SUBGRUP Materi Ajar STRUKTUR ALJABAR 1

SUBGRUP
Order Grup

Order
Elemen

Definisi
Subgrup

ORDER GRUP
Definisi:
•  
• Banyaknya
anggota-anggota
suatu Grup
(terhingga atau
tak terhingga)
disebut Order.
• Notasi order G
ditulis .

 Contoh:

Selidiki order grup di bawah
ini!
• terhadap penjumlahan
modulo 10
• U(15) terhadap perkalian
modulo 15
• terhadap penjumlahan
biasa
• terhadap komposisi fungsi

ORDER GRUP
Penyelesaian:
 • terhadap penjumlahan
• terhadap penjumlahan
biasa
modulo 10
= {…,-2, -1, 0, 1, 2, ….}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9}
tak terhingga
10
• U(15) terhadap perkalian • terhadap komposisi fungsi
modulo 15
=
U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11,
8
13, 14}
8

•  

ORDER ELEMEN
Definisi:
•  
• Misalkan adalah elemen pada grup . Jika
terdapat bilangan bulat positif sedemikian
hingga (dalam penjumlahan menjadi ),
maka dikatakan memiliki order berhingga,

dan bilangan bulat positif terkecil disebut
order dari elemen
• Untuk mencari order elemen g, kita perlu
menghitung hasil dari sampai kita
menemukan identitas untuk pertama
kalinya.
• Jika tidak ada yang memenuhi persamaan
di atas maka dikatakan memiliki order tak-

ORDER ELEMEN
Contoh
1:
•  
Selidiki U(15) terhadap perkalian
modulo 15. Tentukan order setiap
Dengan cara
elemennya!
yang sama,
dapat ditentukan
Jawab:

order elemen
• dapat dihitung dengan = 7, = lain
4, dari U(15)
= 13, = 1, = 7 , = 4, = 1 , =
13, = 1 Jadi = 4
dapat dihitung dengan , = 1, Jadi
=2

ORDER ELEMEN

Contoh
2:
•  
Selidiki terhadap penjumlahan
modulo 10. Tentukan order setiap
elemennya!
  Dengan cara
yang sama,
Jawab:
dapat ditentukan

•

dapat dihitung dengan
=1.2=2
=2.2=4
=3.2=6
=4.2=8
=5.2=0
Jadi = 5

order elemen
lainnya dari

ORDER ELEMEN
Contoh
3:
•  
Selidiki terhadap penjumlahan biasa.
Tentukan !
setiap elemen

tidak nol
Jawab:
mempunyai

order tak
terhingga,
karena a, 2a, 3a,
…. tidak muncul
0 dimana a ≠ 0

Dst.
Tidak muncul 0
tak terhingga

LATIHAN SOAL
Selidiki
order grup dan order setiap elemen
•  
dari:
1. terhadap penjumlahan modulo 12

2. U(20) terhadap perkalian modulo 20
3. terhadap komposisi fungsi

LATIHAN SOAL
Pembahasan:
•  
1. terhadap penjumlahan modulo 12
• = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
12
 

1
12
6
4
3
12

 

2
12
3
4
6
12

LATIHAN SOAL

Pembahasan:
•  
2. U(20) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}
8
 

=
=
=
=

1
4
4
2

 

=
=
=
=

2
4
4
2

LATIHAN SOAL
Pembahasan:
Alternatif 1

•  
3. terhadap komposisi fungsi
Misalkan = 1 2
4

3

dirotasikan
1

2  

1

2

4

3

4

3

Sehingga = 1

Elemen
Identita
s

LATIHAN SOAL

Pembahasan:
= Rotasi (counterclockwise)

•  
 

 

 

 

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

 

 

 

 

2

3

1

4

2

3

1

4

2

3

1

4

2

3

1

4

 
 

 

 

3

4

2

1

3

4

2

1

3

4

2

1

Setelah dirotasikan
sebanyak 4x kali, kembali
menjadi atau identitas,
sehingga

=4
 

 

4

1

3

2

4

1

3

2

 

1

2

4

3

LATIHAN SOAL
Pembahasan:

•  
=
 

 

 

Setelah dirotasikan
sebanyak 2x kali, kembali
menjadi atau identitas,
sehingga

Rotasi (counterclockwise)

1

2

4

3

1

2

4

3

 

 

=2
3

4

2

1

3

4

2

1

 

1

2

4

3

LATIHAN SOAL
Pembahasan:
= flip secara horizontal

•  

 Setelah diflip sebanyak 2x
kali, kembali menjadi atau
identitas, sehingga

=2
 

 

1

2  

4

3

4

3

1

2

1

2  

4

3

4

3

1

2

 

1

2

4

3

LATIHAN SOAL
Pembahasan: Alternatif 2
Ada cara lain, yaitu dengan pemetaan
1
2
=
 
 

•  

4

3

1
2
3
4

dapat ditulis  identitas

1
2
3
4

LATIHAN SOAL

Pembahasan:
Misalkan

•  

 

 

1
2
3
4

1
2
3
4

 
dapat ditulis

 

Misalkan
 

 
1
2
3
4

 
1
2
3
4

 

1
2
3
4

 
dapat ditulis

LATIHAN SOAL

Pembahasan:
Misalkan

•  

 

 
1
2
3
4

1
2
3
4

 
 
dapat ditulis

 

 
1
2
3
4

1
2
3
4

LATIHAN SOAL

Pembahasan:
Misalkan

•  

 

 
1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

 

 
dapat ditulis
=4

 
 

 

 

 

1
2
3
4

1
2
3
4
 

 

LATIHAN SOAL
Pembahasan: Alternatif 3
2 dapat
3
=
ditulis
=
1
4
= =
=
= =

•  

LATIHAN SOAL
Pembahasan:
=
=
=

•  

=4

LATIHAN SOAL
Pembahasan:
=
3 dapat
4 ditulis

•  

2

=
=
=
=2

1

LATIHAN SOAL
Dengan cara yang sama diperoleh
=1
  = 4
=2
=4
=2
=2
=2
=2

Review Subset
•• Himpunan
B adalah
 
subset dari himpunan A
dinotasikan dengan atau
• digunakan untuk kondisi
tetapi
 1.Tentukan subset
dari
2.Tentukan subset
dari Z!

DEFINISI SUBGRUP
Jika H subset grup G, dan H merupakan
grup di bawah operasi G, kita dapat
mengatakan H subgrup G.
Notasi Subgrup:
H ≤ G (H subgrup tidak sejati )
H < G (H subgrup sejati)
Subgrup {e} disebut subgrup trivial dari G
Subgrup selain {e} disebut subgrup
nontrivial dari G

DEFINISI SUBGRUP
Diketahui
(G, *) grup, H G, H ≤ G jhj
•  
1) H ≠
2) H tertutup terhadap *
3) H bersifat asosiatif terhadap *
4) elemen identitas di H
5) elemen di H mempunyai invers

CONTOH 1
Tunjukkan bahwa 2Z adalah suatu subgrup dari grup Z dibawah operasi penjumlahan!

1.
•  Karena 0 2.0 = 0 . ≠Ø.
2. Ambil sebarang 
Misal dan
Akan ditunjukkan .
=
Karena  maka  .
Karena  maka  .
Jadi, tertutup terhadap penjumlahan.

CONTOH 1
3.
•   Operasi di 2Z asosiatif jika
Ambil sebarang .
Misal: dimana
Akan ditunjukkan +

Karena grup maka operasi di adalah asosiatif.
berlaku

CONTOH 1
•maka
 

+
+

Diperoleh
,,
operasi di 2Z asosiatif.

CONTOH 1
4.
•  
Karena maka
Sehingga
Misal dimana
Akan ditunjukkan
Diperoleh
mempunyai identitas

CONTOH 1
5.
•  
Ambil sebarang misal , dimana
Pilih
Akan ditunjukkan

Diperoleh
mempunyai invers
Berdasarkan 1,2,3,4,dan 5 memenuhi
definisi subgrup, merupakan subgrup

CONTOH 2
Diberikan
grup terhadap operasi penjumlahan
•  
modulo 6. Selidiki apakah subgrup dari
1. S
+ 0 1 2 3
2. Berdasarkan tabel Caley
0 0 1 2 3
sedemikian sehingga
1

1

2

3

4

2

2

3

4

5

tidak tertutup
3 3 4 5
3. Ambil sebarang akan ditunjukkan
bahwa
S berlaku sifat Asosiatif

0

CONTOH 2
•  

mempunyai identitas
yang tidak mempunyai invers

Berdasarkan 1,2,3,4,5: 2 dan 5 tidak
memenuhi definisi subgrup,

CONTOH 3
Misal
•   didefinisikan sebagai . Tunjukkan bahwa
yang tertutup terhadap perkalian!
1. Karena ,
2. Setiap
Ambil sebarang
Misal dan , dimana
Akan ditunjukkan

CONTOH 3
•  

=
Karena maka
Karena maka
Jadi tertutup terhadap perkalian

CONTOH 3
•3.  Operasi di

asosiatif jika . Ambil sebarang
Misal , dimana , ,
Akan ditunjukkan
=, dimana
=
=

CONTOH 3
=
=
=
berlaku sifat Asosiatif
4.
Karena
Sehingga

•  

CONTOH 3
Misal A =,
Akan ditunjukkan ==,
=
=
Diperoleh ==,
mempunyai identitas

•  

CONTOH 3
5. ,
Ambil sebarang A , misal ,
Pilih ,
Akan ditunjukkan

•  

CONTOH 3
Diperoleh
mempunyai invers

•  

Berdasarkan 1,2,3,4,5 memenuhi definisi subgrup
adalah subgrup