Persamaan Diferensi TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensi

Berdasarkan waktu, laju perubahan dapat dinyatakan dalam dua bentuk matematika, yaitu bentuk kontinu dan bentuk diskrit. Jika perubahan tersebut dianggap terjadi secara kontinu, maka laju perubahan itu dinyatakan sebagai turunan derivatif dan persamaan yang mencakup adalah persamaan diferensial Supranto, 1987. Sebaliknya persamaan diferensi merupakan sebuah persamaan yang berkaitan dengan nilai suatu barisan bilangan real pada sebuah titik x dan menghasilkan nilai-nilai pada beberapa titik. Persamaan diferensi biasanya menyatakan beberapa anggota dari barisan yang berkenaan dengan anggota sebelumnya dari barisan tersebut. Persamaan ini menyatakan laju perubahan fungsi secara diskrit. Persamaan diferensial maupun persamaan diferensi dapat diklasifikasikan menurut orde dan derajat degree. Orde suatu persamaan diferensial adalah orde dari turunan yang terdapat pada persamaan, yang tingkatnya paling tinggi. Sedangkan derajat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial Dowling, 2002. Orde sebuah persamaan diferensi adalah selisihbeda diantara argumen n yang terbesar dan argumen n yang terkecil yang muncul di dalam persamaan diferensi tersebut. Jika beda antara argumen n adalah satu maka persamaan diferensi tersebut berorde satu Silaban, 1992. Persamaan diferensi order n adalah linier jika dan hanya jika persamaan diferensi dapat dituliskan dalam bentuk: , 2.1 dimana dan g merupakan fungsi x bukan . Jika bernilai nol maka disebut persamaaan diferensi homogen. Suatu persamaan diferensi linier order pertama dapat ditulis: , 2.2 dengan a dan b konstan. Jika diberikan nilai awal maka pemecahan persamaan ini dapat diperoleh dengan cara induksi sebagai berikut: , dimana merupakan suatu deret ukur dengan jumlah , maka solusi khusus untuk adalah sebagai berikut: bila x = 0, 1, 2,…. 2.3 = bila x = 0, 1, 2,…. 2.4 Jika persamaan diferensi tidak memenuhi persamaan 2.1 maka persamaan diferensi tersebut dinamakan persamaan diferensi nonlinier dan solusi dari persamaan diferensi nonlinier dapat diperoleh dengan iterasi. Namun, tidak semua persamaan diferensi nonlinier mempunyai solusi khusus. Persamaan diferensi nonlinier yang tidak mempunyai solusi khusus dapat diselesaikan dengan menggunakan iterasi numerik Bintari, 2005.

2.2 Bunga