Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN
GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
1

ABSTRAK
NURUL NUR INDAH SARI. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel.
Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge
magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan
edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2, … , } serta himpunan sisinya dipetakan
ke { + 1, + 2, … , + }, dengan adalah banyaknya simpul dan adalah banyaknya sisi pada
suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini
digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle
� adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf
wheel
dengan order bukan graf super edge magic, bahkan
dengan
0 mod 4 bukan
graf edge magic.
Kata kunci: pelabelan edge magic, pelabelan super edge magic, graf cycle, graf wheel.

2

ABSTRACT
NURUL NUR INDAH SARI. Super Edge Magic Labeling on Cycle Graph and Wheel Graph.
Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.
This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling.
Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of
vertices were mapped in to {1, 2, … , } and a set of edges were mapped in to { + 1, +
2, … , + }, in which is order and is size on the graph. There are one lemma and two
theorems to be discussed. The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves
that cycle graph � is super edge magic if and only if is odd. The second theorem proves that
wheel graph
of order is not super edge magic. Moreover
is not edge magic if
0 mod
4.
Keywords: edge magic labeling, super edge magic labeling, cycle graph, wheel graph.

3

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN
GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012

4

Judul Skripsi : Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel
Nama
: Nurul Nur Indah Sari
NIM
: G54070039

Menyetujui,
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 19740915 199903 2 001

Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19651019 199103 2 002

Mengetahui:
Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

5

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan secara moril maupun
materiil, motivasi, dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa dan
dukungannya), serta keluarga besar dari Ibu dan Bapak (terima kasih atas doanya),
2. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
motivasi, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini),
3. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu dan
sarannya),
4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya),
5. segenap dosen Departemen Matematika terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,
6. staf Departemen Matematika terima kasih atas bantuannya,
7. teman-teman Matematika angkatan 44: Selvie, Resha, Fany, Anis, Sari, Ipul, Dora, Tanty,
Yuyun, Titi, Wewe, Deva, Ndep, Ima, Lingga, Ruhyat, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Denda,
Fajar, Rofi, Dian, Tyas, Della, Pandi, Lili, Ririh, Yuli, Nunuy, Iam, Lilis, Ayum, Wahyu,
Fikri, Atik, Cita, Arina, Masay, Diana, Yogie, Aswin, Imam, Lugina, Yanti, Pepi, Aqil, Eka,
Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Na’im, Dhika, Nurus, Phunny, Ab, Siska, Indin, Olih, Tita, Lina,
Lukman, Endro, Tendy, Ikhsan, Puying, Zae, dan Copa (terima kasih atas doa, dukungan,
bantuan, dan kebersamaannya),
8. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 (terima kasih atas semua ilmu dan bantuannya),
9. adik-adik Matematika angkatan 45 ( terima kasih atas bantuan dan dukungannya),
10. teman-teman B26 ( terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),
11. sahabat-sahabat terdekat: Fina, Nia, Echa, Tika, Lujeng, Rinal, Ayu, Lely, Anis, Agus, dan
lainnya ( terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),
12. teman- teman FOSMA IPB, FOSMA Bogor, SHOT Bogor, GEMA Bogor, dan FKA Bogor
(terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),
13. teman-teman Pondok Malea Atas (terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),
14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Februari 2012

Nurul Nur Indah Sari

6

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Minahasa pada tanggal 8 Juli 1989 dari pasangan bapak Oyo Suhyono
dan ibu Teti Rosmiati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pangandaran dan pada tahun yang sama diterima
sebagai mahasiswi IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu
sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2009, Organisasi
Mahasiswa Daerah Ciamis (OMDA PMGC) dan FOSMA IPB. Selain itu, penulis juga aktif dalam
berbagai kepanitiaan, di antaranya panitia Masa Perkenalan Departemen, try out Pengantar
Matematika, dan training ESQ mahasiswa baru.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii
I

PENDAHULUAN .............................................................................................................
1.1 Latar Belakang ..........................................................................................................
1.2 Tujuan .......................................................................................................................

1
1
1

II

LANDASAN TEORI .........................................................................................................
2.1 Teori Graf ..................................................................................................................
2.2 Pelabelan Graf ...........................................................................................................

1
1
3

III

PEMBAHASAN ................................................................................................................

5

IV

SIMPULAN DAN SARAN ...............................................................................................
4.1 Simpulan ...................................................................................................................
4.2 Saran ..........................................................................................................................

14
14
15

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................

15

LAMPIRAN ...............................................................................................................................

16

vii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

Graf � = ( , �) ..................................................................................................................
Cycle ....................................................................................................................................
Graf � nontrivial .................................................................................................................
Graf cycle ber-order 5 .........................................................................................................
Graf lengkap ber-order 5 ....................................................................................................
Union dari 2 graf .................................................................................................................
Join dari 2 graf ....................................................................................................................
Graf wheel ber-order 7 ........................................................................................................
Graf cycle ber-order 3 .........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf �3 .....................................................................................
Pelabelan super edge magic pada graf �3 ...........................................................................
Graf cycle ber-order 9 ........................................................................................................
Pelabelan super edge magic pada graf �9 ...........................................................................
Graf cycle ber-order 4 .........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf �4 .....................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf �5 .....................................................................................
Pelabelan super edge magic pada graf �5 ...........................................................................
Graf cycle ber-order 6 .........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf �6 .....................................................................................
Graf cycle ber-order 7 .........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf �7 .....................................................................................
Pelabelan super edge magic pada graf �7 ...........................................................................
Graf wheel ber-order 5 ........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf 5 ....................................................................................
Graf wheel ber-order 4 ........................................................................................................
Graf wheel ber-order 6 ........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf 6 ....................................................................................
Graf wheel ber-order 8 ........................................................................................................
Graf wheel ber-order 9 ........................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf 9 ....................................................................................
Graf wheel ber-order 11 .....................................................................................................
Pelabelan edge magic pada graf 11 ...................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 2,
= 1, dan
=8 .
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 1,
= 2, dan
=8 .
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 2,
= 1, dan
=7 .
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 1,
= 2,
= 7,
dan
= 8 ...................................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 2,
= 1, dan
=6 .
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 1,
= 2,
= 6,
dan
= 7 ...................................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 2,
= 1, dan
=5 .
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 4,
= 3, ( ) = 1,
= 2,
= 5,
= 8, dan
= 6 ................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 1,
= 2, ( ) = 3,
= 4,
= 8,
dan
= 6 ....................................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 1,
= 2, ( ) = 4,
= 3,
= 8,
= 5, dan
= 7 .................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 2,
= 3, ( ) = 4,
= 1,
= 6,
dan
= 8 ...................................................................................................................
Graf �4 yang dilabeli dengan
= 2,
= 3, ( ) = 1,
= 4,
= 8,
= 7, dan
= 5 .................................................................................................

1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
6
6
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
10
11
12
12
12
13
13
13
14
17
17
17
18
18
18
19
19
19
20
20
20

viii

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah jembatan Konigsberg adalah
masalah yang pertama kali diselesaikan
menggunakan graf. Masalah ini pertama kali
dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard
Euler seorang ahli matematika asal Swiss
yang menemukan salah satu cabang dari
matematika yang saat ini dikenal sebagai
“Teori Graf”.
Teori graf merupakan pokok bahasan yang
memiliki banyak terapan sampai saat ini, di
antaranya dalam model jaringan transportasi,
teknik elektro, kimia, sistem komunikasi,
administrasi bisnis, sosiologi, marketing,
desain arsitektur, dan masih banyak lagi
terapan yang lainnya. Banyak permasalahan
yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk
merencanakan tempat pembuangan sampah
pada suatu perumahan penduduk, diagnosa
dalam jaringan komputer, dan masih banyak
lagi permasalahan yang dapat diselesaikan
dengan menggunakan graf.
Pelabelan graf merupakan salah satu topik
dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah
suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul
dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli.
Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf,

antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib
(magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan
yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan
ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex
magic, pelabelan super vertex magic,
pelabelan edge magic, dan pelabelan super
edge magic.
Pelabelan super edge magic pada suatu
graf � yang memiliki
simpul dan
sisi
adalah jika � memiliki pelabelan edge magic
dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya
ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf
cycle dan graf wheel merupakan graf yang
memiliki pelabelan graf yang super edge
magic. Ada satu lema dan dua teorema yang
digunakan untuk membuktikan bahwa graf
cycle dan graf wheel merupakan pelabelan
graf yang super edge magic. Sumber utama
karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis
Enomoto et al. pada tahun 1998.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle
dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang
super edge magic.

II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa
definisi dalam teori graf dan pelabelan graf
yang akan digunakan dalam penyusunan karya
ilmiah ini.
2.1 Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf � adalah pasangan terurut
( , �) dengan adalah himpunan takkosong
dan berhingga dan � adalah himpunan
pasangan tak terurut yang menghubungkan
elemen-elemen
. Graf � dinotasikan
� = ( , �). Elemen disebut simpul (vertex)
sedangkan elemen � disebut sisi (edge).
Himpunan dari simpul-simpul pada graf �
dinotasikan
dengan
(�),
sedangkan
himpunan dari sisi-sisi pada graf �
dinotasikan dengan �(�).
(Foulds 1992)
Graf yang dimaksud pada definisi tersebut
adalah graf tak berarah artinya graf yang

sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf
tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1.
�:

a

b

c

d

e

Gambar 1 Graf � = ( , �).

Himpunan simpul dan himpunan sisi graf
pada Gambar 1 adalah
(�) = { , , , , }
� � = { , , , , , , , , , }.

ix

2

Definisi 2 (Order dan Size)
Misalkan diberikan graf �. Banyaknya
simpul pada graf � disebut order dan
banyaknya sisi pada graf � disebut size. Order
dari graf � dinotasikan dengan | � | dan
size dari graf � dinotasikan dengan |� � |.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, nilai dari
� � = 5.



= 5 dan

Definisi 3 (Incident dan Adjacent)
Misalkan diberikan graf �. Jika
=
{ , } ∈ �(�) dengan
, ∈ (�) maka
dan dikatakan adjacent di � dan dikatakan
incident dengan dan .
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, misalkan = { , } ∈ �(�)
maka dan dikatakan adjacent di � dan
dikatakan incident dengan dan .
Definisi 4 (Degree)
Derajat (degree) dari suatu simpul pada
graf � adalah banyaknya sisi yang incident
dengan dan dinotasikan dengan deg .
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah
deg = 2, deg = 3, deg = 3, deg = 1,
dan deg = 1.
Definisi 5 (Walk)
Suatu walk pada graf � adalah suatu
barisan simpul dan sisi dari graf � dengan
bentuk
, }
{ 1, 1, 2 , 2, 2, 3 , 3, … ,
−1 ,
dan dapat dituliskan sebagai { 1 , 2 , … , }
atau
. Suatu walk yang
1, 2, … ,
menghubungkan 1 dengan
dikatakan
tertutup jika 1 = . Jika 1 ≠
maka walk
tersebut dikatakan terbuka.
(Foulds 1992)

a

c

b

Gambar 2 Cycle.
Definisi 7 (Graf Nontrivial)
Suatu graf � disebut graf nontrivial jika
suatu graf � memiliki order paling sedikit
dua.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial
ber-order 3.
�:

Gambar 3 Graf � nontrivial.

Definisi 8 (Graf Cycle)
Suatu graf ber-order dengan
3 yang
membentuk sebuah cycle disebut graf cycle
dan dinotasikan dengan � .
(Chartrand & Oellermann 1993)
Berikut ini diberikan contoh graf cycle berorder 5.
�5 :

a

b

e

c

d

Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu
walk { , , , , { , }, , { , }, }.

Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.

Definisi 6 (Cycle)
Cycle pada suatu graf � adalah walk
tertutup yang mengandung setidaknya tiga
simpul dan semua simpulnya berbeda.
(Foulds 1992)

Definisi 9 (Graf Lengkap)
Graf ber-order
yang setiap dua
simpulnya adjacent disebut graf lengkap
(complete graph) dan dinotasikan dengan � .
(Chartrand & Oellermann 1993)

Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf �
yang terdiri atas tiga simpul, yaitu

Berikut diberikan contoh graf lengkap berorder 5 seperti pada Gambar 5.

3

�5 :

�4 + �1 :

Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.
Gambar 7 Join dari 2 graf.
Definisi 10 (Union dari 2 Graf)
Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan
himpunan simpul yang disjoint, maka union
dari �1 dan �2 , dituliskan �1 ∪ �2 , adalah graf
yang memiliki
�1 ∪ �2 = (�1 ) ∪ (�2 )
dan � �1 ∪ �2 = �(�1 ) ∪ �(�2 ).
(Chartrand & Oellermann 1993)
Berikut diberikan contoh union dari 2 graf.
�3 ∪ 3�1 :

Definisi 12 (Graf Wheel)
Untuk
4, graf wheel
dengan order
adalah join dari graf cycle � −1 ber-order
− 1 dan graf lengkap (complete graph) �1
ber-order 1.
(Fukuchi 2001)
Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order
7.
7:

v1

v2

v0

v6

v3

Gambar 6 Union dari 2 graf.
Definisi 11 (Join dari 2 Graf)
Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan
himpunan simpul yang disjoint, maka join dari
�1 dan �2 , dituliskan �1 +�2 , adalah graf
�1 ∪ �2 dimana setiap simpul di �1 adjacent
dengan setiap simpul di �2 ditambah semua
sisi bertipe 1 2 dengan 1 ∈ (�1 ) dan
2 ∈ (�2 ).
(Chartrand & Oellermann 1993)

v5

v4

Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.
2.2 Pelabelan Graf
Karya ilmiah ini membahas pelabelan
super edge magic pada graf cycle dan graf
wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi
tentang pelabelan graf.

Berikut diberikan contoh join dari 2 graf.
�4 :

�1 :

Definisi 13 (Pelabelan Edge Magic)
Misalkan � graf dengan simpul dan
sisi. Suatu pemetaan bijektif dari himpunan
simpul gabung himpunan sisi ke himpunan
{1, 2, … , + ) disebut sebagai pelabelan
edge magic pada � jika ada konstanta ∈ ℕ
(disebut magic number ) sehingga ( ) +
( ) + ( ) = untuk setiap
∈ �(�).
(Enomoto et al. 1998)
Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge
magic. Misalkan diberikan graf seperti pada
Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan
banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing
berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

4

�3 :

a

b

c

Gambar 9 Graf cycle ber-order 3.
Misalkan simpul-simpul pada graf �3
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
=4
=6
=2
Dipilih = 11, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 4 + 6 + 1 = 11
+
+
= 4 + 2 + 5 = 11
+
+
= 6 + 2 + 3 = 11
dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a).
Sedangkan untuk
= 12 dan misalkan
simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu
nilai
=6
=5
=4
sehingga diperoleh
+
+
= 6 + 5 + 1 = 12
+
+
= 6 + 4 + 2 = 12
+
+
= 5 + 4 + 3 = 12
dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b).
(a)

Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat
bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal.
Nilai
dapat berubah-ubah dengan
memperhatikan label simpulnya. Pada
dasarnya proses pelabelan edge magic pada
graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba
semua kemungkinan label yang ada.
Definisi 14 (Pelabelan Super Edge Magic)
Misalkan � graf dengan simpul dan
sisi, dan � memiliki pelabelan edge magic .
Jika : � → {1, 2, … , } dan : � � →
{ + 1, + 2, … , + } maka
disebut
pelabelan super edge magic.
(Enomoto et al. 1998)
Berikut ini diberikan contoh pelabelan super
edge magic. Diberikan graf seperti pada
Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan
super edge magic, maka : �3 → {1, 2, 3}
dan : � �3 → {4, 5, 6}. Misalkan simpulsimpul pada graf �3 dipadankan dengan suatu
nilai, yaitu
=1
=3
=2
Dipilih
= 9, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 1+3+5=9
+
+
=1+2+6= 9
+
+
=3+2+4= 9
dan dapat digambarkan sebagai berikut
1

4
5

1

5
3

6

3

2

(b)
6
1

5

6

2
3

4

Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf
�3 .

4

2

Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada
graf �3 .
Definisi 15 (Graf Super Edge Magic)
Suatu graf � disebut super edge magic jika
terdapat sebuah pelabelan super edge magic
dari �.
(Enomoto et al. 1998)
Gambar 11 merupakan contoh graf super edge
magic karena memiliki pelabelan super edge
magic.

5

III PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas lema dan
teorema-teorema yang membuktikan bahwa
graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan
super edge magic.
Misalkan diberikan graf seperti pada
Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3.
Graf tersebut dilabeli dengan : �3 →
{1, 2, 3} dan : � �3 → {4, 5, 6}, sehingga
diperoleh graf seperti pada Gambar 11.
Berikut ini diberikan lema yang akan
digunakan untuk membuktikan teorema
selanjutnya.
Lema 3.1
Jika � graf nontrivial yang super edge magic,
maka |� � | 2| � | − 3.
(Enomoto et al. 1998)
Bukti :
Misalkan � graf nontrivial yang super
edge magic. Akan dibuktikan bahwa
|� � | 2| � | − 3.
Misalkan � memiliki simpul dan sisi.
Karena � graf yang super edge magic artinya
ada konstanta
sehingga ( ) + ( ) +
( )=
dan
: (�) → {1, 2, … , },
: �(�) → { + 1, + 2, … , + }.
Maka
akan dilihat nilai
yang maksimum dan
minimum, karena untuk melabeli suatu graf
harus dilihat kemungkinan yang maksimum
dan minimumnya.
(i) Akan dilihat nilai yang maksimum.
Pilih , ∈ (�) maka magic number
yang maksimum yaitu
= , karena
magic number yang maksimum maka
kemungkinan yang maksimum untuk
( ) ialah − 1, sehingga diperoleh
+
= + −1
=
� + (| � | − 1)
Karena simpul yang maksimumnya
maka
= +1
=| � |+1
Ini berarti
=
+
+
=
� +
� −1
+(| � | + 1)
(ii) Akan dilihat nilai yang minimum.
Untuk melakukan pelabelan, pilih magic
number yang minimum yaitu
=1
dan untuk
pilih magic number
yang maksimum yaitu
= + .
Karena
= 1 maka paling tidak sisi
yang minimumnya yaitu
= 1+
1 = 2, sehingga diperoleh

=
+
+
=1+2+( + )
=1+2+( � + � � )
Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh
1+2+
� + � �
� +
� −1
+ (| � | + 1)
3 + | � | + |� � | 3| � |
|� � | 3| � | − 3 − | � |
� � | 2 � |−3



Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1.
Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang
super edge magic dan memenuhi |� � |
2| � | − 3. Misalkan diberikan graf �3
seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan
sisi ialah 3. Jadi � � | = � | = 3 dan
� � |=3 2 � |−3
=2 3 −3
= 3.
Graf �3 merupakan graf super edge magic dan
pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi.
Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang
bukan super edge magic dan memenuhi
|� � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan
graf �4 seperti pada Gambar 14, banyaknya
simpul dan sisi pada graf �4 adalah 4. Jadi
� � | = � | = 4 dan
� � |=4 2 � |−3
=2 4 −3
=5
Graf �4 bukan graf super edge magic (bukti
dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan
pada Lema 3.1 dipenuhi.
Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang
bukan super edge magic dan tidak memenuhi
|� � | 2| � | − 3. Misalkan diberikan
graf 5 seperti pada Gambar 23, banyaknya
simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8.
Jadi |� � | = 8, | � | = 5, dan
� � |=8 2 � |−3
=2 5 −3
=7
Graf 5 bukan graf super edge magic karena
pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi
sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi.
Lema 3.1 akan digunakan untuk
menunjukkan graf cycle dan graf wheel
memiliki pelabelan super edge magic.
Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan
diperlihatkan contoh cara pelabelan super
edge magic pada suatu graf cycle.
Misalkan diberikan graf cycle ber-order 9
dengan bentuk seperti pada Gambar 12.

6

�9 :

Teorema 3.2
Cycle � adalah super edge magic jika dan
hanya jika ganjil.
(Enomoto et al. 1998)

a
b

i

c

h

g

d

f

e

Gambar 12 Graf cycle ber-order 9.
Graf �9 tersebut akan dilabeli dengan
dan
: �9 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
: � �9 → {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
sehingga menjadi graf super edge magic.
Misalkan simpul-simpul pada graf �9
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
=1
=8
=6
=4
=2
=9
=7
=5
=3
Dipilih = 24, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 1 + 6 + 17 = 24
+
+
= 6 + 2 + 16 = 24
+
+
= 2 + 7 + 15 = 24
+
+
= 7 + 3 + 14 = 24
+
+
= 3 + 8 + 13 = 24
+
+
= 8 + 4 + 12 = 24
+
+
= 4 + 9 + 11 = 24
+
+
= 9 + 5 + 10 = 24
+
+
= 1 + 5 + 18 = 24
dan dapat digambarkan sebagai berikut
1
18

17
6

5
10

16
2

9
11

15
7

4
12

14
3

13

8

Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada
graf �9 .

Cara pelabelan tersebut merupakan salah
satu contoh cara pelabelan super edge magic
pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan
untuk membuktikan Teorema 3.2.
Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang
menyatakan bahwa graf �
memiliki
pelabelan super edge magic.

Bukti :
( ) Misalkan cycle � adalah graf super
edge magic. Akan dibuktikan
bilangan ganjil.
Bukti :
Misalkan � adalah graf super edge
magic artinya ada pelabelan super edge
magic
dengan
sebagai magic
number. Artinya ada konstanta
sehingga
( )+ ( )+ ( )=
→ {1, 2, … , },
dan

→ { + 1, + 2, … , + }.
� �
Karena setiap
∈ �(� ) berlaku
= ( ) + ( ) + ( ) akibatnya
=

=2

+

∈� �

+

( )+

∈ (� )

(

)

∈�(� )

=2 1+2+ + +( +1
+( + 2) + + ( + ))
2

=2

+
=1

=2

= +1
2

+
=1

=1



=1

+1
=2
2
( + 1)
2 (2 + 1)

+
2
2
+1
=2
2
4 2+2 − 2−
+
2
( + 1)
3 2+
=2
+
2
2
(3 + 1)
= ( + 1) +
2
Ini berarti
(3 + 1)
( + 1) =

2
3 +1
( + 1) =

2
3 +1
+1= −
2
3 +1
= − −1
2
Karena dan adalah bilangan bulat
3 +1
maka
bilangan bulat, sehingga
2

7

(

3 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3
ganjil, maka bilangan ganjil.


) Misalkan
adalah bilangan ganjil.
Akan dibuktikan cycle � adalah graf
super edge magic.
Bukti :
Misalkan = 2 + 1 adalah bilangan
ganjil dan diberikan graf cycle � .
Dimisalkan juga
� = { 0 , 1 , … , −1 }
� � =
{ 0 1 , 1 2 , … , −2 −1 , −1 0 }.
Didefinisikan
+2
; genap
2
( )=
+3
+
; ganjil
2
( −1 0 ) = 2
(
+1 ) = 2 − 1 −
dengan 0
− 2.
Ambil sembarang
dengan
+1
0
− 2 dan ganjil maka
+
=
+1
+1 +
( + 1) + 2
+3
+
=
+
2
2
+(2 − 1 − )
+3
+3
= +
+
+2 −1−
2
2
= + +3+2 −1−
= +2 +2
−1
+2 +2
=
2
−1+4 +4
=
2
5 +3
=
2
dan untuk −1 0
= ( −1 ) + ( 0 ) + ( −1 0 )
0+2
( − 1) + 2
+
+ 2
=
2
2
+3
=
+2
2
+3+4
=
2
5 +3
=
2
Karena
ganjil maka 5 ganjil,
sehingga 5 + 3 haruslah genap.
5 +3
Akibatnya
bilangan bulat, maka
2
bilangan bulat. Jadi, adalah pelabelan
super edge magic dengan magic
5 +3
number =
.
2


Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih
memahami Teorema 3.2. Ada beberapa
ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya
proses pelabelan edge magic dan pelabelan
super edge magic pada graf cycle diperoleh
dengan mencoba-coba semua kemungkinan
label yang ada.
Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf
�4 dengan banyaknya simpul 4 dan
banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti
pada Gambar 14.
�4 :

a

b

d

c

Gambar 14 Graf cycle ber-order 4.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic
maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf �4
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
=6
=3
=7
=8
Dipilih = 15, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 6 + 7 + 2 = 15
+
+
= 7 + 3 + 5 = 15
+
+
= 3 + 8 + 4 = 15
+
+
= 6 + 8 + 1 = 15
dan dapat digambarkan sebagai berikut
6
2

1

7

8
5

4
3

Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf
�4 .

Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf �5
dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya
sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada
Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf
edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpulsimpul pada graf �5 dipadankan dengan suatu
nilai, yaitu

8

= 10
=8
=6
=4
=2
Dipilih = 17, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 10 + 6 + 1 = 17
+
+
= 6 + 2 + 9 = 17
+
+
= 2 + 8 + 7 = 17
+
+
= 8 + 4 + 5 = 17
+
+
= 10 + 4 + 3 = 17
dan dapat digambarkan sebagai berikut

�6 :

f

a

b

e

c

d

Gambar 18 Graf cycle ber-order 6.

10
3

1
6

4
9

5

2

8

7

Gambar 16 Pelabelan edge magic pada graf
�5 .

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan
super edge magic maka dilabeli dengan
: � �5 →
: �5 → {1, 2, 3, 4, 5} dan
{6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada
graf �5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
=1
=2
=3
=4
=5
Karena graf �5 ber-order 5 dan 5 merupakan
bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema
3.2 diperoleh graf �5 super edge magic maka
5 +3
= 14 dan diperoleh label
berlaku =
2
sisi, sehingga
+
+
= 1 + 3 + 10 = 14
+
+
= 3 + 5 + 6 = 14
+
+
= 5 + 2 + 7 = 14
+
+
= 2 + 4 + 8 = 14
+
+
= 1 + 4 + 9 = 14
dan dapat digambarkan sebagai berikut
1
9

10
3

4
8

6
5

7

2

Gambar 17 Pelabelan super edge magic pada
graf �5 .

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf �6
dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya
sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada
Gambar 18.

Untuk memperoleh pelabelan edge magic
maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul
pada graf �6 dipadankan dengan suatu nilai,
yaitu
=7
=6
=2
=5
= 10
= 12
Dipilih = 20, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 7 + 2 + 11 = 20
+
+
= 2 + 10 + 8 = 20
+
+
= 10 + 6 + 4 = 20
+
+
= 6 + 5 + 9 = 20
+
+
= 5 + 12 + 3 = 20
+
+
= 7 + 12 + 1 = 20
dan dapat digambarkan sebagai berikut
7

12

1

3

11
2

5
8

9
10

4

6

Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf
�6 .

Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf
�7 dengan banyaknya simpul 7 dan
banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai
berikut
�7 :

a
b

g

c

f

d

e

Gambar 20 Graf cycle ber-order 7.

9

Untuk memperoleh pelabelan edge magic
maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpulsimpul pada graf �7 dipadankan dengan suatu
nilai, yaitu
= 14
= 10
=6
=3
=5
=7
=4
Dipilih = 22, maka diperoleh label sisi,
sehingga
+
+
= 14 + 6 + 2 = 22
+
+
= 6 + 5 + 11 = 22
+
+
= 5 + 4 + 13 = 22
+
+
= 4 + 10 + 8 = 22
+
+
= 10 + 3 + 9 = 22
+
+
= 3 + 7 + 12 = 22
+
+
= 14 + 7 + 1 = 22
dan dapat digambarkan sebagai berikut
14
2

1

6

7

11

12

5

3
13

9
4

8

10

1
5

4
8

12
2

7
11

9
6

3

10

Gambar 22 Pelabelan super edge magic pada
graf �7 .

Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa
� dengan order
genap yaitu �4 dan �6
merupakan graf edge magic, dan �4 bukan
graf super edge magic (bukti dapat dilihat
dilampiran). Sedangkan � dengan order
ganjil yaitu �5 dan �7 merupakan graf edge
magic dan graf super edge magic.
Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema
3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan
graf super edge magic. Sebelum membuktikan
Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara
pelabelan edge magic pada suatu graf wheel.
Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5
dengan bentuk seperti pada Gambar 23.
5:

Gambar 21 Pelabelan edge magic pada graf
�7 .

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan
super edge magic maka graf �7 dilabeli
dengan
: �7 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan
: � �7 → {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
Misalkan simpul-simpul pada graf �7
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
=1
=3
=5
=7
=2
=4
=6
Karena graf �7 dengan order 7 dan 7
merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan
Teorema 3.2 diperoleh graf �7 super edge
5 +3
= 19 dan
magic maka berlaku
=
2
diperoleh label sisi, sehingga
+
+
= 1 + 5 + 13 = 19
+
+
= 5 + 2 + 12 = 19
+
+
= 2 + 6 + 11 = 19
+
+
= 6 + 3 + 10 = 19
+
+
= 3 + 7 + 9 = 19
+
+
= 7 + 4 + 8 = 19
+
+
= 1 + 4 + 14 = 19
dan dapat digambarkan seperti pada Gambar
22.

14

13

v1

v4

v0

v2

v3

Gambar 23 Graf wheel ber-order 5.
Untuk memperoleh pelabelan edge magic
maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpulsimpul pada graf 5 dipadankan dengan suatu
nilai, yaitu
3 = 1
0 = 7
4 = 12
1 = 4
2 = 11
Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi,
sehingga
1 2 = 4 + 11 + 6
2 +
1 +
= 21
+
+
2 3 = 11 + 1 + 9
3
2
= 21
+
+
3 4 = 1 + 12 + 8
4
3
= 21

10

= 12 + 4 + 5
= 21
0 1 = 7 + 4 + 10
1 +
0 +
= 21
0 2 = 7 + 11 + 3
2 +
0 +
= 21
0 3 = 7 + 1 + 13
3 +
0 +
= 21
0 4 = 7 + 12 + 2
4 +
0 +
= 21
dan dapat digambarkan seperti berikut
4

+

1

+

4 1

4
5

7

2

12

6

10

11

3
8

13

9

1

Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf
5.
Berikut diberikan beberapa contoh cara
untuk memperoleh nilai .
Untuk 6 seperti pada Gambar 26, karena 6
memiliki 10 sisi maka
10 =
2 + ( 1 2)
1 +
+
3 + ( 2 3)
2 +
+
4 + ( 3 4)
3 +
+ 4 +
5 + ( 4 5)
+
1 + ( 5 1)
5 +
+
+
1 + ( 0 1)
0
+
+
2 + ( 0 2)
0
+
+
3 + ( 0 3)
0
+
+
4 + ( 0 4)
0
+
+
5 + ( 0 5)
0
+
=
2
1 +
1 +
1
+
3
3 +
2 +
2 +
+
3 + ( 4) + ( 4) + ( 4)
+
0
5 +
5 +
5 +
+
0
0 +
0 +
0 +
+
3 4
2 3 +
1 2 +
+ 4 5 +
0 1
5 1 +
+
0 4
0 3 +
0 2 +
+ ( 0 5)
=2
3 + 2 ( 4)
2 +2
1 +2
+
+
4
+2
1
0 +
0
5
+
(
)
+
+
+
4
5
3
2
+
3 4
2 3 +
1 2 +
+ 4 5 +
0 1
5 1 +
+
0 4
0 3 +
0 2 +
+ ( 0 5)
5

=2

16

+ 4 ( 0) +
=1

=1

Untuk 7 seperti pada Gambar 8, karena 7
memiliki 12 sisi maka
12 =
2 + ( 1 2)
1 +
+
3 + ( 2 3)
2 +
+
4 + ( 3 4)
3 +
+ 4 +
5 + ( 4 5)
+
6 + ( 5 6)
5 +
+
1 + ( 6 1)
6 +
+
1 + ( 0 1)
0 +
+
2 + ( 0 2)
0 +
+
+
3 + ( 0 3)
0
+
+
4 + ( 0 4)
0
+
+
5 + ( 0 5)
0
+
+
6 + ( 0 6)
0
+
=
2
1 +
1 +
1
+
+
+
3
3 +
2
2
+
3 + ( 4) + ( 4) + ( 4)
+
6
5 +
5 +
5 +
+
0
0 +
6 +
6 +
+
0
0 +
0 +
0 +
+
3 4
2 3 +
1 2 +
+ 4 5 +
5 6 + ( 6 1)
+
0 3
0 2 +
0 1 +
+
0 4 + ( 0 5) + ( 0 6)
=2
3 + 2 ( 4)
2 +2
1 +2
+
5
+
2
+2
0
0 +
6
5
+
+
+
+
4
3
2
1
+
2 3
1 2 +
6 +
5 +
+
+
+
5 6
4 5
3 4
+ ( 6 1) +
0 2
0 1 +
+
+
0 4 + ( 0 5)
0 3
+ ( 0 6)
6

19

=2

+ 5 ( 0) +
=1

=1

Dilihat dari beberapa contoh di atas maka
bentuk umum untuk setiap graf
adalah
sebagai berikut
2( − 1) =
1 2
2 +
1 +
+
( 2 3)
+
+
3
2
+
+
+
+

−2

0
0

−1

+
+

+
+

1
1
2

−1

+

+

+
+

0 1

−2

−1

−1 1

0 2

0
−1
−1 +
0 +
=2
2 +
1 +2
−2
+2
0 +
−1 +
+ ( −1 ) +
+
1
1 +
+
+
−2
−1
2 3 +
+
−1 1 +
0 1 +
0
+ +
0
−1

+
2

2

−1

−1

=2

−1

+

=1

+

−2

0
2
2

3 −2
=1

( 0)

(1)

11

Cara tersebut akan digunakan untuk
mempermudah pembuktian Teorema 3.3.
Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3.

Dari persamaan tersebut diperoleh
3 −2

−1

=2

=1

3 −2

=1
3 −2

Akan dibuktikan:
(i) Graf wheel
dengan order bukan
graf super edge magic.
(ii) Graf wheel
dengan
0 mod 4
bukan graf edge magic.

2

−1

=2

−1

+

=1

+

−2

=

=

3 4 −2
=1
12 −2

=1

=1

1
12 − 2 (12 − 1)
2
1
= 2 6 − 1 12 − 1
2
= 6 − 1 (12 − 1)
= 72 2 − 18 + 1
= 2 36 2 − 9 + 1
=2 +1
dengan
bilangan bulat. Jadi
merupakan bilangan ganjil.
Sedangkan
=

2

−1

−2

−1



=1

3 −2
=1

− 2 ( 0)

(2)
Karena
0 mod 4, yang berarti
= 4 untuk suatu bilangan bulat ,
maka
= 4 − 2 ( 0)
−2
= 2 2 − 1 ( 0)
merupakan bilangan genap. Akibatnya
persamaan (2) merupakan bilangan
genap, sehingga terjadi kontradiksi.
Akibatnya pengandaian salah, maka
bukan merupakan graf edge magic.

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih
memahami Teorema 3.3. Ada beberapa
ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya
proses pelabelan edge magic pada graf wheel
diperoleh dengan mencoba-coba semua
kemungkinan label yang ada.
4:

v1

3 −2

v0

=1

( 0)

=1

− − 2 ( 0)
Misalkan
0 mod 4 maka
dapat
ditulis = 4 dengan ∈ ℤ sehingga

Teorema 3.3
Graf wheel
dengan order bukan graf
super edge magic. Bahkan
dengan
0
mod 4 bukan graf edge magic.
(Enomoto et al. 1998)

Bukti :
(i) Misalkan diberikan graf wheel
dengan order . Dengan Lema 3.1 akan
dibuktikan
bukan graf super edge
magic.
Bukti :
Misalkan
memiliki simpul dan
→ {1, 2, … , } dan
sisi, maka
→ { + 1, + 2, … , + }.

Andaikan
merupakan graf super edge
magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh
|−3
| 2

=
Sedangkan diketahui bahwa
= 2 − 2, akibatnya
dan �
|−3
| 2|
|�
2 −2 2 −3
−2 −3
terjadi
kontradiksi.
Akibatnya
pengandaian salah, maka
bukan graf
super edge magic.
(ii) Misalkan diberikan graf wheel
dengan order dan
0 mod 4. Akan
dibuktikan
bukan graf edge magic.
Bukti :
Andaikan
adalah graf edge magic
artinya ada pelabelan edge magic
dengan
sebagai magic number,
sehingga = ( ) + ( ) + ( ).
= { 0 , 1 , … , −1 } dan
Misalkan
−2 ∪
=

+1 1
− 1}
−1 1 ∪ { 0 |1
dengan deg 0 = − 1.
Karena untuk setiap
∈ �( ) berlaku
= ( ) + ( ) + ( ) dan untuk
setiap
berlaku

−2

−1

v3

v2

Gambar 25 Graf wheel ber-order 4.

12

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 4 dengan bentuk seperti pada
Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada
graf 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
0 1 =8
1 2 = 10
0 = 5
0 2 =7
2 3 =4
1 = 2
0 3 = 9
3 1 =6
2 = 3
3 = 1
sehingga diperoleh
1 2 = 2 + 3 + 10
2 +
1 +
= 15
+
+
2 3 =3+1+4= 8
3
2
+
+
3 1 = 1 + 5 + 6 = 12
1
3
+
+
0 1 = 5 + 2 + 8 = 15
1
0
0 2 = 5 + 3 + 7 = 15
2 +
0 +
0 3 = 5 + 1 + 9 = 15
3 +
0 +
Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf
4 bukan graf edge magic.
Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada
Gambar 26.
6:

v1

= 7 + 11 + 3
= 21
0 4 = 7 + 4 + 10
4 +
0 +
= 21
0 5 = 7 + 1 + 13
5 +
0 +
= 21
dan dapat digambarkan sebagai berikut
0

+

3

+

0 3

5
15

9

14

13

1

10

16
4

2

12

7

8

3
6

11

Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf
6.
Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada
Gambar 28.
8:

v1
v5

v2

v0

v7

v2
v0

v6
v4

v3

v3

Gambar 26 Graf wheel ber-order 6.
Graf tersebut akan dilabeli sehingga
memiliki graf edge magic. Simpul-simpul
pada graf 6 dipadankan dengan suatu nilai,
yaitu
3 = 11
0 = 7
=
5
4 =4
1
5 = 1
2 = 2
Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi,
sehingga
1 2 = 5 + 2 + 14
2 +
1 +
= 21
2 3 = 2 + 11 + 8
3 +
2 +
= 21
+
+
3 4 = 11 + 4 + 6
4
3
= 21
+
+
4 5 = 4 + 1 + 16
5
4
= 21
+
+
5 1 = 1 + 5 + 15
1
5
= 21
0 1 = 7+5+9
1 +
0 +
= 21
0 2 = 7 + 2 + 12
2 +
0 +
= 21

v5

v4

Gambar 28 Graf wheel ber-order 8.
Misalkan simpul-simpul pada graf
4
dipadankan dengan suatu nilai, yaitu
0 1 = 16
1 2 = 15
0 = 10
0 2 =7
2 3 =8
1 = 2
0 3 =3
3 4 = 18
2 = 11
0 4 = 14
4 5 = 19
3 = 9
0 5 = 13
5 6 = 22
4 =4
0 6 = 17
6 7 = 21
5 = 5
=
20
=
1
0 7 = 12
7 1
6
=
6
7
sehingga diperoleh
1 2 = 2 + 11 + 15
2 +
1 +
= 28
2 3 = 11 + 9 + 8
3 +
2 +
= 28
3 4 = 9 + 4 + 18
4 +
3 +
= 31
4 5 = 4 + 5 + 19
5 +
4 +
= 28
5 6 = 5 + 1 + 22
6 +
5 +
= 28

13

= 1 + 6 + 21
= 28
7 1 = 6 + 2 + 20
1 +
7 +
= 28
0 1 = 10 + 2 + 16
1 +
0 +
= 28
0 2 = 10 + 11 + 7
2 +
0 +
= 28
0 3 = 10 + 9 + 3
3 +
0 +
= 22
+
+
0 4 = 10 + 4 + 14
4
0
= 28
+
+
0 5 = 10 + 5 + 13
5
0
= 28
+
+
0 6 = 10 + 1 + 17
6
0
= 28
+
+
0 7 = 10 + 6 + 12
7
0
= 28
Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf
8 bukan graf edge magic.
Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29.
6

+

7

+

6 7

9:

v1

v2

= 1 + 22 + 16
= 39
6 7 = 22 + 2 + 15
7 +
6 +
= 39
7 8 = 2 + 23 + 14
8 +
7 +
= 39
8 1 = 23 + 7 + 9
1 +
8 +
= 39
0 1 = 13 + 7 + 19
1 +
0 +
= 39
+
+
0 2 = 13 + 20 + 6
2
0
= 39
+
+
0 3 = 13 + 8 + 18
3
0
= 39
+
+
0 4 = 13 + 21 + 5
4
0
= 39
+
+
0 5 = 13 + 1 + 25
5
0
= 39
0 6 = 13 + 22 + 4
6 +
0 +
= 39
0 7 = 13 + 2 + 24
7 +
0 +
= 39
0 8 = 13 + 23 + 3
8 +
0 +
= 39
dan dapat digambarkan sebagai berikut
5

+

+

6

5 6

7

20

12

11

9

v8

v3

6

19
23

v0

14

v7

24
2

21

25

4
15

19

v5
22

Gambar 29 Graf wheel ber-order 9.
Graf tersebut akan dilabeli sehingga
memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf 9 dipadankan dengan suatu
nilai, yaitu
5 = 1
0 = 13
6 = 22
1 = 7
7 = 2
2 = 20
8 = 23
3 = 8
=
21
4
Dipilih = 39, maka diperoleh label sisi,
sehingga
1 2 = 7 + 20 + 12
2 +
1 +
= 39
+
+
2 3 = 20 + 8 + 11
3
2
= 39
3 4 = 8 + 21 + 10
4 +
3 +
= 39
4 5 = 21 + 1 + 19
5 +
4 +
= 39

10

5

v4

v6

8

18

13

3

16

1

Gambar 30 Pelabelan edge magic pada
graf 9 .
Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf
wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti
pada Gambar 31.
11 :

v1
v2

v10

v9

v3

v0

v4

v8

v7

v5
v6

Gambar 31 Graf wheel ber-order 11.

14

Graf tersebut akan dilabeli sehingga
memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf 11 dipadankan dengan
suatu nilai, yaitu
6 = 4
0 = 14
7 = 22
1 = 23
8 = 5
2 = 2
9 = 25
3 = 26
=
3
10 = 8
4
=
31
5
Dipilih = 46, maka diperoleh label sisi,
sehingga
1 2 = 23 + 2 + 21
2 +
1 +
= 46
2 3 = 2 + 26 + 18
3 +
2 +
= 46
3 4 = 26 + 3 + 17
4 +
3 +
= 46
4 5 = 3 + 31 + 12
5 +
4 +
= 46
5 6 = 31 + 4 + 11
6 +
5 +
= 46
+
+
6 7 = 4 + 22 + 20
7
6
= 46
+
+
7 8 = 22 + 5 + 19
8
7
= 46
+
+
8 9 = 5 + 25 + 16
9
8
= 46
9 10 = 25 + 8 + 13
10 +
9 +
= 46
10 1 = 8 + 23 + 15
1 +
10 +
= 46
0 1 = 14 + 23 + 9
1 +
0 +
= 46
0 2 = 14 + 2 + 30
2 +
0 +
= 46
+
+
0 3 = 14 + 26 + 6
3
0
= 46

= 14 + 3 + 29
= 46
0 5 = 14 + 31 + 1
5 +
0 +
= 46
0 6 = 14 + 4 + 28
6 +
0 +
= 46
0 7 = 14 + 22 + 10
7 +
0 +
= 46
0 8 = 14 + 5 + 27
8 +
0 +
= 46
+
+
0 9 = 14 + 25 + 7
9
0
= 46
+
+
0 10 = 14 + 8 + 24
10
0
= 46
dan dapat digambarkan sebagai berikut
+

0

+

4

0 4

23
8

21

15

13

9

25
16

26

6

14

7

18

30

24

2

17

29
27

5

3

1
10

19
22

28

20

12
11

31

4

Gambar 32 Pelabelan edge magic pada
graf 11 .
Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat
dilihat bahwa
dengan order dan
0
mod 4 yaitu 4 dan 8 bukan graf edge
magic. Sedangkan
dengan order
dan
0 mod 4 yaitu
,
,
dan
6
9
11
merupakan graf edge magic.

IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan
bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki
pelabelan graf yang super edge magic. Selain
itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle �
adalah graf super edge magic jika dan hanya
jika bilangan ganjil. Graf � dengan order
bilangan genap tidak dapat ditunjukkan
mempunyai pelabelan super edge magic
hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge
magic-nya.
Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan
bahwa graf wheel
dengan order bukan

graf super edge magic, bahkan
dengan
0 mod 4 bukan graf edge magic. Graf
wheel
hanya memiliki pelabelan edge
magic pada saat
0 mod 4, sedangkan graf
dengan order dan
0 mod 4 bukan
graf edge magic.
Suatu graf � memiliki pelabelan super
edge magic jika graf tersebut memiliki
pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku
untuk sebaliknya, yaitu suatu graf � yang
memiliki pelabelan edge magic belum tentu
memiliki pelabelan super edge magic.

15

4.2 Saran
Karya ilmiah ini membahas pelabelan
super edge magic pada graf cycle dan graf
wheel. Bagi yang berminat membuat karya
ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan

super edge magic dapat mencari pada graf
selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya
pada graf complete, graf complete bipartite,
graf Petersen yang diperumum, atau pada graf
yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied
and Algorithmic Graph Theory. New
York: McGraw-Hill.
Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T,
Ringel G. 1998. Super edge-magic
graphs. SUT Journal of Mathematics
34: 105-109.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications.
New York: Springer-Verlag.
Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of
wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153167.

16

LAMPIRAN

17

Lampiran 1 bukti graf �4 bukan graf super edge magic.

Misalkan diberikan graf �4 dengan
banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4,
dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14.
Untuk memperoleh pelabelan super edge
magic maka simpul dan sisinya dilabeli
dengan : �4 → {1, 2, 3, 4} dan : � �4 →
{5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk
melabeli graf �4 , di antaranya:
(i) Misalkan
= 4 dan
= 3, maka
yang mungkin adalah
=8
dan
=
+
+ ( )
= 4+3+8
= 15
Untuk
= 2 dan
= 1 tidak ada
nilai yang mungkin, sehingga
+
+
= 15
3 + 2 + ( ) = 15
( ) = 10
+
+
= 15
2 + 1 + ( ) = 15
( ) = 12
+
+
= 15
4 + 1 + ( ) = 15
( ) = 10
( ) = ( ) = 10 dan ( ) = 12
tidak mungkin karena
: �4 →
{1, 2, 3, 4} dan : � �4 → {5, 6, 7, 8},
dan dapat digambarkan sebagai berikut
4

8
3

1

2

Gambar 33 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 2,
= 1, dan
= 8.
Sedangkan untuk
= 1 dan
=
2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga
+
+
= 15
3 + 1 + ( ) = 15
( ) = 11
+
+
= 15
1 + 2 + ( ) = 15
( ) = 12
+
+
= 15
4 + 2 + ( ) = 15
( )=9

( ) = 11, ( ) = 12, dan ( ) =
9 tidak mungkin karena : �4 →
{1, 2, 3, 4} dan : � �4 → {5, 6, 7, 8},
dan dapat digambarkan sebagai berikut
4

8
3

2

1

Gambar 34 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 1,
= 2, dan
= 8.
(ii) Misalkan
= 4 dan
= 3, maka
yang mungkin adalah
=7
dan
=
+
+ ( )
= 4+3+7
= 14
Untuk
= 2 dan
= 1 tidak ada
nilai yang mungkin, sehingga
+
+
= 14
3 + 2 + ( ) = 14
( )=9
+
+
= 14
2 + 1 + ( ) = 14
( ) = 11
+
+
= 14
4 + 1 + ( ) = 14
( )=9
( ) = ( ) = 9 dan
( ) = 11
tidak mungkin karena
: �4 →
{1, 2, 3, 4} dan : � �4 → {5, 6, 7, 8},
dan dapat digambarkan sebagai berikut
4

7
3

1

2

Gambar 35 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 2,
= 1, dan
= 7.

18

Sedangkan untuk
= 1 dan
=
2 ada nilai yang mungkin, yaitu
+
+
= 14
4 + 2 + ( ) = 14
( )=8
Ada dua kemungkinan untuk
( )
yaitu 5 dan 6. Jika ( ) = 5 maka
=
+
+ ( )
= 3+1+5
=9
Jika ( ) = 6 maka
=
+
+ ( )
= 3+1+6
= 10
Karena untuk
= 5 yaitu = 9
dan
= 6 yaitu
= 10, maka
= 14 tidak dipenuhi. Dengan cara
yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 6
maka = 14 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
4
8

7
3

2

1

Gambar 36 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 1,
= 2,
= 7, dan
= 8.
(iii) Misalkan
= 4 dan
= 3, maka
yang mungkin adalah
=6
dan
=
+
+ ( )
= 4+3+6
= 13
Untuk
= 2 dan
= 1 ada nilai
yang mungkin, yaitu
+
+
= 13
4 + 1 + ( ) = 13
( )=8
+
+
= 13
3 + 2 + ( ) = 13
( )=8
Karena ada nilai yang sama yaitu
( )= ( )=8
maka
syarat
pelabelan super edge magic tidak
dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak
mungkin juga, yaitu
+
+
= 13
2 + 1 + ( ) = 13
( ) = 10

Sehingga dapat digambarkan sebagai
berikut
4
6
3

1

2

Gambar 37 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 2,
= 1, dan
= 6.
Sedangkan untuk
= 1 dan
=
2 ada nilai yang mungkin, yaitu
+
+
= 13
4 + 2 + ( ) = 13
( )=7
Ada dua kemungkinan untuk
( )
yaitu 5 dan 8. Jika ( ) = 5 maka
=
+
+ ( )
= 3+1+5
=9
Jika ( ) = 8 maka
=
+
+ ( )
= 3+1+8
= 12
Karena untuk
= 5 yaitu = 9
dan
= 8 yaitu
= 12, maka
= 13 tidak dipenuhi. Dengan cara
yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 8
maka = 13 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
4
7

6
3

2

1

Gambar 38 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 1,
= 2,
= 6, dan
= 7.
(iv) Misalkan
= 4 dan
= 3, maka
yang mungkin adalah
=5
dan
=
+
+ ( )
= 4+3+5
= 12

19

Untuk
= 2 dan
= 1 ada nilai
yang mungkin, yaitu
+
+
= 12
4 + 1 + ( ) = 12
( )=7
+
+
= 12
3 + 2 + ( ) = 12
( )=7
Karena ada nilai yang sama yaitu
( )= ( )=7
maka
syarat
pelabelan super edge magic tidak
dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak
mungkin juga, yaitu
+
+
= 12
2 + 1 + ( ) = 12
( )=9
Dan dapat digambarkan sebagai berikut
4
5
3

1

2

Gambar 39 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 2,
= 1, dan
= 5.
Sedangkan untuk
= 1 dan
2 ada nilai yang mungkin, sehingga
+
+
= 12
3 + 1 + ( ) = 12
=8
+
+
= 12
4 + 2 + ( ) = 12
( )=6

6

3

2
8
1

Gambar 40 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 4,
= 3,
( ) = 1,
= 2,
= 5,
= 8, dan
= 6.
Kemungkinan untuk
sehingga

(v) Misalkan
= 1 dan
= 2, maka
yang mungkin adalah
=8
dan
=
+
+ ( )
= 1+2+8
= 11
Untuk
= 3 dan
= 4 ada nilai
yang mungkin, sehingga
+
+
= 11
2 + 3 + ( ) = 11
( )=6
+
+
= 11
3 + 4 + ( ) = 11
( )=4
+
+
= 11
1 + 4 + ( ) = 11
( )=6
Karena ada nilai yang sama yaitu
( )= ( )=6
dan
( )=
= 4 maka syarat pelabelan super
edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
1

=

4
5

=
+
+
= 1+2+7
= 10
Karena untuk
= 7 yaitu = 10
maka = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan seperti pada Gambar 40.

yaitu 7,

8
2

4
6
3

Gambar 41 Graf �4 yang dilabeli
dengan
= 1,
= 2,
( ) = 3,
= 4,
= 8, dan
= 6.
Sedangkan untuk
= 4 dan
=
3 ada nilai yang mungkin, sehingga
+
+
= 11
2 + 4 + ( ) = 11
=5
+
+
= 11
1 + 3 + ( ) = 11
( )=7
Kemungkinan untuk
yaitu 6,
sehingga
=
+
+
= 4+3+6
= 13

20

Karena untuk
= 6 yaitu = 13
maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat
digambarkan sebagai berikut
1

Dokumen yang terkait

Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel