Keterbagian, Bilangan Prima, Modulo, Pembagi Bersama Terbesar, Relatif

9 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam menentukan apakah suatu bilangan bulat positif m merupakan bilangan komposit atau bukan, diperlukan suatu uji. Uji tersebut dinamakan uji komposit. Teorema Fermat dan Teorema Strong Pseudoprime [SPP] akan digunakan sebagai landasan teori pada beberapa uji komposit yang akan dilakukan. Bilangan bulat positif m dikatakan komposit jika memenuhi kontraposisi dari Teorema Fermat terhadap basis a, dimana a adalah anggota dari himpunan bilangan- bilangan bulat modulo m yang relatif prima dengan m. Jika m tidak memenuhi kontraposisi Teorema Fermat maka m disebut bilangan diduga prima berbasis a. Kemudian bilangan yang telah diketahui diduga prima berbasis a dapat ditentukan kekompositannya menggunakan Teorema SPP. Jika m memenuhi kontraposisi Teorema SPP maka m adalah bilangan komposit. Jika tidak, maka m disebut bilangan diduga kuat prima berbasis a. Selanjutnya bilangan diduga kuat prima berbasis a akan ditentukan kekompositannya dengan cara mengganti basisnya dengan bilangan-bilangan yang telah ditentukan, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7 adalah hasil akhir dari tulisan ini. Bilangan prima semu mutlak m adalah bilangan komposit yang tidak dapat ditentukan kekompositannya hanya menggunakan Teorema Fermat terhadap setiap basisnya yang relatif prima dengan m. Bilangan prima semu mutlak dibicarakan pertama kali oleh Korslet pada tahun 1899 namun Korslet tidak dapat memberikan contohnya. Hingga pada tahun 1910 Robert Daniel Carmichael pertama kali menemukan bilangan prima semu mutlak pertama dan terkecil yaitu 561 dan diberi nama bilangan Carmichael. Dalam sejarah perkembangan bilangan Carmichael, Paul Erdos pernah memberikan argumen bahwa seharusnya bilangan Carmichael memiliki tak hingga jumlahnya. Pada 1994, William Alford, Andrew Granville dan Carl Pomerance menunjukkan bahwa ada tak hingga bilangan Carmichael. Hingga saat ini sudah diketahui ada 585355 Bilangan Carmichael antara 1- 17 10 . Bilangan Carmichael dapat juga digunakan dalam proses pembuatan data enkripsi untuk membangun sebuah kunci dan dapat digunakan pula pada aplikasi graf. [Wikipedia, 2006] 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan ini adalah: 1. Mengkaji beberapa teorema yang berkaitan dengan penentuan apakah bilangan bulat positf ganjil adalah komposit atau bukan. 2. Mempelajari algoritma-algoritma yang digunakan untuk menentukan bilangan komposit, bilangan prima semu berbasis a, bilangan prima semu kuat berbasis a, bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7 serta bilangan Carmichael. BAB II LANDASAN TEORI Dalam tulisan ini secara khusus akan dibicarakan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan Z. Berikut adalah aspek teoritis yang menjadi landasan teori bagi penulisan tugas akhir ini.

2.1 Keterbagian, Bilangan Prima, Modulo, Pembagi Bersama Terbesar, Relatif

Prima, dan Kongruensi. Definisi 1.1 Keterbagian Bilangan bulat b dikatakan terbagi oleh bilangan bulat a a , jika ada bilangan bulat x sedemikian sehingga b ax dan ditulis a|b. Apabila b tidak terbagi oleh a, maka ditulis a b. [Niven,1991] Definisi 1.2 Bilangan Prima Sebuah bilangan bulat p 2 p dikatakan sebagai bilangan prima jika p hanya terbagi oleh satu dan dirinya sendiri. Selainnya, disebut bilangan komposit. [Menezes,1997] 10 Definisi 1.3 Himpunan Bilangan Bulat Modulo m Himpunan bilangan bulat modulo m , dinotasikan m Z , merupakan suatu himpunan dari bilangan-bilangan bulat {0,1,2,3,…,m-1}. [Menezes,1997] Operasi pada penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan bulat modulo m bersifat tertutup dalam m Z . Contoh Untuk 3 m . 1. Himpunan bulat modulo tiga adalah 3 {0,1, 2} Z . 2. Operasi penjumlahan yang berlaku: 1 1, 1 2 0, 2 2 1. Operasi pengurangan yang berlaku: 2 1 1, 1 2 2. Operasi perkalian yang berlaku: 1.2 2, 2.2 1, 1.1 1. Definisi 1.4 Pembagi Bersama Suatu bilangan bulat c disebut pembagi bersama dari bilangan a dan bilangan b jika c |a dan c|b. [Niven,1991] Definisi 1.5 Pembagi Bersama Terbesar Suatu bilangan bulat tak negatif d dikatakan pembagi bersama terbesar dari bilangan bulat a dan b, jika : 1. d adalah pembagi bersama dari a dan b, dan 2. Jika c Z dimana c|a dan c|b, maka c |d. Biasanya pembagi bersama terbesar dari a dan b dinotasikan dengan , d a b . [Menezes,1997] Definisi 1.6 Relatif Prima Bilangan a dan b dikatakan relatif prima jika , 1 a b dan bilangan-bilangan 1 2 , ,..., n a a a dikatakan relatif prima jika 1 2 , ,..., 1 n a a a . Bilangan-bilangan 1 2 , ,..., n a a a dikatakan relatif prima berpasangan jika , 1 i j a a untuk setiap 1, 2, 3..., i n dan 1, 2, 3..., j n dengan i j . [Niven,1991] Definisi 1.7 Kongruensi Misalkan a, b dan m bilangan bulat, dengan m . Bilangan a dikatakan kongruen terhadap b modulo m, dinotasikan dengan mod a b m , jika m membagi a b . Bilangan bulat m disebut modulus dari kongruensi. [Menezes,1997] Definisi 1.8 Sistem Residu Lengkap Modulo m Jika mod x y m , maka y dikatakan residu dari x modulo m. Himpunan 1 2 3 , , , ..., m x x x x disebut sistem residu lengkap modulo m jika untuk setiap bilangan bulat y ada satu dan hanya satu j x sedemikian sehingga mod j y x m , dengan j = 1,2,3,…,m. [Niven,1991] Definisi 1.9 Sistem Residu Tereduksi Modulo m Suatu sistem residu tereduksi modulo m adalah himpunan dari bilangan-bilangan bulat 1 2 { , ,..., } r T x x x , dengan r m sedemikian sehingga berlaku: i. , 1 i i x T m x , ii. Jika i j maka mod i j x x m , dan iii. Jika x Z dan , 1 x m , maka mod i i x T x x m . [Niven,1991] 2.2 Teorema Fermat dan Teorema SPP Teorema 2.1 Sistem Residu Tereduksi dan Lengkap Modulo m Misalkan , 1 a m dan misalkan 1 2 3 , , , ..., n r r r r adalah sistem residu lengkap modulo m atau sistem residu tereduksi modulo m maka 1 2 3 , , , ..., n ar ar ar ar adalah juga sistem residu lengkap atau sistem residu tereduksi modulo m . [Niven,1991] Teorema 2.2 Sifat Kongruensi Misalkan a, b, c, d adalah bilangan bulat, maka: 1. Ketiga pernyataan berikut ekuivalen : i. mod a b m , ii. mod b a m , dan iii. 0mod a b m . 11 2. Jika mod a b m dan mod b c m maka mod a c m . 3. Jika mod a b m dan mod c d m maka mod mod a c m b d m . 4. Jika mod a b m dan mod c d m maka mod ac bd m . 5. Jika mod a b m dan | d m , d maka mod a b d . 6. Jika mod a b m maka mod ac bc m untuk setiap bilangan bulat positif c. [Niven,1991] Teorema 2.3 Kongruensi Pembagian Misalkan a, x, y adalah bilangan-bilangan bulat, jika mod ax ay m dan a,m=1 maka mod x y m . [Niven,1991] Teorema 2.4 Generalisasi Euler dari Teorema Fermat. Jika a,m=1 maka 1mod m a m , dengan m adalah bilangan bulat positif kurang atau sama dengan m yang relatif prima dengan m. [Niven,1991] Bukti. Misalkan , , , ..., 1 2 3 r r r r m adalah sistem residu tereduksi modulo m, maka dengan Teorema 2.1, , , , ..., 1 2 3 ar ar ar ar m adalah juga sistem residu tereduksi modulo m. Dengan demikian korespondensi setiap r i adalah satu dan hanya satu j ar yang sedemikian sehingga mod i j r ar m . Selanjutnya i r yang berbeda akan mendapatkan korespondensi berbeda dari j ar . Ini berarti bahwa bilangan , , , ..., 1 2 3 ar ar ar ar m hanya merupakan residu modulo m dari , , , ..., 1 2 3 r r r r m . Dengan menggunakan Teorema 2.2 bagian 4, dapat diperoleh: 1 1 mod . m m j i j i ar r m Selanjutnya: 1 1 mod m m m j j j j a r r m . Sekarang r j , m =1. Dengan demikian dapat digunakan Teorema 2.3 bagian 2 untuk menghilangkan rj . Dari sini diperoleh bahwa 1mod m a m . Dari Teorema 2.4 dapat diperoleh teorema berikut. Teorema 2.5 Kongruensi Fermat. Jika p merupakan bilangan prima maka a Z yang memenuhi a,p=1, berlaku 1 1mod p a p . [Niven,1991] Bukti Teorema Fermat. Diketahui , 1 a p , oleh karena itu menurut Teorema 2.4 didapat 1mod p a p . Semua bilangan bulat 1,2,3,…,p-1 adalah relatif prima dengan p. Jadi kita mendapatkan bahwa 1 p p . Teorema 2.6 Faktor Pembagi Jika p|ab, dengan p adalah prima, maka | p a atau | p b . Umumnya, jika | , , ,..., 1 2 3 p a a a a n maka p membagi sedikitnya satu faktor dari a i . [Niven,1991] Teorema 2.7 Teorema Strong Pseudoprime SPP Jika p suatu bilangan prima, maka berlaku 2 1mod 1mod x p x p , dengan x adalah bilangan bulat. [Niven,1991] Bukti Teorema SPP. Bentuk kongruensi pangkat di atas dapat diekspresikan 2 1 0mod x p . Bentuk tersebut setara dengan bentuk 1 1 0mod x x p . Dari bentuk terakhir dapat dikatakan bahwa | 1 1 p x x . Berdasarkan Teorema 2.6, | 1 1 p x x dapat ditulis sebagai | 1 p x atau | 1 p x , sama artinya dengan 1mod x p atau 12 1mod x p . Sebaliknya, jika salah satu dari bentuk dua kongruensi terakhir benar, dengan menggunakan Teorema 2.2 bagian 4 maka didapat bahwa 2 1mod x p . Kontraposisi Teorema SPP digunakan sebagai landasan teori uji komposit pada pembahasan. BAB III PEMBAHASAN Uji Komposit I Berdasarkan Teorema 2.5 Kongruensi Fermat diperoleh kontraposisinya, yaitu: Teorema 3.1 Uji Komposit I: Jika a Z memenuhi , 1 a m dan berlaku 1 m a 1modm maka m adalah bilangan komposit. Teorema 3.1 akan digunakan sebagai alat untuk menguji kekompositan dari suatu bilangan bulat positif m. Berdasarkan Definisi 1.2 bilangan prima maka uji hanya akan dilakukan pada bilangan bulat positif lebih besar 2 2 m . Karena telah diketahui bahwa bilangan prima genap hanya satu yaitu 2 maka uji hanya akan dilakukan pada bilangan ganjil. Pelaksanaan Uji Komposit I ada beberapa tahap, yaitu: i. Menentukan bilangan bulat a yang diambil dari anggota bilangan-bilangan bulat modulo m, jadi [0, 1] a m . Selanjutnya a disebut basis dari m. ii. Bilangan bulat a harus relatif prima dengan m a,m=1. Jika a maka a dapat diabaikan karena 0 dipangkatkan berapapun akan menghasilkan 0, tidak menghasilkan kesimpulan. Jika 1 a maka a juga dapat diabaikan karena 1 dipangkatkan berapapun akan tetap sama dengan 1. Jika 1 a m maka a juga dapat diabaikan karena 1 m setara dengan -1 pada bilangan modulo m dan 1 m merupakan bilangan genap karena m adalah bilangan ganjil, sehingga -1 pangkat bilangan genap akan menjadi 1. Jadi, jika {0,1, 1} a m maka kita tidak akan memperoleh hasil apapun pada Uji Komposit I ini. Jadi {0,1, 1} a m tidak digunakan sebagai alat uji. Dengan demikian [2, 2] a m . iii. Menguji apakah 1 1mod m a m . Jika uji berhasil maka m merupakan bilangan komposit. Jika tidak berarti 1 1mod m a m , maka tidak dapat diambil kesimpulan apapun dari uji komposit I dan m disebut bilangan diduga prima berbasis a. Untuk menentukan apakah 1 1mod m a m digunakan AKBP lihat Lampiran A. Contoh 1. Misalkan 1763 m , apakah m adalah bilangan komposit ? Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: 1. Ambil 2 [2,1761] a . 2. 2,1763 1 . 3. 1762 2 742 mod 1763 , ditentukan menggunakan AKBP. Jadi 1763 adalah bilangan komposit. Tidak selamanya Uji Komposit I ini berhasil. Contoh 2. Misalkan 1387 m , apakah m adalah bilangan komposit ? Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: 1. Ambil 2 [2,1385] a . 2. 2,1387 1. 3. 1386 2 1mod 1387 , ditentukan menggunakan AKBP. Jadi 1387 merupakan bilangan diduga prima berbasis 2. Sejauh ini bilangan bulat ganjil 2 m telah dapat ditentukan menjadi dua macam yaitu bilangan komposit dan bilangan diduga prima berbasis a lihat Bagan 1. Jika pada Uji Komposit I didapat hasil bahwa m merupakan bilangan diduga prima berbasis a maka ada dua cara yang dapat dilakukan selanjutnya untuk menentukan kekompositannya. Pertama, adalah dengan mengganti basisnya hingga didapat bahwa m adalah bilangan komposit, namun cara ini tidak efisien untuk bilangan m yang besar. Kedua, dengan melakukan uji komposit yang lain, yaitu Uji Komposit II. 13 Bagan 1. Klasifikasi uji komposit I. Uji Komposit II Berdasarkan Teorema 2.7 SPP diperoleh kontraposisinya, yaitu: Kontraposisi Teorema 2.7: Jika 2 1mod x m x 1mod m atau 2 x 1mod m x 1mod m , maka m adalah komposit. Untuk kepentingan Uji Komposit II maka kontraposisi Teorema 2.7 SPP hanya akan digunakan sebagian. Teorema 3.2 Uji Komposit II. Jika 2 1mod x m dan 1mod x m maka m adalah bilangan komposit. Uji Komposit II merupakan kelanjutan dari Uji Komposit I, sehingga input dari uji ini adalah bilangan diduga prima berbasis a yang diperoleh dari Uji Komposit I. Jadi kita memiliki bilangan m sedemikian sehingga ada bilangan bulat [2, 2] a m yang memenuhi , 1 a m dan berlaku 1 1mod m a m . Selanjutnya nilai x yang memenuhi Teorema 3.2 ditentukan dari 1 m a yang nilai pangkatnya dibagi 2 secara berulang hingga didapat x yang diinginkan atau hingga pangkatnya tidak dapat dibagi lagi 1 1 1 1 2 4 { , , ,..., } m m m m n x a a a a , dan 1 m n adalah bilangan ganjil. Jika tidak didapat x yang diinginkan maka m disebut bilangan diduga kuat prima berbasis a. Untuk menentukan apakah ada x yang memenuhi Teorema 3.2 digunakan AKBP lihat Lampiran A. Ilustrasi : Langkah 1. Misalkan 2 1 1 1mod m x a m sehingga 1 2 1 m x a dan 1 2 1 mod m x a m dihitung menggunakan AKBP. Ada 3 kemungkinan dari nilai 1 x , yaitu: a. Jika 1 1mod x m maka ada nilai x yang memenuhi Teorema 3.2, yaitu 1 2 m x a . Jadi m adalah bilangan komposit. b. Jika 1 1mod x m , maka m adalah bilangan diduga kuat prima karena tidak ada x yang memenuhi Teorema 3.2. Pencarian nilai x dihentikan. c. Jika 1 1mod x m , maka kita belum mendapat kesimpulan apapun dan perhitungan dilanjutkan ke langkah 2. Langkah 2. Dari langkah sebelumnya telah diketahui bahwa 1 1mod x m . Misalkan 1 2 4 1 2 2 m x x x a . Hitung nilai 1 4 2 mod m x a m dengan AKBP. Ada 3 kemungkinan dari nilai 2 x , yaitu: a. Jika 2 1mod x m maka ada nilai x yang memenuhi Teorema 3.2, yaitu 1 4 m x a . Jadi m adalah bilangan komposit. b. 2 1mod x m , maka m adalah bilangan diduga kuat prima karena tidak ada x yang memenuhi Teorema 3.2. Pencarian nilai x dihentikan. c. 2 1mod x m , maka kita belum mendapat kesimpulan apapun. Langkah-langkah selanjutnya adalah sama seperti langkah kedua dengan mengganti 2 , 3, 4, 5..., i x x i n , jika selalu diperoleh hasil adalah bagian c. Langkah dihentikan ketika pangkat dari a adalah ganjil sehingga tidak dapat dibagi 2 lagi. Pada langkah tersebut hanya ada 2 kemungkinan. Langkah n. Dari langkah sebelumnya telah diketahui bahwa 1 1mod n x m . 14 Misalkan 1 2 1 m n n n n x x x a , dengan 1 m n adalah bilangan ganjil. Hitung nilai 1 mod m n n x a m dengan AKBP. Ada dua kemungkinan dari nilai n x , yaitu: a. Jika 1mod n x m maka ada nilai x yang memenuhi Teorema 3.2, yaitu 1 m n x a . m adalah bilangan komposit. b. 1mod n x m , maka m adalah bilangan diduga kuat prima karena tidak ada x yang memenuhi Teorema 3.2. Pencarian nilai x dihentikan. Untuk lebih jelasnya diberikan beberapa contoh kasus. Contoh 3. Misalkan m=1387, apakah m adalah bilangan komposit ? 1. Uji Komposit I. Dari hasil pada Contoh 2, didapat bahwa 1387 adalah bilangan diduga prima berbasis 2. 2. Misalkan 2 1386 1 2 1mod1387 x . 3. 693 1 2 512mod1387 x . 1 1mod x m , maka ada x dengan 693 2 x yang memenuhi Teorema 3.2. Jadi m merupakan bilangan komposit. Contoh di atas hanya membutuhkan satu kali perhitungan. Contoh 4. Misalkan m=1905, apakah m adalah bilangan komposit ? 1. Uji Komposit I. Ambil 2 [2,1903] a , 2,1905=1. 1904 2 1mod1905 . 2. 1904 1 2 1mod1905 x . 3. Misalkan 2 1 2 x x maka nilai dari 952 2 2 1mod1905 x . Perhitungan dilanjutkan. 4. Misalkan 2 2 3 x x maka nilai dari 476 3 2 1mod1905 x . Perhitungan dilanjutkan. 5. Misalkan 2 3 4 x x maka nilai dari 238 4 2 1144mod1905 x . Karena ada x dengan 238 2 x yang memenuhi Teorema 3.2, maka 1905 adalah bilangan komposit. Contoh di atas membutuhkan beberapa kali perhitungan. Contoh 5. Misalkan m=341, apakah m adalah bilangan komposit ? 1. Uji Komposit I. Ambil 2 [2, 339] a , 2,341=1. 340 2 1mod 341 . 2. 340 1 2 1mod 341 x . 3. Misalkan 2 1 2 x x maka nilai dari 170 2 2 1mod 341 x . Perhitungan dilanjutkan. 4. Misalkan 2 2 3 x x maka nilai dari 85 3 2 32mod 341 x . Karena ada x dengan 85 2 x yang memenuhi Teorema 3.2. Jadi 341 adalah bilangan komposit. Contoh di atas membutuhkan beberapa kali perhitungan. Contoh 6. Misalkan 2047 m , apakah m adalah bilangan komposit ? 1. Uji Komposit I. Ambil 2 [2, 2045] a , 2,2047=1. 2046 2 1mod 2047 . 2. 2046 1 2 1mod 2047 x . 3. Misalkan 2 1 2 x x maka nilai dari 1023 2 2 1mod 2047 x . Karena tidak ada x yang memenuhi Teorema 3.2 maka langkah dihentikan dan m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis 2. Contoh di atas hanya membutuhkan satu kali perhitungan. Uji Komposit II menghasilkan dua klasifikasi bilangan yaitu bilangan komposit dan bilangan diduga kuat prima berbasis a. Bilangan komposit dan bilangan diduga prima berbasis a disebut bilangan prima semu berbasis a . Karena input dari Uji Komposit II merupakan bilangan diduga prima berbasis a maka contoh- contoh bilangan pada Uji Komposit II di atas yang merupakan bilangan komposit 341, 1905, 1387 adalah contoh bilangan prima semu. Sampai Uji Komposit II ini bilangan bulat ganjil telah dapat ditentukan menjadi tiga macam yaitu bilangan komposit, bilangan prima semu berbasis a dan bilangan diduga kuat prima berbasis a bagan 2. Letak dari bilangan komposit, prima semu berbasis a dan diduga kuat prima berbasis a digambarkan pada bagan 3 di bawah. Bilangan diduga kuat prima berbasis a akan ditentukan kemudian menggunakan Uji Komposit III. Contoh bilangan-bilangan prima semu kuat dengan beberapa basis berbeda di bawah 1000: 15 1. 121,703 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 3. 2. 341 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 4. 3. 781 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 5. 4. 481, 217 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 6. 5. 25, 325, 703 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 7. 6. 9, 65, 481, 511 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 8. 7. 91, 121, 671, 703 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 9. 8. 9, 91 adalah bilangan prima semu kuat berbasis 10. Bagan 2. Klasifikasi uji komposit II. Bagan 3. A = Himpunan bilangan diduga prima berbasis a, A -B = Himpunan bilangan diduga kuat prima berbasis a, A B = Himpunan bilangan prima semu berbasis a, B = Bilangan komposit. Uji Carmichael Definisi Bilangan Carmichael: Misalkan m adalah komposit. Jika [2, 2] a m yang memenuhi a,m=1 berlaku 1 1mod m a m , maka m adalah bilangan Carmichael. [Menezes,1997] Input dari Uji Carmichael adalah bilangan- bilangan prima semu berbasis a yang ditentukan dari hasil uji komposit II. Berdasarkan Definisi Bilangan Carmichael akan dibuat algoritma uji Carmichael. Algoritma Uji Carmichael : Input : m m adalah bilangan prima semu. Output : m adalah bilangan Carmichael atau bukan. 1. 2 a . 2. Selama 1 a m , lakukan: 1.1. Jika , 1 a m maka 1 1mod m a m , 1.2. Jika pernyataan di atas bernilai benar maka 1 a a , 1.3. Jika pernyataan di atas bernilai salah maka m adalah bilangan prima semu berbasis a saja. Berhenti. 3. Jika langkah kedua tidak berhenti hingga didapat 2 1mod a m m maka m adalah bilangan Carmichael. Jika m adalah bilangan Carmichael maka bilangan ini memiliki sifat yang unik karena meskipun merupakan bilangan komposit, namun benar-benar tidak dapat ditentukan hanya menggunakan Uji Komposit I pada semua basis yang relatif prima dengan m. Contoh kecil bilangan Carmichael pertama : 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911. 561 adalah bilangan Carmichael terkecil dan memiliki tiga faktor. Dan contoh bilangan Carmichael pertama dengan k=3,4,5,6,7,8,9 k adalah banyak faktor dari bilangan Carmichael. k 3. 4. 5. 6. 7. 8. 561 = 3 . 11 . 17 41041 = 7 . 11 . 13 . 41 825265 = 5 . 7 . 17 . 19 . 73 321197185 = 5 . 19 . 23 . 29 . 37 . 137 5394826801 = 7 . 13 . 17 . 23 . 31 . 67 . 73 232250619601 = 7 . 11 . 13 . 17 . 31 . 37 . 73 . 163 16 9. 9746347772161 = 7 . 11 . 13 . 17 . 19 . 31 . 37 . 41 . 641 [Wikipedia, 2006] Bagan 4. Letak bilangan Carmichael. A = Himpunan bilangan diduga prima berbasis a, A -B = Himpunan bilangan diduga kuat prima berbasis a, A B = Himpunan bilangan prima semu berbasis a, B = Bilangan komposit, dan C = Bilangan Carmichael. Bilangan Carmichael mengambil tempat pada bagian bilangan prima semu berbasis a. Disertakan hasil Uji Carmichael pada Lampiran D untuk bilangan bulat antara satu hingga dua puluh juta. Uji Diduga Kuat Prima Uji ini dibangun berdasarkan Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Pada prinsipnya uji ini hampir sama dengan Uji Komposit II hanya berbeda pada teknik penentuan x yang memenuhi Teorema 3.2. Pada uji ini digunakan teknik terbalik yang dimulai dari d a , dengan d adalah bilangan ganjil. Agar lebih jelas, perhatikan ilustrasi berikut: x ditentukan dari 1 m a modm hingga 1 m n a modm dengan 1 m dibagi 2 secara berulang hingga tidak dapat dibagi lagi dan 1 m d n dengan d adalah bilangan ganjil . 1 m a modm 2 j d a modm 1 2 m a modm 1 2 j d a modm 1 4 m a modm 2 2 j d a modm … … 1 m n a modm d a modm Jadi dengan teknik terbalik, x akan ditentukan dari bilangan-bilangan: 2 4 2 , , ,..., mod j d d d d a a a a m , dengan j adalah bilangan bulat. Dimulai dari d a dan menggunakan Teorema 2.2 Sifat Kongruensi bagian 4: Jika a b mod m maka 2 a 2 b mod m. Kita dapat mengkonstruksi algoritma diduga kuat prima. Algoritma Diduga Kuat Prima: Input : Bilangan bulat 3 m dan [2, 2] a m . Output : m adalah bilangan komposit atau diduga kuat prima berbasis a. 1. Cari nilai j dan d dengan d adalah bilangan ganjil, sedemikian sehingga memiliki bentuk 1 2 j m d . 2. Cari nilai residu dari mod d a m dengan AKBP. Jika 1mod d a m maka m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis a , berhenti. 3. Kuadratkan d a menjadi 2d a , cari reduksi nilai dari 2 mod d a m menggunakan AKBP. Jika 2 1mod d a m maka m adalah bilangan komposit, berhenti. Jika 2 1mod d a m maka m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis a. Berhenti. 4. Ulangi langkah tiga dengan mengganti nilai 2d a dengan 1 4 8 16 2 , , , ..., j d d d d a a a a . 5. Jika langkah di atas telah dilakukan dan tidak mendapatkan hasil maka m adalah bilangan komposit. [Niven,1991] Ilustrasi algoritma diduga kuat prima: Langkah 1. 1.1 Jika pada perhitungan awal didapat 1mod d a m maka m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis a, berhenti. Sebab tidak ada nilai x dimana 2 4 2 { , , , ..., } j d d d d x a a a a yang memenuhi Teorema 3.2. Ilustrasi Langkah 1.1: 1mod d a m 2 1mod d a m 17 … 2 1mod j d a m 1 1mod m a m . 1.2 Jika langkah 1.1 tidak berhasil maka lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2. Selama 1 2 j d x a , lakukan: Dengan asumsi bahwa perhitungan sebelumnya didapat 1 2 1mod j d a m , 1 i j , maka hitung 2 mod i d a m . 2.1 Jika didapat 2 1mod i d a m maka m adalah bilangan komposit, berhenti. Ilustrasi langkah 2.1: 1mod d a m … 1 2 i d a 1mod m 2 1mod i d a m , 1 i j. 1 2 1mod i d a m … 2 1mod j d a m 1 1mod m a m . Artinya ada x dengan x = 1 2 i d a yang memenuhi Teorema 3.2. Jadi m adalah bilangan komposit. 2.2 Jika didapat 2 1mod i d a m maka m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis a, berhenti. Ilustrasi 2.2: 1mod d a m … 1 2 i d a 1mod m 2 1mod i d a m , 1 i j. 1 2 1mod i d a m … 2 1mod j d a m 1 1mod m a m . Artinya tidak ada x sedemikian sehingga 2 1mod x p x 1mod p . 2.3 Jika langkah 2.1 dan 2.2 tidak berhasil maka 1 i i . Langkah-langkah selanjutnya mengikuti langkah 2 jika selalu didapatkan hasil 2.3. Langkah n. Jika hingga perhitungan 1 2 j d a tidak mendapat hasil 1 2 j d a 1mod m, maka m adalah bilangan komposit. Karena apapun hasil dari 2 j d a dapat ditunjukkan bahwa m adalah bilangan komposit. 1. Jika 2 1mod j d a m maka menurut Teorema 3.2 ada x= 1 2 j d a sedemikian sehingga x memenuhi 2 1mod x p x 1mod p . Jadi m dapat dikatakan bilangan komposit 2. Jika 2 j d a 1mod m setara dengan 1 m a 1mod m dan menurut Teorema 3.1 maka dapat dikatakan bahwa m adalah bilangan komposit. Uji Komposit III Uji komposit III adalah Uji Diduga Kuat Prima dengan menggunakan beberapa basis yang berbeda. Dalam tulisan ini akan digunakan empat bilangan pertama yang telah kita ketahui prima,yaitu 2, 3, 5, dan 7. Karena telah diketahui bahwa keempat bilangan tersebut adalah prima dan bilangan bulat selain bilangan prima di atas yang kurang dari tujuh 7 m adalah komposit maka Uji Komposit III ini akan mengambil input 7 m . Pertama karena telah diketahui bahwa keempat bilangan tersebut adalah prima maka keempat bilangan tersebut hanya dapat dibagi oleh dirinya dan 1. Jadi untuk mengetahui apakah 7 m relatif prima dengan setiap anggota dari himpunan A={2,3,5,7} atau tidak, adalah cukup dengan mencari adakah , i a A dimana 1 i 4 yang membagi m. Jika ada maka m tidak relatif prima dengan i a , yang artinya i a ,m= i a . Jika i a ,m= i a maka i a |m. Artinya 18 m adalah komposit karena dapat dibagi oleh i a dimana 1 i a dan i a m 7 m . Jika m relatif prima dengan setiap anggota A maka langkah selanjutnya adalah melakukan algoritma diduga kuat prima dengan setiap anggota A sebagai basisnya. Algoritma Uji Komposit III: Input : 7 m , dengan m adalah bilangan bulat ganjil. Output : m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5 dan 7 atau m adalah bilangan komposit. 1. Bentuk, 1 2 j m d sedemikian sehingga d adalah bilangan ganjil. 2. i=1 3. Selama 4 i , ikuti langkah berikut: 3.1 {2, 3, 5, 7} i a A . 3.2 Hitung nilai mod i j y a m dengan AKBP. 3.3 Jika 1 y dan 1 y m maka ikuti langkah berikut: 1 j . Selama 1 j d dan 1 y m lakukan langkah berikut: Hitung 2 mod y y m . Jika 1 y maka m adalah bilangan komposit, berhenti. 1 j j . Jika y m-1 maka m adalah bilangan komposit, berhenti. 3.4 1 i i 4. Jika langkah 3 tidak berhasil maka m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5 dan7. Hasil dari Uji Komposit III ini adalah bilangan komposit atau bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5 dan 7 yang merupakan hasil akhir dari tulisan ini. Uji ini digunakan untuk membantu penentuan bilangan bulat. Penentuan Bilangan Bulat Penentuan bilangan bulat dilakukan berdasarkan algoritma diduga kuat prima. Bilangan yang diketahui bilangan komposit menggunakan Teorema 3.1 adalah bilangan komposit biasa. Bilangan-bilangan yang diketahui komposit menggunakan Teorema 3.2 disebut bilangan prima semu, oleh karena jika ada suatu bilangan bulat 2 1 mod x x p x 1 mod p maka 1 1mod m a m . Dari algoritma diduga prima yang menghasilkan komposit menggunakan Teorema 3.2 akan dilanjutkan Uji Carmichael karena input dari Uji Carmichael adalah bilangan-bilangan prima semu. Jika Uji Carmichael menentukan bahwa bilangan m adalah bilangan komposit maka m adalah hanya bilangan prima semu berbasis a dan jika uji berhasil maka kita mendapatkan bahwa m adalah bilangan Carmichael. Pada penentuan yang menghasilkan bilangan diduga kuat prima berbasis a akan dilanjutkan dengan Uji Komposit III yang merupakan bahasan selanjutnya tulisan ini. Jika menggunakan Uji Komposit III didapat hasil bahwa suatu bilangan adalah bilangan komposit maka bilangan tersebut disebut bilangan prima semu kuat berbasis a. Penentuan Bilangan digunakan untuk menentukan suatu bilangan ganjil menjadi lima macam, yaitu: bilangan komposit, bilangan prima semu, bilangan prima semu kuat, bilangan Carmichael dan bilangan diduga kuat prima berbasis a. Jika Penentuan Bilangan menentukan bahwa suatu bilangan bulat m adalah bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7 maka kita belum dapat menentukan bahwa m adalah benar-benar prima lihat bagan 5. Berdasarkan [Niven,1991] telah diuji bahwa bilangan-bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7 dapat dinyatakan prima jika m 3.215.031.751 dan m 25.000.000.000. Dengan bantuan perangkat lunak Matematica 5.1 hasil dari Niven dapat dilanjutkan untuk bilangan-bilangan yang ditentukan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7. Hasil uji adalah hingga bilangan 25.006.229.057 tidak ditemukan bilangan prima semu kuat berbasis 2, 3, 5, dan 7, selain m = 3.215.031.751. Dengan demikian selama m 25.006.229.057 dan m 3.215.031.751 maka bilangan diduga kuat prima berbasis 2, 3, 5, dan 7 dapat dinyatakan prima. 19 Bagan 5. Penentuan bilangan menjadi lima macam. Bagan 6. Posisi bilangan-bilangan hasil Penentuan Bilangan : A = Himpunan bilangan diduga prima berbasis a, A -B = Himpunan bilangan diduga kuat prima berbasis A= {2,3,5,7}, A B = Himpunan bilangan prima semu berbasis a, B = Bilangan komposit, C = Bilangan Carmichael, D = Bilangan prima semu kuat berbasis a . 20 Bagan 7. Semua uji yang telah dilakukan. BAB IV SIMPULAN DAN SARAN

8.1 Simpulan Pada uji prima kali ini didapat beberapa