Penyelesaian Masalah Pelabelan Graf vertex Magic pada Graf Cycle Sederhana

PADA GRAF CYCLE SEDERHANA

ALI SADIKIN

G54103039

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

ABSTRAK

ALI SADIKIN. Penyelesaian Masalah Pelabelan Graf Vertex Magic Pada Graf Cycle Sederhana. Dibimbing oleh SISWANDI dan DONNY CITRA LESMANA.

Graf vertex magic adalah suatu graf yang memiliki nilai bilangan magic yang sama pada masing-masing vertex yang berbeda. Graf cycle sederhana adalah suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga vertex, semua vertex-nya berbeda dan setiap vertex terhubungkan oleh satu edge.

Untuk membentuk suatu graf vertex magic terlebih dahulu harus dipilih bilangan yang tepat sedemikian sehingga dari pelabelan vertex dan edge tersebut dapat menghasilkan nilai bilangan

magic pada masing-masing vertex yang berbeda.

Graf cycle sederhana dapat dijadikan graf vertex magic dengan dua cara yaitu menggunakan pelabelan minimum dan pelabelan maksimum. Pelabelan minimum pada edge akan menghasilkan nilai bilangan magic yang minimum sedangkan pelabelan maksimum pada edge akan menghasilkan nilai bilangan magic yang maksimum.

ABSTRACT

ALI SADIKIN. Labeling Problem in Vertex Magic Graph on Simple Cyclic Graph. Supervised by SISWANDI and DONNY CITRA LESMANA.

Vertex magic graph is a graph which has the same magic number in every different vertex. Simple cyclic graph is a closed walk which have at least three verteces, all verteces are unique and every vertex connected with one edge.

To build a vertex magic graph, the right number should be chosen so that vertex and edge labeling can produce magic number in every different vertex.

There are to ways to make a vertex magic graph from simple cyclic graph, on is minimum labeling and the other is maximum labeling. Minimum labeling on edge will produce a minimum magic number and maximum labeling on edge will produce a maximum magic number.

PENYELESAIAN MASALAH PELABELAN

GRAF VERTEX MAGIC

PADA GRAF CYCLE SEDERHANA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ALI SADIKIN

G54103039

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

Judul :

Penyelesaian Masalah Pelabelan Graf

Vertex Magic

pada Graf

Cycle

Sederhana

Nama

: ALI SADIKIN

NRP

:

G54103039

Menyetujui:

Pembimbing I,

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP. 131 957 320

Pembimbing II,

Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math.

NIP. 132 311 927

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr.drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Penyelesaian Masalah Pelabelan Graf

VertexMagic pada Graf Cycle Sederhana. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya hingga akhir zaman.

Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang secara langsung ataupun tidak langsung berkontribusi besar dalam pembuatan tugas akhir ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku Pembimbing I, yang dengan kesabarannya telah membimbing dan mengarahkan selama penulisan karya ilmiah ini, Bapak Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan, dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai penguji serta saran dan masukan yang telah diberikan.

2. Ayah, mama, nenek, uncu serta adik-adikku tercinta Devi, Dede, Lisa, dan Nurul yang selalu memberikan doa, inspirasi dan semangat dalam menjalani hidup.

3. Bu Susi, Bu Ade dan Mas Yono, atas semangat, saran-saran dan informasi yang telah diberikan.

4. Fitri, Uwie, Abdillah atas kesediaannya menjadi pembahas dalam seminar penulis.

5. Ari, Berri, Aam, Lili, Abdillah, Yudi dan Rama, kalian adalah sahabat terbaik yang pernah ada dan akan tetap ada sampai kapan pun.

6. Keluarga besar Matematika ’40: Aam, Berri, Abay, Vina, Septi, Tiwi, Ifni, Lili, Elis, Ulfa, Nchie, Sri, Mayang, Mita, Marlin, Mufti, Manto, Sawa, Mukafi, Yuda, Icha, Azis, Prima, Mika, Uli, Bedu, Jayoe, Komeng, Rusli, Ari, Dwi, Rama, Indah, Anton, Dimas, Walidah, Metha, Achie, Herni, Amie, Gatha, Febrian, Yusuf, Demi, Nisa, dan Putra. Terima kasih atas persabahatan, kebersamaan , dan keceriaan yang telah kita lewati selama masa perkuliahan. Kalian adalah sebaik-baik teman yang selalu menjadikan masa-masa kebersamaan kita penuh warna. Semoga kebersamaan ini akan tetap terjaga.

7. Seluruh mahasiswa matematika, kakak kelas dan adik kelas terutama Mrs.Cha atas sms dan doa-doanya.

8. Serta kepada semua pihak yang telah banyak membantu selama proses penyelesaian tugas akhir ini. Mohon maaf karena keterbatasan penulis tidak dapat meyebutkan satu per satu. Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam karya ilmiah ini. Oleh karena itu, kritik dan saran dari berbagai pihak akan sangat membantu menyempurnakan tulisan ini. Akhir kata, penulis berharap semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Bogor, Januari 2008

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 15 Oktober sebagai anak pertama dari lima bersaudara. Ayah penulis bernama Syarifuddin dan Ibu bernama Sahminar.

Pada tahun 1997 penulis menyelesaikan pendidikan SD Negeri 08 Petang Jakarta. Penulis melanjutkan pendidikan di SLTP Negeri 236 Jakarta pada tahun yang sama. Pada tahun 2000 penulis melanjutkan pendidikan di SMU Negeri 22 Jakarta. Pada tahun 2003, penulis diterima di Institut Pertanian Bogot (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai Staf Sosial dan Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika IPB periode 2004/2005 dan sebagai Staf Departeman Seni dan Olah Raga Gugus Mahasiswa Matematika IPB periode 2005/2006. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain “Galaksi FMIPA IPB” tahun 2004, “MIPA sport tournament” tahun 2005.

Pada tahun 2005, penulis telah bergabung dalam lembaga bimbingan belajar EXACTA dan masih aktif sampai sekarang.

DAFTAR ISI

Halaman

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI... 1

2.1 Teori Graf………... 1

Definisi 2.1.1 (Graf)... 1

Definisi 2.1.2 (Adjacent dan Incident)……... 1

Definisi 2.1.3 (Multigraf) ... 2

Definisi 2.1.4 (Walk) ... 2

Definisi 2.1.5 (Trail)…...……... 2

Definisi 2.1.6 (Trail Terbuka)………....…... 2

Definisi 2.1.7 (Path)………... 2

Definisi 2.1.8 (Tour)…..………. ... 2

Definisi 2.1.9 (Cycle)……...………...……… 3

Definisi 2.1.10 (Cycle Genap)……….………. 3

Definisi 2.1.11 (Cycle Ganjil)………...……… 3

Definisi 2.1.12 (n-Cycle)………. 3

Definisi 2.1.13 (Graf Acyclic)………..………... 3

Definisi 2.1.14 (Graf Terhubungkan)……….. 3

Definisi 2.1.15 (Graf Sederhana)………...……….. 3

2.2 Pelabelan Vertex... 3

Definisi 2.2.1 (Bilangan Magic(k)... 3

Definisi 2.2.2 (Graf Vertex Magic)... 3

Teorema 2.2.1 ... 4

Teorema 2.2.2 ... 4

III PEMBAHASAN………... 4

3.1 Penentuan Suatu Bilangan Magic...……... 4

Lemma 3.1.1………....………... 4

Teorema 3.1.1…………....………... 5

3.2 Batas Bawah Bilangan Magic………...………... 5

Akibat 3.2.1………...………... 5

3.3 Batas Atas Bilangan Magic………... 7

Akibat 3.3.1……….. 7

3.4 Bilangan Magic Maksimum dan Minimum pada Graf Cycle Ganjil... 9

Teorema 3.4.1... 9

Teorema 3.4.2... 12

3.5 Bilangan Magic Minimum Untuk Graf Cycle Genap... 14

Conjecture 3.5.1... 14

3.6 Bilangan Magic Maksimum Untuk Graf Cycle Genap... 19

Conjecture 3.6.1 ... 19

3.7 Pelabelan Vertex dengan Bilangan Ganjil atau Genap... 24

Teorema 3.7.1 ... 24

Teorema 3.7.2... 26

IV SIMPULAN dan SARAN ... 29

4.1 Simpulan ... 29

4.1 Saran ... 29

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf adalah ilmu yang berkembang sangat pesat, bahkan dalam perkembangannya dapat disejajarkan dengan ilmu aljabar yang lebih dahulu berkembang. Di dalam matematika dan ilmu komputer, teori graf adalah cabang ilmu yang mempelajari sifat-sifat graf. Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (yang melambangkan suatu vertex/node) yang dihubungkan oleh garis-garis (yang melambangkan suatu

edge/arc).

Keunikan dari teori graf adalah terletak pada kesederhanaan pokok bahasan yang dipelajarinya, karena dapat disajikan dalam bentuk titik (vertex) dan garis (edge). Meskipun pokok bahasan dari topik-topik pada teori graf sangat sederhana akan tetapi isi di dalamnya belumlah tentu sesederhana itu.

Banyak masalah dalam dunia nyata yang dapat dinyatakan dalam suatu graf. Antara lain masalah rute perjalanan, masalah penjadwalan, masalah jaringan listrik, bahkan jaringan persahabatan pun dapat direpresentasikan ke dalam suatu graf, seperti jaringan persahabatan pada Friendster, dengan vertex-nya menyatakan para pemakai

Friendster dan ada edge antara A dan B jika dan hanya jika A berteman dengan B.

Salah satu permasalahan utama di dalam teori graf adalah bagaimana menandai suatu

vertex dan edge, sedemikian sehingga setiap

vertex dan edge yang saling bersebelahan

(adjacent) memiliki tanda yang berbeda.

Ada beberapa metode yang lazim digunakan untuk menandai suatu vertex/edge, di antaranya adalah dengan menggunakan teknik pewarnaan, atau yang lebih dikenal dengan colouring method. Pada metode ini, setiap vertex/edge ditandai dengan berbagai

jenis warna. Pewarnaan pada masing-masing

vertex/edge ini bukan sekedar mewarnai saja

namun di dalam melakukan pewarnaan ada ketentuan-ketentuan tertentu yang harus diperhatikan, yaitu untuk setiap vertex/edge

yang adjacent diberikan tanda dengan warna-warna yang berbeda, dimaksudkan agar setiap

vertex/edge yang saling berdekatan dapat

dengan mudah dibedakan.

Metode lain yang digunakan untuk menandai suatu vertex atau edge adalah dengan menggunakan suatu bilangan atau angka. Hal menarik dari vertex dan edge yang ditandai dengan bilangan adalah suatu graf

vertex magic.

Untuk menentukan suatu graf vertex magic

tidaklah mudah, diperlukan teknik atau metode-metode tertentu dalam melabelkan suatu vertex/edge sedemikian sehingga mendapatkan suatu bilangan magic (k) yang sesuai pada masing- masing vertex yang berbeda. Metode pelabelan vertex dan edge

dalam suatu graf berbeda-beda, bergantung pada banyaknya vertex dan edge yang terdapat pada graf G tersebut.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah 1. mempelajari dan membuktikan

teorema-teorema yang terkait dengan batas penentuan suatu bilangan magic pada graf

cycle sederhana baik pada graf cycle ganjil maupun graf cycle genap.

2. membuktikan teorema-teorema yang terkait dengan pelabelan serta memanfaatkannya untuk melabelkan

vertex dan edge pada suatu graf cycle

sederhana sedemikian sehingga membentuk suatu graf vertex magic.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa

definisi dan teorema yang akan digunakan dalam pembahasan pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Teori Graf

Sebelum mengetahui definisi dari graf

vertex magic dan bilangan magic, serta

pelabelan vertex dan edge, terlebih dahulu perlu diketahui beberapa konsep dasar dari suatu graf.

Definisi 2.1.1 (Graf)

Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga dan tak- kosong dari elemen-elemen graf yang disebut simpul (node, vertex) dan E adalah himpunan pasangan tak terurut dari simpul-simpul berbeda di V. Setiap (p,q)

∈

E (dengan p,q

∈

V) disebut sisi (edge) dan dikatakan menghubungkan simpul p dan q.

Sebagai contoh graf dapat direpresentasikan seperti pada Gambar 1 dengan

{

1, 2, 3, 4, 5

}

V = v v v v v

{

1, 2, 3, 4, 5, 6

}

E= e e e e e e

Gambar 1 Definisi 2.1.2

Misalkan diberikan graf G = (V,E)

1. Jika

e

= (p,q)

∈

E maka vertex p dan q

masing–masing dikatakan incident dengan

e

.

2. Jika

e

= (p,q)

∈

E maka p dikatakan

adjacent dengan q dan sebaliknya.

Himpunan simpul yang adjacent dengan r

dinyatakan dengan

Γ

(r).

[Foulds, 1992] Contoh 1

Gambar 2 Dari Gambar 2 dapat disimpulkan 1) Edge ( ,v v1 2)∈E

maka

vertex v1 dan

vertex v2 dikatakan

( )

e1 incident dengan edge ( ,v v1 2).

2) Vertex v₁ adjacent dengan vertexv₂

dan

vertex v₃.

Vertex v₁

tidak

adjacent dengan vertex v₄ dan vertex v5.

Definisi 2.1.3 (Multigraf)

Suatu multigraf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari simpul–simpul dan E

adalah himpunan pasangan tak terurut dari simpul–simpul berbeda di V dan pengulangan diperbolehkan.

[Foulds, 1992] Contoh multigraf dapat dilihat pada Gambar 3

Gambar 3 Definisi 2.1.4 (Walk)

Suatu walk pada graf G = (V,E) yang menghubungkan vertex v1 dengan vn adalah suatu barisan vertex dan edge dari G dengan bentuk

{

v1, ( ,v v1 2),v2, ( ,v v2 3),v3,...,vn−1, (vn−1,vn),vn

}

dan dapat dituliskan sebagai

{

v v1, 2,...,vn

}

atau v v1, 2,...,vn.

Suatu walk yang menghubungkan v1 dengan

n

v dikatakan tertutup (closed walk) jika

1 n

v =v . Jika v₁ ≠v_n maka walk tersebut dikatakan terbuka.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.5 (Trail)

Trail adalah walk yang semua sisinya

berbeda.

[Thulasiraman & Swamy, 1992] Definisi 2.1.6 (Trail Terbuka)

Trail terbuka adalah trail yang kedua

vertex ujungnya berbeda. Selainnya disebut trail tertutup.

[Thulasiraman & Swamy, 1992] Definisi 2.1.7 (Path)

Path adalah trail terbuka yang semua

vertex-nya berbeda.

[Thulasiraman & Swamy, 1992] Definisi 2.1.8 (Tour)

Suatu tour adalah trail yang tertutup. [Thulasiraman & Swamy, 1992]

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

6

e

5

e

4

e

3

e

2

e

1

e

5

v

3

v

4

v

2

v

1

v

6

e

5

e

4

e

3

e

2

e

1

e

5

v

4

v

3

v

2

v

1

Definisi 2.1.9 (Cycle)

Cycle adalah suatu walk tertutup yang

mengandung setidaknya tiga vertex dan semua

vertex-nya berbeda.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.10 (Cycle Genap)

Suatu cycle dikatakan genap (even) jika banyaknya edge dan vertex adalah genap.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.11 (Cycle Ganjil)

Suatu cycle dikatakan ganjil (odd) jika banyaknya edge dan vertex adalah ganjil.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.12 (n–Cycle)

Cycle dengan n buah edge disebut dengan

n-cycle.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.13 (Graf Acyclic)

Graf acyclic adalah graf yang tidak mengandung cycle.

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.14 (Graf terhubungkan)

Graf G = (V,E) dikatakan terhubungkan (connected) jika setidaknya ada satu path

yang menghubungkan setiap pasang vertex

pada graf tersebut. Jika tidak ada maka graf tersebut dikatakan graf tidak terhubungkan (disconnected).

[Foulds, 1992] Definisi 2.1.15 (Graf Sederhana)

Graf G = (V,E) disebut sederhana

(simple) jika setiap pasang vertex yang

adjacent hanya terhubungkan oleh satu path. [Foulds, 1992] 2.2 Pelabelan Vertex

Hal penting dalam karya ilmiah ini adalah pelabelan vertex dan edge dengan suatu bilangan serta menentukan suatu bilangan

magic pada graf cycle sederhana. Definisi 2.2.1 (Bilangan Magic (k))

Bilangan magic (k) adalah suatu bilangan hasil penjumlahan antara label bilangan pada

vertex ke-x (vx), label bilangan pada edge yang berada di sebelah kiri vertex ke-x (eax), dan label bilangan pada edge yang berada di sebelah kanan vertex ke-x (ebx), dirumuskan sebagai berikut

| | x ax bx

k=v e e ;x∈N.

[Cunningham, 2004]

(catatan: notasi “|” merupakan notasi yang digunakan untuk memisahkan suatu simbol yang berbeda yaitu simbol antara vertex, edge

dan suatu bilangan, serta dalam menentukan nilai bilangan magic, notasi “|” merupakan suatu bentuk dari operasi penjumlahan). Contoh 3

Misalkan suatu graf G₁=(V,E) memiliki banyaknya vertex adalah 3, yaitu

{

1, 2, 3

}

.

V = v v v Vertex-x dilabelkan dengan

suatu bilangan sebagai berikut V =

{

2, 4, 6

}

.

Banyaknya edge adalah 3, yaitu

{

1, 2, 3

}

E= e e e

,

edge-x dilabelkan dengan

suatu bilangan sebagai berikut E=

{

5,1, 3

}

.

Tentukanlah bilangan magic untuk graf G

tersebut. Jawab Diketahui

{

1, 2, 3

}

{

2, 4, 6

}

V = v v v =

{

1, 2, 3

}

{

5,1,3

}

E= e e e =

Berikut bentuk graf G setelah dilabelkan.

Gambar 4

Graf cycle dengan banyaknya vertex=3 Nilai bilangan magic graf G1=(V,E) yang

mewakili masing-masing vertex adalah sebagai berikut.

Bilangan magic yang mewakili vertex pertama

1

( )v adalah, k=v e1| a1|eb1=2 | 3 | 5=10.

Bilangan magic yang mewakili vertex kedua

2

( )v adalah, k=v2|ea2|eb2 =4 | 5 | 1 10= .

Bilangan magic yang mewakili vertex ketiga

3

( )v adalah, k=v3|ea3|eb3 =6 | 1 | 3 10= .

Maka graf G memiliki nilai bilangan magic,

k = 10.

Definisi 2.2.2 (Graf Vertex Magic)

Misalkan graf G=(V,E). Graf G adalah suatu graf vertex magic jika bilangan magic

yang mewakili setiap vertex yang berbeda bernilai sama.

[Cunningham, 2004] 3

3

v =6 1 v₂=4

5

1 v=2

Contoh 4

Diketahui graf G₁=(V,E) seperti pada Contoh 3. Graf G1=(V,E) adalah suatu graf vertex magic karena nilai bilangan magic yang mewakili setiap vertex yang berbeda bernilai sama.

Teorema 2.2.1

Jika am,am+1,...,an dan b bm, m+1,...,bn adalah bilangan real dan m dan n adalah bilangan bulat sedemikian sehingga m≤n

maka ( )

n n n

i i i i

i m i m i m

a b a b

= = =

+ = +

∑

∑ ∑

.

[Stewart, 1998]

Bukti (lihat Stewart, 1998) Teorema 2.2.2

Misalkan c adalah konstanta dan n adalah bilangan bulat positif maka

1

( 1) ) 1 2 ...

2 n

i

n n

a i n

=

+ = + + + =

∑

1

) n

i

b c nc

=

=

∑

[Stewart, 1998] Bukti (lihat Stewart, 1998)

III. PEMBAHASAN

3.1 Penentuan Suatu Bilangan Magic

Permasalahan utama dalam graf vertex

magic adalah bagaimana menentukan nilai

suatu bilangan magic. Untuk menentukan nilai bilangan magic pada suatu graf cycle

sederhana tidak mungkin dipilih bilangan secara acak. Perlu diperhitungkan terlebih dahulu pemilihan label pada vertex dan edge

yang sesuai, sehingga dengan pemilihan label pada vertex dan edge tersebut maka bilangan

magic dapat dengan mudah ditentukan. Berikut ini diberikan suatu lemma yang menjadi tolok ukur nilai suatu bilangan magic. Lemma 3.1.1

Misalkan graf G=( , )V E , v adalah banyaknya vertex dan e adalah banyaknya

edge dalam graf G. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka nilai bilangan magic

graf G adalah sebagai berikut ( | )( | | 1)

2

sum

E v e v e

k

v v = ,

dengan

( | )v e adalah label terbesar pada vertex/edge

dalam graf G.

( | | 1)v e adalah label terbesar pada

vertex/edge dalam graf G ditambah 1. sum

V adalah jumlah seluruh label pada masing-masing vertex dalam graf G. sum

E adalah jumlah seluruh label pada masing-masing edge dalam graf G.

Bukti Diketahui

| | x ax bx

k=v e e

;

x∈N .

Diketahui pula

1 1 2

2 2 2

| | | |

a a

a b

v e e k

v e e k

= =

. . . . . . . .

| | x ax bx

v e e =k

. . . . | | v av bv

v e e =k

Dengan menjumlahkan semua kolom secara vertikal maka akan diperoleh rumusan sebagai berikut

( ) ( )

| |

sum sum a sum b

V E E =vk

| 2 sum sum

V E vk

⇔ = (3.1.1a)

Misalkan untuk masing-masing vertex dan

edge dilabelkan dengan bilangan 1,2,..., |v e

akibatnya

( )

12

sum sum

V E = ⏐⏐...⏐v e

( )( | | 1) 2

v e v e

= (3.1.1b)

Dengan menyubstitusikan Persamaan (3.1.1b) ke Persamaan (3.1.1a) maka diperoleh nilai bilangan magic sebagai berikut

V_sum 2E_sum=vk

(

)

(

1

)

| 2

( | )( | | 1)

. 2

sum sum sum

sum

sum

V E E vk

v e v e

E vk

E v e v e

k

v v

⇔ =

⇔ =

⇔ =

Suatu nilai batas (range) dari bilangan magic

dapat ditentukan berdasarkan banyaknya jumlah vertex dan edge yang terdapat dalam suatu graf.

Berikut ini adalah suatu teorema yang terkait dengan batas nilai bilangan magic pada suatu graf cycle sederhana.

Teorema3.1.1

Misalkan graf G=(V,E), v adalah banyaknya vertex dan e adalah banyaknya

edge dalam graf G. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka nilai bilangan magic

dibatasi sebagai berikut ( | 1) | ( | | 1)( | )

2

e e v e v e

k

v ≤

| ( | 1) | ( | | 1)( | ) 2

e e v e v e

e

v

≤ .

dengan

( | 1)e adalah banyaknya edge dalam graf G

ditambah 1.

( | 1)v adalah banyaknya vertex dalam graf G

ditambah 1. Bukti

Diketahui nilai bilangan magic pada Lemma (3.1.1) sebagai berikut

( | )( | | 1) 2

sum

E v e v e

k

v v = .

Dari Lemma (3.1.1) maka dapat ditentukan nilai Esum

sebagai berikut

( | )( | | 1) 2

sum

E v e v e

k

v v =

( | )( | | 1) 2

( | )( | | 1) 2 ( | )( | | 1)

2 ( | | 1)( | )

. (3.1.2) 2

sum

sum

sum

sum

E v e v e

k

v v

v e v e

E v k

v v e v e

E vk v

v

v e v e

E vk

⇔ = −

⎛ ⎞

⇔ = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⇔ = _{− ⎜ ⎟}

⎝ ⎠

⇔ = −

Nilai Esum akan minimum bila masing-masing

edge dilabelkan dengan bilangan sebagai berikut 1,2,…,e, akibatnya

( | 1) .

2 sum

e e E

≤ (3.1.3)

Nilai Esum akan maksimum bila masing-masing edge dilabelkan dengan bilangan v| 1 sampai v e| , akibatnya

1

1 1

| |

( | 1)

| (3.1.4) 2

e sum

i

e e

i i

E v i

v i

e e ve

=

= =

≤ = =

∑

∑ ∑

Berdasarkan (3.1.3) dan (3.1.4) maka diperoleh batas E_sum sebagai berikut

( | 1) ( | 1)

|

2 sum 2

e e e e

E ve

≤ ≤ (3.1.5) Dengan menyubstitusikan nilai Esum pada Persamaan (3.1.2), ke (3.1.5) maka akan diperoleh batas nilai bilangan magic sebagai berikut

( | 1) ( | | 1)( | ) ( | 1) |

2 2 2

e e v e v e e e

vk ve

≤ − ≤

( | 1) ( | | 1)( | ) |

2 2

e e v e v e

vk

⇔ ≤

( | 1) ( | | 1)( | )

| |

2 2

e e v e v e

ve ⎛ ⎞

≤ _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

( | 1) | ( | | 1)( | ) 2

e e v e v e

vk

⇔ ≤

| ( | 1)( | | 1)( | ) 2

e e v e v e

ve ≤

( | 1) | ( | | 1)( | ) 2

e e v e v e

k v

⇔ ≤

( | 1) | ( | | 1)( | ) |

2

e v e v e

e

v

≤

.

Terbukti

3.2 Batas Bawah Bilangan Magic

Dengan adanya Teorema 3.1.1 mengakibatkan nilai suatu bilangan magic

memiliki batas atas dan batas bawah. Berikut ini akan dijelaskan batas bawah suatu bilangan magic untuk graf cycle ganjil dan graf cycle genap.

Akibat 3.2.1

Misalkan graf G=( , )V E adalah suatu graf cycle sederhana. Jika graf G adalah graf

vertex magic maka nilai bilangan magic

dibatasi sebagai berikut

5 3

| 2 2

v k

≤ ; jika banyaknya vertex dalam graf G berjumlah ganjil. (i) dan 5 | 2 2 v k

≤

; jika banyaknya

vertex dalam graf G berjumlah genap. (ii) Bukti

Misalkan untuk setiap graf cycle sederhana banyaknya vertex dan banyaknya edge dalam graf G berjumlah sama (v=e).

Dari Teorema 3.1.1 diketahui ( | 1) | ( | | 1)( | )

2

e e v e v e

k

v

≥ (3.2.1)

Dengan menyubsitusikan v ke e pada (3.2.1) maka diperoleh batas k sebagai berikut

( | 1) | (2 | 1)(2 ) 2

| 1 5 3 2 | 1 | | .

2 2 2

v v v v

k v v v v ≥ = =

Jika banyaknya vertex berjumlah ganjil, v| 1 habis dibagi dua, maka nilai bilangan magic

minimum pada graf G adalah 5 |3 2 2

v

k≥ .

Terbukti untuk (i) Dari Lemma (3.1.1) diketahui

( | )( | | 1) | 2

sum

E v e v e

k

v v =

.

Karena v = e, subtitusikan v ke e pada Lemma (3.1.1) sehingga diperoleh

( | )( | | 1) | 2 2 (2 | 1)

| 2

2 | 1 | . (3.2.2) sum

sum

sum

E v v v v

k v v E v v k v v E v k v = ⇔ = ⇔ =

Persamaan (3.2.2) mengakibatkan nilai Esum harus habis dibagi dengan banyaknya vertex

dalam graf G.

Dari (3.1.3) diketahui sebagai berikut ( | 1)

.

2 sum

e e E ≤

Karena v=e, substitusikan v ke e pada (3.1.3) sehingga diperoleh

( | 1) .

2 sum

v v E

≤ (3.2.5)

Lalu substitusikan (3.2.5) ke (3.2.2) maka diperoleh

2 | 1 | ( | 1)

2 2 | 1 |

( | 1) 2 | 1 |

2 | 1

=2 | 1 | . (3.2.6) 2 sum E k v v v v v v v v v v v v = ≥ =

Pelabelan minimum terjadi bila edge

dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v. Jika banyaknya vertex berjumlah genap, | 1v

tidak habis dibagi 2 maka untuk menentukan pelabelan yang minimum, edge tidak dapat dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v. Namun meskipun label edge dengan bilangan 1 sampai v tidak dapat digunakan, dengan sedikit trik dalam matematika yaitu dengan menambahkan bilangan

2

v

pada nilai Esum, maka bilangan magic yang minimum pada graf cycle genap dapat ditentukan.

Kasus berikut khusus untuk nilaiE_sum

yang tidak habis dibagi dengan v

1 | 2 | 3 | ... | | 2 ( | 1)

| . (3.2.7)

2 2

sum

v

E v

v v v

= =

Dari (3.2.2) diketahui nilai k sebagai berikut 2 | 1 |Esum.

k v

v =

Dengan menyubstitusikan nilai Esum pada Persamaan (3.2.7) ke Persamaan (3.2.2) maka diperoleh nilai k sebagai berikut

2 | 1 |

( | 1) | 2 2 | 1 |

| 2 2 | 1 |

2 5 | 2. 2 sum E k v v

v v v

v v v v v = ≥ = =

Terbukti untuk (ii) Contoh Kasus 3.2.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v=15. Jika graf G

adalah suatu graf vertex magic maka tentukan nilai bilangan magic yang minimum.

Jawab

Diketahui v = 15.

Nilai Esum minimum ditentukan pada label

edge dengan bilangan 1 sampai 15.

Mengacu pada Akibat 3.2.1 maka nilai bilangan magic graf G adalah sebagai berikut

5 3 | 2 2

5 3

= (15) |

2 2

78 39.

2

k= v

= =

Maka nilai k yang minimum adalah k = 39. Contoh Kasus 3.2.2

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v=4. Tentukan

pelabelan edge yang menghasilkan graf

vertex magic dengan bilangan magic

minimum. Jawab Diketahui v=4

Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terkecil, yaitu 1 sampai v sehingga nilai

1 | 2 | 3 | 4 sum

E = = 10.

Nilai Esum=10 tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai Esum tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka untuk menentukan pelabelan yang minimum nilai Esum harus disesuaikan agar nilai Esum tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex

yaitu v=4.

Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 10 dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 12.

Akibatnya diperoleh nilai E_sum yang baru

1

(Esum ), yaitu Esum1=12.

Karena pelabelan pada masing-masing edge

menghasilkan nilai Esum =10 sedangkan nilai

1 12

sum

E = maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan pertama yang menghasilkan nilai Esum=10 dari 4 menjadi 6, diperoleh dari

4 4 | 4 | 6

2 2

v_{= =}

maka pelabelan edge dengan bilangan {1,2,3,6} merupakan pelabelan edge

dengan bilangan magic minimum.

Untuk menentukan kemungkinan pelabelan

edge yang minimum pada graf vertex magic

perlu diketahui batas minimum dari suatu bilangan magic yaitu dengan mengetahui nilai

sum

E serta banyaknya vertex yang terdapat dalam suatu graf.

3.3 Batas Atas Bilangan Magic

Pembahasan mengenai bagaimana

menentukan batas bawah bilangan magic pada graf cycle sederhana telah dibahas pada Akibat 3.2.1.

Penentuan batas atas bilangan magic juga bergantung pada banyaknya jumlah vertex

yang terdapat dalam suatu graf G.

Berikut ini akan dibahas batas atas bilangan magic pada suatu graf vertex magic

dengan banyaknya vertex yang terdapat dalam graf G berjumlah ganjil dan genap.

Akibat 3.3.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana, v adalah banyaknya vertex

yang terdapat dalam graf G. Jika G adalah suatu graf vertex magic maka batas atas bilangan magic adalah sebagai berikut,

7 3 | 2 2

k≤ v ; jika v dalam graf G bernilai

ganjil (i)

dan 7

| 1 2

k≤ v

; jika

v dalam graf G bernilai

genap (ii)

Bukti

Diketahui pada graf cycle sederhana v=e. Labelkan edge dengan bilangan terbesar dari

| 1

v sampai 2v.

Misalkan jumlah dari seluruh label pada edge adalah sebagai berikut

1 2

2 2

2

| ( | 1) = |

2

2 ( | )

= |

2 2

3 |

2 (3 | 1)

= . (3.3.1) 2

v sum

i

E v i

v v v

v v v

v v

v v

=

=

=

∑

Dari Persamaan (3.2.2) diketahui nilai bilangan magic sebagai berikut

2 | 1 |Esum.

k v

v =

Dengan menyubstitusikan (3.3.1) ke (3.2.2) maka diperoleh batas atas bilangan magic

sebagai berikut 2 | 1 |

(3 | 1) 2 | 1 |

2

| 1 7 3

=3 | 1 | = | .

2 2 2

sum

E

k v

v v v v

v v

v v

= ≤

Jika banyaknya vertex dalam graf G

berjumlah ganjil, v|1 habis dibagi 2 maka nilai bilangan magic yang maksimum adalah

7 3

|

2 2

k≤ v .

Terbukti untuk (i) Misalkan edge dilabelkan dengan v bilangan terbesar, yaitu | 1v sampai 2v.

Banyaknya vertex dalam graf G berjumlah genap.

Untuk menentukan batas atas bilangan magic, nilai Esum awal harus disesuaikan sehingga habis dibagi dengan banyaknya vertex yang terdapat dalam graf G.

Dalam kasus menentukan batas bawah dengan

v bernilai genap, nilai Esum dapat ditingkatkan. Namun untuk kasus ini nilai

sum

E tidak dapat ditingkatkan karena tidak ada label edge yang bernilai lebih besar dari 2v.

Maka untuk menyelesaikannya kurangi nilai sum

E awal dengan 2

v

sehingga akan diperoleh nilai Esum yang baru (Esum1) yaitu sebagai

berikut

1

2 sum sum

v

E =E −

1 2

2

(3 | 1)

2 2

3 |

2 2

3 |

2 2 2

(3 )

. (3.3.2) 2

sum

v v v

E

v v v

v v v

v v

= −

= −

= −

=

Dari Persamaan (3.2.2) diketahui nilai bilangan magic sebagai berikut

2 | 1 |Esum.

k v

v =

Dengan menyubstitusikan Persamaan (3.3.2) ke Persamaan (3.2.2) maka diperoleh batas atas nilai bilangan magic sebagai berikut

1

2 | 1 |

(3 ) 3 7

2 | 1 | =2 | | 1 | 1.

2 2 2

sum

E

k v

v

v v v

v v v

v =

≤ =

Terbukti Contoh Kasus 3.3.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v=5. Jika graf G

adalah suatu graf vertex magic maka tentukan nilai k maksimum pada graf G.

Jawab

Diketahui v =5

Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terbesar, yaitu v|1 sampai 2v, sehingga nilai

10 | 9 | 8 | 7 | 6 40 sum

E = = .

Nilai Esum=40 habis dibagi dengan banyaknya vertex.

Mengacu pada Akibat 3.3.1 maka nilai k

maksimum untuk graf cycle tersebut adalah sebagai berikut

7 3 | 2 2

7 3 35 3

(5) | | 19.

2 2 2 2

k= v

= = =

Contoh Kasus 3.3.2

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v=4 .

Tentukan pelabelan edge yang menghasilkan graf vertex magic dengan bilangan magic

maksimum. Jawab Diketahui v=4.

Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terbesar, yaitu v|1 sampai 2v maka diperoleh pelabelan edge sebagai berikut

1 2 3 4

{ ,e e e e, , } {8, 7, 6, 5}= , sehingga nilai 8 | 7 | 6 | 5 26

sum

E = = .

Nilai E_sum =26 tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai Esum tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka untuk menentukan pelabelan yang maksimum nilai Esum harus disesuaikan agar nilai Esum tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex

yaitu v=4.

Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 26 dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 24.

Akibatnya diperoleh nilai Esum yang baru

1

(Esum ) yaitu Esum1 =24.

Karena pelabelan pada masing-masing edge

menghasilkan nilai E_sum=26 sedangkan nilai

1 24

sum

E = maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan pertama yang menghasilkan nilai Esum =26 dari 5 menjadi 3, diperoleh dari

4

5 5 2,

2 2

v

− = − = akibatnya pelabelan edge

dengan bilangan {8,7,6,3} merupakan pelabelan edge dengan bilangan magic

maksimum.

Nilai bilangan magic yang maksimum menjadi

1 24

2 | 1 | 2(4) | 1 | 15. 6 sum

E

k v

v

= = =

3.4 Bilangan Magic Maksimum dan Minimum pada Graf Cycle Ganjil. Pada Subbab 3.2 dan 3.3 telah dibahas batas atas dan batas bawah suatu bilangan

magic. Berdasarkan Akibat 3.3.1 pelabelan

suatu edge dengan bilangan v| 1 sampai 2v

pada graf cycle ganjil akan menghasilkan suatu graf vertex magic dengan bilangan

magic yang maksimum. Di samping itu pula

berdasarkan Akibat 3.2.1, pelabelan edge

dengan bilangan 1 sampai v akan menghasilkan suatu graf vertex magic dengan bilangan magic yang minimum.

Selanjutnya akan dibahas beberapa teorema yang digunakan dalam melabelkan

vertex dan edge pada suatu graf vertex magic

dengan banyaknya vertex dalam graf G

berjumlah ganjil. Teorema 3.4.1

Misalkan graf G =(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v adalah banyaknya

vertex dalam graf G dan v bernilai ganjil. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic dan

vertex dilabelkan dengan bilangan 1,2,...,v

maka batas atas bilangan magic-nya adalah

k =7 |3

2v 2 . Bukti

Misalkan tidak terdapat multigraf dalam suatu graf G.

Edge yang berada di sebelah kiri vertex, berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.

Edge yang berada di sebelah kanan vertex, searah dengan arah jarum jam dan saling

incident.

Labelkan vertex secara berurutan dimulai dengan angka 1 sampai v yang searah dengan arah jarum jam.

Labelkan edge yang berada di sebelah kanan

vertex pertama dengan bilangan v|1 sampai 2v.

Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.4.1

Kasus (vx) (eax) (ebx) I. Label

vertex

dimulai dengan angka ganjil,

x=1,3,..,v pada posisi ke-i

2 | 1 0,1,..,

1

2 i i

v =

−

3 1 | 2 2

v i

− 2v i−

II. Label

vertex

dimulai dengan angka genap,

x=2,4,..v-1 pada posisi ke-i

2 | 2 0,1,..,

1 1 2 i i

v =

− ₋

2v i− 3 1 2 2

v i − −

Berikut ini gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label vertex dan edge pada graf

cycle ganjil.

Gambar 6

Graf cycle sederhana dengan label v bilangan terkecil

6

3v/2 | 1/2 1

3v/2 - 3/2 2v

2v-2

2

3v/2 - 1/2 3 2v-1 4

v

Label vertex dan label edge dalam Kasus I menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut

k =vx|eax|ebx 3 1 2 | 1 | | | 2

2 2

3 1

2 | | 2 | 1 |

2 2

7 3 | . 2 2

v

k i i v i

v

i i i v

v

= − −

= − − =

Label vertex dan label edge dalam Kasus II menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut

k =vx|eax|ebx 3 1 2 | 2 | 2 |

2 2

3 1

2 | 2 | | 2

2 2

7 3 | . 2 2

v

k i v i i

v

i i i v

v

= − − −

= − − −

=

Maka graf G adalah suatu graf vertex magic

dengan 7 |3 2 2

v

k= .

Terbukti Contoh Kasus 3.4.1a

Misalkan graf G = (V,E) adalah suatu graf

vertex magic. Graf G memiliki v=3.

Tentukan label vertex, label edge serta bilangan magic graf G tersebut.

Jawab Diketahui v=3 .

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 7

Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.4.1.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0),

1= 2 |1 = 2(0)|1 = 1

v i .

Label ea1 1

a

e = 3 |1

2 2 v

i −

3(3) |1 0 9 1| 5

2 2 2 2

= − = =

Label eb1 1

b

e = 2v i− =2(3) 0− =6.

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0),

2 2 | 2 2(0) | 2 2

v = i = = .

Label ea2

2 2 2(3) 0 6

a

e = v i− = − = .

Label eb2 2

3 1 2 2 b

v

e = − −i

3(3) 1 0

2 2

= − −

9 1 8 4 2 2 2

= − = = .

Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1),

3 2 | 1 2(1) | 1 3

v = i = = .

Label ea3 3

3 1 | 2 2 a

v

e = −i

3(3) |1 1

2 2

= −

9 1| 1 10 1 8 4

2 2 2 2

= − = − = = . Label eb3

3 2 2(3) 1 5

b

e = v i− = − = .

Kesimpulan:

1 1; 2; 32 3

v = v = v =

Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi.

Gambar 8

Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.1 maka nilai bilangan magic graf tersebut adalah

k =7 |3 7(3) 3| 24 12 2v 2= 2 2 = 2 = . Contoh Kasus 3.4.1b

Misalkan graf G = (V,E) adalah suatu graf

vertex magic. Graf G memiliki v=5. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic

graf tersebut?

1

6

2 5

3 4

3

v v₂

1

Jawab Diketahui v=5.

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 9

Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.4.1.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0),

1= 2 |1 = 2(0)|1 = 1

v i .

Label ea1 1

3 1 | 2 2 a

v

e = −i

3(5) |1 0 15 1|

2 2 2 2

= − =

16 8 2

= = . Label eb1

1 2 2(5) 0 10

b

e = v i− = − = .

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0),

2 2 | 2 2(0) | 2 2

v = i = = .

Label ea2

2 2 2(5) 0 10

a

e = v i− = − =

Label eb2 2

3 1 2 2 b

v

e = − −i

3(5) 1 0

2 2

= − −

15 1 14 7

2 2 2

= − = = .

Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1),

3 2 | 1 2(1) | 1 3

v = i = = .

Label ea3 3

3 1 | 2 2 a

v

e = −i

3(5) |1 1 16 1 7

2 2 2

= − = − =

Label eb₃

3 2 2(5) 1 9

b

e = v i− = − = .

Label vertex keempat pada posisi ke-satu (i=1),

4 2 | 2 2(1) | 2 4

v = i = = .

Label ea4

4 2 2(5) 1 9

a

e = v i− = − = .

Label eb4 4

3 1 2 2 b

v

e = − −i

3(5) 1 1

2 2

= − −

15 1 1 12 6

2 2 2

= − − = = .

Label vertex kelima pada posisi ke-dua (i=2),

5 2 | 1 2(2) | 1 5

v = i = = .

Label ea5 5

3 1 | 2 2 a

v

e = −i

3(5) |1 2

2 2

= −

15 1| 2 16 2 12 6

2 2 2 2

= − = − = = . Label eb5

5 2 2(5) 2 8

b

e = v i− = − = .

Kesimpulan:

1 1; 2; 3; 4; 52 3 4 5

v = v = v = v = v =

Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi

Gambar 10

Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.1 maka nilai bilangan magic graf tersebut adalah

k =7 |3 7(5) 3| 38 19 2v 2= 2 2= 2 = .

Jika nilai bilangan magic minimum maka gunakan Teorema 3.4.2.

9 1

4 8 5

3 10

6

2 7

5

v

4

v v3

2

v

1

Teorema 3.4.2

Misalkan graf G =(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana, v adalah banyaknya vertex

yang terdapat dalam graf G dan v bernilai ganjil. Jika G adalah suatu graf vertexmagic

dan vertex dilabelkan dengan bilangan v| 1 sampai 2v maka batas bawah bilangan

magic graf tersebut adalah 5 3

| 2 2

v

k= .

Bukti

Misalkan tidak terdapat multigraf dalam suatu graf G.

Edge yang berada di sebelah kiri vertex

berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.

Edge yang berada di sebelah kanan vertex

searah dengan arah jarum jam dan saling

incident.

Labelkan vertex secara berurutan dimulai dengan angka v|1 sampai 2v yang searah dengan arah jarum jam.

Labelkan edge yang berada di sebelah kanan

vertex pertama dengan bilangan v sampai

seterusnya.

Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.4.2

Kasus (vx) (eax) (ebx) I. Label

vertex

dimulai dengan angka ganjil,

x=1,3,5… pada posisi ke-i

| 1 | 2 0,1,..,

1

2

v i

i v =

−

1 2 | 2 2 2

v ₋ i v i−

II.Label

vertex

dimulai dengan angka genap,

x=2,4,6.… pada posisi ke-i

| 2 | 2 0,1,..,

1 1 2

v i

i v =

− ₋

v i− 1 2

2 2 2

v_{− −} i

Berikut gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label pada vertex dan edge pada graf

cycle ganjil.

Gambar 11

Suatu graf cycle sederhana dengan label v

bilangan terbesar.

Label vertex dan label edge dalam Kasus I menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut

k=vx|eax|ebx

| 1 2 | 1 | 2 | |

2

1 2

| | | 1 | | 2

2 2 2

5 3 | . 2 2

v i

k v i v i

v i

v v i i

v

−

= −

= − −

=

Label vertex dan label edge dalam Kasus II menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut

k =vx|eax|ebx

1 2 | 2 | 2 | |

2

1 2 5 3

| | | 2 | 2 | .

2 2 2 2 2

v i

k v i v i

v i v

v v i i

− −

= −

= − − − =

Maka graf G adalah suatu graf vertex magic

dengan 5 |3 2 2

v

k= .

Terbukti Contoh Kasus 3.4.2a

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v=3. Tentukan label

vertex, label edge dan bilangan magic graf G. Jawab

Diketahui v= 3.

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 12

Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan.

3

v v2

1

v

v

v|1 v|2

v|3

v-1

v|4

v/2 - 1/2

v|5

v-2

v|6 2v

v/2 - 3/2

Mengacu pada Teorema 3.4.2.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0),

1= | 2 | 1 = 3|2(0)|1 = 4

v v i .

Label ea1 1

1 2 | 2 2 2 a

v i

e = −

3 1| 2(0) 2 2 2 2

= − = . Label eb1

1 3 0 3

b

e = − = − =v i .

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0),

2 | 2 | 2 3 | 2(0) | 2 5

v =v i = = .

Label e_a2

2 3 0 3

a

e = − = − =v i . Label e_b2

2

1 2 2 2 2 b

v i

e = − − 3 1 2(0) 1

2 2 2

= − − = .

Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1),

3= |2 | 1 3 | 2(1) | 1 6

v v i = = .

Label ea3 3

1 2 | 2 2 2 3 1 2(1) 2

| 1.

2 2 2 2

a

v i

e = −

= − = =

Label eb3

3 1 3 1 2

b

e = − = − =v . Kesimpulan:

1 4; 5; 6.2 3

v = v = v =

Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi

Gambar 13

Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.2 maka nilai bilangan magic untuk graf G adalah

5 3 5(3) 3 18

| | 9

2 2 2 2 2

v

k= = = = .

Contoh Kasus 3.4.2b

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v=5.

Tentukan label vertex, label edge dan bilangan

magic pada graf tersebut. Jawab

Diketahui v=5.

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 14

Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu Teorema 3.4.2.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0),

1= | 1 | 2 = 5|1|2(0)=6

v v i .

Label ea1 1

1 2 | 2 2 2 a

v i

e = −

5 1| 2(0) 6 3

2 2 2 2

= − = = . Label eb₁

1 5 0 5

b

e = − = − =v i .

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0),

2 | 2 | 2 5 | 2(0) | 2 7

v =v i = = .

Label ea2

2 5 0 5

a

e = − = − =v i . Label eb2

2

1 2 2 2 2 b

v i

e = − −

5 1 2(0) 4 2

2 2 2 2

= − − = = .

Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1),

3= | 2 |1 = 5|2(1)|1 = 8

v v i .

Label e_a3

3

1 2 | 2 2 2 5 1 2(1) 4

| 2.

2 2 2 2

a

v i

e = −

= − = =

Label e_b3

3 5 1 4

b

e = − = − =v i .

Label vertex keempat pada posisi ke-satu (i=1),

4 | 2 | 2 5 | 2(1) | 2 9

v =v i = = .

4 3

5 1

6 2

5

v

4

v v3

2

v

1

(3.5.1a) 6

4 9

3 10

8 5

1

7 2 Label ea4

4 5 1 4

a

e = − = − =v i . Label eb4

4

1 2 2 2 2 b

v i

e = − − 5 1 2(1) 1

2 2 2

= − − = .

Label vertex kelima pada posisi ke-dua (i=2),

5= | 2 |1 = 5|2(2)|1 = 10

v v i .

Label e_a5

5

1 2 | 2 2 2 5 1 2(2) 2

| 1.

2 2 2 2

a

v i

e = −

= − = =

Label e_b5

5 5 2 3

b

e = − = − =v i . Kesimpulan:

1 6; 7; 8; 9; 102 3 4 5

v = v = v = v = v = .

Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi

Gambar 15

Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.2 maka nilai bilangan magic graf G adalah

5 3 5(5) 3 28

| | 14

2 2 2 2 2

v

k= = = = .

3.5 Bilangan Magic Minimum Untuk Graf Cycle Genap

Conjecture 3.5.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v bernilai genap,

sehingga ada bilangan magic minimum yang dirumuskan

5 | 2. 2

v

k=

Berikut ini akan dijelaskan cara melabelkan

vertex dan edge pada graf cycle sederhana dengan v bernilai genap dan bilangan magic

minimum.

Misalkan didefinisikan v=2n, n dapat bernilai genap atau ganjil.

Penentuan suatu graf vertex magic tergantung pada nilai n.

Jika graf G=(V,E) adalah graf vertex magic

dengan v berjumlah genap, bilangan magic

minimum dan n bernilai genap maka untuk melabelkan suatu edge gunakanlah ketentuan berikut ini.

i

e=

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

| 1

1, 3,..., | 1 2

3 2 2 |

, 4, 6,..., 2

2 | 1

, | 3, | 5,..., 2 1 2

| 2

, | 2, | 4,..., 2 . 2

i

i n

n i

n i

i n

n i

i n n n

i

i n n n

= = = −

= −

=

Gambar 16 Graf cycle sederhana Contoh Kasus 3.5.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah graf vertex

magic dengan v=8. Nilai bilangan magic

minimum untuk graf G adalah 5 | 2 2

v

k= .

Tentukan label edge dan label vertex yang sesuai pada graf G tersebut.

Jawab

Diketahui 5 | 2 2

v

k= dengan v=8.

Sehingga nilai k adalah

5(8) 40 | 2 | 2 22

2 2

k= = = .

Diketahui v=2n maka 8 4 2 2 v

n= = = .

1

e

2

e

3

e

4

e

v

Graf G dengan v=8 sebelum dilabelkan.

Gambar 17

Graf cycle sederhana dengan v=8 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan ketentuan (3.5.1a)

Label pada edge pertama dengan i=1,

1

| 1 1 | 1 2 1

2 2 2

i

i

e₌ = = = = .

Label pada edge kedua dengan i=2,

2 3 3(4) 12

i

e= = n= = .

Label pada edge ketiga dengan i=3,

3

| 1 3 | 1 4 2

2 2 2

i

i

e₌ = = = = .

Label pada edge keempat dengan i=4,

4

2 | 2(4) | 4 8 | 4 12 6

2 2 2 2

i

n i

e₌ = = = = = .

Label pada edge kelima dengan i=5,

5

| 1 5 | 1 6 3

2 2 2

i

i

e₌ = = = = .

Label pada edge keenam dengan i=6 setara dengan ( )≡ n| 2,

6

| 2 6 | 2 8 4

2 2 2

i

i

e= = = = = .

Label pada edge ketujuh dengan i= ≡7 n| 3

7

2 | 1 2(4) | 7 1 8 | 6 14 7

2 2 2 2

i

n i e=

− −

= = = = = .

Label pada edge kedelapan dengan 8 | 4

i= ≡n ,

8

| 2 8 | 2 10 5

2 2 2

i

i

e₌ = = = = .

Untuk menentukan nilai dari label vertex

gunakan definisi dari bilangan magic k=vx|eax|ebx

Sehingga, x

v = k−eax−ebx

Label v1 dengan e1 =ea1,e2 =eb1 adalah 1 a1 b1 22 1 12 9

v = −k e −e = − − = .

Label v2 dengan e2 =ea2,e3=eb2 adalah 2 a2 b2 22 12 2 8

v = −k e −e = − − = .

Label v3 dengan e3=ea3,e4 =eb3 adalah 3 a3 b3 22 2 6 14

v = −k e −e = − − = . Label v4 dengan e4 =ea4,e5 =eb4 adalah

4 a4 b4 22 6 3 13

v = −k e −e = − − = . Label v5 dengan e5 =ea5,e6 =eb5 adalah

5 a5 b5 22 3 4 15

v = −k e −e = − − = . Label v6 dengan e6 =ea6,e7 =eb6 adalah

6 a6 b6 22 4 7 11

v = −k e −e = − − = . Label v7 dengan e7 =ea7,e8=eb7 adalah

7 a7 b7 22 7 5 10

v = −k e −e = − − = . Label v8 dengan e8=ea8,e1=eb8 adalah

8 a8 b8 22 5 1 16

v = −k e −e = − − = .

Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G

sebagai berikut

Gambar 18

Graf cycle sederhana dengan v=8 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Contoh Kasus 3.5.2

Misalkan graf G=(V,E) adalah graf vertex

magic dengan v=12. Nilai bilangan magic

minimum graf G adalah 5 | 2 2

v

k= .

Tentukan label edge dan label vertex yang sesuai pada graf G.

Jawab Diketahui

2

v= n maka 12 6

2 2 v

n= = = .

5 | 2 2

v

k= dengan v=12.

Sehingga nilai bilangan magic graf G adalah 5(12) 60

| 2 | 2 32

2 2

k= = = .

13 1

16 9

12 8 2

6 14 5

10 7 11

4

15 3

7

e

8

e

6

e

5

e

4

e

3

e

2

e

1

Tabel 3.7.1

Kasus ₍

x

v

) (eax) (ebx)

I.Label

vertex

dengan

x=1,3,... pada posisi ke-i

4 | 1 0,...,

1

2

i i

v

= −

| 1 2

v − i 2v−2i

II.Label

vertex

dimulai dengan

x=2,4,... pada posisi ke-i

4 | 3 0,...,

1

1

2

i i

v

= − ₋

2v−2i v− −1 2i

Berikut gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label vertex, label edge pada graf cycle

ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan ganjil.

Gambar 33

Graf cycle sederhan dengan label vertex

bernilai ganjil.

Label vertex dan label edge dalam kasus pertama menghasilkan nilai bilangan magic

sebagai berikut

k =vx|eax|ebx

4 | 1 | | 1 2 | 2 2 4 2 2 | | 2 | 1 | 1 3 | 2

k i v i v i

i i i v v

v

= − −

= − − =

Label vertex dan label edge dalam kasus kedua menghasilkan nilai bilangan magic

sebagai berikut

k =vx|eax|ebx

4 | 3 | 2 2 | 1 2

4 2 2 | 2 | | 3 1

=3 | 2 .

k i v i v i

i i i v v

v

= − − −

= − − −

Maka graf G adalah suatu graf vertex magic

dengan nilai bilangan magic-nya adalah

3 | 2v .

Terbukti Contoh Kasus 3.7.1

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v=10. Tentukan label

vertex, label edge dan bilangan magic graf tersebut.

Jawab

Banyaknya vertex dalam graf G=3. Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 34

Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.1.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0), 1 4 | 1 4(0) | 1 1

v = i = = .

Label ea1,

1 | 1 2 3 | 1 2(0) 4

a

e =v − =i − = .

Label eb1,

1 2 2 2(3) 2(0) 6

b

e = v− =i − = .

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0), 2 4 | 3 4(0) | 3 3

v = i = = .

Label ea2

2 2 2 2(3) 2(0) 6

a

e = v− =i − = .

Label eb2

2 1 2 3 1 2(0) 2

b

e = − − = − −v i = .

Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1) 3 4 | 1 4(1) | 1 5

v = i = = .

Label ea3

3 | 1 2 3 | 1 2(1) 4 2 2

a

e =v − =i − = − = . Label eb3

3 2 2 2(3) 2(1) 6 2 4

b

e = v− =i − = − = . 3

v v2

1

v

1 2v

3

v-1 5 2v-2 7

v-3 11

2v-4

v|1 2v-1

Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf tersebut menjadi.

Gambar 35

Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah dilabelkan.

Contoh Kasus 3.7.2

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v=5. Tentukan label

vertex,label edge dan bilangan magic graf G

tersebut. Jawab Diketahui v=5.

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 36

Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.1.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0) 1 4 | 1 4(0) | 1 1

v = i = = .

Label ea1

1 | 1 2 5 | 1 2(0) 6

a

e =v − =i − = .

Label eb1

1 2 2 2(5) 2(0) 10

b

e = v− =i − = .

Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0) 2 4 | 3 4(0) | 3 3

v = i = = .

Label e_a2

2 2 2 2(5) 2(0) 10

a

e = v− =i − = .

Label e_b2

2 1 2 5 1 2(0) 4

b

e = − − = − −v i = . Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1)

3 4 | 1 4(1) | 1 5

v = i = = .

Label ea3

3 | 1 2 5 | 1 2(1) 6 2 4

a

e =v − =i − = − = . Label eb3

3 2 2 2(5) 2(1) 10 2 8

b

e = v− =i − = − = .

Label vertex keempat pada posisi ke-satu (i=1)

2 4 | 3 4(1) | 3 7

v = i = = .

Label ea4

4 2 2 2(5) 2(1) 10 2 8

a

e = v− =i − = − = .

Label eb4

4 1 2 5 1 2(1) 2

b

e = − − = − −v i = .

Label vertex kelima pada posisi ke-dua (i=2) 5 4 | 1 4(2) | 1 7

v = i = = .

Label ea5

5 | 1 2 5 | 1 2(2) 6 4 2

a

e =v − =i − = − = . Label eb5

5 2 2 2(5) 2(2) 10 4 6

b

e = v− =i − = − = .

Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf tersebut menjadi.

Gambar 37

Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Dengan menggunakan ide yang sama pada Teorema 3.6.1, selanjutnya akan dibahas cara melabelkan suatu graf cycle sederhana dengan

v bernilai ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan genap.

Teorema 3.7.2

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

cycle sederhana dengan v bernilai ganjil. Jika graf G adalah graf vertex magic dan

vertex dilabelkan dengan bilangan genap dari 2 sampai 2v maka nilai bilangan magic graf tersebut adalah k=3 | 1v .

Bukti

Misalkan tidak terdapat suatu multigraf dalam suatu graf G.

Edge yang berada di sebelah kiri vertex

berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.

Edge yang berada di sebelah kanan vertex

searah dengan arah jarum jam dan saling

incident.

Labelkan vertex secara berurutan dimulai dengan angka genap dari 2 sampai 2v yang searah jarum jam.

1

3 5

6 4

2

3

8 1

10

4 5 7

9 6

2 5

v

4

v v3

2

v

1

v

Labelkan edge yang berada di sebelah kanan

vertex pertama dengan bilangan ganjil yang bernilai 1 sampai 2v-1 secara menurun dimulai dari bilangan 2v-1,

Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini

Tabel 3.7.2

Kasus (vx) (eax) (ebx)

I.Label

vertex

dimulai dengan

x=1,3.. pada posisi ke-i

4 | 2 0,...,

1

2

i i

v

= −

2

v− i 2v− −1 2i

Label

vertex

dimulai dengan

x=2,4.. pada posisi ke-i

4 | 4 0,...,

1

1

2

i i

v

= −

−

2v− −1 2i v− −2i 2

Berikut gambaran suatu graf G, dengan rumus untuk label pada vertex dan edge pada graf

cycle ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan genap.

Gambar 38

Pelabelan vertex secara umum pada graf cycle

ganjil dengan label vertex bilangan genap. Label vertex dan label edge dalam kasus pertama menghasilkan nilai bilangan magic

sebagai berikut

k =vx|eax|ebx

4 | 2 | 2 | 2 1 2

4 2 2 | 2 | | 2 1

3 | 1 .

k i v i v i

i i i v v

v

= − − −

= − − −

=

Label vertex dan label edge dalam kasus kedua menghasilkan nilai bilangan magic

sebagai berikut

k =vx|eax|ebx

4 | 4 | 2 1 2 | 2 2

4 2 2 | 2 | | 4 1

=3 | 1 .

k i v i v i

i i i v v

v

= − − − −

= − − −

Maka graf G adalah suatu graf vertex magic

dengan k=3 | 1v .

Terbukti. Contoh Kasus 3.7.3

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v=3. Tentukan label

vertex, label edge dan bilangan magic graf tersebut.

Jawab

Diketahui v = 3

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 39

Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.2.

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0) 1 4 | 2 4(0) | 2 2

v = i = = .

Label e_a1

1 2 3 2(0) 3

a

e = − = −v i = . Label e_b1

1 2 1 2 2(3) 1 2(0) 5

b

e = v− − =i − − = . Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0)

2 4 | 4 4(0) | 4 4

v = i = = .

Label e_a2

2 2 1 2 2(3) 1 2(0) 5

a

e = v− − =i − − = . Label e_b2

2 2 2 3 2(0) 2 1

b

e = − − = −v i − = . Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1)

3 4 | 2 4(1) | 2 6

v = i = = .

Label ea₃

3 2 3 2(1) 1

a

e = − = −v i = . 3

v v2

1

v

2

6 4

8 10

12

2v-1

v-2

2v-3

v-4 2v-5

v

Label eb3

3 2 1 2 2(3) 1 2(1) 3

b

e = v− − =i − − = . Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf tersebut menjadi.

Gambar 40

Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan. Contoh Kasus 3.7.4

Misalkan graf G=(V,E) adalah suatu graf

vertex magic dengan v = 5. Tentukan label

vertex, label edge dan bilangan magic graf tersebut.

Jawab Diketahui

v=15

Graf G sebelum dilabelkan.

Gambar 41

Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.2,

Label vertex pertama pada posisi ke-nol (i=0) 1 4 | 2 4(0) | 2 2

v = i = = .

Label ea1

1 2 5 2(0) 5

a

e = − = −v i = . Label eb1

1 2 1 2 2(5) 1 2(0) 9

b

e = v− − =i − − = . Label vertex kedua pada posisi ke-nol (i=0)

2 4 | 4 4(0) | 4 4

v = i = = .

Label ea2

2 2 1 2 2(5) 1 2(0) 9

a

e = v− − =i − − = . Label eb2

2 2 2 5 2(0) 2 3

b

e = − − = −v i − = . Label vertex ketiga pada posisi ke-satu (i=1)

3 4 | 2 4(1) | 2 6

v = i = = .

Label ea3

2 5 2(1) 3

a

e = − = −v i = . Label eb3

3 2 1 2

2(5) 1 2(1) 7.

b

e = v− − i

= − − =

Label vertex keempat pada posisi ke-satu (i=1)

4 4 | 3 4(1) | 4 8

v = i = = .

Label e_a1

1 2 1 2

2(5) 1 2(1) 7.

a

e = v− − i

= − − =

Label e_b1

2 2 5 2(1) 2 1

b

e = − − = −v i − = .

Label vertex kelima pada posisi ke-dua (i=2) 5 4 | 2 4(2) | 2 10

v = i = = .

Label e_a5

5 2 5 2(2) 1.

a

e = − = −v i =

Label e_b5

5 2 1 2

2(5) 1 2(2) 5.

b

e = v− − i

= − − =

Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi

Gambar 42

Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan

2

6 9

4 3 5

10 1

8 7

4 2

5 3

6 ₁

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

IV SIMPULAN dan SARAN

4.1 SIMPULAN

Pelabelan vertex dan edge pada graf cycle

sederhana dapat menghasilkan suatu graf

vertex magic.

Untuk menentukan label vertex dan label

edge pada suatu graf cycle sederhana sedemikian sehingga membentuk suatu graf

vertex magic dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan pelabelan yang minimum dan pelabelan yang maksimum.

Penentuan label vertex dan label edge

pada graf cycle ganjil lebih mudah jika dibandingkan dengan graf cycle genap. Jika banyaknya vertex dalam suatu graf cycle

berjumlah ganjil maka pelabelan vertex dan

edge yang menghasilkan graf vertex magic

dapat langsung menggunakan teorema-teorema yang telah dibahas pada bab sebelumnya, namun jika banyaknya vertex

dalam suatu graf cycle berjumlah genap maka penentuan label vertex dan label edge

dilakukan dengan menyesuaikan jumlah seluruh label edge terlebih dahulu.

4.2 SARAN

Bagi yang berminat membuat karya tulis yang berhubungan dengan graf vertex magic

dapat mencari penyelesaian masalah pelabelan pada graf cycle lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand, G. & Oellermann O. R. 1993.

Applied and Algorithm Graph Theory.

New York : Mc Graw-Hill.

Cunningham Daisy. 2004. Vertex - Magic. Electronic Journal of Undergraduate Mathematics. Volume 9: 1-20.

Foulds L. R. 1992. Graph Theory and Applications. New York : Springer Verlag.

Marethi Indiana. 2004. Masalah Minimax Spanning Forest (MMSF) dengan Lebih dari Dua Vertex Root [Skripsi]. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Thulasiraman K. & Swamy M. N. S. 1992.

Graph Theory and Algorithm. New York : John Willey & Sons.

Stewart J. 1998. Kalkulus. Jilid I. Edisi keempat. Terjemahan I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan. Jakarta : Erlangga.

IV SIMPULAN dan SARAN

4.1 SIMPULAN

Pelabelan vertex dan edge pada graf cycle

sederhana dapat menghasilkan suatu graf

vertex magic.

Untuk menentukan label vertex dan label

edge pada suatu graf cycle sederhana sedemikian sehingga membentuk suatu graf

vertex magic dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan pelabelan yang minimum dan pelabelan yang maksimum.

Penentuan label vertex dan label edge

pada graf cycle ganjil lebih mudah jika dibandingkan dengan graf cycle genap. Jika banyaknya vertex dalam suatu graf cycle

berjumlah ganjil maka pelabelan vertex dan

edge yang menghasilkan graf vertex magic

dapat langsung menggunakan teorema-teorema yang telah dibahas pada bab sebelumnya, namun jika banyaknya vertex

dalam suatu graf cycle berjumlah genap maka penentuan label vertex dan label edge

dilakukan dengan menyesuaikan jumlah seluruh label edge terlebih dahulu.

4.2 SARAN

Bagi yang berminat membuat karya tulis yang berhubungan dengan graf vertex magic

dapat mencari penyelesaian masalah pelabelan pada graf cycle lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand, G. & Oellermann O. R. 1993.

Applied and Algorithm Graph Theory.

New York : Mc Graw-Hill.

Cunningham Daisy. 2004. Vertex - Magic. Electronic Journal of Undergraduate Mathematics. Volume 9: 1-20.

Foulds L. R. 1992. Graph Theory and Applications. New York : Springer Verlag.

Marethi Indiana. 2004. Masalah Minimax Spanning Forest (MMSF) dengan Lebih dari Dua Vertex Root [Skripsi]. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Thulasiraman K. & Swamy M. N. S. 1992.

Graph Theory and Algorithm. New York : John Willey & Sons.

Stewart J. 1998. Kalkulus. Jilid I. Edisi keempat. Terjemahan I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan. Jakarta : Erlangga.