Document - 23456 - STMIK EL RAHMA Determinan

DETERMINAN
DEFINISI DAN SIFAT
Definisi Permutasi
Misalkan S = {1, 2, …, n} adlh himp.bil.
bulat dari 1 sampai n, dgn urutan naik.
Urutan kembali elemen – elemen S, j 1,j2,
…,jn, disebut Permutasi dari S.
Notasi : Sn adalah himp.semua permutasi
dari S

Ilustrasi
Misal S = {1, 2, 3, 4}, maka 4231 adalah
permutasi dari S. Ini merupakan fungsi f : S  S
dengan
f(1) = 4
f(2) = 2
f (3) = 3
f(4) = 1
Jika S terdiri dari n elemen, maka akan ada n!
permutasi dari S.

Contoh








S1 hanya mempunyai 1! permutasi dari
himp.{1}, yaitu 1.
S2 mempunyai 2! permutasi dari himp.
{1, 2}, yaitu 12 dan 21.
S3 mempunyai 3! permutasi dari himp.
{1, 2, 3}, yaitu 123, 132, 213, 231, 312,
321.
dan seterusnya.

Istilah
Permutasi j1j2…jn dari himp. S = {1, 2, …, n}

dikatakan punya inversi jika bilangan yg
lebih besar terletak sebelum bilangan yg
lebih kecil.
Permutasi genap / ganjil : jika total jumlah
inversi adalah genap / ganjil.
Contoh : 4132  permutasi genap
2341  permutasi ganjil

Definisi Determinan
Misal A = [aij] berukuran n x n.
Determinan dari A, ditulis det(A) atau
didefinisikan sebagai :

det(A) =

A

,

 ()a1 j1 a2 j2  anjn

dengan j1j2…jn adalah semua permutasi dari S
= {1, 2, …, n}. Tanda + atau – bergantung
pada jenis permutasi genap atau ganjil.

Contoh
A = [a11]  S1 hanya mempunyai 1
permutasi, yaitu 1, dan mrp permutasi
genap. Jadi det(A) = a11

 a11 a12 
A 

 a21 a22 
 untuk memperoleh det(A), maka
tulis dahulu : a1-a2- dan a1-a2-

Selanjutnya…
Isilah - dengan semua permutasi dari
S2 : 12 dan 21.

Krn 12 permutasi genap maka a11a22
bertanda +, dan krn 21 permutasi
ganjil maka a12a21 bertanda -. Jadi
determinan dari A :
det(A) = a11a22 – a12a21

Dapat disimpulkan :
Jika

maka

 a11 a12 
A 

 a21 a22 

-

+

det(A) = a11a22 – a12a21
Contoh :
Jika

 5 2
A 

 4 3

maka
det(A) = 5.3 – 2.4 = 7

SIFAT - SIFAT DETERMINAN
Sifat 1
det(At) = det(A)
Contoh :

 5 2
A 


 4 3
det(A) = 7

 5 4
A 

 2 3
t

det(A t) = 7

Sifat 2
Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan
menukarkan dua baris sebarang, maka

det(B) = - det(A)

Contoh

 1 2 3



Diberikan matriks
A  2 1 3 
 3 1 2
maka det(A) = 6.
 2 1 3
Jika B 1 2 3 , maka det(B) = -det(A) = -6.
 3 1 2

Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A
dengan mengalikan bil.real k dengan satu
baris (kolom) dari matriks A, maka
det(B) = k.det(A)
Contoh:
Diberikan matriks

 1 2 3
A  4 2 6 dgn det(A) = 12

 3 1 2

 1 2 3
 2 1 3
B

2
Jika

  det(B) = 2.det(A) = 2.6 = 12
 3 1 2

Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn
mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real
sebarang kemudian menambahkannya ke
baris (kolom) lain, maka
det(B) = det(A)
Contoh :
 1 2 3

 4 2 6
A

Diberikan matriks

 , det(A) = 12.
1 1 0

Jika

3
1 2
B  4 2
6 
 0  1  3

, maka det(B) = det(A) = 12

Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris

(kolom) yang elemen – elemennya sama,
maka determinannya adalah nol.
Contoh
 1 1 1
Matriks A 0 2 3 mpy determinan nol.


1 1 1

Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris
(kolom)
dengan
elemen
nol,
maka
determinannya adalah nol.

Sifat 7
Jika matriks A=[aij], 1 i  n, 1  j  n,

adalah matriks segitiga atas (bawah) maka

det(A) = a11.a22. … .ann
Contoh :
Diberikan matriks

3
1 2
A 0  2  1
0 0
2 

det(A) = 1.(-2).2 = -4

maka

Sifat 8
Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka

det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9
Jika matriks A invertible, maka

1
det(A-1) =
det( A)

Latihan Soal
1. Hitunglah determinan dari matriks berikut :
a.
b.
3 4 2
4 2

2 0
 2 0 0 0

B 
 3 0 0 1


 0 0 1 0





A  2 5 0 
 3 0 0

2. Buktikan bahwa det(k.A) = kndet(A), dengan k
bil. real dan A matriks ukuran n x n. k=2 (utk
matriks no 1a)
3. Buktikan :
t

t

t

t