Integral Garis

3.2 Integral Garis

Salah satu jenis generalisasi integral tentu

f (x)dx diperoleh dengan menggantikan

himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdi- mensi tiga. Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan [a, b] dengan kurva C pada bidang xy. Integral yang dihasilkan R f (x, y)ds disebut

integral garis atau integral kurva. Misalkan C adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini, misalkan C

dinyatakan secara parametris dengan

x = x(t),

y = y(t),

a≤t≤b

di mana x ′ dan y ′ kontinu dan tidak secara simultan nol pada (a, b). Kita men- gatakan bahwa C berorientasi positif jika arahnya berhubungan dengan pen- ingkatan nilai-nilai t. Andaikan C berorientasi positif dan C hanya dapat ditelusuri sekali ketika t berubah dari a ke b. Jadi, C mempunyai titik awal A = (x(a), y(a)), dan titik akhir B = (x(b), y(b)). Perhatikan pembagian partisi P dari selang pa- rameter [a, b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik

a=t 0 <t 1 <t 2 <...<t n =b

Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi n subbusur P i−1 P i di mana titik P i berhubungan dengan t i .

Gambar 3.2: Partisi P

Misalkan ∆s i melambangkan panjang busur P i−1 P i dan misalkan |P | meru- pakan aturan untuk mempartisi P ; yaitu misalkan |P | adalah ∆t i terbesar = t i −t i−1 .

Pilih sebuah titik contoh Q i (¯ x i ,¯ y i ) pada subbusur P i−1 P i . Selanjutnya, lihat jumlah Riemann

Jika f taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 3.3: Tirai Vertikal Melengkung

Jika f kontinu pada daerah D yang mengandung kurva C, maka jumlah Rie- mann ini memiliki sebuah limit ketika |P | → 0. Limit ini disebut integral garis

dari f di sepanjang C dari A ke B terhadap panjang busur, dalam hal ini

f (x, y)ds = lim X f (¯ x

i ,¯ y i )∆s i

|P |→0 C i=1

Untuk f (x, y) ≥ 0, fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tirai melengkung pada Gambar 3.3. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai dengan menyatakan

segala sesuatunya dengan menggunakan parameter t dan menghasilkan integral ten- segala sesuatunya dengan menggunakan parameter t dan menghasilkan integral ten-

f (x, y)ds =

f (x(t), y(t)) p[x ′ (t) 2 ] + [y ′ (t) 2 ]dt

Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus di mana C, meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulus sepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulus C 1 ,C 2 ,...,C k yang digabung, seperti ditunjukkan Gam- bar 3.4. Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjang C sebagai jumlah dari integral-integral pada kurva-kurva individunya.

Gambar 3.4: Potongan Kurva C

Contoh 1: Hitung R x 2 y ds, di mana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t,

C y = 3 sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = 2 p9 − y , y = y,

0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang sama.

Penyelesaian:

• Parametrisasi I

2 x 2 y ds = (3 cos t) (3 sin t) p(−3 sint) 2 + (3 cos t) 2 dt

• Parametrisasi II

Contoh 2: Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran

0 ≤ t ≤ π, a > 0 Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknya dari sumbu x, ten-

x = a cos t, y = a sin t,

tukan massa dan pusat massa kabel tersebut.

Penyelesaian: Gunakan prinsip iris, hampiri, dan integralkan. Massa seutas kabel dengan panjang ∆s dapat dihampiri dengan δ(x, y)∆s, di mana δ(x, y) = ky adalah kerapatan di (x, y) (k adalah konstanta). Jadi, massa m di seluruh kabel adalah

m= ky ds = ka sin t a 2 sin 2 t+a 2 cos 2 tdt

= ka 2 sin t dt = [−ka cos t]

0 = 2ka

Momen kabel tersebut terhadap sumbu x dinyatakan dengan

x = y ky ds = ka sin t dt

3 ka Z

(1 − cos 2t)dt

Berdasarkan sifat simetri, ¯

Contoh 3: Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatan δ(x, y, z) = kz jika kabel ini mempunyai bentuk heliks C dengan parametrisasi

x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t 0 ≤ t ≤ π

Penyelesaian:

m= kz ds = k (4t)

9 sin 2 t + 9 cos 2 t + 16dt

= 20k 2 t dt = 20k = 10 kπ

Satuan untuk m bergantung pada panjang dan kerapatannya. Kerja

Andaikan gaya yang bekerja pada sebuah titik (x, y, z) dalam ruang dinyatakan dengan medan vektor

F (x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P (x, y, z)k di mana M, N, dan P kontinu. Kita akan menentukan kerja W yang dilakukan oleh

F pada sebuah partikel yang bergerak di sepanjang kurva berorientasi yang mulus,

C. Misalkan r = xi + yj + zk adalah vektor posisi untuk titik Q(x, y, z) pada kurva tersebut (Gambar 3.5). Jika T adalah vektor singgung satuan dr/ds di Q, maka

F . T adalah komponen singgung dari F di Q.

Gambar 3.5: kurva C

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel tersebut dari Q dalam jarak pendek ∆s di sepanjang kurva tersebut dapat dihampiri sebesar F . T ∆s, dan konsekuensinya kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari A ke B di sepanjang C didefinisikan dengan R

F . T ds. Dengan T = (dr/dt)(dt/ds), se-

hingga rumus alternatif untuk kerja adalah sebagai berikut

dr Z

W=

F . T ds = F. dt = F.dr

dt

dengan dr = dxi + dyj + dzk, maka

F.dr = (M i + N j + P k).dxi + dyj + dzk = M dx + N dy + P dz

sehingga

W= F.dr =

M dx + N dy + P dz

Contoh 1: Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya hukum kuadrat invers

−cr

−c(xi + yj + zk)

=Mi+Nj+Pk untuk menggerakkan sebuah partikel di sepanjang kurva garis lurus C dari (0, 3, 0)

F (x, y, z) =

|r|

(x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2

Penyelesaian: Di sepanjang C, y = 3 dan z = 0, sehingga dy = dz = 0. Dengan menggunakan x sebagai parameter, diperoleh

Contoh 2: Hitung integral garis

2 (x 2 −y ) dx + 2xy dy

di sepanjang kurva C yang persamaan parametriknya adalah x = t 2 ,y=t 3 ,0≤t≤

Penyelesaian: Karena dx = 2t dt dan dy = 3t 2 dt,

2 2 4 6 5 (x 2 −y ) dx + 2xy dy = [(t −t )2t + 2t (3t )]dt

Contoh 3: R 2 Hitunglah 2 xy dx + xy dy di sepanjang lintasan C = C

1 ∪C 2 seperti ditunjukkan

gambar. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus C 3 dari (0, 2) ke (3, 5).

Penyelesaian:

• Pada C 1 , y = 2, dy = 0, dan

2 2 2 xy 3 dx + xy dy = 4x dx = [2x ]

• Pada C 2 , x = 3, dx = 0, dan

2 2 2 3 xy 5 dx + xy dy = 3y dy = [y ]

Kita dapat menyimpulkan bahwa

2 xy 2 dx + xy dy = 18 + 117 = 135

• Pada C 3 , y = x + 2, dy = dx, sehingga

2 2 xy 2 dx + xy dy = 2 x(x + 2) dx

3 =2 2 (x + 4x + 4x)dx

4 3 0 2 Perhatikan bahwa kedua lintasan dari (0, 2) ke (3, 5) menghasilkan nilai yang berbe-

Latihan 3.2

1. Hitunglah setiap integral garis berikut

a. R (x 3 + y)ds; C adalah kurva x = 3t, y = t 3 ,0≤t≤1

b. R xe y ds; C adalah ruas garis dari (−1, 2) ke (1, 1)

c. R (x + 2y)dx + (x − 2y)dy; C adalah ruas garis dari (1, 1) ke (3, −1)