30
Contoh 2.13
Dipunyai , , grup yang beraksi pada
, , . Jelas
| | dan
| | |
| | | |
|
. Jadi banyaknya orbit di X terhadap G adalah
| | |
| .
2.1.6 Indeks Siklik
Dalam suatu permutasi, cycle terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari permutasi tersebut. Di dalam cycle urutan sangat diperhatikan, beda halnya
dengan orbit. Sebagai contoh orbit , ,
orbit , ,
orbit , , dan
seterusnya. Tetapi, untuk cycle , ,
cycle , ,
cycle , ,
cycle , , . Definisi cycle sendiri diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.10 Cycle
Suatu permutasi dinamakan cycle untai apabila paling banyak
mempunyai satu orbit yang memuat elemen lebih dari satu. Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam orbit terbesar.
Contoh 2.14
Dipunyai ,
, dan .
31
Orbit dari adalah ,
, .
Orbit dari adalah , , .
Orbit dari adalah , , .
Karena , , paling banyak mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari
satu elemen maka , , merupakan cycle. Disimbolkan
, , ,
dan , , . Sedangkan panjang cycle
, panjang cycle , dan
panjang cycle .
Dua buah cycle dinamakan saling asing apabila berasal dari dua orbit yang saling asing.
Teorema 2.7
Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang saling asing.
Bukti:
Misalkan , , , … , adalah orbit-orbit dari .
Jelas apabila
. Dibentuk cycle
, , , … , dengan
Ditunjukkan … .
Ambil sebarang
, , , . . , . Misal
untuk tepat satu nilai k. Diperoleh
… …
… …
… .
32
Jadi … .
Karena , , … , saling asing maka , , … , merupakan cycle yang
saling asing. Telah dijelaskan bahwa suatu permutasi dapat disajikan dalam bentuk
hasil kali cycle yang saling asing. Cycle-cycle yang terbentuk ini pastilah mempunyai panjang. Ada yang panjangnya sama dan ada juga yang berbeda.
Sehingga hasil kali cycle yang saling asing dari suatu permutasi dapat dikelompokkan berdasarkan panjangnya.
Definisi 2.11 Tipe Untai dan Bobot
Diberikan penyajian untai cycle dari f permutasi suatu himpunan dengan banyak anggota n yang memuat sebanyak
untai dengan panjang 1, sebanyak
untai dengan panjang 2, sebanyak untai dengan panjang 3
,…, sebanyak untai dengan panjang i dan i = 1,2,3,4,…,n , maka tipe untai f disimbolkan dengan vektor
, , , … , dan bobot f adalah bilangan
bulat positif …
.
Contoh 2.15
Dipunyai Jelas cycle
, , . Sehingga ,
, .
Jadi tipe untai , ,
, , , dan bobot .
Dari definisi 2.11 akan berakibat munculnya definisi sebagai berikut.
Definisi 2.12 Indeks Siklik
33
Diberikan G adalah grup permutasi dengan order m dari suatu himpunan yang banyak anggotanya n dan
bertipe untai , , , … ,
. Indeks siklik g didefinisikan sebagai:
; , , , … , …
dan indeks siklik grup G didefinisikan: ; ; , , … ,
; , , … ,
Contoh 2.16
Dipunyai , , grup permutasi dari himpunan
, , .
Jelas . Cycle
dengan ,
, .
Tipe untai dan bobot
. Cycle , , dengan
, ,
. Tipe untai
dan bobot . Cycle
, , dengan ,
, .
Tipe untai dan bobot
Sehingga Indeks siklik : ; , ,
, Indeks
siklik :
; , , , dan
Indeks siklik
: ; , ,
. Jadi indeks siklik :
; , , .
2.1.7 Persediaan Pola
