I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Malaria telah diketahui sejak dahulu kala dan demam dikenal sebagai tanda orang yang
akan terjangkit penyakit ini. Hal ini ditulis dalam sejarah tulisan Mesir kuno yang
mengemukakan bahwa penyakit malaria disebabkan oleh parasit dari genus Plasmodium
yang dapat ditemukan pada burung, mamalia dan kadal, dimana proses penularannya melalui
gigitan nyamuk Anopheles. Protozoa parasit jenis ini banyak sekali tersebar di wilayah
tropik, misalnya di Amerika, Asia dan Afrika. Terdapat empat jenis parasit malaria yaitu,
Plasmodium vivax, Plasmodium falciparum, Plasmodium ovale, dan Plasmodium malariae
dan lebih dari 3 ratus juta kasus malaria per tahun dengan 1 sampai 1,5 juta kasus kematian
setiap tahunnya kebanyakan terjadi pada anak- anak.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu model SIDRS Susceptible Infected Dormant
Removed Susceptible dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Terdapat 247 juta
kasus malaria di dunia dan lebih dari satu juta kasus kematian setiap tahunnya WHO, 2010.
Pada kasus ini akan dibahas mengenai penyebaran penyakit malaria di Thailand.
Malaria di Thailand ditemukan di sepanjang perbatasan Burma, Kamboja, dan Malaysia.
Infeksi yang timbul dari Plasmodium falciparum, Plasmodium vivax dan Plasmodium
malariae masing-masing berkembang menjadi 50-60, 40-50 dan kurang dari 1.
Sedangkan Plasmodium ovale tidak ditemukan di Thailand. Di antara ketiga masalah malaria di
atas yang menjadi permasalahan yang sangat besar ditemukan pada kasus Plasmodium vivax.
Pada tahun 1994 ditemukan 109.321 kasus malaria dan 45.123 di antaranya merupakan
kasus malaria yang diakibatkan oleh Plasmodium vivax.
Parasit malaria memiliki siklus kehidupan ganda yang sangat rumit, yaitu siklus reproduksi
seksual terjadi pada tubuh nyamuk sendiri sedangkan reproduksi aseksualnya terjadi pada
manusia. Pada reproduksi aseksual, terdapat tahapan yang disebut tahap berenang bebas
yakni tahap sporozoite. Parasit malaria dalam tahap ini akan diinfeksikan ke dalam aliran
darah manusia melalui kulit manusia oleh nyamuk. Sporozoite ini akhirnya memasuki sel
darah merah manusia, dimana bentuk awalnya ialah seperti cincin dan seperti bentuk amuba
sebelum terjadi tahap pembelahan yang akan menjadi bentuk yang lebih kecil yang disebut
merozoite. Sel darah merah yang mengandung merozoite ini kemudian akan pecah dan
melepaskan merozoite tersebut ke dalam aliran darah. Pada tahap ini penderita akan menggigil
dan demam yang merupakan ciri khas dari penyakit malaria. Merozoite-merozoite ini akan
menginfeksi sel-sel darah merah yang lain dan membangun siklus yang berulang.
Lebih dari dua milyar orang atau total 41 dari populasi dunia tinggal di daerah dimana
malaria ditularkan secara teratur misalnya, bagia Afrika, Timur Tengah, Amerika Selatan,
Hispania dan Oseania dan ada sekitar 1,5-2,7 juta orang yang meninggal akibat malaria setiap
tahun. Perkembangan Plasmodium vivax berbeda dengan Plasmodium falciparum yakni
seseorang yang menderita Plasmodium falciparum akan sembuh dari kesehatan yang
paling buruk jika tidak meninggal, namun seorang yang terinfeksi Plasmodium vivax tidak
akan meninggal namun akan tetap menderita kambuh.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1.
Mempelajari model matematika dari sistem penularan penyakit malaria
dalam suatu populasi. 2.
Menganalisis titik tetap yang diperoleh. 3.
Melakukan simulasi terhadap model yang diberikan sehingga terlihat
parameter yang mempengaruhi populasi.
4. Menganalisis perilaku solusi model.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai
g , .
disebut persamaan diferensial PD linear orde 1. Jika gt = 0, PD disebut PD homogen dan
jika gt ≠ 0, PD disebut PD linear tak homogen.
Tu 1994
2.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Suatu persamaan diferensial SPD dinyatakan
sebagai ,
. dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan
mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD mandiri autonomous
bilamana tidak memuat waktu t secara eksplisit di dalamnya.
Tu 1994
2.3 Titik Tetap Diberikan SPD
, Titik
disebut titik tetap jika f x = 0. Titik
tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan
digunakan istilah titik tetap. Tu 1994
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A
berukuran n x n, dengan SPD homogen berikut
, =
, 2.3
Suatu vektor tak nol x dalam ruang disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu
skalar berlaku Ax =
λx 2.4
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai dari matriks A, maka
persamaan 4 dapat ditulis kembali sebagai A- I x = 0
2.5
dengan I matriks identitas. Persamaan 2.5 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
p = det A- λI = │A- I│= 0 2.6
Persamaan 6 disebut persamaan karakteristik dari matriks A.
Anton 1995
2.5 Pelinearan
Misalkan
, ,
x f x y
y g x y
= =
andaikan
, x
y
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
, f x
y =
dan
, g x
y =
. Misalkan
u x
x = − dan
v y
y = −
maka didapatkan
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
. u
x f x
u y v
f f
f x y u
v u v uv
x y
f f
u v
u v uv x
y v
y g x
u y v
g g
g x y u
v u v uv
x y
g g
u v
u v uv x
y =
= +
+ ∂
∂ =
+ +
+ Ο ∂
∂ ∂
∂ =
+ + Ο
∂ ∂
= =
+ +
∂ ∂
= +
+ + Ο
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ Ο ∂
∂ Dalam bentuk matriks
2 2
. f
f u
u x
y u
v uv
v g
g v
x y
∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
= + Ο
+ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
Matriks
, x y
f f
x y
A g
g x
y ∂
∂ ⎡
⎤ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎢
⎥ =
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ ∂
⎣ ⎦
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
, x
y
. Karena
2 2
u v
uv Ο
+ +
→
maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear
. f
f u
u x
y v
g g
v x
y ∂
∂ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ∂
∂ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜
⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
2.7 Strogatz
1994 2
2.6 Kestabilan Titik tetap Diberikan SPD sebarang
, .
2.8 Tentukan titik tetap yang memenuhi
f . Penentuan kestabilan titik tetap
didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu :
λ
i
dimana i = 1,2,…,n yang diperoleh dari persamaan karakteristik 2.5.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku :
1. Stabil, jika :
a. Re λ
i
0 untuk setiap i, atau b.
Terdapat Re λ
j
= 0 untuk sebarang j dan Re
λ
i
0 untuk setiap i
≠ j. 2.
Tak Stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re
λ
i
0. 3.
Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif
λ
i
λ
j
0 untuk i dan j sembarang. Tu 1994
2.7 Kondisi Routh Hurwitz Misalkan a
1
, a
2
,…, a
k
bilangan-bilangan real, a
j
= 0 jika j k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
p λ = λ
k
+a
1
λ
k-1
+…+ a
k-2
λ
2
+ a
k-1
λ
1
+ a
k
= 0 mempunyai bagian real yang negatif jika dan
hanya jika determinan dari matriks i x i, untuk setiap i = 1,2,…,k, determinan dari matriks i x i,
M = …
… …
… adalah positif.
Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap
stabil jika dan hanya jika untuk k = 2, 3, 4, k = 2; a
1
0, a
2
0, k = 3; a
1
0, a
3
0, a
1
a
2
a
3
, k = 4; a
1
0, a
3
0, a
4
0, a
1
a
2
a
3
a
3 2
+a
1 2
a
4
. Untuk kasus k = 3 dan k = 4, kondisi Routh-
Hurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut. Teorema 1
Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
p λ = λ
3
+A λ
2
+ B λ + C = 0 2.9
adalah negatif jika dan hanya jika A 0, C 0 dan AB C.
Teorema 2 Misalkan A,B,C dan D bilangan real. Bagian
real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
p
λ = λ
4
+A λ
3
+ B λ
2
+ C λ + D = 0 2.10
adalah negatif jika dan hanya jika A 0, C 0, D 0 dan ABC C
2
+A
2
D. Tu 1994
2.8 Bilangan reproduksi Dasar R
Bilangan Reproduksi Dasar ditulis R adalah
nilai harapan dari kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh
suatu jenis individu yang terinfeksimenular. Kondisi yang timbul adalah :
1. Jika R
1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu
individu baru dan penyakit tidak akan berkembang.
2. Jika R
1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu
individu baru, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi
wabah.
Deriessche dan Watmough 2005 3
µ
v
A
r r μ
v
μ
h
μ
h
μ
h
r r
r r
N
h
r r μ
h
III PEMBAHASAN
3.1 Perumusan Model Model yang akan dibahas dalam karya
ilmiah ini adalah model SIDRS Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible dari
penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Dalam model ini terdapat tiga populasi
yang berbeda yaitu rentan St, terinfeksi It, dan sembuh Rt. St digunakan untuk mewakili
jumlah orang yang belum terinfeksi oleh penyakit pada waktu t, atau mereka yang rentan
terhadap penyakit. It menunjukkan jumlah individu yang telah terinfeksi oleh penyakit dan
mampu menyebarkan penyakit kepada mereka yang masuk dalam kategori rentan. Rt
digunakan untuk menunjukkan banyaknya orang-orang yang telah terinfeksi dan kemudian
pulih dari penyakit.
Secara skematik, diagram alur model SIDRS pada penularan penyakit malaria dalam
suatu populasi ditunjukkan pada diagram kompartemen di bawah Gambar 1. Misalkan
jumlah populasi pada waktu t dinyatakan dengan N = N
h
t. Populasi ini dibagi menjadi empat kelas yaitu populasi rentan S =
t, populasi terinfeksi I = t, populasi yang
dorman D = t dan populasi yang sembuh R
= t. Total populasi dinyatakan dengan N
h
= + +
+ . Individu yang lahir
digolongkan ke kelas rentan dengan laju
kelahiran sebesar C. Individu yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan
laju kematian sebesar , atau masuk ke kelas
terinfeksi karena terjangkit plasmodium falciparum
′
dan plasmodium vivax
′
. Laju penularan individu dari kelas rentan
ke kelas Dorman karena terjangkit
plasmodium vivax namun tidak terlihat gejala sebesar
. Selanjutnya individu yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju
kematian sebesar , atau sembuh dan masuk ke
kelas rentan karena tidak adanya sistem kekebalan tubuh dengan laju
atau sembuh dengan laju penyembuhan sebesar
sehingga dimasukkan ke kelas sembuh . Kemudian individu di kelas sembuh akan
mati dengan laju kematian sebesar , atau
menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga kembali masuk ke
kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan tubuh sebesar . Individu yang berada pada
kelas Dorman
akan mengalami kematian dengan laju
atau sewaktu-waktu dapat kehilangan kekebalan tubuh dan masuk ke kelas
terinfeksi dengan laju r
3
atau sembuh namun kehilangan kekebalan tubuh dengan laju r
4
dan menjadi rentan kembali sehingga siap untuk
terinfeksi.
Selain itu, pada diagram kompartemen di atas Gambar 1 terdapat diagram alur yang
menjelaskan populasi vektor yang membawa virus malaria. Diagram ini akan menunjukkan 2
Gambar 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia yang dibagi dalam empat kelas
, ̃ , , dan dan populasi vektor yang dibagi dalam dua kelas dan ̃
̃
̃
kelas yang berbeda yakni kelas rentan S = t
yakni ditujukan kepada populasi vektor yang masih steril dari virus malaria dan kelas infeksi
I = t yaitu ditujukan kepada vektor yang sudah terinfeksi oleh virus malaria. Total
populasi vektor dinyatakan dengan N
V
= +
. Vektor yang lahir digolongkan ke dalam populasi rentan
dengan laju kelahiran A. Vektor yang berada di kelas rentan akan
mengalami kematian dengan laju μ
v
, atau masuk ke kelas terinfeksi dengan laju
. Selanjutnya vektor yang berada pada kelas
terinfeksi akan mengalami kematian dengan laju
μ
v
. Laju perubahan populasi manusia atau vektor pada suatu kelas ialah jumlah manusia
atau vektor yang masuk dalam kelas tersebut dikurangi dengan jumlah manusia atau vektor
yang meninggalkan kelas tersebut. Penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan-persamaan berikut:
I
h
. .
. ‐
. A
. .
di mana µ
h
adalah laju kematian populasi µ
v
adalah laju kematian vektor adalah laju penularan P.falciparum dari
nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.vivax dari
nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.falciparum dari
tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju penularan P.vivax dari tubuh
manusia ke tubuh nyamuk adalah laju kelahiran populasi
N
h
adalah total banyaknya populasi α
adalah rasio dorman manusia yang terinfeksi
adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.falciparum
adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.vivax
adalah tingkat dimana manusia tidak aktif namun akan kambuh kembali
adalah laju pemulihan manusia yang dorman oleh P.vivax
adalah tingkat pemulihan manusia dan akan menjadi manusia yang rentan
adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.falciparum
adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.vivax
t adalah banyaknya vektor rentan t adalah banyaknya vektor menular
Selanjutnya untuk mempermudah dalam menganalisis, normalkan atau sederhanakan
persamaan 3.1-3.6 dengan mendefinisikan variabel baru:.
, ,
, ,
akhirnya diperoleh persamaan: t
3.7
3.8 t
3.9 t
+ 3.10
dengan kondisi s
h
+i
h
+d
h
+r
h
=1 dan s
v
+i
v
=1, dan
, ,
Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan 3.7, 3.8, 3.9, dan 3.10 yang
kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya.
3.2 Titik Tetap