Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel

1

NURUL NUR INDAH SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

2

Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2,… , } serta himpunan sisinya dipetakan ke { + 1, + 2,… , + }, dengan adalah banyaknya simpul dan adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf wheel dengan order bukan graf super edge magic, bahkan dengan 0 mod 4 bukan graf edge magic.

3

Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.

This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of vertices were mapped in to {1, 2,… , } and a set of edges were mapped in to { + 1, + 2,… , + }, in which is order and is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed.The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves that cycle graph � is super edge magic if and only if is odd. The second theorem proves that wheel graph of order is not super edge magic. Moreover is not edge magic if 0 mod

4.

4

NURUL NUR INDAH SARI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

5

Menyetujui,

Pembimbing I,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.

NIP. 19740915 199903 2 001

Pembimbing II,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 19651019 199103 2 002

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

6

shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan secara moril maupun materiil, motivasi, dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa dan dukungannya), serta keluarga besar dari Ibu dan Bapak (terima kasih atas doanya),

2. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, motivasi, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini),

3. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya),

4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya), 5. segenap dosen Departemen Matematika terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika terima kasih atas bantuannya,

7. teman-teman Matematika angkatan 44: Selvie, Resha, Fany, Anis, Sari, Ipul, Dora, Tanty, Yuyun, Titi, Wewe, Deva, Ndep, Ima, Lingga, Ruhyat, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Denda, Fajar, Rofi, Dian, Tyas, Della, Pandi, Lili, Ririh, Yuli, Nunuy, Iam, Lilis, Ayum, Wahyu, Fikri, Atik, Cita, Arina, Masay, Diana, Yogie, Aswin, Imam, Lugina, Yanti, Pepi, Aqil, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Na’im, Dhika, Nurus, Phunny, Ab, Siska, Indin, Olih, Tita, Lina, Lukman, Endro, Tendy, Ikhsan, Puying, Zae, dan Copa (terima kasih atas doa, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya),

8. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 (terima kasih atas semua ilmu dan bantuannya), 9. adik-adik Matematika angkatan 45 ( terima kasih atas bantuan dan dukungannya),

10. teman-teman B26 ( terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),

11. sahabat-sahabat terdekat: Fina, Nia, Echa, Tika, Lujeng, Rinal, Ayu, Lely, Anis, Agus, dan lainnya ( terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),

12. teman- teman FOSMA IPB, FOSMA Bogor, SHOT Bogor, GEMA Bogor, dan FKA Bogor (terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),

13. teman-teman Pondok Malea Atas (terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya), 14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Februari 2012

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Minahasa pada tanggal 8 Juli 1989 dari pasangan bapak Oyo Suhyono dan ibu Teti Rosmiati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pangandaran dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2009, Organisasi Mahasiswa Daerah Ciamis (OMDA PMGC) dan FOSMA IPB. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan, di antaranya panitia Masa Perkenalan Departemen, try out Pengantar Matematika, dan training ESQ mahasiswa baru.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 1

2.1 Teori Graf ... 1

2.2 Pelabelan Graf ... 3

III PEMBAHASAN ... 5

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 14

4.1 Simpulan ... 14

4.2 Saran ... 15

DAFTAR PUSTAKA ... 15

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Graf �= ( ,�) ... 1

2 Cycle ... 2

3 Graf � nontrivial ... 2

4 Graf cycle ber-order5 ... 2

5 Graf lengkap ber-order 5 ... 3

6 Union dari 2 graf ... 3

7 Join dari 2 graf ... 3

8 Graf wheel ber-order 7 ... 3

9 Graf cycle ber-order 3 ... 4

10 Pelabelan edge magic pada graf �3 ... 4

11 Pelabelan superedge magic pada graf �3 ... 4

12 Graf cycle ber-order 9 ... 6

13 Pelabelan super edge magic pada graf �9 ... 6

14 Graf cycle ber-order 4 ... 7

15 Pelabelan edge magic pada graf �4 ... 7

16 Pelabelan edge magic pada graf �5 ... 8

17 Pelabelan super edge magic pada graf �5 ... 8

18 Graf cycle ber-order 6 ... 8

19 Pelabelan edge magic pada graf �6 ... 8

20 Graf cycle ber-order 7 ... 8

21 Pelabelan edge magic pada graf �7 ... 9

22 Pelabelan super edge magic pada graf �7 ... 9

23 Graf wheel ber-order 5 ... 9

24 Pelabelan edge magic pada graf 5 ... 10

25 Graf wheel ber-order 4 ... 11

26 Graf wheel ber-order 6 ... 12

27 Pelabelan edge magic pada graf 6 ... 12

28 Graf wheel ber-order8 ... 12

29 Graf wheel ber-order 9 ... 13

30 Pelabelan edge magic pada graf 9 ... 13

31 Graf wheel ber-order 11 ... 13

32 Pelabelan edge magic pada graf 11 ... 14

33 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 8 . 17

34 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, dan = 8 . 17

35 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 7 . 17

36 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 7,

dan = 8 ... 18

37 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 6 . 18

38 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 6,

dan = 7 ... 18

39 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 5 . 19

40 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 5,

= 8, dan = 6 ... 19

41 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2, ( ) = 3, = 4, = 8,

dan = 6 ... 19

42 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2, ( ) = 4, = 3, = 8,

= 5, dan = 7 ... 20

43 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3, ( ) = 4, = 1, = 6,

dan = 8 ... 20

44 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3, ( ) = 1, = 4, = 8,

ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari matematika yang saat ini dikenal sebagai “Teori Graf”.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi, teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf.

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf,

antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib (magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic, pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic.

Pelabelan super edge magic pada suatu graf � yang memiliki simpul dan sisi adalah jika � memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan graf yang memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Ada satu lema dan dua teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan pelabelan graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis Enomoto et al. pada tahun 1998.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa

definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.

2.1 Teori Graf

Definisi 1 (Graf)

Suatu graf � adalah pasangan terurut

( ,�) dengan adalah himpunan takkosong dan berhingga dan � adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen . Graf � dinotasikan �= ( ,�). Elemen disebut simpul (vertex) sedangkan elemen � disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf � dinotasikan dengan (�), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf � dinotasikan dengan �(�).

(Foulds 1992) Graf yang dimaksud pada definisi tersebut adalah graf tak berarah artinya graf yang

sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1. �:

a

b c

d e

Gambar 1 Graf �= ( ,�).

Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah

(�) = { , , , , }

Definisi 2 (Order dan Size)

Misalkan diberikan graf �. Banyaknya simpul pada graf � disebut order dan banyaknya sisi pada graf � disebut size. Order dari graf � dinotasikan dengan | � | dan size dari graf � dinotasikan dengan |� � |.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari � = 5 dan � � = 5.

Definisi 3 (Incident dan Adjacent)

Misalkan diberikan graf �. Jika = { , }∈ �(�) dengan , ∈ (�) maka dan dikatakan adjacent di � dan dikatakan incident dengan dan .

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan = { , }∈ �(�)

maka dan dikatakan adjacent di � dan dikatakan incident dengan dan .

Definisi 4 (Degree)

Derajat (degree) dari suatu simpul pada graf � adalah banyaknya sisi yang incident dengan dan dinotasikan dengan deg .

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg = 2, deg = 3, deg = 3, deg = 1, dan deg = 1.

Definisi 5 (Walk)

Suatu walk pada graf � adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf � dengan bentuk

{ 1, 1, 2 , 2, 2, 3 , 3,…, −1, , } dan dapat dituliskan sebagai { 1, 2,…, } atau 1, 2,…, . Suatu walk yang menghubungkan 1 dengan dikatakan tertutup jika 1= . Jika 1≠ maka walk tersebut dikatakan terbuka.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk { , , , , { , }, , { , }, }.

Definisi 6 (Cycle)

Cycle pada suatu graf � adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf � yang terdiri atas tiga simpul, yaitu

a

c b

Gambar 2 Cycle.

Definisi 7 (Graf Nontrivial)

Suatu graf � disebut graf nontrivial jika suatu graf � memiliki order paling sedikit dua.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order 3.

�:

Gambar 3 Graf � nontrivial.

Definisi 8 (Graf Cycle)

Suatu graf ber-order dengan 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan � .

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber-order 5.

�5:

a

e

d c

b

Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.

Definisi 9 (Graf Lengkap)

Graf ber-order yang setiap dua simpulnya adjacent disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan � .

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh graf lengkap ber-order 5 seperti pada Gambar 5.

�5:

Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.

Definisi 10 (Union dari 2 Graf)

Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari �1 dan �2, dituliskan �1∪ �2, adalah graf yang memiliki �1∪ �2 = (�1)∪ (�2) dan � �1∪ �2 =�(�1)∪ �(�2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. �3∪3�1:

Gambar 6 Union dari 2 graf.

Definisi 11 (Join dari 2 Graf)

Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari �1 dan �2, dituliskan �1+�2, adalah graf

�1∪ �2 dimana setiap simpul di �1 adjacent dengan setiap simpul di �2 ditambah semua sisi bertipe 1 2 dengan 1∈ (�1) dan

2∈ (�2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. �4:

�1:

�4+�1:

Gambar 7 Join dari 2 graf.

Definisi 12 (Graf Wheel)

Untuk 4, graf wheel dengan order adalah join dari graf cycle � ₋1 ber-order

−1 dan graf lengkap (complete graph) �1 ber-order1.

(Fukuchi 2001) Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order

7. 7:

v0

v1 v2

v3

v4

v5

v6

Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.

2.2 Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.

Definisi 13 (Pelabelan Edge Magic)

Misalkan � graf dengan simpul dan sisi. Suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan

{1, 2,… , + ) disebut sebagai pelabelan edge magic pada � jika ada konstanta ∈ ℕ (disebut magic number ) sehingga ( ) + ( ) + ( ) = untuk setiap ∈ �(�).

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

�3:

a

c b

Gambar 9 Graf cycle ber-order 3. Misalkan simpul-simpul pada graf �3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 4 = 6 = 2

Dipilih = 11, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 4 + 6 + 1 = 11 + + = 4 + 2 + 5 = 11 + + = 6 + 2 + 3 = 11

dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a). Sedangkan untuk = 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai

= 6 = 5 = 4

sehingga diperoleh

+ + = 6 + 5 + 1 = 12 + + = 6 + 4 + 2 = 12 + + = 5 + 4 + 3 = 12

dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b). (a)

4

5

2 3

6 1

(b)

6 2

4 3

5 1

Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf �3.

Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

Definisi 14 (Pelabelan Super Edge Magic)

Misalkan � graf dengan simpul dan sisi, dan � memiliki pelabelan edge magic . Jika : � →{1, 2,… , } dan :� � → { + 1, + 2,… , + } maka disebut pelabelan super edge magic.

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan super edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic, maka : �₃ →{1, 2, 3}

dan :� �3 →{4, 5, 6}. Misalkan simpul-simpul pada graf �3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 3 = 2

Dipilih = 9, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 1 + 3 + 5 = 9 + + = 1 + 2 + 6 = 9 + + = 3 + 2 + 4 = 9

dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 6

2 4

3 5

Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf �3.

Definisi 15 (Graf Super Edge Magic)

Suatu graf � disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari �.

(Enomoto et al. 1998) Gambar 11 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic.

III PEMBAHASAN

Karya ilmiah ini membahas lema dan

teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.

Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Graf tersebut dilabeli dengan : �3 →

{1, 2, 3} dan :� �3 →{4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11.

Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya.

Lema 3.1

Jika � graf nontrivial yang super edge magic, maka |� � | 2| � |−3.

(Enomoto et al. 1998)

Bukti :

Misalkan � graf nontrivial yang super edge magic. Akan dibuktikan bahwa

|� � | 2| � |−3.

Misalkan � memiliki simpul dan sisi. Karena � graf yang super edge magic artinya ada konstanta sehingga ( ) + ( ) +

( ) = dan : (�)→{1, 2,… , },

:�(�)→{ + 1, + 2,… , + }. Maka akan dilihat nilai yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan yang maksimum dan minimumnya.

(i) Akan dilihat nilai yang maksimum. Pilih , ∈ (�) maka magic number yang maksimum yaitu = , karena magic number yang maksimum maka kemungkinan yang maksimum untuk

( ) ialah −1, sehingga diperoleh

+ = + −1

= � + (| � |−1)

Karena simpul yang maksimumnya maka

= + 1

= | � | + 1

Ini berarti

= + + = � + � −1 +(| � | + 1)

(ii) Akan dilihat nilai yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic number yang minimum yaitu = 1

dan untuk pilih magic number yang maksimum yaitu = + . Karena = 1 maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu = 1 + 1 = 2, sehingga diperoleh

= + +

= 1 + 2 + ( + )

= 1 + 2 + ( � + � � )

Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh

1 + 2 + � + � �

� + � −1 + (| � | + 1)

3 + | � | + |� � | 3| � |

|� � | 3| � |−3−| � | � � | 2 � |−3

∎ Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memenuhi |� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf �3 seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Jadi � � | = � | = 3 dan � � | = 3 2 � |−3

= 2 3 −3 = 3.

Graf �3 merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi

|� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf �4 seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf �4 adalah 4. Jadi

� � | = � | = 4 dan � � | = 4 2 � |−3

= 2 4 −3 = 5

Graf �4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi.

Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi

|� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf 5 seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi |� � | = 8, | � | = 5, dan

� � | = 8 2 � |−3

= 2 5 −3 = 7

Graf 5 bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi.

Lema 3.1 akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.

Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle.

Misalkan diberikan graf cycle ber-order9

�9: a i h g f e d c b

Gambar 12 Graf cycle ber-order 9. Graf �9 tersebut akan dilabeli dengan

: �9 →{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan

:� �9 →{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf �9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 8

= 6 = 4

= 2 = 9

= 7 = 5

= 3

Dipilih = 24, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 6 + 17 = 24 + + = 6 + 2 + 16 = 24 + + = 2 + 7 + 15 = 24 + + = 7 + 3 + 14 = 24 + + = 3 + 8 + 13 = 24 + + = 8 + 4 + 12 = 24 + + = 4 + 9 + 11 = 24 + + = 9 + 5 + 10 = 24 + + = 1 + 5 + 18 = 24 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 18 5 10 9 11 4 12 8 13 3 14 7 15 2 16 6 17 Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf �9. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf � memiliki pelabelan super edge magic. Teorema 3.2 Cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. (Enomoto et al. 1998) Bukti : ( ) Misalkan cycle � adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan bilangan ganjil. Bukti : Misalkan � adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic dengan sebagai magic number. Artinya ada konstanta sehingga ( ) + ( ) + ( ) = dan � →{1, 2,… , }, � � →{ + 1, + 2,… , + }. Karena setiap ∈ �(� ) berlaku = ( ) + ( ) + ( ) akibatnya = + + ∈� � = 2 ( )

∈ (� ) + ( ) ∈�(� ) = 2 1 + 2 + + + ( + 1 +( + 2) + + ( + ))

= 2 =1 + 2 = +1 = 2 =1 + 2 =1 − =1 = 2 + 1 2 + 2 (2 + 1) 2 − ( + 1) 2 = 2 + 1 2 + 4

2_{+ 2 −} 2₋

2 = 2 ( + 1)

2 +

3 2₊

2 = ( + 1) + (3 + 1)

2

Ini berarti

( + 1) = − (3 + 1) 2 ( + 1) = −3 + 1

2 + 1 = −3 + 1

2 3 + 1

2 = − −1

Karena dan adalah bilangan bulat maka 3 +1

3 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3

ganjil, maka bilangan ganjil. ∎ ( ) Misalkan adalah bilangan ganjil.

Akan dibuktikan cycle � adalah graf super edge magic.

Bukti :

Misalkan = 2 + 1 adalah bilangan ganjil dan diberikan graf cycle � . Dimisalkan juga

� = { 0, 1,…, −1}

� � =

{ 0 1, 1 2,…, −2 −1, −1 0}. Didefinisikan

( ) = + 2

2 ; genap + + 3

2 ; ganjil ( _{−1 0}) = 2

( +1) = 2 −1− dengan 0 −2.

Ambil sembarang +1 dengan

0 −2 dan ganjil maka

= + +1 + +1

= + + 3

2 +

( + 1) + 2 2 +(2 −1− ) = + + 3

2 + + 3

2 + 2 −1− = + + 3 + 2 −1− = + 2 + 2

= −1

2 + 2 + 2 = −1 + 4 + 4

2 =5 + 3

2

dan untuk _{−1 0}

= ( ₋1) + ( 0) + ( −1 0)

= ( −1) + 2

2 +

0 + 2

2 + 2

= + 3 2 + 2 = + 3 + 4

2 =5 + 3

2

Karena ganjil maka 5 ganjil, sehingga 5 + 3 haruslah genap. Akibatnya 5 +3

2 bilangan bulat, maka bilangan bulat. Jadi, adalah pelabelan super edge magic dengan magic number =5 +3

2 .

∎

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan super edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf �4 dengan banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14.

�4:

a

d

c b

Gambar 14 Graf cycle ber-order 4. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf �4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 6 = 3

= 7 = 8

Dipilih = 15, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 6 + 7 + 2 = 15 + + = 7 + 3 + 5 = 15 + + = 3 + 8 + 4 = 15 + + = 6 + 8 + 1 = 15

dan dapat digambarkan sebagai berikut 6

1 8 4 3 5 7

2

Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf �4.

Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf �5 dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpul-simpul pada graf �5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 10 = 8

= 6 = 4

= 2

Dipilih = 17, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 10 + 6 + 1 = 17 + + = 6 + 2 + 9 = 17 + + = 2 + 8 + 7 = 17 + + = 8 + 4 + 5 = 17 + + = 10 + 4 + 3 = 17

dan dapat digambarkan sebagai berikut 10

3 4 5 8 7 2 9 6

1

Gambar 16 Pelabelan edge magic pada graf �5.

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka dilabeli dengan

: �₅ →{1, 2, 3, 4, 5} dan :� �₅ → {6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada graf �5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 2

= 3 = 4

= 5

Karena graf �5 ber-order 5 dan 5 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf �5 super edge magic maka berlaku =5 +3

2 = 14 dan diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 1 + 3 + 10 = 14 + + = 3 + 5 + 6 = 14 + + = 5 + 2 + 7 = 14 + + = 2 + 4 + 8 = 14 + + = 1 + 4 + 9 = 14

dan dapat digambarkan sebagai berikut 1

9 4 8 2 7 5 6 3

10

Gambar 17 Pelabelan super edge magic pada graf �5.

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf �6 dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 18.

�6:

a

b

c d

e f

Gambar 18 Graf cycle ber-order 6. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul pada graf �6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 7 = 6

= 2 = 5

= 10 = 12

Dipilih = 20, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 7 + 2 + 11 = 20 + + = 2 + 10 + 8 = 20 + + = 10 + 6 + 4 = 20 + + = 6 + 5 + 9 = 20 + + = 5 + 12 + 3 = 20 + + = 7 + 12 + 1 = 20

dan dapat digambarkan sebagai berikut

7

2

10 6

5 12 1

11 3

9 8

4

Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf �6.

Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf �7 dengan banyaknya simpul 7 dan banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai berikut

�7:

a

g

f

e d

c b

Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpul-simpul pada graf �7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 14 = 10

= 6 = 3

= 5 = 7

= 4

Dipilih = 22, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 14 + 6 + 2 = 22 + + = 6 + 5 + 11 = 22 + + = 5 + 4 + 13 = 22 + + = 4 + 10 + 8 = 22 + + = 10 + 3 + 9 = 22 + + = 3 + 7 + 12 = 22 + + = 14 + 7 + 1 = 22

dan dapat digambarkan sebagai berikut

14 1

7 12

3 9 10 8

4 13 5

11 6

2

Gambar 21 Pelabelan edge magic pada graf �7.

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka graf �7 dilabeli dengan : �7 →{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan

:� �₇ →{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

Misalkan simpul-simpul pada graf �7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 3

= 5 = 7

= 2 = 4

= 6

Karena graf �7 dengan order 7 dan 7 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf �7 super edge magic maka berlaku =5 +3

2 = 19 dan diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 1 + 5 + 13 = 19 + + = 5 + 2 + 12 = 19 + + = 2 + 6 + 11 = 19 + + = 6 + 3 + 10 = 19 + + = 3 + 7 + 9 = 19 + + = 7 + 4 + 8 = 19 + + = 1 + 4 + 14 = 19

dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 22.

1 14

4 8

7 9 3 10

6 11 2

12 5

13

Gambar 22 Pelabelan super edge magic pada graf �7.

Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa � dengan order genap yaitu �4 dan �6 merupakan graf edge magic, dan �4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran). Sedangkan � dengan order ganjil yaitu �5 dan �7 merupakan graf edge magic dan graf super edge magic.

Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema 3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan edge magic pada suatu graf wheel.

Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5

dengan bentuk seperti pada Gambar 23. 5:

v3

v4

v0

v1

v2

Gambar 23 Graf wheel ber-order 5. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpul-simpul pada graf 5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 7 3 = 1

1 = 4 4 = 12

2 = 11

Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga

1 + 2 + 1 2 = 4 + 11 + 6

= 21

2 + 3 + 2 3 = 11 + 1 + 9

= 21

3 + 4 + 3 4 = 1 + 12 + 8

4 + 1 + 4 1 = 12 + 4 + 5

= 21

0 + 1 + 0 1 = 7 + 4 + 10

= 21

0 + 2 + 0 2 = 7 + 11 + 3

= 21

0 + 3 + 0 3 = 7 + 1 + 13

= 21

0 + 4 + 0 4 = 7 + 12 + 2

= 21

dan dapat digambarkan seperti berikut 4 6 11 9 1 8 12 5 ₁₀ 3 13 2 7

Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf 5.

Berikut diberikan beberapa contoh cara untuk memperoleh nilai .

Untuk 6 seperti pada Gambar 26, karena 6 memiliki 10 sisi maka

10 = 1 + 2 + ( 1 2)

+ ₂ + ₃ + ( _{2 3}) + 3 + 4 + ( 3 4)

+ ₄ + ₅ + ( _{4 5}) + 5 + 1 + ( 5 1)

+ 0 + 1 + ( 0 1)

+ 0 + 2 + ( 0 2)

+ 0 + 3 + ( 0 3)

+ 0 + 4 + ( 0 4)

+ 0 + 5 + ( 0 5)

= 1 + 1 + 1 + 2

+ ₂ + ₂ + ₃ + ₃

+ 3 + ( 4) + ( 4) + ( 4)

+ ₅ + ₅ + ₅ + ₀

+ 0 + 0 + 0 + 0

+ 1 2 + 2 3 + 3 4

+ 4 5 + 5 1 + 0 1

+ 0 2 + 0 3 + 0 4

+ ( _{0 5})

= 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 ( 4)

+2 5 + 4 0 + 0 + 1

+ 2 + 3 + ( 4) + 5

+ 1 2 + 2 3 + 3 4

+ _{4 5} + _{5 1} + _{0 1} + 0 2 + 0 3 + 0 4

+ ( 0 5)

= 2

5

=1

+ 4 ( ₀) +

16

=1

Untuk 7 seperti pada Gambar 8, karena 7 memiliki 12 sisi maka

12 = 1 + 2 + ( 1 2)

+ 2 + 3 + ( 2 3)

+ 3 + 4 + ( 3 4)

+ 4 + 5 + ( 4 5)

+ 5 + 6 + ( 5 6)

+ 6 + 1 + ( 6 1)

+ 0 + 1 + ( 0 1)

+ ₀ + ₂ + ( _{0 2}) + 0 + 3 + ( 0 3)

+ ₀ + ₄ + ( _{0 4}) + 0 + 5 + ( 0 5)

+ 0 + 6 + ( 0 6)

= ₁ + ₁ + ₁ + ₂

+ 2 + 2 + 3 + 3

+ 3 + ( 4) + ( 4) + ( 4)

+ 5 + 5 + 5 + 6

+ 6 + 6 + 0 + 0

+ 0 + 0 + 0 + 0

+ 1 2 + 2 3 + 3 4

+ _{4 5} + _{5 6} + ( _{6 1}) + 0 1 + 0 2 + 0 3

+ 0 4 + ( 0 5) + ( 0 6)

= 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 ( 4)

+2 5 + 2 6 + 5 0 + 0

+ ₁ + ₂ + ₃ + ₄

+ 5 + 6 + 1 2 + 2 3

+ _{3 4} + _{4 5} + _{5 6} + ( 6 1) + 0 1 + 0 2

+ 0 3 + 0 4 + ( 0 5)

+ ( 0 6)

= 2

6

=1

+ 5 ( 0) + 19

=1

Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf adalah sebagai berikut

2( −1) = ₁ + ₂ + _{1 2} + 2 + 3 + ( 2 3)

+ ₋2 + −1 + −2 −1

+ ₋₁ + 1 + −1 1

+ ₀ + ₁ + _{0 1} + 0 + 2 + 0 2

+ 0 + −1 + 0 −1

2 −1 = 2 1 + 2 2 +

+2 ₋1 + −2 0 + 0

+ 1 + + ( −1) + 1 2

+ _{2 3} + + _{−2 −1}

+ ₋1 1 + 0 1 + 0 2

+ + 0 −1

2 −1 = 2

−1

=1

+

3 −2 =1

Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema 3.3. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3.

Teorema 3.3

Graf wheel dengan order bukan graf super edge magic. Bahkan dengan 0

mod 4 bukan graf edge magic.

(Enomoto et al. 1998) Akan dibuktikan:

(i) Graf wheel dengan order bukan graf super edge magic.

(ii) Graf wheel dengan 0 mod 4

bukan graf edge magic.

Bukti :

(i) Misalkan diberikan graf wheel dengan order . Dengan Lema 3.1 akan dibuktikan bukan graf super edge magic.

Bukti :

Misalkan memiliki simpul dan sisi, maka →{1, 2,… , } dan

� →{ + 1, + 2,… , + }. Andaikan merupakan graf super edge magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh � | 2 |−3

Sedangkan diketahui bahwa =

dan � = 2 −2, akibatnya

|� | 2| |−3 2 −2 2 −3 −2 −3

terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka bukan graf super edge magic.

(ii) Misalkan diberikan graf wheel dengan order dan 0 mod 4. Akan dibuktikan bukan graf edge magic. Bukti :

Andaikan adalah graf edge magic artinya ada pelabelan edge magic dengan sebagai magic number, sehingga = ( ) + ( ) + ( ). Misalkan = { 0, 1,…, −1} dan

� = +1 1 −2 ∪

−1 1 ∪{ 0 |1 −1} dengan deg 0 = −1.

Karena untuk setiap ∈ �( ) berlaku

= ( ) + ( ) + ( ) dan untuk setiap berlaku

2 −1 = 2

−1

=1

+

3 −2 =1

+ −2 ( 0)

Dari persamaan tersebut diperoleh 3 −2

=1

= 2 −1 −2

−1

=1

− −2 ( 0)

Misalkan 0 mod 4 maka dapat ditulis = 4 dengan ∈ ℤ sehingga 3 −2

=1

=

3 4 −2

=1 3 −2

=1

=

12−2 =1

=1

2 12 −2 (12 −1) =1

2 2 6 −1 12 −1 = 6 −1 (12 −1) = 72 2−18 + 1 = 2 362_{−9 + 1}

= 2 + 1

dengan bilangan bulat. Jadi 3₌₁−2 merupakan bilangan ganjil.

Sedangkan

2 −1 −2

−1 =1

− −2 ( 0)

(2) Karena 0 mod 4, yang berarti

= 4 untuk suatu bilangan bulat , maka

−2 = 4 −2 ( 0) = 2 2 −1 ( 0)

merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan (2) merupakan bilangan genap, sehingga terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka bukan merupakan graf edge magic.

∎ Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.3. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

4:

v1

v0

v2

v3

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf wheel ber-order4 dengan bentuk seperti pada Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada graf 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 5 1 2 = 10 0 1 = 8 1 = 2 2 3 = 4 0 2 = 7 2 = 3 3 1 = 6 0 3 = 9 3 = 1

sehingga diperoleh

1 + 2 + 1 2 = 2 + 3 + 10

= 15

2 + 3 + 2 3 = 3 + 1 + 4 = 8 3 + 1 + 3 1 = 1 + 5 + 6 = 12 0 + 1 + 0 1 = 5 + 2 + 8 = 15 0 + 2 + 0 2 = 5 + 3 + 7 = 15 0 + 3 + 0 3 = 5 + 1 + 9 = 15 Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf

4 bukan graf edge magic.

Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada Gambar 26.

6:

v1

v2

v3

v4

v0

v5

Gambar 26 Graf wheel ber-order 6. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Simpul-simpul pada graf 6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 7 3 = 11

1 = 5 4 = 4

2 = 2 5 = 1

Dipilih = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga

1 + 2 + 1 2 = 5 + 2 + 14

= 21

2 + 3 + 2 3 = 2 + 11 + 8

= 21

3 + 4 + 3 4 = 11 + 4 + 6

= 21

4 + 5 + 4 5 = 4 + 1 + 16

= 21

5 + 1 + 5 1 = 1 + 5 + 15

= 21

0 + 1 + 0 1 = 7 + 5 + 9

= 21

0 + 2 + 0 2 = 7 + 2 + 12

= 21

0 + 3 + 0 3 = 7 + 11 + 3

= 21

0 + 4 + 0 4 = 7 + 4 + 10

= 21

0 + 5 + 0 5 = 7 + 1 + 13

= 21

dan dapat digambarkan sebagai berikut

5 14

2 8 11 6 4 16 1

15 ₉

7 12 3 13 10

Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf 6.

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada Gambar 28.

8:

v0

v2

v3

v1

v4

v5

v6

v7

Gambar 28 Graf wheel ber-order 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 10 1 2 = 15 0 1 = 16 1 = 2 2 3 = 8 0 2 = 7 2 = 11 3 4 = 18 0 3 = 3 3 = 9 4 5 = 19 0 4 = 14 4 = 4 5 6 = 22 0 5 = 13 5 = 5 6 7 = 21 0 6 = 17 6 = 1 7 1 = 20 0 7 = 12 7 = 6

sehingga diperoleh

1 + 2 + 1 2 = 2 + 11 + 15

= 28

2 + 3 + 2 3 = 11 + 9 + 8

= 28

3 + 4 + 3 4 = 9 + 4 + 18

= 31

4 + 5 + 4 5 = 4 + 5 + 19

= 28

5 + 6 + 5 6 = 5 + 1 + 22

6 + 7 + 6 7 = 1 + 6 + 21

= 28

7 + 1 + 7 1 = 6 + 2 + 20

= 28

0 + 1 + 0 1 = 10 + 2 + 16

= 28

0 + 2 + 0 2 = 10 + 11 + 7

= 28

0 + 3 + 0 3 = 10 + 9 + 3

= 22

0 + 4 + 0 4 = 10 + 4 + 14

= 28

0 + 5 + 0 5 = 10 + 5 + 13

= 28

0 + 6 + 0 6 = 10 + 1 + 17

= 28

0 + 7 + 0 7 = 10 + 6 + 12

= 28

Terdapat nilai yang berbeda, sehingga graf 8 bukan graf edge magic.

Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29.

9:

v0

v1 v2

v3 v4 v5 v6 v8 v7

Gambar 29 Graf wheel ber-order 9. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 13 5 = 1

1 = 7 6 = 22

2 = 20 7 = 2

3 = 8 8 = 23

4 = 21

Dipilih = 39, maka diperoleh label sisi, sehingga

1 + 2 + 1 2 = 7 + 20 + 12

= 39

2 + 3 + 2 3 = 20 + 8 + 11

= 39

3 + 4 + 3 4 = 8 + 21 + 10

= 39

4 + 5 + 4 5 = 21 + 1 + 19

= 39

5 + 6 + 5 6 = 1 + 22 + 16

= 39

6 + 7 + 6 7 = 22 + 2 + 15

= 39

7 + 8 + 7 8 = 2 + 23 + 14

= 39

8 + 1 + 8 1 = 23 + 7 + 9

= 39

0 + 1 + 0 1 = 13 + 7 + 19

= 39

0 + 2 + 0 2 = 13 + 20 + 6

= 39

0 + 3 + 0 3 = 13 + 8 + 18

= 39

0 + 4 + 0 4 = 13 + 21 + 5

= 39

0 + 5 + 0 5 = 13 + 1 + 25

= 39

0 + 6 + 0 6 = 13 + 22 + 4

= 39

0 + 7 + 0 7 = 13 + 2 + 24

= 39

0 + 8 + 0 8 = 13 + 23 + 3

= 39

dan dapat digambarkan sebagai berikut

7 ₁₂ 20

11 8 10 21 19 1 16 22 15 2 14 23 9 13 6 18 5 25 4 24 3 19

Gambar 30 Pelabelan edge magic pada

graf 9.

Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti pada Gambar 31.

11: v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 11 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

0 = 14 6 = 4

1 = 23 7 = 22

2 = 2 8 = 5

3 = 26 9 = 25

4 = 3 10 = 8

5 = 31

Dipilih = 46, maka diperoleh label sisi, sehingga

1 + 2 + 1 2 = 23 + 2 + 21

= 46

2 + 3 + 2 3 = 2 + 26 + 18

= 46

3 + 4 + 3 4 = 26 + 3 + 17

= 46

4 + 5 + 4 5 = 3 + 31 + 12

= 46

5 + 6 + 5 6 = 31 + 4 + 11

= 46

6 + 7 + 6 7 = 4 + 22 + 20

= 46

7 + 8 + 7 8 = 22 + 5 + 19

= 46

8 + 9 + 8 9 = 5 + 25 + 16

= 46

9 + 10 + 9 10 = 25 + 8 + 13

= 46

10 + 1 + 10 1 = 8 + 23 + 15

= 46

0 + 1 + 0 1 = 14 + 23 + 9

= 46

0 + 2 + 0 2 = 14 + 2 + 30

= 46

0 + 3 + 0 3 = 14 + 26 + 6

= 46

0 + 4 + 0 4 = 14 + 3 + 29

= 46

0 + 5 + 0 5 = 14 + 31 + 1

= 46

0 + 6 + 0 6 = 14 + 4 + 28

= 46

0 + 7 + 0 7 = 14 + 22 + 10

= 46

0 + 8 + 0 8 = 14 + 5 + 27

= 46

0 + 9 + 0 9 = 14 + 25 + 7

= 46

0 + 10 + 0 10 = 14 + 8 + 24

= 46

dan dapat digambarkan sebagai berikut 23 21 2 18 26 17 3 12 31 11 4 20 22 19 16 25 13 8 15 14 9 30 6 29 1 28 10 27 7 24 5

Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf 11.

Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat dilihat bahwa dengan order dan 0

mod 4 yaitu 4 dan 8 bukan graf edge magic. Sedangkan dengan order dan

0 mod 4 yaitu 6, 9, dan 11 merupakan graf edge magic.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Selain itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle � adalah graf super edge magic jika dan hanya jika bilangan ganjil. Graf � dengan order bilangan genap tidak dapat ditunjukkan mempunyai pelabelan super edge magic hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge magic-nya.

Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf wheel dengan order bukan

graf super edge magic, bahkan dengan

0 mod 4 bukan graf edge magic. Graf wheel hanya memiliki pelabelan edge magic pada saat 0 mod 4, sedangkan graf dengan order dan 0 mod 4 bukan graf edge magic.

Suatu graf � memiliki pelabelan super edge magic jika graf tersebut memiliki pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya, yaitu suatu graf � yang memiliki pelabelan edge magic belum tentu memiliki pelabelan super edge magic.

4.2 Saran

Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan

super edge magic dapat mencari pada graf selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied

and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill.

Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics 34: 105-109.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag.

Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153-167.

Lampiran 1 bukti graf �4 bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf �4 dengan

banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. Untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka simpul dan sisinya dilabeli dengan : �4 →{1, 2, 3, 4} dan :� �4 →

{5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk melabeli graf �4, di antaranya:

(i) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 8

dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 8

= 15

Untuk = 2 dan = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 15

3 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 10

+ + = 15

2 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 12

+ + = 15

4 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 10

( ) = ( ) = 10 dan ( ) = 12

tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

8

Gambar 33 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 2, = 1, dan = 8.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 15

3 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 11

+ + = 15

1 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 12

+ + = 15

4 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 9

( ) = 11, ( ) = 12, dan ( ) = 9 tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

8

Gambar 34 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 1, = 2, dan = 8.

(ii) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 7

dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 7

= 14

Untuk = 2 dan = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 14

3 + 2 + ( ) = 14 ( ) = 9

+ + = 14

2 + 1 + ( ) = 14 ( ) = 11

+ + = 14

4 + 1 + ( ) = 14 ( ) = 9

( ) = ( ) = 9 dan ( ) = 11

tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

7

Gambar 35 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 2, = 1, dan = 7.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 14

4 + 2 + ( ) = 14 ( ) = 8

Ada dua kemungkinan untuk ( )

yaitu 5 dan 6. Jika ( ) = 5 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 5

= 9

Jika ( ) = 6 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 6

= 10

Karena untuk = 5 yaitu = 9

dan = 6 yaitu = 10, maka

= 14 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 6

maka = 14 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

7 8

Gambar 36 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 1, = 2, = 7, dan = 8. (iii) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 6

dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 6

= 13

Untuk = 2 dan = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 13

4 + 1 + ( ) = 13 ( ) = 8

+ + = 13

3 + 2 + ( ) = 13 ( ) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu

( ) = ( ) = 8 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

+ + = 13

2 + 1 + ( ) = 13 ( ) = 10

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

6

Gambar 37 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 2, = 1, dan = 6.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 13

4 + 2 + ( ) = 13 ( ) = 7

Ada dua kemungkinan untuk ( )

yaitu 5 dan 8. Jika ( ) = 5 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 5

= 9

Jika ( ) = 8 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 8

= 12

Karena untuk = 5 yaitu = 9

dan = 8 yaitu = 12, maka

= 13 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 8

maka = 13 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

6 7

Gambar 38 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 1, = 2, = 6, dan = 7. (iv) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 5

dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 5

Untuk = 2 dan = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 12

4 + 1 + ( ) = 12 ( ) = 7

+ + = 12

3 + 2 + ( ) = 12 ( ) = 7

Karena ada nilai yang sama yaitu

( ) = ( ) = 7 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

+ + = 12

2 + 1 + ( ) = 12 ( ) = 9

Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4

1

2 3

5

Gambar 39 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 2, = 1, dan = 5.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 12

3 + 1 + ( ) = 12

= 8

+ + = 12

4 + 2 + ( ) = 12 ( ) = 6

4

2

1 3

5 6

8

Gambar 40 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3,

( ) = 1, = 2, = 5, = 8, dan

= 6.

Kemungkinan untuk yaitu 7, sehingga

= + + = 1 + 2 + 7

= 10

Karena untuk = 7 yaitu = 10

maka = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 40. (v) Misalkan = 1 dan = 2, maka

yang mungkin adalah = 8

dan

= + + ( ) = 1 + 2 + 8

= 11

Untuk = 3 dan = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11

2 + 3 + ( ) = 11 ( ) = 6

+ + = 11

3 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 4

+ + = 11

1 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 6

Karena ada nilai yang sama yaitu

( ) = ( ) = 6 dan ( ) = = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

1

4

3 2

8

6

Gambar 41 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2,

( ) = 3, = 4, = 8, dan = 6. Sedangkan untuk = 4 dan = 3 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11

2 + 4 + ( ) = 11

= 5

+ + = 11

1 + 3 + ( ) = 11 ( ) = 7

Kemungkinan untuk yaitu 6, sehingga

= + + = 4 + 3 + 6

Karena untuk = 6 yaitu = 13

maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

1

3

4 2

8 7

5

Gambar 42 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2,

( ) = 4, = 3, = 8, = 5, dan = 7.

(vi) Misalkan = 2 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 6

dan

= + + ( ) = 2 + 3 + 6

= 11

2

1

4 3

6 8

Gambar 43 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3,

( ) = 4, = 1, = 6, dan = 8. Untuk = 4 dan = 1 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11

3 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 4

+ + = 11

4 + 1 + ( ) = 11 ( ) = 6

+ + = 11

2 + 1 + ( ) = 11 ( ) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu

( ) = ( ) = 6 dan ( ) = = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 43.

Sedangkan untuk = 1 dan = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11

3 + 1 + ( ) = 11

= 7

+ + = 11

2 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 5

Kemungkinan untuk yaitu 8, sehingga

= + + = 1 + 4 + 8

= 13

Karena untuk = 8 yaitu = 13

maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

2

4

1 3

6 5

7

Gambar 44 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3,

( ) = 1, = 4, = 8, = 7, dan = 5.

Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk melabeli graf �4 tersebut maka graf �4 bukan graf super edge magic.

2

Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2,… , } serta himpunan sisinya dipetakan ke { + 1, + 2,… , + }, dengan adalah banyaknya simpul dan adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf wheel dengan order bukan graf super edge magic, bahkan dengan 0 mod 4 bukan graf edge magic.

3

Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.

This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of vertices were mapped in to {1, 2,… , } and a set of edges were mapped in to { + 1, + 2,… , + }, in which is order and is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed.The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves that cycle graph � is super edge magic if and only if is odd. The second theorem proves that wheel graph of order is not super edge magic. Moreover is not edge magic if 0 mod

4.

ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari matematika yang saat ini dikenal sebagai “Teori Graf”.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi, teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf.

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf,

antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib (magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic, pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic.

Pelabelan super edge magic pada suatu graf � yang memiliki simpul dan sisi adalah jika � memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan graf yang memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Ada satu lema dan dua teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan pelabelan graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis Enomoto et al. pada tahun 1998.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa

definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.

2.1 Teori Graf

Definisi 1 (Graf)

Suatu graf � adalah pasangan terurut

( ,�) dengan adalah himpunan takkosong dan berhingga dan � adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen . Graf � dinotasikan �= ( ,�). Elemen disebut simpul (vertex) sedangkan elemen � disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf � dinotasikan dengan (�), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf � dinotasikan dengan �(�).

(Foulds 1992) Graf yang dimaksud pada definisi tersebut adalah graf tak berarah artinya graf yang

sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1. �:

a

b c

d e

Gambar 1 Graf �= ( ,�).

Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah

(�) = { , , , , }

Definisi 2 (Order dan Size)

Misalkan diberikan graf �. Banyaknya simpul pada graf � disebut order dan banyaknya sisi pada graf � disebut size. Order dari graf � dinotasikan dengan | � | dan size dari graf � dinotasikan dengan |� � |.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari � = 5 dan � � = 5.

Definisi 3 (Incident dan Adjacent)

Misalkan diberikan graf �. Jika = { , }∈ �(�) dengan , ∈ (�) maka dan dikatakan adjacent di � dan dikatakan incident dengan dan .

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan = { , }∈ �(�)

maka dan dikatakan adjacent di � dan dikatakan incident dengan dan .

Definisi 4 (Degree)

Derajat (degree) dari suatu simpul pada graf � adalah banyaknya sisi yang incident dengan dan dinotasikan dengan deg .

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg = 2, deg = 3, deg = 3, deg = 1, dan deg = 1.

Definisi 5 (Walk)

Suatu walk pada graf � adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf � dengan bentuk

{ 1, 1, 2 , 2, 2, 3 , 3,…, −1, , } dan dapat dituliskan sebagai { 1, 2,…, } atau 1, 2,…, . Suatu walk yang menghubungkan 1 dengan dikatakan tertutup jika 1= . Jika 1≠ maka walk tersebut dikatakan terbuka.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk { , , , , { , }, , { , }, }.

Definisi 6 (Cycle)

Cycle pada suatu graf � adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf � yang terdiri atas tiga simpul, yaitu

a

c b

Gambar 2 Cycle.

Definisi 7 (Graf Nontrivial)

Suatu graf � disebut graf nontrivial jika suatu graf � memiliki order paling sedikit dua.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order 3.

�:

Gambar 3 Graf � nontrivial.

Definisi 8 (Graf Cycle)

Suatu graf ber-order dengan 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan � .

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber-order 5.

�5:

a

e

d c

b

Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.

Definisi 9 (Graf Lengkap)

Graf ber-order yang setiap dua simpulnya adjacent disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan � .

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh graf lengkap ber-order 5 seperti pada Gambar 5.

�5:

Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.

Definisi 10 (Union dari 2 Graf)

Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari �1 dan �2, dituliskan �1∪ �2, adalah graf yang memiliki �1∪ �2 = (�1)∪ (�2) dan � �1∪ �2 =�(�1)∪ �(�2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. �3∪3�1:

Gambar 6 Union dari 2 graf.

Definisi 11 (Join dari 2 Graf)

Misalkan �1 dan �2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari �1 dan �2, dituliskan �1+�2, adalah graf

�1∪ �2 dimana setiap simpul di �1 adjacent dengan setiap simpul di �2 ditambah semua sisi bertipe 1 2 dengan 1∈ (�1) dan

2∈ (�2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. �4:

�1:

�4+�1:

Gambar 7 Join dari 2 graf.

Definisi 12 (Graf Wheel)

Untuk 4, graf wheel dengan order adalah join dari graf cycle � ₋1 ber-order

−1 dan graf lengkap (complete graph) �1 ber-order1.

(Fukuchi 2001) Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order

7. 7:

v0

v1 v2

v3

v4

v5

v6

Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.

2.2 Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.

Definisi 13 (Pelabelan Edge Magic)

Misalkan � graf dengan simpul dan sisi. Suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan

{1, 2,… , + ) disebut sebagai pelabelan edge magic pada � jika ada konstanta ∈ ℕ (disebut magic number ) sehingga ( ) + ( ) + ( ) = untuk setiap ∈ �(�).

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

�3:

a

c b

Gambar 9 Graf cycle ber-order 3. Misalkan simpul-simpul pada graf �3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 4 = 6 = 2

Dipilih = 11, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 4 + 6 + 1 = 11 + + = 4 + 2 + 5 = 11 + + = 6 + 2 + 3 = 11

dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a). Sedangkan untuk = 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai

= 6 = 5 = 4

sehingga diperoleh

+ + = 6 + 5 + 1 = 12 + + = 6 + 4 + 2 = 12 + + = 5 + 4 + 3 = 12

dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b). (a)

4

5

2 3

6 1

(b)

6 2

4 3

5 1

Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf �3.

Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

Definisi 14 (Pelabelan Super Edge Magic)

Misalkan � graf dengan simpul dan sisi, dan � memiliki pelabelan edge magic . Jika : � →{1, 2,… , } dan :� � → { + 1, + 2,… , + } maka disebut pelabelan super edge magic.

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan super edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic, maka : �₃ →{1, 2, 3}

dan :� �3 →{4, 5, 6}. Misalkan simpul-simpul pada graf �3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 3 = 2

Dipilih = 9, maka diperoleh label sisi, sehingga

+ + = 1 + 3 + 5 = 9 + + = 1 + 2 + 6 = 9 + + = 3 + 2 + 4 = 9

dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 6

2 4

3 5

Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf �3.

Definisi 15 (Graf Super Edge Magic)

Suatu graf � disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari �.

(Enomoto et al. 1998) Gambar 11 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic.

III PEMBAHASAN

Karya ilmiah ini membahas lema dan

teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.

Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Graf tersebut dilabeli dengan : �3 →

{1, 2, 3} dan :� �3 →{4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11.

Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya.

Lema 3.1

Jika � graf nontrivial yang super edge magic, maka |� � | 2| � |−3.

(Enomoto et al. 1998)

Bukti :

Misalkan � graf nontrivial yang super edge magic. Akan dibuktikan bahwa

|� � | 2| � |−3.

Misalkan � memiliki simpul dan sisi. Karena � graf yang super edge magic artinya ada konstanta sehingga ( ) + ( ) +

( ) = dan : (�)→{1, 2,… , },

:�(�)→{ + 1, + 2,… , + }. Maka akan dilihat nilai yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan yang maksimum dan minimumnya.

(i) Akan dilihat nilai yang maksimum. Pilih , ∈ (�) maka magic number yang maksimum yaitu = , karena magic number yang maksimum maka kemungkinan yang maksimum untuk

( ) ialah −1, sehingga diperoleh

+ = + −1

= � + (| � |−1)

Karena simpul yang maksimumnya maka

= + 1

= | � | + 1

Ini berarti

= + + = � + � −1 +(| � | + 1)

(ii) Akan dilihat nilai yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic number yang minimum yaitu = 1

dan untuk pilih magic number yang maksimum yaitu = + . Karena = 1 maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu = 1 + 1 = 2, sehingga diperoleh

= + +

= 1 + 2 + ( + )

= 1 + 2 + ( � + � � )

Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh

1 + 2 + � + � �

� + � −1 + (| � | + 1)

3 + | � | + |� � | 3| � |

|� � | 3| � |−3−| � | � � | 2 � |−3

∎ Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memenuhi |� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf �3 seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Jadi � � | = � | = 3 dan � � | = 3 2 � |−3

= 2 3 −3 = 3.

Graf �3 merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi

|� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf �4 seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf �4 adalah 4. Jadi

� � | = � | = 4 dan � � | = 4 2 � |−3

= 2 4 −3 = 5

Graf �4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi.

Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi

|� � | 2| � |−3. Misalkan diberikan graf 5 seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi |� � | = 8, | � | = 5, dan

� � | = 8 2 � |−3

= 2 5 −3 = 7

Graf 5 bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi.

Lema 3.1 akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.

Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle.

Misalkan diberikan graf cycle ber-order9

�9: a i h g f e d c b

Gambar 12 Graf cycle ber-order 9. Graf �9 tersebut akan dilabeli dengan

: �9 →{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan

:� �9 →{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf �9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

= 1 = 8

= 6 = 4

= 2 = 9

= 7 = 5

= 3

Dipilih = 24, maka diperoleh label sisi, sehingga + + = 1 + 6 + 17 = 24 + + = 6 + 2 + 16 = 24 + + = 2 + 7 + 15 = 24 + + = 7 + 3 + 14 = 24 + + = 3 + 8 + 13 = 24 + + = 8 + 4 + 12 = 24 + + = 4 + 9 + 11 = 24 + + = 9 + 5 + 10 = 24 + + = 1 + 5 + 18 = 24 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 18 5 10 9 11 4 12 8 13 3 14 7 15 2 16 6 17 Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf �9. Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf � memiliki pelabelan super edge magic. Teorema 3.2 Cycle � adalah super edge magic jika dan hanya jika ganjil. (Enomoto et al. 1998) Bukti : ( ) Misalkan cycle � adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan bilangan ganjil. Bukti : Misalkan � adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic dengan sebagai magic number. Artinya ada konstanta sehingga ( ) + ( ) + ( ) = dan � →{1, 2,… , }, � � →{ + 1, + 2,… , + }. Karena setiap ∈ �(� ) berlaku = ( ) + ( ) + ( ) akibatnya = + + ∈� � = 2 ( )

∈ (� ) + ( ) ∈�(� ) = 2 1 + 2 + + + ( + 1 +( + 2) + + ( + ))

= 2 =1 + 2 = +1 = 2 =1 + 2 =1 − =1 = 2 + 1 2 + 2 (2 + 1) 2 − ( + 1) 2 = 2 + 1 2 + 4

2_{+ 2 −} 2₋

2 = 2 ( + 1)

2 +

3 2₊

2 = ( + 1) + (3 + 1)

2

Ini berarti

( + 1) = − (3 + 1) 2 ( + 1) = −3 + 1

2 + 1 = −3 + 1

2 3 + 1

2 = − −1

Karena dan adalah bilangan bulat maka 3 +1

Lampiran 1 bukti graf �4 bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf �4 dengan

banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. Untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka simpul dan sisinya dilabeli dengan : �4 →{1, 2, 3, 4} dan :� �4 → {5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk melabeli graf �4, di antaranya:

(i) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 8 dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 8

= 15

Untuk = 2 dan = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 15 3 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 10 + + = 15 2 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 12 + + = 15 4 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 10

( ) = ( ) = 10 dan ( ) = 12 tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

8

Gambar 33 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 8.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 15 3 + 1 + ( ) = 15 ( ) = 11 + + = 15 1 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 12 + + = 15 4 + 2 + ( ) = 15 ( ) = 9

( ) = 11, ( ) = 12, dan ( ) = 9 tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

8

Gambar 34 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, dan = 8.

(ii) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 7 dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 7

= 14

Untuk = 2 dan = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 14 3 + 2 + ( ) = 14 ( ) = 9 + + = 14

2 + 1 + ( ) = 14 ( ) = 11 + + = 14 4 + 1 + ( ) = 14 ( ) = 9

( ) = ( ) = 9 dan ( ) = 11 tidak mungkin karena : �₄ → {1, 2, 3, 4} dan :� �4 →{5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

7

Gambar 35 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 7.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 14 4 + 2 + ( ) = 14 ( ) = 8

Ada dua kemungkinan untuk ( ) yaitu 5 dan 6. Jika ( ) = 5 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 5

= 9

Jika ( ) = 6 maka = + + ( ) = 3 + 1 + 6

= 10

Karena untuk = 5 yaitu = 9 dan = 6 yaitu = 10, maka = 14 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 6 maka = 14 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

7 8

Gambar 36 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 7, dan = 8. (iii) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 6 dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 6

= 13

Untuk = 2 dan = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 13 4 + 1 + ( ) = 13 ( ) = 8 + + = 13

3 + 2 + ( ) = 13 ( ) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu ( ) = ( ) = 8 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

+ + = 13 2 + 1 + ( ) = 13 ( ) = 10

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

6

Gambar 37 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 6.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 13 4 + 2 + ( ) = 13 ( ) = 7

Ada dua kemungkinan untuk ( ) yaitu 5 dan 8. Jika ( ) = 5 maka

= + + ( ) = 3 + 1 + 5

= 9

Jika ( ) = 8 maka = + + ( ) = 3 + 1 + 8

= 12

Karena untuk = 5 yaitu = 9 dan = 8 yaitu = 12, maka = 13 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk ( ) yaitu 5 dan 8 maka = 13 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

6 7

Gambar 38 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 6, dan = 7. (iv) Misalkan = 4 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 5 dan

= + + ( ) = 4 + 3 + 5

Untuk = 2 dan = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

+ + = 12 4 + 1 + ( ) = 12 ( ) = 7 + + = 12

3 + 2 + ( ) = 12 ( ) = 7

Karena ada nilai yang sama yaitu ( ) = ( ) = 7 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

+ + = 12 2 + 1 + ( ) = 12 ( ) = 9

Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4

1

2 3

5

Gambar 39 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 2, = 1, dan = 5.

Sedangkan untuk = 1 dan = 2 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 12 3 + 1 + ( ) = 12 = 8 + + = 12

4 + 2 + ( ) = 12 ( ) = 6

4 2 1 3 5 6 8

Gambar 40 Graf �4 yang dilabeli dengan = 4, = 3, ( ) = 1, = 2, = 5, = 8, dan

= 6.

Kemungkinan untuk yaitu 7, sehingga

= + + = 1 + 2 + 7

= 10

Karena untuk = 7 yaitu = 10 maka = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 40. (v) Misalkan = 1 dan = 2, maka

yang mungkin adalah = 8 dan

= + + ( ) = 1 + 2 + 8

= 11

Untuk = 3 dan = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11 2 + 3 + ( ) = 11 ( ) = 6 + + = 11

3 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 4 + + = 11

1 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 6

Karena ada nilai yang sama yaitu ( ) = ( ) = 6 dan ( ) = = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 4 3 2 8 6

Gambar 41 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2, ( ) = 3, = 4, = 8, dan = 6. Sedangkan untuk = 4 dan = 3 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11 2 + 4 + ( ) = 11 = 5 + + = 11

1 + 3 + ( ) = 11 ( ) = 7

Kemungkinan untuk yaitu 6, sehingga

= + + = 4 + 3 + 6

Karena untuk = 6 yaitu = 13 maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

1

3

4 2

8 7

5

Gambar 42 Graf �4 yang dilabeli dengan = 1, = 2, ( ) = 4, = 3, = 8, = 5, dan = 7.

(vi) Misalkan = 2 dan = 3, maka yang mungkin adalah = 6 dan

= + + ( ) = 2 + 3 + 6

= 11

2

1

4 3

6 8

Gambar 43 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3, ( ) = 4, = 1, = 6, dan = 8. Untuk = 4 dan = 1 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11 3 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 4 + + = 11

4 + 1 + ( ) = 11 ( ) = 6

+ + = 11 2 + 1 + ( ) = 11 ( ) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu ( ) = ( ) = 6 dan ( ) = = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 43.

Sedangkan untuk = 1 dan = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga

+ + = 11 3 + 1 + ( ) = 11 = 7 + + = 11

2 + 4 + ( ) = 11 ( ) = 5

Kemungkinan untuk yaitu 8, sehingga

= + + = 1 + 4 + 8

= 13

Karena untuk = 8 yaitu = 13 maka = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

2

4

1 3

6 5

7

Gambar 44 Graf �4 yang dilabeli dengan = 2, = 3, ( ) = 1, = 4, = 8, = 7, dan = 5.

Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk melabeli graf �4 tersebut maka graf �4 bukan graf super edge magic.

4.2 Saran

Karya ilmiah ini membahas pelabelan

super edge magic pada graf cycle dan graf

wheel. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan

super edge magic dapat mencari pada graf selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied

and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill.

Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics

34: 105-109.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag.

Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153-167.