KARAKTERISTIK BILANGAN IRASIONAL TIPE KONSTAN

ABSTRAK
KARAKTERISTIK BILANGAN IRASIONAL TIPE KONSTAN

Oleh

AGUSTINA WIDIARTI

Bilangan irasional adalah bagian dari bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk pecahan dimana
bilangan bulat dan
.
Selain dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan irasional dapat dinyatakan dalam
pecahan lanjutan yang memiliki pendekatan lebih baik.
Jika diberikan sebuah bilangan irasional dan
dari dengan
adalah fungsi bilangan bulat terbesar
dianggap berurutan dari
pada
dimana
Jika
dan

interval bagian partisi

sebagai bagian pecahan
( fungsi floor untuk ). Untuk
dan disusun dalam urutan naik

,

secara berurutan dinotasikan sebagai maksimum dan minimum dari
. Dengan menggunakan perluasan pecahan lanjutan dari dan

teorema tiga jarak akan diketahui bahwa barisan

adalah barisan terbatas sehingga

didapatkan karakteristik baru dari bilangan irasional tipe konstan ( didefinisikan sebagai
irasional dengan parsial quotient terbatas).

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah
Bilangan irasional adalah bagian dari bilangan real yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan dimana

bilangan bulat dan

.

Bilangan real sering dinyatakan dalam bentuk desimal. Pada bilangan
irasional, representasi dari desimalnya tidak akan berhenti dan tidak ada
pengulangan pada satu atau sekelompok digitnya.

Selain dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan real dapat pula
dinyatakan dengan menggunakan pecahan lanjutan. Dibanding penggunaan
desimal, pecahan lanjutan memiliki pendekatan yang lebih baik untuk
mempresentasikan bilangan real. Pecahan lanjutan kemudian
dikembangkan sebagai tanggapan terhadap kebutuhan untuk mendekati
bilangan irasional.

Representasi pecahan lanjutan dari bilangan irasional memiliki suku yang

tidak terbatas sehingga disebut pecahan lanjutan sederhana tak hingga.
Selain itu pecahan lanjutan dari bilangan irasional adalah unik ( tunggal ).

2

Jika diberikan sebuah bilangan irasional
bagian pecahan dari

dan

sebagai

dengan

adalah fungsi bilangan bulat terbesar

( fungsi floor untuk ). Untuk

dianggap berurutan dari

pada

dan disusun dalam urutan naik

dimana

Jika

,

dan

secara berurutan dinotasikan sebagai maksimum

dan minimum dari interval bagian partisi
perluasan pecahan lanjutan dari

. Dengan menggunakan

dan teorema tiga jarak akan didapatkan

karakteristik baru dari bilangan irasional tipe konstan ( didefinisikan
sebagai irasional dengan parsial quotient terbatas ).

Penelitian ini akan menunjukan bahwa barisan dari
terbatas jika dan hanya jika

adalah

adalah bilangan irasional tipe konstan

dengan menggunakan teorema utama.

1.2 Batasan Masalah

Dari pemaparan masalah yang telah diberikan pada latar belakang, maka
materi dalam penelitian ini dibatasi hanya pada studi tentang karakteristik
bilangan irasional tipe konstan.

3

1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji karakteristik bilangan
irasional dengan menggunakan perluasan pecahan lanjutan dan
membuktikan barisan

adalah barisan yang terbatas.

1.4 Manfaat Penelitian
Pada penelitian ini akan diperkenalkan tentang pecahan lanjutan yang
selama ini belum banyak dikenal oleh para mahasiswa. Diharapkan hasil
dari penelitian ini dapat menjadi masukkan dan rujukkan bagi mahasiswa
yang ingin mengetahui pecahan lanjutan serta memberikan partisipasi bagi
perkembangan ilmu pengetahuan.

V. KESIMPULAN

1. Bilangan irasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal dan pecahan
lanjutan.
2. Bilangan irasional

[

] memiliki pecahan

lanjutan sederhana tak hingga yang konvergen ke
3. Untuk

sebagai panjang maksimum dan

minimum dari interval bagian partisi
pemaparan didapat barisan
dimana

sebagai panjang

. Berdasarkan hasil dan

merupakan barisan yang terbatas