Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring
ANTI -FUZZY
-
SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Anti -Fuzzy Subgrup Kiri dari Near Ring adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Ahmad Syafi’ih
NIM G54100037
ABSTRAK
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring. Dibimbing
oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Teori himpunan fuzzy dikembangkan oleh LA Zadeh telah menginspirasi
para matematikawan untuk melakukan penelitian struktur aljabarnya. Tujuan
karya ilmiah ini adalah membuktikan beberapa karakteristik dari anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Terdapat empat teorema yang dibahas pada karya
ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan hubungan antara anti -fuzzy subgrup kiri dengan endomorfisma dari near ring. Kemudian teorema kedua
membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu
near ring. Terakhir, teorema ketiga dan keempat membuktikan karakterisasi anti
-fuzzy dari near ring yang berbeda. Pembuktian dari keempat teorema tersebut
merupakan karakteristik dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring.
Kata kunci: anti -fuzzy
ring.
-
subgrup kiri dari near ring, himpunan -fuzzy, near
ABSTRACT
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy Left - Subgroup of Near Ring. Supervised
by TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Fuzzy set theory developed by LA Zadeh has inspired mathematicians
conducting research on algebraic structure. The objective of this paper is to study
the characteristics of anti -fuzzy left - subgroup of near ring. There are four
theorems discussed in this paper. The first theorem showed the relationship
between anti -fuzzy left - subgroup and endomorphism of a near ring. The
second theorem proved the properties of epimorphism of anti -fuzzy left subgroup of a near ring. Finally, the third and fourth theorems showed the
characterization of anti -fuzzy of a different near ring. The proofs of all the
theorems constitute the characteristic of anti -fuzzy left - subgroup of near
ring.
Keywords: anti -fuzzy left
-
subgroup of near ring, -fuzzy set, near ring.
ANTI -FUZZY
-
SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Anti -Fuzzy Nama
: Ahmad Syafi’ih
NIM
: G54100037
Subgrup Kiri dari Near Ring
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah fuzzy, dengan judul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku Pembimbing. Di samping itu,
penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi selaku Dosen
Penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc beserta
jajaran staf dosen lainnya dan staf pendukung departemen Matematika yang telah
membantu selama tahap penyelesaian karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada Ayah dan Ibu tercinta, seluruh keluarga, dan Entri
Sulastri atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Ahmad Syafi’ih
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
PEMBAHASAN
5
SIMPULAN DAN SARAN
10
Simpulan
10
Saran
10
DAFTAR PUSTAKA
11
RIWAYAT HIDUP
12
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh LA Zadeh pada tahun 1965
banyak diterapkan dalam pengembangan Informasi Terintegrasi Riset Ilmu
Pengetahuan dan Teknologi (Riptek). Salah satu contoh kasusnya yaitu, penerapan
aplikasi teori himpunan fuzzy untuk analisis citra dan pengenalan polanya.
Kemudian para matematikawan melakukan penelitian terkait fuzzy yang dilihat
dari struktur aljabarnya, baik dari teori grup, teori ring, maupun teori aljabar
lainnya.
Abou-Zoid pada tahun 1991 memperkenalkan kumpulan dari sub near ring
fuzzy dan mempelajari ideal fuzzy dari near ring. Konsep ini dibahas oleh banyak
peneliti di antaranya YU Cho, B Davvas, WA Dudek, YB Jun, KH Kim.
Selanjutnya A. Solairaju dan R. Nagarajan pada tahun 2008 memperkenalkan
struktur baru dari grup -fuzzy dan mempelajari kumpulan -fuzzy -subgrup kiri
dari near ring dengan menghubungkan -norm. YU Cho dan YB Jun pada tahun
2005 dalam tulisannya juga memperkenalkan fuzzy intuitionistic -subgrup dari
near ring dan mempelajari sifat-sifat yang terkait. Kumpulan dari intuitionistic fuzzy semi-primality di semigrup diperkenalkan oleh KH Kim dan YB Jun pada
tahun 2000 dalam tulisannya “On Fuzzy R-Subgroups of Near Rings”.
Dalam karya ilmiah ini, akan diperkenalkan anti -fuzzy -N subgrup kiri
dari near ring dan membahas beberapa karakteristik yang terkait. Karya ilmiah ini
merupakan rekonstruksi ulang dari tulisan A. Solairaju, P. Sarangapani, R.
Nagarajan, dan P. Muruganantham yang berjudul “Anti -Fuzzy M-Subgroups of
Near Rings”.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah membahas beberapa karakteristik dari
anti -fuzzy -N subgrup kiri dari near ring, antara lain sebagai berikut:
1. Membuktikan hubungan antara anti
-fuzzy
subgrup kiri dan
endomorfisma dari near ring,
2. Membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu
near ring,
3. Membuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori-teori dasar yang
akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini, di antaranya sebagai berikut:
2
Definisi II.1 (Grup)
Grup
adalah himpunan tak kosong
dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner
bersifat assosiatif,
2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan,
3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan,
Contoh Grup
Himpunan bilangan bulat (
di bawah operasi penjumlahan.
yang tertutup di bawah operasi
, bilangan rasional
,
,
.
(Fraleigh 1997)
, dan bilangan real
Definisi II.2 (Subgrup)
Misalkan grup dan
, disebut subgrup dari jika merupakan
grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada .
(Fraleigh 1997)
Contoh Subgrup
Himpunan bilangan
subgrup dari himpunan bilangan
di bawah
operasi penggandaan.
Berikutnya akan dijelaskan definisi ring dan near ring.
Definisi II.3 (Ring)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner,
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1.
grup komutatif,
2. Operasi biner
bersifat assosiatif,
3. Hukum distributif kiri berlaku,
Hukum distributif kanan berlaku,
, disebut ring
dan
,
,
.
(Fraleigh 1997)
Contoh Ring
Himpunan bilangan
, dan bilangan kompleks
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian aritmatika.
Definisi II.4 (Near Ring Kiri)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner,
ring kiri jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1.
grup,
2. Operasi biner
bersifat assosiatif,
3. Memenuhi sifat distributif kiri,
dan
adalah ring
, disebut near
,
.
Himpunan bagian dari near ring disebut -subgrup dari sedemikian
sehingga,
1.
subgrup dari
,
2.
,
3.
,
Jika memenuhi 1) dan 2) saja, maka disebut -subgrup kiri dari ,
Jika memenuhi 1) dan 3) saja, maka disebut -subgrup kanan dari .
(Solairaju et al. 2013)
3
Selanjutnya akan dijelaskan definisi homomorfisma grup, homomorfisma
ring, homomorfisma near ring kiri, epimorfisma, ring dari endomorfisma, grup
dengan operator, - subgrup dari , dan - homomorfisma.
Definisi II.5 (Homomorfisma Grup)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi
grup jika memenuhi
disebut homomorfisma
.
(Fraleigh 1997)
Contoh Homomorfisma Grup
Misalkan fungsi
dan didefinisikan
, maka
sebuah homomorfisma grup karena ketika diambil sembarang
berakibat
adalah
.
Definisi II.6 (Homomorfisma Ring)
Misalkan dan keduanya ring. Fungsi
ring jika memenuhi dua kondisi berikut:
1.
,
2.
,
.
disebut homomorfisma
(Fraleigh 1997)
Contoh Homomorfisma Ring
Didefinisikan fungsi
sembarang
maka berlaku:
(
sehingga
. Jika diambil
dengan
(
)
)
disebut homomorfisma ring.
(
(
)
)
, dan
Definisi II.7 (Homomorfisma Near Ring Kiri)
Misalkan
dan
keduanya near ring. Fungsi
disebut
homomorfisma near ring kiri jika memenuhi,
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.8 (Epimorfisma)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi
adalah homomorfisma.
disebut epimorfisma jika merupakan homomorfisma yang surjektif, yaitu
sehingga
.
(Fraleigh 1997)
Definisi II.9 (Ring dari Endomorfisma)
Misalkan sebuah grup abelian. Sebuah homomorfisma dari pada dirinya
sendiri disebut endomorfisma dari
. Misalkan himpunan dari semua
endomorfisma dari adalah hom . Akibat komposisi dua homomorfisma dari
ke dalam dirinya merupakan suatu homomorfisma, maka dapat didefinisikan
4
perkalian pada hom
assosiatif.
sebagai komposisi fungsi dan perkalian tersebut bersifat
(Fraleigh 1997)
Definisi II.10 (Grup dengan Operator)
Sebuah grup dengan operator yang terdiri dari grup
dan sembarang
himpunan , himpunan operator-operator, bersama dengan sebuah operasi dari
perkalian luar dari setiap elemen di oleh setiap elemen di dari kiri sehingga
memenuhi kondisi berikut:
i).
,
ii).
,
.
(Fraleigh 1997)
Definisi II.11 ( - Subgrup dari )
Misalkan
grup,
adalah himpunan operator kiri, dan
adalah
himpunan operator kanan. Jika
maka
dikatakan sebagai - grup. Jika subgrup dari - grup juga merupakan grup maka himpunan tersebut disebut
- subgrup dari . Hal tersebut juga
berlaku untuk satu operator, baik dari kiri saja maupun dari kanan saja.
(Chellapa dan Manemaran 2010)
Definisi II.12 ( - Homomorfisma)
Misalkan
dan
keduanya
grup. Fungsi
adalah
homomorfisma. Jika
dan
(
)
maka disebut - homomorfisma.
(Chellapa dan Manemaran 2010)
Berikutnya akan dijelaskan definisi himpunan fuzzy, -fuzzy, -fuzzy sub
near ring kiri, anti -fuzzy - subgrup kiri, S-norm, serta karakterisasi anti fuzzy.
Definisi II.13 (Himpunan Fuzzy)
Misalkan adalah suatu kumpulan objek dan adalah elemen dari
Himpunan fuzzy di didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan,
.
dimana
adalah membership function (MF) untuk himpunan fuzzy . MF
memetakan setiap anggota ke nilai keanggotaan antara 0 dan 1.
(Jang 1997)
Definisi II.14 ( -Fuzzy)
Misalkan sembarang himpunan dan adalah grup. Fungsi
disebut sebagai himpunan -fuzzy di .
(Subramanian dan Chellapa 2010)
Definisi II.15 ( -Fuzzy Sub Near Ring Kiri)
Misalkan adalah near ring. Himpunan -fuzzy di disebut -fuzzy sub
near ring kiri jika:
1.
,
2.
,
.
(Solairaju et al. 2013)
5
Definisi II.16 (Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri)
Sebuah himpunan -fuzzy disebut anti -fuzzy M-N subgrup kiri dari near
ring pada jika memenuhi:
1.
,
2.
,
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.17 (S-norm)
Sebuah S-norm adalah fungsi
yang harus memenuhi
beberapa kondisi berikut:
(S1)
,
(S2)
jika
,
(S3)
,
(S4) (
)
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.18 (Karakterisasi Anti -Fuzzy)
Misalkan
epimorfisma dan adalah anti -fuzzy - subgrup
kiri dari near ring , maka dikatakan karakteristik anti -fuzzy jika,
.
(Solairaju et al. 2013)
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibuktikan beberapa teorema tentang anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Pertama akan dibuktikan hubungan antara anti fuzzy - subgrup kiri dan sebuah endomorfisma dari near ring. Kemudian akan
dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near
ring. Terakhir, akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang
berbeda.
Pada teorema pertama akan dibuktikan hubungan antara anti -fuzzy subgrup kiri dan sebuah endomorfisma yang juga merupakan anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan adalah sebuah fungsi
yang anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring , dan adalah sebuah
endomorfisma dari
. Kemudian akan dibuktikan bahwa
dan
yang
dioperasikan oleh fungsi komposisi,
, juga merupakan anti -fuzzy
- subgrup kiri dari near ring .
Teorema 1
Jika adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring dan adalah
endomorfisma dari , maka
adalah anti -fuzzy - subgrup dari .
Bukti:
Diketahui adalah near ring.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring ,
didefinisikan
6
sehingga memenuhi:
i.)
ii.)
,
,
.
adalah endomorfisma dari ,
didefinisikan
Ilustrasi untuk dan berturut-turut sebagai berikut:
.
[0,1]
t
Akan dibuktikan bahwa
adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
-
subgrup kiri dari ,
,
[0,1]
t
Bukti:
i.)
( (
) )
(
)
ii.)
(
)
Pada teorema kedua akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy subgrup kiri dari suatu near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan
fungsi
epimorfisma dari near ring ke near ring
dan adalah anti -fuzzy subgrup kiri dari . Kemudian ada fungsi yang merupakan pre image dari di
bawah . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa tersebut juga merupakan sebuah
anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
7
Teorema 2
Suatu epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring .
Bukti:
Misalkan dan
adalah near ring dan fungsi
artinya
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
adalah epimorfisma,
,
[0,1]
t
adalah preimage dari
di bawah fungsi .
Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
-
subgrup kiri dari ,
.
,
[0,1]
t
Karena
Bukti:
i.)
adalah preimage dari
maka didefinisikan,
8
( (
) )
ii.)
Pada dua teorema terakhir, yaitu teorema ketiga dan keempat akan
dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda. Ilustrasinya
yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring . Teorema
ketiga akan membuktikan bahwa fungsi
yang membawa setiap elemen di ke
[0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui
bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari . Sedangkan teorema keempat kebalikan dari teorema
ketiga, akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke
[0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui
bahwa fungsi
yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari .
Teorema 3
Misalkan
adalah epimorfisma.
subgrup kiri dari , maka
adalah anti -fuzzy
Bukti:
Diketahui
adalah anti
-fuzzy
- subgrup kiri dari .
adalah near ring dan fungsi
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
,
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
[0,1]
dan
epimorfisma, artinya
t
adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Akan dibuktikan bahwa
-
-
subgrup dari
,
9
Ilustrasinya sebagai beikut:
[0,1]
t
Bukti:
i.)
ii.)
Teorema 4
Misalkan
kiri dari , maka
epimorfisma. Jika
adalah anti -fuzzy
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
Bukti :
Diketahui
dan
adalah near ring dan fungsi
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
,
t
anti -fuzzy didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
subgrup
epimorfisma, artinya
[0,1]
Akan dibuktikan bahwa
-
subgrup kiri dari ,
,
10
Ilustrasinya sebagai berikut:
[0,1]
t
Bukti:
i.)
ii.)
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya diperoleh
beberapa karakteristik anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring. Pertama, jika
diketahui sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari sebuah
near ring, maka fungsi komposisinya juga merupakan sebuah anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring tersebut. Kedua, jika diketahui suatu fungsi di near
ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , maka fungsi pre image-nya
juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari . Ketiga, jika fungsi yang
membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang
membawa setiap elemen di ke [0,1] juga merupakan anti -fuzzy. Berlaku juga
untuk sebaliknya. Jika fungsi yang membawa setiap elemen di
ke [0,1]
merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1]
juga merupakan anti -fuzzy.
Saran
Karya ilmiah ini membahas tentang -fuzzy pada near ring. Bagi yang
berminat untuk melanjutkan karya ilmiah ini terkait dengan -fuzzy dapat
membahas tentang teori near ring maupun teori grup lainnya, misalkan tentang
struktur pada -fuzzy -subgrup kiri, struktur pada -fuzzy Gama subgrup, Bi
Polar -fuzzy , dan yang lainnya.
11
DAFTAR PUSTAKA
Chellapa B, Manemaran SV. 2010. -Product of Anti -Fuzzy Left
Subgroups of Near Rings under Triangular Conorms. International Journal
of Computer Applications. 12(1):37-42.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. United States of America
(US): Addision Wealey Publishing Company.
Jang JSR. 1997. Neuro-Fuzzy dan Soft-Computing. Prentice-Hall, New Jersey
(US).
Solairaju A, Sarangapani P, Nagarajan R, Muruganantham P. 2013. Anti -Fuzzy
-Subgroups of Near Rings. International Journal of Mathematics Trends
and Technology. 4(8):130-138.
Subramanian S, Chellapa B. 2010. Structures on Q-Fuzzy Left -Subgroups of
Near Rings under Triangular Norms. International Journal of Computer
Applications. 11(1):37-39.
12
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Pamekasan pada tanggal 13 September 1991 dari ayah Jatim
dan ibu Satenni. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam.
Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SD
Negeri Polagan 1 Kec. Galis Kab. Pamekasan, tahun 2007 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Galis Kec. Galis Kab. Pamekasan, dan tahun 2010 penulis lulus dari
SMA Negeri 2 Pamekasan Kab. Pamekasan. Pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika
FMIPA IPB dengan pilihan minor Statistika Terapan.
Penulis juga mendapatkan beasiswa Bidikmisi selama empat tahun. Selama
mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar bimbingan belajar Gugus
Mahasiswa Matematika (Bimbel Gumatika) mata kuliah Kalkulus dan tutor
mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB mata kuliah Landasan
Matematika tahun ajaran 2012/2013. Penulis juga aktif sebagai Ketua Departemen
Keilmuan himpunan profesi Matematika, Gumatika IPB periode 2012-2013. Pada
tahun yang sama penulis juga menjadi Ketua Pengguyuban OMDA (Organisasi
Mahasiswa Daerah) Madura. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti
kegiatan seperti kepanitiaan IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai Ketua
Divisi Logistik dan Transportasi, kepanitiaan Matematika Ria sub Pesta Sains
Nasional 2013 sebagai Ketua Pelaksana.
-
SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Anti -Fuzzy Subgrup Kiri dari Near Ring adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Ahmad Syafi’ih
NIM G54100037
ABSTRAK
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring. Dibimbing
oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Teori himpunan fuzzy dikembangkan oleh LA Zadeh telah menginspirasi
para matematikawan untuk melakukan penelitian struktur aljabarnya. Tujuan
karya ilmiah ini adalah membuktikan beberapa karakteristik dari anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Terdapat empat teorema yang dibahas pada karya
ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan hubungan antara anti -fuzzy subgrup kiri dengan endomorfisma dari near ring. Kemudian teorema kedua
membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu
near ring. Terakhir, teorema ketiga dan keempat membuktikan karakterisasi anti
-fuzzy dari near ring yang berbeda. Pembuktian dari keempat teorema tersebut
merupakan karakteristik dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring.
Kata kunci: anti -fuzzy
ring.
-
subgrup kiri dari near ring, himpunan -fuzzy, near
ABSTRACT
AHMAD SYAFI’IH. Anti -Fuzzy Left - Subgroup of Near Ring. Supervised
by TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
Fuzzy set theory developed by LA Zadeh has inspired mathematicians
conducting research on algebraic structure. The objective of this paper is to study
the characteristics of anti -fuzzy left - subgroup of near ring. There are four
theorems discussed in this paper. The first theorem showed the relationship
between anti -fuzzy left - subgroup and endomorphism of a near ring. The
second theorem proved the properties of epimorphism of anti -fuzzy left subgroup of a near ring. Finally, the third and fourth theorems showed the
characterization of anti -fuzzy of a different near ring. The proofs of all the
theorems constitute the characteristic of anti -fuzzy left - subgroup of near
ring.
Keywords: anti -fuzzy left
-
subgroup of near ring, -fuzzy set, near ring.
ANTI -FUZZY
-
SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING
AHMAD SYAFI’IH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Anti -Fuzzy Nama
: Ahmad Syafi’ih
NIM
: G54100037
Subgrup Kiri dari Near Ring
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing I
Muhammad Ilyas, MSi, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah fuzzy, dengan judul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku Pembimbing. Di samping itu,
penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi selaku Dosen
Penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc beserta
jajaran staf dosen lainnya dan staf pendukung departemen Matematika yang telah
membantu selama tahap penyelesaian karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada Ayah dan Ibu tercinta, seluruh keluarga, dan Entri
Sulastri atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Ahmad Syafi’ih
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
PEMBAHASAN
5
SIMPULAN DAN SARAN
10
Simpulan
10
Saran
10
DAFTAR PUSTAKA
11
RIWAYAT HIDUP
12
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh LA Zadeh pada tahun 1965
banyak diterapkan dalam pengembangan Informasi Terintegrasi Riset Ilmu
Pengetahuan dan Teknologi (Riptek). Salah satu contoh kasusnya yaitu, penerapan
aplikasi teori himpunan fuzzy untuk analisis citra dan pengenalan polanya.
Kemudian para matematikawan melakukan penelitian terkait fuzzy yang dilihat
dari struktur aljabarnya, baik dari teori grup, teori ring, maupun teori aljabar
lainnya.
Abou-Zoid pada tahun 1991 memperkenalkan kumpulan dari sub near ring
fuzzy dan mempelajari ideal fuzzy dari near ring. Konsep ini dibahas oleh banyak
peneliti di antaranya YU Cho, B Davvas, WA Dudek, YB Jun, KH Kim.
Selanjutnya A. Solairaju dan R. Nagarajan pada tahun 2008 memperkenalkan
struktur baru dari grup -fuzzy dan mempelajari kumpulan -fuzzy -subgrup kiri
dari near ring dengan menghubungkan -norm. YU Cho dan YB Jun pada tahun
2005 dalam tulisannya juga memperkenalkan fuzzy intuitionistic -subgrup dari
near ring dan mempelajari sifat-sifat yang terkait. Kumpulan dari intuitionistic fuzzy semi-primality di semigrup diperkenalkan oleh KH Kim dan YB Jun pada
tahun 2000 dalam tulisannya “On Fuzzy R-Subgroups of Near Rings”.
Dalam karya ilmiah ini, akan diperkenalkan anti -fuzzy -N subgrup kiri
dari near ring dan membahas beberapa karakteristik yang terkait. Karya ilmiah ini
merupakan rekonstruksi ulang dari tulisan A. Solairaju, P. Sarangapani, R.
Nagarajan, dan P. Muruganantham yang berjudul “Anti -Fuzzy M-Subgroups of
Near Rings”.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah membahas beberapa karakteristik dari
anti -fuzzy -N subgrup kiri dari near ring, antara lain sebagai berikut:
1. Membuktikan hubungan antara anti
-fuzzy
subgrup kiri dan
endomorfisma dari near ring,
2. Membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu
near ring,
3. Membuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori-teori dasar yang
akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini, di antaranya sebagai berikut:
2
Definisi II.1 (Grup)
Grup
adalah himpunan tak kosong
dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner
bersifat assosiatif,
2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan,
3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan,
Contoh Grup
Himpunan bilangan bulat (
di bawah operasi penjumlahan.
yang tertutup di bawah operasi
, bilangan rasional
,
,
.
(Fraleigh 1997)
, dan bilangan real
Definisi II.2 (Subgrup)
Misalkan grup dan
, disebut subgrup dari jika merupakan
grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada .
(Fraleigh 1997)
Contoh Subgrup
Himpunan bilangan
subgrup dari himpunan bilangan
di bawah
operasi penggandaan.
Berikutnya akan dijelaskan definisi ring dan near ring.
Definisi II.3 (Ring)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner,
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1.
grup komutatif,
2. Operasi biner
bersifat assosiatif,
3. Hukum distributif kiri berlaku,
Hukum distributif kanan berlaku,
, disebut ring
dan
,
,
.
(Fraleigh 1997)
Contoh Ring
Himpunan bilangan
, dan bilangan kompleks
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian aritmatika.
Definisi II.4 (Near Ring Kiri)
Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner,
ring kiri jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1.
grup,
2. Operasi biner
bersifat assosiatif,
3. Memenuhi sifat distributif kiri,
dan
adalah ring
, disebut near
,
.
Himpunan bagian dari near ring disebut -subgrup dari sedemikian
sehingga,
1.
subgrup dari
,
2.
,
3.
,
Jika memenuhi 1) dan 2) saja, maka disebut -subgrup kiri dari ,
Jika memenuhi 1) dan 3) saja, maka disebut -subgrup kanan dari .
(Solairaju et al. 2013)
3
Selanjutnya akan dijelaskan definisi homomorfisma grup, homomorfisma
ring, homomorfisma near ring kiri, epimorfisma, ring dari endomorfisma, grup
dengan operator, - subgrup dari , dan - homomorfisma.
Definisi II.5 (Homomorfisma Grup)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi
grup jika memenuhi
disebut homomorfisma
.
(Fraleigh 1997)
Contoh Homomorfisma Grup
Misalkan fungsi
dan didefinisikan
, maka
sebuah homomorfisma grup karena ketika diambil sembarang
berakibat
adalah
.
Definisi II.6 (Homomorfisma Ring)
Misalkan dan keduanya ring. Fungsi
ring jika memenuhi dua kondisi berikut:
1.
,
2.
,
.
disebut homomorfisma
(Fraleigh 1997)
Contoh Homomorfisma Ring
Didefinisikan fungsi
sembarang
maka berlaku:
(
sehingga
. Jika diambil
dengan
(
)
)
disebut homomorfisma ring.
(
(
)
)
, dan
Definisi II.7 (Homomorfisma Near Ring Kiri)
Misalkan
dan
keduanya near ring. Fungsi
disebut
homomorfisma near ring kiri jika memenuhi,
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.8 (Epimorfisma)
Misalkan dan keduanya grup. Fungsi
adalah homomorfisma.
disebut epimorfisma jika merupakan homomorfisma yang surjektif, yaitu
sehingga
.
(Fraleigh 1997)
Definisi II.9 (Ring dari Endomorfisma)
Misalkan sebuah grup abelian. Sebuah homomorfisma dari pada dirinya
sendiri disebut endomorfisma dari
. Misalkan himpunan dari semua
endomorfisma dari adalah hom . Akibat komposisi dua homomorfisma dari
ke dalam dirinya merupakan suatu homomorfisma, maka dapat didefinisikan
4
perkalian pada hom
assosiatif.
sebagai komposisi fungsi dan perkalian tersebut bersifat
(Fraleigh 1997)
Definisi II.10 (Grup dengan Operator)
Sebuah grup dengan operator yang terdiri dari grup
dan sembarang
himpunan , himpunan operator-operator, bersama dengan sebuah operasi dari
perkalian luar dari setiap elemen di oleh setiap elemen di dari kiri sehingga
memenuhi kondisi berikut:
i).
,
ii).
,
.
(Fraleigh 1997)
Definisi II.11 ( - Subgrup dari )
Misalkan
grup,
adalah himpunan operator kiri, dan
adalah
himpunan operator kanan. Jika
maka
dikatakan sebagai - grup. Jika subgrup dari - grup juga merupakan grup maka himpunan tersebut disebut
- subgrup dari . Hal tersebut juga
berlaku untuk satu operator, baik dari kiri saja maupun dari kanan saja.
(Chellapa dan Manemaran 2010)
Definisi II.12 ( - Homomorfisma)
Misalkan
dan
keduanya
grup. Fungsi
adalah
homomorfisma. Jika
dan
(
)
maka disebut - homomorfisma.
(Chellapa dan Manemaran 2010)
Berikutnya akan dijelaskan definisi himpunan fuzzy, -fuzzy, -fuzzy sub
near ring kiri, anti -fuzzy - subgrup kiri, S-norm, serta karakterisasi anti fuzzy.
Definisi II.13 (Himpunan Fuzzy)
Misalkan adalah suatu kumpulan objek dan adalah elemen dari
Himpunan fuzzy di didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan,
.
dimana
adalah membership function (MF) untuk himpunan fuzzy . MF
memetakan setiap anggota ke nilai keanggotaan antara 0 dan 1.
(Jang 1997)
Definisi II.14 ( -Fuzzy)
Misalkan sembarang himpunan dan adalah grup. Fungsi
disebut sebagai himpunan -fuzzy di .
(Subramanian dan Chellapa 2010)
Definisi II.15 ( -Fuzzy Sub Near Ring Kiri)
Misalkan adalah near ring. Himpunan -fuzzy di disebut -fuzzy sub
near ring kiri jika:
1.
,
2.
,
.
(Solairaju et al. 2013)
5
Definisi II.16 (Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri)
Sebuah himpunan -fuzzy disebut anti -fuzzy M-N subgrup kiri dari near
ring pada jika memenuhi:
1.
,
2.
,
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.17 (S-norm)
Sebuah S-norm adalah fungsi
yang harus memenuhi
beberapa kondisi berikut:
(S1)
,
(S2)
jika
,
(S3)
,
(S4) (
)
.
(Solairaju et al. 2013)
Definisi II.18 (Karakterisasi Anti -Fuzzy)
Misalkan
epimorfisma dan adalah anti -fuzzy - subgrup
kiri dari near ring , maka dikatakan karakteristik anti -fuzzy jika,
.
(Solairaju et al. 2013)
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibuktikan beberapa teorema tentang anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Pertama akan dibuktikan hubungan antara anti fuzzy - subgrup kiri dan sebuah endomorfisma dari near ring. Kemudian akan
dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near
ring. Terakhir, akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang
berbeda.
Pada teorema pertama akan dibuktikan hubungan antara anti -fuzzy subgrup kiri dan sebuah endomorfisma yang juga merupakan anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan adalah sebuah fungsi
yang anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring , dan adalah sebuah
endomorfisma dari
. Kemudian akan dibuktikan bahwa
dan
yang
dioperasikan oleh fungsi komposisi,
, juga merupakan anti -fuzzy
- subgrup kiri dari near ring .
Teorema 1
Jika adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring dan adalah
endomorfisma dari , maka
adalah anti -fuzzy - subgrup dari .
Bukti:
Diketahui adalah near ring.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring ,
didefinisikan
6
sehingga memenuhi:
i.)
ii.)
,
,
.
adalah endomorfisma dari ,
didefinisikan
Ilustrasi untuk dan berturut-turut sebagai berikut:
.
[0,1]
t
Akan dibuktikan bahwa
adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
-
subgrup kiri dari ,
,
[0,1]
t
Bukti:
i.)
( (
) )
(
)
ii.)
(
)
Pada teorema kedua akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy subgrup kiri dari suatu near ring. Ilustrasinya yaitu, misalkan
fungsi
epimorfisma dari near ring ke near ring
dan adalah anti -fuzzy subgrup kiri dari . Kemudian ada fungsi yang merupakan pre image dari di
bawah . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa tersebut juga merupakan sebuah
anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
7
Teorema 2
Suatu epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring .
Bukti:
Misalkan dan
adalah near ring dan fungsi
artinya
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
adalah epimorfisma,
,
[0,1]
t
adalah preimage dari
di bawah fungsi .
Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
-
subgrup kiri dari ,
.
,
[0,1]
t
Karena
Bukti:
i.)
adalah preimage dari
maka didefinisikan,
8
( (
) )
ii.)
Pada dua teorema terakhir, yaitu teorema ketiga dan keempat akan
dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda. Ilustrasinya
yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring . Teorema
ketiga akan membuktikan bahwa fungsi
yang membawa setiap elemen di ke
[0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui
bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari . Sedangkan teorema keempat kebalikan dari teorema
ketiga, akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke
[0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , jika sebelumnya diketahui
bahwa fungsi
yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy
- subgrup kiri dari .
Teorema 3
Misalkan
adalah epimorfisma.
subgrup kiri dari , maka
adalah anti -fuzzy
Bukti:
Diketahui
adalah anti
-fuzzy
- subgrup kiri dari .
adalah near ring dan fungsi
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
,
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
[0,1]
dan
epimorfisma, artinya
t
adalah anti -fuzzy
didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
Akan dibuktikan bahwa
-
-
subgrup dari
,
9
Ilustrasinya sebagai beikut:
[0,1]
t
Bukti:
i.)
ii.)
Teorema 4
Misalkan
kiri dari , maka
epimorfisma. Jika
adalah anti -fuzzy
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari .
Bukti :
Diketahui
dan
adalah near ring dan fungsi
sehingga
.
adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari ,
didefinisikan
sehingga memenuhi:
i)
ii)
,
.
Ilustrasinya sebagai berikut:
,
t
anti -fuzzy didefinisikan
sehingga harus memenuhi:
i)
ii)
,
.
subgrup
epimorfisma, artinya
[0,1]
Akan dibuktikan bahwa
-
subgrup kiri dari ,
,
10
Ilustrasinya sebagai berikut:
[0,1]
t
Bukti:
i.)
ii.)
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya diperoleh
beberapa karakteristik anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring. Pertama, jika
diketahui sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari sebuah
near ring, maka fungsi komposisinya juga merupakan sebuah anti -fuzzy subgrup kiri dari near ring tersebut. Kedua, jika diketahui suatu fungsi di near
ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari , maka fungsi pre image-nya
juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari . Ketiga, jika fungsi yang
membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang
membawa setiap elemen di ke [0,1] juga merupakan anti -fuzzy. Berlaku juga
untuk sebaliknya. Jika fungsi yang membawa setiap elemen di
ke [0,1]
merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1]
juga merupakan anti -fuzzy.
Saran
Karya ilmiah ini membahas tentang -fuzzy pada near ring. Bagi yang
berminat untuk melanjutkan karya ilmiah ini terkait dengan -fuzzy dapat
membahas tentang teori near ring maupun teori grup lainnya, misalkan tentang
struktur pada -fuzzy -subgrup kiri, struktur pada -fuzzy Gama subgrup, Bi
Polar -fuzzy , dan yang lainnya.
11
DAFTAR PUSTAKA
Chellapa B, Manemaran SV. 2010. -Product of Anti -Fuzzy Left
Subgroups of Near Rings under Triangular Conorms. International Journal
of Computer Applications. 12(1):37-42.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. United States of America
(US): Addision Wealey Publishing Company.
Jang JSR. 1997. Neuro-Fuzzy dan Soft-Computing. Prentice-Hall, New Jersey
(US).
Solairaju A, Sarangapani P, Nagarajan R, Muruganantham P. 2013. Anti -Fuzzy
-Subgroups of Near Rings. International Journal of Mathematics Trends
and Technology. 4(8):130-138.
Subramanian S, Chellapa B. 2010. Structures on Q-Fuzzy Left -Subgroups of
Near Rings under Triangular Norms. International Journal of Computer
Applications. 11(1):37-39.
12
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Pamekasan pada tanggal 13 September 1991 dari ayah Jatim
dan ibu Satenni. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam.
Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SD
Negeri Polagan 1 Kec. Galis Kab. Pamekasan, tahun 2007 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Galis Kec. Galis Kab. Pamekasan, dan tahun 2010 penulis lulus dari
SMA Negeri 2 Pamekasan Kab. Pamekasan. Pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika
FMIPA IPB dengan pilihan minor Statistika Terapan.
Penulis juga mendapatkan beasiswa Bidikmisi selama empat tahun. Selama
mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar bimbingan belajar Gugus
Mahasiswa Matematika (Bimbel Gumatika) mata kuliah Kalkulus dan tutor
mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB mata kuliah Landasan
Matematika tahun ajaran 2012/2013. Penulis juga aktif sebagai Ketua Departemen
Keilmuan himpunan profesi Matematika, Gumatika IPB periode 2012-2013. Pada
tahun yang sama penulis juga menjadi Ketua Pengguyuban OMDA (Organisasi
Mahasiswa Daerah) Madura. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti
kegiatan seperti kepanitiaan IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai Ketua
Divisi Logistik dan Transportasi, kepanitiaan Matematika Ria sub Pesta Sains
Nasional 2013 sebagai Ketua Pelaksana.