: Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit
PERSAMAAN TUNGGAL SEBAGAI REPRESENTASI KURVA
KOMPOSIT
ARINA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRACT
ARINA. Single Equation Representation of a Composite Curve. Under supervision of NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
A mathematical method is introduced to represent a composite curve based on an extension of
analytic geometry. The representation is given either with a single equation or with two equations,
in the case of parametric representation. This method permits the representation of composite
curves in similar manner to the conventional representation of non-composite curves. Some
mathematical tools, including Heaviside unit step function and periodizer function, are used in the
establishment of a single equation. In this paper, regular equations of regular and irregular
polygon, as well as composite curves of two dimensions, are implemented using a computer
algebraic system, Mathematica.
Keywords : polygon, composite curves, Heaviside unit step function, periodizer function.
ABSTRAK
ARINA. Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit. Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM.
Sebuah metode diperkenalkan berdasarkan pada pengembangan analisis geometri untuk
merepresentasikan kurva komposit dengan menggunakan persamaan tunggal atau dua persamaan
dalam kasus representasi parametrik. Skema ini memungkinkan representasi kurva komposit
dalam cara yang mirip dengan cara konvensional yang digunakan untuk representasi non-komposit
kurva. Beberapa perangkat matematika, yaitu fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
digunakan dalam pembentukan persamaan tunggal. Pada karya ilmiah ini, persamaan poligon
teratur, poligon tak teratur, dan kurva komposit dua dimensi yang ditetapkan.
Kata kunci : poligon, kurva komposit, fungsi tangga satuan Heaviside, fungsi Periodizer.
PERSAMAAN TUNGGAL SEBAGAI REPRESENTASI KURVA
KOMPOSIT
ARINA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi
: Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit
Nama
: Arina
NIM
: G54070076
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 19640823 198903 1 001
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19651019 199103 2 002
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ............................................................
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini
juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini,
penulis menyampaikan terima kasih kepada :
1
Keluarga penulis, Ayah, Ibu dan adik-adik (Sandy Permana, Oktavia Lestari, dan Ilham
Tridarma Muhammad) beserta keluarga besar Tanu Wijaya (Alm) dan Baenari (Alm) atas
doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB,
2
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. dan Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing
atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini,
3
Ir. Retno Budiarti, MS. selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir,
4
Dr. Enrique Chicurel Uziel selaku penulis pustaka utama karya ilmiah ini yang telah
membantu penulis memperkaya materi karya ilmiah,
5
seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman
berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB,
6
seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar
kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini,
7
pengurus BEM KM Kabinet IPB Bersahabat, BEM FMIPA Kabinet Totalitas Kebangkitan
dan BEM FMIPA Kabinet Ksatria Pembaharu atas doa dan motivasinya,
8
mahasiswa Departemen Matematika Angkatan 44 atas dukungan semangat dan
pengalamannya,
9
para penghuni kos Bunda atas semangat dan keramaiannya,
10
petugas perpustakaan FMIPA dan IPB yang telah membantu penulis mencari referensi
karya ilmiah ini,
11
seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang
membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan
dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika.
Bogor, Juni 2012
Arina
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Bogor pada tanggal 7 April 1989 sebagai anak pertama dari
empat bersaudara, dari pasangan Ujang Somantri dan Tina Susanti. Pada tahun 2001, penulis lulus
dari SD Mardi Yuana II Kota Bogor. Pada tahun 2004, penulis lulus dari SMP Mardi Waluya Kota
Bogor. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kota Bogor dan pada tahun yang sama
penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa
Baru (SPMB).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB
dan kepanitiaan, di antaranya:
pengurus dewan asrama putri Rusunawa IPB sebagai ketua lorong 5B periode 2007/2008,
anggota Badan Pengawas Gumatika periode 2008/2009 dan 2009/2010,
staf Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2009,
ketua Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2010,
sekretaris kabinet BEM Keluarga Mahasiswa IPB periode 2011,
tim pembina pada Pesta Petani Muda (Pestani) 2011 tingkat Jawa Barat dan Banten,
tim kesekretariatan Masa Pengenalan Kampus dan Mahasiswa Baru 2008 angkatan 45,
tim acara Masa Perkenalan Fakultas MIPA 2009 angkatan 45,
tim acara Pesta Sains Nasional 2009,
tim pelaksana Pendidikan dan Pelatihan (Diklat) Ketua Lembaga Kemahasiswaan IPB
periode 2011/2012.
Penulis juga mendapat beberapa beasiswa selama menjalani masa studi, yaitu Beasiswa
Supersemar pada 2010/2011 dan Korean Exchange Bank Scholarship (beasiswa penelitian) pada
2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif mengajar mata kuliah Kalkulus dan Pengantar
Matematika pada bimbingan belajar Gumatika dan Katalis Corp sejak tahun 2008 sampai 2011.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................................... viii
DAFTAR TABEL .......................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN................................................................................................... ix
1
2
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang.....................................................................................................
1.2
Tujuan .................................................................................................................
1
1
LANDASAN TEORI
2.1
Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function) ............................................................
2.2
Fungsi Tangga Satuan Heaviside (H) ...................................................................
2.3
Bangun Segi Banyak (Poligon) ............................................................................
2.4
Persamaan Parametrik Poligon Tak Teratur..........................................................
2.5
Sistem Koordinat Cartesius ..................................................................................
2.6
Sistem Koordinat Kutub.......................................................................................
2.7
Fungsi Periodizer ................................................................................................
2.7.1
Deret Fourier pada Gelombang Sawtooth .....................................................
2.7.2
Fungsi Periodizer Kutub ..............................................................................
1
1
2
2
2
3
3
3
4
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Fungsi Tangga Satuan Heaviside ......................................................................... 5
3.2
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Selang Tertentu ...................................... 6
3.2.1
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an) .............................................. 6
3.2.2
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an] .............................................. 7
3.2.3
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an] .............................................. 7
3.2.4
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an) .............................................. 7
3.3
Persamaan Tunggal Kurva Komposit ................................................................... 8
3.4
Kurva Poligon Tak Teratur .................................................................................. 10
3.5
Kurva Poligon Teratur ......................................................................................... 12
4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan ......................................................................................................... 15
4.2
Saran ................................................................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................... 15
LAMPIRAN ................................................................................................................... 16
vii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2
Fungsi tangga satuan Heaviside �( ) ................................................................................
3
Poligon teratur dengan :
1
1
Fungsi tangga satuan Heaviside �( , ) ............................................................................
2
(a) n = 3 (trigon), b) n = 5 (Pentagon), c) n = 8 (Oktagon) ................................................
2
4
Sistem koordinat Cartesius ................................................................................................
3
5
Sistem koordinat polar (kutub) ..........................................................................................
3
6
3
7
Fungsi periodizer Cartesius � dengan periode T ...............................................................
8
Kurva fungsi periodizer f dengan periode (T)
(a) T = 1,
9
= ......................................................................................................
Kurva fungsi
(b) T = 2,
(c) T = 3 .................................................................................
Kurva fungsi periodizer kutub � �, 5,0 , 0
� = �, 0
�
�
4
2�........................................................
5
..............................................................................................
5
10
Kurva
11
Kurva fungsi periodizer kutub f dengan:
12
(a) N = 4 dan �0 = 0 rad,
2
�
4
(b) N = 5 dan �0 =
�
rad ..................................................
5
6
13
Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat Cartesius ...........................
14
Kurva fungsi sesepenggal ...............................................................................................
9
15
Kurva fungsi sesepenggal ............................................................................................... 10
16
Kurva pentagon tak teratur ................................................................................................ 12
17
Kurva poligon teratur ........................................................................................................ 12
18
Sisi poligon pada kuadran I ............................................................................................... 12
19
Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N):
4
Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat kutub.................................
6
(a). N = 4 (tetragon), (b). N = 5 (pentagon), (c). N = 9 (nonagon/enneagon) ..................... 13
20
Heksagon (Contoh 5) dengan pusat:
(a). (1,2), (b). (−2,2), (c). (0,7) ...................................................................................... 14
21
Pentagon (Contoh 6) dengan sudut putaran:
(a). 0, (b). /4, (c) /2 ................................................................................................... 14
DAFTAR TABEL
1
Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu ......................................................................
8
2
Tabel pengali fungsi
pada (25) .......................................................................................
9
3
Tabel pengali fungsi
pada (27) ...................................................................................... 10
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Pembentukan Fungsi Periodizer ........................................................................................ 17
2
Program Mathematica ....................................................................................................... 19
3
Perhitungan Solusi Contoh 3 ............................................................................................. 26
4
Kasus Poligon Teratur ....................................................................................................... 30
ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa dekade terakhir suatu
disiplin ilmu baru yang dikenal sebagai
Geometri Komputasi telah muncul, yang
antara lain berhubungan dengan titik temu
antar fungsi, garis, dan poligon. Geometri
komputasi telah diterapkan terutama pada
komputer grafik, robotika, dan geometri jalan.
Geometri komputasi memiliki potensi besar
untuk dikembangkan, namun penggunaannya
membutuhkan pengetahuan dasar dari disiplin
ilmu komputasi, khususnya algoritme dan
pemrograman.
Pada
tahun
2004,
Chicurel-Uziel
memublikasikan tulisan yang berjudul “Single
Equation without Inequalities to Represent a
Composite Curve”. Pada tulisan tersebut,
Chicurel-Uziel
memperkenalkan
fungsi
tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
untuk membentuk sebuah persamaan tunggal
dari
fungsi
sesepenggal
dan
mengaplikasikannya dalam persamaan sproket
(sebuah objek yang terdiri dari bagian rol,
kontur gigi, dan hub). Karya ilmiah ini
menyajikan kembali tulisan Chicurel-Uziel
tersebut dengan fokus utama pada perangkat
fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi
periodizer dan pengaplikasiannya pada kurva
komposit umum dan poligon.
Prosedur penyajian karya ilmiah ini
mengacu pada penggambaran ruas garis
terbatas, poligon, dan
gabungan kurva,
dengan melibatkan titik temu antarfungsi
dalam kurva, tetapi dengan cara yang berbeda,
yaitu pengembangan analisis geometri yang
memanfaatkan fungsi aljabar dan transenden,
sehingga penerapannya memerlukan sedikit
pengetahuan atau bahkan tidak memerlukan
algoritme dan pemrograman.
1.2 Tujuan
Tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 membentuk persamaan tunggal untuk
merepresentasikan kurva komposit,
2 mengaplikasikan persamaan tunggal dalam
kurva poligon tak teratur dan kurva
komposit sederhana,
3 membentuk persamaan tunggal kurva
poligon teratur.
II LANDASAN TEORI
2.2 Fungsi Tangga Satuan Heaviside (H)
2.1 Fungsi Sesepenggal (Piecewise
Function)
Grafik fungsi umumnya digambarkan
dengan fungsi tunggal pada daerah asal
fungsi. Namun, terdapat beberapa fungsi yang
terdiri dari definisi fungsi yang berbeda pada
daerah asal yang berbeda pula. Perhatikan
fungsi berikut:
=
=
− , jika < 0
2
, jika 0
1, jika > 1
2
3
�
=
0,
1,
0
(2)
H(x)
1
(1)
Fungsi
di atas adalah suatu fungsi
sesepenggal dalam variabel x, dengan daerah
asal −∞ < < ∞, dan terdiri dari tiga
definisi fungsi:
1
Fungsi tangga satuan Heaviside adalah
fungsi sesepenggal yang bernilai nol untuk
argumen negatif dan satu untuk argumen
positif.
= − , untuk < 0;
= 2 , untuk 0
1;
= 1, untuk > 1;
(Thomas & Finney 1990)
1
0
x
Gambar 1 Fungsi tangga satuan Heaviside
�( ).
(Abramowitz & Stegun 1972)
Secara umum, fungsi tangga satuan
Heaviside dalam variabel x dengan konstanta
a dapat dituliskan:
2
�
,
=
0,
1,
<
>
ℝ
(3)
Fungsi tangga satuan Heaviside (3) dapat
diinterpretasikan sebagai kondisi menekan
tombol switch on dari suatu alat elektronik
pada waktu x = a. Saat x < a fungsi tersebut
bernilai nol yang merepresentasikan kondisi
alat belum dinyalakan, dan saat x > a fungsi
bernilai satu yang merepresentasikan kondisi
alat sudah menyala.
(Chicurel-Uziel 2004)
H(x,a)
2.4 Persamaan Parametrik Poligon Tak
Teratur
Sebuah poligon terdiri dari verteks
0, 0 , 1 1, 1 , 2 2, 2 , … , �
�, � .
Karena poligon adalah kurva tertutup maka
� = 0,
0 = � , dan
0 = � . Diketahui
pula si adalah kumulatif panjang sisi poligon
diukur dari titik P0 sampai Pi melalui verteks
P0 ,P1 ,P2, ... ,Pi-1. Persamaan si dapat
dituliskan sebagai berikut:
0
=
1
=1
0
a
x
Gambar 2 Fungsi tangga satuan Heaviside
� , .
2.3 Bangun Segi Banyak (Poligon)
Poligon didefinisikan sebagai objek
geometri yang terdiri atas sejumlah titik
(disebut verteks) dan ruas garis (disebut sisi)
dalam jumlah yang sama, dengan rangkaian
melingkar tanpa tiga titik yang kolinear
(segaris) berturut-turut, dan ruas garis
menghubungkan pasangan titik-titik tersebut
berurutan. Dengan kata lain, poligon adalah
kurva tertutup pada bidang datar yang terdiri
dari rangkaian garis terputus-putus.
(Coxeter & Greitzer 1967)
Poligon dengan n verteks (dan n sisi)
dikenal sebagai n-gon. Sebuah poligon dengan
panjang sisi dan besar sudut yang sama
disebut poligon teratur (regular polygon).
Sebaliknya, poligon dengan panjang sisi atau
besar sudut berbeda disebut poligon tak
teratur (irregular polygon).
dengan
0
2
−
= 0 dan
−1
�
−
+
= 1,2, … , �
2
−1
(4)
= keliling sisi poligon.
Simbol subskrip ganda
, +1 dan
, +1
berikut merupakan variabel tak bebas yang
menyatakan persamaan parametrik segmen
garis
+1 dengan variabel bebas s:
, +1 (
)=
, +1 (
)=
+1 −
+
+1 −
+1 −
+
+1 −
+1 −
+1 −
+1 −
+1 −
+1
(5)
+1
(6)
= 0,1,2, … , � − 1
dengan :
xi = koordinat x pada verteks ke-i,
yi = koordinat y pada verteks ke-i,
s = variabel bebas yang menyatakan jarak,
si = persamaan panjang sisi poligon dari
verteks awal (P0) ke verteks ke-i (Pi).
Persamaan parametrik (5) dan (6)
merepresentasikan persamaan parametrik
sebuah lintasan melingkar tertutup yang terdiri
dari rangkaian garis linear terputus-putus
melewati titik-titik
0 0, 0 , 1 1, 1 ,
2 2, 2 , … , �
�, � .
(Chicurel-Uziel 2004)
2.5 Sistem Koordinat Cartesius
(a)
(b)
(c)
Gambar 3 Poligon teratur dengan:
a) n = 3 (trigon),
b) n = 5 (pentagon),
c) n = 8 (oktagon).
Setiap titik pada bidang dapat ditentukan
lokasinya oleh pasangan terurut bilangan
sebagai berikut. Tarik garis melalui P tegak
lurus terhadap sumbu-x dan sumbu-y. Garisgaris ini memotong sumbu di titik dengan
koordinat a dan b sebagaimana diperlihatkan
dalam Gambar 4. Bilangan pertama a disebut
3
koordinat-x (atau absis) dan bilangan kedua b
disebut koordinat-y (atau ordinat) dari P.
Fungsi periodizer yang dikemukakan pada
karya ilmiah ini adalah sebuah fungsi
sesepenggal-linear yang diperoleh dari fungsi
gelombang sawtooth dengan mendefinisikan T
sebagai periode fungsi.
y
P(a,b)
b
2
1
−1
x
O
1
Fungsi periodizer Cartesius:
2 3 4
−2
2.7 Fungsi Periodizer
a
Gambar 4 Sistem koordinat Cartesius.
Sistem koordinat ini disebut sistem
koordinat persegi panjang atau sistem
koordinat Cartesius untuk mengenang
matematikawan Perancis Rene Descartes
(1596-1650).
(Stewart 1999)
�
=
� �
�
− arctan cot
2 �
�
Jika dalam definisi fungsi dalam variabel t,
t diganti dengan fungsi periodizer (pc), maka
akan dihasilkan fungsi berulang tak terbatas
pada interval awal 0 t T dan seterusnya.
(Chicurel-Uziel 2000)
2.6 Sistem Koordinat Kutub
Koordinat kutub:
( , �)
Jarak dari O ke P
Gambar 6 Fungsi periodizer Cartesius �
dengan periode T.
Sudut dari sinar awal
ke
P
Dengan penurunan aljabar, fungsi periodizer
Cartesius dapat dituliskan pula sebagai
berikut:
∞
� �
1
2��
�
= −
sin
.
2 �
�
�
� =1
O
Gambar 5 Sistem koordinat polar (kutub).
Seperti dalam trigonometri, sudut � bernilai
positif jika diukur berlawanan arah jarum jam
dan bernilai negatif jika diukur searah jarum
jam. Besar sudut � dipengaruhi oleh nilai r
yang diberikan.
Relasi antara koordinat Cartesius ( , ) dan
kutub , � adalah:
atau
= cos � ,
2
+
2
=
2
,
= sin �,
= tan �.
(7)
(Thomas & Finney 1990)
(8)
Persamaan (8) dibentuk dari deret Fourier
pada fungsi gelombang sawtooth. Prosedur
pembentukannya dapat dilihat di Lampiran 1.
2.7.1 Deret Fourier
Sawtooth
pada
Gelombang
Fungsi periodik gelombang sawtooth
merupakan pengembangan dari deret Fourier.
Deret Fourier merupakan sebuah deret yang
mengubah fungsi periodik atau sinyal periodik
ke dalam sejumlah fungsi osilasi sederhana.
Dalam sebuah proses yang dikenal dengan
analisis harmonik, beberapa fungsi periodik
dengan periode P dapat direpresentasikan
sebagai deret Fourier (pertama kali
diperkenalkan oleh Jean Baptiste Joseph
Fourier seorang Matematikawan Perancis).
Deret Fourier �
dapat dinyatakan
sebagai berikut:
4
�
=
0
2
+
∞
cos
=1
+
1.0
2�
sin
0.8
2�
0.6
(9)
dengan
dan
adalah koefisien yang
dihitung dengan formulasi sebagai berikut:
0
2
=
=
2
0
=
2
0
0.2
2
4
6
8
10
(a)
�
0
0.4
,
2.0
1.5
�
cos
�
sin
2�
,
2�
,
= 0,1,2, …
= 1,2,3, …
1.0
0.5
2
4
6
8
6
8
10
(b)
3.0
(10)
2.5
P
= periode fungsi,
� ( ) = fungsi bilangan real dengan
variabel bebas t (menyatakan
waktu).
2.0
1.5
1.0
(Spanier & Oldham 1987)
Akan diberikan ilustrasi dan contoh fungsi
periodizer Cartesius.
Grafik fungsi
=
ditampilkan sebagai berikut:
pada
[0,10],
y
0.5
2
4
10
(c)
Gambar 8 Kurva fungsi periodizer f dengan
periode (T):
(a) T = 1,
(b) T = 2,
(c) T = 3.
10
2.7.2 Fungsi Periodizer Kutub
8
6
4
2
2
4
6
Gambar 7 Kurva
8
10
x
= .
Fungsi periodizer untuk f dituliskan sebagai
berikut:
∞
1
2�
� �
(�
sin
,
)= −
�
2 �
=1
= 1,2, …
diperoleh dengan menyubstitusi variabel
bebas x pada
=
dengan fungsi
periodizer � .
Kurva fungsi periodizer
dengan
beberapa nilai T ditampilkan sebagai berikut:
Fungsi periodizer kutub diperoleh dari
fungsi periodizer Cartesius, yaitu dengan
mengubah variabel bebas x menjadi (-0)
dan periode T menjadi 2/N.
� �, , �0 =
�
−
2
arctan cot
(� − �0 )
2
Fungsi periodizer kutub dari sebuah fungsi
f dalam variabel diperoleh dengan
mengubah variabel bebas menjadi fungsi
periodizer �. Fungsi
dengan variabel tak
bebas p terdiri dari segmen awal () pada
[0,T] berulang N kali pada [0,2]. Fungsi
(� �, , �0 ) identik dengan (� �, , 0 ),
kecuali sudut awal (�0 ) fungsi (� �, , �0 )
diputar rad berlawanan arah dengan jarum
jam.
(Chicurel-Uziel 2004)
Fungsi periodizer kutub
dituliskan pula sebagai:
� �, , �0 =
�
−
2
∞
�=1
tersebut
1
sin
�
dapat
� � − �0 .
(11)
1.0
� �, , �0
=
�
−
∞
2
1
� − �0 ,
sin
=1
diperoleh dengan menyubstitusi variabel �
pada
� = � dengan fungsi periodizer
kutub p.
Kurva fungsi periodizer kutub
dengan
beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai
berikut:
1.5
0.5
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.5
(a)
Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub
� �, 5, 0 , 0 � 2�.
1.0
Ilustrasi dengan contoh:
0.5
Grafik
fungsi
� = �, 0 /2,
ditampilkan sebagai berikut:
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
1.0
1.0
(b)
0.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gambar 10 Kurva
� = �, 0 /2.
Fungsi periodizer untuk
berikut:
dituliskan sebagai
Gambar 11 Kurva fungsi periodizer kutub
dengan:
(a) N = 4 dan �0 = 0 rad,
�
(b) N = 5 dan �0 = rad.
4
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini menyajikan persamaan
tunggal untuk menampilkan kurva komposit
(dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan
tunggal untuk kurva periodik. Perangkat
matematika yang digunakan adalah fungsi
tangga satuan Heaviside (untuk kurva
komposit umum)
dan fungsi periodizer
(untuk kurva periodik).
Persamaan tunggal
yang dibentuk
selanjutnya diterapkan pada kurva komposit
sederhana dan bangun geometri poligon.
3.1 Fungsi Tangga Satuan Heaviside
Penggunaan
fungsi
tangga
satuan
Heaviside dalam mendefinisikan fungsi
bilangan real pada selang tertentu dapat
diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan
6
sebuah fungsi bilangan real , dalam variabel
x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika ,
adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas
dari = ke = (dengan a < b), dapat
dituliskan:
� ,
=
−�
,
(12)
dengan �( , ) & �( , ) adalah fungsi
tangga satuan Heaviside yang berbentuk:
� ,
� ,
=
0,
1,
<
>
=
0,
1,
<
>
Persamaan
(3)
pada
Bab
II
mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan
Heaviside yang berbentuk � , , bernilai 0
ketika < dan bernilai 1 ketika > .
Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai
fungsi � ketika = . Jika dikaitkan dengan
ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside
sebagai tombol “switch on” pada suatu alat
elektronik, maka kondisi ketika tombol
“switch on” ditekan dapat diinterpretasikan
bahwa alat sudah menyala (bernilai 1) atau
alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka
dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada
pembentukan fungsi tunggal didefinisikan
menjadi dua bentuk, yaitu:
�1
�2
,
=
0,
1,
,
=
0,
1,
(13)
>
<
Fungsi tangga satuan Heaviside (13) dan (14)
dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub,
yaitu:
�1 �,
�2 �,
=
=
1, � >
0, �
(15)
1, �
0, � <
(16)
Gambar 13 Fungsi tangga satuan Heaviside
�1 dan �2 dalam koordinat
kutub.
Perbedaan pada pendefinisian fungsi
tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh
pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan
pertaksamaan daerah asal yang beragam.
(14)
3.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada Suatu Selang Fungsi
H1(x,a)
1
a
x
H2(x,a)
1
3.2.1 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada [� , �� )
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal [ 1 , � ) dapat disajikan
sebagai berikut:
=
x
a
Gambar 12 Fungsi tangga satuan Heaviside
�1 dan �2 dalam koordinat
Cartesius.
�2
,
1
− �2
,
�
1
,
< �
(17)
Persamaan (17) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (14)):
7
�2
,
�2
=
1
,
=
�
1,
0,
1,
0,
1
, 1 − �2 , �
0 − 0,
< 1
1
−
0,
=
1 dan
1 − 1,
�
=
0,
1,
<
1
1
=
atau
< �
�2
=
0,
<
�
Fungsi
ketika
pada
0,
�
,
�
�
�2
�
=
bernilai nol
− �1
1
,
�
1
,
<
�1
,
,
1
�
=
=
1,
0,
>
>
kemudian ditentukan nilai dari:
�1
, 1 − �1 , �
0 − 0,
1
> 1 dan
= 1 − 0,
1 − 1,
> �
=
0,
1,
1
1
<
atau
�
>
�
�
1
1
1,
0,
<
�
�
=
bernilai nol
�
�
,
− �1
1
,
,
�
�.
(19)
1
�2
,
�1
1
,
�
=
=
1,
0,
1
<
1,
0,
1
>
�
�
kemudian ditentukan nilai dari:
�.
(18)
Persamaan (18) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13)):
�1
1
− �1 , �
>
1 atau
Persamaan (19) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13) dan (14)):
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal ( 1 , � ] dapat disajikan
sebagai berikut:
,
1
mendefinisikan bahwa
1 <
� , dan fungsi
atau
> �.
1
=
3.2.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada (� , �� ]
�1
,
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal [ 1 , � ] dapat disajikan
sebagai berikut:
Fungsi mendefinisikan bahwa
< � , dan fungsi
ketika 1
pada < 1 atau
�.
=
�1
3.2.3 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada [� , �� ]
, 1 − �2 ,
< 1 atau
< �
1
,
=
�
<
kemudian ditentukan nilai dari:
�2
=
1
<
�2
, 1 − �1 , �
0 − 0,
< 1
= 1 − 0,
1 dan
1 − 1,
> �
=
0,
1,
<
1
atau
1
=
=
0,
�2
,
�
>
�
�
, 1 − �1
< 1 atau
1
�
, �
>
Fungsi mendefinisikan bahwa
ketika 1
� , dan fungsi
pada < 1 atau > � .
�
=
bernilai nol
3.2.4 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada � , ��
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
dapat disajikan
pada daerah asal
1, �
sebagai berikut:
8
�1
=
,
1
− �2
,
�
1
,
<
<
�.
(20)
Persamaan (20) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13) dan (14)):
�1
,
�2
,
=
1
=
�
1,
0,
>
1,
0,
<
kemudian ditentukan nilai dari:
�1
, 1 − �2 , �
0 − 0,
1
> 1 dan
= 1 − 0,
1 − 1,
�
0,
=
1,
1
1
<
=
=
Fungsi
ketika
pada
0,
,
,
1
�
�
<
− �2 ,
1 atau
< < �
=
�
�
=
bernilai nol
Secara umum, pola persamaan (17) sampai
(20) dapat dituliskan seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Tabel pengali fungsi f pada selang
tertentu
Tipe
Domain f
Pengali (Heaviside)
[a,b)
2
(a,b]
3
[a,b]
4
(a,b)
< ; , konstanta
�2 ( ) − �2 ( )
�1 ( ) − �1 ( )
�2 ( ) − �1 ( )
�1 ( ) − �2 ( )
ℝ
dengan nilai � ( ) sama dengan � ,
dalam persamaan Cartesius dan � �,
dalam persamaan kutub; j = 1, 2.
3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit
Kurva komposit merupakan gabungan dari
beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari
1
2
,
,
<
1
3
<
2;
<
�−1
ℝ
�
3;
2
,
< �
1, 2, … ,
�−1
1
� −1
2
2
,
� −1
=
=
�
mendefinisikan bahwa
< � , dan fungsi
1 <
1 atau
�.
1
2
=
�
1
,
,
1
atau
atau
< �
�1
1
1
garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva
lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau
gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran
dan kurva lainnya dalam sistem koordinat
kutub.
Kurva komposit lazimnya disajikan dalam
bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah
ini diperkenalkan metode lain untuk
menyajikan
kurva
komposit
dengan
menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside.
Misalkan f adalah fungsi sesepenggal
bernilai real dengan variabel bebas x yang
didefinisikan sebagai berikut:
(21)
�.
Persamaan (21) dapat didefinisikan pula
sebagai berikut (mengacu pada Tabel 1):
=
=
=
1
2
� −1
�2
�2
,
,
�2
− �2
− �1
1
2
,
�−1
,
,
,
,
2
3
− �2
,
�
.
(22)
Selanjutnya, rangkaian persamaan (22)
digabungkan dengan operasi penjumlahan
sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal
sebagai berikut:
�2 , 1 − �2 , 2
= 1
+2
�2 , 2 − �1 , 3 +
�2 , �−1 − �2 , �
+ � −1
atau dapat diekspresikan:
=
�−1
�
=1
∀ = 1, 2 ;
,
= 1, 2;
= 1 jika =
= 2 jika =
= 1 jika =
� ,
� ,
� ,
+1
−�
,
+1
,
(23)
9
= 2 jika
� ,
= 1, 2, … , � − 1;
=
5
+1
=
Persamaan (23) dapat disajikan pula dalam
persamaan koordinat kutub, yaitu dengan
mengubah variabel bebas x dengan variabel .
� =
� −1
=1
∀ = 1, 2 ;
�
� �,
− � �,
+1
,
(24)
= 1, 2;
= 1 jika � =
= 2 jika � =
= 1 jika � =
= 2 jika � =
� ,
� ,
� ,
+1
� ,
+1
= 1, 2, … , � − 1;
Langkah Penyelesaian Kasus
Persamaan (23) dan (24) berlaku untuk
mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi
tunggal yang dapat menampilkan kurva
komposit.
Langkah penyelesaian kasus representasi
fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:
− 2 − 5, −4
3
2
2. � = 5,
4 = 2,
+ 3,
4. ditentukan persamaan tunggal kurva
komposit dengan menyubstitusikan hasil
poin (1) dan (3) pada persamaan (23)
untuk persamaan Cartesius dan persamaan
(24) untuk persamaan kutub.
= −4,
= 4;
1
2
5
(25)
< 2;
< 4;
= −2,
3
= 0,
Tabel 2 Tabel pengali fungsi pada (25)
Fungsi Domain
Pengali
(�)
[−4, −2]
�2
(�)
[0,2)
(�)
[2,4)
�2
(�)
(−2,0)
, −4 − �1 ( , −2)
�1
, −2 − �2 ( , 0)
�2
, 2 − �2
, 0 − �2
,2
,4
4. Persamaan tunggal kurva komposit ( ):
4
�
=1
,
−�
,
= 1
�2 , −4 − �1 , −2
�1 , −2 − �2 , 0
+2
+3
�2 , 0 − �2 , 2
+ 4 ( ) �2 , 2 − �2 , 4
+1
(26)
5. Kurva
pada (26) dibangkitkan dengan
perintah Plot pada software Mathematica
8.0 (algoritme program dapat dilihat di
Lampiran 2).
y
5
4
3
Contoh 1
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat
Cartesius
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan
sebagai berikut:
2
< 0;
3. Fungsi 1 , 2 , 3 , dan 4 memiliki daerah
asal yang berbeda-beda, maka pengali
fungsi tangga satuan Heaviside yang
digunakan juga berbeda (mengacu pada
Tabel 1).
1. didefinisikan fungsi sesepenggal dan
pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk
koordinat Cartesius dan untuk koordinat
kutub),
3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan
Heaviside untuk setiap fungsi,
0
− 5,
=
2. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas
fungsi ( = , = 1,2, … , �),
−2 <
+ 3,
3
−2
5
2
−2;
2
1
4
2
2
4
Gambar 14 Kurva fungsi sesepenggal .
1
=
2
3
4
, −4
, −2 <
,
0
,
2
−2;
< 0;
< 2;
< 4;
x
10
Contoh 2
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat
Kutub
=
1
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan
sebagai berikut:
1
2
=
3
4
1
2
� ,
� ;
� ;
� ;
0
�
2
�
�< ;
2
�
�2) dituliskan dan
diberi label , = 0,1,2, … , � berurutan
berlawanan arah jarum jam dimulai dari
. Verteks P0 = Pn karena poligon adalah
kurva tertutup.
(30)
=
23
34
45
01
12
=
23
34
45
, 0<
4.1231
, 4.1231 <
9.2221
, 9.2221 <
12.0506
, 12.0506 <
17.0506
, 17.0506 <
20.2128
,
,
,
,
,
0<
4.1231
4.1231 <
9.2221
9.2221 <
12.0506
12.0506 <
17.0506
17.0506 <
20.2128
(31)
(rincian perhitungan dapat
Lampiran 3).
dilihat
di
4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang
digunakan adalah �1 , dengan:
�1
=
,
0,
1,
>
= 0,1,2,3,4
(32)
u = variabel bebas menyatakan jarak yang
terdefinisi pada 0 , 5 ;
5. Persamaan parametrik poligon tak teratur:
4
=
, +1
=0
�1
,
− �1
,
+1
12
4
=
, +1
=0
�1
,
− �1
,
= �� −
+1
(33)
6. Kurva
poligon
tak
teratur
(33)
dibangkitkan
dengan
perintah
ParametricPlot
pada
software
Mathematica 8.0 sehingga diperoleh
Gambar 16 berikut.
tan
(36)
dengan:
Rp = jari-jari poligon,
(x,y) = koordinat verteks pertama.
(x,y)
Sisi pertama
Gambar 18 Sisi poligon pada kuadran I.
Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam
persamaan koordinat kutub sebagai berikut:
(�) =
Gambar 16 Kurva pentagon tak teratur.
Pembentukan
Persamaan
cos �
(37)
Selanjutnya, variabel bebas pada (37)
diganti dengan fungsi periodizer kutub
p (persamaan (11)) sehingga diperoleh:
3.5 Kurva Poligon Teratur
Prosedur
Tunggal
�� tan
sin �+tan
=
� �, , �0
�� tan
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
(38)
Persamaan (38) disebut sebagai persamaan
poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub
dengan jari–jari lintasan Rp yang berpusat di
titik asal dan berotasi 0 rad.
Setelah
diperoleh
persamaan
(38),
persamaan parametrik poligon teratur dapat
dituliskan sebagai:
Gambar 17 Kurva poligon teratur.
Misalkan diberikan sebuah poligon teratur
dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat
dan salah satu verteks berada di sumbu-x.
Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisisisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jarijari poligon yang diambil dengan menarik
garis dari pusat poligon ke salah satu verteks
(ilustrasi pada Gambar 17). Pada segitiga
tersebut berlaku:
=
=
2�
�−
2
(34)
=�
−2
2
(35)
Persamaan linear sisi pertama poligon atau
sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x
pada kuadran I (ilustrasi Gambar 18) ialah:
+ �, , �0 cos �
�� tan cos �
= 0+
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
�, �� , , �0 =
0
(39)
�, �� , , �0 =
+ �, �� , , �0 sin �
�� tan sin �
= 0+
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
0
(40)
dengan :
N
= banyaknya sisi poligon,
= jari-jari poligon,
Rp
�0
= sudut rotasi verteks 0 (berlawanan
arah jarum jam),
�
= variabel bebas menyatakan radian,
13
�
0, 0
= titik pusat kurva poligon,
= fungsi periodizer dalam koordinat
kutub,
=
−2
2
� rad.
0.5
Persamaan (39)
dan (40)
dapat
merepresentasikan persamaan lintasan gerak
melingkar beraturan yang berawal di
koordinat �� , �0 , jika dibiarkan menjalani
akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup
dengan pusat 0 , 0 dalam ruang x-y berupa
kurva garis linear (3) yang berulang terputusputus sebanyak N kali.
Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan
ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon
teratur setelah nilai-nilai parameternya
diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon
teratur disajikan pula, sebagai contoh dari
aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4
menyajikan persamaan parametrik dari setiap
gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme
program dapat dilihat di Lampiran 2.
Contoh 4
Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jarijari (�� ) 1 satuan, dan sudut putaran (�0 ) 0 rad
dapat dituliskan dalam persamaan parametrik
sebagai berikut:
� =
� =
dengan:
tan cos �
sin � �, , 0 + tan cos � �, , 0
tan sin �
sin � �, , 0 + tan cos � �, , 0
−2
� ,
2
� 2
� �, , 0 = −
=
∞
�=1
1
sin
�
0.5
1.0
0.5
(b)
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
(c)
Gambar 19 Poligon teratur (Contoh 4) dengan
banyaknya sisi (N):
(a) N = 4 (tetragon),
(b) N = 5 (pentagon),
(c) N = 9 (nonagon/enneagon).
Contoh 5
Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N =
6) dengan pusat poligon 0 , 0 , jari-jari (�� )
2 satuan, sudut putaran (�0 ) 0 rad, dan
verteks awal P0, dapat dituliskan dalam
persamaan parametrik sebagai berikut:
2 tan cos �
sin � �, 6, 0 + tan cos � �, 6,0
2tan sin �
� = 0+
sin � �, 6,0 + tan cos � �, 6,0
� =
0
+
1
−2
� = �,
3
2
∞
1
� 2
sin 6� � .
� �, 6,0 = −
�
6 6
=
� =1
0.5
0.5
0.5
dengan:
� � .
1.0
1.0
0.5
1.0
0.5
1.0
(a)
(a)
14
� �, 5, �0
(− , )
� 2
= −
5 5
∞
�=1
1
sin 5� � − �0 .
�
(b)
(a)
(c)
Gambar 20 Heksagon pada Contoh 5 dengan
pusat: a) (1,2), b) (−2,2),
c) (0,7).
(b)
Contoh 6
Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N =
5) dengan sudut putaran �0 , pusat (6,5), jarijari (�� ) 4 satuan, dan verteks awal P0, dapat
dituliskan dalam persamaan parametrik
sebagai berikut:
�
= 6+
�
=5+
4 tan cos �
sin � �, 4, �0 + tan cos � �, 4, �0
4 tan sin �
sin � �, 4, �0 + tan cos � �, 4, �0
dengan:
−2
=
� =
2
3
10
�,
(c)
Gambar 21 Pentagon pada Contoh 6 dengan
sudut putaran:a) 0, b) /4, c) /2.
IV KESIMPULAN DAN SARAN
kurva periodik ditetapkan pada poligon
teratur.
4.1 Kesimpulan
Sebuah metodologi yang mengacu pada
pengembangan
analisis
gometri
telah
disajikan berupa representasi kurva komposit
dan ruas garis terbatas oleh persamaan
tunggal. Kurva yang dibentuk dapat tertutup
atau terbuka, dan periodik atau non-periodik.
Persamaan tunggal untuk kurva non-periodik
ditetapkan pada poligon tak teratur dan kurva
komposit umum. Persamaan tunggal untuk
4.2 Saran
Karya ilmiah ini selanjutnya dapat
dikembangkan dalam:
1. penerapan pada fungsi komposit yang
lebih kompleks,
2. pengembangan dalam bidang tiga dimensi.
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz M, Stegun IA. 1972. Handbook
of
Mathematical
Functions
with
Formulas, Graphs, and Mathematical
Tables. Ed ke-9. New York: Dover.
Chicurel-Uziel E. 2000. Closed-form
solution for response of linear systems
subjected to periodic non-harmonic
excitation. J. Multy-Body Dynamics Proc
Instn. Mech Engrs 214 (K3):189-193.
Chicurel-Uziel E. 2004. Single equation
without inequalities to represent a
composite curve. Computer Aided
Geometric Design 21:23-42.
Coxeter HSM, Greitzer SL. 1967. Geometry
Revisited. Washington, DC: Math Assoc.
Amer.
Spanier J, Oldham KB. 1987. An Atlas of
Function. Washington, DC: Hemisphere.
Stewart J. 1999. Calculus. Ed ke-4.
USA:Brooks/Cole Publishing Comp.
Thomas GB, Finney RL.1990. Calculus and
Analytic Geometry. Ed ke-7. New York:
Addison-Wesley.
LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER
= , merupakan fungsi garis lurus simetris dengan variabel bebas x, menjadi
Fungsi �
fungsi dasar pembentukan gelombang sawtooth. Fungsi �
ini yang akan disubstitusi pada deret
Fourier, untuk mendapatkan kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombang
sawtooth yang diperoleh dari perintah SawtoothWave pada software Mathematica.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
1
1
2
Fungsi periodik dari � yang bergantung pada x, berperiode T, yang dituliskan �
+ �� =
�
dengan n adalah bilangan bulat positif, menginterpretasikan bahwa kurva garis lurus � akan
berulang tak terhingga dengan selang awal fungsi periodik [0, T].
Koefisien Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � :
0
2
=
�
2
=
�
�
0
�
0
2
=
�
�
�
�
=
0
2�
cos
�
2 1
� 2
2
=
�
2�
2 �
sin
=
�
� 2�
�
0
�
0
−
2
1
1
�
= � 2 − 0 = � 2 = �;
0
�
�
cos
�
0
�
2�
sin
2�
�
2 �2
�
=
sin 2 � − 0 −
� 2�
2�
2
=
�
2
=
�
2
=
�
2�
�
�
0
sin
2�
�
�
�2
� 2
2�
sin 2 � +
cos
2�
�
2�
0
2
2
�
�
sin 2 � + 2 2 cos 2 � − cos 0
2�
4 �
�2
2
0+ 2 2 1−1 = 0+0 =0
4 �
�
diketahui j = 0, 1, 2, 3, ... , maka:
cos 2 � = cos 0 = cos 2� = 1,
sin 2 � = sin 0 = sin 2� = 0.
2
=
�
�
0
2�
sin
�
�
2
=
�
�
2�
2
cos
= −
2�
�
�
�
sin
0
�
+
0
�
2�
�
�
2�
cos
2�
�
0
�
�
2
cos 2 � + 0 +
= −
2�
2�
�
2
�
cos
0
2
2�
�
�
�
2�
2
�
cos 2 � +
sin
= −
2�
�
2�
�
0
�2
�2
2
cos 2 � + 2 2 sin 2 � − sin 0
= −
4 �
� 2�
�2
2
2
�2
�2
+ 2 2 (0 − 0) = −
+0
= −
� 2�
� 2� 4 �
�
=−
�
2
Selanjutnya, deret Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � didefinisikan sebagai
berikut:
�
=
0
2
+
� �
= −
2 �
∞
=1
∞
=1
2�
cos
�
1
2�
sin
�
+
,
2�
sin
�
= 1,2, …
�
= +
2
∞
=1
0+ −
�
2�
sin
�
�
Fungsi � ini yang dikenal sebagai fungsi periodizer, yaitu fungsi gelombang sawtooth dengan
variabel periode T.
Lampiran 2
Program Mathematica 8.0
Aplikasi pada Kurva Komposit
Contoh 1
Aplikasi2:=Module[{H1,H2,f,f1,f2,f3,f4},
"Kurva Komposit";
f1[x_]:=-5x/2-5;
f2[x_]:=3x/2+3;
f3[x_]:=-3x/2+3;
f4[x_]:=5x/2-5;
"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";
H1[i_]:=If[xi,0,1];
H2[i_]:=If[x
KOMPOSIT
ARINA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRACT
ARINA. Single Equation Representation of a Composite Curve. Under supervision of NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
A mathematical method is introduced to represent a composite curve based on an extension of
analytic geometry. The representation is given either with a single equation or with two equations,
in the case of parametric representation. This method permits the representation of composite
curves in similar manner to the conventional representation of non-composite curves. Some
mathematical tools, including Heaviside unit step function and periodizer function, are used in the
establishment of a single equation. In this paper, regular equations of regular and irregular
polygon, as well as composite curves of two dimensions, are implemented using a computer
algebraic system, Mathematica.
Keywords : polygon, composite curves, Heaviside unit step function, periodizer function.
ABSTRAK
ARINA. Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit. Dibimbing oleh NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM.
Sebuah metode diperkenalkan berdasarkan pada pengembangan analisis geometri untuk
merepresentasikan kurva komposit dengan menggunakan persamaan tunggal atau dua persamaan
dalam kasus representasi parametrik. Skema ini memungkinkan representasi kurva komposit
dalam cara yang mirip dengan cara konvensional yang digunakan untuk representasi non-komposit
kurva. Beberapa perangkat matematika, yaitu fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
digunakan dalam pembentukan persamaan tunggal. Pada karya ilmiah ini, persamaan poligon
teratur, poligon tak teratur, dan kurva komposit dua dimensi yang ditetapkan.
Kata kunci : poligon, kurva komposit, fungsi tangga satuan Heaviside, fungsi Periodizer.
PERSAMAAN TUNGGAL SEBAGAI REPRESENTASI KURVA
KOMPOSIT
ARINA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi
: Persamaan Tunggal sebagai Representasi Kurva Komposit
Nama
: Arina
NIM
: G54070076
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 19640823 198903 1 001
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19651019 199103 2 002
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ............................................................
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini
juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini,
penulis menyampaikan terima kasih kepada :
1
Keluarga penulis, Ayah, Ibu dan adik-adik (Sandy Permana, Oktavia Lestari, dan Ilham
Tridarma Muhammad) beserta keluarga besar Tanu Wijaya (Alm) dan Baenari (Alm) atas
doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB,
2
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. dan Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing
atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini,
3
Ir. Retno Budiarti, MS. selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir,
4
Dr. Enrique Chicurel Uziel selaku penulis pustaka utama karya ilmiah ini yang telah
membantu penulis memperkaya materi karya ilmiah,
5
seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman
berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB,
6
seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar
kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini,
7
pengurus BEM KM Kabinet IPB Bersahabat, BEM FMIPA Kabinet Totalitas Kebangkitan
dan BEM FMIPA Kabinet Ksatria Pembaharu atas doa dan motivasinya,
8
mahasiswa Departemen Matematika Angkatan 44 atas dukungan semangat dan
pengalamannya,
9
para penghuni kos Bunda atas semangat dan keramaiannya,
10
petugas perpustakaan FMIPA dan IPB yang telah membantu penulis mencari referensi
karya ilmiah ini,
11
seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang
membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan
dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika.
Bogor, Juni 2012
Arina
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Bogor pada tanggal 7 April 1989 sebagai anak pertama dari
empat bersaudara, dari pasangan Ujang Somantri dan Tina Susanti. Pada tahun 2001, penulis lulus
dari SD Mardi Yuana II Kota Bogor. Pada tahun 2004, penulis lulus dari SMP Mardi Waluya Kota
Bogor. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kota Bogor dan pada tahun yang sama
penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa
Baru (SPMB).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB
dan kepanitiaan, di antaranya:
pengurus dewan asrama putri Rusunawa IPB sebagai ketua lorong 5B periode 2007/2008,
anggota Badan Pengawas Gumatika periode 2008/2009 dan 2009/2010,
staf Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2009,
ketua Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB periode 2010,
sekretaris kabinet BEM Keluarga Mahasiswa IPB periode 2011,
tim pembina pada Pesta Petani Muda (Pestani) 2011 tingkat Jawa Barat dan Banten,
tim kesekretariatan Masa Pengenalan Kampus dan Mahasiswa Baru 2008 angkatan 45,
tim acara Masa Perkenalan Fakultas MIPA 2009 angkatan 45,
tim acara Pesta Sains Nasional 2009,
tim pelaksana Pendidikan dan Pelatihan (Diklat) Ketua Lembaga Kemahasiswaan IPB
periode 2011/2012.
Penulis juga mendapat beberapa beasiswa selama menjalani masa studi, yaitu Beasiswa
Supersemar pada 2010/2011 dan Korean Exchange Bank Scholarship (beasiswa penelitian) pada
2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif mengajar mata kuliah Kalkulus dan Pengantar
Matematika pada bimbingan belajar Gumatika dan Katalis Corp sejak tahun 2008 sampai 2011.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................................... viii
DAFTAR TABEL .......................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN................................................................................................... ix
1
2
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang.....................................................................................................
1.2
Tujuan .................................................................................................................
1
1
LANDASAN TEORI
2.1
Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function) ............................................................
2.2
Fungsi Tangga Satuan Heaviside (H) ...................................................................
2.3
Bangun Segi Banyak (Poligon) ............................................................................
2.4
Persamaan Parametrik Poligon Tak Teratur..........................................................
2.5
Sistem Koordinat Cartesius ..................................................................................
2.6
Sistem Koordinat Kutub.......................................................................................
2.7
Fungsi Periodizer ................................................................................................
2.7.1
Deret Fourier pada Gelombang Sawtooth .....................................................
2.7.2
Fungsi Periodizer Kutub ..............................................................................
1
1
2
2
2
3
3
3
4
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Fungsi Tangga Satuan Heaviside ......................................................................... 5
3.2
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Selang Tertentu ...................................... 6
3.2.1
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an) .............................................. 6
3.2.2
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an] .............................................. 7
3.2.3
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a1,an] .............................................. 7
3.2.4
Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a1,an) .............................................. 7
3.3
Persamaan Tunggal Kurva Komposit ................................................................... 8
3.4
Kurva Poligon Tak Teratur .................................................................................. 10
3.5
Kurva Poligon Teratur ......................................................................................... 12
4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan ......................................................................................................... 15
4.2
Saran ................................................................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................... 15
LAMPIRAN ................................................................................................................... 16
vii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2
Fungsi tangga satuan Heaviside �( ) ................................................................................
3
Poligon teratur dengan :
1
1
Fungsi tangga satuan Heaviside �( , ) ............................................................................
2
(a) n = 3 (trigon), b) n = 5 (Pentagon), c) n = 8 (Oktagon) ................................................
2
4
Sistem koordinat Cartesius ................................................................................................
3
5
Sistem koordinat polar (kutub) ..........................................................................................
3
6
3
7
Fungsi periodizer Cartesius � dengan periode T ...............................................................
8
Kurva fungsi periodizer f dengan periode (T)
(a) T = 1,
9
= ......................................................................................................
Kurva fungsi
(b) T = 2,
(c) T = 3 .................................................................................
Kurva fungsi periodizer kutub � �, 5,0 , 0
� = �, 0
�
�
4
2�........................................................
5
..............................................................................................
5
10
Kurva
11
Kurva fungsi periodizer kutub f dengan:
12
(a) N = 4 dan �0 = 0 rad,
2
�
4
(b) N = 5 dan �0 =
�
rad ..................................................
5
6
13
Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat Cartesius ...........................
14
Kurva fungsi sesepenggal ...............................................................................................
9
15
Kurva fungsi sesepenggal ............................................................................................... 10
16
Kurva pentagon tak teratur ................................................................................................ 12
17
Kurva poligon teratur ........................................................................................................ 12
18
Sisi poligon pada kuadran I ............................................................................................... 12
19
Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N):
4
Fungsi tangga satuan Heaviside �1 dan �2 dalam koordinat kutub.................................
6
(a). N = 4 (tetragon), (b). N = 5 (pentagon), (c). N = 9 (nonagon/enneagon) ..................... 13
20
Heksagon (Contoh 5) dengan pusat:
(a). (1,2), (b). (−2,2), (c). (0,7) ...................................................................................... 14
21
Pentagon (Contoh 6) dengan sudut putaran:
(a). 0, (b). /4, (c) /2 ................................................................................................... 14
DAFTAR TABEL
1
Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu ......................................................................
8
2
Tabel pengali fungsi
pada (25) .......................................................................................
9
3
Tabel pengali fungsi
pada (27) ...................................................................................... 10
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Pembentukan Fungsi Periodizer ........................................................................................ 17
2
Program Mathematica ....................................................................................................... 19
3
Perhitungan Solusi Contoh 3 ............................................................................................. 26
4
Kasus Poligon Teratur ....................................................................................................... 30
ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa dekade terakhir suatu
disiplin ilmu baru yang dikenal sebagai
Geometri Komputasi telah muncul, yang
antara lain berhubungan dengan titik temu
antar fungsi, garis, dan poligon. Geometri
komputasi telah diterapkan terutama pada
komputer grafik, robotika, dan geometri jalan.
Geometri komputasi memiliki potensi besar
untuk dikembangkan, namun penggunaannya
membutuhkan pengetahuan dasar dari disiplin
ilmu komputasi, khususnya algoritme dan
pemrograman.
Pada
tahun
2004,
Chicurel-Uziel
memublikasikan tulisan yang berjudul “Single
Equation without Inequalities to Represent a
Composite Curve”. Pada tulisan tersebut,
Chicurel-Uziel
memperkenalkan
fungsi
tangga satuan Heaviside dan fungsi periodizer
untuk membentuk sebuah persamaan tunggal
dari
fungsi
sesepenggal
dan
mengaplikasikannya dalam persamaan sproket
(sebuah objek yang terdiri dari bagian rol,
kontur gigi, dan hub). Karya ilmiah ini
menyajikan kembali tulisan Chicurel-Uziel
tersebut dengan fokus utama pada perangkat
fungsi tangga satuan Heaviside dan fungsi
periodizer dan pengaplikasiannya pada kurva
komposit umum dan poligon.
Prosedur penyajian karya ilmiah ini
mengacu pada penggambaran ruas garis
terbatas, poligon, dan
gabungan kurva,
dengan melibatkan titik temu antarfungsi
dalam kurva, tetapi dengan cara yang berbeda,
yaitu pengembangan analisis geometri yang
memanfaatkan fungsi aljabar dan transenden,
sehingga penerapannya memerlukan sedikit
pengetahuan atau bahkan tidak memerlukan
algoritme dan pemrograman.
1.2 Tujuan
Tujuan karya ilmiah ini ialah:
1 membentuk persamaan tunggal untuk
merepresentasikan kurva komposit,
2 mengaplikasikan persamaan tunggal dalam
kurva poligon tak teratur dan kurva
komposit sederhana,
3 membentuk persamaan tunggal kurva
poligon teratur.
II LANDASAN TEORI
2.2 Fungsi Tangga Satuan Heaviside (H)
2.1 Fungsi Sesepenggal (Piecewise
Function)
Grafik fungsi umumnya digambarkan
dengan fungsi tunggal pada daerah asal
fungsi. Namun, terdapat beberapa fungsi yang
terdiri dari definisi fungsi yang berbeda pada
daerah asal yang berbeda pula. Perhatikan
fungsi berikut:
=
=
− , jika < 0
2
, jika 0
1, jika > 1
2
3
�
=
0,
1,
0
(2)
H(x)
1
(1)
Fungsi
di atas adalah suatu fungsi
sesepenggal dalam variabel x, dengan daerah
asal −∞ < < ∞, dan terdiri dari tiga
definisi fungsi:
1
Fungsi tangga satuan Heaviside adalah
fungsi sesepenggal yang bernilai nol untuk
argumen negatif dan satu untuk argumen
positif.
= − , untuk < 0;
= 2 , untuk 0
1;
= 1, untuk > 1;
(Thomas & Finney 1990)
1
0
x
Gambar 1 Fungsi tangga satuan Heaviside
�( ).
(Abramowitz & Stegun 1972)
Secara umum, fungsi tangga satuan
Heaviside dalam variabel x dengan konstanta
a dapat dituliskan:
2
�
,
=
0,
1,
<
>
ℝ
(3)
Fungsi tangga satuan Heaviside (3) dapat
diinterpretasikan sebagai kondisi menekan
tombol switch on dari suatu alat elektronik
pada waktu x = a. Saat x < a fungsi tersebut
bernilai nol yang merepresentasikan kondisi
alat belum dinyalakan, dan saat x > a fungsi
bernilai satu yang merepresentasikan kondisi
alat sudah menyala.
(Chicurel-Uziel 2004)
H(x,a)
2.4 Persamaan Parametrik Poligon Tak
Teratur
Sebuah poligon terdiri dari verteks
0, 0 , 1 1, 1 , 2 2, 2 , … , �
�, � .
Karena poligon adalah kurva tertutup maka
� = 0,
0 = � , dan
0 = � . Diketahui
pula si adalah kumulatif panjang sisi poligon
diukur dari titik P0 sampai Pi melalui verteks
P0 ,P1 ,P2, ... ,Pi-1. Persamaan si dapat
dituliskan sebagai berikut:
0
=
1
=1
0
a
x
Gambar 2 Fungsi tangga satuan Heaviside
� , .
2.3 Bangun Segi Banyak (Poligon)
Poligon didefinisikan sebagai objek
geometri yang terdiri atas sejumlah titik
(disebut verteks) dan ruas garis (disebut sisi)
dalam jumlah yang sama, dengan rangkaian
melingkar tanpa tiga titik yang kolinear
(segaris) berturut-turut, dan ruas garis
menghubungkan pasangan titik-titik tersebut
berurutan. Dengan kata lain, poligon adalah
kurva tertutup pada bidang datar yang terdiri
dari rangkaian garis terputus-putus.
(Coxeter & Greitzer 1967)
Poligon dengan n verteks (dan n sisi)
dikenal sebagai n-gon. Sebuah poligon dengan
panjang sisi dan besar sudut yang sama
disebut poligon teratur (regular polygon).
Sebaliknya, poligon dengan panjang sisi atau
besar sudut berbeda disebut poligon tak
teratur (irregular polygon).
dengan
0
2
−
= 0 dan
−1
�
−
+
= 1,2, … , �
2
−1
(4)
= keliling sisi poligon.
Simbol subskrip ganda
, +1 dan
, +1
berikut merupakan variabel tak bebas yang
menyatakan persamaan parametrik segmen
garis
+1 dengan variabel bebas s:
, +1 (
)=
, +1 (
)=
+1 −
+
+1 −
+1 −
+
+1 −
+1 −
+1 −
+1 −
+1 −
+1
(5)
+1
(6)
= 0,1,2, … , � − 1
dengan :
xi = koordinat x pada verteks ke-i,
yi = koordinat y pada verteks ke-i,
s = variabel bebas yang menyatakan jarak,
si = persamaan panjang sisi poligon dari
verteks awal (P0) ke verteks ke-i (Pi).
Persamaan parametrik (5) dan (6)
merepresentasikan persamaan parametrik
sebuah lintasan melingkar tertutup yang terdiri
dari rangkaian garis linear terputus-putus
melewati titik-titik
0 0, 0 , 1 1, 1 ,
2 2, 2 , … , �
�, � .
(Chicurel-Uziel 2004)
2.5 Sistem Koordinat Cartesius
(a)
(b)
(c)
Gambar 3 Poligon teratur dengan:
a) n = 3 (trigon),
b) n = 5 (pentagon),
c) n = 8 (oktagon).
Setiap titik pada bidang dapat ditentukan
lokasinya oleh pasangan terurut bilangan
sebagai berikut. Tarik garis melalui P tegak
lurus terhadap sumbu-x dan sumbu-y. Garisgaris ini memotong sumbu di titik dengan
koordinat a dan b sebagaimana diperlihatkan
dalam Gambar 4. Bilangan pertama a disebut
3
koordinat-x (atau absis) dan bilangan kedua b
disebut koordinat-y (atau ordinat) dari P.
Fungsi periodizer yang dikemukakan pada
karya ilmiah ini adalah sebuah fungsi
sesepenggal-linear yang diperoleh dari fungsi
gelombang sawtooth dengan mendefinisikan T
sebagai periode fungsi.
y
P(a,b)
b
2
1
−1
x
O
1
Fungsi periodizer Cartesius:
2 3 4
−2
2.7 Fungsi Periodizer
a
Gambar 4 Sistem koordinat Cartesius.
Sistem koordinat ini disebut sistem
koordinat persegi panjang atau sistem
koordinat Cartesius untuk mengenang
matematikawan Perancis Rene Descartes
(1596-1650).
(Stewart 1999)
�
=
� �
�
− arctan cot
2 �
�
Jika dalam definisi fungsi dalam variabel t,
t diganti dengan fungsi periodizer (pc), maka
akan dihasilkan fungsi berulang tak terbatas
pada interval awal 0 t T dan seterusnya.
(Chicurel-Uziel 2000)
2.6 Sistem Koordinat Kutub
Koordinat kutub:
( , �)
Jarak dari O ke P
Gambar 6 Fungsi periodizer Cartesius �
dengan periode T.
Sudut dari sinar awal
ke
P
Dengan penurunan aljabar, fungsi periodizer
Cartesius dapat dituliskan pula sebagai
berikut:
∞
� �
1
2��
�
= −
sin
.
2 �
�
�
� =1
O
Gambar 5 Sistem koordinat polar (kutub).
Seperti dalam trigonometri, sudut � bernilai
positif jika diukur berlawanan arah jarum jam
dan bernilai negatif jika diukur searah jarum
jam. Besar sudut � dipengaruhi oleh nilai r
yang diberikan.
Relasi antara koordinat Cartesius ( , ) dan
kutub , � adalah:
atau
= cos � ,
2
+
2
=
2
,
= sin �,
= tan �.
(7)
(Thomas & Finney 1990)
(8)
Persamaan (8) dibentuk dari deret Fourier
pada fungsi gelombang sawtooth. Prosedur
pembentukannya dapat dilihat di Lampiran 1.
2.7.1 Deret Fourier
Sawtooth
pada
Gelombang
Fungsi periodik gelombang sawtooth
merupakan pengembangan dari deret Fourier.
Deret Fourier merupakan sebuah deret yang
mengubah fungsi periodik atau sinyal periodik
ke dalam sejumlah fungsi osilasi sederhana.
Dalam sebuah proses yang dikenal dengan
analisis harmonik, beberapa fungsi periodik
dengan periode P dapat direpresentasikan
sebagai deret Fourier (pertama kali
diperkenalkan oleh Jean Baptiste Joseph
Fourier seorang Matematikawan Perancis).
Deret Fourier �
dapat dinyatakan
sebagai berikut:
4
�
=
0
2
+
∞
cos
=1
+
1.0
2�
sin
0.8
2�
0.6
(9)
dengan
dan
adalah koefisien yang
dihitung dengan formulasi sebagai berikut:
0
2
=
=
2
0
=
2
0
0.2
2
4
6
8
10
(a)
�
0
0.4
,
2.0
1.5
�
cos
�
sin
2�
,
2�
,
= 0,1,2, …
= 1,2,3, …
1.0
0.5
2
4
6
8
6
8
10
(b)
3.0
(10)
2.5
P
= periode fungsi,
� ( ) = fungsi bilangan real dengan
variabel bebas t (menyatakan
waktu).
2.0
1.5
1.0
(Spanier & Oldham 1987)
Akan diberikan ilustrasi dan contoh fungsi
periodizer Cartesius.
Grafik fungsi
=
ditampilkan sebagai berikut:
pada
[0,10],
y
0.5
2
4
10
(c)
Gambar 8 Kurva fungsi periodizer f dengan
periode (T):
(a) T = 1,
(b) T = 2,
(c) T = 3.
10
2.7.2 Fungsi Periodizer Kutub
8
6
4
2
2
4
6
Gambar 7 Kurva
8
10
x
= .
Fungsi periodizer untuk f dituliskan sebagai
berikut:
∞
1
2�
� �
(�
sin
,
)= −
�
2 �
=1
= 1,2, …
diperoleh dengan menyubstitusi variabel
bebas x pada
=
dengan fungsi
periodizer � .
Kurva fungsi periodizer
dengan
beberapa nilai T ditampilkan sebagai berikut:
Fungsi periodizer kutub diperoleh dari
fungsi periodizer Cartesius, yaitu dengan
mengubah variabel bebas x menjadi (-0)
dan periode T menjadi 2/N.
� �, , �0 =
�
−
2
arctan cot
(� − �0 )
2
Fungsi periodizer kutub dari sebuah fungsi
f dalam variabel diperoleh dengan
mengubah variabel bebas menjadi fungsi
periodizer �. Fungsi
dengan variabel tak
bebas p terdiri dari segmen awal () pada
[0,T] berulang N kali pada [0,2]. Fungsi
(� �, , �0 ) identik dengan (� �, , 0 ),
kecuali sudut awal (�0 ) fungsi (� �, , �0 )
diputar rad berlawanan arah dengan jarum
jam.
(Chicurel-Uziel 2004)
Fungsi periodizer kutub
dituliskan pula sebagai:
� �, , �0 =
�
−
2
∞
�=1
tersebut
1
sin
�
dapat
� � − �0 .
(11)
1.0
� �, , �0
=
�
−
∞
2
1
� − �0 ,
sin
=1
diperoleh dengan menyubstitusi variabel �
pada
� = � dengan fungsi periodizer
kutub p.
Kurva fungsi periodizer kutub
dengan
beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai
berikut:
1.5
0.5
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.5
(a)
Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub
� �, 5, 0 , 0 � 2�.
1.0
Ilustrasi dengan contoh:
0.5
Grafik
fungsi
� = �, 0 /2,
ditampilkan sebagai berikut:
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
1.0
1.0
(b)
0.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gambar 10 Kurva
� = �, 0 /2.
Fungsi periodizer untuk
berikut:
dituliskan sebagai
Gambar 11 Kurva fungsi periodizer kutub
dengan:
(a) N = 4 dan �0 = 0 rad,
�
(b) N = 5 dan �0 = rad.
4
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini menyajikan persamaan
tunggal untuk menampilkan kurva komposit
(dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan
tunggal untuk kurva periodik. Perangkat
matematika yang digunakan adalah fungsi
tangga satuan Heaviside (untuk kurva
komposit umum)
dan fungsi periodizer
(untuk kurva periodik).
Persamaan tunggal
yang dibentuk
selanjutnya diterapkan pada kurva komposit
sederhana dan bangun geometri poligon.
3.1 Fungsi Tangga Satuan Heaviside
Penggunaan
fungsi
tangga
satuan
Heaviside dalam mendefinisikan fungsi
bilangan real pada selang tertentu dapat
diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan
6
sebuah fungsi bilangan real , dalam variabel
x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika ,
adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas
dari = ke = (dengan a < b), dapat
dituliskan:
� ,
=
−�
,
(12)
dengan �( , ) & �( , ) adalah fungsi
tangga satuan Heaviside yang berbentuk:
� ,
� ,
=
0,
1,
<
>
=
0,
1,
<
>
Persamaan
(3)
pada
Bab
II
mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan
Heaviside yang berbentuk � , , bernilai 0
ketika < dan bernilai 1 ketika > .
Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai
fungsi � ketika = . Jika dikaitkan dengan
ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside
sebagai tombol “switch on” pada suatu alat
elektronik, maka kondisi ketika tombol
“switch on” ditekan dapat diinterpretasikan
bahwa alat sudah menyala (bernilai 1) atau
alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka
dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada
pembentukan fungsi tunggal didefinisikan
menjadi dua bentuk, yaitu:
�1
�2
,
=
0,
1,
,
=
0,
1,
(13)
>
<
Fungsi tangga satuan Heaviside (13) dan (14)
dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub,
yaitu:
�1 �,
�2 �,
=
=
1, � >
0, �
(15)
1, �
0, � <
(16)
Gambar 13 Fungsi tangga satuan Heaviside
�1 dan �2 dalam koordinat
kutub.
Perbedaan pada pendefinisian fungsi
tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh
pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan
pertaksamaan daerah asal yang beragam.
(14)
3.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada Suatu Selang Fungsi
H1(x,a)
1
a
x
H2(x,a)
1
3.2.1 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada [� , �� )
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal [ 1 , � ) dapat disajikan
sebagai berikut:
=
x
a
Gambar 12 Fungsi tangga satuan Heaviside
�1 dan �2 dalam koordinat
Cartesius.
�2
,
1
− �2
,
�
1
,
< �
(17)
Persamaan (17) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (14)):
7
�2
,
�2
=
1
,
=
�
1,
0,
1,
0,
1
, 1 − �2 , �
0 − 0,
< 1
1
−
0,
=
1 dan
1 − 1,
�
=
0,
1,
<
1
1
=
atau
< �
�2
=
0,
<
�
Fungsi
ketika
pada
0,
�
,
�
�
�2
�
=
bernilai nol
− �1
1
,
�
1
,
<
�1
,
,
1
�
=
=
1,
0,
>
>
kemudian ditentukan nilai dari:
�1
, 1 − �1 , �
0 − 0,
1
> 1 dan
= 1 − 0,
1 − 1,
> �
=
0,
1,
1
1
<
atau
�
>
�
�
1
1
1,
0,
<
�
�
=
bernilai nol
�
�
,
− �1
1
,
,
�
�.
(19)
1
�2
,
�1
1
,
�
=
=
1,
0,
1
<
1,
0,
1
>
�
�
kemudian ditentukan nilai dari:
�.
(18)
Persamaan (18) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13)):
�1
1
− �1 , �
>
1 atau
Persamaan (19) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13) dan (14)):
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal ( 1 , � ] dapat disajikan
sebagai berikut:
,
1
mendefinisikan bahwa
1 <
� , dan fungsi
atau
> �.
1
=
3.2.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada (� , �� ]
�1
,
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
pada daerah asal [ 1 , � ] dapat disajikan
sebagai berikut:
Fungsi mendefinisikan bahwa
< � , dan fungsi
ketika 1
pada < 1 atau
�.
=
�1
3.2.3 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada [� , �� ]
, 1 − �2 ,
< 1 atau
< �
1
,
=
�
<
kemudian ditentukan nilai dari:
�2
=
1
<
�2
, 1 − �1 , �
0 − 0,
< 1
= 1 − 0,
1 dan
1 − 1,
> �
=
0,
1,
<
1
atau
1
=
=
0,
�2
,
�
>
�
�
, 1 − �1
< 1 atau
1
�
, �
>
Fungsi mendefinisikan bahwa
ketika 1
� , dan fungsi
pada < 1 atau > � .
�
=
bernilai nol
3.2.4 Persamaan Segmen Kurva Fungsi
pada � , ��
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi
dapat disajikan
pada daerah asal
1, �
sebagai berikut:
8
�1
=
,
1
− �2
,
�
1
,
<
<
�.
(20)
Persamaan (20) diperoleh dengan prosedur
sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga
satuan Heaviside untuk x pada ujung selang,
yaitu
= 1 dan
= � , (mengacu pada
persamaan (13) dan (14)):
�1
,
�2
,
=
1
=
�
1,
0,
>
1,
0,
<
kemudian ditentukan nilai dari:
�1
, 1 − �2 , �
0 − 0,
1
> 1 dan
= 1 − 0,
1 − 1,
�
0,
=
1,
1
1
<
=
=
Fungsi
ketika
pada
0,
,
,
1
�
�
<
− �2 ,
1 atau
< < �
=
�
�
=
bernilai nol
Secara umum, pola persamaan (17) sampai
(20) dapat dituliskan seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Tabel pengali fungsi f pada selang
tertentu
Tipe
Domain f
Pengali (Heaviside)
[a,b)
2
(a,b]
3
[a,b]
4
(a,b)
< ; , konstanta
�2 ( ) − �2 ( )
�1 ( ) − �1 ( )
�2 ( ) − �1 ( )
�1 ( ) − �2 ( )
ℝ
dengan nilai � ( ) sama dengan � ,
dalam persamaan Cartesius dan � �,
dalam persamaan kutub; j = 1, 2.
3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit
Kurva komposit merupakan gabungan dari
beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari
1
2
,
,
<
1
3
<
2;
<
�−1
ℝ
�
3;
2
,
< �
1, 2, … ,
�−1
1
� −1
2
2
,
� −1
=
=
�
mendefinisikan bahwa
< � , dan fungsi
1 <
1 atau
�.
1
2
=
�
1
,
,
1
atau
atau
< �
�1
1
1
garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva
lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau
gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran
dan kurva lainnya dalam sistem koordinat
kutub.
Kurva komposit lazimnya disajikan dalam
bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah
ini diperkenalkan metode lain untuk
menyajikan
kurva
komposit
dengan
menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside.
Misalkan f adalah fungsi sesepenggal
bernilai real dengan variabel bebas x yang
didefinisikan sebagai berikut:
(21)
�.
Persamaan (21) dapat didefinisikan pula
sebagai berikut (mengacu pada Tabel 1):
=
=
=
1
2
� −1
�2
�2
,
,
�2
− �2
− �1
1
2
,
�−1
,
,
,
,
2
3
− �2
,
�
.
(22)
Selanjutnya, rangkaian persamaan (22)
digabungkan dengan operasi penjumlahan
sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal
sebagai berikut:
�2 , 1 − �2 , 2
= 1
+2
�2 , 2 − �1 , 3 +
�2 , �−1 − �2 , �
+ � −1
atau dapat diekspresikan:
=
�−1
�
=1
∀ = 1, 2 ;
,
= 1, 2;
= 1 jika =
= 2 jika =
= 1 jika =
� ,
� ,
� ,
+1
−�
,
+1
,
(23)
9
= 2 jika
� ,
= 1, 2, … , � − 1;
=
5
+1
=
Persamaan (23) dapat disajikan pula dalam
persamaan koordinat kutub, yaitu dengan
mengubah variabel bebas x dengan variabel .
� =
� −1
=1
∀ = 1, 2 ;
�
� �,
− � �,
+1
,
(24)
= 1, 2;
= 1 jika � =
= 2 jika � =
= 1 jika � =
= 2 jika � =
� ,
� ,
� ,
+1
� ,
+1
= 1, 2, … , � − 1;
Langkah Penyelesaian Kasus
Persamaan (23) dan (24) berlaku untuk
mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi
tunggal yang dapat menampilkan kurva
komposit.
Langkah penyelesaian kasus representasi
fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:
− 2 − 5, −4
3
2
2. � = 5,
4 = 2,
+ 3,
4. ditentukan persamaan tunggal kurva
komposit dengan menyubstitusikan hasil
poin (1) dan (3) pada persamaan (23)
untuk persamaan Cartesius dan persamaan
(24) untuk persamaan kutub.
= −4,
= 4;
1
2
5
(25)
< 2;
< 4;
= −2,
3
= 0,
Tabel 2 Tabel pengali fungsi pada (25)
Fungsi Domain
Pengali
(�)
[−4, −2]
�2
(�)
[0,2)
(�)
[2,4)
�2
(�)
(−2,0)
, −4 − �1 ( , −2)
�1
, −2 − �2 ( , 0)
�2
, 2 − �2
, 0 − �2
,2
,4
4. Persamaan tunggal kurva komposit ( ):
4
�
=1
,
−�
,
= 1
�2 , −4 − �1 , −2
�1 , −2 − �2 , 0
+2
+3
�2 , 0 − �2 , 2
+ 4 ( ) �2 , 2 − �2 , 4
+1
(26)
5. Kurva
pada (26) dibangkitkan dengan
perintah Plot pada software Mathematica
8.0 (algoritme program dapat dilihat di
Lampiran 2).
y
5
4
3
Contoh 1
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat
Cartesius
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan
sebagai berikut:
2
< 0;
3. Fungsi 1 , 2 , 3 , dan 4 memiliki daerah
asal yang berbeda-beda, maka pengali
fungsi tangga satuan Heaviside yang
digunakan juga berbeda (mengacu pada
Tabel 1).
1. didefinisikan fungsi sesepenggal dan
pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk
koordinat Cartesius dan untuk koordinat
kutub),
3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan
Heaviside untuk setiap fungsi,
0
− 5,
=
2. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas
fungsi ( = , = 1,2, … , �),
−2 <
+ 3,
3
−2
5
2
−2;
2
1
4
2
2
4
Gambar 14 Kurva fungsi sesepenggal .
1
=
2
3
4
, −4
, −2 <
,
0
,
2
−2;
< 0;
< 2;
< 4;
x
10
Contoh 2
Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat
Kutub
=
1
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan
sebagai berikut:
1
2
=
3
4
1
2
� ,
� ;
� ;
� ;
0
�
2
�
�< ;
2
�
�2) dituliskan dan
diberi label , = 0,1,2, … , � berurutan
berlawanan arah jarum jam dimulai dari
. Verteks P0 = Pn karena poligon adalah
kurva tertutup.
(30)
=
23
34
45
01
12
=
23
34
45
, 0<
4.1231
, 4.1231 <
9.2221
, 9.2221 <
12.0506
, 12.0506 <
17.0506
, 17.0506 <
20.2128
,
,
,
,
,
0<
4.1231
4.1231 <
9.2221
9.2221 <
12.0506
12.0506 <
17.0506
17.0506 <
20.2128
(31)
(rincian perhitungan dapat
Lampiran 3).
dilihat
di
4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang
digunakan adalah �1 , dengan:
�1
=
,
0,
1,
>
= 0,1,2,3,4
(32)
u = variabel bebas menyatakan jarak yang
terdefinisi pada 0 , 5 ;
5. Persamaan parametrik poligon tak teratur:
4
=
, +1
=0
�1
,
− �1
,
+1
12
4
=
, +1
=0
�1
,
− �1
,
= �� −
+1
(33)
6. Kurva
poligon
tak
teratur
(33)
dibangkitkan
dengan
perintah
ParametricPlot
pada
software
Mathematica 8.0 sehingga diperoleh
Gambar 16 berikut.
tan
(36)
dengan:
Rp = jari-jari poligon,
(x,y) = koordinat verteks pertama.
(x,y)
Sisi pertama
Gambar 18 Sisi poligon pada kuadran I.
Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam
persamaan koordinat kutub sebagai berikut:
(�) =
Gambar 16 Kurva pentagon tak teratur.
Pembentukan
Persamaan
cos �
(37)
Selanjutnya, variabel bebas pada (37)
diganti dengan fungsi periodizer kutub
p (persamaan (11)) sehingga diperoleh:
3.5 Kurva Poligon Teratur
Prosedur
Tunggal
�� tan
sin �+tan
=
� �, , �0
�� tan
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
(38)
Persamaan (38) disebut sebagai persamaan
poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub
dengan jari–jari lintasan Rp yang berpusat di
titik asal dan berotasi 0 rad.
Setelah
diperoleh
persamaan
(38),
persamaan parametrik poligon teratur dapat
dituliskan sebagai:
Gambar 17 Kurva poligon teratur.
Misalkan diberikan sebuah poligon teratur
dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat
dan salah satu verteks berada di sumbu-x.
Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisisisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jarijari poligon yang diambil dengan menarik
garis dari pusat poligon ke salah satu verteks
(ilustrasi pada Gambar 17). Pada segitiga
tersebut berlaku:
=
=
2�
�−
2
(34)
=�
−2
2
(35)
Persamaan linear sisi pertama poligon atau
sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x
pada kuadran I (ilustrasi Gambar 18) ialah:
+ �, , �0 cos �
�� tan cos �
= 0+
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
�, �� , , �0 =
0
(39)
�, �� , , �0 =
+ �, �� , , �0 sin �
�� tan sin �
= 0+
sin � �, , �0 + tan cos � �, , �0
0
(40)
dengan :
N
= banyaknya sisi poligon,
= jari-jari poligon,
Rp
�0
= sudut rotasi verteks 0 (berlawanan
arah jarum jam),
�
= variabel bebas menyatakan radian,
13
�
0, 0
= titik pusat kurva poligon,
= fungsi periodizer dalam koordinat
kutub,
=
−2
2
� rad.
0.5
Persamaan (39)
dan (40)
dapat
merepresentasikan persamaan lintasan gerak
melingkar beraturan yang berawal di
koordinat �� , �0 , jika dibiarkan menjalani
akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup
dengan pusat 0 , 0 dalam ruang x-y berupa
kurva garis linear (3) yang berulang terputusputus sebanyak N kali.
Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan
ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon
teratur setelah nilai-nilai parameternya
diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon
teratur disajikan pula, sebagai contoh dari
aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4
menyajikan persamaan parametrik dari setiap
gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme
program dapat dilihat di Lampiran 2.
Contoh 4
Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jarijari (�� ) 1 satuan, dan sudut putaran (�0 ) 0 rad
dapat dituliskan dalam persamaan parametrik
sebagai berikut:
� =
� =
dengan:
tan cos �
sin � �, , 0 + tan cos � �, , 0
tan sin �
sin � �, , 0 + tan cos � �, , 0
−2
� ,
2
� 2
� �, , 0 = −
=
∞
�=1
1
sin
�
0.5
1.0
0.5
(b)
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
(c)
Gambar 19 Poligon teratur (Contoh 4) dengan
banyaknya sisi (N):
(a) N = 4 (tetragon),
(b) N = 5 (pentagon),
(c) N = 9 (nonagon/enneagon).
Contoh 5
Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N =
6) dengan pusat poligon 0 , 0 , jari-jari (�� )
2 satuan, sudut putaran (�0 ) 0 rad, dan
verteks awal P0, dapat dituliskan dalam
persamaan parametrik sebagai berikut:
2 tan cos �
sin � �, 6, 0 + tan cos � �, 6,0
2tan sin �
� = 0+
sin � �, 6,0 + tan cos � �, 6,0
� =
0
+
1
−2
� = �,
3
2
∞
1
� 2
sin 6� � .
� �, 6,0 = −
�
6 6
=
� =1
0.5
0.5
0.5
dengan:
� � .
1.0
1.0
0.5
1.0
0.5
1.0
(a)
(a)
14
� �, 5, �0
(− , )
� 2
= −
5 5
∞
�=1
1
sin 5� � − �0 .
�
(b)
(a)
(c)
Gambar 20 Heksagon pada Contoh 5 dengan
pusat: a) (1,2), b) (−2,2),
c) (0,7).
(b)
Contoh 6
Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N =
5) dengan sudut putaran �0 , pusat (6,5), jarijari (�� ) 4 satuan, dan verteks awal P0, dapat
dituliskan dalam persamaan parametrik
sebagai berikut:
�
= 6+
�
=5+
4 tan cos �
sin � �, 4, �0 + tan cos � �, 4, �0
4 tan sin �
sin � �, 4, �0 + tan cos � �, 4, �0
dengan:
−2
=
� =
2
3
10
�,
(c)
Gambar 21 Pentagon pada Contoh 6 dengan
sudut putaran:a) 0, b) /4, c) /2.
IV KESIMPULAN DAN SARAN
kurva periodik ditetapkan pada poligon
teratur.
4.1 Kesimpulan
Sebuah metodologi yang mengacu pada
pengembangan
analisis
gometri
telah
disajikan berupa representasi kurva komposit
dan ruas garis terbatas oleh persamaan
tunggal. Kurva yang dibentuk dapat tertutup
atau terbuka, dan periodik atau non-periodik.
Persamaan tunggal untuk kurva non-periodik
ditetapkan pada poligon tak teratur dan kurva
komposit umum. Persamaan tunggal untuk
4.2 Saran
Karya ilmiah ini selanjutnya dapat
dikembangkan dalam:
1. penerapan pada fungsi komposit yang
lebih kompleks,
2. pengembangan dalam bidang tiga dimensi.
DAFTAR PUSTAKA
Abramowitz M, Stegun IA. 1972. Handbook
of
Mathematical
Functions
with
Formulas, Graphs, and Mathematical
Tables. Ed ke-9. New York: Dover.
Chicurel-Uziel E. 2000. Closed-form
solution for response of linear systems
subjected to periodic non-harmonic
excitation. J. Multy-Body Dynamics Proc
Instn. Mech Engrs 214 (K3):189-193.
Chicurel-Uziel E. 2004. Single equation
without inequalities to represent a
composite curve. Computer Aided
Geometric Design 21:23-42.
Coxeter HSM, Greitzer SL. 1967. Geometry
Revisited. Washington, DC: Math Assoc.
Amer.
Spanier J, Oldham KB. 1987. An Atlas of
Function. Washington, DC: Hemisphere.
Stewart J. 1999. Calculus. Ed ke-4.
USA:Brooks/Cole Publishing Comp.
Thomas GB, Finney RL.1990. Calculus and
Analytic Geometry. Ed ke-7. New York:
Addison-Wesley.
LAMPIRAN
LAMPIRAN 1
PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER
= , merupakan fungsi garis lurus simetris dengan variabel bebas x, menjadi
Fungsi �
fungsi dasar pembentukan gelombang sawtooth. Fungsi �
ini yang akan disubstitusi pada deret
Fourier, untuk mendapatkan kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombang
sawtooth yang diperoleh dari perintah SawtoothWave pada software Mathematica.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
1
1
2
Fungsi periodik dari � yang bergantung pada x, berperiode T, yang dituliskan �
+ �� =
�
dengan n adalah bilangan bulat positif, menginterpretasikan bahwa kurva garis lurus � akan
berulang tak terhingga dengan selang awal fungsi periodik [0, T].
Koefisien Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � :
0
2
=
�
2
=
�
�
0
�
0
2
=
�
�
�
�
=
0
2�
cos
�
2 1
� 2
2
=
�
2�
2 �
sin
=
�
� 2�
�
0
�
0
−
2
1
1
�
= � 2 − 0 = � 2 = �;
0
�
�
cos
�
0
�
2�
sin
2�
�
2 �2
�
=
sin 2 � − 0 −
� 2�
2�
2
=
�
2
=
�
2
=
�
2�
�
�
0
sin
2�
�
�
�2
� 2
2�
sin 2 � +
cos
2�
�
2�
0
2
2
�
�
sin 2 � + 2 2 cos 2 � − cos 0
2�
4 �
�2
2
0+ 2 2 1−1 = 0+0 =0
4 �
�
diketahui j = 0, 1, 2, 3, ... , maka:
cos 2 � = cos 0 = cos 2� = 1,
sin 2 � = sin 0 = sin 2� = 0.
2
=
�
�
0
2�
sin
�
�
2
=
�
�
2�
2
cos
= −
2�
�
�
�
sin
0
�
+
0
�
2�
�
�
2�
cos
2�
�
0
�
�
2
cos 2 � + 0 +
= −
2�
2�
�
2
�
cos
0
2
2�
�
�
�
2�
2
�
cos 2 � +
sin
= −
2�
�
2�
�
0
�2
�2
2
cos 2 � + 2 2 sin 2 � − sin 0
= −
4 �
� 2�
�2
2
2
�2
�2
+ 2 2 (0 − 0) = −
+0
= −
� 2�
� 2� 4 �
�
=−
�
2
Selanjutnya, deret Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth � didefinisikan sebagai
berikut:
�
=
0
2
+
� �
= −
2 �
∞
=1
∞
=1
2�
cos
�
1
2�
sin
�
+
,
2�
sin
�
= 1,2, …
�
= +
2
∞
=1
0+ −
�
2�
sin
�
�
Fungsi � ini yang dikenal sebagai fungsi periodizer, yaitu fungsi gelombang sawtooth dengan
variabel periode T.
Lampiran 2
Program Mathematica 8.0
Aplikasi pada Kurva Komposit
Contoh 1
Aplikasi2:=Module[{H1,H2,f,f1,f2,f3,f4},
"Kurva Komposit";
f1[x_]:=-5x/2-5;
f2[x_]:=3x/2+3;
f3[x_]:=-3x/2+3;
f4[x_]:=5x/2-5;
"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";
H1[i_]:=If[xi,0,1];
H2[i_]:=If[x