BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL

BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL
A. Bilangan Rasional
Bilangan rasional Q = semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk

a
dengan
b

a  B, b  B dan b 0

Jadi bilangan rasional Q terdiri atas : bulat positif B+, bulat negatif B-, pecahan
positif, paecahan negative dan nol
Bilangan rasional terdiri atas :
1. Bilangan bulat, misalnya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …
2. Bilangan pecahan, misalnya 

1
1 1 1
, , ,
2
4 2 4

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal terbatas, atau dalam
bentuk desimal berulang terbatas.
Contoh :
1. 0,5 =
2.
3.

1
2

4.

3
= 0,75
4
5
= 2,5
2

1
= 0,33333…
3

8
= 0,727272…
11
7
6.
= 0,212121…
33

5.

Cara mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa !
Contoh :
a. 0,323232… atau 0,32
Misal : x = 0,323232…
100x = 32,323232…
x = 0,323232…

99x = 32

x =

32
99

Jadi 0,323232… =

32
99

b. 2,6666… atau 2,6
Missal : x = 2,6666…
10x = 26,6666..
x = 2,6666..
9x = 24
24
8
=

9
3

x=

Jadi 2,6666… =

8
3

B. Bilangan Irasional
Bahwa bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
bentuk

a
dengan a dan b bilangan bulat, b  0
b

Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi
perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan

yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu
bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.
Contoh bilangan irasional :

2,

3

,

5

, , log 2, log 3.

Perhatikan contoh di bawah ini !
Contoh :
1)

5

=

2)

9

= 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar

3)

20

= bentuk akar

4)

100

5) 3
6)

4

7

bentuk akar

= 10 ( rasional) jadi bukan bentuk akar

= bentuk akar

81 = 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar.

Menyederhanakan Bentuk Akar
Bilangan bentuk akar disebut sederhana jika :
1. Indeks ( pangkat akar) tidak dapat diperkecil

2. Tidak ada factor dari radikan (bilangan di bawah tanda akar) yang
berpangkat sama besar dengan atau lebih dari indeks.
Jika salah satu atau kedua – duanya tak memenuhi , maka bilangan bentuk akar itu

dapat disederhanakan. Dapat juga dengan cara lain yaitu dengan memfaktorkan
bilangan di bawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat, dengan salah satu
bilangan berupa bilangan kuadrat murni.
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a.

b. 18

32

c.

24

d.

e.

80

80

Jawab :
a.

32

=

b.

18 =

9.2  9 . 2 3 2

c.

24 =

4.6 2 6

d.

80 =

16.5  16 . 5 4 5

e.

80 =

49.3 7 3

16.2  16 . 2 4 2

Operasi Bilangan Pada Bentuk Akar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.
Contoh :

a.
b.
c.

3 2 3
3 6

6 4 6  5 6

d.

32  8  50 

e.

20 

28 

98

125  63 

5 2 3  4 5 5 3

Jawab :
a.
b.

3  2 3 ( 1  2 ) 3

3 6

6  4 6  5 6 ( 3  1  4  5 ) 6

c.

5  2 3  4 5  5 3 (1  4) 5  ( 2  5) 5  3 5  7 3

d.

32  8  50 

98  16.2 

4.2 

25.2 

49.2

 4 2  2 2  5 2  7 2 4 2

80

e.

20 

28 

125  63 

80 2 5  2 7  5 5  3 7  4 5
 7 5  5 7

2. Perkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akar


a x b  axb



a c xb d axbx cxd



a x a a

Contoh :
Selesaikanlah dan sederhanakanlah.
a.

5x 7

b.

2 3 4 2

Jawab :
5x
a.
b.

7  5 x7  35

2 3 4 2 =

=8x
=8

(2 x 4) x

3 2

3 2
6

Merasionalkan Penyebut
Dengan menggunakan bentuk akar yang hasil kalinya rasional
a  a a
Yaitu : 1.

a  b  a  b  a  b
2.
pecahan yang penyebutnya bentuk akar dapat dirasionalkan dengan cara sebagai
berikut:
1.
2.
3.

a
b
c



a
b

b



b

c





a
b



b

a

b



a b a b a b
c
c
a


a b
a b
a

c
a  b
2



a

b
c

a

b
b



b
a


b



Contoh :
Rasionalkan penyebut dari
a.

5

b.

3

Jawab
a.

5
3



5
3



3
3



5
3
3

4
6 2 3

c.

3 2 2
32 2

d.

5

3
3

4

b.

6 2 3

4

=
=
=

6 2 3

4



3 2 2
32 2

=

6 2 3
6  12



6 2 3

4 6 8 3

 6
 6

=
c.

6 2 3



4
8
6
3
6
 6

3 2 2
32 2



3 2 2
6 2 3

9 6 2  6 2 8
9 8
= 17 - 12 2
5 2
2

=
1
2
5 2 2
=
2

=

d.

5

2
2

=

5
2

21

C. BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL
Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan bilangan bulat.
Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan bilangan real berpangkat
dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan dibahas bilangan real dipangkatkan
dengan bilangan rasional.
DEFINISI
Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila
dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan :
3

a b jika b 3 a

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.
1)

3

8 2 karena 23 = 8.

2)

3

125 5 karena 53 = 125.

3)

3

 27  3 karena (-3)3 = -27.

4)

3

1000 10 karena 103 = 1000.

5)

3

 1000  10 karena (-10)3 = -1000.

DEFINISI

Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan
n menjadi bilangan a, ditulis dengan :
n a b

jika

b n a

Jika n genap, maka nilai a harus non negatif.
Dalam keadaan khusus:

1.

{

a, jika

n

Jika n genap maka

2.

n

Jika n ganjil maka

an

=

a n a

 a, jika

a 0

 a 0

, untuk sembarang nilai a.

DEFINISI
1

Untuk n bilangan asli, arti dari a n adalah

na

1

a n n a
1

a n akan mempunyai nilai apabila:


Untuk n genap, nilai a harus positif.



Untuk n ganjil.

Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini.
m

Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari a n adalah
a

m
n

m
n

 1
 a n


 

a  am






1
n

m





n

a

n a m

 atau
m