DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika)

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2014/2015

Daftar Isi

Daftar Isi iii

Daftar Gambar v

1 Turunan dalam Ruang Berdimensi n

1.1 Fungsi Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Domain Fungsi Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Grafik Fungsi Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Limit Fungsi 2 Peubah atau Lebih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Kekontinuan Fungsi 2 Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Turunan Fungsi 2 Peubah atau Lebih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Turunan Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Turunan Fungsi Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Fungsi Lebih dari Dua Variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Turunan - turunan Lebih Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.5 Keterdiferensialan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.6 Turunan Berarah dan Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.7 Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien . . . . . . . . . . 24

1.4.8 Aturan Rantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.9 Aturan Rantai (Versi Kedua) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Maksimum dan Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Integral dalam Ruang Berdimensi n

2.1 Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Integral Berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang . . . . . . . . 40

2.4 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Penerapan Integral Lipat-Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Kalkulus Vektor

3.1 Medan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Integral Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 Kebebasan dari Lintasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Pembahasan

Daftar Gambar

1.1 Fungsi Satu Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Fungsi Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Keluaran Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Output Program Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Output Fungsi f (x, y) = −10 p|xy| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 ilustrasi pendekatan perpotongan garis . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Partisi Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Volume Persegi Panjang R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Irisan oleh Bidang y = konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Irisan oleh Bidang x = konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Integral di Bawah Daerah Sebarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Himpunan Sederhana-y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7 Benda Padat dari Himpunan Sederhana-y . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8 Himpunan Sederhana-x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9 Benda Padat dari Himpunan Sederhana-x . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10 Bidang di Bawah Kurva dengan Koordinat Kutub . . . . . . . . . . . 46

2.11 Partisi-partisi R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12 Himpunan Sederhana-r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.13 Himpunan Sederhana-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.14 Lamina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.15 Partisi Lamina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.16 Partisi P pada Daerah S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.17 S bukan Persegi Panjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1 Medan Vektor F(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Partisi P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 Tirai Vertikal Melengkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 Potongan Kurva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 kurva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

BAB 1 Turunan dalam Ruang Berdimensi

1.1 Fungsi Dua Peubah

1.1.1 Pendahuluan

Sejauh ini kita telah membahas kalkulus dengan fungsi-fungsi variabel tunggal. Tetapi pada dunia nyata, besaran-besaran yang digunakan seringkali bergantung pada dua variabel atau lebih. Misalkan pada perhitungan suhu T di sebuah titik pada permukaan bumi pada sebarang waktu yang diberikan bergantung pada lintang x dan bujur y titik tersebut. Kita dapat memikirkan T sebagai fungsi dua variabel x dan y, atau sebagai fungsi dari pasangan (x, y). Ditunjukkan ketergantungan fungsional ini dengan menuliskan T = f (x, y). Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan dapat:

• Menentukan domain dan range suatu fungsi dua peubah atau lebih

• Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah

• Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua peubah

Pada Kalkulus I, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik eksplisit maupun implisit. Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah

Gambar 1.1: Fungsi Satu Peubah

Pada fungsi satu peubah, f : A→ B. A ⊂ R dan B ⊂ R dengan R = himpunan semua bilangan real. Grafik fungsi f = {(x, y)|y = f(x), x ∈ D f }, berupa himpunan titik di R 2 , dapat berupa garis lurus atau lengkung. Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan dibahas tentang fungsi dengan dua variabel atau lebih. Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f (x), dalam hal ini x merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas. Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:

2 f (x, y) = 2x 2 +y g(x, y, z) = 2xe yz

h(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) = 2x 1 − 2x 2 + 4x 3 +x 4

Pada fungsi dua peubah, f:A→B

A ⊂ R×R dan B ⊂ R Grafik fungsi f = {(x, y, z)|z = f(x, y), (x, y) ∈ D 3

f } berupa himpunan di R , dapat

berupa luasan di R 3 .

Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.

Gambar 1.2: Fungsi Dua Peubah

Fungsi z = f (x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah bebas x dan y, serta z sebagai peubah tak bebas. Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. Peubah x, y dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas. Misalkan : Suhu T di sebuah titik pada permukaan bumi pada sebarang waktu yang diberikan bergantung pada lintang x dan bujur y titik itu. Kita dapat memikirkan T sebagai fungsi dua variabel x dan y, atau sebagai fungsi dari pasangan (x, y). Kita tunjukkan ketergantungan fungsional ini dengan menuliskan T = f (x, y). Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan dengan memasukkan nilai - nilai x dan y. Contoh 1:

Definisi Suatu fungsi f dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada masing - masing pasangan terurut bilangan real (x, y) di sebuah dalam himpunan

D sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh f (x, y). Himpunan D adalah daerah asal dari f dan daerah nilainya adalah himpunan nilai yang digunakan

f , atau dengan kata lain,f (x, y)|(x, y) ∈ D.

1.1.2 Domain Fungsi Dua Peubah

Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi. Contoh 2: Pada bidang xy, Tentukanlah daerah asal alami untuk

penyelesaian Domain dari f adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi x 2 +y 2 −

25 ≥ 0 dan x 6= 0, sebab px 2 +y 2 − 25 akan bernilai riil jika x 2 +y 2 − 25 ≥ 0. Jadi, domain f adalah himpunan (x, y) yang berada di luar dan pada lingkaran x 2 +y 2 = 25, tapi x 6= 0.

Contoh 3: Carilah daerah asal dari fungsi

Domain f (x, y) adalah himpunan semua titik yang memenuhi:

2 25 − x 2 −y ≥0

(1.4) Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di dalam lingkaran:

2 25 ≥ x 2 +y

(1.5) Contoh 4: Tentukan domain dari fungsi:

2 x 2 +y = 25

g(x, y, z) = px 2 +y 2 +z 2 − 16

Penyelesaian Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga domainnya tidak berada dalam bidang XY, tetapi di sistem koordinat tiga dimensi. Sehingga, fungsi akan terdefinisi jika:

2 2 2 2 2 x 2 +y +z − 16 ≥ 0 atau x +y +z ≥ 16

1.1.3 Grafik Fungsi Dua Peubah

Ketika kita menyebut grafik (graph) dari fungsi f dengan dua peubah, yang di- maksud adalah grafik dari persamaan z = f (x, y). Grafik ini normalnya merupakan sebuah permukaan, dan karena terhadap masing - masing (x, y) di dalam daerah asal hanya berhubungan dengan satu nilai z, maka setiap garis yang tegak lurus terhadap bidang xy akan hanya memotong permukaan di satu titik. Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memahami suatu fungsi. Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai representasi visual dari suatu persamaan. dalam subbab ini kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah tetapi tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah atau lebih. Contoh 5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut dan buat sketsa grafiknya.

(1.8) Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa himpunan

z = f (x, y) =

2 p25 − x 2 −y

titik - titik pada da di dalam lingkaran dengan jari – jari 5, yaitu himpunan titik - titik yang memenuhi pertaksamaan:

(1.9) Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.

2 x 2 +y ≤ 25

Range ini harus non negatif, karena z adalah akar - akar prinsip dengan domain:

(1.10) Nilai dalam akar bervariasi antara 0 dan 25.

2 x 2 +y ≤ 25

Jadi range-nya adalah 0 ≤ z ≤ 5. Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, akan diperoleh:

(1.13) Persamaan diatas merupakan persamaan bola dengan jari - jari 5.

2 2 x 2 +y +z = 25

Tetapi perhatikan bahwa fungsi:

(1.14) dan persamaan:

2 p25 − x 2 −y

(1.15) tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu fungsi dari x

2 2 x 2 +y +z = 25

dan y, artinya setiap (x, y) tidak memberikan nilai tunggal untuk z. Bahwa fungsi di atas mempunyai range 0 ≤ z ≤ 5, berarti bahwa fungsi ini berupa

sebagian setengah atas dari bola. Langkah selanjutnya adalah menggambar grafik, terlebih dahulu kita akan menggambarkan titik - titik di bidang koordinat.

1. Jejak di bidang xy (z = 0). 0=

2 2 2 p25 − x 2 −y atau x +y = 25 merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari - jari 5 di bidang xy.

2. Jejak di bidang yz (x = 0) z=

2 2 p25 − y 2 atau y +z = 25 Lingkaran berpusat di O berjari - jari 5 pada bidang yz.

3. Jejak di bidang xz (y = 0)

√ z=

25 − x 2 atau x 2 +z 2 = 25

Lingkaran berpusat di O berjari - jari 5 di bidang xz. Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

4. Untuk z = 3 3= 2 2 2 p25 − x 2 −y atau x +y = 16

Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingkarang berpusat di (0, 0, 3) dengan jari - jari 4.

5. Untuk z = 4 4=

2 2 atau x p25 − x 2 −y +y 2 =9

Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingkarang berpusat di (0, 0, 4) dengan jari - jari 3.

Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:

Gambar 1.3: Keluaran Maple

Grafik Komputer Beberapa perangkat lunak, seperti Maple mampu menghasilkan grafik berdimensi 3 dengan tingkat kerumitan tertentu dengan mudah. seperti pada contoh beberapa grafik hasil keluaran Maple berikut ini:

Gambar 1.4: Output Program Maple

Latihan 1. Sketsakan grafik (luasan permukaan) dari fungsi:

1.2 Limit Fungsi 2 Peubah atau Lebih

Secara umum, teorema limit dan konsep ketaktehinggaan, dan sebagainya pada fungsi satu peubah juga berlaku untuk fungsi - fungsi dengan dua variabel atau Secara umum, teorema limit dan konsep ketaktehinggaan, dan sebagainya pada fungsi satu peubah juga berlaku untuk fungsi - fungsi dengan dua variabel atau

Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan terbuka D di R 2 dan (a, b) ∈ D,

(x,y)→(a,b)

Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap (x, y) ∈ D yang memenuhi

2 p(x − a) 2 + (y − b) berlaku |f(x, y) − L| < ε. (1.17) Contoh

3 2x 3 −y

1. lim (x,y)→(0,0)

x 2 +y 2

2. lim (x,y)→(a,b) y=b Beberapa sifat yang dimodifikasi berdasarkan sifat limit pada fungsi satu peubah:

Teorema 1 Jika lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y) = L 1 dan lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) g(x, y) = L 2 maka

1. lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) [f (x, y) + g(x, y)] = L 1 +L 2

2. lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) [f (x, y) − g(x, y)] = L 1 −L 2

3. lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) [f (x, y).g(x, y)] = L 1 .L 2

4. lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) k.g(x, y) = k.L 2

f (x, y)

5. lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

untuk g(x, y) 6= 0

g(x, y)

Catatan: Dalam konsep limit ini:

1. f tidak harus terdefinisi di (a, b)

2. Jika lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = L ada bagaimanapun caranya (x, y) mendekati (a, b) nilai f (x, y) selalu mendekati L.

Contoh x 2 Jika f (x, y) = 2 −y

x 2 +y 2 maka lim (x,y)→(0,0) tidak ada.

Bukti: Titik (0, 0) dapat didekati melalui tak hingga banyak arah. Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x, sumbu y dan garis y = mx. Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi, y = 0, maka

= lim =1 +0 (y)→(0) x 2

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) x 2

+y 2 (x)→(0) x 2

Di sisi lain (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y(x = 0), maka x 2 2 2 −y 2 0−y −y

= −1 Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai yang berbeda, dengan

= lim (y)→(0) y 2

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) x 2 +y 2

(y)→(0) 0+y 2

demikian dapat disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) → (0, 0). Pada contoh diatas kita tidak perlu mencari limit f dari arah lain, karena dari dua

arah sudah didapatkan nilai yang berbeda, sehingga dapat disimpulkan bahwa limitnya tidak ada. Jika dari dua arah tersebut nilainya saman maka perlu dicari dari nilai atau pendekatan garis yang lain yg melalui titik tersebut misalnya y = mx. Latihan 2. Tentukan nilai limit fungsi berikut jika ada.

x 2 +y

1. lim (x,y)→(3,−2)

x 2 +y 2 x 2 + 3xy + 2y 2

2. lim (x,y)→(−2,1)

x + 2y

3. lim 2 (x,y)→(3,−2) x +y

4. lim (x,y)→(0,0)

px 2 +y 2 y 2

5. lim (x,y)→(0,0)

px 2 +y 2

6. lim (x,y)→(0,0)

px 4 +y 2 xy

7. lim (x,y)→(0,0)

x 4 +y 2

1.3 Kekontinuan Fungsi 2 Peubah

Kekontinuan fungsi dua peubah diberikan dalam definisi berikut: Definisi Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D ⊂ R 2 dan (a, b) ∈ D, maka f dikatakan kontinu di (a, b) jika

lim

f (x, y) = f (a, b)

(x,y)→(a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D. Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a, b) harus ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi.

i. f (a, b) ada

ii. lim (x,y)→(a,b) f (x, y) ada

iii. lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi, maka f tidak kontinu di (a, b).

Sifat Operasi Aljabar Pada Fungsi Kontinu Jika f dan g keduanya kontinu di (a, b) maka

1. f + g kontinu di (a, b)

2. f − g kontinu di (a, b)

3. f g kontinu di (a, b)

4. f

g kontinu di (a, b) asalkan g(a, b) 6= 0.

Contoh Tentukan apakah f kontinu di (0, 0)

jika (x, y) 6= (0, 0)   0 jika (x, y) = (0, 0)

f (x, y) = x 2 +y 2

Penyelesaian: Dengan menggunakan kriteria kekontinuan fungsi:

(i) f (0, 0) = 0 (ada) (ii) Diselidiki apakah limit f (x, y) ada untuk (x, y) → (0, 0)

Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi y = 0, maka

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) x 2 +y 2 (x)→(0) x 2 .0 + 0 2 (x)→(0) x 2

Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y(x = 0), maka

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) x +y

(y)→(0) 0 +y

(x)→(0) y 2

Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) y = x, maka

= lim =0 (x)→(0) 2

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) x 2 +y 2 (x)→(0) x 2 +x 2

(x)→(0) 2x 2

Dapat disimpulkan bahwa lim (x,y)→(0,0)

x 2 +y 2 x 2 y

(iii) lim (x,y)→(0,0)

= 0 = f (0, 0)

x 2 +y 2

Jadi f kontinu di (0, 0). Latihan 3.

1. Carilah limit, jika memang ada, atau perlihatkan jika tidak mempunyai limit

a. lim (x,y)→(5,−2) x 5 + 4x 3 y − 5xy 2 a. lim (x,y)→(5,−2) x 5 + 4x 3 y − 5xy 2

c. lim (x,y)→(0,0)

x 2 +y 2 (x + y) 2

d. lim (x,y)→(0,0)

x 2 +y 2 8x 2 y 2

e. lim (x,y)→(0,0)

2. Diberikan f (x, y) = 2 dan g(x, y) =

2 − 2y 2 x + 2y Tunjukkan bahwa:

a. limit f (x, y) untuk (x, y) → (2, 2) tidak ada.

b. limit g(x, y) untuk (x, y) → (0, 0) sama dengan nol.

c. limit g(0, 0) = 0 apakah g(x, y) kontinu di (0, 0).

3. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut :

   2x − y

jika (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x+y

  0 jika (x, y) = (0, 0)

4. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:

 xy 

jika (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x 2 +y 2

 1 jika (x, y) = (0, 0)

1.4 Turunan Fungsi 2 Peubah atau Lebih

1.4.1 Turunan Parsial

Umumnya, jika f adalah fungsi 2 peubah x dan y, andaikan kita misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y = b, dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi satu peubah x yaitu g(x) = f (x, b). Jika g mempunyai turunan di a, maka kita menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a, b) dan menyatakannya dengan f x (a, b). Jadi

(1.18) Menurut definisi turunan, kita mempunyai

f (a, b) = g x ′ (a) dengan g(x) = f (x, b)

g(a + h) − g(a)

sehingga perluasannya menjadi

f (a + h, b) − f(a, b)

Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a,b), dinyatakan dengan f y (a, y), diperoleh dengan membuat x tetap (x = a) dan mencari turunan biasa di b dari fungsi G(y) = f (a, y):

f (a, b + h) − f(a, b)

Misalkan titik (a, b) berubah-ubah dalam persamaan diatas, f x dan f y menjadi fungsi dua peubah yang dapat disimpulkan sebagai berikut Jika f adalah fungsi dua peubah, turunan parsialnya adalah f x dan f y yang didefisikan oleh

f (x + h, y) − f(x, y)

f x (x, y) = lim

(h)→(0) (h)→(0)

Notasi untuk Turunan Parsial Jika z = f (x, y), kita tuliskan

=f 1 =D 1 f=D x f (1.24)

=f 2 =D 2 f=D y f (1.25)

Untuk menghitung turunan parsial, yang harus dilakukan adalah mengingat dari persamaan f x (a, b) bahwa turunan parsial terhadap x tidak lain adalah turunan biasa dari fungsi g dari variabel tunggal yang diperoleh dengan membuat y tetap.

Aturan untuk Pencarian Turunan Parsial dari z = f (x, y)

1. Untuk mencari f x , pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f (x, y) terhadap x

2. Untuk mencari f y , pandang x sebagai konstanta dan diferensialkan f (x, y) terhadap y

Contoh 1 Jika f (x, y) = x 3 +x 2 y 3 − 2y 2 , carilah f x (2, 1) dan f y (2, 1) Penyelesaian

∂f

Contoh 2 Jika f (x, y) = sin

1.4.2 Turunan Fungsi Implisit

Umumnya, sebuah persamaan seperti F (x, y, z) = 0 mendefinisikan satu peubah, misalnya z, sebagai fungsi dari dua peubah lainnya x dan y. Karenanya z kadang - kadang disebut f ungsi implisit dari x dan y, yang berbeda dengan apa yang disebut f ungsi eksplisit f , di mana z = f (x, y), yang sedemikian rupa sehingga

F [x, y, f (x, y)] ≡ 0.

Diferensiasi F [x, y, f (x, y)] = 0, variabel - variabel bebas adalah x dan y dan

∂f

bahwa z = f (x, y). Untuk menentukan

dan

, pada mulanya kita menulis

∂x

∂y

(amati bahwa F (x, t, z) adalah nol untuk semua pasangan domain (x, y), dengan kata lain adalah konstanta):

(1.26) dan kemudian menghitung turunan parsial F x ,F y dan F z meskipun x, y, z memben-

0 = dF = F x dx + F y dy + F z dz

tuk himpunan variabel bebas. Pada tahap ini, kita menggunakan ketergantungan

∂f z pada x dan y untuk memperoleh bentuk diferensial dz =

∂f

dx + dy. Melalui

∂y subtitusi dan sejumlah operasi aljabar hasil-hasil berikut ini diperoleh:

Contoh 3 Carilah

dan

, jika z didefinisikan secara implisit sebagai

fungsi x dan y oleh persamaan

3 3 x 3 +y +z + 6xyz = 1

Penyelesaian

Jika F (x, y, z) = 0 = x 2 +y +z + 6xyz − 1 dan z = f(x, y) maka F x = 3x + 6yz,

2 F 2 y = 3y + 6xz, dan F z = 3z + 6xy. Maka

1.4.3 Fungsi Lebih dari Dua Variabel

Turunan parsial dapat juga didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Mis- alnya, jika f adalah fungsi tiga variabel x, y, dan z, maka turunan parsialnya ter- Turunan parsial dapat juga didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Mis- alnya, jika f adalah fungsi tiga variabel x, y, dan z, maka turunan parsialnya ter-

f (x + h, y, z) − f(x, y, z)

f x (x, y, z) = lim

(h)→(0)

dan ditemukan dengan cara memandang y dan z sebagai konstanta serta mendefer- ∂ω

ensialkan f (x, y, z) terhadap x. Jika ω = f (x, y, z), maka f x = dapat ditafsirkan ∂x

sebagai laju perubahan ω terhadap x ketika y dan z dianggap konstan. Tetapi untuk kasus 3 peubah kita tidak dapat menafsirkannya secara geometrik karena grafik f terletak di ruang empat dimensi.

Umumnya, jika u adalah fungsi n variabel, u = f (x 1 ,x 2 , ..., x n ), turunan parsialnya terhadap variabel x i ke-i adalah

f (x 1 , ...x i−1 ,x i + h, x i+1 , ..., x n ) − f(x 1 ,x 2 , ..., x n ) = lim ∂x i (h)→(0)

∂u

atau dapat dituliskan dalam bentuk lain

Contoh 4 Carilah f

x ,f y dan f z jika f (x, y, z) = e lnz.

Penyelesaian

1.4.4 Turunan - turunan Lebih Tinggi

jika f adalah fungsi dua peubah, maka turunan parsialnya f x dan f y juga fungsi dua peubah, sehingga kita dapat menghitung untuk turunan parsial kedua dari f .

Jika z = f (x, y), kita gunakan notasi:

Jadi, notasi f xy bermakna bahwa pertama kita mendiferensialkan terhadap x dan kemudian terhadap y, sedangkan dalam menghitung f yx urutannya dibalik. Contoh 5 Jika f (x, y) = x 3 +x 2 y 3 − 2y 2 , carilah turunan parsial keduanya untuk masing-masing x dan y

Latihan Soal

1. Jika φ(x, y) = x 3 y+e xy 2 tentukanlah

2. Tentukan dan

3 d. x y+z e − ysin(x − z) = 0

e. xy − z 2 + 2xyz = 0

1.4.5 Keterdiferensialan

Untuk sebuah fungsi satu peubah, keterdiferensialan (dif f erentiability) dari f di x berarti adanya turunan f ′ (x). Sehingga, keterdiferensialan ini akan ekuivalen dengan grafik dari f yang mempunyai garis singgung tak vertikal di x. Konsep untuk keterdiferensialan sebuah fungsi dua peubah berhubungan dengan kaidah normal tentang keberadaan sebuah bidang singgung, dan jelas bahwa hal ini membutuhkan lebih dari sekedar keberadaan turunan-turunan parsial dari f semata, karena turunan-turunan tersebut mencerminkan sifat f hanya dalam dua arah. Ilustrasi: Misalkan ada fungsi dua peubah:

f (x, y) = −10 p|xy|

yang ditunjukkan pada output program

Gambar 1.5: Output Fungsi f (x, y) = −10 p|xy|

Untuk f x (0, 0) dan f y (0, 0) keduanya ada dan sama dengan 0; meskipun tidak dapat dipastikan bahwa grafiknya mempunyai sebuah bidang singgung di titik asal. Alasannya adalah, tentu bahwa grafik dari f tidak dapat dihampiri dengan baik di titik asal tersebut oleh sebarang bidang (khususnyam bidang xy) kecuali dalam dua arah. Sebuah bidang singgung seharusnya akan menghampiri grafik tersebut dengan sangat baik dalam segala arah. Cara lain untuk dapat melihat keterdiferensialan sebuah fungsi dengan peubah tunggal adalah sebagai berikut: Ilustrasi: Jika f dapat dideferensialkan di a, maka terdapat sebuah garis singgung yang melalui

(a, f (a)) yang mendekati fungsi tersebut untuk nilai x dekat a. Dengan kata lain,

f hampir mendekati linier dekat a. gambar berikut mngilustrasikan hal ini untuk fungsi satu peubah, ketika grafik y = f (x) diperbesar, garis singgung dan fungsi tersebut hampir tidak dapat dibedakan. Untuk lebih tepatnya, kita dapat men-

Gambar 1.6: ilustrasi pendekatan perpotongan garis

gatakan bahwa sebuah fungsi f disebut linier setempat di a jika terdapat sebuah konstanta m sedemikian rupa sehingga

f (a + h) = f (a) + hm + hε(h)

dimana ε(h) adalah sebuah fungsi yang memenuhi lim h→0 ε(h) = 0. Dengan menye- lesaikan ε(h) akan menghasilkan

f (a + h) − f(a)

ε(h) =

−m

Fungsi ε(h) adalah perbedaan antara kemiringan garis potong yang melalui titik (a, f (a)) dan titik (a + h, f (a + h)) dengan kemiringan garis singuung yang melalui (a, f (a)). Jika f bersifat linear setempat di a, maka

lim ε(h) = lim

yang berarti bahwa

f (a + h) − f(a)

Kita dapat menyimpulkan bahwa f pasti dapat dideferensialkan di a dan bahwa m pasti sama dengan f ′ (a). Sebaliknya, jika f dapat dideferensialkan di a, maka Kita dapat menyimpulkan bahwa f pasti dapat dideferensialkan di a dan bahwa m pasti sama dengan f ′ (a). Sebaliknya, jika f dapat dideferensialkan di a, maka

h→0

=f (a) = m, sehingga f linear setempat. Dengan demikian,

h pada kasus satu peubah, f akan linear setempat di a jika dan hanya jika f dapat

didefensialkan di a. Konsep kelinieran setempat ini juga berlaku pada situasi sama dimana f adalah fungsi dua peubah. Berikut definisi linear setempat untuk fungsi dua peubah Defin- isi Fungsi f dikatakan linear setempat di (a, b) jika

f (a + h 1 ,b+h 2 ) = f (a, b) + h 1 f x (a, b) + h 2 f y (a, b) + h 1 ε 1 (h 1 ,h 2 )+h 2 ε 2 (h 1 ,h 2 ) dimana ε 1 (h 1 ,h 2 → 0 ketika (h 1 ,h 2 ) → 0 dan ε 2 (h 1 ,h 2 → 0 ketika (h 1 ,h 2 )→0

Berdasarkan uraian diatas maka kita dapat mendefinisikan keterdiferensialan yang sama dengan kelinearan setempat.

Definisi Fungsi s dapat dideferensialkan di p jika fungsi tersebut linear setempat di p. Fungsi

f dapat dideferensialkan pada sebuah himpunan terbuka R jika fungsi tersebut dapat dideferensialkan di setiap titik di R.

Vektor (f x (p), f y (p)) = f x (p)i + f y (p)j dilambangkan dengan ∇f(p) dan dise- but gradien dari f . Jadi, f dapat dideferensialkan di [p] jika dan hanya jika

f (p+h) = f (p) + ∇f(p).h + ε(h.)h

dimana ε(h) → 0 ketika h → 0. Operator ∇ dibaca ”del” dan sering disebut operator del. Dalam hal-hal yang telah dikemukakan diatas, gradien menjadi analog dengan tu-

runan. Aspek-aspek yang tersirat dari definisi diatas adalah:

1. Turunan f ′ (x) adalah sebuah bilangan, sedangkan gradien ∇f(p) adalah sebuah vektor.

2. Hasilkali ∇f(p).h dan ε(h).h adalah hasilkali titik.

3. Definisi-definisi keterdiferensialan dan gradien dapat dikembangkan dengan mudah menjadi ruang berdimensi berapapun.

Teorema Teorema

Jika fungsi f dapat dideferensialkam di p 0 , maka ketika h mempunyai besaran yang kecil

f (p 0 + h) = f (p 0 ) + ∇f.h

dengan menganggap p = p 0 + h kita menjumpai fungsi T yang didefinisikan sebagai

T (p) = f (p 0 ) + ∇f(p 0 ).(p − p 0 )

Harusnya menjadi hampiran yang baik untuk f (p) jika p dekat dengan p 0 . Per- samaan z = T (p) mendefinisikan sebuah bidang yang menghampiri f di dekat p 0 . Biasanya ini disebut bidang singgung.

Contoh Soal Tunjukkan bahwa f (x, y) = xe y +x 2 y dapat diturunkan di- manapun dan tentukan persamaan bidang singgung di titik (2,0). Penyelesaian Pertama buktikan bahwa turunan parsial dari masing-masing variabel kontinu.

Latihan Soal Tentukan persamaan bidang singgung

2 1. f (x, y) = x 2 y − xy , di p=(-2,3)

2. f (x, y) = x 3 y + 3xy 2 , di p=(2,-2)

3. f (x, y) = cosπx sinπy + sin2πy, p=(−1, )

4. f (x, y) = , p=(2,-1) y

5. f (x, y, z) = 3x 2 − 2y 2 + xz 2 , p=(1,2,-1)

6. f (x, y, z) = xyz + x 2 , p=(2,0,-3)

1.4.6 Turunan Berarah dan Gradien

Untuk sebarag vektor satuan u, misalkan

D u f (p) = lim

f (p + hu) − f(p)

h→0

Limit ini, jika ada disebut turunan berarah (dirrectional derivative) dari f di p pada arah u Gambar dibawah menunjukkan interpretasi geometrik dan turunan berarah. Vektor

u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui (x 0 ,y 0 ). Bidang yang melalui L ini tegak lurus terhadap bidang xy dan memotong permukaan z = f (x, y) pa-

da kurva C. Persinggungannya di titik (x 0 ,y 0 , f (x 0 ,y 0 )) mempunyai kemiringan di

D u f (x 0 ,y 0 ). Interpretasi yang lain adalah bahwa D u f (x 0 ,y 0 ) mengukur laju perubahan f terhadap jaraka dalam arah u.

1.4.7 Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien

berdasarkan

∇f(p) = f x (p)i + f y (p)i

didapatkan Teorema A Misalkan f dapat didefernsialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p didapatkan Teorema A Misalkan f dapat didefernsialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p

D u f (p) = u.∇f(p)

1. Jika f (x, y) = 4x 2 −xy +3y 2 , tentukan turunan berarah dari f di (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j

2. Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y, z) = xysinz di titik (1, 2, )

2 pada arah vektor a = i + 2j + 2k

Teorema B (Laju Perubahan Maksimum) Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju |∇f(p)|) dan menurun paling cepat pada

arah yang berlawanan (dengan laju −|∇f(p)| ) Contoh:

Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y 2 −x 2 di titik (1,1,0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga terse- but mulai keluar ?

1.4.8 Aturan Rantai

Jika z = f (x, y), dimana x dan y adalah fungsi-fungsi dari t, maka masuk akal

apabila kita menyatakan , dan tentunya terdapat sebuah rumus untuk itu.

Teorema Aturan Rantai Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat diderensialkan di t, dan misalkan z = f (x, y) dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)), maka z =

f (x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan

∂z dz ∂z dy

∂x dx ∂y dt

Contoh

1. Andaikan z = x 3 y dimana x = 2t dan y = t 2 . Tentukan

2. Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm, dan h = 100 cm, r meningkat 0,2 cm per jam dan h meningkat 0,5 cm per jam, Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut ?

1.4.9 Aturan Rantai (Versi Kedua)

Jika z = f (x, y), dimana x = x(s, t) dan y = y(s, t), maka masuk akal apabila kita ∂z

∂z

menanyakan dan ∂s

∂t

Teorema Aturan Rantai (Versi Kedua) Misalkan x = x(s, t) dan y = y(s, t) mempunyai turunan parsial pertama di (s, t) dan misalkan z = f (x, y) dapat dideferensialkan di (x(s, t), y(s, t)). Maka z = f (x(s, t), y(s, t)), mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan dengan

1. Jika x = 3x −y , dimana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan dan nyatakan ∂t dalam s dan t.

∂w

2. w = x 2 +y 2 +z 2 + xy, dimana x = st, y = s − t, dan z = s + 2t. tentukan ∂t ∂w dan ∂s

1.5 Maksimum dan Minimum

Misalkan p=(x,y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0 ,y 0 ) adalah sebuah titik tetap apada bidang berdimendi dua (kedua titik tesebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n) Definisi

Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p 0 adalah sebuah titik di S.

1. f (p 0 ) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (p 0 ) ≥ f(p) untuk seluruh p di S.

2. f (p 0 ) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (p 0 ) ≤ f(p) untuk seluruh p di S.

3. f (p 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f di S jika f (p 0 ) bukan nilai maksimum global dan bukan nilai minimum global.

Teorema A Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

BAB 2 Integral dalam Ruang Berdimensi

2.1 Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang

Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari mengenai pendiferensialan dalam ruang berdimensi n, selanjutnya yang akan kita pelajari adalah pengintegralan dalam ruang berdimensi n. Pada dasarnya, masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang sama dengan integral pada satu variabel. Pada bab ini, kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan berbagai kerapatan. Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadi pengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema Dasar Kalkulus Kedua memainkan peranan yang penting.

Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabel di mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecil dengan panjang ∆x k , k = 1, 2, . . . , n, berdasarkan partisi p : x 1 <x 2 <...<x k mengambil sebuah titik contoh ¯ x k dari interval ke-k, kemudian

f (x)dx = lim

f (¯ x k )∆x k

|p|→0 a k=1

Prinsip tersebut berlaku pula pada ruang berdimensi dua sehingga kita dapat mendefinisikan integral untuk fungsi dua peubah. Misalkan f (x, y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang R yaitu

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Bentuklah partisi p pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆x k dan ∆y k (perhatikan Gambar 2.1).

Gambar 2.1: Partisi Dua Peubah

Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang-persegi panjang yang lebih kecil sebanyak n (notasi: R k ), k = 1, 2, . . . , n. Misalkan panjang sisi- sisi R k masing-masing adalah ∆x k dan ∆y k dan misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆A k = ∆x k ∆y k . Pada persegi panjang R k ambil sebuah titik ( ¯ x k ,¯ y k ) sehingga dapat ditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu

X f(¯ x

k ,¯ y k )∆A k

k=1

Gambar 2.2: Volume Persegi Panjang R k

Dengan demikian, berikut adalah definisi dari integral lipat-dua. Definisi Integral Lipat-Dua

Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika

lim X f(¯ x

k ,¯ y k )∆A k ,

|p|→0 k=1

ada, maka f dapat diintegralkan di R. RR f (x, y)dA disebut integral lipat-dua dari f atas R dan dapat dinyatakan

dengan

f (x, y)dA = lim X f(¯ x

Contoh: Hampirilah RR f (x, y)dA berikut dengan menghitung jumlah Riemann di mana

64−8x+y f (x, y) = 64−8x+y

16 dan R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}

Penyelesaian:

Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut

Karena ∆A k = 4, maka diperoleh ZZ

X f (x, y)dA = X f(¯ x

k ,¯ y k )∆A k =4

f(¯ x k ,¯ y k )

k=1

Teorema Keterintegralan Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika fungsi ini

kontinu di R, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jika f kontinu di seluruh R, maka f dapat diintegralkan di R.

Sifat-sifat Integral Lipat-Dua

1. Bersifat linear RR

a. RR kf (x, y)dA = k f (x, y)dA;

b. RR [f (x, y) ± g(x, y)]dA = f (x, y)dA ± g(x, y)dA

2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis

f (x, y)dA =

f (x, y)dA +

f (x, y)dA

3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x, y) ≤ g(x, y) untuk seluruh (x, y) di R, maka

f (x, y)dA ≤

g(x, y)dA

Perhitungan pada Integral Lipat-Dua Jika f (x, y) = 1 di R maka integral lipat-dua merupakan luas dari R,

1dA = kA(R)

Contoh: Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan

Hitung RR f (x, y)dA di mana R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}.

Penyelesaian:

Buat persegi panjang R 1 ,R 2 , dan R 3 sebagai berikut

R 1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1} R 2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2} R 3 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3}

Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-dua diperoleh: ZZ

f (x, y)dA =

f (x, y)dA +

f (x, y)dA

= 1A(R 1 ) + 2A(R 2 ) + 3A(R 3 )

Latihan 2.1

1. Misalkan R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}, hitung RR f (x, y)dA di mana

R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} R 1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

R 2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}

Misalkan pula:

f (x, y)dA = 3

ZZ g(x, y)dA = 5

ZZ g(x, y)dA = 2

. Hitunglah:

a. RR [3f (x, y) − g(x, y)]dA

b. RR [2g(x, y) + 3]dA

3. Hitunglah RR (1 + x)dA di mana R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.

(Petunjuk: sketsalah benda padat tersebut).

2.2 Integral Berulang

Sekarang yang akan kita hadapi adalah menghitung RR f (x, y)dA di mana R adalah

persegi panjang R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan menginterpretasikannya sebagai volume V dari benda padat di bawah permukaan

f (x, y)dA

Terdapat cara lain untuk menghitung volume benda padat yaitu dengan mengiris benda padat tersebut menjadi lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz atau yz. Misalkan kita akan menggunakan lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz, perhatikan Gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3: Irisan oleh Bidang y = konstanta

Misalkan A y adalah luas muka lempengan sedangkan ∆y merupakan ketebalan lempengan, maka volume dari lempengan tersebut dapat dihampiri dengan

∆V ≈ A(y)∆y

atau

Z d V= A(y)dy

Di sisi lain, luas A y dapat dihampiri dengan

A(y) =

f (x, y)dx

Dengan demikian, volume dari benda padat tersebut dapat diperoleh yaitu

d d  b Z  Z Z V= A(y)dy = 

f (x, y)dx  dy

Dengan menggabungkan persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh

f (x, y)dA =

f (x, y)dx  dy

Persamaan tersebut disebut integral berulang. Selanjutnya, dengan cara yang sama, penghitungan volume juga dapat di-

lakukan dengan mengiris lempengan sejajar dengan sumbu yz.

Gambar 2.4: Irisan oleh Bidang x = konstanta

Pengintegralan yang terjadi dalam urutan yang berlawanan yaitu

b  d ZZ  Z Z

f (x, y)dA =

f (x, y)dy  dx

Contoh: Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan z = 4 − x − y dan di

atas persegi panjang R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Penyelesaian:

f (x, y)dA =

A(x)dx

x=2 y=1 Z Z

Z x=2

(4 − x − y)dy dx =

4y − xy −

x=0 y=0

x=0

x=2 Z

−x

x=0

Latihan 2.2

1. Hitunglah integral berulang berikut R 2 R 3

2. Sketsa dan hitunglah volume benda padat berikut R 2 R 2

a. (x 2 +y 2 )dy dx

2 b. Benda padat di antara z = x 2 +y + 2 dan z = 1 dan terletak di atas R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

3. Hitung integral berulang berikut

2 |x 3 y |dy dx

2.3 Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Perse- gi Panjang

Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang. Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordi- natnya.

f (x, y) jika (x, y) di S

Definisikan, f (x, y) =

0 jika (x, y) di R-S

Gambar 2.5: Integral di Bawah Daerah Sebarang

f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R

f (x, y)dA =

f (x, y)dA

Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum

1. Himpunan Sederhana-y Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan tersebut sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali).

S = {(x, y) : g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x), a ≤ x ≤ b}

Gambar 2.6: Himpunan Sederhana-y

Untuk tiap nilai x, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-x adalah

y=g 2 (x)

A(x) =

f (x, y)dy

y=g 1 (x)

Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka

Gambar 2.7: Benda Padat dari Himpunan Sederhana-y Gambar 2.7: Benda Padat dari Himpunan Sederhana-y

A(x)dx =

f (x, y)dy  dx

f (x, y)dA = 

f (x, y)dy  dx

x=a y=g 1 (x)

2. Himpunan Sederhana-x Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h 1 (y) dan h 2 (y) pada selang [c, d] sedemikian rupa sehingga

S = {(x, y) : h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y), c ≤ y ≤ d}

Gambar 2.8: Himpunan Sederhana-x

Untuk tiap nilai y, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-y adalah

x=h 2 (y)

A(y) =

f (x, y)dx

x=h 1 (y)

Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka

Gambar 2.9: Benda Padat dari Himpunan Sederhana-x

A(y)dy =

f (x, y)dx  dy

f (x, y)dA =

f (x, y)dx   dy

y=c

x=h 1 (y)

Contoh: Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z − 12 = 0.

Penyelesaian: Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedron dilambangkan dengan S. Kita akan menghitung volume benda padat di bawah permukaan 3x +

6y + 4z − 12 = 0 atau 3

4 (4 − x − 2y) dan di atas daerah S.

Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0, suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S. Karena persamaan ini dapat ditulis sebagai y=2− x

2 dan x = 4 − 2y, maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y

x S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 − }

atau sebagai himpunan sederhana-x

S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4 − 2y, 0 ≤ y ≤ 2}

Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y (hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padat tersebut adalah

(4 − x − 2y)dA =

(4 − x − 2y)dy dx

3 2− 2 2 x

(16 − 8x + x 2 )dx

16x − 4x +

Latihan 2.3

1. Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenya dengan integral berulang.

a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z =

6 − 2x − 3y

b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0 dan 8x + y − 4z = 0

c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder y = x 2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1

2. Hitunglah sin(y )dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh y = x,

y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya.

2.4 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub

Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x, y) menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan f kontinu dan tak negatif.

Gambar 2.10: Bidang di Bawah Kurva dengan Koordinat Kutub

Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas R dapat dinyatakan

f (x, y)dA

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai

z = f (x, y) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r, θ)

Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu dengan menggunakan koordinat kutub.

Selanjutnya, kita akan membagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R 1 ,R 2 ,...,R n dengan menggunakan kisi kutub, Selanjutnya, kita akan membagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R 1 ,R 2 ,...,R n dengan menggunakan kisi kutub,

A(R k )=¯ r k ∆r k ∆θ k

di mana ¯ r k adalah jari-jari rata-rata R k .

Gambar 2.11: Partisi-partisi R

Jadi, volumenya dapat dihitung

Ketika kita menggunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka kita akan memperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat-dua.

Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu ZZ

f (x, y)dA =

f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ

Contoh: Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihat gambar)

R= (r, θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤

x 2 +y dan di bawah permukaan z = e 2 .

Penyelesaian:

2 2 Karena x 2 +y =r , maka

(e − e)dθ = (e

Daerah Umum

1. Himpunan Sederhana-r Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebut berbentuk

S = {(r, θ) : φ 1 (θ) ≤ r ≤ φ 2 (θ), α ≤ θ ≤ β}

Gambar 2.12: Himpunan Sederhana-r

Maka volume V dapat dihitung

2. Himpunan Sederhana-θ Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebut berbentuk

S = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, ψ 1 (r) ≤ θ ≤ ψ 2 (r)}

Gambar 2.13: Himpunan Sederhana-θ

Maka volume V dapat dihitung

Contoh: Hitunglah RR ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di

luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)

Penyelesaian: Karena S adalah himpunan sederhana-r, kita dapat menuliskan integral di atas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubah pengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini, θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (pada gambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ).

(rsinθ)r dr dθ

3 2(1+cosθ)

sinθ

dθ

π/2

8 Z = 3 [(1 + cosθ) sinθ − sinθ]dθ

8 π/2 1 = 4 − (1 + cosθ) + cosθ

8 1 22

− + 0 − (−4 + 1) =

Integral Probabilitas Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsi kepadatan

peluang normal standar bernilai satu yaitu

f (x)dx = 1

2 Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I = p e −x dx = π

Ingat kembali bahwa

I= 2 e −x dx = lim e −x dx

b→∞ 0 0

Misalkan V b merupakan volume benda padat yang terletak di bawah per-

2 mukaan z = e 2 −x −y dan di atas bujursangkar dengan titik potong (±b, ±b), lihat gambar, maka

2 Ternyata volume daerah di bawah z = e 2 −x −y dan di atas seluruh bidang xy adalah

Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinat kutub. Di sini, V adalah limit ketika a → ∞ dari V a , volume benda padat tersebut

di bawah permukaan z = e −x 2 −y 2 =e −r 2 , di atas daerah melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka

Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V dengan menggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas, akan dihasilkan

4I = π atau I = 2 π. R ∞

Selanjutnya, setelah diperoleh I = e −x 2 p dx = π 2 , akan ditunjukkan bahwa

1 2 √ e −x /2 dx = 1 2π

Berdasarkan sifat simetri,

Lakukan substitusi u = √ 2 sehingga dx = 2du. Batas-batas pada integral tetap sama sehingga kita memperoleh

Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu.

Latihan 2.4

1. Hitung integral-integral berulang berikut

R π 1−cos θ R

b. r sin θ dr dθ

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung RR r dr dθ dan sketsa daerah terse-

but terlebih dahulu

a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaran r=2

b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskat r 2 =

9 cos 2θ

3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dan sketsa daer-

ah pengintegralannya terlebih dahulu RR a. 2 e x +y 2 dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x 2 +y 2 =4

b. RR 2 p4 − x 2 −y dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran

x 2 +y 2 = 4 di antara y = 0 dan y = x

2.5 Penerapan Integral Lipat-Dua

Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusat massa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembaran tipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagai objek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kita akan mempelajari lamina- lamina dengan berbagai kerapatan, yaitu lamina yang terbuat dari material tak- homogen.

Gambar 2.14: Lamina

Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy, dan misalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x, y) disimbolkan dengan δ(x, y). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil R 1 ,R 2 ,...,R k seperti ditunjukkan pada Gambar 2.15. Ambil sebuah titik (¯ x k ,¯ y k ) pada R k .

Gambar 2.15: Partisi Lamina

Maka massa R k secara hampiran adalah δ(¯ x k ,¯ y k )A(R k ), dan massa total lam- Maka massa R k secara hampiran adalah δ(¯ x k ,¯ y k )A(R k ), dan massa total lam-

m≈ X δ(¯ x

k ,¯ y k )A(R k )

k=1

Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuah integral lipat dua

δ(x, y)dA

Contoh 1: Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8, dan kurva y = x 2/3 . Tentukan massa totalnya.

Penyelesaian:

8 x 2 ZZ /3 Z Z

xy dA =

xy dy dx

Z 8 2 2 /3 x

dx =

x dx

Pusat Massa Jika m 1 ,m 2 ,...,m n berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yang

masing-masing terletak di (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), . . . , (x n ,y n ), maka momen total terhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan

k=1

Lebih lanjut, koordinat (¯ x, ¯ y) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah

Sekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubah δ(x, y) yang melingkupi daerah S pada bidang xy (Gambar 2.14). Buat partisi seperti pada Gambar 2.15 dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massa dari setiap R k terpusat di (¯ x k ,¯ y k ), k = 1, 2, . . . , n. Gunakan limitnya sebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara ini menghasilkan rumus umum,

xδ(x, y)dA RR yδ(x, y)dA M y

δ(x, y)dA

Contoh 2: Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1.

Penyelesaian: Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu 768 5 . Momen M y dan M x yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah

8 2 ZZ /3 Z Z x

xδ(x, y)dA =

yδ(x, y)dA =

Maka M y

Momen Inersia Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE, dari sebuah par-

tikel dengan massa m, dan kecepatan v, yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan

KE = mv

Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputar dalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuan waktu, maka kecepatan linearnya adalah v = rω, di mana r adalah jari-jari dari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam (2.3), maka kita akan memperoleh

1 KE = (r 2 m)ω 2

Suku r 2 m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkan den- Suku r 2 m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkan den-

KE = Iω

Kita simpulkan dari (2.3) dan (2.4) bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa benda dengan gerak linear.

Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massa m 1 ,m 2 ,...,m n dan pada jarak-jarak r 1 ,r 2 ,...,r n dari garis L, maka momen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai

2 2 2 X I=m 2

1 r 1 +m 2 r 2 +...+m n r n =

k=1

Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiap partikel.

Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y) yang melingkupi daerah S pada bidang xy. Jika kita mempunyai partisi S, membuat hampiran untuk momen inersia dari setiap bagian R k , menjumlahkan dan menentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momen inersia (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x, sumbu y, dan sumbu z dinyatakan dengan

2 ZZ 2

y δ(x, y)dA

x δ(x, y)dA

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I