Implementasi Waktu Diskrit Pada Rantai Markov

IMPLEMENTASI WAKTU DISKRIT PADA RANTAI MARKOV

SKRIPSI

SITI HAWA GULTOM

050813008

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2007

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

Dalam kehidupan nyata, sejumlah fenomena dapat dipikirkan sebagai percobaan yang mencakup sederatan pengamatan yang berturut-turut dan bukan satu kali pengamatan. Umumnya, tiap pengamatan dalam suatu percobaan tergantung pada beberapa atau semua pengamatan masa lalu dan hasil tiap pengamatan, umumnya, ditentukan dengan hukum-hukum peluang. Studi tentang percobaan dalam bentuk seperti ini dikenal dengan teori proses stokastik.

Mungkin juga terjadi bahwa pengamatan yang berturut-turut dalam suatu percobaan merupakan pengamatan-pengamatan bebas artinya hasil suatu pengamatan tertentu tidak tergantung pada sesuatu hasil pengamatan di masa lalu dan sebaliknya tidak mempengaruhi hasil pengamatan di masa mendatang. Hal seperti ini merupakan keadaan atau bentuk khusus dari proses stokastik dan dikenal dengan proses bebas. Namun dalam suatu percobaan yang lebih rumit, hasil suatu pengamatan tertentu akan tergantung pada hasil pengamatan sebelumnya (terdahulu) dan selanjutnya akan mempengaruhi hasil pengamatan dimasa mendatang.

Lebih sederhana lagi yaitu hasil pengamatan tertentu tergantung hanya pada hasil pengamatan barusan dan bukan pada hasil pengamatan sebelum itu dan sebaliknya, hasil pengamatan tertentu akan mempengaruhi hanya hasil pengamatan berikutnya, tapi bukan hasil-hasil pengamatan sesudahnya. Proses stokastik yang memiliki sifat-sifat ketergantungan seperti ini dikenal dengan proses Markov. Prosedur ini dikembangkan oleh sarjana matematika Rusia Andrei A Markov (1907) yang digunakan untuk mengatur silsilah keturunan kerajaan Inggris.

Rantai Markov merupakan suatu metode yang mempelajari sifat-sifat suatu variabel pada masa sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya dimasa lalu dalam usaha menaksir sifat-sifat variabel yang sama dimasa mendatang.

Proses Markov dapat diklasifikasikan kedalam waktu pengamatan proses serta

state spacenya. Waktu pengamatan proses dapat bersifat diskrit maupun kontinu

demikian juga dengan state spacenya. Oleh karena itu peneliti hanya melakukan pembahasan mengenai “ IMPLEMENTASI WAKTU DISKRIT PADA RANTAI MARKOV.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Adapun yang menjadi permasalahan dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana cara memformulasikan waktu diskrit ke dalam bentuk rantai Markov dan bagaimana cara untuk meramalkan peluang perpindahan dari satu state ke state lainnya berdasarkan contoh yang ada.

1.3 TINJAUAN PUSTAKA

Menurut P. Siagian (1982) Proses Stokastik adalah suatu himpunan variabel acak

{ }

x

( )

t yang tertentu dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui dimana t merupakan parameter waktu (indeks) dari suatu himpunan T.

Papoulis Anthanosius (1984) menyatakan Rantai / Proses markov adalah proses Stokastik pada masa lalu tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Ini mempunyai arti sebagai berikut:

Bila t_n−1 <t_n , maka:

( )

( )

{

xtn ≤xn \x t ,t≤tn−1

}

=P

{

x

( )

tn ≤ xn \x

( )

tn−1

}

P

t t

t1 〈 2 〈 ... 〈 n

maka

( )

( )

( )

{

xtn ≤xn \x tn−1 ,...,x t1

}

=P

{

x

( )

tn ≤ xn \x

( )

tn−1

}

P

Defenisi diatas juga berlaku untuk proses waktu diskrit bila x(tn) diganti dengan xn .

Dimana n = 1,2,3,……,n

Rantai Markov [6] xn, n = 1,2,….,n dengan matrik transisi P. Didefenisikan

matrik transisi n-langkah (P(n)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

( )

∑

∑

∑

∈ + + + ∈

∈ + + + +

+

= =

= =

= =

= =

= =

= = =

=

= =

=

S

K K S

ij kj

ik n

n n

n

S K

n n

n n n

n n

n ij

n n

ij

PP P

P i

x k x P k x j x p

x k x P k x i x j x p i

x j x P P

i x j x P P

/ /

/ ,

/ /

/

1 1

2

1 1

1 2

2 1

) adalah

dimana n

P adalah matriks peluang peralihan n langkah, s adalah state spacenya n

ij

P adalah peluang peralihan dari state i ke state j satu langkah pada pangkat n

Suatu proses stokastik [7] dapat diklasifikasikan kedalam parameter space dan kedalam state space yaitu diskrit atau kontinus. Yang dinamakan sebuah rantai adalah jika state spacenya diskrit. Sebuah rantai Markov yang berorder pertama dapat digambarkan dengan:

1) Semua probabilitas transisi 1-langkah nya Pij

2) Matrik transisi langkah pertamanya P(n)

(n)

3) Diagram transisinya

Jika P adalah matrik transisi MC (Markov Chains) reguler [6] maka: 1) Pn akan menuju sebuah matriks T, apabila n→∞

2) Setiap baris dari T sama yaitu berupa vektor peluang W 3) Semua elemen W adalah positip, W merupakan state awal.

Disney Clark (1985) menyatakan untuk menghitung peluang vektor peluang

state dalam n langkah, didapat dengan mengalikan state awal p(0) dengan matriks satu langkah pangkat n.

p(n) = p(0) Pn , n 1 ≥ p(n) = Vektor pembagian state pada waktu n, n≥ 1

p0 = Vektor pembagian state awal Pn

∑

∞₌

+ ₌

0

k

m kj n ik m

n

ij p p

p

= Matriks transisi P dalam n langkah

Menurut Sheldon (1969) persamaan Chapman Kolmogorov dalam menghitung peluang peralihan n langkah:

n ik

p = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah n langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam state i.

m kj

p = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui sebelumnya berada dalam state k.

k n ij

p + = Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah n+m langkah. Dengan menggunakan hubungan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan bahwa p(n) = Pn dimana matriks peluang peralihan n langkah Pn

Menurut P. Sianipar (1996) Matriks adalah suatu susunan atau kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga sama dengan matriks peluang peralihan satu langkah pangkat n.

Selanjutnya Fieldman (1996) menyatakan bahwa peluang steady state adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keadaan tetap (keseimbangan) sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi dimana peluang peralihan independen terhadap kondisi awal proses apabila n menuju tak hingga.

berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya jumlah baris dan kolom. Matriks bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah baris dan kolomnya adalah sama (m=n).

1.4 TUJUAN PENELITIAN

Adapun yang menjadi tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui peranan waktu diskrit pada rantai Markov untuk mendapatkan peluang perpindahan dari satu

state ke state lain dalam suatu problema.

1.5 PEMBATASAN MASALAH

Agar penelitian ini tepat sasaran penulis menetapkan pembatasan permasalahan adalah hanya mencari peluang perpindahan dari satu state ke state lainnya dalam suatu masalah dimana penulis mengambil sebagai contoh adalah perpindahan tikus dalam melewati beberapa state untuk mencapai tujuan.

1.6MANFAAT PENELITIAN

Diharapkan penelitian ini dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov pada data yang telah ada. Ini juga diharapkan dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang parameter yang terdapat dalam rantai markov.

1.7METODE PENELITIAN

Dalam penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan penulis adalah sebagai berikut:

1) Mengumpulkan bahan baik dari buku maupun artikel dari internet.

3) Menguraikan waktu diskrit pada rantai Markov. 4) Membuat aplikasinya kedalam bentuk contoh. 5) Menentukan matriks peluang peralihan.

      

     =

nn n

n p p

p

p p

p

p p

p P

    

 

2 1

23 22

21

13 12

11

6) Menghitung peluang state n langkah peralihan. ( )n n

P p

p = 0

dimana

p(n) = Vektor pembagian state pada waktu n

p0 = Vektor pembagian state awal Pn

7) Menghitung probabilitas steady state matriks P. = Matriks transisi P dalam n langkah

∑

₌ = n

i ij i

j p

1 π π

j

π adalah batas distribusi peluang peralihan steady state dari status j. i

π adalah batas distribusi peluang peralihan steady state dari status i. ij

p adalah peluang perpindahan dari state i ke state j.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1Pengantar

Proses Markov dapat diklasifikasikan sesuai dengan sifat waktu pengamatan proses serta state spacenya. Waktu pengamatan proses dapat bersifat diskrit maupun kontiniu dan state spacenya bersifat diskrit maupun kontinu baik terbatas maupun tak terbatas.

2.2Data

Definisi 2.2.1 Data adalah suatu sumber informasi yang diketahui atau diasumsikan untuk memberikan suatu gambaran mengenai suatu keadaan. Syarat data yang baik adalah

1. Objektif adalah sesuai keadaan sebenarnya.

2. Representatif adalah mewakili objek yang diketahui.

3. Standard errornya kecil.

4. Relevan adalah berkaitan dengan masalah.

Data terbagi atas dua jenis yaitu:

1. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk bilangan atau angka, harganya berubah-ubah dan bersifat variabel.

2. Data kualitatif adalah data yang berbentuk suatu kategori.

Data dapat diklasifikasikan berdasarkan pengumpulan data yaitu:

1. Data primer adalah data yang diperoleh langsung dari sumber pertama baik dari individu maupun perorangan seperti hasil wawancara atau hasil pengisian kuesioner yang dilakukan oleh peneliti.

2. Data sekunder adalah data primer atau data dalam bentuk jadi biasanya telah dikelolah oleh pihak lain.

Definisi 2.3.1 Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka sering disebut elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya kolom dan baris yang dibatasi dengan tanda kurung.

      

     =

mm m

m m

n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a P

     

 

3 2 1

1 23

22 21

1 13

12 11

Atau disingkat dengan:

(aij), i = 1,2,…..,m

j = 1,2,…..,n

Matriks diatas disebut matriks tingkat m x n atau disingkat matriks m x n karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap aij disebut elemen (unsur) dari matriks itu

sedangkan indeks i dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen aij

terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j. Matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n).

Definisi 2.3.2

1. Jika A = [aij] dan B = [bij] keduanya adalah matriks berukuran mxn, maka A +

B = [aij + bij].

2. Jika A = [aij] matriks berukuran m x n dan k adalah skalar, maka k A = [kaij].

3. Jika A = [aij] matriks beruran m x p dan B = [bij] matriks berukuran p x n

maka perkalian matriks A x B berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B

  

 =

∑

=

p

k

kj ikb

a AB

1

4. Jika A = [aij] dan B = [bij] keduanya adalah matriks berukuran m x n maka

A = B jika aij = bij untuk semua i, j

A ≥ B jika aij ≥ bij untuk semua i, j

AB > jika aij > bij untuk semua i, j

5. Matriks bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m=n).

      

     =

mm m

m m

n

a a

a a

a a

a a

a a

a a A

     

 

3 2 1

21 23

22 21

1 13

12 11

6. Matriks identitas (In) adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai angka satu di sepanjang diagonal utama (diagonal dari kiri atas menuju kanan bawah) elemen yang lainnya adalah nol.

      

     =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

n

2.4 Peluang

Definisi 2.4.1 Peluang adalah suatu ukuran kuantitatif dari suatu ketidakpastian merupakan suatu angka yang membawa kekuatan keyakinan atas suatu kejadian dari suatu peristiwa yang tidak pasti.

Definisi 2.4.2 Ruang sampel / sample space (Ω) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen).

Definisi 2.4.3 Eksperimen adalah suatu proses yang menyebabkan satu dari beberapa kemungkinan hasil.

Definisi 2.4.4 State space adalah himpunan semua bilangan asli yang merupakan range dari semua peubah acak dalam prose stokastik atau himpunan dari semua ruang sampel.

Definisi 2.4.5 Misalkan C adalah sebuah percobaan random yang memiliki ruang sampel , suatu fungsi t memetakan setiap c ∈ Ω satu dan hanya satu ke bilangan riil disebut peubah acak. Ruang dari T adalah hinpunan dari bilangan asli {A=t, : t= T (c),

c ∈ Ω }. Atau peubah acak adalah suatu fungsi yang mengubah setiap nilai anggota ruang sampel menjadi suatu bilangan riil.

Secara umum peubah acak terbagi atas 2:

1. Peubah acak diskrit adalah apabila nilai dari peubah acak adalah bilangan bulat atau jika banyaknya titik sampel dapat dihitung.

2. Peubah acak kontinu adalah apabila nilai dari peubah acak adalah pecahan, bilangan desimal, bilangan riil. Atau jika banyaknya titik sampel dari suatu ruang sampel tidak berhingga banyaknya.

Peluang adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya yang tidak pasti. Misalkan S adalah suatu ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A adalah ruang kejadiannya. Peluang suatu kejadian A ditulis P(A) dapat didefenisikan secara matematis sebagai berikut:

(2.1) dimana n(A) menyatakan banyaknya anggota dari himpunan A dan n(S) menyatakan banyaknya anggota ruang sampel.

Sifat penting dari suatu kejadian A atau P(A) yaitu:

1. Nilai peluang kejadian A selalu berada pada selang [0,1] atau 0≤ P(A) ≤ 1 2. Nilai peluang dari peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah 0 atau P(φ) = 0 3. Nilai peluang suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau P(S) = 1

2.5 Peluang Bersyarat

Dua kejadian dikatakan mempunyai peluang bersyarat (kondisional) bilamana terjadinya suatu kejadian merupakan persyaratan terjadinya kejadian yang lain. Secara umum peluang kondisional peluang A jika diketahui B didefenisikan sebagai berikut:

Apabila A dan B adalah kejadian yang terdapat dalam ruang sampel dan peluang kejadian B tidak sama dengan nol, maka peluang bersyarat A jika diketahui kejadian B telah terjadi sebelumnya adalah

( ) ( )

n_n

_{( )}

_SA A

(

) (

=

_{( )}

∩

)

,P

( )

B 〉0

B P

B A P B / A

P (2.2)

Ini hanya berlaku apabila P(B) ≠ 0. Karena jika P(B) = 0 maka P(A\B) tidak

terdefenisi . Untuk keadaan dimana kejadian A dan B adalah independen maka dapat dinyatakan:

(

) ( ) (

)

(

A B

) ( ) ( )

P A P B P

B A P B P B A P

= ∩

=

∩ \

karena P(A\B) = P(A) 2.6 Teorema Bayes

Misalkan S adalah ruang sampel dari kejadian B1, B2, …., Bn adalah kejadian

didalam S dimana B1, B2, ….., Bn adalah kejadian yang saling lepas dan membentuk

partisi didalam S jika memenuhi ciri:

S B B B B

n j

n i

j i B B

S B

n i

j i i

= ∪ ∪ ∪

= =

≠ ∩

⊆

3 2

. 3

,..., 2 , 1 ,....,

2 , 1 .

2 . 1

Jika B1,B2,…..,Bn membentuk partisi dalam S dan A adalah peristiwa lain

dalam S maka (A∩ B1), (A∩B2), (A∩B3),….,(A∩Bn) akan membentuk pratisi

sehingga

A=(A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪(A∩B3) ∪,……∪(A∩Bn) (2.3)

Karena kejadian-kejadian secara eklusif secara bersama-sama maka

P(A)=P(A ∩B1)+P(A∩B2)+P(A∩B3)+……+P(A∩Bn)

P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+…..+P(Bn)P(A/Bn)

( )

_∑

( ) (

)

=

= n

i j

j j P A B B

P A

P \ (2.4)

(

) (

_{( )}

)

(

) ( )

( )

(

) ( )

( ) (

)

(

(

)

( ) (

n n

)

)

i i i

i i i

B A P B P B

A P B P B A P B P

B P B A P A

P B P B A P

A P

B A P A B P

\ ....

\ \

\ \

\

2 2

1

1 + +

= =

∩ =

Sehingga

(

)

(

) ( )

( ) (

)

∑

₌

= n

j

j j

i i i

B A P B P

B P B A P A B P

1

\ \

\ (2.5)

Jika Ai, i= 1,2,…,n maka peluang kondisional An dengan syarat A1, A2, …..,An-1 telah

terjadi sebelumnya ialah

(

) (

₍

₎

)

1 2

1 2 1 1

2 1

,..., ,

... ,...,

, \

−

− = ∩ ∩ ∩

n n n

n

A A

A P

A A

A P A

A A A P

atau dapat ditulis juga

(

A1∩A2,...,∩An

) ( ) (

=P A1 P A2 \ A1

) (

P A3 \A1 ∩A2

) (

....P An \ A1∩A2 ∩...An−1

)

P

(2.6) Sifat yang paling mendasar adalah bahwa tiap-tiap barisan kejadian merupakan kejadian yang hanya tergantung pada kejadian sebelumnya yaitu Aj+1 tergantung pada

Aj akan tetapi Aj+1 tidak tergantung pada Aj-1, Aj-2,…..,A1 maka persamaan ini dengan

asumsi diatas dapat disederhanakan menjadi

(

A1∩A2,....,∩An

) ( ) (

= P A1 P A2 \A1

) (

P A3 \ A2

)

...P

(

An \An−1

)

P (2.7)

2.7 Deskripsi Proses Markov waktu diskrit

Konsep dasar proses Markov adalah state dari sistem atau state transisi, sifat dari proses ini adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan tertentu maka peluang berkembangnya proses dimasa mendatang hanya tergantung pada saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya .

Apabila Xn , n = 1,2,3,….,n merupakan sekumpulan variabel-variabel random

stokastik dengan paramter diskrit. Proses stokastik dapat didefenisikan secara sederhana sebagai kumpulan variabel acak Xt dimana t berulang dalam T sedangkan T

merupakan kumpulan bilangan bulat non-negatif dan Xt menyatakan sifat-sifat suatu

keadaan yang dapat diukur pada saat t.

Proses stokastik x disebut bersifat Markov, bila: _t

{

}

{

x j x i

}

P

i x k x k x k x j x P

t t

t t t t

= =

=

= =

= =

=

+

− − +

\

, ,...,

, \

1

1 1 1 1 0 0 1

(2.8) untuk t = 0,1,2,…….,n

Dari sifat ini dapat diartikan serupa dengan keadaan peluang bersyarat dari kejadian yang akan datang bila diketahui kejadian yang telah lalu dan tingkat keadaan sekarang xt = i adalah tidak tergantung pada tingkat keadaan sekarang dari proses

tersebut.

Peluang bersyarat P

{

x_t = j\x_t =i

}

disebut kemungkinan peralihan. Apabila untuk setiap i dan j,

{

x j x i

} {

P x j x i

}

P t+1 = \ t = = t = \ 0 =

untuk semua t = 0,1,2,….,n maka peluang beralih satu langkah disebut stasioner dan diberi tanda dengan Pij. Peluang beralih satu langkah juga termasuk untuk i, j dan t =

0,1,2,…..,n

P

{

x_t+n = j\x_t =i

} {

=P x_n = j\x₀ =i

}

Peluang bersyarat diberi notasi Pijn disebut peluang beralih n langkah, yang disebut juga dengan peluang bersyarat dari variabel random x, yang dimulai pada tingkat keadaan i dan menjadi tingkat keadaan j setelah n langkah. Karena P_ijn adalah peluang bersyarat maka harus memenuhi kondisi :

0

≤

n ij

P , untuk semua i dan j ;

n = 0, 1, 2, 3, ….. (2.9)

1 =

∑

n ij

p , untuk semua i;

n = 0, 1, 2, 3, ….. (2.10)

Suatu proses stokastik {xt}, t = 0, 1, 2, 3, …. disebut sebagai proses Markov dalam

tingkat keadaan terbatas jika memenuhi kondisi-kondisi sebaagai berikut: 1. Jumlah tingkat keadaan terbatas.

2. Mempunyai sifat Markovian.

3. Peluang beralihnya bersifat stasioner 4. Peluang awal P{x0 = i }, untuk semua i.

Definisi 2.7.1 waktu diskrit rantai Markov { xn / n = 0, 1,….} adalah waktu diskrit

dimana sekumpulan nilai diskrit acak dengan syarat x0,….,xn, dimana variabel acak

yang baru xn+1 hanya bergantung pada kejadian sebelumnya xn dimana paluang

transisinya

[

xn j xn i xn in x i

] [

P xn j xn i

]

Pij

P ₊₁ = \ = , ₋₁ = ₋₁,..., ₀ = ₀ = ₊₁ = \ = =

Nilai dari Xn adalah jumlah semua dari masa lalu dari sistem yang diperlukan untuk memprediksi masa yang akan datang dari sekumpulan varibel acak. Dengan perkata lain xn dinamakan state dari waktu n dan sampel space dari xn dinamakan himpunan

Definisi 2.7.2 Diberikan xn = 0, 1,….. adalah rantai Markov dengan state space E

diskrit maka peluang kondisional

{ }

pijn didefenisikan dengan:

{

}

n

ij n j x i P

x

P = \ ₀ = (2.11)

{ }

n ij

p disebut peluang transisi n langkah dari matariks Pn =

( )

p_ijn disebut matriks

transisi n langkah. Pn

_p

_≥0,i,j≥0

ij

adalah juga disebut matriks stokastik jika

{

}

{

}

{

}

1

0 0 0

=

= ∈

=

= =

=

= =

=

∪

∑

∑

∈ ∈ ∈

i / E P

i / j P

i / j P

x

x

x

x

x

x

p

n n E j E j

n E

j n ij

Matriks peluang peralihan n langkah dari rantai markov homogen adalah sebagai berikut :

{ }

      

     = =

n ir n

i n i

n r n

n

n r n

n

n ij n

p p

p

p p

p

p p

p

p P

    

 

1 0

1 11

10

0 01

00

Rantai Markov merupakan keseluruhan tingkah laku dari tikus yang berada pada satu state kemudian berpindah ke state lain. Menggunakan analisis rantai Markov terhadap perpindahan state mencakup:

1. Meramalkan peluang perpindahan tikus untuk mendapatkan makanan dari

state yang satu ke state yang lainnya.

2. Memprediksi vektor peluang masing-masing state pada waktu mendatang. 3. Memperkirakan peluang kemantapan (steady state) pembagian masing-masing

2.8 Persamaan Chapman Kolmogorov

Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan sebuah metode untuk menghubungkan peluang peralihan n langkah yang berurutan. Untuk dapat menghitung peluang peralihan n langkah digunakanlah persamaan ini, yaitu:

E

j

,i

,

0

m

,

n

,

p

p

p

n_ik n_kj

E k m n

ij

=

∑

≥

∈

∈ +

(2.12) n

ik

p = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah n langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam state i.

m kj

p = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state k. m

n ij

p + = Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah n+m langkah.

Dengan menggunakan hubungan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan bahwa P(n) = Pn matriks peluang peralihan n langkah (Pn

p

p

p

p

p

kj

E k

n ik n

kj E

k ik

n

ij

∑

∑

∈ − −

∈ =

= 1 1

) sama dengan matriks

peluang peralihan satu langkah pangkat n.

Buktinya dilakukan dengan induksi n = 1 dan m = n-1 maka persamaan (2.12) menjadi:

dengan

_p

n ij

adalah anggota atau elemen dari matriks Pn

_p

n kj

1

−

dan pik dan anggota dari

matriks P. Persamaan diatas memperlihatkan peluang peralihan n langkah dapat diperoleh dari peluang beralih satu langkah. Misalkan untuk n = 2

∑ ∑

∑

_∈ = _{∈ ∈}

=

E k k E

kj ik E

k

kj ik

ij p p p p

p2

Karena p_ij2 merupakan elemen dari matriks P , 2 p dan _ik p_kjn−1 elemen dari matriks P,

maka p2 = P.P yaitu perkalian matriks peralihan satu langkah dengan matriks itu

sendiri. Untuk n langkah secara umum dapat diperoleh:

P

n

= P.P…..P = P

n

= P.P

n-1

= P

n-1

.P = P

n

Sehingga dapat dikatakan bahwa peluang peralihan n langkah dapat diperoleh dengan memangkatkan n, matriks beralih satu langkah.

2.9 Peluang State n Langkah

Definisi 2.9.1 Andaikan pn =

(

p₀n,p₁n,...,

)

adalah vektor peluang state setelah n langkah maka n

j

p , vektor peluang statenya adalah p yaitu vektor peluang berada nj pada state j setelah n langkah dengan n≥1, j∈E

(

)

(

)

(

) (

)

∑

∑

∑

∈ ∈

∈

=

= =

= =

= =

= = =

E i

n ij i E i

n E i

n n

n j

p p

j x j x p i x p

i x j x p j

x p p

0

0 0

0

\ ,

(2.13)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah n langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.13) dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk n = 1

P1 = p0

(

)

(

)

(

) (

)

∑

∑

∑

∈ −

∈ − −

∈ −

=

= =

= =

= =

= = =

E i

ij n i E i

n n

n

E i

n n

n n

j

p p

j x j x p i x p

i x j x p j

x p p

1

1 1

1

\ ,

P

atau

(2.14)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah n langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.14) dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk n =1

( ) ( )

P

p

P

P

p

P

p

p

P

p

p

2 0 0

1 2

0 1

= =

= =

Dapat disimpulkan vektor peluang state dalam n langkah diperoleh dengan mengalikan state awal p(0)

( )

1 ,

0 1

≥ =

=

p

−

p

p

_P

n

p

n n n n

2.10 Peluang Steady State

Definisi 2.10.1 Sebuah matriks peralihan adalah bujur sangkar (reguler) jika suatu pangkat bulat dari matriks itu mempunyai entri yang semuanya positif.

{ }

      

     = =

n ir n

i n i

n r n

n

n r n

n

n ij n

p p

p

p p

p

p p

p p

P

    

 

1 0

1 11

10

0 01

00

Jika P adalah matriks bujur sangkar maka: 1. Untuk n→∞. Pn

      

     =

n n

n π π

π

π π

ππ π π

π

    

 

2 2

2

1 1

1

akan menuju suatu matriks

2.

            =

n

π ππ

π _2

1

Setiap kolom merupakan bilangan-bilangan positif dan

1

3 2

1+

π

+

π

+ +

π

=

π

 n

3. Jika

      

 

      

 

=

x

x

x

x

x

n 

3 2 1

adalah sebarang vektor peluang. Karena

P

n

→

π

untuk n→∞, maka

( )P nx→πx sehingga

      

    

+ +

+

+ +

+

+ +

+ =                   

     =

n n n

n

n n

n n n

n x x x

x x

x

x x

x

x x x x

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

   



  

    

 

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1 2

1 2 2

2

1 1

1

(

)

π π

π ππ

= =             + + +

= .... 2 1

1

2 1

n n

x x

x Px



Dimana pi adalah peluang sistem saat berada pada state i, i= 1, 2, 3, ……, n

4. Jikapn →π, maka Pn+1 →πPn+1 =PPn Jadi Pn+1 →Pπ karena Pπ =π

Peluang peralihan pada tingkat keadaan mantap (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan mantap didefenisikan sebagai berikut:

n ij n j =lim_→∞p

π (2.15)

dengan: j

π = batas distribusi peluang peralihan tingkat keadaan mantap dalam keadaan j.

Dengan makin besar nilai n, maka peluang peralihan akan mendekati suatu nilai tertentu, tanpa dipengaruhi oleh state mana yang ditempati pada n = 0. dalam sebagian besar kasus, hubungan atau relevansi antara keadaan awal dengan peluang peralihan tahap ke n akan mengecil dengan bertambahnya n.

{

x j x i

}

P

{

x j

}

P _n

n n

n→∞ = \ = =lim→∞ =

lim ₀

n j n j =lim_→∞p

π

Dengan demikian akan diperoleh suatu distribusi untuk n menuju tak hingga berada dalam keadaan mantap, karenanya informasi mengenai kedudukan awal dari proses tidak diperlukan lagi, atau dengan kata lain nilai dari peluang peralihan tingkat keadaan mantap independen terhadap kondisi awal proses, dan konvergen ke sebuah matriks π untuk n menuju tak berhingga. Untuk setiap baris vektor distribusi steady

state sebagai berikut:

Karena Pn →π, maka Pn+1 →π sehingga n

n

PP P +1 =

n n n

n P P →∞P

+ ∞

→ = lim

lim 1

n n

n n

n n

P

π π

π

π π

ππ π π

π π

π

π π

ππ π π

    

 

    

 

2 2

2

1 1

1

2 2

2

1 1

1

=

π

π =P (2.16)

Persamaan tersebut merupakan persamaan-persamaan linier dengan beberapa harga yang tidak diketahui dan merupakan kumpulan dependen, sehingga menghasilkan banyak solusi dan hanya ada sebuah persamaan diantara persamaan tersebut yang pantas sebagai suatu distribusi peluang supaya diperoleh suatu solusi tunggal dan nilai total seluruh πj sama dengan satu, secara matematika sebagai berikut:

1

=

j

π (2.17)

Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan normalizing. Dengan memasukan persamaan tersebut dalam kumpulan persamaan-persamaan linier yang ada akan diperoleh suatu solusi tunggal, yang memenuhi suatu distribusi peluang.

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Pengolahan Data

Seperti yang dijelaskan pada bab yang sebelumnya, rantai Markov atau proses Markov akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penulisan skripsi ini. Data yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah peluang perpindahan seekor tikus dari satu state ke state untuk mendapatkan makanan yang diambil dari sebuah buku.

Sebuah percobaan tentang seekor tikus yang sedang mengembara di sepanjang jaring dengan jalan kecil (dalam suatu simpang siur jalan). Jaringan tersebut terdiri dari enam ruangan yang diberi label 1,2,3,4,5,6 lihatlah gambar 3.1.1.Jika sebuah ruangan mempunyai k pintu dengan peluang seekor tikus untuk memilih jalan yang cocok adalah 1/k. Bagaimanapun, jika tikus mencapai ruangan 1 yang mana terdiri dari makanan atau 6 merupakan ruangan yang terdapat aliran listrik, bila tikus tersebut akan memasuki ruangan tersebut maka tikus akan kesetrum oleh sengatan listrik dan tikus tersebut akan berdiam disana kemudian percobaan selesai atau stop.

Gambar 3.1.1 The maze.

1

( Food)

3

5

2 4 6

(Shock)

Misalkan Rn adalah ruangan tikus dengan n langkah. Rantai {Rn}n=0.1.2..

       

 

       

  =

1 0 0 0 0 0

2 1 0 0 2 1 0 0

3 1 0 0 3 1 3 1 0

0 3 1 3 1 0 0 3 1

0 0 2 1 0 0 2 1

0 0 0 0 0 1

P

Diagram transisinya dapat dilihat dalam gambar 3.1.2. dibawah ini: Gambar 3.1.2 Diagram transisi proses pengembaraan tikus .

1 1/3 1/3

1/2 1/2

1/2 1/3 1/3

1/2 1/3 1

1/3

3.2 Matriks Transisi 4 Langkah

Karena telah diperoleh matriks transisi satu langkah maka dengan menggunakan rumus Chapman Kolmogorov bahwa P(n) = Pn yaitu Pn

      

 

      

  =

1 0 0 0

0 0

5000 . 0 0 0 5000 . 0 0 0

3333 . 0 0 0 3333 . 0 3333 . 0 0

0 0 3333 . 0 0 0

3333 . 0

0 0 5000 . 0 0 0

5000 . 0

0 0 0 0

0 1

P

diperoleh dengan mengalikan matriks transisi P sebanyak n kali dimana n = 1,2,3,4.

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi P2 yaitu matriks transisi P tahun kedua.

1 3 5

                  = 0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 1667 . 0 1667 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1667 . 0 3333 . 0 1111 . 0 2777 . 0 0000 . 0 0000 . 0 2777 . 0 2777 . 0 0000 . 0 0000 . 0 2777 . 0 1111 . 0 3333 . 0 1667 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1667 . 0 1667 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1 2 P

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi P3

                  = 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 6389 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1389 . 0 0555 . 0 1667 . 0 4814 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1481 . 0 0926 . 0 2777 . 0 2777 . 0 0926 . 0 1481 . 0 0000 . 0 0000 . 0 4814 . 0 1667 . 0 0555 . 0 1389 . 0 0000 . 0 0000 . 0 6389 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1 3 P yaitu matriks

transisi P tahun ketiga.

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi P4

                  = 0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 6389 . 0 0463 . 0 0741 . 0 0000 . 0 0000 . 0 2407 . 0 4814 . 0 0494 . 0 0957 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3734 . 0 3734 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0957 . 0 0494 . 0 4814 . 0 2407 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0741 . 0 0463 . 0 6389 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1 4 P yaitu matriks transisi P tahun keempat.

Dari matriks yang diperoleh maka dapat diketahui bahwa peluang perpindahan tikus dari satu state ke state yang lainnya dapat dilihat pada matriks diatas.

3.3Peluang State 8 Langkah.

Dengan diketahui matriks P, maka berdasarkan vektor awal dapat diprediksi vektor distribusi perpindahan tikus dari satu state ke state yang lainnya dengan menggunakan rumus (2.13) yaitu peluang n langkah.

P(n) = p (0) Pn , n = 1,2,……,8

Pn = Vektor pembagian state pada waktu n, n = 1,2,…,8

P0 = Vektor pembagian state awal

Pn

      

 

      

 

6 5 4 3 2 1

p p p p p p

P

= Matriks transisi P dalam n langkah.

Dimana p adalah peluang sistem saat berada pada state j , j = 1,2,3,..,6. _j

Jika tikus tersebut mamulai perjalanannya pada label 3 maka kemungkinan perpindahan jalurnya diberikan oleh vektor-vektor keadaan awal yaitu

(

0 0 1 0 0 0

)

0 =

p

maka:

p

1

= p

0

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

P

(

0 0 1 0 0 0

)

0 =

p

sehingga:

(

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.3333 0.0000

)

1 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p2 diperoleh dengan menggunakan rumus: p2 = p1 P

atau p2 = p0 P

(

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.3333 0.0000

)

1 =

p

2

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

Maka

(

0.3333 0.1111 0.2777 0.0000 0.0000 0.2777

)

2 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p3 diperoleh dengan menggunakan rumus:

p3 = p2P

atau p3 = p0P

(

0.3333 0.1111 0.2777 0.0000 0.0000 0.2777

)

2 =

p

3

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

maka

(

0.4814 0.0000 0.0000 0.1481 0.0926 0.2777

)

3 =

sedangkan untuk mendapatkan p4 diperoleh dengan menggunakan rumus:

p4= p3P

atau p4 = p0P

(

0.4814 0.0000 0.0000 0.1481 0.0926 0.2777

)

3 =

p

4

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

maka

(

0.4814 0.0494 0.0957 0.0000 0.0000 0.3734

)

4 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p5 didapat dengan menggunakan rumus:

p5 = p4P

atau p5 = p0P

(

0.4814 0.0494 0.0957 0.0000 0.0000 0.3734

)

4 =

p

5

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

maka

(

0.5380 0.0000 0.0000 0.0566 0.0319 0.3734

)

5 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p6didapat dengan menggunakan rumus:

p6 = p5P

atau p6 = p0P6

(

0.5380 0.0000 0.0000 0.0566 0.0319 0.3734

)

5 =

p

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

sehingga

(

0.5380 0.0189 0.0348 0.0000 0.0000 0.4082

)

6 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p7 didapat dengan menggunakan rumus:

p7 = p6P

atau p7 = p0P

(

0.5380 0.0189 0.0348 0.0000 0.0000 0.4082

)

6 =

p

7

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

sehingga

(

0.5590 0.0000 0.0000 0.0210 0.0116 0.4082

)

7 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p8 didapat dengan menggunakan rumus:

p8 = p7P

atau p8 = p0P

(

0.5590 0.0000 0.0000 0.0210 0.0116 0.4082

)

7 =

p

8

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

sehingga

(

0.5590 0.0070 0.0128 0.0000 0.0000 0.4210

)

8 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p9 didapat dengan menggunakan rumus:

p9 = p8 P

atau p9 = p0 P

(

0.5590 0.0070 0.0128 0.0000 0.0000 0.4210

)

8 =

p

9

maka

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

sehingga

(

0.5668 0.0000 0.0000 0.0078 0.0043 0.4210

)

9 =

p

Dengan menggunakan vektor ini dan teorema dapat ditentukan keadaan vektor selanjutnya pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.1: Peluang keadaan vektor dari state i ke state j

pn State 1 State 2 State 3 State 4 State 5 State 6 p0 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

p1 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.3333 0.0000

p2 0.3333 0.1111 0.2777 0.0000 0.0000 0.2777

p3 0.4814 0.0000 0.0000 0.1481 0.0926 0.2777

p5 0.5380 0.0000 0.0000 0.0566 0.0319 0.3734 p6 0.5380 0.0189 0.0348 0.0000 0.0000 0.4082 p7 0.5590 0.0000 0.0000 0.0210 0.0116 0.4082 p8 0.5590 0.0070 0.0128 0.0000 0.0000 0.4210 p9 0.5668 0.0000 0.0000 0.0078 0.0043 0.4210

Dengan kata lain, vektor-vektor state tersebut konvergen ke sebuah vektor yang tetap jika jumlah pengamatannya makin lebih besar. Untuk semua nilai n yang lebih besar dari 8, semua vektor state sama dengan p8

6 ,..., 3 , 2 , 1 ,

lim =

= _→∞p_ijn j n

j

π

.

3.4 Peluang Steady State

Peluang peralihan pada tingkat keadaan mantap (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan mantap didefenisikan sebagai berikut: untuk memeriksa hasil vektor peluang state yang diperoleh apakah sudah benar atau tidak maka digunakan peluang steady state.

(3.1) dengan

j

π = Batas distribusi peluang peralihan tingkat keadaan mantap dalam keadaan

j.

Dari matriks P yang ada maka dicari Pn

      

 

      

  =

0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0

3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0

0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0

0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0

0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1

P

untuk mengetahui apakah matriks P yang

Misalkan P                   = 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 1667 . 0 1667 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1667 . 0 3333 . 0 1111 . 0 2777 . 0 0000 . 0 0000 . 0 2777 . 0 2777 . 0 0000 . 0 0000 . 0 2777 . 0 1111 . 0 3333 . 0 1667 . 0 0000 . 0 0000 . 0 1667 . 0 1667 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1 2 P 2

Karena P2 merupakan matriks yang regular yaitu memiliki elemen-elemen yang positif maka dapat ditentukan peluang steady state dari matriks P.

π

π =P

(3.2)

                                    =                   6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 5000 . 0 0 0 5000 . 0 0 0 3333 . 0 0 0 3333 . 0 3333 . 0 0 0 3333 . 0 3333 . 0 0 0 3333 . 0 0 0 5000 . 0 0 0 5000 . 0 0 0 0 0 0 1 π π ππ ππ π π π π ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

6 5 4 3 2 1 6 6 6 3 5 6 3 2 4 5 4 1 3 4 1 2 1 1 1 5 . 0 5 . 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 0 5 . 0 5 . 0 + + + + + = = + = + + = + + = + = =

Perhatikan matriks peluang pembagian state, baris pertama menyatakan:

State 1 = state 1

State 2 = 0.5 state 1 + 0.5 state 4

State 3 = 0.3333 state 1 + 0.3333 state 4 + 0.3333 state 5 State 4 = 0.3333 state 2 + 0.3333 state 3 + 0.3333 state 6 State 5 = 0.5 state 3 + 0.5 state 6

Sehingga sistem linier F = (I- P) π = 0 adalah                   = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 I                   = 0000 . 1 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 3333 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 5000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 0 0000 . 1 P

(

)

                  − − − − − − − − − = − 0 0 0 0 0 0 5000 . 0 1 0 5000 . 0 0 0 3333 . 0 0 1 3333 . 0 3333 . 0 0 0 3333 . 0 3333 . 0 1 0 3333 . 0 0 0 5000 . 0 0 1 5000 . 0 0 0 0 0 0 0 P I

Maka sistem linear (I-P) π = 0 adalah

                    =                                     − − − − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5000 . 0 1 0 5000 . 0 0 0 3333 . 0 0 1 3333 . 0 3333 . 0 0 0 3333 . 0 3333 . 0 1 0 3333 . 0 0 0 5000 . 0 0 1 5000 . 0 0 0 0 0 0 0 6 4 3 2 1 5

π

π

π

π

π

π

Jika persamaan diatas diselesaikan dengan bentuk eselon baris tereduksi untuk matriks koefisien tersebut maka didapatlah:

Vektor steady statenya dari sistem tersebut adalah yaitu:

       

 

       

  =        

 

       

 

1526 .

0

1727 .

0

1687 .

0

1927 .

0

1607 .

0

1526 .

0

6 5 4 3 2 1

ππ ππ ππ

1. Peluang tikus untuk mencapai state 1 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1526 .

2. Peluang tikus untuk mencapai state 2 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1607.

3. Peluang tikus untuk mencapai state 3 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1927 .

4. Peluang tikus untuk mencapai state 4 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1687.

5. Peluang tikus untuk mencapai state 5 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1727.

6. Peluang tikus untuk mencapai state 6 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1526.

Jadi dapat disimpulkan bahwa peluang tikus untuk mencapai setiap state memiliki peluang yang tidak jauh berbeda, jadi tikus dapat memulai perjalanannya dari jalur mana aja karena peluangnya adalah tidak jauh berbeda.

Contoh 2:

Seorang polwan ditugaskan untuk mengatur lalu lintas di depan persimpangan seperti ditunjukan pada gambar di bawah ini. Ia diinstruksikan untuk berada di sebuah persimpangan selama satu jam, dan kemudian bias tetap berada pada persimpangan yang sama atau berpindah ke persimpangan berikutnya. Untuk menghindari pola yang sama sang polwan diperintahkan untuk selalu memilih persimpangan berikutnya secara acak dengan setiap kemungkinan pilihan mempunyai probabilitas yang sama. Sebagai contoh jika ia berada di persimpangan 5, persimpangan berikutnya adalah 2,4,5 dan 8 masing-masing mempunyai probabilitas 1/4. Setiap hari ia memulai kegiatan dilokasi dimana ia berhenti pada hari sebelumnya.

Gambar: polwan lalu lintas

1 2

3 4 5

6 7 8

Matriks transisi untuk rantai Markov ini adalah:

          

 

          

 

=

3 / 1 4 / 1 0 4 / 1 0 0 0 0

3 / 1 4 / 1 3 / 1 0 5 / 1 0 0 0

0 4 / 1 3 / 1 0 0

3 / 1 0 0

3 / 1 0 0 4 / 1 5 / 1 0 3 / 1 0

0 4 / 1 0 4 / 1 5 / 1 3 / 1 0 3 / 1

0 0

3 / 1 0 5 / 1 3 / 1 0 0

0 0

0 4 / 1 0 0

3 / 1 3 / 1

0 0

0 0 5 / 1 0 3 / 1 3 / 1

P

Apabila matriks transisi diatas di ubah kedalam bentuk pecahan maka :                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P

Peluang State n-Langkah

Karena telah diperoleh matriks transisi 1-langkah maka dapat kita cari matriks transisi 4-langkah dengan menggunakan rumus Chapman Kolmogorof bahwa P(n) = Pn

diman P(n) adalah matriks peluang peralihan n langkah dan Pn adalah matriks peluang peralihan 1-langkah pangkat n. Pn diperoleh dengan mengalikan matriks transisi P sebanyak n kali, dimana n=1,2,3,4.

                          = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P

dengan diketahuinya matrik P maka dapat diramalkan matriks transisi P2 yaitu matriks transisi P tahun kedua.

                          = 277 . 0 146 . 0 083 . 0 146 . 0 100 . 0 000 . 0 083 . 0 000 . 0 194 . 0 279 . 0 194 . 0 133 . 0 090 . 0 177 . 0 000 . 0 067 . 0 083 . 0 146 . 0 305 . 0 000 . 0 117 . 0 222 . 0 000 . 0 000 . 0 194 . 0 133 . 0 000 . 0 279 . 0 090 . 0 067 . 0 194 . 0 177 . 0 167 . 0 113 . 0 194 . 0 113 . 0 273 . 0 177 . 0 194 . 0 177 . 0 000 . 0 133 . 0 222 . 0 050 . 0 107 . 0 288 . 0 000 . 0 067 . 0 083 . 0 000 . 0 000 . 0 146 . 0 117 . 0 000 . 0 305 . 0 222 . 0 000 . 0 050 . 0 000 . 0 133 . 0 107 . 0 067 . 0 222 . 0 288 . 0 2 P

Dengan diketahuinya matrik P maka dapat diramalkan matriks transisi P3 yaitu matriks transisi P tahun ketiga.

                          = 189 . 0 152 . 0 076 . 0 152 . 0 078 . 0 061 . 0 076 . 0 061 . 0 202 . 0 189 . 0 217 . 0 104 . 0 149 . 0 154 . 0 067 . 0 052 . 0 076 . 0 163 . 0 224 . 0 050 . 0 097 . 0 214 . 0 000 . 0 039 . 0 202 . 0 104 . 0 067 . 0 189 . 0 149 . 0 052 . 0 217 . 0 154 . 0 130 . 0 187 . 0 161 . 0 187 . 0 171 . 0 215 . 0 161 . 0 215 . 0 061 . 0 115 . 0 214 . 0 039 . 0 129 . 0 205 . 0 039 . 0 058 . 0 076 . 0 050 . 0 000 . 0 163 . 0 097 . 0 039 . 0 224 . 0 214 . 0 061 . 0 039 . 0 039 . 0 115 . 0 129 . 0 058 . 0 214 . 0 205 . 0 3 P

dengan diketahuinya matrik P maka dapat diramalkan matriks transisi P4 yaitu matriks transisi P tahun keempat.

                          = 164 . 0 124 . 0 096 . 0 124 . 0 101 . 0 072 . 0 096 . 0 072 . 0 165 . 0 189 . 0 186 . 0 131 . 0 130 . 0 173 . 0 074 . 0 089 . 0 096 . 0 140 . 0 200 . 0 056 . 0 113 . 0 178 . 0 030 . 0 045 . 0 165 . 0 131 . 0 074 . 0 189 . 0 130 . 0 089 . 0 186 . 0 173 . 0 168 . 0 162 . 0 187 . 0 162 . 0 195 . 0 182 . 0 187 . 0 182 . 0 072 . 0 130 . 0 178 . 0 067 . 0 109 . 0 183 . 0 045 . 0 075 . 0 096 . 0 056 . 0 030 . 0 140 . 0 113 . 0 045 . 0 200 . 0 178 . 0 072 . 0 067 . 0 045 . 0 130 . 0 109 . 0 075 . 0 178 . 0 183 . 0 4 P

Dari matriks yang diperoleh maka dapat diketahui bahwa peluang polwan untuk berpindah secara acak dari state i ke state j dapat dilihat pada matriks diatas.

Dengan diketahui matriks P, maka berdasarkan vektor awal dapat diprediksi vektor distribusi perpindahan tikus dari satu state ke state yang lainnya dengan menggunakan rumus (2.13) yaitu peluang n langkah.

P(n) = p (0) Pn , n = 1,2,……,8

Pn = Vektor pembagian state pada waktu n, n = 1,2,…,8

P0 = Vektor pembagian state awal

                          = 8 7 6 5 4 3 2 1 p p p p p p p p P

Dimana p adalah peluang sistem saat berada pada state j , dimana j = 1,2,3,..,6. _j

Jika polwan tersebut mamulai memulai aktifitasnya pada persimpangan 5 maka kemungkinan perpindahan lokasinya, jam demi jam maka kemungkinan perpindahan jalurnya diberikan oleh vektor-vektor keadaan awal yaitu

                          = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 p

maka: p1 =P p0

                          = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 p

maka diperoleh p1 =P p0

                          = 250 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 1 p

sedangkan untuk mendapatkan p2 diperoleh dengan menggunakan rumus:

p2 =P p1

atau p2 =P2 p0

maka                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 250 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 1 p maka:                           = 146 . 0 133 . 0 000 . 0 279 . 0 113 . 0 050 . 0 146 . 0 133 . 0 2 p

Sedangkan untuk mendapatkan p3 diperoleh dengan menggunakan rumus:

p3 = P p2

atau p3 =P3 p0

maka                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 146 . 0 133 . 0 000 . 0 279 . 0 113 . 0 050 . 0 146 . 0 133 . 0 2 p maka:                           = 152 . 0 104 . 0 050 . 0 190 . 0 187 . 0 039 . 0 163 . 0 116 . 0 3 p

sedangkan untuk mendapatkan p4 diperoleh dengan menggunakan rumus:

p4=P p3

atau p4 =P4 p0

maka                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 152 . 0 104 . 0 050 . 0 190 . 0 187 . 0 039 . 0 163 . 0 116 . 0 3 p

maka                           = 124 . 0 131 . 0 056 . 0 190 . 0 162 . 0 067 . 0 140 . 0 130 . 0 4 p

sedangkan untuk mendapatkan p5 didapat dengan menggunakan rumus:

p5 =P p4

atau p5 =P5 p0

maka                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 124 . 0 131 . 0 056 . 0 190 . 0 162 . 0 067 . 0 140 . 0 130 . 0 4 p sehingga                           = 121 . 0 125 . 0 074 . 0 168 . 0 178 . 0 073 . 0 138 . 0 123 . 0 5 p

sedangkan untuk mendapatkan p10 didapat dengan menggunakan rumus:

p10 =P p9

atau p10 =P10 p0

                          = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 108 . 0 136 . 0 096 . 0 150 . 0 177 . 0 097 . 0 117 . 0 114 . 0 9 p sehingga                           = 108 . 0 138 . 0 099 . 0 149 . 0 178 . 0 100 . 0 115 . 0 113 . 0 10 p

sedangkan untuk mendapatkan p15 didapat dengan menggunakan rumus:

p15 =P p14

atau p15 =P15 p0

maka                           = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P                           = 107 . 0 140 . 0 104 . 0 144 . 0 177 . 0 104 . 0 109 . 0 108 . 0 14 p sehingga

          

 

          

 

=

107 . 0

142 . 0

105 . 0

144 . 0

179 . 0

106 . 0

109 . 0

109 . 0

15

p

sedangkan untuk mendapatkan p15 didapat dengan menggunakan rumus:

p15 =P p14

atau p15 =P15 p0

maka

          

 

          

 

=

107 . 0

143 . 0

107 . 0

143 . 0

179 . 0

107 . 0

108 . 0

108 . 0

20

p

sedangkan untuk mendapatkan p22 didapat dengan menggunakan rumus:

p22 =P p21

atau p22 =P22 p0

maka

          

 

          

 

=

107 . 0

143 . 0

107 . 0

143 . 0

179 . 0

107 . 0

107 . 0

107 . 0

22

p

Dengan menggunakan vektor ini dan teorema dapat ditentukan keadaan vektor selanjutnya pada table dibawah ini:

Tabel 3.2 : Peluang polwan yang beralih dari state i ke state j.

n

pn 0 1 2 3 4 5 10 15 20 22

p1 0 0.000 0.133 0.116 0.130 0.123 0.113 0.109 0.108 0.107

p2 0 0.250 0.146 0.163 0.140 0.138 0.115 0.109 0.108 0.107

p3 0 0.000 0.050 0.039 0.067 0.073 0.100 0.106 0.107 0.107

p4 0 0.250 0.113 0.187 0.162 0.178 0.178 0.179 0.179 0.179

p5 1 0.250 0.279 0.190 0.190 0.168 0.149 0.144 0.143 0.143

p6 0 0.000 0.000 0.050 0.056 0.074 0.099 0.105 0.107 0.107

p7 0 0.000 0.133 0.104 0.131 0.125 0.138 0.142 0.143 0.143

p8 0 0.250 0.146 0.152 0.124 0.121 0.108 0.107 0.107 0.107

Dengan kata lain vektor vektor tersebut konvergen ke sebuah vektor yang tetap jika jumlah pengamatannya makin besar. Untuk seluruh nilai n yang lebih besar dari 22 seluruh vektor keadaan sama dengan p(22) dalam tiga desimal, semua vektor state akan sama dengan p22.

Peluang Steady state.

Peluang peralihan pada tingkat keadaan mantap (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan mantap didefenisikan sebagai berikut: untuk memeriksa hasil vektor peluang state yang diperoleh apakah sudah benar atau tidak maka digunakan peluang steady state.

8 ., ,... 3 , 2 , 1 ,

lim =

= _→∞p_ijn j

n j

π (3.1)

dengan j

π = Batas distribusi peluang peralihan tingkat keadaan mantap dalam keadaan j.

Dari matriks P yang ada maka dicari Pn untuk mengetahui apakah matriks P yang

                          = 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 P

Misalkan P2

                          = 277 . 0 146 . 0 083 . 0 146 . 0 100 . 0 000 . 0 083 . 0 000 . 0 194 . 0 279 . 0 194 . 0 133 . 0 090 . 0 177 . 0 000 . 0 067 . 0 083 . 0 146 . 0 305 . 0 000 . 0 117 . 0 222 . 0 000 . 0 000 . 0 194 . 0 133 . 0 000 . 0 279 . 0 090 . 0 067 . 0 194 . 0 177 . 0 167 . 0 113 . 0 194 . 0 113 . 0 273 . 0 177 . 0 194 . 0 177 . 0 000 . 0 133 . 0 222 . 0 050 . 0 107 . 0 288 . 0 000 . 0 067 . 0 083 . 0 000 . 0 000 . 0 146 . 0 117 . 0 000 . 0 305 . 0 222 . 0 000 . 0 050 . 0 000 . 0 133 . 0 107 . 0 067 . 0 222 . 0 288 . 0 2 P

Karena P2 merupakan matriks yang regular yaitu memiliki elemen-elemen yang positif maka dapat ditentukan peluang steady state dari matriks P.

π

π =P

(3.2)

                                                    =                           8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 333 . 0 π π π π ππ ππ π π π π π π ππ =

Sehingga sistem linier

F=(I-P)

π = 0 adalah                           =                                                     − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 333 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 750 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 777 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 750 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 800 . 0 333 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 333 . 0 000 . 0 200 . 0 777 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 000 . 0 777 . 0 333 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 200 . 0 000 . 0 333 . 0 777 . 0 8 7 6 5 4 3 2 1 π π ππ ππ ππ

F

Kalau persamaan diatas diselesaikan dengan cara direduksi (reduced row echelon form) akan diperoleh suatu solusi:

                                      − − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 000 . 1 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 000 . 1 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 000 . 1 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 000 . 1 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 000 . 1 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 000 . 1 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 000 . 1

Sehingga sistem linier yang semula ekuivalen dengan sistem

8 5 3 4 π π      

= , _{1 8}

3 3 π π      

= , _{2 8}

3 3 π π      

= , _{3 8}

3 3 π π      

= , _{4 6}

3 5 π π      

= ,

π

₅

π

₆ 3 4      

= ,

π

₇

π

₆ 3 4       =

Dengan membuat

π

₈

=

S

maka setiap pemecahan dari sistem linier yang ada akan

berbentuk

                  

 

                  

 

=

3 3 3 4 3 3 3 4 3 5 3 3 3 3 3 3

8

π

Untuk membuatnya sebagai vektor probabilitas kita tetapkan 28

3 1071 . 0 1 333 . 1 1 333 . 1 667 . 1 1 1 1

1

= =

+ +

+ +

+ + + =

S

Jadi vektor steady state dari sistem tersebut adalah:

          

 

          

 

=

          

 

          

 

1071 . 0

1428 . 0

1071 . 0

1428 . 0

1785 . 0

1071 . 0

1071 . 0

1071 . 0

8 7 6 5 4 3 2 1

π π π π π π ππ

1. Peluang polwan untuk mencapai state 1 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1071 .

2. Peluang polwan untuk mencapai state 2 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1071.

3. Peluang polwan untuk mencapai state 3 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1071 .

4. Peluang polwan untuk mencapai state 4 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1785.

5. Peluang polwan untuk mencapai state 5 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1428.

6. Peluang polwan untuk mencapai state 6 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1071.

7. Peluang polwan untuk mencapai state 7 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1428.

8. Peluang polwan untuk mencapai state 8 dalam keadaan yang mantap tanpa memperhitungkan peluang keadaan vektor awal adalah 0.1071.

Hasilnya cocok dengan table sebelumnya, setiap elemen π memberikan peluang jangka panjang bahwa seseorang akan menduduki state 1,2,3,4,5,6,7,8.

1. Nilai peluang yang terbesar pertama terdapat pada state 4 yaitu sebesar 17,85 %.

2. Nilai peluang yang terbesar kedua terdapat pada state 5 dan 7 yaitu sebesar 14,28 %.

3. Nilai peluang yang terbesar ketiga terdapat pada state 1,2,3 dan 8 sebesar 10,71%.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Peluang perpindahan seekor polwan dari satu state ke state yang lainnya

adalah                           = 164 . 0 124 . 0 096 . 0 124 . 0 101 . 0 072 . 0 096 . 0 072 . 0 165 . 0 189 . 0 186 . 0 131 . 0 130 . 0 173 . 0 074 . 0 089 . 0 096 . 0 140 . 0 200 . 0 056 . 0 113 . 0 178 . 0 030 . 0 045 . 0 165 . 0 131 . 0 074 . 0 189 . 0 130 . 0 089 . 0 186 . 0 173 . 0 168 . 0 162 . 0 187 . 0 162 . 0 195 . 0 182 . 0 187 . 0 182 . 0 072 . 0 130 . 0 178 . 0 067 . 0 109 . 0 183 . 0 045 . 0 075 . 0 096 . 0 056 . 0 030 . 0 140 . 0 113 . 0 045 . 0 200 . 0 178 . 0 072 . 0 067 . 0 045 . 0 130 . 0 109 . 0 075 . 0 178 . 0 183 . 0 4 P

Dari atas dapat dilihat bahwa peluang perpindahan polwan dari satu state ke state yang lainnya mengalami perubahan. Dapat kita lihat bahwa polwan akan lebih besar peluangnya untuk membagi waktu proporsi yang sama di tiap persimpangan. 2. Vektor peluang setiap state berdasarkan peluang state 8 langkah adalah

                          = 107 . 0 143 . 0 107 . 0 143 . 0 179 . 0 107 . 0 107 . 0 107 . 0 22 p                           = 250 . 0 000 . 0 000 . 0 250 . 0 250 . 0 000 . 0 250 . 0 000 . 0 1 p

Hasil perbandingan diantara p1 dan p22 mengalami perubahan. Dimana peluang polwan dalam membagi proposi waktu yang sama di tiap persimpangan tidak jauh berbeda dengan state yang satu dengan yang lainnya.

3. Peluang steady state merupakan peluang dimana berada pada suatu state pada masa mendatang bebas terhadap state awal.

          

 

          

 

=

          

 

          

 

1071 . 0

1428 . 0

1071 . 0

1428 . 0

1785 . 0

1071 . 0

1071 . 0

1071 . 0

8 7 6 5 4 3 2 1

π

π

π

π

π

π

π

π

Karena nilai steady statenya sudah sama dengan

p

n maka hasil yang diperoleh sudah benar.

4.2 Saran

1) Rantai Markov merupakan salah satu cara dalam pengambilan keputusan dimana aplikasinya dapat digunakan dalam berbagai bidang yaitu pendidikan, industri, ekonomi, kesehatan dan lain-lain. Sudah banyak kita lihat penerapannya dengan menggunakan parameter diskrit. Bagi seseorang yang ingin meneliti mungkin dapat menerapkan rantai markov dengan waktu kontinu dalam berbagai bidang.

2) Entri-entri di dalam vektor steady state menunjukan proporsi waktu yang dihabiskan oleh sang polwan di tiap persimpangan dalam jangka panjang. Sehingga tujuannya adalah untuk membagi proposi waktu yang sama di tiap persimpangan. Maka strategi perpindahan secara acak dengan probabilitas yang sama dari satu persimpangan ke persimpangan lainnya bukan merupakan strategi yang baik.

DAFTAR PUSTAKA

Athanosius, Papoulis. 1984. Probabilitas Variabel Random dan Proses Stokastik. Edisi II. Jakarta: Gajah Mada University Press.

Athanosius, Papoulis. 2002. Probability Random Variabel and Procesess Stochastic. Eedition IV. New York: Mc-Graw Hill.

Clarke, Bruce, A. 1985. Probability And Random Procesess ,A First Course With Applications. Second Editions. USA: Jhon wiley & Sons Inc.

Ross, M, Sheldon. 1969. Applied Probability Models With Optimization Applications. California: Holden-Day,Inc.

Siagian, P. 1982. Penelitian Operasional Praktek dan Aplikasi. Jakarta: UI-Press. Sianipar, P. 1995. Aljabar Linier. Medan: Intan Dirja Lela.

Yates, Roy, D. 1998. Probability and Stochastic Processes. United States of America: John Wiley & Sons Inc.