai dengan bentuk fungsi survival dari MRL

linier untuk memperoleh pdf. Pdf akan mengumumkan model apa dari bentuk

hasil reparameter dari rescaled beta dengan S(x) =

B Ax+B

.1
A

+1

+

Perlu diingat

bagian positif adalah diperloleh ketika −Ax ≤ B → x ≤ −B/A, maka ketika

F (x) = 1 −

B Ax+B

1 A

+1

diperoleh

f(x) = −

1 A

+

1

1
BA

AB

Ax + B (Ay + B)2

=

−

1 A
(Ax

+ +

1 B

AB

1 A

+1

)(

1 A

+1)+1

A(Ax

+

B)−(

1 A

+1)+1

dx 1

=−

1 A

+1

−1

B−(

1 A

+1)

,

diberikan Z

=

−AX

⇒

dz

=

−A

⇒

f (z)

=

+ A (B

−

z)−(

)1
A

+1

−1

A

1 A

+1

−1

B−(

1 A

+1)

(dengan

q=−( =

1 A

+1))

(B −

−

1 q

y)q−1 B −q

Universitas Sumatera Utara

11

Sekarang dapat diperlihatkan perlu untuk B = b, a = 0, p = 1. Ketika p = 1 ⇒

B(p = 1, q) =

1 0

(1

−

t)q−1dt

=

−

1 q

dimiliki

f (x)

=

, 0(z−0)1−1(b−z)q−1
B (1,q )(b−0)q+1−1

≤

z

≤

b.

Kemudian pdf dan fungsi survival diberikan dengan,

z

F (z) =

z

(t B

− 0)1−1(b (1, q)(b −

− t)q−1 0)q+1−1

dt

=

(b − t)q−1dt
0
B(1, q)bq

0

=

−

1 q

[(b − z)q −

−

1 q

bq

bq]

=

[(b

− z)q bq

−

bq]

=

b−z b

⇒ S(z) =

b−z b

q
=

b −q b−z

q
−1

adalah meneliti transformasi fungsi survival

Gambar 2.2 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = −0.2 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X

untuk A = 0, fungsi survival adalah eksponensial :

S(x) =

B B

exp

−

x 0

1 B

dt

=

e−

1 B

x

Gambar 2.1, 2.2 dan 2.3 memperlihatkan antara kedua fungsi MRL dan akibat fungsi survival yang digunakan oleh sebuah nilai dari slope parameter (A) dari setiap tiga daerah yang menyimggung sebelumnya. Memotong pada B = 1 untuk semua ketiga bentuk membuat garis dari slope parameter lebih nyata. Perhatikan bahwa disamping dari fungsi survival eksponensial, dimana tidak ada transformasi yang memaksa, kedua fungsi MRL dan fungsi survival adalah fungsi survival awal waktu Xlebih baik dari transformasi waktu survival yang mana diharapkan

Universitas Sumatera Utara

12
Gambar 2.3 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = 0 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X
mengikuti distribusi yang baik (Pareto dan diskala ulang beta). Sekarang kembali ke daerah asaldari fungsi survival, dikatakan diatas bahwa untuk A ≤ 0X dapat diambil nilai dari 0 damapai tak hingga, dimana untuk −1 < A < 0X berasal dari 0 untuk −B/A. Didalam contoh, daerah asal untuk fungsi survival ketika A = −0.2 dan B = 1 adalah [0.5]. dapat dilihat dengan besarnya kenaikan dari A didaerah asal dapat sangat kecil.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 MENGHITUNG MEAN RESIDUAL LIFE

3.1 Menghitung Fungsi Mean Residual Life (MRL) µ(t) dan µλ(t)

t
Diketahui bahwa S(t) = exp{− h(x)dx} dengan hλ(t) = h(t) + λ maka
0
dapat diperoleh Sλ(t) = exp−λt S(t), dimana Sλ(t) adalah fungsi survival dari

hλ(t).

Fungsi survival bersyarat yaitu S(x|t) = P [T

> t + x|T

>

t]

=

S(x+t) S(t)

dengan

demikian

µt(t)

=

E[Tλ − t|Tλ

>

t]

=

R∞
t

Sλ

(x)dx

Sλ (t)

=

∞ 0

e−λxS(x|t)dx

dimana

Tλ adalah fungsi variable acak Sλ(t).

Menghitung Fungsi Mean Residual Life (MRL) µ(t) dan µλ(t) untuk distribusi parametric dimulai dengan distribusi eksponensial. Kemudian akan dapat ditunjukkan bagaimana gagasan resiko bersaing konstan yang muncul secara alami dalam konteks aktuaria.

3.2 Perbandingan Fungsi MRL dan Mengubah Titik
Mengubah titik yang mana monotonitas dari fungsi HR ataupun perubahan dari fungsi MRL dalam aplikasi aktuaria memungkinkan untuk memahami pola kurva mortalitas (Bebbington et al., 2007). Dalam reliability, titik-titik ini menyediakan informasi untuk menentukan kebijakan burn-in. Secara khusus kita ingin mengukur jarak antara titik t∗0 dan t∗λ yang merupakan titik balik dari masing-masing fungsi µ(t) dan µλ(t). Jumlah ini tentu saja tergantung pada bentuk fungsi MRL yang menaik (Increasing) atau menurun (Decreasing). Berbentuk buthtub (BT), yang menurun dibawah titik balik, menaik di atas, dan terbalik berbentuk upside-down buthtub (UBT), yang menaik di bawah titik balik, dan penurunan di atas (Bebbington et al., 2007).

3.3 Reliability Reliability adalah faktor yang berkaitan dengan kepuasan pelanggan dan
yang berakibat dalam membuat keuntungan. Reliability diartikan sebagai proba13
Universitas Sumatera Utara

14

bilitas dari sistem yang bekerja keseluruhan pada spesifikasi waktu dan spesifikasi pekerjaan tertantu dimana fungsi reliability adalah fungsi dari waktu tugas t. Jika waktu diasumsikan sebagai nilai khusus yang tetap, reliability dikatakan sebagai reliability statik. Setelah mekanisme ditolak secara riil maka reability tidak dapat dianalisis secara keseluruhan, penilaian statistik secara umum dapat digunakan untuk mengestimasi reliability dari suatu sistem. Dengan mengikuti konsep dasar dari reliability maka akan menuju ke distribusi waktu hidup dari suatu sistem.

Dinotasikan sebuah variabel acak T sebagai waktu hidup dari sistem dan F

sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T maka F (t) = Pr{T ≤ t}. Kemudian

fungsi reliability R(t) adalah

R(t) = P r {waktu sistem tanpa kegagalan sampai waktu t}

R(t) = Pr{T > t}

R(t) = 1 − Pr{T ≤ t}

R(t) = 1 − F (t)

Diberikan reliability bersyarat dari umur t sebagai R(x|t) ≡ Pr{T > t + x|T >

t} =

R(t+x) R(t)

jika R(t) > 0.

Probabilitas bersyarat

dari

kegagalan

selama

interval

berikutnya x dari

umur t

adalah

R(x|t)

≡

Pr{t

<

T

≤

t+x|T

>

t}

=

F (t+x)−F (t) R(t)

=

1 − R(x|t). Tingkat kegagalan atau fungsi tingkat hazard diberikan sebagai :

h(t)

≡

lim
x→0

1 x

F (t+x)−F (t) R(t)

=

lim
x→0

1 x

[1

−

R(x|t)].

Jika

R(t) >

0

dan

jika f(t)

≡

dF (t) dt

ada,

h(t)

=

f (t) R(t)

dan

f (t)

=

−

dR(t) d(t)

,

t 0

h(x)dx

=

−

log

R(t).

Dengan demikian

R(t) = exp

−

t 0

h(u)du

(Hwang, 2004).

Fungsi tingkat kegagalan mewakili karakteristik dari sistem. Jika sebuah

sistem berada dalam waktu sistem yang buruk, reliability bersyarat dari umur t

adalah

R(x|t)

yang

menurun

di

t,

∀x

≥

0

dan

diperoleh

h(t)

=

lim
x→0

1 x

[1

−

R(x|t)]

yang menaik di t. Sebaliknya jika tingkat kegagalan menaik di t maka R(t) =

exp

−

t t

+xh(u)du

adalah menurun di t, ∀x ≥ 0. Dengan demikian jika ter-

dapat fungsi tingkat kegagalan maka kenaikan reliability bersyarat adalah setara

untuk kenaikan fungsi tingkat kegagalan.

Sebuah distribusi dengan penurunan reliability bersyarat dinyatakan sebagai kenaikan distribusi tingkat kegagalan dan sebuah distribusi dengan kenaikan reliability bersyarat dikatakan sebagai penurunan distribusi tingkat kegagalan.

Universitas Sumatera Utara

15

Mean

Residual

Life

dari

umur

t

adalah

m(t)

≡

E[T

− t|T

>

t]

=

,R ∞ t

R(u)du

R(t)

jika

R(t) > 0. Sebuah kenaikan fungsi tingkat kegagalan memiliki kondisi yang lebih

kuat dari pada kenaikan dari mean residual life (Hwang, 2004).

Ahli elektronika menggunakan cara kenaikan ini untuk mengetahui bentuk bathtub kurva tingkat kegagalan. Bentuk bathtub kurva tingkat kegagalan dapat menurun sampai dua kurva tingkat kegagalan yang bebas dengan adanya model reliability resiko persaingan. Satu kurva tingkat kegagalan dihasilkan dari model kegagalan ekstrinstik yang mana distribusi kegagalannya menaik dan kurva menurun tingkat kegagalan yang lainnya menunjukkan model kegagalan intrinstik.

3.4 Fungsi Hazard

Misalkan T adalah variabel random tunggal nonnegatif kontinu pada interval [0, ∞) yang menunjukkan ketahanan hidup individu dalam suatu populasi. Jika f(t) dan F (t) masing-masing adalah fungsi densitas dan fungsi distribusi dari T , maka fungsi hazard untuk T didefinisikan sebagai berikut :

h(t) = lim F (t + ∆t) − F (t) = F (t) = f(t)

∆t→0

∆tS(t)

S(t) S(t)

dengan S(t) = 1 − F (t) fungsi survival, dan F (t) < 1
Dan dalam distribusi uji hidup didefinisikan beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut : Fungsi survival atau fungsi reliabilitas,
∞
S(t) = Pr(T > t) = f(x)dx = 1 − F (t)
t
Hubungan H(t) dan S(t) atau fungsi hazard kumulatif
t
H(t) = h(x)dx = − log S(t)
0

Universitas Sumatera Utara

16
Untuk memperoleh data ketahanan hidup yang terbaik dari suatu populasi, dilakukan pengujian terhadap n benda pada berbagai kondisi (sensor). Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu atau memperkecil biaya pengujian, terutama bagi benda-benda yang cukup handal. Sensor tipe I ; pengujian akan dihentikan jika telah dicapai waktu tertentu (waktu pensensoran) dan dalam sensor tipe II, pengujian akan dihentikan setelah kegagalan atau kematian benda ke-r dimana (r < n) diperoleh. Analisis ketahanan hidup diamati dan digunakan untuk estimasi, misalnya estimasi fungsi hazard h (Agustina, 2000).
3.5 Fungsi Analisis Survival
Analisis survival adalah suatu metode yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end point. Dengan kata lain, analisis survival memerlukan data yang merupakan waktu survival dari suatu individu.
Tujuan utama dari analisis survival ini adalah untuk memodelkan dan menganalisis data sampai terjadi suatu kejadian; yaitu data yang memiliki batas waktu usia dari suatu kejadian dimana kejadian itu disebut dengan ’failures’. Beberapa contoh antara lain: waktu sampai komponen elektronik rusak, waktu kematian, waktu untuk mempelajari suatu keahlian.
Suatu failure time dalam suatu kasus mungkin saja tak teramati baik karena rancangan percobaannya ataupun karena random censoring. Misalnya ternyata pasien masih hidup sampai akhir dari suatu percobaan klinis. Analisis survival adalah suatu istilah modern yang diberikan terhadap sekumpulan prosedur statistik yang mengakomodasi waktu sampai terjadi suatu kejadian dari data yang tersensor.
3.6 Distribusi Weibull
Fungsi densitas peluang Weibull merupakan suatu distribusi peluang yang penting dalam mengkarakterisasi perilaku probabilistik sejumlah besar fenomena dalam dunia riil. Distribusi Weibull terutama sangat berguna sebagai failure mo-
Universitas Sumatera Utara

17

del dalam menganalisis realibilitas sistem yang berlainan jenis (Tableman, 2004). Misal T adalah failure time dan T berdistribusi Weibull, maka T merupakan suatu variabel random positif dengan fungsi densitas diberikan sebagai berikut:

f(t; µ, α)

=

α µ

t µ

α−1
exp

−

tα µ

dimana α > 0 merupakan shape parameter dan µ > 0 merupakan scale parameter. Sehingga secara umum memiliki nilai ekspektasi T berikut:

E(T ) = µ.r(1 + 1/α)

dan fungsi distribusi kumulatifnya :

f(t; µ, α) = P (T ≤ t; µ, α) = 1 − exp

−

t µ

α

Karena fungsi survivornya didefinisikan sebagai S(t) = 1 − F (t), sehingga diper-

oleh S(t) = exp(−(t/µ)α)

dari

formula

h(t)

=

f (t) S(t)

,

maka

diperoleh

Fungsi

Hazard

sebagai

berikut

:

f(t; µ, α)

=

α µ

t α−1 µ

Universitas Sumatera Utara

18
Berikut ini adalah gambaran secara grafis hubungan antara fungsi hazard dan fungsi kelangsungan :

Gambar 3.1 Hubungan antara fungsi Hazard dan fungsi Survivor

3.7 Weibull Proportional Hazard Model

Pertama dilakukan reparameterisasi dari model Weibull dengan menggu-

nakan λ, dimana λ = µ−α, sehingga diperoleh : h(t) = λαtα−1 dan S(t) =

exp(−λtα). Misal x→ = {x(1), x(2), ..., x(m)} adalah vector kovariat yang ada, se-

hingga fungsi hazard menjadi sebagai berikut :

h(t|x) = h0(t). exp(x′β)

h(t|x)

=

αλα tα−1

exp(x′β )

=

α(λ.(exp(x′β

)

1 α

)αtα−1

h(t|x)

=

α(λ˜)αtα−1

dimana

:

λ˜

=

λ.(exp(x′β

))

1 α

atau fungsi ini biasa juga ditulis sebagai berikut :

hi(t; xi) = exp .(xTi β).λαtα−1

Model mengasumsikan bahwa individu ke-i dan ke-j dengsn kovariat xi dan xj memiliki proportional hazard fungsi sebagai berikut :

hi(t; xi) hj (t; xj)

=

exp(xTi β) exp(xjT β)

=

exp((xi

−

xj)T β)

besaran nilai exp (βi) biasa diinterpretasikan sebagai tingkat hazard (hazard ra-

tio) (Tableman, 2004).

Universitas Sumatera Utara

19 3.8 Simulasi distribusi Weibull dengan MATLAB
Dalam MATLAB, diperlukan Statistics Toolbox untuk menjalankan baris perintah berikut. Bangkitkan data prediktor y berdistribusi Weibull dengan prediktor x, dengan baris perintah sebagai berikut: x = 4 ∗ rand(100, 1); A = 50 ∗ exp(−0.5 ∗ x); B = 2; y = wblrnd(A, B); Kemudian lakukan fitting pada model Cox dengan perintah berikut: [b, logL, H, stats] = coxphf it(x, y); Tampilkan dalam grafik estimasi Cox dengan menggunakan baseline fungsi survivor bersama dengan fungsi Weibull yang telah diketahui sebagai berikut: stairs(H(:, 1), exp(−H(:, 2))) xx = linspace(0, 100); line(xx, 1 − wblcdf (xx, 50 ∗ exp(−0.5 ∗ mean(x)), B),′ color′,′ r′) xlim([0, 50]) legend(′SurvivorF unction′,′ W eibullF unction′)
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 PEMBAHASAN

Misalkan F (t) adalah fungsi distribusi lifetime yang dijelaskan oleh variable

nonnegative acak T . Kita asumsikan bahwa F (0) − 0. Fungsi survival dinotasikan

dengan S(t) = 1 − F (t) dan fungsi hazard (HR) dengan h(t) = f(t)/S(t) untuk

t dimana S > 0, asalkan f(t) = F ′(t) ada. Fungsi mean residual life (MRL)µ(t)

adalah waktu tersisa yang diharapkan untuk kegagalan (failures), mengingat sis-

tem sudah bertahan untuk waktu t, maka µ(t) = E[T − t] = (1/S(t))

∞ t

S(x)dx

untuk t dimana S > 0.

Misalkan terdapat dua fungsi Hazard, hλ(t) dan h(t) yang terkait dengan

persamaan

hλ(t) = h(t) + λ

(4.1)

dimana λ > 0 konstan. Tentu saja mengangkat fungsi HR tidak mengubah sifat geometric dan dengan demikian jumlah titik balik pseudo tidak berubah. Meskipun fungsi HR hλ(t) hanya mengangkat dari fungsi HR h(t) yang konstan λ > 0 , fungsi MRL µλ(t) tidak umum untuk penurunan sederhana µ(t) yang konstan. Secara khusus akan diperlihatkan bagaimana persamaan fungsi MRL µλ(t) dan µ(t) yang terkait satu sama lain, dan bagaimana titik balik dari dua fungsi MRL tersebut (Bebbington et al., 2008).

Situasi sesuai dengan persamaan (4.1) timbul misalnya dalam sistem yang

diatur oleh kegagalan dua persaingan resiko. Mungkin salah satu berasal dari

kemerosotan yang alami (endogen) dan yang lainnya berasal dari bahaya yang

konstan (eksogen). Karena λ dapat diartikan sebagai fungsi HR dari distribusi

eksponensial dengan rata-rata 1/λ, hazard terkait dapat dianggap sebagai meng-

hasilkan model Poisson. Setidaknya ada dua cara. Salah satu atau keduanya

terjadi menghasilkan proses Poisson dari tingkat λ dan beberapa menghasilkan

goncangan yang fatal atau (lebih menarik) guncangan terjadi dalam proses Pois-

son dari tingkat v, sedemikian hingga λ/2 < v < λ , dan kebebasan tidak fatal

dengan peluang (λ − v)/v . Peluang dari survival k menghasilkan

(λ − v)/v

k
.

20

Universitas Sumatera Utara

21

4.1 Perhitungan Fungsi Mean Residual Life (MRL) µ(t) dan µλ(t)

Dimulai dengan S(t) = exp{−λ0t h(x)dx} dimana dari persamaan (4.1) hλ(t) = h(t) + λ maka diberikan Sλ(t) = exp−λt S(t), dimana Sλ(t) adalah fungsi survival
yang berkorespondensi dengan hλ(t) . Fungsi survival bersyarat yaitu

S(x|t) =

P [T

> t + x|T

>

t]

=

S(x + t) S(t)

(4.2)

dengan demikian

µt(t) = E[Tλ − t|Tλ > t] =

∞ t

Sλ(x).dx

Sλ(t)

=

∞
e−λxS(x|t)dx
0

(4.3)

dimana Tλ adalah fungsi variabel acak Sλ(t). Dengan mengintegrasikan sisi kanan dari persamaan bagian (4.3), diperoleh :

∞



µλ(t)

=

1 λ

1

−

e−λxdF (x|t)

=

1 λ

(1

−

E[e−λRt])

0

(4.4)

dimana mean residual life Rt = (T − t|T > t) memiliki fungsi distribusi F (x|t) = 1 − S(x|t). Dimana ekspektasi E[e−λRt] tentu saja transformasi Laplace dari Rt. Perhatikan bahwa ketika λ ↓ 0 , sebelah kanan sisi pada persamaan (4.4) konvergen ke E[Rt] = µ(t). Peran transformasi Laplace dalam menggambarkan karakteristik distribusi lifetime berbeda secara rinci dalam interprestasi dan apli-

kasi yang dapat ditemukan.

Transformasi Laplace dari residual life Rt yang hanya 1 − λµλ(t) dapat diinterpresentasikan dalam aplikasi aktuaria dimana jumlah ganti rugi yang terkait dengan resiko, pendapatan terkait dengan transaksi keuangan, atau premi asuransi jiwa seumur hidup. Sebagai contoh λ dapat disamakan dengan tingkat diskon pada pemodelan premi dan cadangan. Dengan menggunakan fungsi utility (cekung)G(t) = 1−e−x/θ, didapat bahwa E[G(Rt)] = 1−E[e−Rt/θ] dan khususnya mengambil t = 0 diperoleh E[G(T )] = 1 − E[e−Tt/θ]. Ini menghubungkan fungsi utilitas ekonometrik G dengan teori transformasi Laplace. Fungsi utilitas ini memiliki rekan imbangan alami dalam ilmu aktuaria, fungsi H(t) = ex/θ − 1, yang juga terkait dengan fungsi pembangkit moment yang umum (Belzunce, 2007).

Universitas Sumatera Utara

22

Contoh 1

Fungsi survival dari distribusi eksponensial adalah S(t) = exp{−t/θ} dengan

θ > 0. Fungsi Hazard adalah h(t) = 1/θ dan memoryless property S(x|t) = S(x)

dari

distribusi mengikuti persamaan S(x|t)

=

P [T

>

t + x|T

>

t]

=

S(x+t) S(t)

,

yang

selanjutnya

menyiratkan

melalui

µt(t)

=

E[Tλ − t|Tλ

>

t]

=

R∞
t

Sλ (x).dx

Sλ (t)

=

∞ 0

e−λxS

(x|t)dx,

maka

µλ(t)

=

θ/(λθ

+

1),

dan

hλ(t)

=

h(t)

+

λ,

dan

µλ(t)

=

µ(t) − (λθ2)/(λθ + 1) (Bebbington et al., 2008).

Oleh karena itu, untuk distribusi eksponensial, mengangkat fungsi HR dengan

konstan yang rendah fungsi MRL adalah constant. Ciri dari distribusi eksponen-

sial ini terbukti seperti dalam teorema 1 berikut ini

Teorema 1 (Bebbington et al., 2008) Diberikan λ > 0 dan c > 0 adalah konstan, dan anggap bahwa keputusan dari dua fungsi HR h∗(t) dan h∗(t) dan kemiripan keduanya dengan fungsi MRL µ∗(t) dan µ(t) adalah sedemikian hingga sehingga diperoleh persamaan

h∗(t) = h(t) + λdanµ∗(t) = µ(t) − c

(4.5)

berlaku untuk t ≥ 0. Kemudian yang mendasari fungsi survival adalah eksponen-

sial dengan rata-rata

θ(λ, c) =

2

λ2 + 4λ/c − λ

(4.6)

Bukti. Persamaan µ∗(t) = µ(t) − c menunjukkan bahwa µ∗′ (t) − µ(t) = 0. Kare-

na µ∗′ (t) = µ∗(t)h∗(t)−1 dan µ′(t) = µ(t)h(t)−1, didapati bahwa 0 = µ∗(t)h∗(t)−

µ(t)h(t) = λµ(t)−ch(t)−cλ yang setara dengan λ

∞ t

S(x)dx

+

cS′(t)

−

cλS(t)

=

0.

Dengan membedakan persamaan terakhir, diperoleh

S′′(t)

−

λS′(t)

−

λ c

S

(t)

=

0

(4.7)

Sehingga persamaan differensial orde kedua yang homogen ini dengan koefisien

√√

konstan memiliki solusi umum x1 = λ+

λ2+4λc−1 2

dan x2 = λ−

λ2+4λc−1 2

dan c1 dan c2 adalah konstant. Walaupun demikian, solusi harus menjadi fungsi

survival dan karenanya S(+∞) = 0, dinyatakan secara langsung bahwa c1 =

0, dimana x1 > 0. Selanjutnya, S(0) = 1 dan seterusnya c2 = 1. Akibatnya

hanya solusi non-degenereted untuk persamaaan differensial (4.7) adalah satu

Universitas Sumatera Utara

23

eksponensial : S(t) = exp{x2t} Dimana x2 adalah negative, dapat dituulis ulang kembali dalam bentuk S(t) = exp{−t/θ(λ, c)}, dimana constant positif θ(λ, c) seperti yang diberikan dalam parsamaan (4.6). Hal ini menyimpulkan pembuktian dari teorema 1.
Distribusi eksponensial merupakan sarana untuk dapat menginterpresentasikan atau menafsirkan mengenai fungsi MRL µλ(t), melalui kesetaraan dari yang sebelumnya dengan transformasi Laplace dari residual life. Anggap sebuah variable acak E0, memiliki distribusi eksponensial dengan rata-rata θ, maka P [Rt ≤ Eθ] = E[e−Rt/θ]. Oleh karena itu, transformasi Laplace adalah probabilitas dari residual life keadaan akhir untuk penyebab yang alami, sebelum kejadian eksponensial terjadi. Dengan variable acak eksponensial yang sama E0, dimiliki bahwa E[Rt∧Eθ] = θ(1−E[e−Rt/θ]). Oleh karena itu, transformasi Laplace adalah suatu transformasi linier sederhana dari residual life yang diharapkan, yang mana dihentikan dengan sebab alamiah atau kecelakaan eksponensial (Denuit, 2001).

Contoh 2

Fungsi survival dari distribusi Lomax adalah S(t) = (1 + βt)−α, dengan λ > 0

dan β > 0. Fungsi HR adalah h(t) = αβ/(1 + βt) yang menurun langsung. Ini

sangat mudah untuk melihat bahwa S(x|t) adalah distribusi Lomax S(x), dima-

na β diganti dengan β/(1 + βt). Dengan menggunakan pengamatan terakhir dan

persamaan (4.3), dan juga dengan mengasumsikan λ > 0 maka kejadian pertama

diperoleh

µλ(t) =

∞ 0

e−λx

1+βt 1+βt+βx

α

dx

=

1 λ

α

λ β

+

λt

exp

λ β

+

λt

Γ

1

−

α,

λ β

+

λt

Dimana Γ(v, x) =

∞ 0

z v−1 e−z dz

adalah

bagian

atas

dari

fungsi

gamma

yang

tidak

lengkap. Sebuah aplikasi dari aturan LHospital diberikan fungsi MRL :

µ(t)

=

( )lim Γ
λ↓0

1−α,

λ β

+λt

( )lim
λ↓0

1 λα−1

α

1 β

+

t

=

1 β(α−1)

+

1 α−1

t

Fungsi HR linier sering muncul dalam aplikasi aktuaria sebagai contoh data masa

hidup manusia dan memberikan generalisasi sederhana dari distribusi eksponen-

sial, yang meliputi juga kasus khusus dari distribusi Weibull klasik (Bebbington

et al., 2008).

Universitas Sumatera Utara

24

Contoh 3

Fungsi survival dari fungsi HR yang linier diberikan S(t) = exp{−λ1t − λ2t2/2},

dimana λ1 > 0 dan λ2 > 0 atau setidaknya satu dari keduanya tidak nol. Ke-

sesuaian fungsi HR adalah h(t) = λ1 + λ2t. Dari sini, ketika λ2 > 0, fungsi HR menaik langsung. Pertama perlu diingat bahwa fungsi survival e−λtS(t),adalah

fungsi

survival

asli

S(t)

dengan

parameter √

λ1

digantikan √

oleh

λ

+

λ1,

dan

fungsi

survival S(t) dapat ditulis sebagai cφ( λ2t + λ1/ λ2, dimana φ(u) adalah proba-

bilitas fungsi kepadatan standar normal (pdf), dan c adalah konstanta. Dengan

√√

demikian Sλ(t) = cφ( λ2t + (λ1 + λ)/ λ2, dan dengan menggunakan persamaan

(4.3),

diperoleh

µλ(t)

=

„√ 1−Φ λ2t+

λ√+λ1
λ2

«

√ „√ λ2φ λ2t+

λ√+λ1
λ2

«

Dimana Φ(u) adalah fungsi distribusi standard normal. Menetapkan λ = 0 yang

menghasilkan µ(t) (Bebbington et al., 2008).

Dari contoh yang diberikan diatas, digunakan persamaan (4.3) untuk menghitung fungsi MRL µλ(t) dan µ(t), namun ketika distribusi dinyatakan sebagai integral, hal ini menuju kepada integral ganda. Oleh karena itu, perhatikan bahwa

µλ(t) =

∞ t

e−λxS

(x)dx

e−λxS(t)

=

1 λ

1−

∞ t

e−λxf

(x)dx

e−λxS(t)

(4.8)

Maka dari persamaan (4.8), dengan menggunakan aturan LHopital, diperoleh

µ(t) =

λ t

xf (x)dx

−

t

S(t)

(4.9)

Persamaan di atas diperlukan untuk menghitung fungsi MRL µλ(t) dan µ(t) dalam contoh berikutnya. Ini adalah distribusi gamma, yang memiliki sifat dan aplikasi di bidang ekonomi dan ilmu aktuaria.

Contoh 4 Fungsi survival gamma dengan parameter a, b > 0 diberikan dengan persamaan S(t) = Γ(b, at)/Γ(b), dimana Γ(b) = Γ(b, 0) adalah fungsi gamma lengkap, dan Γ(v, x) adalah fungsi gamma lengkap atas fungsi yang didefinisikan sebelumnya. Pdf-nya adalah f (t) = abtb−1e−at/Γ(b), dan karenanya fungsi HR adalah

Universitas Sumatera Utara

25

h(t) = abtb−1e−at/Γ(b, at). Sisi kanan dari persamaan terakhit ini dapat juga di-

tulis sebagai kebalikan dari integral

∞ 0

(1

+

x/t)b−1

e−ax

dx.

Hal

ini

menunjukkan

bahwa fungsi HR h(t) adalah menurun langsung saat 0 < b < 1, konstan saat

b = 1, dan menaik langsung ketika b > 1. Untuk menghitung fungsi MRL µλ(t), pertama-tama kia perhatikan bahwa faktor eλx dibawah tanda integral pada sisi

kanan persamaan (4.8) dapat dimasukkan ke dalam kepadatan fungsi gamma

f (x),

yang

menghasilkan

µλ(t)

=

1 λ

1

−

eλt Γ(b,(a+λ)t) (1+λ/a)bΓ(b,at)

. Dengan persamaan (4.8)

dan

(4.9)

ini

memberikan

µ(t)

=

ab−1tb e−at Γ(b,at)

+

b a

−

t

(Bebbington

et

al.,

2008).

Contoh 5

Fungsi lognormal survival adalah S(t) = 1 − Φ((log t − α)/σ), dimana φ adalah

fungsi distribusi standard normal dan α, σ > 0. Dimulai dengan persamaan (4.9)

dan kemudian menukar variable dari integrasi x menjadi exp{σx + σ2 + α}, diper-

oleh

µ(t)

=

1

− 1

Φ((log t − − Φ((log t

α)/σ − σ) − α)/σ)

.

exp{α

+

σ2/2}

(4.10)

ketika α = 0 dan σ = 1. Namun fungsi MRL µλ(t) tidak tampak dinyatakan dalam bentuk fungsi yang diketahui tanpa menggunakan integral. Dapat dilihat

fungsi ini pada Gambar 4.1 (Bebbington et al., 2008).

Gambar 4.1 Fungsi lognormal survival (panel atas) dan fungsi MRL (panel bawah) dengan parameter α = 2 dan σ = 0.5, dan m