STIMATA BY : SRI ESTI
h
dx x
x cos
sin
2
, misalkan sin x = u, maka du = cos x dx → dx =
x du
cos
c x
c u
du u
x du
x u
dx x
x
3 sin
3 cos
cos cos
sin
2 3
2 2
2
i
c x
a rc x
dx x
dx
3 2
tan 6
1 3
2 2
2 1
9 4
2 2
2
j
c x
x x
dx x
dx
4 3
4 3
ln 24
1 16
3 3
3 1
16 9
2 2
k
c x
arc x
x x
dx x
dx x
x
2 1
sin 2
2 3
2 1
1 4
2 3
2 2
2
Latihan soal : 1.
dx x
x
2 2
1 3
2
2.
dx x
x
4 3
2
2
3.
dx x
x
3 2
1 4.
3 1
2
6 3
x x
dx x
5.
dx x
x
4 2
2 6.
dx x
x
2
1
7.
1
2
x dx
x
8.
dx x
x
1 2
9.
dx x
e
x 2
1
10.
1
x
e dx
11. ∫
12. ∫ 13.
∫
√
5. INTEGRAL PARSIAL
Metode integral parsial umumnya digunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom
n
x
dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau x
n
sin x, juga perkalian fungsi eksponensial x
n
e
ax
, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e
2x
sin
x
. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar.
Pandang u dan v yang diferensiabel dari x, maka : duv = u dv + v du
STIMATA BY : SRI ESTI
u dv = duv – v du
Bila ini diintegralkan diperoleh bentuk yang dinamakan integral parsial :
Yang perlu diperhatikan pada metode ini : 1 Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan
2
du v
harus tidak lebih sukar daripada
dv u
Contoh : 1.
dx x
ln
: ambil u = ln x → du =
dx x
1 dv = dx → v = x
du v
uv dx
x ln
c x
x x
dx x
x dx
x x
x x
ln ln
1 ln
2.
dx x
tg arc
: ambil u = arc tg x → du =
dx x
2
1 1
dv = dx → v = x
dx x
x x
tg arc
x dx
x tg
arc
2
1 1
dx x
x
2
1 : ambil 1 + x
2
= t → dt = 2x dx
dx =
x dt
2 maka
c x
c t
x t
dt x
2
1 ln
2 1
ln 2
1 2
Jadi :
c x
x tg
arc x
dx x
x x
tg arc
x dx
x tg
arc
2 2
1 ln
2 1
1
Latihan soal :
STIMATA BY : SRI ESTI
1.
dx x
x sin
6.
dx x
arc sin
2.
dx x
e
x
2 sin
7.
dx x
3
sec
3.
dx x
x 1
8.
dx x
x sin
2
4.
dx x
x ln
2
9.
dx e
x
x 2
3
5.
dx x
2
sin
10.
dx x
x cos
6. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Kesamaan-kesamaan berikut sangat bermanfaat untuk menghitung integral dari fungsi trigonometri :
1 sin
2
x + cos
2
x = 1 2 1+ tg
2
x = sec
2
x 3 1+ ctg
2
x = cosec
2
x 4 sin
2
x = 2
cos 1
2 1
x
5 cos
2
x = 2
cos 1
2 1
x
6 2 sin x cos x = sin 2x 7 sin x cos y =
sin sin
2 1
y x
y x
8 sin x sin y =
cos cos
2 1
y x
y x
9 cos x cos y =
cos cos
2 1
y x
y x
10 1 - cos x = 2 sin
2
x
2 1
11 1 + cos x = 2 cos
2
x
2 1
12 1 ± sin x = 1 ± cos
2 1
π – x
Contoh : 1.
c
x x
dx x
dx dx
x dx
x 2
sin 2
cos 2
cos 1
sin
4 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2
2.
c x
x dx
x dx
dx x
dx x
6 sin
6 cos
6 cos
1 3
cos
12 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2
3.
dx x
x dx
x dx
x x
dx x
x dx
x sin
cos sin
sin cos
1 sin
sin sin
2 2
2 3
=
c x
x x
d x
dx x
3 3
1 2
cos cos
cos cos
cos
STIMATA BY : SRI ESTI
Latihan soal : 1
dx x
5
cos
6
dx
x
2 3
3 cos
1
2
dx x
x 3
sin 2
sin
7
dx x
tg
4
3
dx x
x 2
sin 2
cos
3 4
8
dx x
2 sec
4
4
dx x
x
2 2
cos sin
9
dx x
x tg
3 sec
3
4 3
5
dx
x cos
1
10
dx x
ctg 2
3
7. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
