GRAF MAKSIMAL SISI MEMUAT SIKLUS BERBILANGAN KROMATIK LOKASI TIGA
ABSTRACT
Edge Maximal Graphs Having Cycles with Locating-Chromatic Number
Three
By
Dini Wulandari
Let G be a connected graph and c be a proper k – coloring of connected graph G.
Let
={ ,
,
,
} be a partition of V(G) induced by c on V(G), where
the set of vertices receiving color i. The color code
tuple ( ( ,
), ( ,
),
, ( ,
)) where
is
( ) of v is the ordered k-
( , ) = min { ( , )|
} for
any i. If all different vertices of G have different color codes, then c is called a
locating-chromatic k-coloring of graph G, denoted by
( ). We analyze graph G
containing cycle with locating-chromatic number three consist of two cases, odd
cycle and even cycle.
ABSTRAK
Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga
Oleh
Dini Wulandari
G adalah graf terhubung dan c merupakan k-pewarnaan dari G. Diberikan
={ ,
,
V(G), dimana
,
} merupakan himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna di
adalah himpunan titik yang memperoleh warna i. Kode warna
( ) dari v adalah k pasang terurut ( ( ,
( , ) = min { ( , )|
), ( ,
),
, ( ,
)) dengan
} untuk setiap i. Jika semua titik di G memiliki
warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari graf G, dinotasikan
dengan
( ) . Pada tulisan ini dianalisis graf maksimal sisi memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga yang terdiri dari dua kasus yaitu siklus ganjil dan
siklus genap.
GRAF MAKSIMAL SISI MEMUAT SIKLUS BERBILANGAN
KROMATIK LOKASI TIGA
Oleh
Dini Wulandari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang Cermin pada tanggal 17 April 1994. Penulis
merupakan anak pertama dari empat bersaudara dari pasangan Bapak Idris dan Ibu
Adriani.
Penulis telah menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 4 Wates pada
tahun 2005, pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 2 Padang
Cermin pada tahun 2008 dan pendidikan sekolah menengah atas di SMA Perintis
2 Bandar Lampung pada tahun 2011. Setelah menamatkan sekolah menengah
atas, penulis melanjutkan pendidikan ke perguruan tinggi dan terdaftar sebagai
mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur ujian mandiri. Selama menempuh pendidikan
di perguruan tinggi penulis juga ikut serta dalam organisasi kemahasiswaan yaitu
pada periode 2011/2012 terdaftar sebagai anggota GEMATIKA ( Generasi Muda
Himpunan Mahasiswa Matematika) FMIPA Unila. Pada periode tahun 2012/2013
– 2013/2014 penulis terdaftar sebagai anggota HIMATIKA biro Dana dan Usaha.
Sebagai bentuk pengaplikasian bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama 3 minggu di Badan Pusat Statistik(BPS)
Provinsi Lampung, serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 30 hari di desa
Poncorejo kecamatan Padang Cermin kabupaten Pesawaran.
Dengan rasa syukur yang tiada terkira...
Kupersembahkan karya kecilku ini sebagai hadiah
sederhana atas keringat, waktu, doa, dan air mata dari
dua orang hebat dalam hidupku, yang selalu
menjagaku sejak nafas pertama yang di anugerahkan
Tuhan hingga saat ini.
Terimakasih Pak, Bu...
Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang
kamu dustakan? [QS. Ar Rahman (55):13]
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat dan
hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Graf
Maksimal Sisi Memuat Siklus Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari banyak pihak yang telah
terlibat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang setia membimbing,
memberikan
arahan,
saran,
dan
dukungan
kepada
penulis
dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Dr. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku pembimbing II yang dengan sabar
memberikan kesempatan bagi penulis untuk belajar lebih banyak selama
proses pembuatan skripsi ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku penguji yang telah memberikan kritik
dan saran yang membangun dalam proses pembuatan skripsi ini.
4. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing akademik yang
selalu memberikan pengarahan dan mendampingi penulis selama masa
perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan
bantuan kepada penulis.
8. Kedua orang tua beserta keluarga yang selalu memberikan semangat, doa
dan kasih sayang.
9. Opi, Debi, dan Didi, jagoan-jagoan yang selalu memberikan motivasi,
semangat dan juga keceriaan bagi penulis.
10. Ayu, Anissa, Faiga, Triani, dan Haidir yang senantiasa memberikan
semangat dan bantuan selama masa perkuliahan kepada penulis.
11. Arifah dan Sabrina yang selalu memberikan semangat dan motivasi kepada
penulis.
12. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis menyadari bahwa skripsi masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar lebih
baik dimasa yang akan datang.
Bandar Lampung,
Penulis,
Dini Wulandari
April 2015
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI................................................................................................ .i
DAFTAR GAMBAR...................................................................................iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah...............................................................1
1.2 Batasan Masalah...........................................................................3
1.3 Tujuan Penelitian..........................................................................3
1.4 Manfaat Penelitian........................................................................3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf.......................................................................5
2.2 Bilangan Kromatik Lokasi............................................................7
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.....................................................16
3.2 Metode Penelitian.......................................................................16
i
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakterisasi Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Ganjil
Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga..............................................17
4.2 Karakterisasi Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Genap
Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga................................................29
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.................................................................................35
5.2 Saran...........................................................................................35
DAFTAR PUSTAKA
ii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi............................................5
Gambar 2. Graf H G ...............................................................................7
Gambar 3. Contoh graf berbilangan kromatik tiga.........................................8
Gambar 4. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G....................................10
Gambar 5. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 6. Pewarnaan lokasi minimum dari
Gambar 7. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 8. Empat type graf maksimal sisi di
,
,
3..............................11
.........................................12
..........................................13
yang memuat siklus ganjil
...................................................................................................23
Gambar 9. Graf maksimal sisi di
yang memuat siklus genap...................33
iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang pertama kali
diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonhard Euler
pada tahun 1736. Banyaknya jembatan yang menghubungkan antar wilayah di
Konigsberg melahirkan pemikiran mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan
yang menghubungkan keempat kota tersebut masing-masing tepat satu kali dan
kembali ke tempat semula.
Permasalahan jembatan Konigsberg direpresentasikan oleh Euler dengan
memisalkan daratan yang ada dengan titik (vertex) dan jembatan-jembatan yang
menghubungkan daratan tersebut dengan garis (edge). Kemudian Euler
menyimpulkan bahwa tidak mungkin dapat melalui ketujuh jembatan yang ada
tepat satu kali dikarenakan derajat (banyaknya garis yang menempel pada suatu
titik) titiknya
adalah
ganjil. Kisah Jembatan Konigsberg inilah yang
melatarbelakangi sejarah lahirnya Teori Graf.
Penyelesaian masalah yang dilakukan oleh Euler memperlihatkan bahwa teori graf
bermanfaat
dalam kehidupan sehari-hari. Contoh terapan lain dari teori graf
adalah jaringan internet, peta rangkaian listrik, meminimumkan biaya dengan
memilih rute terpendek, dan sebagainya.
Graf G didefinisikan sebagai himpunan (V,E) dengan V merupakan himputan titik
(vertex) yang tidak boleh kosong dan E merupakan himpunan pasangan sisi tak
terurut dari titik-titik di V. Pewarnaan titik adalah pemberian warna titik-titik
suatu graf dengan syarat dua titik yang bertetangga tidak boleh memiliki warna
yang sama, sedangkan dimensi partisi dari G adalah kardinalitas minimum dari kpartisi di V(G). Pengembangan dari kedua konsep inilah yang melatarbelakangi
munculnya konsep bilangan kromatik lokasi pada graf G.
Kajian tentang pewarnaan lokasi merupakan kajian yang cukup baru dalam teori
graf. Konsep pewarnaan lokasi pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk.
pada tahun 2002 dengan definisi sebagai berikut:
Misalkan c adalah suatu pewarnaan titik pada graf G dengan menggunakan warnawarna 1,2,...,k untuk suatu bilangan bulat positif k. Secara ekuivalen, c merupakan
suatu partisi Π dari V(C)
,
,
,
ke dalam kelas-kelas warna yang saling bebas
dimana titik-titik pada
dari suatu titik
( ,
( )
( ) didefinisikan sebagai k-vektor yaitu:
( )=( ( ,
dengan
diberi warna i, 1≤ i ≤ k. Kode warna
) = min{ ( , )|
), ( ,
),
, ( ,
} untuk 1
))
. Jika setiap titik di G
memiliki kode warna yang berbeda terhadap partisi Π, maka c disebut pewarnaan
lokasi. Banyaknya minimum warna yang digunakan pada pewarnaan lokasi
disebut bilangan kromatik lokasi yang dinotasikan dengan
( ).
2
Pada pengkarakterisasian graf berbilangan kromatik lokasi tertentu Chartrand dkk.
(2003) telah berhasil mengkarakterisasi graf berbilangan kromatik n-1 atau n-2.
Baskoro dan Asmiati (2013) telah berhasil mengkarakterisasi graf pohon
berbilangan kromatik lokasi tiga. Pada tulisan ini akan dilakukan pengkajian graf
maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik lokasi tiga berdasarkan paper
Asmiati dan Baskoro (2012).
1.2 Batasan masalah
Pada penelitian ini akan dikaji graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan
kromatik lokasi tiga.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis karakterisasi graf memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
a. Memberikan pemahaman dan wawasan mengenai teori graf terutama
tentang bilangan kromatik lokasi pada graf yang memuat siklus.
b. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dibidang teori graf.
3
c. Untuk
menjadi
referensi
penelitian
lanjutan
dalam
menentukan
karakterisasi graf berbilangan kromatik lokasi lebih besar dari tiga.
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan
kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Graf
Beberapa konsep dasar yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo
(1989). Suatu graf G dinotasikan dengan G = (V, E) dibangun dari suatu
himpunan V = {
} yang menyatakan himpunan titik tak kosong dari
G dan E = {
} himpunan sisi yang merupakan pasangan tak terurut
dari titik-titik di V.
v1
e3
v3
e6
e1
e2
v5
e5
v4
v2
e4
e7
Gambar 1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
Dua titik u dan v pada graf G dikatakan bertetangga (adjacent) jika
dihubungkan oleh sebuah sisi e. Sisi e juga dikatakan menempel (incident)
pada titik u jika titik u merupakan salah satu titik ujung dari sisi e. Dua sisi
atau lebih yang menghubungkan pasangan titik yang sama pada suatu graf
disebut sisi paralel (multiple edges). Pada Gambar 1. titik
bertetangga
dengan
dan
. Sisi
tersebut adalah sisi
menempel pada
dan
dan
. Sisi paralel dari gambar
.
Derajat dari titik v suatu graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada
titik v yang dinotasikan dengan d(v).Titik yang berderajat satu disebut dengan
daun (pendant), sedangkan titik yang berderajat nol disebut dengan titik
terasing (isolated vertex). Pada Gambar 1. ( ) ✁ ( ) ✁ ( ) ✁ ( ) ✁
3 dan
adalah daun karena berderajat satu.
Loop merupakan sisi yang memiliki titik awal dan akhir yang sama. Pada suatu
graf sederhana tidak terdapat loop maupun sisi paralel . Graf pada Gambar 1.
bukan graf sederhana karena memiliki loop yaitu pada titik
paralel yaitu
dan
, sedangkan sisi
.
Jalan (walk) merupakan himpunan berhingga yang memuat titik dan sisi dari
suatu graf dimana setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya
Pada Gambar 1. contoh jalan adalah
.
Lintasan (path) adalah jalan yang semua sisi dan semua titik yang dilalui harus
berbeda. Graf G dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan yang
menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Pada Gambar 1. yang
merupakan lintasan adalah
.
Siklus (cycle) merupakan lintasan tertutup yang memiliki titik awal dan akhir
yang sama. Siklus dengan banyak titik genap disebut siklus genap, selain itu
6
disebut siklus ganjil. Contoh siklus genap pada Gambar 1. adalah
.
Suatu graf H dikatakan subgraf dari G, dinotasikan dengan H G jika dan
hanya jika V ( H ) V (G ) dan E ( H ) E (G ) .
v1
v3
v1
e3
e1
e2
v3
e6
e5
v5
e4
v4
v2
e3
e5
e2
e4
e7
v4
v2
G
H
Gambar 2. H G
2.2 Bilangan Kromatik Lokasi
Pada bagian ini akan diberikan definisi yang berkaitan dengan bilangan
kromatik lokasi pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk.(2002).
Bilangan kromatik lokasi merupakan pengembangan dari dua konsep dalam
graf yaitu pewarnaan titik dan dimensi partisi graf.
Pewarnaan titik graf G adalah c : V(G)
{1, 2, 3, ..., k} dengan syarat dua titik
yang bertetangga tidak boleh memiliki warna yang sama. Minimum banyaknya
warna yang diperlukan untuk mewarnai suatu graf itulah yang disebut bilangan
kromatik dan dinotasikan dengan
( ).
7
Gambar 3. Contoh graf berbilangan kromatik tiga
Selanjutnya diberikan definisi dan teorema mengenai bilangan kromatik lokasi.
Konsep bilangan kromatik lokasi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.
(2002). Misalkan c suatu pewarnaan titik di G dan
titik yang diberi warna i , maka
={
✂
✂
} merupakan himpunan yang
✂
terdiri dari kelas-kelas warna pada V(G). Kode warna
k-pasang
in
m { (
terurut
✂
)|
( (
✂
} untuk 1
)✂ (
✂
)✂
✂
(
merupakan himpunan
✂
))
( ) dari v merupakan
dengan
(
✂
)✄
. Jika setiap titik di G memiliki kode
warna yang berbeda maka c disebut pewarnaan lokasi dari G yang kemudian
dinotasikan dengan
( ).
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting mengenai bilangan
kromatik lokasi pada suatu graf yang telah dibuktikan oleh Chartrand dkk.
(2002). Lingkungan dari suatu titik v pada graf G yang dinotasikan dengan
N(v) adalah himpunan titik-titik di G yang bertetangga dengan v.
Teorema 2.1. Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf G. Jika u dan v
adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian sehingga d (u,w) = d (v,w)
untuk semua w
V(G) – {u,v} maka c(u)
c(v). Secara khusus, jika u dan v
titik-titik yang tidak bertetangga di G sedemikian sehingga N(u) = N(v) maka
c(u)
c(v).
8
Bukti:
Misalkan c merupakan suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan
☎{ ✆ ✆ ✆
misalkan
warna
. Jika u,v
} merupakan partisi titik-titik G ke dalam kelas
V(G), misalkan c(u) = c(v) sedemikian sehingga titik u dan
v berada dalam kelas warna yang sama, misal
(
✆
,
) ☎ 0. Jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w
= ( ,
) untuk setiap j
i, 1
j
sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi c(u)
dari Π maka
(
✆
)☎
V(G) – {u,v}, maka
k. Akibatnya,
( )=
( )
c(v).
Akibat 2.1 Jika G adalah graf terhubung dengan suatu titik yang bertetangga
dengan k daun, maka
( )
+ 1.
Bukti:
Misalkan
adalah titik yang bertetangga dengan k daun yaitu
,
,
,
di
G. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa setiap pewarnaan lokasi pada graf G
mempunyai warna yang berbeda untuk setiap
bertetangga dengan semua
dengan semua daun
, = 1, 2,
, . Jika v
maka v harus memiliki warna yang berbeda
. Akibatnya
( )
+ 1.
9
Berikut ini diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada suatu
graf.
v3
v2
v7
v4
v6
v5
v1
Gambar 4. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G
Terlebih dahulu akan ditentukan batas bawah bilangan kromatik lokasi graf G.
Karena titik
( )
yang mempunyai 3 daun maka berdasarkan Akibat 2.1 ,
4
(1)
Selanjutnya ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G.
Titik-titik pada V(G) dipartisi sebagai berikut:
= { };
={ ,
( ) = (0,1,1,1) ;
(1,2,2,0) ;
};
={ ,
};
={ ,
( ) = (1,0,2,2) ;
( ) = (1,0,1,2) ;
}. Kode warnanya adalah
( ) = (1,2,0,2) ;
( ) = (2,1,0,1) ;
( )=
( ) = (3,2,1,0).
Karena semua titik di G mempunyai kode warna berbeda, maka c merupakan
pewarnaan lokasi . jadi,
( )
4
Berdasarkan Persamaan (1) dan (2), maka
(2)
( ) = 4.
Teorema 2.2 Misalkan k adalah derajat maksimum di graf G maka
1+
( )
.
10
Bukti:
Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada G dan misalkan v adalah titik yang
mempunyai derajat maksimum k. Maka v bertetangga dengan titik
✝
✝
(
sehingga
✝
✝
✝
= (
)✞
( )
(
, ) = 1. Menurut
) sehingga
,
,
,
mempunyai warna berbeda, dan karena v bertetangga dengan
,
,
,
Teorema 2.1, diperoleh
( )
)✞ (
,
maka v mempunyai warna yang berbeda dari
dibutuhkan adalah (1 + k) warna. Akibatnya,
,
( )
,
Jadi warna yang
1+ .
Berikut ini diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa graf yang diambil dari
Chartrand dkk. (2002) .
Teorema 2.3 bilangan kromatik lokasi graf lintasan
,n
3 adalah 3.
Bukti:
( ) = 1 dan
Diketahui bahwa
( )
( ) = 2. Jelas bahwa untuk n
3. Berdasarkan Teorema 2.2
titik maksimum. Karena
3. Jadi terbukti
,
= 2, maka
( )
1 + , dengan k adalah derajat
( )
1 + 2. Akibatnya,
2
3
2
3
2
Gambar 5. Pewarnaan lokasi minimum pada
Teorema 2.4 Untuk bilangan bulat a dan b dengan 1
=
( )
( ) = 3.
1
,
3 maka
,
3
dan
2
+ 1.
11
Bukti:
Berdasarkan Akibat 2.1 didapat batas bawah dari
yaitu
✟
Selanjutnya, ditentukan batas atasnya yaitu
+ 1.
✟
+ 1. Misalkan c
,
merupakan pewarnaan titik dengan (b+1) warna seperti yang terlihat pada
Gambar 6. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik
sehingga c merupakan pewarnaan lokasi. Jadi
,
=
,
berbeda,
+ 1.
1
2
2
b 1
1
u
v
3
a
b
a 1
Gambar 6. Pewarnaan lokasi minimum dari
,
Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan dan clear
path yang diambil dari Asmiati dkk. (2013).
Misalkan c merupakan pewarnaan lokasi graf G (V,E) dan diberikan
{ ,
,
,
} adalah partisi V(G) terhadap c. Suatu titik v
dominan jika ( , ) = 0 jika
=
G disebut titik
dan 1 untuk yang lainnya. Suatu lintasan
yang menghubungkan dua titik dominan di G disebut dengan clear path jika
semua titik internalnya bukan titik dominan.
12
Berikut ini akan ditentukan bilangan kromatik lokasi dan titik dominan yang
terdapat pada suatu graf G:
v1 1
v2
2
1 v6
v3
v4
3
2
v5
3
Gambar 7. Pewarnaan lokasi minimum pada
Pada Gambar 8. diperoleh bilangan kromatik lokasi dari graf tersebut adalah 3
dengan kode warna dari tiap-tiap titik sebagai berikut:
( ) ✠ {0,1,2} ,
( ) = {1,1,0} ,
( ) = {1,0,1} ,
( ) = {2,1,0} ,
( ) = {2,0,1} ,
( ) = {0,2,1}
Berdasarkan teorema sebelumnya, maka graf pada Gambar 8. yang menjadi
titik dominan adalah
dan
. Contoh clear path pada Gambar 8. adalah
.
Lemma 2.1 Diberikan suatu graf G dengan
( )= k. Terdapat paling banyak
k titik dominan di G dan semuanya harus memiliki warna yang berbeda.
Bukti:
Misalkan
( ,
merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung maka
) = 0 untuk
dan ( ,
) = 1 untuk v Ci . Karena
maka kelas partisi Π memuat k kelas warna, misalkan
,
, ,
( )= ,
dan setiap
memiliki kode warna yang berbeda. Akibatnya, G memuat paling
banyak k titik dominan dan masing-masing memiliki kode warna yang berbeda.
13
Lemma 2.2 diberikan graf G dengan
( )= 3. Maka panjang dari setiap clear
path nya ganjil.
Bukti:
Diberikan 3 pewarnaan lokasi pada G. Diberikan P suatu clear path yang
menghubungkan dua titik dominan x dan y pada G. Misalkan c(x) = 1 dan c(y)
= 2 . jika semua titik internal P bukan dominan maka warna masing-masing
titik haruslah 1 atau 2. Akibatnya, banyaknya titik internalnya harus genap.
Jadi, panjang dari P adalah ganjil.
Lemma 2.3 Diberikan graf G yang memuat siklus dengan
( ) ✡ 3 dan c
adalah pewarnaan dengan menggunakan tiga titik. Pernyataan berikut adalah
ekuivalen:
a. Jika G memuat siklus ganjil maka G tepat memiliki 3 titik dominan dan
ketiganya berada di siklus ganjil.
b. Jika G memuat siklus genap maka G memiliki paling banyak 3 titik
dominan dan dua diantaranya haruslah titik yang bertetangga dalam suatu
siklus.
Bukti:
a. Diberikan C merupakan siklus genap, diberikan P merupakan clear path
yang menghubungkan dua titik dominan x dan y, asumsikan panjang dari
clear path tersebut genap, akibatnya akan ada dua titik yang memiliki
kode warna yang sama sehingga graf tersebut tidak akan memiliki tiga
titik dominan, kontradiksi.
14
b. Jika G memuat siklus genap, berdasarkan Lemma 2.1 dan 2.2 semua titik
dari setiap siklus C di G harus menerima dua warna. Oleh karena itu,
terdapat paling banyak dua titik dominan di C. Misalkan hanya terdapat
satu titik dominan di C yaitu x , titik x harus mempunyai tetangga ketiga
(diluar siklus C) yang menerima warna ketiga yang berbeda dari C.
Akibatnya, dua titik lain yang bertetangga dengan x di C akan mempunyai
warna yang sama, kontradiksi.
Oleh karena itu, terdapat tepat dua titik dominan x dan y di C. Jika mereka
tidak bertetangga maka dua tetangga dari x di C akan mempunyai kode
warna yang sama, kontradiksi. Selain itu, tiap-tiap {x,y} harus memiliki
tetangga lain yang tidak berada di C untuk membuatnya dominan.
15
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015
bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menganalisis graf maksimal sisi memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga adalah:
1. Menentukan graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik
lokasi tiga.
2. Menganalisis graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik
lokasi tiga.
3. Hasil yang diperoleh pada langkah dua dituliskan dalam bentuk teorema.
4. Membuktikan teorema yang diperoleh pada langkah ketiga.
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
1. Terdapat empat tipe graf maksimal sisi memuat siklus ganjil berbilangan
kromatik lokasi tiga. Graf-graf tersebut diperoleh berdasarkan letak dari
ketiga titik dominannya.
2. Graf maksimal sisi memuat siklus genap berbilangan kromatik lokasi tiga
juga diperoleh. Hanya terdapat satu tipe graf yang memenuhi kondisi
tersebut.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan karakterisasi graf berbilangan
kromatik lokasi yang lebih besar dari tiga.
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, Assiyatun, H.and Baskoro, E.T. 2011. Locating-Chromatic Number of
Amalgamation of Stars. ITB J.Sci. Vol 43A (1), 1-8.
Asmiati, and Baskoro, E.T. 2012. Characterizing All Graphs Containing Cycle
with Locating – Chromatic Number 3. AIP Conf. Proc. Vol 1450, 351357.
Baskoro, and Asmiati, E.T. 2013. Characterizing All Trees with LocatingChromatic Number 3. Electronic Journal of Graph Theory and
Application. Vol 1(2), 109-117.
Chartrand, G.et al. 2003. Graphs of Order n with Locating Chromatic Number n1.Dicrete Mathemathics.Vol 269, 65-79.
Chartrand, G.et al. 2002. The Locating Chromatic Number of Graph. Bull Inst.
Combin.Appl. Vol 36, 89-101.
Deo,N., 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science. Pretince Hall of India Private Limited.
Edge Maximal Graphs Having Cycles with Locating-Chromatic Number
Three
By
Dini Wulandari
Let G be a connected graph and c be a proper k – coloring of connected graph G.
Let
={ ,
,
,
} be a partition of V(G) induced by c on V(G), where
the set of vertices receiving color i. The color code
tuple ( ( ,
), ( ,
),
, ( ,
)) where
is
( ) of v is the ordered k-
( , ) = min { ( , )|
} for
any i. If all different vertices of G have different color codes, then c is called a
locating-chromatic k-coloring of graph G, denoted by
( ). We analyze graph G
containing cycle with locating-chromatic number three consist of two cases, odd
cycle and even cycle.
ABSTRAK
Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga
Oleh
Dini Wulandari
G adalah graf terhubung dan c merupakan k-pewarnaan dari G. Diberikan
={ ,
,
V(G), dimana
,
} merupakan himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna di
adalah himpunan titik yang memperoleh warna i. Kode warna
( ) dari v adalah k pasang terurut ( ( ,
( , ) = min { ( , )|
), ( ,
),
, ( ,
)) dengan
} untuk setiap i. Jika semua titik di G memiliki
warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari graf G, dinotasikan
dengan
( ) . Pada tulisan ini dianalisis graf maksimal sisi memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga yang terdiri dari dua kasus yaitu siklus ganjil dan
siklus genap.
GRAF MAKSIMAL SISI MEMUAT SIKLUS BERBILANGAN
KROMATIK LOKASI TIGA
Oleh
Dini Wulandari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang Cermin pada tanggal 17 April 1994. Penulis
merupakan anak pertama dari empat bersaudara dari pasangan Bapak Idris dan Ibu
Adriani.
Penulis telah menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 4 Wates pada
tahun 2005, pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 2 Padang
Cermin pada tahun 2008 dan pendidikan sekolah menengah atas di SMA Perintis
2 Bandar Lampung pada tahun 2011. Setelah menamatkan sekolah menengah
atas, penulis melanjutkan pendidikan ke perguruan tinggi dan terdaftar sebagai
mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur ujian mandiri. Selama menempuh pendidikan
di perguruan tinggi penulis juga ikut serta dalam organisasi kemahasiswaan yaitu
pada periode 2011/2012 terdaftar sebagai anggota GEMATIKA ( Generasi Muda
Himpunan Mahasiswa Matematika) FMIPA Unila. Pada periode tahun 2012/2013
– 2013/2014 penulis terdaftar sebagai anggota HIMATIKA biro Dana dan Usaha.
Sebagai bentuk pengaplikasian bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama 3 minggu di Badan Pusat Statistik(BPS)
Provinsi Lampung, serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 30 hari di desa
Poncorejo kecamatan Padang Cermin kabupaten Pesawaran.
Dengan rasa syukur yang tiada terkira...
Kupersembahkan karya kecilku ini sebagai hadiah
sederhana atas keringat, waktu, doa, dan air mata dari
dua orang hebat dalam hidupku, yang selalu
menjagaku sejak nafas pertama yang di anugerahkan
Tuhan hingga saat ini.
Terimakasih Pak, Bu...
Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang
kamu dustakan? [QS. Ar Rahman (55):13]
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat dan
hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Graf
Maksimal Sisi Memuat Siklus Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari banyak pihak yang telah
terlibat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang setia membimbing,
memberikan
arahan,
saran,
dan
dukungan
kepada
penulis
dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Dr. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku pembimbing II yang dengan sabar
memberikan kesempatan bagi penulis untuk belajar lebih banyak selama
proses pembuatan skripsi ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku penguji yang telah memberikan kritik
dan saran yang membangun dalam proses pembuatan skripsi ini.
4. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing akademik yang
selalu memberikan pengarahan dan mendampingi penulis selama masa
perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan
bantuan kepada penulis.
8. Kedua orang tua beserta keluarga yang selalu memberikan semangat, doa
dan kasih sayang.
9. Opi, Debi, dan Didi, jagoan-jagoan yang selalu memberikan motivasi,
semangat dan juga keceriaan bagi penulis.
10. Ayu, Anissa, Faiga, Triani, dan Haidir yang senantiasa memberikan
semangat dan bantuan selama masa perkuliahan kepada penulis.
11. Arifah dan Sabrina yang selalu memberikan semangat dan motivasi kepada
penulis.
12. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis menyadari bahwa skripsi masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar lebih
baik dimasa yang akan datang.
Bandar Lampung,
Penulis,
Dini Wulandari
April 2015
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI................................................................................................ .i
DAFTAR GAMBAR...................................................................................iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah...............................................................1
1.2 Batasan Masalah...........................................................................3
1.3 Tujuan Penelitian..........................................................................3
1.4 Manfaat Penelitian........................................................................3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf.......................................................................5
2.2 Bilangan Kromatik Lokasi............................................................7
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.....................................................16
3.2 Metode Penelitian.......................................................................16
i
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakterisasi Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Ganjil
Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga..............................................17
4.2 Karakterisasi Graf Maksimal Sisi Memuat Siklus Genap
Berbilangan Kromatik Lokasi Tiga................................................29
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan.................................................................................35
5.2 Saran...........................................................................................35
DAFTAR PUSTAKA
ii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi............................................5
Gambar 2. Graf H G ...............................................................................7
Gambar 3. Contoh graf berbilangan kromatik tiga.........................................8
Gambar 4. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G....................................10
Gambar 5. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 6. Pewarnaan lokasi minimum dari
Gambar 7. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 8. Empat type graf maksimal sisi di
,
,
3..............................11
.........................................12
..........................................13
yang memuat siklus ganjil
...................................................................................................23
Gambar 9. Graf maksimal sisi di
yang memuat siklus genap...................33
iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang pertama kali
diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonhard Euler
pada tahun 1736. Banyaknya jembatan yang menghubungkan antar wilayah di
Konigsberg melahirkan pemikiran mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan
yang menghubungkan keempat kota tersebut masing-masing tepat satu kali dan
kembali ke tempat semula.
Permasalahan jembatan Konigsberg direpresentasikan oleh Euler dengan
memisalkan daratan yang ada dengan titik (vertex) dan jembatan-jembatan yang
menghubungkan daratan tersebut dengan garis (edge). Kemudian Euler
menyimpulkan bahwa tidak mungkin dapat melalui ketujuh jembatan yang ada
tepat satu kali dikarenakan derajat (banyaknya garis yang menempel pada suatu
titik) titiknya
adalah
ganjil. Kisah Jembatan Konigsberg inilah yang
melatarbelakangi sejarah lahirnya Teori Graf.
Penyelesaian masalah yang dilakukan oleh Euler memperlihatkan bahwa teori graf
bermanfaat
dalam kehidupan sehari-hari. Contoh terapan lain dari teori graf
adalah jaringan internet, peta rangkaian listrik, meminimumkan biaya dengan
memilih rute terpendek, dan sebagainya.
Graf G didefinisikan sebagai himpunan (V,E) dengan V merupakan himputan titik
(vertex) yang tidak boleh kosong dan E merupakan himpunan pasangan sisi tak
terurut dari titik-titik di V. Pewarnaan titik adalah pemberian warna titik-titik
suatu graf dengan syarat dua titik yang bertetangga tidak boleh memiliki warna
yang sama, sedangkan dimensi partisi dari G adalah kardinalitas minimum dari kpartisi di V(G). Pengembangan dari kedua konsep inilah yang melatarbelakangi
munculnya konsep bilangan kromatik lokasi pada graf G.
Kajian tentang pewarnaan lokasi merupakan kajian yang cukup baru dalam teori
graf. Konsep pewarnaan lokasi pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk.
pada tahun 2002 dengan definisi sebagai berikut:
Misalkan c adalah suatu pewarnaan titik pada graf G dengan menggunakan warnawarna 1,2,...,k untuk suatu bilangan bulat positif k. Secara ekuivalen, c merupakan
suatu partisi Π dari V(C)
,
,
,
ke dalam kelas-kelas warna yang saling bebas
dimana titik-titik pada
dari suatu titik
( ,
( )
( ) didefinisikan sebagai k-vektor yaitu:
( )=( ( ,
dengan
diberi warna i, 1≤ i ≤ k. Kode warna
) = min{ ( , )|
), ( ,
),
, ( ,
} untuk 1
))
. Jika setiap titik di G
memiliki kode warna yang berbeda terhadap partisi Π, maka c disebut pewarnaan
lokasi. Banyaknya minimum warna yang digunakan pada pewarnaan lokasi
disebut bilangan kromatik lokasi yang dinotasikan dengan
( ).
2
Pada pengkarakterisasian graf berbilangan kromatik lokasi tertentu Chartrand dkk.
(2003) telah berhasil mengkarakterisasi graf berbilangan kromatik n-1 atau n-2.
Baskoro dan Asmiati (2013) telah berhasil mengkarakterisasi graf pohon
berbilangan kromatik lokasi tiga. Pada tulisan ini akan dilakukan pengkajian graf
maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik lokasi tiga berdasarkan paper
Asmiati dan Baskoro (2012).
1.2 Batasan masalah
Pada penelitian ini akan dikaji graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan
kromatik lokasi tiga.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis karakterisasi graf memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
a. Memberikan pemahaman dan wawasan mengenai teori graf terutama
tentang bilangan kromatik lokasi pada graf yang memuat siklus.
b. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dibidang teori graf.
3
c. Untuk
menjadi
referensi
penelitian
lanjutan
dalam
menentukan
karakterisasi graf berbilangan kromatik lokasi lebih besar dari tiga.
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan
kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Graf
Beberapa konsep dasar yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo
(1989). Suatu graf G dinotasikan dengan G = (V, E) dibangun dari suatu
himpunan V = {
} yang menyatakan himpunan titik tak kosong dari
G dan E = {
} himpunan sisi yang merupakan pasangan tak terurut
dari titik-titik di V.
v1
e3
v3
e6
e1
e2
v5
e5
v4
v2
e4
e7
Gambar 1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
Dua titik u dan v pada graf G dikatakan bertetangga (adjacent) jika
dihubungkan oleh sebuah sisi e. Sisi e juga dikatakan menempel (incident)
pada titik u jika titik u merupakan salah satu titik ujung dari sisi e. Dua sisi
atau lebih yang menghubungkan pasangan titik yang sama pada suatu graf
disebut sisi paralel (multiple edges). Pada Gambar 1. titik
bertetangga
dengan
dan
. Sisi
tersebut adalah sisi
menempel pada
dan
dan
. Sisi paralel dari gambar
.
Derajat dari titik v suatu graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada
titik v yang dinotasikan dengan d(v).Titik yang berderajat satu disebut dengan
daun (pendant), sedangkan titik yang berderajat nol disebut dengan titik
terasing (isolated vertex). Pada Gambar 1. ( ) ✁ ( ) ✁ ( ) ✁ ( ) ✁
3 dan
adalah daun karena berderajat satu.
Loop merupakan sisi yang memiliki titik awal dan akhir yang sama. Pada suatu
graf sederhana tidak terdapat loop maupun sisi paralel . Graf pada Gambar 1.
bukan graf sederhana karena memiliki loop yaitu pada titik
paralel yaitu
dan
, sedangkan sisi
.
Jalan (walk) merupakan himpunan berhingga yang memuat titik dan sisi dari
suatu graf dimana setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya
Pada Gambar 1. contoh jalan adalah
.
Lintasan (path) adalah jalan yang semua sisi dan semua titik yang dilalui harus
berbeda. Graf G dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan yang
menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Pada Gambar 1. yang
merupakan lintasan adalah
.
Siklus (cycle) merupakan lintasan tertutup yang memiliki titik awal dan akhir
yang sama. Siklus dengan banyak titik genap disebut siklus genap, selain itu
6
disebut siklus ganjil. Contoh siklus genap pada Gambar 1. adalah
.
Suatu graf H dikatakan subgraf dari G, dinotasikan dengan H G jika dan
hanya jika V ( H ) V (G ) dan E ( H ) E (G ) .
v1
v3
v1
e3
e1
e2
v3
e6
e5
v5
e4
v4
v2
e3
e5
e2
e4
e7
v4
v2
G
H
Gambar 2. H G
2.2 Bilangan Kromatik Lokasi
Pada bagian ini akan diberikan definisi yang berkaitan dengan bilangan
kromatik lokasi pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk.(2002).
Bilangan kromatik lokasi merupakan pengembangan dari dua konsep dalam
graf yaitu pewarnaan titik dan dimensi partisi graf.
Pewarnaan titik graf G adalah c : V(G)
{1, 2, 3, ..., k} dengan syarat dua titik
yang bertetangga tidak boleh memiliki warna yang sama. Minimum banyaknya
warna yang diperlukan untuk mewarnai suatu graf itulah yang disebut bilangan
kromatik dan dinotasikan dengan
( ).
7
Gambar 3. Contoh graf berbilangan kromatik tiga
Selanjutnya diberikan definisi dan teorema mengenai bilangan kromatik lokasi.
Konsep bilangan kromatik lokasi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.
(2002). Misalkan c suatu pewarnaan titik di G dan
titik yang diberi warna i , maka
={
✂
✂
} merupakan himpunan yang
✂
terdiri dari kelas-kelas warna pada V(G). Kode warna
k-pasang
in
m { (
terurut
✂
)|
( (
✂
} untuk 1
)✂ (
✂
)✂
✂
(
merupakan himpunan
✂
))
( ) dari v merupakan
dengan
(
✂
)✄
. Jika setiap titik di G memiliki kode
warna yang berbeda maka c disebut pewarnaan lokasi dari G yang kemudian
dinotasikan dengan
( ).
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting mengenai bilangan
kromatik lokasi pada suatu graf yang telah dibuktikan oleh Chartrand dkk.
(2002). Lingkungan dari suatu titik v pada graf G yang dinotasikan dengan
N(v) adalah himpunan titik-titik di G yang bertetangga dengan v.
Teorema 2.1. Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf G. Jika u dan v
adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian sehingga d (u,w) = d (v,w)
untuk semua w
V(G) – {u,v} maka c(u)
c(v). Secara khusus, jika u dan v
titik-titik yang tidak bertetangga di G sedemikian sehingga N(u) = N(v) maka
c(u)
c(v).
8
Bukti:
Misalkan c merupakan suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan
☎{ ✆ ✆ ✆
misalkan
warna
. Jika u,v
} merupakan partisi titik-titik G ke dalam kelas
V(G), misalkan c(u) = c(v) sedemikian sehingga titik u dan
v berada dalam kelas warna yang sama, misal
(
✆
,
) ☎ 0. Jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w
= ( ,
) untuk setiap j
i, 1
j
sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi c(u)
dari Π maka
(
✆
)☎
V(G) – {u,v}, maka
k. Akibatnya,
( )=
( )
c(v).
Akibat 2.1 Jika G adalah graf terhubung dengan suatu titik yang bertetangga
dengan k daun, maka
( )
+ 1.
Bukti:
Misalkan
adalah titik yang bertetangga dengan k daun yaitu
,
,
,
di
G. Berdasarkan Teorema 2.1 bahwa setiap pewarnaan lokasi pada graf G
mempunyai warna yang berbeda untuk setiap
bertetangga dengan semua
dengan semua daun
, = 1, 2,
, . Jika v
maka v harus memiliki warna yang berbeda
. Akibatnya
( )
+ 1.
9
Berikut ini diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada suatu
graf.
v3
v2
v7
v4
v6
v5
v1
Gambar 4. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G
Terlebih dahulu akan ditentukan batas bawah bilangan kromatik lokasi graf G.
Karena titik
( )
yang mempunyai 3 daun maka berdasarkan Akibat 2.1 ,
4
(1)
Selanjutnya ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G.
Titik-titik pada V(G) dipartisi sebagai berikut:
= { };
={ ,
( ) = (0,1,1,1) ;
(1,2,2,0) ;
};
={ ,
};
={ ,
( ) = (1,0,2,2) ;
( ) = (1,0,1,2) ;
}. Kode warnanya adalah
( ) = (1,2,0,2) ;
( ) = (2,1,0,1) ;
( )=
( ) = (3,2,1,0).
Karena semua titik di G mempunyai kode warna berbeda, maka c merupakan
pewarnaan lokasi . jadi,
( )
4
Berdasarkan Persamaan (1) dan (2), maka
(2)
( ) = 4.
Teorema 2.2 Misalkan k adalah derajat maksimum di graf G maka
1+
( )
.
10
Bukti:
Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada G dan misalkan v adalah titik yang
mempunyai derajat maksimum k. Maka v bertetangga dengan titik
✝
✝
(
sehingga
✝
✝
✝
= (
)✞
( )
(
, ) = 1. Menurut
) sehingga
,
,
,
mempunyai warna berbeda, dan karena v bertetangga dengan
,
,
,
Teorema 2.1, diperoleh
( )
)✞ (
,
maka v mempunyai warna yang berbeda dari
dibutuhkan adalah (1 + k) warna. Akibatnya,
,
( )
,
Jadi warna yang
1+ .
Berikut ini diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa graf yang diambil dari
Chartrand dkk. (2002) .
Teorema 2.3 bilangan kromatik lokasi graf lintasan
,n
3 adalah 3.
Bukti:
( ) = 1 dan
Diketahui bahwa
( )
( ) = 2. Jelas bahwa untuk n
3. Berdasarkan Teorema 2.2
titik maksimum. Karena
3. Jadi terbukti
,
= 2, maka
( )
1 + , dengan k adalah derajat
( )
1 + 2. Akibatnya,
2
3
2
3
2
Gambar 5. Pewarnaan lokasi minimum pada
Teorema 2.4 Untuk bilangan bulat a dan b dengan 1
=
( )
( ) = 3.
1
,
3 maka
,
3
dan
2
+ 1.
11
Bukti:
Berdasarkan Akibat 2.1 didapat batas bawah dari
yaitu
✟
Selanjutnya, ditentukan batas atasnya yaitu
+ 1.
✟
+ 1. Misalkan c
,
merupakan pewarnaan titik dengan (b+1) warna seperti yang terlihat pada
Gambar 6. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik
sehingga c merupakan pewarnaan lokasi. Jadi
,
=
,
berbeda,
+ 1.
1
2
2
b 1
1
u
v
3
a
b
a 1
Gambar 6. Pewarnaan lokasi minimum dari
,
Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan dan clear
path yang diambil dari Asmiati dkk. (2013).
Misalkan c merupakan pewarnaan lokasi graf G (V,E) dan diberikan
{ ,
,
,
} adalah partisi V(G) terhadap c. Suatu titik v
dominan jika ( , ) = 0 jika
=
G disebut titik
dan 1 untuk yang lainnya. Suatu lintasan
yang menghubungkan dua titik dominan di G disebut dengan clear path jika
semua titik internalnya bukan titik dominan.
12
Berikut ini akan ditentukan bilangan kromatik lokasi dan titik dominan yang
terdapat pada suatu graf G:
v1 1
v2
2
1 v6
v3
v4
3
2
v5
3
Gambar 7. Pewarnaan lokasi minimum pada
Pada Gambar 8. diperoleh bilangan kromatik lokasi dari graf tersebut adalah 3
dengan kode warna dari tiap-tiap titik sebagai berikut:
( ) ✠ {0,1,2} ,
( ) = {1,1,0} ,
( ) = {1,0,1} ,
( ) = {2,1,0} ,
( ) = {2,0,1} ,
( ) = {0,2,1}
Berdasarkan teorema sebelumnya, maka graf pada Gambar 8. yang menjadi
titik dominan adalah
dan
. Contoh clear path pada Gambar 8. adalah
.
Lemma 2.1 Diberikan suatu graf G dengan
( )= k. Terdapat paling banyak
k titik dominan di G dan semuanya harus memiliki warna yang berbeda.
Bukti:
Misalkan
( ,
merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung maka
) = 0 untuk
dan ( ,
) = 1 untuk v Ci . Karena
maka kelas partisi Π memuat k kelas warna, misalkan
,
, ,
( )= ,
dan setiap
memiliki kode warna yang berbeda. Akibatnya, G memuat paling
banyak k titik dominan dan masing-masing memiliki kode warna yang berbeda.
13
Lemma 2.2 diberikan graf G dengan
( )= 3. Maka panjang dari setiap clear
path nya ganjil.
Bukti:
Diberikan 3 pewarnaan lokasi pada G. Diberikan P suatu clear path yang
menghubungkan dua titik dominan x dan y pada G. Misalkan c(x) = 1 dan c(y)
= 2 . jika semua titik internal P bukan dominan maka warna masing-masing
titik haruslah 1 atau 2. Akibatnya, banyaknya titik internalnya harus genap.
Jadi, panjang dari P adalah ganjil.
Lemma 2.3 Diberikan graf G yang memuat siklus dengan
( ) ✡ 3 dan c
adalah pewarnaan dengan menggunakan tiga titik. Pernyataan berikut adalah
ekuivalen:
a. Jika G memuat siklus ganjil maka G tepat memiliki 3 titik dominan dan
ketiganya berada di siklus ganjil.
b. Jika G memuat siklus genap maka G memiliki paling banyak 3 titik
dominan dan dua diantaranya haruslah titik yang bertetangga dalam suatu
siklus.
Bukti:
a. Diberikan C merupakan siklus genap, diberikan P merupakan clear path
yang menghubungkan dua titik dominan x dan y, asumsikan panjang dari
clear path tersebut genap, akibatnya akan ada dua titik yang memiliki
kode warna yang sama sehingga graf tersebut tidak akan memiliki tiga
titik dominan, kontradiksi.
14
b. Jika G memuat siklus genap, berdasarkan Lemma 2.1 dan 2.2 semua titik
dari setiap siklus C di G harus menerima dua warna. Oleh karena itu,
terdapat paling banyak dua titik dominan di C. Misalkan hanya terdapat
satu titik dominan di C yaitu x , titik x harus mempunyai tetangga ketiga
(diluar siklus C) yang menerima warna ketiga yang berbeda dari C.
Akibatnya, dua titik lain yang bertetangga dengan x di C akan mempunyai
warna yang sama, kontradiksi.
Oleh karena itu, terdapat tepat dua titik dominan x dan y di C. Jika mereka
tidak bertetangga maka dua tetangga dari x di C akan mempunyai kode
warna yang sama, kontradiksi. Selain itu, tiap-tiap {x,y} harus memiliki
tetangga lain yang tidak berada di C untuk membuatnya dominan.
15
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015
bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menganalisis graf maksimal sisi memuat siklus
berbilangan kromatik lokasi tiga adalah:
1. Menentukan graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik
lokasi tiga.
2. Menganalisis graf maksimal sisi memuat siklus berbilangan kromatik
lokasi tiga.
3. Hasil yang diperoleh pada langkah dua dituliskan dalam bentuk teorema.
4. Membuktikan teorema yang diperoleh pada langkah ketiga.
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
1. Terdapat empat tipe graf maksimal sisi memuat siklus ganjil berbilangan
kromatik lokasi tiga. Graf-graf tersebut diperoleh berdasarkan letak dari
ketiga titik dominannya.
2. Graf maksimal sisi memuat siklus genap berbilangan kromatik lokasi tiga
juga diperoleh. Hanya terdapat satu tipe graf yang memenuhi kondisi
tersebut.
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan karakterisasi graf berbilangan
kromatik lokasi yang lebih besar dari tiga.
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, Assiyatun, H.and Baskoro, E.T. 2011. Locating-Chromatic Number of
Amalgamation of Stars. ITB J.Sci. Vol 43A (1), 1-8.
Asmiati, and Baskoro, E.T. 2012. Characterizing All Graphs Containing Cycle
with Locating – Chromatic Number 3. AIP Conf. Proc. Vol 1450, 351357.
Baskoro, and Asmiati, E.T. 2013. Characterizing All Trees with LocatingChromatic Number 3. Electronic Journal of Graph Theory and
Application. Vol 1(2), 109-117.
Chartrand, G.et al. 2003. Graphs of Order n with Locating Chromatic Number n1.Dicrete Mathemathics.Vol 269, 65-79.
Chartrand, G.et al. 2002. The Locating Chromatic Number of Graph. Bull Inst.
Combin.Appl. Vol 36, 89-101.
Deo,N., 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science. Pretince Hall of India Private Limited.