Transformasi
1
TRANSFORMASI
A. Macam-Macam Transformasi
1. Transformasi Pergeseran Translasi
Segitiga ABC pada gambar di samping digeser menjadi segitiga
A’B’C’. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut digeser
dengan jarak dan arah yang tetap sehingga diperoleh segitiga
A’B’C’. Transformasi yang berciri demikian dinamakan pergeseran atau translasi.
Sebuah titik Px,y digeser sejauh T =
b a
maka akan diperoleh bayangan P’x’,y’, dan dirumuskan
x’ = x + a y’ = y + b
Atau :
y x
=
y x
+
b a
Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini 01. Diketahui dua titik A
–2, 3 dan B5, 1. Tentukanlah bayangan ruas garis AB jika ditranslasikan sejauh T =
4 3
dan gambarkan Jawab
A –2, 3
A’–2 + 3, 3 + 4 A’1, 7
B5, 1 B’5 + 3, 1 + 4
B’8, 5 Atau dengan matriks
Titik A :
y
x =
3 2
+
4
3 Titik B :
y x
=
1
5 +
4 3
y x
=
7
1
y
x =
5 8
Translasi diatas dapat digambarkan sebagai berikut : A
B C
A B
C y
x O
Transformasi
2 02. Diketahui titik A3, -
5 digeser sehingga diperoleh bayangan A’7, 2. Dengan translasi yang sama titik B-4, -
8 akan bergeser menjadi B’. Tentukan koordinat B’
Jawab
Titik A :
2
7 =
5 3
+
b
a
b a
=
2
7 –
5 3
b a
=
7
4
Titik B :
y
x =
8 4
+
b
a
y x
=
8
4 +
7 4
y x
=
1
Jadi koordinat titik B’0, –1 2. Transformasi Perputaran Rotasi
Segitiga ABC pada gambar berikut ini diputar dengan pusat putaran di
O0, 0 dan sudut putar sejauh
α
, sehingga menjadi segitiga A’B’C’.
Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut diputar denganpusat dan
sudut putar yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.
Transformasi yang berciri demikian dinamakan perputaran atau rotasi.
y
x O
2,3 A
,1
5 B
1,7 A
8,5 B
O A
B
C
A B
C
Transformasi
3 Untuk
α positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Sedangkan untuk α negatif, maka perputarannya searah jarum jam
Sebuah titik Px,y diputar dengan pusat O0, 0 sejauh
α
akan diperoleh bayangan P’x’,y’ dimana : x’ = x.cos
α
– y.sin
α
y’ = x.sin
α
+ y.cos
α
Atau :
y
x =
cos
sin sin
cos
y
x Bukti:
Didalam segitiga OAP diperoleh hubungan : OA = OP cos
atau x = r.cos
AP = OP sin
atau y = r.sin
Di dalam segitiga OBP diperoleh hubungan i OB = OP cos
+ α
x = r. cos
+ α
x = r cos
. cos
α – r sin
. sin
α
x = x cos
α – y sinα ii BP = OP sin
+ α
y = r. sin
+ α
y = r sin
. cos
α + r cos
. sin
α
y = y cos
α + x sin α Walaupun rumus di atas diturunkan dengan mengambil
α sudut positip, tetapi dapat ditunjukkan bahwa berlaku untuk semua
α α positip atau α negatif Jika pusat putaran di Ah, k dan sudut putaran sejauh
α , maka rumus menentukan bayangannya dapat diturunkan dengan menggeser titik pusat O0, 0 sejauh
k h
Sehingga jika titik Px,y diputar dengan pusat Ah, k sejauh
α
akan diperoleh bayangan P’x’,y’ dimana : x’– h = x – hcos
α
– y – ksin
α
y’– k = x – h sin
α
+ y – kcos
α
Atau :
y x
=
cos
sin sin
cos
k
- y
h x
+
k h
O A
B C
D y
Px, y
, x
P
x y
α
r
r
Transformasi
4 Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini
03. Tentukanlah bayangan titik A6, –4 jika diputar sejauh 135
dengan pusat O0, 0. Jawab
y x
=
135 cos
135 sin
135 sin
135 cos
4 6
y x
=
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
4 6
y x
=
2 2
2 3
2 2
2 3
y x
=
2
5 2
Jadi titik A’–
2
, 5
2
04. Diketahui segitiga ABC dimana titik A6, 2, B1, 3 dan C4, 6 diputar sejauh 90 dengan pusat O0, 0. Tentukanlah koordinat titik bayangan segitiga tersebut
Jawab
C B
A C
B A
y y
y x
x x
=
90
cos 90
sin 90
sin 90
cos
C B
A C
B A
y y
y x
x x
C B
A C
B A
y y
y x
x x
=
1
1
6 3
2 4
1 6
C B
A C
B A
y y
y x
x x
=
4 1
6 6
3 2
Jadi titiknya A’–2, 6 , B’–3, 1 dan C’–6, 4 Gambarnya
A A
B B
C C
x y
O
Transformasi
5 05. Sebuah titik Ax, y dirotasikan dengan pusat O0, 0 sejauh 45
, sehingga diperoleh bayangan A’2
2
, 6
2
. Tentukanlah koordinat titik A Jawab
Bayangan titik Ax, y adalah A’2
2
, 6
2
dengan
α
= 45
2
6 2
2 =
45
cos 45
sin 45
sin 45
cos
y
x
2 6
2 2
=
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
y x
6 2
. 2
=
1
1 1
1 2
2 1
y x
6 2
. 2
=
1
1 1
1
y
x
12 4
=
1
1 1
1
y
x
1
1 1
1 1
1 1
1 1
12 4
=
y
x
1 1
1 1
2 1
12 4
=
y
x
12
4 12
4 2
1 =
y x
4 8
=
y
x Jadi A8, 4
06. Tentukan bayangan titik P4, –6
3
jika diputara sejauh 13 putaran berlawanan arah jarum jam dengan pusat O0, 0 ….
Jawab α Bernilai positip karena perputaran berlawanan arah jarum jam
α = 360
3 1
= 120 Maka x’ = x.cos 120
– y.sin 120 x’ = 4.cos 120
–
3 6
.sin 120 x’ = 4
2 1
+
3 6
3 2
1 x’ = –2 + 33
x’ = 7 y’ = x.sin 120
+ y.cos 120
Transformasi
6
cermin garis
y’ = 4.sin 120 +
3 6
.cos 120 y’ = 4.
3 2
1 +
3 6
2 1
y’ = 3
2 +
3 3
y’ = 3 5
Jadi titiknya P’–7, 3 5
07. Jika titik P5,-7 dirotasikan sejauh 180 dengan pusat A3, 1 sehingga diperoleh
bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’ Jawab
Diketahui P5, –7
Pusat A3, 1 α = 180
Maka x’– h = x – hcos 180 – y – ksin 180
x’– 3 = 5 – 3cos 180 – –7 – 1sin 180
x’– 3 = 2 –1 – –80 x’– 3 = –2 + 0
x’ = 1 y’– k = x – h sin 180
+ y – k cos 180 y’– 1 = 5 – 3 sin 180
+ –7 – 1 cos 180 y’– 1 = 20 + –8 –1
y’– 1 = 0 + 8 y’– 1 = 8
y’ = 9 Jadi titiknya P’1, 9
3. Transformasi Pencerminan Refleksi