I Kolokvijum Matematika 1
П
Те
ј
е
:
Задатак 1.
1
1
−1 0
е1
,
е
2013/14
е
ј
:
2 −1
;
е
, е
е
4
1
−3
1
2 −2 1
−4 0 0
;
ђ
2
:
1) 10; 2) –9; 3) –12; 4) 11; 5) –12.
:
Задатак 2.
5 2
x
0 3 − 1 = −1 .
7
x
3
ђ
:
1) 3; 2) –2; 3) 2; 4) -3; 5) 0.
⎛ 2 3 − 4⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝5 −1 7 ⎠
C = 2 A − 3B .
Задатак 3. Д
⎛ 0 7 5⎞
⎟⎟ .
B = ⎜⎜
⎝ − 8 3 2⎠
.
: 1) -34; 2) –28; 3) 32; 4) 40; 5) -40.
Задатак 4.
(x1 , ..., xn )
К
xi =
ђ
Δ1 , Δ 2
Δ3
Δi
, i = 1, ..., n .
Δ
2 x1 + x2 − x3 = 0 ⎫
⎪
3 x2 + 4 x3 + 6 = 0⎬ .
x1 + x3
= 1 ⎪⎭
Δ1 + Δ 2 + Δ 3 .
: 1) 26; 2) 14; 3) -13; 4) 16; 5) 19.
Задатак 5. Д
An× m
Bk× p . Д
A⋅ B
(n, m, k, p).
?
1) (1, 2, 3, 4); 2) (2, 3, 5, 2); 3) (6, 3, 3, 4); 4) (3, 2, 4, 4); 5) (2, 3, 4, 3).
Задатак 6.
A
( 3× 4 ),
:
( 4 × 6 ),
( 6 × 4 ),
B
5.
( 2× 3 ),
( 5 × 3 ).
Задатак 7. Д
⎛1 − 3 5 4⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 2 − 6 4 3⎟
⎜ 3 − 9 3 2⎟
⎠
⎝
⎛ − 3 5⎞
⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ − 6 4⎠
: 1) 10; 2) –12; 3) 4; 4) 6; 5) 0.
и
а
х и а
а
их
ија
а
а а :
1
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
е
, е
е1
,
е
2013/14
е
ј
Задатак 8.
⎡ 2 1 3⎤
⎢1 0 2 ⎥ .
⎥
⎢
⎢⎣1 0 4⎥⎦
: 1) 3; 2) –2; 3) 5; 4) 4; 5) 1.
Задатак 9.
1) C −1 AB ;
Х
−1
2) A BC ;
АХВ =С
4) A CB −1 ; 5) B −1CA .
−1
:
−1
3) BCA ;
α
Задатак 10.
⎧ x1 − 4 x2 + 3 x3 = −22
⎪
⎨ 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 12
⎪ 3x − x + 8 x = α
3
⎩ 1 2
.
1) 4; 2) –10; 3) 8; 4) 12; 5) 6.
α
Задатак 11.
⎧ 3 x1 + 4 x2 − x3 = 0
⎪
⎨ x1 − 3 x2 + 5 x3 = 0
⎪αx + x + 4 x = 0
3
⎩ 1 2
?
1) 2; 2) 3; 3) – 4; 4) 5; 5) 4.
Задатак 12.
α=4
x3 = 13 .
x1 + x2 .
1) –1; 2) 3; 3) –2; 4) –3; 5) 4.
и
11,
1.
2) -9.
7.
2.
3) 2
8.
3.
1) -34
9.
4.
3) -13
10.
5.
3) (6, 3, 3, 4)
11.
6.
(6× 4 )
12.
5) 0
5) 1
4) A−1CB −1
2) –10
5) 4
1) –1
а
х и а
а
их
ија
а
а а :
2
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
, е
е
е1
,
е
2013/14
е
ј
Задатак 1. Д
:
r
r
r
r
r
r
1. a (3, − 1,1), b (2,1, 0) ; 2. a (−1, 2, − 2), b (8, 2, − 2) ;
3. a (4, − 1, − 2), b (1, − 1,1) ;
r
r
r
r⎛ 2
r
3 ⎞ r⎛ 6
4 ⎞
⎟⎟ ;
⎟⎟, b ⎜⎜
4. a (3, 1), b (−4,12) ; 5. a (1, − 2, 3), b (−2, 4, − 6) ;
6. a ⎜⎜
,−
,
13 ⎠
⎝ 52 52 ⎠
⎝ 13
r
r
7. a (−5, 4), b (15, − 12) .
r
1.1) a
r
b
;
r
b
r
ђ a
1.3)
r
1.5) a
1.7)
r
1.8) a
r
b
1.2)
1
r
b
r
7
r
r
b
R2 ;
r
a
r
b
r
b
1.4) a
;
1.6) a
11 ,
r
b
r
a
5;
;
R2 ;
5;
2
1.9)
R ;
r
b
r
a
(−3, − 6, − 3) .
:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
5, 7
1
3
2, 4, 6
4
4, 6
3
6
3
Задатак 2. Д
:
r
r
r
r
r
r
1. a (1, 0, 0), b (0,1, 0) c (0, 0,1) ;
2. a (2, 0, 0), b (0, − 3, 0) c (0, 0,1) ;
r⎛ 1 2 ⎞ r⎛
−1 ⎞
1
3 ⎞ r⎛ 5
⎟⎟ ;
⎟⎟ c ⎜⎜
3. a ⎜⎜
,
, 0 ⎟⎟ b ⎜⎜ 0,
,
, 0,
10 10 ⎠ ⎝ 26
26 ⎠
⎝
⎝ 5 5 ⎠
r
r
r
r
r
r
4. a (1, − 1, 3), b (−2, 2,1) c (3, − 2, 5) ; 5. a (1, − 1, 2), b (3, 4,1) c (1, 6, − 3) ;
r
r
r
6. a (1, 2, 0), b (0,1,3) c (5, 0, − 1) .
:
r r r
2.1) a , b , c
r r r
2.3) a , b , c
r r r
2.5) a , b , c
;
2.2)
;
r r r
2.6.) a , b , c
r r r
a, b , c
3
R ;
2.7)
2.1
5
:
2.2
4
2.3
3, 6
Задатак 3.
1)
3)
4)
5)
2.4
1, 2, 4, 6
;
A (1, − 2) ;
A (1, − 2) ,
A (1, − 2) ,
3
k= ;
2
6)
8)
Ј
;
:
3.1) x − 1 = 0 ;
3.4)
и
а
-7;
3
R ;
R3 ;
7.
2.6
1, 3
2.7
4
:
;
2)
r
e (0, 3) ;
r
n (2, 3) ;
7)
;
9)
.
x +1 y − 2
=
;
3.3) 2 x + 3 y + 4 = 0 ;
2
3
3
x −1 y + 2
3.5) y + 2 = ( x − 1) ; 3.6)
.
=
0
3
2
3.2)
x −1 y + 2
=
;
2
3
х и а
2.5
2
r r r
2.4) a , b , c
r r r
a, b , c
а
их
ија
а
а а :
3
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
, е
е
е1
,
2013/14
е
ј
е
:
3.1.
3.2
2, 4, 6
3.3
1, 3
3.4
1, 3, 4, 5, 6
3.5
6
3.6
3
Δ ABC
AB : 2 x − 5 y + 11 = 0, BC : 5 x − 3 y − 1 = 0,
3.7
2, 4, 5
1
2
2
3.8
6
4
5
2
3
3
3.9
3
4
5
4
5
Задатак 4.
:
4.1)
4.3)
А, В, С;
,
В;
А
В
ВС;
4.2)
4.3
4.5)
4.7)
№
№
AC : 3x + 2 y + 7 = 0 .
,
АВ;
4.4)
4.6)
ВС.
В
А;
А;
:
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
1
2
3
A (3,1), B (−2,−1), C (−1,+2)
(0,5; 0,5)
(−2; 1)
x −7y − 4 = 0
3x − 2 y + 5 = 0
A (−3,1), B (2,3), C (−1,−2)
(−0,5; 2)
(−2; 4)
− x + 7y − 2 = 0
2x − 3y + 5 = 0
A (−4,−1), B (2,4), C (0,3)
(−2; − 0,5)
(0,5; 1,5)
x + 7y − 4 = 0
2x + 3y − 7 = 0
47
41
4.6
19
4.7
18
34
Задатак 5.
π1 : x + y − z = 0 ;
π 4 : 2 y − 3z = 0 ;
4.3
2
4.4
3
4.5
2
4.6
3
4.7
1
π 3 : x − 3z − 11 = 0 ;
π 2 : 3x − 2 y + z + 1 = 0 ;
π5 : 6 x − 4 y + 2 z − 3 = 0 .
:
5.1)
5.3)
19
34
:
4.2
1
4.1
2
29
А (-1, 0, 2);
;
Оу
5.2)
5.4)
Ох;
a=
Ох, Оу, Оz
5.5)
r
n (3, − 2,1) ; 5.7)
5.6)
5.8)
О (0, 0, 0);
1
3
3
,b=− ,c = ;
12
4
2
;
.
:
5.1
π1
и
а
х и а
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
π1 , π 4
π3
π4
π5
π2
а
их
ија
а
5.7
π2
5.8
π5
а а :
4
π2
π3
π3
π5
Мић Ми
ић
Те
ј
е
:
Задатак 1.
1
1
−1 0
е1
,
е
2013/14
е
ј
:
2 −1
;
е
, е
е
4
1
−3
1
2 −2 1
−4 0 0
;
ђ
2
:
1) 10; 2) –9; 3) –12; 4) 11; 5) –12.
:
Задатак 2.
5 2
x
0 3 − 1 = −1 .
7
x
3
ђ
:
1) 3; 2) –2; 3) 2; 4) -3; 5) 0.
⎛ 2 3 − 4⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝5 −1 7 ⎠
C = 2 A − 3B .
Задатак 3. Д
⎛ 0 7 5⎞
⎟⎟ .
B = ⎜⎜
⎝ − 8 3 2⎠
.
: 1) -34; 2) –28; 3) 32; 4) 40; 5) -40.
Задатак 4.
(x1 , ..., xn )
К
xi =
ђ
Δ1 , Δ 2
Δ3
Δi
, i = 1, ..., n .
Δ
2 x1 + x2 − x3 = 0 ⎫
⎪
3 x2 + 4 x3 + 6 = 0⎬ .
x1 + x3
= 1 ⎪⎭
Δ1 + Δ 2 + Δ 3 .
: 1) 26; 2) 14; 3) -13; 4) 16; 5) 19.
Задатак 5. Д
An× m
Bk× p . Д
A⋅ B
(n, m, k, p).
?
1) (1, 2, 3, 4); 2) (2, 3, 5, 2); 3) (6, 3, 3, 4); 4) (3, 2, 4, 4); 5) (2, 3, 4, 3).
Задатак 6.
A
( 3× 4 ),
:
( 4 × 6 ),
( 6 × 4 ),
B
5.
( 2× 3 ),
( 5 × 3 ).
Задатак 7. Д
⎛1 − 3 5 4⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 2 − 6 4 3⎟
⎜ 3 − 9 3 2⎟
⎠
⎝
⎛ − 3 5⎞
⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ − 6 4⎠
: 1) 10; 2) –12; 3) 4; 4) 6; 5) 0.
и
а
х и а
а
их
ија
а
а а :
1
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
е
, е
е1
,
е
2013/14
е
ј
Задатак 8.
⎡ 2 1 3⎤
⎢1 0 2 ⎥ .
⎥
⎢
⎢⎣1 0 4⎥⎦
: 1) 3; 2) –2; 3) 5; 4) 4; 5) 1.
Задатак 9.
1) C −1 AB ;
Х
−1
2) A BC ;
АХВ =С
4) A CB −1 ; 5) B −1CA .
−1
:
−1
3) BCA ;
α
Задатак 10.
⎧ x1 − 4 x2 + 3 x3 = −22
⎪
⎨ 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 12
⎪ 3x − x + 8 x = α
3
⎩ 1 2
.
1) 4; 2) –10; 3) 8; 4) 12; 5) 6.
α
Задатак 11.
⎧ 3 x1 + 4 x2 − x3 = 0
⎪
⎨ x1 − 3 x2 + 5 x3 = 0
⎪αx + x + 4 x = 0
3
⎩ 1 2
?
1) 2; 2) 3; 3) – 4; 4) 5; 5) 4.
Задатак 12.
α=4
x3 = 13 .
x1 + x2 .
1) –1; 2) 3; 3) –2; 4) –3; 5) 4.
и
11,
1.
2) -9.
7.
2.
3) 2
8.
3.
1) -34
9.
4.
3) -13
10.
5.
3) (6, 3, 3, 4)
11.
6.
(6× 4 )
12.
5) 0
5) 1
4) A−1CB −1
2) –10
5) 4
1) –1
а
х и а
а
их
ија
а
а а :
2
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
, е
е
е1
,
е
2013/14
е
ј
Задатак 1. Д
:
r
r
r
r
r
r
1. a (3, − 1,1), b (2,1, 0) ; 2. a (−1, 2, − 2), b (8, 2, − 2) ;
3. a (4, − 1, − 2), b (1, − 1,1) ;
r
r
r
r⎛ 2
r
3 ⎞ r⎛ 6
4 ⎞
⎟⎟ ;
⎟⎟, b ⎜⎜
4. a (3, 1), b (−4,12) ; 5. a (1, − 2, 3), b (−2, 4, − 6) ;
6. a ⎜⎜
,−
,
13 ⎠
⎝ 52 52 ⎠
⎝ 13
r
r
7. a (−5, 4), b (15, − 12) .
r
1.1) a
r
b
;
r
b
r
ђ a
1.3)
r
1.5) a
1.7)
r
1.8) a
r
b
1.2)
1
r
b
r
7
r
r
b
R2 ;
r
a
r
b
r
b
1.4) a
;
1.6) a
11 ,
r
b
r
a
5;
;
R2 ;
5;
2
1.9)
R ;
r
b
r
a
(−3, − 6, − 3) .
:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
5, 7
1
3
2, 4, 6
4
4, 6
3
6
3
Задатак 2. Д
:
r
r
r
r
r
r
1. a (1, 0, 0), b (0,1, 0) c (0, 0,1) ;
2. a (2, 0, 0), b (0, − 3, 0) c (0, 0,1) ;
r⎛ 1 2 ⎞ r⎛
−1 ⎞
1
3 ⎞ r⎛ 5
⎟⎟ ;
⎟⎟ c ⎜⎜
3. a ⎜⎜
,
, 0 ⎟⎟ b ⎜⎜ 0,
,
, 0,
10 10 ⎠ ⎝ 26
26 ⎠
⎝
⎝ 5 5 ⎠
r
r
r
r
r
r
4. a (1, − 1, 3), b (−2, 2,1) c (3, − 2, 5) ; 5. a (1, − 1, 2), b (3, 4,1) c (1, 6, − 3) ;
r
r
r
6. a (1, 2, 0), b (0,1,3) c (5, 0, − 1) .
:
r r r
2.1) a , b , c
r r r
2.3) a , b , c
r r r
2.5) a , b , c
;
2.2)
;
r r r
2.6.) a , b , c
r r r
a, b , c
3
R ;
2.7)
2.1
5
:
2.2
4
2.3
3, 6
Задатак 3.
1)
3)
4)
5)
2.4
1, 2, 4, 6
;
A (1, − 2) ;
A (1, − 2) ,
A (1, − 2) ,
3
k= ;
2
6)
8)
Ј
;
:
3.1) x − 1 = 0 ;
3.4)
и
а
-7;
3
R ;
R3 ;
7.
2.6
1, 3
2.7
4
:
;
2)
r
e (0, 3) ;
r
n (2, 3) ;
7)
;
9)
.
x +1 y − 2
=
;
3.3) 2 x + 3 y + 4 = 0 ;
2
3
3
x −1 y + 2
3.5) y + 2 = ( x − 1) ; 3.6)
.
=
0
3
2
3.2)
x −1 y + 2
=
;
2
3
х и а
2.5
2
r r r
2.4) a , b , c
r r r
a, b , c
а
их
ија
а
а а :
3
Мић Ми
ић
П
Те
ј
е
:
е
, е
е
е1
,
2013/14
е
ј
е
:
3.1.
3.2
2, 4, 6
3.3
1, 3
3.4
1, 3, 4, 5, 6
3.5
6
3.6
3
Δ ABC
AB : 2 x − 5 y + 11 = 0, BC : 5 x − 3 y − 1 = 0,
3.7
2, 4, 5
1
2
2
3.8
6
4
5
2
3
3
3.9
3
4
5
4
5
Задатак 4.
:
4.1)
4.3)
А, В, С;
,
В;
А
В
ВС;
4.2)
4.3
4.5)
4.7)
№
№
AC : 3x + 2 y + 7 = 0 .
,
АВ;
4.4)
4.6)
ВС.
В
А;
А;
:
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
1
2
3
A (3,1), B (−2,−1), C (−1,+2)
(0,5; 0,5)
(−2; 1)
x −7y − 4 = 0
3x − 2 y + 5 = 0
A (−3,1), B (2,3), C (−1,−2)
(−0,5; 2)
(−2; 4)
− x + 7y − 2 = 0
2x − 3y + 5 = 0
A (−4,−1), B (2,4), C (0,3)
(−2; − 0,5)
(0,5; 1,5)
x + 7y − 4 = 0
2x + 3y − 7 = 0
47
41
4.6
19
4.7
18
34
Задатак 5.
π1 : x + y − z = 0 ;
π 4 : 2 y − 3z = 0 ;
4.3
2
4.4
3
4.5
2
4.6
3
4.7
1
π 3 : x − 3z − 11 = 0 ;
π 2 : 3x − 2 y + z + 1 = 0 ;
π5 : 6 x − 4 y + 2 z − 3 = 0 .
:
5.1)
5.3)
19
34
:
4.2
1
4.1
2
29
А (-1, 0, 2);
;
Оу
5.2)
5.4)
Ох;
a=
Ох, Оу, Оz
5.5)
r
n (3, − 2,1) ; 5.7)
5.6)
5.8)
О (0, 0, 0);
1
3
3
,b=− ,c = ;
12
4
2
;
.
:
5.1
π1
и
а
х и а
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
π1 , π 4
π3
π4
π5
π2
а
их
ија
а
5.7
π2
5.8
π5
а а :
4
π2
π3
π3
π5
Мић Ми
ић