dengan kondisi s
h
+i
h
+d
h
+r
h
=1 dan s
v
+i
v
=1, dan
, ,
Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan 3.7, 3.8, 3.9, dan 3.10 yang
kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya.
3.2 Titik Tetap
Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi
konstan. Titik tetap dari persamaan .
. akan diperoleh dengan menetapkan
s
h
t = 0, i
h
t= 0, d
h
t = 0 dan i
v
t sehingga diperoleh persamaan-
persamaan di bawah ini:
i ii
iii +
iv Dengan menyelesaikan keempat
persamaan di atas secara serentak akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa
penyakit dan titik tetap endemik. 3.3 Titik Tetap tanpa Penyakit
Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi dimana semua individu sehat dan tetap
sehat tiap waktu dengan kata lain tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika
banyaknya vektor yang terinfeksi sama dengan nol
yang didapat dari persamaan iv, kemudian
disubstitusi ke persamaan i, ii, dan iii maka akan diperoleh nilai
, ,
dan sehingga diperoleh titik tetap dari
persamaan-persamaan 3.7, 3.8, 3.9, dan 3.10 yaitu
, , , .
3.4 Titik Tetap Endemik
Pada titik tetap endemik akan menghasilkan solusi nontrivial. Di sini titik
tetap endemik merupakan kondisi dimana penyakit masih terdapat di dalam populasi
vektor dan manusia. Dari persamaan 19, 20, 21, dan 22 diperoleh titik tetap endemik
E
1
= s
h
,i
h
,d
h
,i
v
dengan
s
h
= i
h
= d
h
= i
v
=
3.5. Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan persamaan 3.7-3.10 dituliskan sebagai berikut :
s
h
t = As
h
, i
h
, d
h
, i
v
i
h
t = Bs
h
, i
h
, d
h
, i
v
d
h
t= Cs
h
, i
h
, d
h
, i
v
i
v
t = Ds
h
, i
h
, d
h
, i
v
Dari persamaan di atas dapat diperoleh matriks Jacobi.
J =
= dengan,
J
= { } untuk I = 1, 2, 3, 4 dan j =1, 2, 3, 4
3.5.1 Kestabilan Titik Tetap tanpa Penyakit
Pelinearan pada titik tetap akan
menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: J
= dengan
μ
μ 6
μ
μ Nilai eigen akan diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan karakteristik det J
. Persamaan karakteristik dari
J adalah +µ + t
t t = 0 sehingga diperoleh salah
satu nilai eigen dari J yaitu = µ
r dan nilai eigen yang lainnya diperoleh dari akar
polinomial dimana,
t
2
= μ
μ t
1
= μ
μ μ
μ r r
r r r r
r r r
r r
r t
= μ
μ μ
r r r r
r r r
r r
dengan, R
= Karena semua parameter yang terlibat
positif maka t
, , dan
t sehingga kestabilan di titik bergantung
pada nilai . Kondisi
akan terpenuhi ketika R
1 maka titik tetap stabil dan
sebaliknya kondisi tidak dipenuhi ketika
R 1 maka titik tetap
sadel. Kondisi stabil yang dipenuhi ketika R
1 dimana R merupakan bilangan reproduksi dasar virus
dalam populasi , sehingga ketika
merupakan kondisi stabil asimtotik karena virus malaria tidak dapat bertahan dalam populasi.
Sebaliknya, ketika merupakan kondisi
tidak stabil karena virus malaria dapat bertahan dan meningkat dalam populasi. Sehingga
menurut kriteria Routh-Hurwitz, titik E stabil.
3.5.2 Kestabilan Titik Tetap Endemik
Pelinearan pada titik tetap akan
menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: J
1
= dengan
μ =
μ
Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik
det J .
Persamaan karakteristik dari J adalah
w w
w w
dan nilai eigennya diperoleh dari akar polinomial p
λ = λ
4
+w
3
λ
3
+ w
2
λ
2
+ w
1
λ + w = 0. Karena
semua parameter yang terlibat positif maka w
, ,
dan dengan menggunakan software Mathematica dibuktikan
w sehingga menurut
Routh-Hurwitz, titik stabil.
Berikut ini adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap.
Kondisi
Simpul stabil
Spiral Tidak stabil
Sadel Spiral stabil
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh saling
bertentangan. Ketika titik tetap yang pertama stabil, titik tetap yang kedua tidak stabil dan
ketika titik tetap yang pertama tidak stabil, titik tetap yang kedua stabil.
10 20
30 40
0.00 0.05
0.10 0.15
0.20
Waktu 200
400 600
800 1000
1200 1400
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
Waktu
3.6 Dinamika Populasi Penularan Malaria
