Tujuan Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Suatu persamaan diferensial SPD dinyatakan Titik Tetap Diberikan SPD Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Malaria telah diketahui sejak dahulu kala dan demam dikenal sebagai tanda orang yang akan terjangkit penyakit ini. Hal ini ditulis dalam sejarah tulisan Mesir kuno yang mengemukakan bahwa penyakit malaria disebabkan oleh parasit dari genus Plasmodium yang dapat ditemukan pada burung, mamalia dan kadal, dimana proses penularannya melalui gigitan nyamuk Anopheles. Protozoa parasit jenis ini banyak sekali tersebar di wilayah tropik, misalnya di Amerika, Asia dan Afrika. Terdapat empat jenis parasit malaria yaitu, Plasmodium vivax, Plasmodium falciparum, Plasmodium ovale, dan Plasmodium malariae dan lebih dari 3 ratus juta kasus malaria per tahun dengan 1 sampai 1,5 juta kasus kematian setiap tahunnya kebanyakan terjadi pada anak- anak. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu model SIDRS Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Terdapat 247 juta kasus malaria di dunia dan lebih dari satu juta kasus kematian setiap tahunnya WHO, 2010. Pada kasus ini akan dibahas mengenai penyebaran penyakit malaria di Thailand. Malaria di Thailand ditemukan di sepanjang perbatasan Burma, Kamboja, dan Malaysia. Infeksi yang timbul dari Plasmodium falciparum, Plasmodium vivax dan Plasmodium malariae masing-masing berkembang menjadi 50-60, 40-50 dan kurang dari 1. Sedangkan Plasmodium ovale tidak ditemukan di Thailand. Di antara ketiga masalah malaria di atas yang menjadi permasalahan yang sangat besar ditemukan pada kasus Plasmodium vivax. Pada tahun 1994 ditemukan 109.321 kasus malaria dan 45.123 di antaranya merupakan kasus malaria yang diakibatkan oleh Plasmodium vivax. Parasit malaria memiliki siklus kehidupan ganda yang sangat rumit, yaitu siklus reproduksi seksual terjadi pada tubuh nyamuk sendiri sedangkan reproduksi aseksualnya terjadi pada manusia. Pada reproduksi aseksual, terdapat tahapan yang disebut tahap berenang bebas yakni tahap sporozoite. Parasit malaria dalam tahap ini akan diinfeksikan ke dalam aliran darah manusia melalui kulit manusia oleh nyamuk. Sporozoite ini akhirnya memasuki sel darah merah manusia, dimana bentuk awalnya ialah seperti cincin dan seperti bentuk amuba sebelum terjadi tahap pembelahan yang akan menjadi bentuk yang lebih kecil yang disebut merozoite. Sel darah merah yang mengandung merozoite ini kemudian akan pecah dan melepaskan merozoite tersebut ke dalam aliran darah. Pada tahap ini penderita akan menggigil dan demam yang merupakan ciri khas dari penyakit malaria. Merozoite-merozoite ini akan menginfeksi sel-sel darah merah yang lain dan membangun siklus yang berulang. Lebih dari dua milyar orang atau total 41 dari populasi dunia tinggal di daerah dimana malaria ditularkan secara teratur misalnya, bagia Afrika, Timur Tengah, Amerika Selatan, Hispania dan Oseania dan ada sekitar 1,5-2,7 juta orang yang meninggal akibat malaria setiap tahun. Perkembangan Plasmodium vivax berbeda dengan Plasmodium falciparum yakni seseorang yang menderita Plasmodium falciparum akan sembuh dari kesehatan yang paling buruk jika tidak meninggal, namun seorang yang terinfeksi Plasmodium vivax tidak akan meninggal namun akan tetap menderita kambuh.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari model matematika dari sistem penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. 2. Menganalisis titik tetap yang diperoleh. 3. Melakukan simulasi terhadap model yang diberikan sehingga terlihat parameter yang mempengaruhi populasi. 4. Menganalisis perilaku solusi model. II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai

g , . disebut persamaan diferensial PD linear orde 1. Jika gt = 0, PD disebut PD homogen dan jika gt ≠ 0, PD disebut PD linear tak homogen. Tu 1994

2.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Suatu persamaan diferensial SPD dinyatakan

sebagai , . dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD mandiri autonomous bilamana tidak memuat waktu t secara eksplisit di dalamnya. Tu 1994

2.3 Titik Tetap Diberikan SPD

, Titik disebut titik tetap jika f x = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap. Tu 1994

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A

berukuran n x n, dengan SPD homogen berikut , = , 2.3 Suatu vektor tak nol x dalam ruang disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar berlaku Ax = λx 2.4 Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai dari matriks A, maka persamaan 4 dapat ditulis kembali sebagai A- I x = 0 2.5 dengan I matriks identitas. Persamaan 2.5 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika p = det A- λI = │A- I│= 0 2.6 Persamaan 6 disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Anton 1995

2.5 Pelinearan

Misalkan , , x f x y y g x y = = andaikan , x y adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka , f x y = dan , g x y = . Misalkan u x x = − dan v y y = − maka didapatkan 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , . u x f x u y v f f f x y u v u v uv x y f f u v u v uv x y v y g x u y v g g g x y u v u v uv x y g g u v u v uv x y = = + + ∂ ∂ = + + + Ο ∂ ∂ ∂ ∂ = + + Ο ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ = + + + Ο ∂ ∂ ∂ ∂ = + + Ο ∂ ∂ Dalam bentuk matriks 2 2 . f f u u x y u v uv v g g v x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + Ο + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Matriks , x y f f x y A g g x y ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎢ ⎥ = ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ disebut matriks Jacobi pada titik tetap , x y . Karena 2 2 u v uv Ο + + → maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear . f f u u x y v g g v x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ 2.7 Strogatz 1994 2 2.6 Kestabilan Titik tetap Diberikan SPD sebarang , . 2.8 Tentukan titik tetap yang memenuhi f . Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu : λ i dimana i = 1,2,…,n yang diperoleh dari persamaan karakteristik 2.5. Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku : 1. Stabil, jika : a. Re λ i 0 untuk setiap i, atau b. Terdapat Re λ j = 0 untuk sebarang j dan Re λ i 0 untuk setiap i ≠ j. 2. Tak Stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re λ i 0. 3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif λ i λ j 0 untuk i dan j sembarang. Tu 1994 2.7 Kondisi Routh Hurwitz Misalkan a 1 , a 2 ,…, a k bilangan-bilangan real, a j = 0 jika j k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik p λ = λ k +a 1 λ k-1 +…+ a k-2 λ 2 + a k-1 λ 1 + a k = 0 mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks i x i, untuk setiap i = 1,2,…,k, determinan dari matriks i x i, M = … … … … adalah positif. Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika untuk k = 2, 3, 4, k = 2; a 1 0, a 2 0, k = 3; a 1 0, a 3 0, a 1 a 2 a 3 , k = 4; a 1 0, a 3 0, a 4 0, a 1 a 2 a 3 a 3 2 +a 1 2 a 4 . Untuk kasus k = 3 dan k = 4, kondisi Routh- Hurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut. Teorema 1 Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p λ = λ 3 +A λ 2 + B λ + C = 0 2.9 adalah negatif jika dan hanya jika A 0, C 0 dan AB C. Teorema 2 Misalkan A,B,C dan D bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p λ = λ 4 +A λ 3 + B λ 2 + C λ + D = 0 2.10 adalah negatif jika dan hanya jika A 0, C 0, D 0 dan ABC C 2 +A 2 D. Tu 1994 2.8 Bilangan reproduksi Dasar R Bilangan Reproduksi Dasar ditulis R adalah nilai harapan dari kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksimenular. Kondisi yang timbul adalah : 1. Jika R 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu baru dan penyakit tidak akan berkembang. 2. Jika R 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu baru, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. Deriessche dan Watmough 2005 3 µ v A r r μ v μ h μ h μ h r r r r N h r r μ h III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Model yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model SIDRS Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Dalam model ini terdapat tiga populasi yang berbeda yaitu rentan St, terinfeksi It, dan sembuh Rt. St digunakan untuk mewakili jumlah orang yang belum terinfeksi oleh penyakit pada waktu t, atau mereka yang rentan terhadap penyakit. It menunjukkan jumlah individu yang telah terinfeksi oleh penyakit dan mampu menyebarkan penyakit kepada mereka yang masuk dalam kategori rentan. Rt digunakan untuk menunjukkan banyaknya orang-orang yang telah terinfeksi dan kemudian pulih dari penyakit. Secara skematik, diagram alur model SIDRS pada penularan penyakit malaria dalam suatu populasi ditunjukkan pada diagram kompartemen di bawah Gambar 1. Misalkan jumlah populasi pada waktu t dinyatakan dengan N = N h t. Populasi ini dibagi menjadi empat kelas yaitu populasi rentan S = t, populasi terinfeksi I = t, populasi yang dorman D = t dan populasi yang sembuh R = t. Total populasi dinyatakan dengan N h = + + + . Individu yang lahir digolongkan ke kelas rentan dengan laju kelahiran sebesar C. Individu yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju kematian sebesar , atau masuk ke kelas terinfeksi karena terjangkit plasmodium falciparum ′ dan plasmodium vivax ′ . Laju penularan individu dari kelas rentan ke kelas Dorman karena terjangkit plasmodium vivax namun tidak terlihat gejala sebesar . Selanjutnya individu yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian sebesar , atau sembuh dan masuk ke kelas rentan karena tidak adanya sistem kekebalan tubuh dengan laju atau sembuh dengan laju penyembuhan sebesar sehingga dimasukkan ke kelas sembuh . Kemudian individu di kelas sembuh akan mati dengan laju kematian sebesar , atau menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga kembali masuk ke kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan tubuh sebesar . Individu yang berada pada kelas Dorman akan mengalami kematian dengan laju atau sewaktu-waktu dapat kehilangan kekebalan tubuh dan masuk ke kelas terinfeksi dengan laju r 3 atau sembuh namun kehilangan kekebalan tubuh dengan laju r 4 dan menjadi rentan kembali sehingga siap untuk terinfeksi. Selain itu, pada diagram kompartemen di atas Gambar 1 terdapat diagram alur yang menjelaskan populasi vektor yang membawa virus malaria. Diagram ini akan menunjukkan 2 Gambar 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia yang dibagi dalam empat kelas , ̃ , , dan dan populasi vektor yang dibagi dalam dua kelas dan ̃ ̃ ̃ kelas yang berbeda yakni kelas rentan S = t yakni ditujukan kepada populasi vektor yang masih steril dari virus malaria dan kelas infeksi I = t yaitu ditujukan kepada vektor yang sudah terinfeksi oleh virus malaria. Total populasi vektor dinyatakan dengan N V = + . Vektor yang lahir digolongkan ke dalam populasi rentan dengan laju kelahiran A. Vektor yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju μ v , atau masuk ke kelas terinfeksi dengan laju . Selanjutnya vektor yang berada pada kelas terinfeksi akan mengalami kematian dengan laju μ v . Laju perubahan populasi manusia atau vektor pada suatu kelas ialah jumlah manusia atau vektor yang masuk dalam kelas tersebut dikurangi dengan jumlah manusia atau vektor yang meninggalkan kelas tersebut. Penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut: I h . . . ‐ . A . . di mana µ h adalah laju kematian populasi µ v adalah laju kematian vektor adalah laju penularan P.falciparum dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.vivax dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.falciparum dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju penularan P.vivax dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju kelahiran populasi N h adalah total banyaknya populasi α adalah rasio dorman manusia yang terinfeksi adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.falciparum adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.vivax adalah tingkat dimana manusia tidak aktif namun akan kambuh kembali adalah laju pemulihan manusia yang dorman oleh P.vivax adalah tingkat pemulihan manusia dan akan menjadi manusia yang rentan adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.falciparum adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.vivax t adalah banyaknya vektor rentan t adalah banyaknya vektor menular Selanjutnya untuk mempermudah dalam menganalisis, normalkan atau sederhanakan persamaan 3.1-3.6 dengan mendefinisikan variabel baru:. , , , , akhirnya diperoleh persamaan: t 3.7 3.8 t 3.9 t + 3.10 dengan kondisi s h +i h +d h +r h =1 dan s v +i v =1, dan , , Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan 3.7, 3.8, 3.9, dan 3.10 yang kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya.

3.2 Titik Tetap