62
n i
i
x
1 2
2 1
2
2 1
exp 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2
2 1
exp 2
.... 2
1 exp
2
n
x x
n i
i n
x
1 2
2 2
2
2 1
exp 2
3.2 Distribusi Invers Gamma sebagai Distribusi Prior
Sebuah variabel random
2
berdistribusi invers gamma dengan parameter
dan
dinotasikan dengan
~
2
IG0,0, maka fungsi densitasnya dapat ditulis dalam bentuk
] 3
[
:
, 1
2 2
2
f
. Untuk mendapatkan bentuk distribusi posterior berdasarkan rumus distribusi
posterior
d
f x
f f
x f
x f
| |
| , maka akan dicari terlebih dahulu fungsi likelihood
dari distribusi sampel normal yaitu:
n u
u
x f
x f
1 2
2
| |
2 2
1 1
2
2 1
exp 2
u n
u
x
n u
u n
x
1 2
2 2
2 1
exp 2
n u
u n
x
1 2
2 2
2
2 1
exp 2
n
u u
n n
x
1 2
2 2
2 1
exp 2
Setelah diperoleh bentuk fungsi likelihood dari distribusi sampel normal, dapat dirumuskan persamaan hasil kali fungsi likelihood distribusi sampel dengan distribusi prior sebagai
berikut:
2 2
|
f x
f =
2
2 1
2 2
2 2
1 2
exp 2
n u
u n
n
x
1 2
2 1
2 2
2 2
2 exp
2
n u
u n
n
x
63
2
1 2
2 1
2 2
2 exp
2
n u
u n
n
x
sehingga integral hasil perkalian antara fungsi likelihood distribusi sampel dengan distribusi prior adalah :
2
2 2
|
d f
x f
2 2
1 2
2 1
2 2
2 exp
2
d x
n u
u n
n
Karena nilai
2
berjalan dari nol sampai tak hingga, maka integral hasil kali fungsi likelihood distribusi sampel dengan distribusi prior juga berjalan dari nol sampai tak
hingga. Misal
q
2
| dq
q f
q x
f
dq q
x q
n u
u n
n
2 exp
2
1 2
2 1
2
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2
2 2
2
q x
q x
q
n u
u n
n u
u n
n
2 1
2 1
2 1
2 1
2
2 2
exp 2
n n
u u
n u
u n
n u
u
q x
d q
x q
x
2 1
2 2
1 2
2 2
2
n n
u u
n n
q x
q n
q
maka,
2
2 2
|
d f
x f
2 2
1 2
2 2
1 2
2
2 2
2
n n
u u
n n
x n
64
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2
2 2
2 2
exp 2
|
n n
u u
n n
n u
u n
n
x n
x
x f
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 exp
2 2
n u
u n
n n
u u
x n
x
n u
u
x n
IG x
n u
u n
n n
u u
x n
x
1 2
2
2 1
; 2
~ |
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 exp
2 2
n
u u
x n
IG x
f
1 2
2
2 1
; 2
~ |
Jadi distribusi posterior yang terbentuk adalah distribusi invers gamma. 3.3
Non-Informatif Prior dari Distribusi Normal
Distribusi non-informatif prior
f dimana
2
,
, diasumsikan bahwa
dan
2
adalah independen sehingga
2
f
f f
] 2
[
. Mendapatakan distribusi non-informatif prior
2
f
2 2
2 1
exp 2
1 ,
;
X
X f
2 2
2 2
2 log
2 1
2 log
2 1
, ;
log
X X
f Jika
2
u
maka
u X
u u
X f
2 log
2 1
2 log
2 1
, ;
log
2
2 2
2 2
1 ,
; log
u X
u du
u X
f d
3 2
2 2
2
2 1
, ;
log u
X u
du u
X f
d
6 2
4
2 1
X
65
2 2
2
, ;
log du
u X
f d
E I
6 2
4
2 1
4
2 1
2 2
I f
4
2 1
2
1
Sedangkan nilai non-informatif prior untuk
c f
konstan sehingga diperoleh
2
f
f f
2
1
c
2
1
Jadi nilai non-informatif prior untuk
2
1
f
3.4 Distribusi Posterior
