Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan Rantai Markov
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN
PERUSAHAAN MENGGUNAKAN
RANTAI MARKOV
ADITYA PRAYUDANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Hubungan
Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan Rantai Markov adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2013
Aditya Prayudanto
NIM G54090080
ABSTRAK
ADITYA PRAYUDANTO. Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan
Menggunakan Rantai Markov. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan
RUHIYAT.
Hubungan antara perusahaan dan pelanggan terjadi karena ada pemasaran
produk dari perusahaan ke pelanggan dan transaksi dari pelanggan ke perusahaan.
Dalam hubungan antara perusahaan dan pelanggan ada yang disebut recency,
yaitu jumlah periode sejak pelanggan terakhir membeli. Recency tersebut
diasumsikan membentuk rantai Markov. Customer lifetime value (CLV)
merupakan nilai sekarang yang diharapkan dari arus laba masa depan selama
pembelian seumur hidup pelanggan. CLV digunakan untuk mengetahui prospek
transaksi pelanggan di masa yang akan datang. Tujuan tulisan ini adalah
memodelkan hubungan pelanggan dan perusahaan, menghitung CLV serta
mengaplikasikan model rantai Markov pada perusahaan Oriflame. Model rantai
Markov dicirikan oleh banyaknya state, matriks peluang transisi, dan vektor
peluang awal. Dengan data transaksi pelanggan Oriflame, dapat dibuat matriks
peluang transisi yang diestimasi menggunakan metode maximum likelihood. CLV
dihitung dengan Markov decision processes. Hasil yang diperoleh menunjukkan
bahwa hubungan perusahaan dan pelanggan dapat dimodelkan sebagai rantai
Markov dengan baik.
Kata kunci: customer lifetime value , rantai Markov, recency
ABSTRACT
ADITYA PRAYUDANTO. Modeling a Company and Customer Relationship
using Markov Chains. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT.
Relationship between company and customers occurs due to marketing of
the company products to customers and the transaction between customers and
company. In the relationship between company and customers there is a term
called recency which represents the number of months since the last transaction of
a customer. Recency is assumed to form a Markov chain. Customer lifetime value
(CLV) is a present value of future cash flow in customer lifetime transaction.
CLV is used to determining the prospects of customer transactions in the future.
The purpose of this manuscript is to model customer and company relations, to
calculate customer lifetime value (CLV), and to apply the Markov chain model at
the Oriflame company. Markov chain model is characterized by the number of
states, transition probability matrix, and vector early probability. Through
transaction data of the Oriflame customers, a transition probabilities matrix can be
estimated using maximum likelihood method. CLV is calculated by Markov
decision processes. The results shows that the relationship between the company
and customers can be modeled with a Markov chain.
Keywords: customer lifetime value, Markov chain, recency
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN
PERUSAHAAN MENGGUNAKAN
RANTAI MARKOV
ADITYA PRAYUDANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan
Rantai Markov
Nama
: Aditya Prayudanto
NIM
: G54090080
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penyusunan skripsi yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2012
ini ialah Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan Rantai
Markov.
Terima kasih yang sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada Dr Berlian
Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ruhiyat, MSi selaku pembimbing II
yang telah memberikan dukungan serta arahan dalam pembuatan skripsi. Di
samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada saudara Titin M dan Andini
R atas kesediaannya memberikan data transaksi Oriflame. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik, dan teman-teman atas segala do’a dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, November 2013
Aditya Prayudanto
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penulisan
1
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
3
Rantai Markov
4
Ortogonalitas dan Deret
6
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
7
Model Rantai Markov
7
Hubungan Pelanggan dengan Perusahaan
7
Model Rantai Markov untuk Hubungan Pelanggan
8
Customer Lifetime Value
12
Arus Kas Perusahaan
12
Markov Decision Processes
13
APLIKASI PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DENGAN
PERUSAHAAN PADA PERUSAHAAN ORIFLAME
14
Deskripsi data
14
Matriks Peluang Transisi (P)
15
Customer Lifetime Value (CLV)
16
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
19
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR LAMPIRAN
Data pembelian pelanggan A ke perusahaan Oriflame
Data pembelian pelanggan B ke perusahaan Oriflame
Data pembelian pelanggan C ke perusahaan Oriflame
Estimasi penduga matriks peluang transisi dengan Mathematica 7.0
Perhitungan CLV periode terbatas dan tak terbatas dengan Mathematica
7.0
6 Tabel CLV terbatas per periode
1
2
3
4
5
20
21
22
23
25
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Secara umum, pertemuan yang terjadi antara pelanggan dengan
perusahaan disebut pasar. Untuk membentuk sebuah pasar, diperlukan
kegiatan transaksi yang dilakukan oleh pelanggan, di mana transaksi
tersebut biasanya terjadi secara berulang. Kejadian ini diteliti oleh customer
relationship management (CRM) atau manajemen hubungan pelanggan
suatu perusahaan dengan tujuan meningkatkan transaksi pelanggan di masa
yang akan datang.
Customer relationship atau hubungan pelanggan dapat dipengaruhi
antara lain oleh loyalitas pelanggan, promosi serta reward oleh perusahaan,
dan pemasaran ke pelanggan. Permasalahan yang ada dalam hubungan
pelanggan adalah bagaimana cara mengoptimalkan hubungan antara
perusahaan dengan pelanggan dalam waktu yang lama sehingga perusahaan
meraih keuntungan yang optimal dari hubungan tersebut.
Customer lifetime value menggambarkan nilai sekarang dari arus laba
masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup pelanggan.
Perusahaan harus mengurangi dari pendapatan yang diharapkan, untuk biaya
menarik, menjual, dan melayani pelanggan itu (Kotler 2005). Customer
lifetime value atau nilai seumur hidup pelanggan adalah konsep penting dan
berguna dalam interactive marketing. Dengan mengetahui customer lifetime
value, perusahaan dapat mengetahui kondisi hubungan mereka dengan
pelanggan.
Untuk memodelkan bagaimana hubungan antara pelanggan dan
perusahaan di masa yang akan datang dengan memperhatikan aktivitas
pembelian yang dilakukan pelanggan dalam beberapa periode, dapat
dilakukan dengan model rantai Markov, di mana state yang akan datang
hanya dipengaruhi oleh state saat ini dan bebas terhadap semua state yang
lalu. Model rantai Markov dicirikan oleh matriks peluang transisi dan vektor
state.
Tulisan ini membahas model rantai Markov untuk mengetahui
hubungan antara perusahaan dan pelanggan di masa yang akan datang yang
idenya diambil dari salah satu artikel pada Journal of Interactive Marketing,
yang berjudul Modelling Customer Relationships as Markov Chains yang
ditulis oleh Pfeifer dan Carraway (2000).
Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan hubungan antara perusahaan dengan pelanggan
menggunakan rantai Markov.
2. Menghitung customer lifetime value.
3. Mengaplikasikan model rantai Markov pada perusahaan Oriflame.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui,
akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut
percobaan acak. (Hogg et al. 2005)
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian
adalah himpunan
bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Medan-σ
Koleksi dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1.
.
2. Jika
maka
3. Jika
maka
(Grimmet dan Stirkazer 2001)
Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah
suatu fungsi
yang memenuhi:
1.
.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
.
untuk setiap pasangan
maka
Pasangan
disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peluang Bersyarat
Jika
maka peluang kejadian bersyarat dari kejadian A setelah
diketahui kejadian B ialah
Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian
Misal
disebut saling
3
bebas jika
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari . (Grimmet dan Stirzaker
2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Peubah Acak
Misalkan
adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Peubah acak
merupakan fungsi
di mana
untuk setiap
. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari
peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
mana
di
Peubah Acak Diskret
Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya
berada pada himpunan bagian yang terhitung atau berhingga dari .
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
. (Grimmet dan
yang didefinisikan oleh
Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah
suatu fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika
dan
merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan
peluang bersyarat dari jika diberikan
, terdefinisi untuk setiap
sedemikian sehingga
adalah
4
Fungsi Kerapatan Marginal
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah
Misalkan
acak diskret dan . Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari
dan adalah himpunan nilai yang mungkin dari . Selanjutnya fungsi
masing-masing
dan
disebut fungsi kerapatan marginal dari dan . (Ghahramani 2005)
Bebas Stokastik Identik
Misalkan
adalah
peubah acak yang memiliki fungsi
kerapatan yang sama yaitu
sehingga
dan fungsi kepekatan bersamanya adalah
Peubah
disebut
bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2005)
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
maka nilai harapan dari adalah
asalkan jumlah
tersebut konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)
Teorema Bayes
Misalkan
kejadian
bersyarat
adalah ruang peluang.
. Misalkan
terjadi hanya dengan salah satu kejadian , maka peluang
dari
setelah
diketahui
adalah
Rantai Markov
Ruang State
Misalkan
merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka
disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
5
Proses Stokastik
Proses Stokastik
adalah suatu koleksi dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state . Jadi, untuk
setiap pada himpunan indeks
adalah suatu peubah acak. (Ross
1996)
Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu .
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan
adalah suatu peubah acak. Proses stokastik
dengan ruang state
disebut rantai Markov dengan waktu diskret
jika untuk setiap
berlaku
untuk semua kemungkinan nilai dari
.
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat
ini
adalah bebas terhadap semua state yang lalu
, dan
hanya bergantung pada state sebelumnya
. (Ross 1996)
Rantai Markov Homogen
Misalkan
dikatakan homogen jika
untuk
adalah rantai Markov dengan ruang state
,
. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Proses di atas dapat digambarkan sebagai -state rantai Markov
dengan peluang transisi
dengan
. Nilai dari peluang
transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state maka berikutnya akan beralih ke state . Karena nilai peluang adalah
tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi dari suatu
state ke state yang lain maka:
a.
untuk semua
.
b.
untuk semua
.
Peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks P (yang
berukuran
) yang disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu
6
Peluang Transisi n-step
Peluang transisi n-step
dari rantai Markov
peluang proses berpindah dari state ke state dengan
didefinisikan sebagai berikut:
(Ross 1996)
adalah
langkah yang
Ortogonalitas dan Deret
Hasil Kali Skalar di
Misalkan
dengan
Maka hasil skalar dari
dan
adalah
Norm dari Suatu Vektor di
Misalkan
dengan
Maka norm dari vektor
adalah
Norm dari Suatu Matriks di
Norm dari suatu matriks A yang berukuran
sebagai
dapat didefinisikan
Deret Neumann di
Jika
dengan
, maka
taksingular dan
Bukti: dapat dilihat di Rynne dan Youngson (2008).
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
Model Rantai Markov
Rantai Markov (homogen) adalah proses stokastik
oleh:
1.
yaitu banyaknya state. Misalkan ruang state {
2. Matriks peluang transisi P = [
3. Vektor peluang awal
yang dicirikan
} adalah
], dengan
, dengan
Hubungan Pelanggan dengan Perusahaan
Seiring perkembangan ekonomi modern yang mengarah ke bisnis
berbasis pelayanan, banyak perusahaan memperoleh keuntungan dari usaha
mereka dalam menciptakan dan mempertahankan hubungan mereka dengan
pelanggan. Transaksi yang terjadi antara perusahaan dengan pelanggan
merupakan bentuk hubungan antara perusahaan dengan pelanggan.
Hubungan antara perusahaan dengan pelanggan sering juga disebut
customer relationship.
Hubungan Pelanggan dapat dipengaruhi antara lain oleh loyalitas
pelanggan, promosi serta reward oleh perusahaan, dan pemasaran ke
pelanggan. Perusahaan perlu mengetahui bagaimana hubungan yang optimal
antara mereka dengan pelanggan. Tidak hanya untuk saat ini tetapi juga di
masa yang akan datang, sehingga dapat memaksimalkan keuntungan
perusahaan. Dalam hal ini, loyalitas pelanggan sangat dibutuhkan oleh
perusahaan.
Seorang pelanggan yang melakukan transaksi pada saat ini dapat juga
melakukannya kembali di masa yang akan datang. Transaksi pelanggan bisa
kembali terjadi di masa yang akan datang, tetapi tidak bisa dipastikan kurun
waktunya. Transaksi pelanggan yang terjadi di masa yang akan datang
disebabkan oleh bagaimana hubungan antara pelanggan dengan perusahaan
pada saat ini jika sebelumnya diketahui interaksi yang terjadi antara
pelanggan dengan perusahaan. Artinya, meskipun di waktu yang lalu banyak
terjadi interaksi antara pelanggan dengan perusahaan yang memengaruhi
terjadinya transaksi, tetapi penyebab terjadinya transaksi saat ini cukup
dipengaruhi oleh interaksi di satu waktu sebelumnya, sehingga interaksi
antara perusahaan dengan pelanggan dapat diasumsikan bersifat Markov.
8
Dengan rantai Markov, hubungan pelanggan dapat ditentukan melalui state
hubungan pelanggan dengan perusahaan.
Model Rantai Markov untuk Hubungan Pelanggan
Sebelum memodelkan hubungan pelanggan dengan rantai Markov,
dibahas dulu konsep dalam sebuah hubungan pelanggan. Sebuah perusahaan
akan berusaha mendapatkan pelanggan untuk memulai sebuah hubungan
dengan pelanggan. Jika sukses mendapatkan pelanggan, maka perusahaan
akan mendapatkan net contribution (NC), yaitu keuntungan dari pelanggan
yang sudah melakukan pembelian.
Pembelian dilakukan paling banyak sekali per periode, yaitu di akhir
periode. Periode merupakan jangka waktu dalam melakukan pembelian dan
panjangnya sama untuk setiap periode. Perusahaan menggunakan tingkat
diskonto (d) per periode. Perusahaan akan terus memasarkan produknya ke
pelanggan setiap periode, jika pelanggan tetap aktif melakukan transaksi.
Nilai sekarang dari biaya pemasaran tersebut adalah M.
Peluang pelanggan akan membeli pada akhir setiap periode
merupakan fungsi dari recency pelanggan, yaitu jumlah periode sejak
pelanggan terakhir kali membeli. (Jika pelanggan membeli pada akhir
periode sebelumnya, maka dia akan ada pada recency 1 untuk periode saat
ini). Diasumsikan jika pelanggan sudah mencapai recency 5, atau 5 periode
berturut-turut tidak melakukan transaksi, maka perusahaan tidak akan
memasarkan produknya lagi ke pelanggan, dan pelanggan dianggap berhenti
membeli selamanya. Seorang pelanggan yang sudah berada di recency 1, 2,
3, atau 4 jika melakukan transaksi pada suatu periode, maka akan kembali
ke recency 1 pada periode berikutnya, sedangkan pelanggan yang tidak
melakukan transaksi akan terus bertambah recency-nya setiap periode
hingga recency 5 seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Misalkan adalah peluang pelanggan akan membeli pada akhir setiap
periode, pada saat pelanggan berada di recency r, dengan r = 1, 2, 3, 4, 5.
Sedangkan - adalah peluang pelanggan tidak akan membeli pada akhir
periode pada saat pelanggan berada di recency r.
Gambar 1 Pemodelan hubungan pelanggan dengan model rantai Markov
9
Model rantai Markov untuk hubungan pelanggan dicirikan dengan
karakteristik berikut:
Indeks
= recency pelanggan,
= periode
Peluang Transisi
Matriks peluang transisi
terdiri atas elemen
yang merupakan
peluang pelanggan akan ada di recency setelah sebelumnya ada di recency
.
Berdasarkan Gambar 1, maka didapatkan matriks peluang transisi
sebagai berikut:
Matriks P adalah matriks transisi satu langkah.
Peluang Transisi -langkah
Matriks transisi -langkah didefinisikan sebagai matriks peluang
transisi yang bergerak dari satu state ke state yang lain dalam periode.
Matriks
ditentukan dengan mengalikan dengan sendirinya sebanyak
kali. Pada dasarnya,
adalah cara untuk meringkas dan untuk menghitung
perkiraan peluang recency pelanggan pada setiap titik waktu masa depan.
Lema 1: (Matriks peluang transisi n-langkah)
untuk setiap bilangan asli .
Bukti:
Misalkan
1) Basis Induksi
Untuk
,
. Jadi
Untuk
10
. Jadi
2) Langkah induksi
Hipotesis
Anggap benar untuk
.
Akan dibuktikan benar juga untuk
Terbukti bahwa
maka
, yaitu
. (Terbukti)
Lema 2: (Estimasi parameter matriks peluang transisi)
Misal adalah matriks transisi rantai Markov
dengan ruang state
{1,2,3,4,5}.
11
maka
adalah penduga maximum likelihood dengan
dari i ke j.
= banyaknya perpindahan
Bukti:
Didefinisikan
asumsi
dengan
dan fungsi log likelihood
dengan konstrain:
Memaksimumkan fungsi log likelihood dengan konstrain di atas,
menggunakan metode pengali Lagrange, adalah sebagai berikut.
Misal pengali Lagrange
, maka fungsi objektif yang baru
Fungsi g dimaksimumkan dengan cara diturunkan terhadap
dan dibuat sama dengan 0.
12
(Terbukti)
Keterangan:
akibatnya
jika
, maka
akan bernilai 0.
bernilai 1
Customer Lifetime Value
Perusahaan tidak cukup hanya mengetahui bagaimana kelanjutan
hubungan pelanggan di masa yang akan datang, tetapi perusahaan juga harus
mengetahui dan mengevaluasi customer lifetime value (CLV) dari
pelanggan. Customer lifetime value adalah nilai sekarang dari arus laba
masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup pelanggan.
Perusahaan harus mengurangi dari pendapatan yang diharapkan, untuk biaya
menarik, menjual, dan melayani pelanggan (Kotler 2005). CLV merupakan
hubungan yang berkesinambungan antara penjual dan pembeli dalam ukuran
waktu yang relatif panjang. CLV juga suatu nilai yang dapat digunakan
untuk mengidentifikasi pelanggan yang memiliki prospek menjanjikan di
masa yang akan datang.
Setelah mengetahui bagaimana hubungan pelanggan dengan
perusahaan menggunakan rantai Markov, maka dapat digunakan teori
Markov decision processes untuk mengetahui dan mengevaluasi CLV.
Arus Kas Perusahaan
Arus kas perusahaan merupakan perhitungan ekonomi dari hubungan
perusahaan dan pelanggan. Penerimaan dan pengeluaran perusahaan di
setiap periode di masa yang akan datang merupakan fungsi dari recency
pelanggan.
merupakan vektor baris reward
untuk meringkas
penerimaan dan pengeluaran perusahaan dalam setiap hubungannya dengan
pelanggan. terdiri atas penerimaan perusahaan, yaitu NC dan pengeluaran
perusahaan, yaitu M. Vektor terdiri atas 5 baris, di mana setiap barisnya
merupakan fungsi dari recency 1 sampai 5. Jika pelanggan melakukan
pembelian pada periode mendatang, maka dia akan berada di
pada
periode berikutnya dan perusahaan akan mendapat
dan akan terus
memasarkan produk ke pelanggan pada periode-periode berikutnya. Total
arus kas perusahaan jika pelanggan transisi ke
adalah
. Jika
pelanggan tidak melakukan pembelian dan transisi ke recency 2, 3, atau 4,
maka arus kas perusahaan adalah – , yang merupakan biaya pemasaran
kepada pelanggan untuk setiap periode mendatang. Namun jika pelanggan
transisi ke
, maka perusahaan akan menghentikan pemasaran ke
pelanggan sehingga arus kasnya adalah .
13
Vektor kolom arus kas perusahaan (R) sebagai berikut
dengan:
= Penerimaan perusahaan.
= Pengeluaran perusahaan untuk pemasaran.
Markov Decision Processes
Markov decision processes (MDP) merupakan suatu proses
pengambilan keputusan menggunakan rantai Markov untuk model-model
stokastik. Dalam tulisan ini, MDP akan digunakan untuk mengetahui,
mengevaluasi dan menghitung besaran CLV yang diharapkan di masa yang
akan datang.
Dengan menggunakan model rantai Markov, didapatkan perkiraan
peluang hubungan perusahaan dan pelanggan di masa yang akan datang.
Untuk mengevaluasi hubungan antara perusahaan dengan pelanggan
sepanjang
periode, dapat menggunakan teori MDP yaitu
.
merupakan CLV yang diharapkan untuk pelanggan dengan cara
menggabungkan nilai-nilai
, , , dan .
yaitu vektor kolom
dari nilai sekarang CLV yang diharapkan selama periode. Unsur-unsur
dari
sesuai dengan lima kemungkinan state awal hubungan pelanggan.
Baris pertama
menunjukan CLV pelanggan pada saat berada di
.
Teori Markov decision processes menyediakan mekanisme untuk
melakukannya, di mana perhitungannya merupakan perkalian yang terdiri
atas nilai sekarang arus kas perusahaan (R) yaitu
dan peluang pelanggan akan membeli di periode kerumusnya menjadi
dengan:
yaitu
, maka
= tingkat diskon per periode,
P = matriks peluang transisi,
= banyaknya periode, dan
= periode.
Dalam mengevaluasi hubungan dengan pelanggan, perusahaan dapat
memakai jumlah periode yang tak terbatas. Untuk jumlah periode yang tak
terbatas, dapat ditunjukkan
dengan:
= tingkat diskon per periode,
I = matriks identitas,
P = matriks peluang transisi,
= banyaknya periode, dan
= periode.
APLIKASI PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
DENGAN PERUSAHAAN PADA PERUSAHAAN
ORIFLAME
Pada bab ini akan dibahas aplikasi pemodelan hubungan pelanggan
dengan perusahaan Oriflame. Terdapat dua data real dan satu data
bangkitan. Ketiga data tersebut akan dibandingkan CLV-nya.
Deskripsi data
Data real yang digunakan dalam karya ilmiah ini berasal dari dua
orang pelanggan Oriflame. Oriflame merupakan perusahaan beauty make up
yang bergerak di bidang penjualan produk kosmetik. Oriflame bekerja
dengan sistem menjadikan pelanggannya sebagai anggota. Pelanggan yang
diambil data transaksinya merupakan pelanggan yang sudah menjadi
anggota di Oriflame. Oriflame juga melakukan pemasaran ke pelanggan dan
mendapatkan pemasukan yang tetap setiap pelanggan melakukan pembelian.
Arus kas perusahaan (R) merupakan ringkasan dari pengeluaran (M) dan
pendapatan perusahaan (NC). Pengeluaran perusahaan (M) merupakan biaya
yang dikeluarkan oleh perusahaan Oriflame untuk memasarkan produknya
ke pelanggan dalam satu periode. Sedangkan pendapatan perusahaan (NC)
merupakan pemasukan yang diterima perusahaan jika ada transaksi antara
perusahaan dan pelanggan dalam satu periode. Diketahui jika pelanggan
melakukan transaksi, pendapatan yang diterima sebesar Rp20 000 dan
pengeluarannya untuk pemasaran ke pelanggan sebesar Rp4 000. Nilai R
untuk masing-masing pelanggan bernilai sama, yaitu
15
Sampel yang digunakan adalah transaksi yang dilakukan oleh kedua
pelanggan tersebut (pelanggan A dan pelanggan B) dan satu pelanggan C
yang datanya dibangkitkan sebagai pembanding. Data transaksi Pelanggan
A dari bulan Januari 2010 sampai April 2013, pelanggan B dari bulan
Februari 2010 sampai Juli 2012, dan pelanggan C dari bulan Januari 2010
sampai April 2013. Banyaknya data pelanggan A, B, dan C berturut-turut
adalah 40, 30, dan 40, kemudian dikonversikan berdasarkan recency-nya per
periode. Nilai diskonto (d) yang digunakan sebesar 7.25%. Besaran diskon
tersebut di dapat dari nilai diskonto Indonesia bulan Oktober tahun 2013.
Matriks Peluang Transisi (P)
Dengan menggunakan rumus
didapatkan matriks peluang transisi untuk masing-masing pelanggan sebagai
berikut:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
16
Customer Lifetime Value (CLV)
Setelah mengetahui R dan P akan dihitung CLV yaitu nilai sekarang
dari arus laba masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup
pelanggan dari masing-masing pelanggan. Ada dua jenis CLV yang dihitung,
yaitu CLV dalam periode terbatas dan tak terbatas.
CLV dengan periode (T) yang terbatas akan dihitung berturut dari
periode 46 sampai mencapai nilai yang stabil, dari hasil perhitungan
menunjukan bahwa pelanggan A setelah periode ke 192 nilai CLV-nya akan
stabil, pelanggan B setelah 135 periode dan pelanggan C setelah 217 periode.
Periode ketiga pelanggan dalam mencapai nilai CLV yang stabil berbedabeda dikarenakan peluang pada matriks peluang transisinya berbeda.
Pelanggan B lebih cepat stabil dibanding dengan 2 pelanggan lainnya karena
pelanggan B sudah tidak membeli lagi di periode ke-30 sehingga sudah
tidak ada lagi yang diharapkan dari pelanggan B di masa yang akan datang.
Pelanggan A lebih cepat stabil dari pelanggan C karena pelanggan A lebih
sering membeli daripada pelanggan C. Akan diambil satu contoh CLV di
periode yang akan datang untuk dijelaskan, yaitu periode ke-50. Dengan
Mathematica 7.0 didapatkan hasil sebagai berikut:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
Hasil perhitungan CLV dengan periode terbatas memperlihatkan pada
periode ke-50 nilai CLV yang diharapkan dari pelanggan A sebesar Rp161
223 untuk tetap membeli di recency 1, nilai tersebut terdiri atas pendapatan
perusahaan jika pelanggan melakukan transaksi sebesar Rp20 000 dan nilai
sekarang yang diharapkan dari arus kas masa depan sebesar Rp141 223. Jika
pelanggan berada di recency 2 maka CLV yang diharapkan turun jadi Rp161
963. Nilai tersebut merupakan nilai sekarang dari hubungan pelanggan
dengan perusahaan pada periode ke-50. Demikian pula jika pelanggan
beralih ke recency 3, maka CLV yang diharapkan menjadi Rp146 018. Dan
17
karena pelanggan A tidak pernah berada di recency 4, maka CLV yang
diharapkannya sama seperti pada saat berada di recency 3, yaitu Rp146 018.
Untuk Hasil perhitungan CLV dari pelanggan B, dihitung hanya untuk
perbandingan dengan 2 pelanggan lainnya, karena pelanggan B sudah tidak
membeli sejak bulan Maret 2012, sehingga pada bulan Juli 2012 sudah
dianggap berhenti oleh perusahaan.
Hasil perhitungan CLV yang diharapkan dari pelanggan C yaitu
Rp119 178 untuk tetap berada di recency 1. Nilai tersebut terdiri atas
pendapatan perusahaan jika pelanggan melakukan transaksi sebesar Rp20
000 dan nilai sekarang yang diharapkan dari arus kas masa depan sebesar
Rp99 178. Jika pelanggan berada di recency 2 maka CLV yang diharapkan
turun menjadi Rp97 083. dan jika pelanggan berada di recency 3 terjadi
peningkatan CLV yang diharapkan, yaitu menjadi Rp102 326, hal ini
disebabkan peluang pelanggan membeli pada saat berada di recency 3 lebih
besar dari pada saat berada di recency 2. Begitu juga yang terjadi pada saat
pelanggan berada di recency 4, CLV yang diharapkan kembali meningkat
menjadi Rp106 904, karena pelanggan selalu membeli jika sampai di
recency 4.
Terdapat beberapa perbedaan hasil CLV yang diharapkan dari
pelanggan A, pelanggan B dan pelanggan C dalam periode terbatas ini.
Pelanggan A yang tidak pernah mencapai recency 4, besaran CLV yang
diharapkan pada saat berada di recency 3 dan 4 bernilai sama. Pelanggan B
yang datanya berhenti membeli di bulan ke-31 . Sedangkan pelanggan C
yang di awal periode dibuat pelanggan tidak melakukan pembelian ternyata
tidak berdampak apa-apa ke dalam model. Besaran CLV yang diharapkan di
masing-masing recency tidak seperti pelanggan A yang besaran CLV-nya
menurun dengan semakin bertambahnya recency. Pada kasus pelanggan C
terjadi penurunan besaran CLV yang diharapkan dari saat pelanggan berada
di recency 1 dan saat pelanggan berada di recency 2 namun kembali
mengalami peningkatan saat pelanggan berada di recency 3 dan 4. Hal itu
disebabkan peluang pelanggan membeli di recency 3 lebih besar dari
recency 2 dan peluang membeli di recency 4 lebih besar dari recency 3.
Setelah dibahas mengenai perhitungan CLV yang diharapkan dalam
periode terbatas, selanjutnya akan dihitung CLV yang diharapkan dengan
periode yang tak terbatas.
CLV dengan periode (T) tak terbatas yaitu:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
Hasil perhitungan CLV dengan periode tak terbatas hampir sama
dengan periode terbatas, masing-masing pelanggan mengalami kenaikan
CLV walaupun hanya sedikit.
Setelah mendapatkan CLV dari masing-masing pelanggan, maka
perusahaan akan mengetahui pelanggan yang memiliki prospek bagus di
masa yang akan datang dan pelanggan yang tidak berprospek. Perusahaan
akan terus menjaga pelanggan yang berprospek bagus dan berusaha
membuat pelanggan yang tidak berprospek kembali membeli produk yang
mereka tawarkan dengan cara menambah intensitas penawaran ke pelanggan
yang kurang prospeknya, sehingga pelanggan yang sebelumnya tidak
berprospek bagus menjadi bagus prospeknya setelah mendapat penawaran
yang gencar dari perusahaan.
Dalam kasus di atas pelanggan A mempunyai prospek paling bagus
karena memiliki nilai CLV yang terbesar diikuti oleh pelanggan C dan B.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model rantai Markov dapat digunakan untuk memodelkan hubungan
perusahaan dengan pelanggan. Dengan mengetahui titik kestabilan CLV
pelanggan, maka perusahaan dapat mengetahui pada periode ke berapa
pelanggan tersebut mencapai maksimum nilai CLV-nya. Maksimumnya
CLV menunjukkan loyalitas pelanggan tersebut ke perusahaan. Semakin
cepat stabil nilai CLV-nya, maka semakin setia pelanggan tersebut. Jika
nilai CLV-nya sudah tinggi, berarti kesetiaannya juga tinggi sehingga
perusahaan cukup mempertahankan pelanggan tersebut. Namun jika masih
rendah, maka perusahaan perlu lebih gencar melakukan pemasaran ke
pelanggan tersebut sehingga ia sering membeli dan berakibat meningkatkan
nilai CLV-nya.
Saran
Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini belum sempurna, karena
data yang digunakan terlalu sedikit, berakibat estimasi yang dilakukan
kurang akurat, sehingga masih dimungkinkan untuk melakukan penelitian
menggunakan data transaksi dengan jumlah yang lebih banyak dan kriteria
yang lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-2. New Jersey
(US): Prentice Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed
ke-3. Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kotler P. 2005. Manajemen Pemasaran. Jakarta (ID): PT. Indeks Kelompok
Gramedia.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey
(US): Prentice Hall.
Pfeifer PE, Carraway RL. 2000. Modelling Customer Relationships As
Markov Chains. Journal of Interactive Marketing 14(2):43-55.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley
& Sons.
Rynne BP, Youngson MA. 2008. Linear Functional Analysis. Ed ke-2.
London (GB): Springer.
20
Lampiran 1 Data pembelian pelanggan A ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
2013
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Pembelian
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Recency
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
21
Lampiran 2 Data pembelian pelanggan B ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
Bulan
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Pembelian
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Recency
1
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
1
2
3
4
1
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
4
5
22
Lampiran 3 Data pembelian pelanggan C ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
2013
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Pembelian
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Recency
1
2
3
1
1
1
2
3
1
1
2
3
4
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
3
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
2
23
Lampiran 4 Estimasi penduga matriks peluang transisi dengan
Mathematica 7.0
24
25
Lampiran 5 Perhitungan CLV periode terbatas dan tak terbatas
dengan Mathematica 7.0
26
Lampiran 6 Data CLV terbatas per periode
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
27
{{65790.4 +x},{41010.5 +x},{41292. +x},{37099.6 +x},{0. +x}}
{{65790.6 +x},{41010.8 +x},{41292.2 +x},{37099.8 +x},{0. +x}}
{{65790.9 +x},{41011. +x},{41292.4 +x},{37100. +x},{0. +x}}
{{65791.1 +x},{41011.2 +x},{41292.6 +x},{37100.1 +x},{0. +x}}
{{65791.3 +x},{41011.3 +x},{41292.8 +x},{37100.2 +x},{0. +x}}
{{65791.4 +x},{41011.5 +x},{41292.9 +x},{37100.4 +x},{0. +x}}
{{65791.6 +x},{41011.6 +x},{41293. +x},{37100.5 +x},{0. +x}}
{{65791.7 +x},{41011.8 +x},{41293.2 +x},{37100.6 +x},{0. +x}}
{{65791.8 +x},{41011.9 +x},{41293.3 +x},{37100.6 +x},{0. +x}}
{{65791.9 +x},{41012. +x},{41293.4 +x},{37100.7 +x},{0. +x}}
{{65792. +x},{41012.1 +x},{41293.4 +x},{37100.8 +x},{0. +x}}
{{65792.1 +x},{41012.2 +x},{41293.5 +x},{37100.9 +x},{0. +x}}
{{65792.2 +x},{41012.2 +x},{41293.6 +x},{37100.9 +x},{0. +x}}
{{65792.3 +x},{41012.3 +x},{41293.6 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.3 +x},{41012.4 +x},{41293.7 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.4 +x},{41012.4 +x},{41293.7 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.8 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.8 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.9 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.7 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.2 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
28
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis Dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Juni 1991 dari ayah
Prastowo dan ibu Enny Setyowati. Penulis adalah putra pertama dari tiga
bersaudara. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif sebagai pengurus Gugus
Mahasiswa Matematika (Gumatika) divisi Kewirausahaan pada tahun 2011
dan anggota Badan Pengawas Gumatika (BPG) pada tahun 2012. Penulis
juga berkesempatan aktif di beberapa kepanitiaan yang diadakan oleh
Gumatika, yaitu sebagai anggota divisi medis Welcome Ceremony
Mathematics pada tahun 2011 dan ketua divisi logistik dan transportasi
Seminar Kewirausahaan pada tahun 2011.
PERUSAHAAN MENGGUNAKAN
RANTAI MARKOV
ADITYA PRAYUDANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Hubungan
Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan Rantai Markov adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2013
Aditya Prayudanto
NIM G54090080
ABSTRAK
ADITYA PRAYUDANTO. Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan
Menggunakan Rantai Markov. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan
RUHIYAT.
Hubungan antara perusahaan dan pelanggan terjadi karena ada pemasaran
produk dari perusahaan ke pelanggan dan transaksi dari pelanggan ke perusahaan.
Dalam hubungan antara perusahaan dan pelanggan ada yang disebut recency,
yaitu jumlah periode sejak pelanggan terakhir membeli. Recency tersebut
diasumsikan membentuk rantai Markov. Customer lifetime value (CLV)
merupakan nilai sekarang yang diharapkan dari arus laba masa depan selama
pembelian seumur hidup pelanggan. CLV digunakan untuk mengetahui prospek
transaksi pelanggan di masa yang akan datang. Tujuan tulisan ini adalah
memodelkan hubungan pelanggan dan perusahaan, menghitung CLV serta
mengaplikasikan model rantai Markov pada perusahaan Oriflame. Model rantai
Markov dicirikan oleh banyaknya state, matriks peluang transisi, dan vektor
peluang awal. Dengan data transaksi pelanggan Oriflame, dapat dibuat matriks
peluang transisi yang diestimasi menggunakan metode maximum likelihood. CLV
dihitung dengan Markov decision processes. Hasil yang diperoleh menunjukkan
bahwa hubungan perusahaan dan pelanggan dapat dimodelkan sebagai rantai
Markov dengan baik.
Kata kunci: customer lifetime value , rantai Markov, recency
ABSTRACT
ADITYA PRAYUDANTO. Modeling a Company and Customer Relationship
using Markov Chains. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT.
Relationship between company and customers occurs due to marketing of
the company products to customers and the transaction between customers and
company. In the relationship between company and customers there is a term
called recency which represents the number of months since the last transaction of
a customer. Recency is assumed to form a Markov chain. Customer lifetime value
(CLV) is a present value of future cash flow in customer lifetime transaction.
CLV is used to determining the prospects of customer transactions in the future.
The purpose of this manuscript is to model customer and company relations, to
calculate customer lifetime value (CLV), and to apply the Markov chain model at
the Oriflame company. Markov chain model is characterized by the number of
states, transition probability matrix, and vector early probability. Through
transaction data of the Oriflame customers, a transition probabilities matrix can be
estimated using maximum likelihood method. CLV is calculated by Markov
decision processes. The results shows that the relationship between the company
and customers can be modeled with a Markov chain.
Keywords: customer lifetime value, Markov chain, recency
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN
PERUSAHAAN MENGGUNAKAN
RANTAI MARKOV
ADITYA PRAYUDANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan
Rantai Markov
Nama
: Aditya Prayudanto
NIM
: G54090080
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang
dipilih dalam penyusunan skripsi yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2012
ini ialah Pemodelan Hubungan Pelanggan dan Perusahaan Menggunakan Rantai
Markov.
Terima kasih yang sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada Dr Berlian
Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ruhiyat, MSi selaku pembimbing II
yang telah memberikan dukungan serta arahan dalam pembuatan skripsi. Di
samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada saudara Titin M dan Andini
R atas kesediaannya memberikan data transaksi Oriflame. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik, dan teman-teman atas segala do’a dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, November 2013
Aditya Prayudanto
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penulisan
1
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
3
Rantai Markov
4
Ortogonalitas dan Deret
6
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
7
Model Rantai Markov
7
Hubungan Pelanggan dengan Perusahaan
7
Model Rantai Markov untuk Hubungan Pelanggan
8
Customer Lifetime Value
12
Arus Kas Perusahaan
12
Markov Decision Processes
13
APLIKASI PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DENGAN
PERUSAHAAN PADA PERUSAHAAN ORIFLAME
14
Deskripsi data
14
Matriks Peluang Transisi (P)
15
Customer Lifetime Value (CLV)
16
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
19
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR LAMPIRAN
Data pembelian pelanggan A ke perusahaan Oriflame
Data pembelian pelanggan B ke perusahaan Oriflame
Data pembelian pelanggan C ke perusahaan Oriflame
Estimasi penduga matriks peluang transisi dengan Mathematica 7.0
Perhitungan CLV periode terbatas dan tak terbatas dengan Mathematica
7.0
6 Tabel CLV terbatas per periode
1
2
3
4
5
20
21
22
23
25
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Secara umum, pertemuan yang terjadi antara pelanggan dengan
perusahaan disebut pasar. Untuk membentuk sebuah pasar, diperlukan
kegiatan transaksi yang dilakukan oleh pelanggan, di mana transaksi
tersebut biasanya terjadi secara berulang. Kejadian ini diteliti oleh customer
relationship management (CRM) atau manajemen hubungan pelanggan
suatu perusahaan dengan tujuan meningkatkan transaksi pelanggan di masa
yang akan datang.
Customer relationship atau hubungan pelanggan dapat dipengaruhi
antara lain oleh loyalitas pelanggan, promosi serta reward oleh perusahaan,
dan pemasaran ke pelanggan. Permasalahan yang ada dalam hubungan
pelanggan adalah bagaimana cara mengoptimalkan hubungan antara
perusahaan dengan pelanggan dalam waktu yang lama sehingga perusahaan
meraih keuntungan yang optimal dari hubungan tersebut.
Customer lifetime value menggambarkan nilai sekarang dari arus laba
masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup pelanggan.
Perusahaan harus mengurangi dari pendapatan yang diharapkan, untuk biaya
menarik, menjual, dan melayani pelanggan itu (Kotler 2005). Customer
lifetime value atau nilai seumur hidup pelanggan adalah konsep penting dan
berguna dalam interactive marketing. Dengan mengetahui customer lifetime
value, perusahaan dapat mengetahui kondisi hubungan mereka dengan
pelanggan.
Untuk memodelkan bagaimana hubungan antara pelanggan dan
perusahaan di masa yang akan datang dengan memperhatikan aktivitas
pembelian yang dilakukan pelanggan dalam beberapa periode, dapat
dilakukan dengan model rantai Markov, di mana state yang akan datang
hanya dipengaruhi oleh state saat ini dan bebas terhadap semua state yang
lalu. Model rantai Markov dicirikan oleh matriks peluang transisi dan vektor
state.
Tulisan ini membahas model rantai Markov untuk mengetahui
hubungan antara perusahaan dan pelanggan di masa yang akan datang yang
idenya diambil dari salah satu artikel pada Journal of Interactive Marketing,
yang berjudul Modelling Customer Relationships as Markov Chains yang
ditulis oleh Pfeifer dan Carraway (2000).
Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan hubungan antara perusahaan dengan pelanggan
menggunakan rantai Markov.
2. Menghitung customer lifetime value.
3. Mengaplikasikan model rantai Markov pada perusahaan Oriflame.
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi
yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui,
akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut
percobaan acak. (Hogg et al. 2005)
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut
ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian
adalah himpunan
bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Medan-σ
Koleksi dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1.
.
2. Jika
maka
3. Jika
maka
(Grimmet dan Stirkazer 2001)
Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah
suatu fungsi
yang memenuhi:
1.
.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
.
untuk setiap pasangan
maka
Pasangan
disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peluang Bersyarat
Jika
maka peluang kejadian bersyarat dari kejadian A setelah
diketahui kejadian B ialah
Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian
Misal
disebut saling
3
bebas jika
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari . (Grimmet dan Stirzaker
2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Peubah Acak
Misalkan
adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Peubah acak
merupakan fungsi
di mana
untuk setiap
. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari
peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
mana
di
Peubah Acak Diskret
Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya
berada pada himpunan bagian yang terhitung atau berhingga dari .
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
. (Grimmet dan
yang didefinisikan oleh
Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah
suatu fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001)
Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika
dan
merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan
peluang bersyarat dari jika diberikan
, terdefinisi untuk setiap
sedemikian sehingga
adalah
4
Fungsi Kerapatan Marginal
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah
Misalkan
acak diskret dan . Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari
dan adalah himpunan nilai yang mungkin dari . Selanjutnya fungsi
masing-masing
dan
disebut fungsi kerapatan marginal dari dan . (Ghahramani 2005)
Bebas Stokastik Identik
Misalkan
adalah
peubah acak yang memiliki fungsi
kerapatan yang sama yaitu
sehingga
dan fungsi kepekatan bersamanya adalah
Peubah
disebut
bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2005)
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
maka nilai harapan dari adalah
asalkan jumlah
tersebut konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)
Teorema Bayes
Misalkan
kejadian
bersyarat
adalah ruang peluang.
. Misalkan
terjadi hanya dengan salah satu kejadian , maka peluang
dari
setelah
diketahui
adalah
Rantai Markov
Ruang State
Misalkan
merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka
disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
5
Proses Stokastik
Proses Stokastik
adalah suatu koleksi dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state . Jadi, untuk
setiap pada himpunan indeks
adalah suatu peubah acak. (Ross
1996)
Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu .
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan
adalah suatu peubah acak. Proses stokastik
dengan ruang state
disebut rantai Markov dengan waktu diskret
jika untuk setiap
berlaku
untuk semua kemungkinan nilai dari
.
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat
ini
adalah bebas terhadap semua state yang lalu
, dan
hanya bergantung pada state sebelumnya
. (Ross 1996)
Rantai Markov Homogen
Misalkan
dikatakan homogen jika
untuk
adalah rantai Markov dengan ruang state
,
. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Proses di atas dapat digambarkan sebagai -state rantai Markov
dengan peluang transisi
dengan
. Nilai dari peluang
transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state maka berikutnya akan beralih ke state . Karena nilai peluang adalah
tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi dari suatu
state ke state yang lain maka:
a.
untuk semua
.
b.
untuk semua
.
Peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks P (yang
berukuran
) yang disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu
6
Peluang Transisi n-step
Peluang transisi n-step
dari rantai Markov
peluang proses berpindah dari state ke state dengan
didefinisikan sebagai berikut:
(Ross 1996)
adalah
langkah yang
Ortogonalitas dan Deret
Hasil Kali Skalar di
Misalkan
dengan
Maka hasil skalar dari
dan
adalah
Norm dari Suatu Vektor di
Misalkan
dengan
Maka norm dari vektor
adalah
Norm dari Suatu Matriks di
Norm dari suatu matriks A yang berukuran
sebagai
dapat didefinisikan
Deret Neumann di
Jika
dengan
, maka
taksingular dan
Bukti: dapat dilihat di Rynne dan Youngson (2008).
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
Model Rantai Markov
Rantai Markov (homogen) adalah proses stokastik
oleh:
1.
yaitu banyaknya state. Misalkan ruang state {
2. Matriks peluang transisi P = [
3. Vektor peluang awal
yang dicirikan
} adalah
], dengan
, dengan
Hubungan Pelanggan dengan Perusahaan
Seiring perkembangan ekonomi modern yang mengarah ke bisnis
berbasis pelayanan, banyak perusahaan memperoleh keuntungan dari usaha
mereka dalam menciptakan dan mempertahankan hubungan mereka dengan
pelanggan. Transaksi yang terjadi antara perusahaan dengan pelanggan
merupakan bentuk hubungan antara perusahaan dengan pelanggan.
Hubungan antara perusahaan dengan pelanggan sering juga disebut
customer relationship.
Hubungan Pelanggan dapat dipengaruhi antara lain oleh loyalitas
pelanggan, promosi serta reward oleh perusahaan, dan pemasaran ke
pelanggan. Perusahaan perlu mengetahui bagaimana hubungan yang optimal
antara mereka dengan pelanggan. Tidak hanya untuk saat ini tetapi juga di
masa yang akan datang, sehingga dapat memaksimalkan keuntungan
perusahaan. Dalam hal ini, loyalitas pelanggan sangat dibutuhkan oleh
perusahaan.
Seorang pelanggan yang melakukan transaksi pada saat ini dapat juga
melakukannya kembali di masa yang akan datang. Transaksi pelanggan bisa
kembali terjadi di masa yang akan datang, tetapi tidak bisa dipastikan kurun
waktunya. Transaksi pelanggan yang terjadi di masa yang akan datang
disebabkan oleh bagaimana hubungan antara pelanggan dengan perusahaan
pada saat ini jika sebelumnya diketahui interaksi yang terjadi antara
pelanggan dengan perusahaan. Artinya, meskipun di waktu yang lalu banyak
terjadi interaksi antara pelanggan dengan perusahaan yang memengaruhi
terjadinya transaksi, tetapi penyebab terjadinya transaksi saat ini cukup
dipengaruhi oleh interaksi di satu waktu sebelumnya, sehingga interaksi
antara perusahaan dengan pelanggan dapat diasumsikan bersifat Markov.
8
Dengan rantai Markov, hubungan pelanggan dapat ditentukan melalui state
hubungan pelanggan dengan perusahaan.
Model Rantai Markov untuk Hubungan Pelanggan
Sebelum memodelkan hubungan pelanggan dengan rantai Markov,
dibahas dulu konsep dalam sebuah hubungan pelanggan. Sebuah perusahaan
akan berusaha mendapatkan pelanggan untuk memulai sebuah hubungan
dengan pelanggan. Jika sukses mendapatkan pelanggan, maka perusahaan
akan mendapatkan net contribution (NC), yaitu keuntungan dari pelanggan
yang sudah melakukan pembelian.
Pembelian dilakukan paling banyak sekali per periode, yaitu di akhir
periode. Periode merupakan jangka waktu dalam melakukan pembelian dan
panjangnya sama untuk setiap periode. Perusahaan menggunakan tingkat
diskonto (d) per periode. Perusahaan akan terus memasarkan produknya ke
pelanggan setiap periode, jika pelanggan tetap aktif melakukan transaksi.
Nilai sekarang dari biaya pemasaran tersebut adalah M.
Peluang pelanggan akan membeli pada akhir setiap periode
merupakan fungsi dari recency pelanggan, yaitu jumlah periode sejak
pelanggan terakhir kali membeli. (Jika pelanggan membeli pada akhir
periode sebelumnya, maka dia akan ada pada recency 1 untuk periode saat
ini). Diasumsikan jika pelanggan sudah mencapai recency 5, atau 5 periode
berturut-turut tidak melakukan transaksi, maka perusahaan tidak akan
memasarkan produknya lagi ke pelanggan, dan pelanggan dianggap berhenti
membeli selamanya. Seorang pelanggan yang sudah berada di recency 1, 2,
3, atau 4 jika melakukan transaksi pada suatu periode, maka akan kembali
ke recency 1 pada periode berikutnya, sedangkan pelanggan yang tidak
melakukan transaksi akan terus bertambah recency-nya setiap periode
hingga recency 5 seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Misalkan adalah peluang pelanggan akan membeli pada akhir setiap
periode, pada saat pelanggan berada di recency r, dengan r = 1, 2, 3, 4, 5.
Sedangkan - adalah peluang pelanggan tidak akan membeli pada akhir
periode pada saat pelanggan berada di recency r.
Gambar 1 Pemodelan hubungan pelanggan dengan model rantai Markov
9
Model rantai Markov untuk hubungan pelanggan dicirikan dengan
karakteristik berikut:
Indeks
= recency pelanggan,
= periode
Peluang Transisi
Matriks peluang transisi
terdiri atas elemen
yang merupakan
peluang pelanggan akan ada di recency setelah sebelumnya ada di recency
.
Berdasarkan Gambar 1, maka didapatkan matriks peluang transisi
sebagai berikut:
Matriks P adalah matriks transisi satu langkah.
Peluang Transisi -langkah
Matriks transisi -langkah didefinisikan sebagai matriks peluang
transisi yang bergerak dari satu state ke state yang lain dalam periode.
Matriks
ditentukan dengan mengalikan dengan sendirinya sebanyak
kali. Pada dasarnya,
adalah cara untuk meringkas dan untuk menghitung
perkiraan peluang recency pelanggan pada setiap titik waktu masa depan.
Lema 1: (Matriks peluang transisi n-langkah)
untuk setiap bilangan asli .
Bukti:
Misalkan
1) Basis Induksi
Untuk
,
. Jadi
Untuk
10
. Jadi
2) Langkah induksi
Hipotesis
Anggap benar untuk
.
Akan dibuktikan benar juga untuk
Terbukti bahwa
maka
, yaitu
. (Terbukti)
Lema 2: (Estimasi parameter matriks peluang transisi)
Misal adalah matriks transisi rantai Markov
dengan ruang state
{1,2,3,4,5}.
11
maka
adalah penduga maximum likelihood dengan
dari i ke j.
= banyaknya perpindahan
Bukti:
Didefinisikan
asumsi
dengan
dan fungsi log likelihood
dengan konstrain:
Memaksimumkan fungsi log likelihood dengan konstrain di atas,
menggunakan metode pengali Lagrange, adalah sebagai berikut.
Misal pengali Lagrange
, maka fungsi objektif yang baru
Fungsi g dimaksimumkan dengan cara diturunkan terhadap
dan dibuat sama dengan 0.
12
(Terbukti)
Keterangan:
akibatnya
jika
, maka
akan bernilai 0.
bernilai 1
Customer Lifetime Value
Perusahaan tidak cukup hanya mengetahui bagaimana kelanjutan
hubungan pelanggan di masa yang akan datang, tetapi perusahaan juga harus
mengetahui dan mengevaluasi customer lifetime value (CLV) dari
pelanggan. Customer lifetime value adalah nilai sekarang dari arus laba
masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup pelanggan.
Perusahaan harus mengurangi dari pendapatan yang diharapkan, untuk biaya
menarik, menjual, dan melayani pelanggan (Kotler 2005). CLV merupakan
hubungan yang berkesinambungan antara penjual dan pembeli dalam ukuran
waktu yang relatif panjang. CLV juga suatu nilai yang dapat digunakan
untuk mengidentifikasi pelanggan yang memiliki prospek menjanjikan di
masa yang akan datang.
Setelah mengetahui bagaimana hubungan pelanggan dengan
perusahaan menggunakan rantai Markov, maka dapat digunakan teori
Markov decision processes untuk mengetahui dan mengevaluasi CLV.
Arus Kas Perusahaan
Arus kas perusahaan merupakan perhitungan ekonomi dari hubungan
perusahaan dan pelanggan. Penerimaan dan pengeluaran perusahaan di
setiap periode di masa yang akan datang merupakan fungsi dari recency
pelanggan.
merupakan vektor baris reward
untuk meringkas
penerimaan dan pengeluaran perusahaan dalam setiap hubungannya dengan
pelanggan. terdiri atas penerimaan perusahaan, yaitu NC dan pengeluaran
perusahaan, yaitu M. Vektor terdiri atas 5 baris, di mana setiap barisnya
merupakan fungsi dari recency 1 sampai 5. Jika pelanggan melakukan
pembelian pada periode mendatang, maka dia akan berada di
pada
periode berikutnya dan perusahaan akan mendapat
dan akan terus
memasarkan produk ke pelanggan pada periode-periode berikutnya. Total
arus kas perusahaan jika pelanggan transisi ke
adalah
. Jika
pelanggan tidak melakukan pembelian dan transisi ke recency 2, 3, atau 4,
maka arus kas perusahaan adalah – , yang merupakan biaya pemasaran
kepada pelanggan untuk setiap periode mendatang. Namun jika pelanggan
transisi ke
, maka perusahaan akan menghentikan pemasaran ke
pelanggan sehingga arus kasnya adalah .
13
Vektor kolom arus kas perusahaan (R) sebagai berikut
dengan:
= Penerimaan perusahaan.
= Pengeluaran perusahaan untuk pemasaran.
Markov Decision Processes
Markov decision processes (MDP) merupakan suatu proses
pengambilan keputusan menggunakan rantai Markov untuk model-model
stokastik. Dalam tulisan ini, MDP akan digunakan untuk mengetahui,
mengevaluasi dan menghitung besaran CLV yang diharapkan di masa yang
akan datang.
Dengan menggunakan model rantai Markov, didapatkan perkiraan
peluang hubungan perusahaan dan pelanggan di masa yang akan datang.
Untuk mengevaluasi hubungan antara perusahaan dengan pelanggan
sepanjang
periode, dapat menggunakan teori MDP yaitu
.
merupakan CLV yang diharapkan untuk pelanggan dengan cara
menggabungkan nilai-nilai
, , , dan .
yaitu vektor kolom
dari nilai sekarang CLV yang diharapkan selama periode. Unsur-unsur
dari
sesuai dengan lima kemungkinan state awal hubungan pelanggan.
Baris pertama
menunjukan CLV pelanggan pada saat berada di
.
Teori Markov decision processes menyediakan mekanisme untuk
melakukannya, di mana perhitungannya merupakan perkalian yang terdiri
atas nilai sekarang arus kas perusahaan (R) yaitu
dan peluang pelanggan akan membeli di periode kerumusnya menjadi
dengan:
yaitu
, maka
= tingkat diskon per periode,
P = matriks peluang transisi,
= banyaknya periode, dan
= periode.
Dalam mengevaluasi hubungan dengan pelanggan, perusahaan dapat
memakai jumlah periode yang tak terbatas. Untuk jumlah periode yang tak
terbatas, dapat ditunjukkan
dengan:
= tingkat diskon per periode,
I = matriks identitas,
P = matriks peluang transisi,
= banyaknya periode, dan
= periode.
APLIKASI PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN
DENGAN PERUSAHAAN PADA PERUSAHAAN
ORIFLAME
Pada bab ini akan dibahas aplikasi pemodelan hubungan pelanggan
dengan perusahaan Oriflame. Terdapat dua data real dan satu data
bangkitan. Ketiga data tersebut akan dibandingkan CLV-nya.
Deskripsi data
Data real yang digunakan dalam karya ilmiah ini berasal dari dua
orang pelanggan Oriflame. Oriflame merupakan perusahaan beauty make up
yang bergerak di bidang penjualan produk kosmetik. Oriflame bekerja
dengan sistem menjadikan pelanggannya sebagai anggota. Pelanggan yang
diambil data transaksinya merupakan pelanggan yang sudah menjadi
anggota di Oriflame. Oriflame juga melakukan pemasaran ke pelanggan dan
mendapatkan pemasukan yang tetap setiap pelanggan melakukan pembelian.
Arus kas perusahaan (R) merupakan ringkasan dari pengeluaran (M) dan
pendapatan perusahaan (NC). Pengeluaran perusahaan (M) merupakan biaya
yang dikeluarkan oleh perusahaan Oriflame untuk memasarkan produknya
ke pelanggan dalam satu periode. Sedangkan pendapatan perusahaan (NC)
merupakan pemasukan yang diterima perusahaan jika ada transaksi antara
perusahaan dan pelanggan dalam satu periode. Diketahui jika pelanggan
melakukan transaksi, pendapatan yang diterima sebesar Rp20 000 dan
pengeluarannya untuk pemasaran ke pelanggan sebesar Rp4 000. Nilai R
untuk masing-masing pelanggan bernilai sama, yaitu
15
Sampel yang digunakan adalah transaksi yang dilakukan oleh kedua
pelanggan tersebut (pelanggan A dan pelanggan B) dan satu pelanggan C
yang datanya dibangkitkan sebagai pembanding. Data transaksi Pelanggan
A dari bulan Januari 2010 sampai April 2013, pelanggan B dari bulan
Februari 2010 sampai Juli 2012, dan pelanggan C dari bulan Januari 2010
sampai April 2013. Banyaknya data pelanggan A, B, dan C berturut-turut
adalah 40, 30, dan 40, kemudian dikonversikan berdasarkan recency-nya per
periode. Nilai diskonto (d) yang digunakan sebesar 7.25%. Besaran diskon
tersebut di dapat dari nilai diskonto Indonesia bulan Oktober tahun 2013.
Matriks Peluang Transisi (P)
Dengan menggunakan rumus
didapatkan matriks peluang transisi untuk masing-masing pelanggan sebagai
berikut:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
16
Customer Lifetime Value (CLV)
Setelah mengetahui R dan P akan dihitung CLV yaitu nilai sekarang
dari arus laba masa depan yang diharapkan selama pembelian seumur hidup
pelanggan dari masing-masing pelanggan. Ada dua jenis CLV yang dihitung,
yaitu CLV dalam periode terbatas dan tak terbatas.
CLV dengan periode (T) yang terbatas akan dihitung berturut dari
periode 46 sampai mencapai nilai yang stabil, dari hasil perhitungan
menunjukan bahwa pelanggan A setelah periode ke 192 nilai CLV-nya akan
stabil, pelanggan B setelah 135 periode dan pelanggan C setelah 217 periode.
Periode ketiga pelanggan dalam mencapai nilai CLV yang stabil berbedabeda dikarenakan peluang pada matriks peluang transisinya berbeda.
Pelanggan B lebih cepat stabil dibanding dengan 2 pelanggan lainnya karena
pelanggan B sudah tidak membeli lagi di periode ke-30 sehingga sudah
tidak ada lagi yang diharapkan dari pelanggan B di masa yang akan datang.
Pelanggan A lebih cepat stabil dari pelanggan C karena pelanggan A lebih
sering membeli daripada pelanggan C. Akan diambil satu contoh CLV di
periode yang akan datang untuk dijelaskan, yaitu periode ke-50. Dengan
Mathematica 7.0 didapatkan hasil sebagai berikut:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
Hasil perhitungan CLV dengan periode terbatas memperlihatkan pada
periode ke-50 nilai CLV yang diharapkan dari pelanggan A sebesar Rp161
223 untuk tetap membeli di recency 1, nilai tersebut terdiri atas pendapatan
perusahaan jika pelanggan melakukan transaksi sebesar Rp20 000 dan nilai
sekarang yang diharapkan dari arus kas masa depan sebesar Rp141 223. Jika
pelanggan berada di recency 2 maka CLV yang diharapkan turun jadi Rp161
963. Nilai tersebut merupakan nilai sekarang dari hubungan pelanggan
dengan perusahaan pada periode ke-50. Demikian pula jika pelanggan
beralih ke recency 3, maka CLV yang diharapkan menjadi Rp146 018. Dan
17
karena pelanggan A tidak pernah berada di recency 4, maka CLV yang
diharapkannya sama seperti pada saat berada di recency 3, yaitu Rp146 018.
Untuk Hasil perhitungan CLV dari pelanggan B, dihitung hanya untuk
perbandingan dengan 2 pelanggan lainnya, karena pelanggan B sudah tidak
membeli sejak bulan Maret 2012, sehingga pada bulan Juli 2012 sudah
dianggap berhenti oleh perusahaan.
Hasil perhitungan CLV yang diharapkan dari pelanggan C yaitu
Rp119 178 untuk tetap berada di recency 1. Nilai tersebut terdiri atas
pendapatan perusahaan jika pelanggan melakukan transaksi sebesar Rp20
000 dan nilai sekarang yang diharapkan dari arus kas masa depan sebesar
Rp99 178. Jika pelanggan berada di recency 2 maka CLV yang diharapkan
turun menjadi Rp97 083. dan jika pelanggan berada di recency 3 terjadi
peningkatan CLV yang diharapkan, yaitu menjadi Rp102 326, hal ini
disebabkan peluang pelanggan membeli pada saat berada di recency 3 lebih
besar dari pada saat berada di recency 2. Begitu juga yang terjadi pada saat
pelanggan berada di recency 4, CLV yang diharapkan kembali meningkat
menjadi Rp106 904, karena pelanggan selalu membeli jika sampai di
recency 4.
Terdapat beberapa perbedaan hasil CLV yang diharapkan dari
pelanggan A, pelanggan B dan pelanggan C dalam periode terbatas ini.
Pelanggan A yang tidak pernah mencapai recency 4, besaran CLV yang
diharapkan pada saat berada di recency 3 dan 4 bernilai sama. Pelanggan B
yang datanya berhenti membeli di bulan ke-31 . Sedangkan pelanggan C
yang di awal periode dibuat pelanggan tidak melakukan pembelian ternyata
tidak berdampak apa-apa ke dalam model. Besaran CLV yang diharapkan di
masing-masing recency tidak seperti pelanggan A yang besaran CLV-nya
menurun dengan semakin bertambahnya recency. Pada kasus pelanggan C
terjadi penurunan besaran CLV yang diharapkan dari saat pelanggan berada
di recency 1 dan saat pelanggan berada di recency 2 namun kembali
mengalami peningkatan saat pelanggan berada di recency 3 dan 4. Hal itu
disebabkan peluang pelanggan membeli di recency 3 lebih besar dari
recency 2 dan peluang membeli di recency 4 lebih besar dari recency 3.
Setelah dibahas mengenai perhitungan CLV yang diharapkan dalam
periode terbatas, selanjutnya akan dihitung CLV yang diharapkan dengan
periode yang tak terbatas.
CLV dengan periode (T) tak terbatas yaitu:
Pelanggan A
Pelanggan B
Pelanggan C
Hasil perhitungan CLV dengan periode tak terbatas hampir sama
dengan periode terbatas, masing-masing pelanggan mengalami kenaikan
CLV walaupun hanya sedikit.
Setelah mendapatkan CLV dari masing-masing pelanggan, maka
perusahaan akan mengetahui pelanggan yang memiliki prospek bagus di
masa yang akan datang dan pelanggan yang tidak berprospek. Perusahaan
akan terus menjaga pelanggan yang berprospek bagus dan berusaha
membuat pelanggan yang tidak berprospek kembali membeli produk yang
mereka tawarkan dengan cara menambah intensitas penawaran ke pelanggan
yang kurang prospeknya, sehingga pelanggan yang sebelumnya tidak
berprospek bagus menjadi bagus prospeknya setelah mendapat penawaran
yang gencar dari perusahaan.
Dalam kasus di atas pelanggan A mempunyai prospek paling bagus
karena memiliki nilai CLV yang terbesar diikuti oleh pelanggan C dan B.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model rantai Markov dapat digunakan untuk memodelkan hubungan
perusahaan dengan pelanggan. Dengan mengetahui titik kestabilan CLV
pelanggan, maka perusahaan dapat mengetahui pada periode ke berapa
pelanggan tersebut mencapai maksimum nilai CLV-nya. Maksimumnya
CLV menunjukkan loyalitas pelanggan tersebut ke perusahaan. Semakin
cepat stabil nilai CLV-nya, maka semakin setia pelanggan tersebut. Jika
nilai CLV-nya sudah tinggi, berarti kesetiaannya juga tinggi sehingga
perusahaan cukup mempertahankan pelanggan tersebut. Namun jika masih
rendah, maka perusahaan perlu lebih gencar melakukan pemasaran ke
pelanggan tersebut sehingga ia sering membeli dan berakibat meningkatkan
nilai CLV-nya.
Saran
Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini belum sempurna, karena
data yang digunakan terlalu sedikit, berakibat estimasi yang dilakukan
kurang akurat, sehingga masih dimungkinkan untuk melakukan penelitian
menggunakan data transaksi dengan jumlah yang lebih banyak dan kriteria
yang lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-2. New Jersey
(US): Prentice Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed
ke-3. Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kotler P. 2005. Manajemen Pemasaran. Jakarta (ID): PT. Indeks Kelompok
Gramedia.
Leon SJ. 1998. Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey
(US): Prentice Hall.
Pfeifer PE, Carraway RL. 2000. Modelling Customer Relationships As
Markov Chains. Journal of Interactive Marketing 14(2):43-55.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley
& Sons.
Rynne BP, Youngson MA. 2008. Linear Functional Analysis. Ed ke-2.
London (GB): Springer.
20
Lampiran 1 Data pembelian pelanggan A ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
2013
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Pembelian
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Recency
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
21
Lampiran 2 Data pembelian pelanggan B ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
Bulan
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Pembelian
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Recency
1
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
1
2
3
4
1
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
4
5
22
Lampiran 3 Data pembelian pelanggan C ke perusahaan Oriflame
Tahun
2010
2011
2012
2013
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Januari
Februari
Maret
April
Pembelian
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Beli
Beli
Tidak
Beli
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Tidak
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Beli
Tidak
Tidak
Recency
1
2
3
1
1
1
2
3
1
1
2
3
4
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
3
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
2
23
Lampiran 4 Estimasi penduga matriks peluang transisi dengan
Mathematica 7.0
24
25
Lampiran 5 Perhitungan CLV periode terbatas dan tak terbatas
dengan Mathematica 7.0
26
Lampiran 6 Data CLV terbatas per periode
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165757. +x},{146497. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150552. +x},{150552. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146498. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165758. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150553. +x},{150553. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146499. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165759. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150554. +x},{150554. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
{{165760. +x},{146500. +x},{150555. +x},{150555. +x},{0. +x}}
27
{{65790.4 +x},{41010.5 +x},{41292. +x},{37099.6 +x},{0. +x}}
{{65790.6 +x},{41010.8 +x},{41292.2 +x},{37099.8 +x},{0. +x}}
{{65790.9 +x},{41011. +x},{41292.4 +x},{37100. +x},{0. +x}}
{{65791.1 +x},{41011.2 +x},{41292.6 +x},{37100.1 +x},{0. +x}}
{{65791.3 +x},{41011.3 +x},{41292.8 +x},{37100.2 +x},{0. +x}}
{{65791.4 +x},{41011.5 +x},{41292.9 +x},{37100.4 +x},{0. +x}}
{{65791.6 +x},{41011.6 +x},{41293. +x},{37100.5 +x},{0. +x}}
{{65791.7 +x},{41011.8 +x},{41293.2 +x},{37100.6 +x},{0. +x}}
{{65791.8 +x},{41011.9 +x},{41293.3 +x},{37100.6 +x},{0. +x}}
{{65791.9 +x},{41012. +x},{41293.4 +x},{37100.7 +x},{0. +x}}
{{65792. +x},{41012.1 +x},{41293.4 +x},{37100.8 +x},{0. +x}}
{{65792.1 +x},{41012.2 +x},{41293.5 +x},{37100.9 +x},{0. +x}}
{{65792.2 +x},{41012.2 +x},{41293.6 +x},{37100.9 +x},{0. +x}}
{{65792.3 +x},{41012.3 +x},{41293.6 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.3 +x},{41012.4 +x},{41293.7 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.4 +x},{41012.4 +x},{41293.7 +x},{37101. +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.8 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.8 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.5 +x},{41012.5 +x},{41293.9 +x},{37101.1 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.6 +x},{41012.6 +x},{41293.9 +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.2 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.7 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.7 +x},{41294. +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.7 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.3 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.8 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.8 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.1 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
{{65792.9 +x},{41012.9 +x},{41294.2 +x},{37101.4 +x},{0. +x}}
28
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
{{122404. +x},{100309. +x},{105552. +x},{110130. +x},{0. +x}}
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis Dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Juni 1991 dari ayah
Prastowo dan ibu Enny Setyowati. Penulis adalah putra pertama dari tiga
bersaudara. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 6 Bekasi dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif sebagai pengurus Gugus
Mahasiswa Matematika (Gumatika) divisi Kewirausahaan pada tahun 2011
dan anggota Badan Pengawas Gumatika (BPG) pada tahun 2012. Penulis
juga berkesempatan aktif di beberapa kepanitiaan yang diadakan oleh
Gumatika, yaitu sebagai anggota divisi medis Welcome Ceremony
Mathematics pada tahun 2011 dan ketua divisi logistik dan transportasi
Seminar Kewirausahaan pada tahun 2011.