Determinan.

• JIka

 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32

a13 

a23 
a33 

maka:

• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –
a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33
atau
a11 a12
A  a21 a22
a31 a32

a13
a23
a33

a11 a12
a21 a22
a31 a23

Tentukan determinan matriks
Jawab :

2  1
 3


B 1
1
0
 2  2 1 




2
3
2 1 3
1
det B   1
1
0 1
2 2 1 2 2
 (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)

 3 0 2 20 2
1

Misalkan

 a11 a12 ... a1n 



 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
: 
:
:


 a a ... a 
nn 
 n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui :
•
Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
2 1 0
1 2
Contoh :



A   1 2 1  maka M13 
1

0 1 2



0

1

Cij dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :

2 1 0


A1 2 1 

0 1 2



maka
C12   1

1 2

1 1
0 2

= (– 1)3 .2
=–2

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-i
n
aij cij
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=


j 1

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-j
n
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =  aij cij
i 1

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0 


A1 2 1 
0 1 2 



Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A)
dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris
ke-3

2

A  1
0


1
2
1

0
1
2




 det( A) 



3

a
j 1

c  a31c31  a32c32  a33c33

3j 3j

1 0
c31  (1) M 31  (1)
 1 (1)(1)  (0)(2)   1  0  1
2 1
31

4

2 0
c32  (1) M 32  (1)
 1 (2)(1)  (0)(1)   1(2  0)  2
1 1
3 2

5

2 1
c33  (1) M 33  (1)
 1 (2)(2)  (1)(1)   4  1  3
1 2
3 3

6

det( A)  0(1)  1(2)  2(3)  0  2  6  4

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran
sama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
• Jika A mempunyai invers maka :

1
det( A ) 
det( A)
1

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka
C
 a a ... a 
11

12

1n

 a a ... a 
21
22
2n 
A 
 :
:
: 


...
a
a
a
nn 
 n1 n 2

 11 C12
C
C22
21

C


 C n1 C n 2

Matriks C dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
notasi adj(A)
 C11 C21  Cn1 
adj ( A)  C T 




C
C
C
 12
22
n1 
 
   


C

 1n C2 n  Cnn 

C1 n 
C1n 


C nn 

• Misalkan A memiliki invers maka :

1
A 
adj(A)
det(A)
1

• Langkah-langkah mencari invers dengan matriks
adjoin :
•
•
•
•

Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor
Tentukan kofaktor dari A
Tentukan Matriks Kofaktor A
Tentukan Matriks Adj(A)

Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.
1 0 2


A   2 1 3 
4 1 8



Solusi:
 c11 c12

C   c21 c22
c
 31 c32

c13 

c23 
c33 

1 3
c11 
1 8
 ((1)(8)  (3)(1))
 8  3  11
c21  

0 2
1 8

 ((0)(8)  (2)(1))
 (0  2)  2
0 2
c31 
1 3
 ((0)(3)  (2)(1))
 (0  2)  2

2 3
c12  
4 8
 ((2)(8)  (3)(4))
 (16  12)  4
1 2
c22 
4 8
 ((1)(8)  (2)(4))
0
1 2
c32  
2 3
 ((1)(3)  (2)(2))
 1(3  4)  1

2 1
c13 
4 1
 ((2)(1)  (1)(4))
 (2  4)  6
c23  

1 0
4 1

 ((1)(1)  (0)(4))
 (1  0)  1
1 0
c33 
2 1
 ((1)(1)  (0)(2))
 (1  0)  1

• Matriks Kofaktor
 11 4 6 


C  2
0 1
 2
1 1


Matriks Adjoin (adj(A))
 11 2 2 


adj ( A)   4 0 1 
 6 1 1



• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
1 0 2
1 3
2 3
2 1
0
2
det( A)  2 1 3  1
1 8
4 8
4 1
4 1 8
 1 (1)(8)  (3)(1)   0  2  (2)(1)  (1)(4) 
 (8  3)  2(2  4)  11  12  1

• Invers Matriks A
 11 2 2   11 2 2 
1
1
 

1
A 
adj(A)   4 0 1    4 0 1 
det(A)
1
  6 1 1 


6
1
1

 


 11 2 2 


1
A   4 0 1 
 6 1 1 



Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris

 -3
A   1
 0

-2
2
2

-1 
 1
3  b1  b2 ~  - 3

 0
4 

2
-2
2

3
-1
4

 Baris pertama (b1)
 ditukar dengan
 baris ke-2 (b2)


• Contoh : OBE 2
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

 4
A   0
 2

-4
2
-1

0
1
1

 1
-4 
1

7  b1 ~  0
4
 2
3 

-1
2
-1

0
1
1

-1 
7 
3 

Perkalian Baris
pertama (b1)
dengan
bilangan ¼

• Contoh : OBE 3
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
tak nol dengan baris yang lain.

 1 -1
A   0 2
 2 - 1

0
1
1

 1
-1 

7  2b1  b3 ~  0
 0
3 

-1
2
1

0
1
1

-1 
7 
5 

Perkalian (–2)
dengan b1 lalu
tambahkan
pada baris ke3 (b3)

1 1 1 3
B  0 0 2 1 
0 0 0 0 






Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena
pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris
ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris
masing-masing.
Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)
dinamakan satu utama.
Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada
baris ke-3 adalah nol.

1.
2.
3.
4.



Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan satu utama).
Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka
unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4

• Tentukan matriks esilon baris tereduksi
 1 -1 0 -1 
dari:


A  0 -2 2 8

 3


• Solusi

 1

 0
 3


 1
1 
~  b2  0
2 
 0

-1
-2
1
-1
1
4

1

-1


2 

0
2
-1

-1
8
2



 ~  3b1  b3



 1

 0
 0


-1
-2
4

0
2
-1

-1
8
5







0
-1
-1

-1
-4
5



 ~  4b2  b3



 1

 0
 0


-1
1
0

0
-1
3

-1
-4
21







 1
1 
~ b3  0
3 
 0

 1

~ b2  b1  0
 0


-1
1
0

0
1
0

0
-1
1

0
0
1

-1
-4
7







2
3
7







 1

~ b3  b2  0
 0


-1
1
0

0
0
1

-1
3
7







Perhatikan hasil OBE tadi :
 1

 0
 0


0
1
0

0 2

0 3
1 7 

 Setiap baris mempunyai satu utama.
 Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena

Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

Tentukan determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor
 3 2 0 


D   0 1 0
 4 4 1 



 2 1 0


A   3 4 0
 0 0 2



 1 1 3


B  7 1 2
5 0 1



2 1 1


C  1 2 1
1 1 2



1 0 2


E   2 1 3 
4 1 8



4 1 8


F   2 1 3 
1 0 2



1 0 2
1 0 2




G   3 1 3  H   6 1 3 
4 1 8
4 1 8





• Tentukan invers dari matriks berikut dengan
menggunakan matriks adjoin:
1 0 2
2 2 1
 1 2 2 




A   1 3 0  B   2 3 2  C   2 1 3 


 5 4 3
4 1 8






 1 5 3 

Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut:
 2 5 1 1
1.  1 3 0 1 
 2 3 4 2 



2.

 3 5 2 2 


2
3
4
3



 1 2 1 1 

