APPROXIMATION OF F DISTRIBUTION WITH GENERALIZEDLOG-LOGISTIC DISTRIBUTION

PENDEKATAN DISTRIBUSI F

DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)

Oleh

Tiara Kumalasari

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

ABSTRACT

APPROXIMATION OF F DISTRIBUTION

WITH GENERALIZEDLOG-LOGISTIC DISTRIBUTION By

Tiara Kumalasari

Generalized Log-Logistic (GLL) Distribution is generalized from Log-Logistic Distribution with four parameters The characteristics of GLL Distribution can be seen from the corelation of other distribution, particulary well-known distribution. By reparameterizing and transforming on parameters from GLL Distribution to F Distribution, it will be proven that there is a corelation between GLL Distribution and F Distribution.

The point of this research is to approach F Distribution using GLL Distribution with moment generating funtion. The conclution of this research is that F Distribution can be approached by GLL Distribution using moment generating function from each of the distributions.

Keywords: F Distribution, Generalized Log-Logistic Distribution, MacLaurin Series, Gamma Function, Moment Generating Function.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... xv

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 2

1.3 Manfaat Penelitian ... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi F ... 3

2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) ... 5

2.3 Ekspansi Deret Maclaurin ... 7

2.4 Fungsi Gamma ... 8

2.5 Fungsi Pembangkit Momen ... 8

2.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistik (GLL) ... 9

2.7 Pendekatan Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen ... 9

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10

3.2 Metode Penelitian ... 10

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi ... 12

4.2 Distribusi F (r1, r2) sebagai Kasus Distribusi Limit dari 16

4.3 Grafik Fungsi Distribusi ... 17

4.3.1 Grafik pendekatan distribusi F dengan distribusi GLL 17 4.3.2 Grafik distribusi F dengan parameter yang berbeda .... 20

xiv 4.3.3 Grafik distribusi Generalized Log-Logistic dengan

parameter yang berbeda ... ... 22 V KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

I. _PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, Distribusi F merupakan distribusi probabilitas kontinu yang merupakan rasio dari ragam sampel yang diambil secara acak dari populasi normal yang diturunkan dari Distribusi Probabilitas Normal Baku melalui Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi F seringkali digunakan untuk pengujian rata-rata lebih dua perlakuan, antara lain analisis varians dan analisis regresi.

Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan salah satu model distribusi umum yang kurang populer dibandingkan dengan distribusi lainnnya. Namun, tidak sedikit peneliti yang menggunakan Distribusi GLL dalam menganalisis data kelangsungan hidup. Distribusi Log-Logistik dapat digunakan sebagai dasar dari model waktu kegagalan dipercepat dengan memungkinkan berbeda antara kelompok-kelompok. Distribusi Log-Logistik telah digunakan dalam hidrologi untuk pemodelan tingkat aliran sungai dan curah hujan.

Distribusi GLL cukup potensial untuk dikembangkan, baik dalam teoritis maupun aplikasi. Karakteristik distribusi ini juga dapat dilakukan dengan melihat

2

hubungan dari distribusi lain yang bersangkutan, khususnya distribusi yang sudah dikenal. Melalui reparameterisasi dan transformasi pada parameter dari Distribusi GLL ke Distribusi F, dibuktikan adanya hubungan antara Distribusi GLL dan Distribusi F. Distribusi GLL dan Distribusi F memiliki domain yang sama yaitu untuk non-negatif . Oleh karena itu, penulis akan melakukan pendekatan Distribusi F dengan Distribusi Generalized Log-Logistic.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan Distribusi F terhadap Distribusi GLL dengan menggunakan teknik fungsi pembangkit momen.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah mengetahui serta memahami bahwa suatu distribusi dapat didekatkan dengan distribusi lainnnya berdasarkan fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi yang berhubungan dengan penelitian mengenai pendekatan Distribusi dengan Distribusi Generalized Log-Logistic melalui fungsi pembangkit momen-nya.

2.1 Distribusi F

Distribusi F dikenal dengan sebutan Distribusi F Snedecor atau Distribusi Fisher-Snedecor (dinamakan mengikuti Sir Ronald Aylmer Fisher (17 Februari 1890 – 29 Juli 1962) dan George W. Snedecor merupakan pakar statistika, pertanian eksperimental, dan genetika kuantitatif asal Inggris).

Distribusi Probabilitas F diturunkan dari Distribusi Probabilitas Normal Baku melalui Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi Probabilitas F merupakan perbandingan dua Distribusi Khi-Kuadrat dalam bentuk

Pada Distribusi Probabilitas F terdapat dua derajat kebebasan yakni derajat kebebasan pembilang (atas) dan derajat kebebasan penyebut (bawah).

4

Suatu peubah acak dikatakan memiliki distribusi F (dinamakan mengikuti R.A. Fisher) dengan r1 dan r2 derajat kebebasan jika fungsi kepekatannnya ditentukan oleh ; untuk

; lainnya

Peubah acak X yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan pembilang = r1 dan derajat kebebasan penyebut = r2 dapat ditulis sebagai berikut:

(Hogg and Craig, 1995).

Adapun ciri-ciri dari distribusi F adalah:

1. Distribusi F bersifat kontinu. Hal ini berarti bahwa Distribusi F nilainya bisa jadi tidak terbatas, antara nol dan positif tak hingga.

2. Distribusi F tidak dapat bernilai negatif. Nilai terkecil dari F adalah 0.

3. Bentuknya tidak simetri. Semakin besar jumlah derajat kebebasan pada pembilang dan penyebut, distribusinya semakin mendekati Distribusi Normal. 4. Bersifat asimtotik (asymptotic). Semakin besar nilai X, kurva F semakin

mendekati sumbu X tetapi tidak akan pernah sampai menyentuhnya. (Douglas, et. al., 2008).

5

2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic

Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan salah satu distribusi umum yang memiliki potensi cukup baik untuk pencocokan data kelangsungan hidup. Distribusi GLL merupakan perluasan dari Distribusi Log-Logistik dengan menambahkan dua parameter bentuk .

Suatu peubah acak dikatakan berdistribusi GLL dengan parameter

atau dapat dinotasikan sebagai GLL , dengan sebagai parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, dimana pada saat waktu tersebut, belum ada obyek pengamatan yang mati/rusak/gagal.

Sedangkan sebagai parameter skala yang menyatakan besarnya keragaman data berdistribusi GLL .

Dalam Warsono (2010), fungsi kepekatan peluang dari Distribusi GLL dapat dinyatakan sebagai berikut:

( ) [ ] [ ]

untuk dan ,

dengan

( ₎ adalah Fungsi Distribusi Log-Logistik.

Dengan memisalkan sebagai peubah acak baru yang merupakan Fungsi Distribusi Log-Logistik, maka didapatkan fungsi distribusi dari Distribusi Generalized Log-Logistic sebagai berikut:

6

_{( )} dan

( ₎ maka Fungsi Distribusi dari GLL adalah:

∫

dengan:

= peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu rusak/ gagal.

= Fungsi Beta lengkap.

= parameter lokasi yang menunjukkan lokasi waktu, dimana pada lokasi waktu tersebut belum ada obyek pengamatan yang rusak/ gagal.

= parameter skala yang menunjukkan besarnya keragaman data Distribusi GLL .

= parameter bentuk yang menunjukkan laju kerusakan/ kegagalan data Distribusi GLL .

Jika , Distribusi GLL merupakan Distribusi Log-Logistic.

Jika , GLL berdistribusi melenceng ke arah positif. Jika , GLL berdistribusi melenceng ke arah negatif.

7

2.3 Ekspansi Deret Maclaurin

Suatu fungsi dan turunannya, kontinu dalam interval dan , maka untuk di sekitar , yaitu | | dapat diekspansikan sebagai sebuah Deret Taylor (berbentuk polinom), yaitu:

(2.1)

Untuk , maka Persamaan (2.1) menjadi:

_(2.2)

Persamaan (2.2) di atas, disebut Deret Maclaurin bagi fungsi .

Dengan menggunakan Persamaan (2.2), maka fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

Sehingga diperoleh:

∑ (2.3)

8

2.4Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, Fungsi Gamma didefinisikan untuk , Fungsi Gamma adalah:

∫ _(2.4)

2.5Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak , untuk diskrit adalah

_∑ dan jika kontinu

_∫

(Miller and Miller, 1999).

Fungsi pembangkit momen hanya ada, jika jumlah atau integral pada definisi di atas konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut.

Teorema Ketunggalan:

i. Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama, maka kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama. ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila

ada) fungsi pembangkit momennya juga sama. (Dudewicz and Mishra, 1995)

9

2.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Genaralized Log-Logistic

Misalkan suatu peubah acak berdistribusi , maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak adalah sebagai berikut:

∑

(2.5)

(Warsono, 2010).

2.7Pendekatan Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momen yang terdefinisi untuk untuk semua n. Jika terdapat suatu fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit momen , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga

, maka memiliki distribusi limit dengan fungsi distribusi (Hogg and Craig, 1995).

III. METODELOGI PENELITIAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang waktu dan tempat diadakannya penelitian serta langkah-langkah yang digunakan dalam metode penelitian tentang pendekatan Distribusi dengan Distribusi Generalized Log-Logistic melalui fungsi pembangkit momen-nya.

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui Distribusi Generalized Log-Logistic dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.

11

Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui Distribusi Generalized Log-Logistic adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi

2. Buktikan bahwa Distribusi F dapat didekati dengan Distribusi GLL, dengan menunjukkan bahwa:

FPM FPM GLL (

3. Buat grafik Distribusi F dan Distribusi GLL dengan parameter yang berbeda-beda dengan menggunakan Software R.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, adapun kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut:

1. Fungsi pembangkit momen dari Distribusi F dengan parameter adalah ∑

2. Distribusi F dengan parameter merupakan kasus khusus dari Distribusi Generalized Log-Logistic dengan parameter untuk dan .

DAFTAR PUSTAKA

Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.

Douglas, A. Lind, G. Marchal, William, dan A. Wathen, Samuel. 2008. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Jilid 2 (edisi 13). Diterjemahkan oleh Chriswan Sungkono. Jakarta: Salemba Empat.

Heryanto, N. dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: C.V Yrma Widya.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. New Jersey: Prentice-Hall Inc.

Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Upper Saddle River.

Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.

Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distribution. Proceedings of the Thirt International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.

9 2.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Genaralized Log-Logistic

Misalkan suatu peubah acak berdistribusi , maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak adalah sebagai berikut:

∑

(2.5)

(Warsono, 2010).

2.7Pendekatan Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momen yang terdefinisi untuk untuk semua n. Jika terdapat suatu fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit momen , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga , maka memiliki distribusi limit dengan fungsi

III. METODELOGI PENELITIAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang waktu dan tempat diadakannya penelitian serta langkah-langkah yang digunakan dalam metode penelitian tentang pendekatan Distribusi dengan Distribusi Generalized Log-Logistic melalui fungsi pembangkit momen-nya.

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui Distribusi Generalized Log-Logistic dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.

11

Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui Distribusi Generalized Log-Logistic adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi

2. Buktikan bahwa Distribusi F dapat didekati dengan Distribusi GLL, dengan menunjukkan bahwa:

FPM FPM GLL (

3. Buat grafik Distribusi F dan Distribusi GLL dengan parameter yang berbeda-beda dengan menggunakan Software R.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, adapun kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut:

1. Fungsi pembangkit momen dari Distribusi F dengan parameter adalah ∑

2. Distribusi F dengan parameter merupakan kasus khusus dari Distribusi Generalized Log-Logistic dengan parameter untuk dan .

DAFTAR PUSTAKA

Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.

Douglas, A. Lind, G. Marchal, William, dan A. Wathen, Samuel. 2008. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Jilid 2 (edisi 13). Diterjemahkan oleh Chriswan Sungkono. Jakarta: Salemba Empat.

Heryanto, N. dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: C.V Yrma Widya.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. New Jersey: Prentice-Hall Inc.

Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical

Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Upper Saddle River.

Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.

Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distribution. Proceedings of the Thirt International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.