APPROXIMATIONS OF CHI-SQUARE DISTRIBUTION TO GENERALIZED LOG LOGISTIC DISTRIBUTION (GLLD)

PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI KUADRAT

DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)

Oleh

Kartika Candra Buana

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2013

ABSTRACT

APPROXIMATIONS OF CHI-SQUARE DISTRIBUTION TO GENERALIZED LOG LOGISTIC DISTRIBUTION (GLLD)

By

KARTIKA CANDRA BUANA

To examine the relation of a distribution with other distributions based on the moment generating function is established, the necessary concepts and theories that support of statistical sciences. Concepts or methods that can be used to perform the approach of the two distributions is to look value of moment generating function, by looking value of cumulative distribution functions, and the last is to use the theory of the central limit theorem. Generalized Log-Logistic Distribution (GLL) is a generalization of the log-logistic distribution with four parameters . Purpose of this study is approximation the Chi-square distribution with the generalized log-logistic distribution by looking value of moment generating function both of the distribution. Based on the result it can be concluded that the Chi-Square distribution can be approximated by the generalized log-logistic distribution.

Keywords: Chi-Square Distribution, Generalized Log-Logistic Distribution, Moment Generating Function

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... xv

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 3

1.3 Manfaat Penelitian ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Khi – Kuadrat ... 4

2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) ... 7

2.3 Ekspansi Deret Maclaurin ... 9

2.4 Fungsi Pembangkit Momen ... 10

2.5 Kasus Khusus atau Limiting GLL ( ... 13

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 14

3.2 Metode Penelitian ... 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Khi – Kuadrat ... 16

4.2 Distribusi Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus dariDistribusi Gamma ... 17

4.3 Distribusi Gamma sebagai Kasus Limiting atau Distribusi Limit dari Distribusi GLL ... 18

4.4 Distribusi Khi-kuadrat sebagai Kasus Limiting atau Distribusi Limit dari Distribusi GLL ... 19

xiv

4.3 Grafik Fungsi Distribusi ... 21

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ... 27 5.2 Saran ... 28 DAFTAR PUSTAKA

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Statistika merupakan ilmu yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan serta memperesentasikan suatu data. Pemodelan statistika telah banyak digunakan diberbagai bidang ilmu, seperti ilmu kedokteran, teknik, manajemen, industri, bisnis, ekonomi dan hampir semua bidang yang mencakup pengetahuan manusia. Model yang paling dasar dan banyak digunakan adalah distribusi peluang, yang berhubungan dengan nilai dari variabel pokok dalam menentukan peluang suatu kejadian. Untuk mengkaji hubungan suatu distribusi dengan distribusi lainnya berdasarkan fungsi pembangkit momen yang dibentuk, diperlukan konsep-konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika.

Konsep-konsep ataupun metode yang dapat digunakan untuk melakukan pendekatan dari dua distribusi ialah dengan menyamakan fungsi pembangkit momennya, fungsi komulatif distribusi, dan yang terakhir dengan teori dalil limit pusat. Dalam penelitian ini yang akan digunakan adalah metode pendekatan melihat nilai fungsi pembangkit momennya karena memiliki bentuk yang sederhana sehingga lebih efisien dalam mengkaji kasus khusus suatu distribusi.

2

Karakterisasi distribusi juga dapat dilakukan dengan melihat hubungan dari distribusi yang bersangkutan dengan distribusi lain yang sudah dikenal luas. Ojo dan Olapade (2003) telah membuktikan teorema hubungan antara distribusi GLL dengan distribusi t dan F. Distribusi generalized log-logistic (GLL) merupakan salah satu model perumuman yang memiliki potensi yang baik untuk menyesuaikan dengan data kelangsungan hidup. Distribusi generalized log-logistic merupakan bentuk perumuman dari distribusi log-logistik dengan penambahan dua parameter baru yaitu . Sehingga teorema hubungan antara distribusi GLL dengan distribusi lainnya yang sudah terkenal dapat dikaji lebih lanjut.

Salah satu distribusi yang sudah terkenal luas ialah distribusi Gamma. Distribusi gamma mempunyai peranan penting dalam teori antrian dan keandalan (reliabilitas). Contohnya yaitu : Jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya : bank, loket tiket kereta api, dll) dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang alat listrik. Salah satu bentuk khusus dari distribusi gamma adalah distribusi khi-kuadrat dengan .

Dalam penelitian ini peneliti ingin mengkaji hubungan antara distribusi GLL dengan distribusi lainnya yang sudah terkenal, dalam hal ini yaitu distribusi khi kuadrat dengan metode pendekatan pada nilai fungsi pembangkit momen.

3

1.2Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi Khi-kuadrat dengan distribusi generalized log-logistic dengan menyamakan fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.

1.3Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah dapat memahami bahwa suatu distribusi dapat didekati dengan distribusi lainnya berdasarkan fungsi pembangkit momen yang dibentuk oleh kedua distribusi tersebut.

II. LANDASAN TEORI

Distribusi Gamma adalah salah satu keluarga distribusi probabilitas kontinu. Distribusi ini merupakan distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan juga dipelajari dalam banyak bidang matematika.

Salah satu bentuk khusus dari distribusi gamma adalah distribusi khi-kuadrat dengan . didefinisikan sebagai jumlah kuadrat dari peubah-peubah acak yang bebas dan menyebar normal dengan rataan nol dan ragam satu. Distribusi bergantung pada derajat bebasnya, untuk setiap derajat bebas terdapat satu sebaran .

2.1 Distribusi Khi-Kuadrat

Distribusi Khi-Kuadrat ini seringkali digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan. Salah satu penggunaan distribusi ini adalah uji khi-kuadrat untuk kebersesuaian (goodness of fit) suatu distribusi pengamatan dengan distribusi teoretis, kriteria klasifikasi analisis data yang saling bebas, serta pendugaan selang kepercayaan untuk simpangan baku populasi berdistribusi normal dari simpangan baku sampel.

5

Definisi 2.1 Distribusi Khi-Kuadrat

Menurut Hogg dan Tanis (2001) jika merupakan peubah acak berdistribusi gamma . Fungsi densitas dari yaitu :

Jika dan , dimana bilangan bulat positif, maka fungsi densitasnya menjadi

Dikatakan bahwa berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas , dilambangkan dengan . Diketahui bahwa rataan sama dengan derajat bebas.

Bukti:

∫

∫

∫ (2.1)

Misalkan

6

Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.1) sehingga diperoleh:

∫

(2.2)

Ragam sama dengan dua kali derajat bebasnya. Nilai ragam dari distribusi khi-kuadrat sebagai berikut:

Bukti:

[ ] (2.3)

∫

∫

∫ (2.4)

Misalkan

7

Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.4) sehingga diperoleh:

∫

(2.5)

Substitusikan persamaan (2.2) dan (2.5) pada persamaan (2.3) sehingga diperoleh:

[ ]

[ ]

2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic

Distribusi generalized log-logistic (GLL) merupakan salah satu model perumuman yang memiliki potensi yang baik untuk menyesuaikan dengan data kelangsungan hidup. Dengan menggunakan distribusi generalized log-logistic sebagai distribusi perumuman dilakukan pendekatan dengan distribusi Khi Kuadrat.

Definisi 2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic

Menurut Warsono (2011) suatu peubah acak dikatakan berdistribusi GLL dengan parameter atau dapat dinotasikan sebagai , dengan sebagai parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, di mana pada saat waktu tersebut, belum ada obyek

8

pengamatan yang mati/rusak/gagal. Sedangkan sebagai parameter skala yang menyatakan besarnya keragaman data berdistribusi GLL .

Fungsi kepekatan peluang dari distribusi GLL dapat dinyatakan sebagai berikut:

[ ] [ ]

untuk dan . Dengan

( ₎ adalah fungsi distribusi log logistik.

Dengan memisalkan

( ₎ dan

( ₎ maka fungsi distribusi dari GLL adalah:

∫

di mana menyatakan fungsi beta lengkap dengan:

peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (failure time).

= fungsi beta lengkap.

= parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan/kegagalan data berdistribusi GLL .

Untuk , distribusi GLL berubah menjadi distribusi log-logistik.

Untuk , fungsi kepekatan peluang dari GLL menjulur kearah positif.

Untuk , fungsi kepekatan peluang dari GLL menjulur kearah negatif.

9

2.3 Ekspansi Deret Maclaurin

Pada penelitian ini deret Maclaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi dalam menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized log-logistic.

Teorema 2.1 Deret Maclaurin

Misalkan adalah fungsi di mana turunan ke , , ada untuk setiap pada suatu selang terbuka yang mengandung . Jadi, untuk setiap di dalam berlaku:

(2.6)

Persamaan (2.6) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi . Jika , maka bentuk deret pada persamaan (2.6) menjadi:

(2.7)

Dan bentuk deret pada persamaan (2.7) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi fungsi .

Dengan menggunakan persamaan (2.7) maka fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

dst. Sehingga diperoleh: ∑ (2.8) (Purcell, Varberg, dan Rigdon, 2003)

10

2.4 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara untuk mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi. Fungsi pembangkit momen memiliki bentuk yang sederhana, namun tidak semua distribusi peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen.

Definisi 2.4 Fungsi pembangkit momen

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit mauun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:

Untuk dan .

Dari definisi di atas, dapat diuraikan dalam 2 kasus yang berbeda, yaitu untuk peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

a. Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan adalah nilai fungsi peluang dari X di , maka fungsi pembangkit momen dari X adalah

_∑

Contoh :

_{( ) ∑}

11 ∑ ( ) _[ ( _{) (} )] ( ₎

b. Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan adalah nilai fungsi densitas dari X

di , maka fungsi pembangkit momen dari X adalah

_∫ Contoh : _∫ ∫ _∫ Misalkan ( ₎ ( )

12

Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.9) sehingga diperoleh:

_{∫ ( )}

( ) ∫

Diketahui bahwa ∫ merupakan fungsi gamma, yaitu Г( ). Sehingga diperoleh :

_{(Herryanto dan Gantini, 2009)}

Teorema 2.2 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistic Misalkan suatu peubah acak berdistribusi , maka fungsi pembangkit momen dari adalah sebagai berikut:

∑ ⁄ (2.10) (Warsono, 2011).

Teorema 2.3 Ketunggalan untuk Fungsi Pembangkit Momen

i. Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama, maka

kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama.

ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila ada)

13

Teorema 2.4 Limiting Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momennya ada pada selang dan untuk semua n. Jika ada fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit momennya , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga

, maka memiliki distribusi limit dengan fungsi

distribusi (Hogg & Craig, 1995).

2.5 Kasus Khusus atau Limiting GLL

Menurut Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan (2000), bentuk hubungan distribusi generalized log-logistic dengan distribusi lainnya sebagai kasus khusus atau limiting dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

( ₍ ) )

( )

( )

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013/2014. Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk mengkaji hubungan generalized log logistic distribution ( terhadap distribusi Khi-kuadrat dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam mengkaji pendekatan distribusi Khi-Kuadrat melalui distribusi generalized log-logistic adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-Kuadrat.

2. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma untuk dan dengan menunjukkan bahwa: .

15

3. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi GLL ( ) untuk dan

dengan menunjukkan bahwa:

.

4. Membuat grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi Khi-kuadrat, distribusi generalized log-logistic dengan parameter berbeda menggunakan softwareR versi 3.0.0

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Khi - Kuadrat ialah

2. Distribusi Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus dariDistribusi Gamma

3. Distribusi Khi – kuadrat dapat didekati dengan distribusi Generalized log-logistic ( ) dengan melihat nilai fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.

4. Distribusi Khi – kuadrat dengan derajat bebas dikatakan sebagai kasus limiting atau distribusi limit dari distribusi generalized log-logistic dengan parameter untuk , dan

.

5. Dari grafik yang telah dibuat berdasarkan fungsi kepekatan peluang distribusi Khi-Kuadrat dan distribusi generalized log-logistic dengan melakukan reparameterisasi pada distribusi generalized log logistic, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi log normal dapat didekati oleh distribusi generalized log-logistic.

28

5.2 Saran

Pada penelitian ini penulis membatasi pada kasus khusus distribusi Khi – kuadrat terhadap distribusi generalized log-logistic, karena itu penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan mengkaji kasus khusus lainnya. Penelitian lain dapat mengkaji dari fungsi distribusi yang ada.

DAFTAR PUSTAKA

Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.

Herryanto, N., dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama Widya, Bandung.

Hogg, V.A. dan Tanis, A.E. 2001. Probability and Statistical Inference. Edisi ke-6. Prentice-Hall, New Jersey.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice-Hall Inc, New Jersey.

Purcell, E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E. 2003. Kalukulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta.

Warsono. 2009. Moment Properties of The Generalized Gamma Distribution. Proceedings on Seminar Nasional Sains MIPA dan Aplikasinya. Bandar Lampung : 157-162.

Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distributions. Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.

Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan. 2000. On The Estimation of The Generalized Log-Logistic Distribution with Applications to Pollutant Concentration Data. Forum Statistika dan Komputasi. Edisi Khusus: 74-77.

13

Teorema 2.4 Limiting Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momennya ada pada selang dan untuk semua n. Jika ada fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit momennya , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga , maka memiliki distribusi limit dengan fungsi

distribusi (Hogg & Craig, 1995).

2.5 Kasus Khusus atau Limiting GLL

Menurut Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan (2000), bentuk hubungan distribusi generalized log-logistic dengan distribusi lainnya sebagai kasus khusus atau limiting dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

( ₍ ) )

( )

( )

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013/2014. Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk mengkaji hubungan generalized log logistic distribution ( terhadap distribusi Khi-kuadrat dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam mengkaji pendekatan distribusi Khi-Kuadrat melalui distribusi generalized log-logistic adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-Kuadrat.

2. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma untuk dan dengan menunjukkan bahwa: .

15

3. Membuktikan bahwa distribusi Khi-Kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi GLL ( ) untuk dan

dengan menunjukkan bahwa:

.

4. Membuat grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi Khi-kuadrat, distribusi generalized log-logistic dengan parameter berbeda menggunakan software R versi 3.0.0

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Khi - Kuadrat ialah

2. Distribusi Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi Gamma

3. Distribusi Khi – kuadrat dapat didekati dengan distribusi Generalized log-logistic ( ) dengan melihat nilai fungsi pembangkit momen dari kedua distribusi tersebut.

4. Distribusi Khi – kuadrat dengan derajat bebas dikatakan sebagai kasus limiting atau distribusi limit dari distribusi generalized log-logistic dengan parameter untuk , dan

.

5. Dari grafik yang telah dibuat berdasarkan fungsi kepekatan peluang distribusi Khi-Kuadrat dan distribusi generalized log-logistic dengan melakukan reparameterisasi pada distribusi generalized log logistic, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi log normal dapat didekati oleh distribusi generalized log-logistic.

28

5.2 Saran

Pada penelitian ini penulis membatasi pada kasus khusus distribusi Khi – kuadrat terhadap distribusi generalized log-logistic, karena itu penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan mengkaji kasus khusus lainnya. Penelitian lain dapat mengkaji dari fungsi distribusi yang ada.

DAFTAR PUSTAKA

Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.

Herryanto, N., dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama Widya, Bandung.

Hogg, V.A. dan Tanis, A.E. 2001. Probability and Statistical Inference. Edisi ke-6. Prentice-Hall, New Jersey.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice-Hall Inc, New Jersey.

Purcell, E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E. 2003. Kalukulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta.

Warsono. 2009. Moment Properties of The Generalized Gamma Distribution. Proceedings on Seminar Nasional Sains MIPA dan Aplikasinya. Bandar Lampung : 157-162.

Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distributions. Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.

Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan. 2000. On The Estimation of The Generalized Log-Logistic Distribution with Applications to Pollutant Concentration Data. Forum Statistika dan Komputasi. Edisi Khusus: 74-77.