Cetak matematika I (1) Cetak matematika I (1) Cetak matematika I (1) Cetak matematika I (1)

DIKTAT PERKULIAHAN

Z = a +jb
Z = r (Cos Ө + jSin Ө)
Ө= arc tg (b/a)

MATEMATIKA I
UNTUK MAHASISWA TEKNIK TELEKOMUNIKASI SEMESTER SATU

R

rR

1/2h

r
R

Oleh:
Ir. Sutanto,MT.
NIP.195911201989031002

Dibiayai Dengan : Dana DIPA
Penyusunan Naskah Bahan Ajar
Nomor Kontrak : 021/K7.A/UP2AI/2010
Politeknik Negeri Jakarta Tahun Anggaran 2009

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA
1

DESEMBER, 2010
PRAKATA
Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasiswa program
studi Teknik Telekomunikasi semester satu dalam mempelajari, memahami dan mengaplikasikan
matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi. Selain dari pada itu diktat ini juga
sangat bermanfaat dalam memberikan bekal pada para mahasiswa sebagai bahan penunjang mata
kuliah lain dan sebagai sarana pembantu dalam menyelesaikan persoalan keteknikan yang
membutuhkan matematika tingkat tinggi. Sebagaimana diketahui bahwa dalam bidang teknik
telekomunikasi sangat banyak persoalan yang penyelasaiannya sangat membutuhkan bantuan

matematika. Sebagai contoh perhitungan medan listrik, medan magnet, rangkaian listrik,
pengolahan sinyal, otomatisasi system dan sebagainya. Berdasarkan penelusuran diperpustakaan
dan informasi dari dosen pengasuh masing-masing materi tersebut ternyata antara 70% – 90 %
penyelesaian persoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika.
Materi yang akan dibahas dalam diktat ini antara lain diferensial, integral, penerapan
diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan linier, bilangan
kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan linier.
Pada kesempatan ini penulis sebelumnya mengucapkan terimakasih kepada:
1. Kepala UP2AI PNJ yang telah menyediakan pendanaan untuk penulisan diktat
2. Ketua Jurusan Teknik Elektro dan Ketua Program Studi Teknik Telekomuniksi PNJ
yang telah memberi kepercayaan pada penulisan diktat ini.

Depok, 29 Desember 2010
Penulis diktat
Ir. Sutanto,MT
NIP.195911201989031002

2

DAFTAR ISI

Halaman
Halaman pengesahan ............................................................................................... ..........
i
Prakata
………………………………………………………………………….
ii
Daftar isi
…...…………………………………………………………………….
iii
Pendahuluan ….......………………………………………………………………….
1
Gambaran umum materi kuliah
…………………...............………
1
Tujuan pembelajaran umum ………………..................…………….
1
Gambaran umum isi diktat ……………………..……………………
1
Proses pembelajaran …………………………………………………....
1

Bab I. Integral ....................................................................................................... ............
2
Pendahuluan ............................................................................................ ............
2
Integral tunggal ..................................................................................
2
Integral rangkap .................................................................................
10
Tugas / latihan soal-soal ...........................................................................
13
Daftar Pustaka .........................................................................................
13
Bab II. Diferensial ……………….........................…………………………………....
14
Pendahuluan
…………………………………………………….......
14
Prinsip dasar diferensial .....................................................................
14
Penerapan diferensial .............................................................................

28
Tugas / latihan soal-soal ...........................................................................
33
Daftar Pustaka ..........................................................................................
33
Bab III. Pangkat.............................................................................................................
34
Pendahuluan ...........................................................................................
34
Pangkat bulat ...........................................................................................
34
Pangkat pecah ...........................................................................................
37
Tugas / latihan soal-soal .......... .........................................................
42
Daftar Pustaka .........................................................................................
43
Bab IV. Akar ..................................................................................................................... ...
44
Pendahuluan ...............................................................................................

44
Pernyataan bentuk akar ..............................................................................
44
Tugas / latihan soal-soal ...........................................................................
48
Daftar Pustaka ...........................................................................................
48
Bab V. Persamaan non linier ......................................................................................
49
Pendahuluan ...............................................................................................
49
Persamaan kuadrat .............................................................................
49
Penerapan (aplikasi) persamaan non linier..........................................
73
Tugas / latihan soal-soal ....................................................................
83
Daftar Pustaka ...........................................................................................
85
Bab VI. Persamaan linier .....................................................................................................

86
Pendahuluan ..............................................................................................
86
Penyelesaian persamaan linier ................................................................
92
Penerapan persamaan linier ......................................................................
94.
Tugas / latihan soal-soal ...........................................................................
98
Daftar Pustaka ...........................................................................................
99
Bab VII. Bilangan kompleks .........................................................................
............
100
Pendahuluan ...............................................................................................
100
Bentuk umum bilangan kompleks ............................................................
100

3

Penerapan bilangan kompleks ...........................................................
Tugas/latihan soal-soal........................................................................
Daftar Pustaka ...........................................................................................

109
112
113

PENDAHULUAN
1.1. Gambaran Umum Materi Kuliah

Materi yang akan dibahas dalam diktat Matematika I ini terdiri atas diferensial, integral,
penerapan diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan
linier, bilangan kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan linier.
Dalam setiap materi yang akan diajarkan pada mahasiswa selalu diberikan gambaran umum
tentang isi materi yang akan dipelajari dan manfaat dari materi tersebut dalam kaitannya
dengan mata kuliah lain maupun pada saat mahasiswa tersebut bekerja di masyarakat umum
atau industri.
1.2. Tujuan Pembelajaran Umum

Supaya Mahasiswa Teknik Telekomunikasi Semester I mampu menerapkan dasardasar matematika pada Teknik Telekomunikasi
1.3. Gambaran Umum Isi Diktat
Secara umum diktat terdiri atas kata pengantar, pendahuluan, topik bahasan, uraian
topik bahasan (meliputi pendahuluan , penjelasan masing-masing topik, contoh soal,
latihan soal- soal dan tugas) dan daftar pustaka
1.4. Proses Pembelajaran

Proses pembelajaran yang akan dilakukan terdiri atas:
memberikan penjelasan kepada mahasiswa
memberikan informasi, uraian dan contoh
memberikan latihan dan tugas
memeriksa latihan dan tugas yang telah diselesaikan oleh mahasiswa
memberikan bimbingan berdasarkan umpan balik dari latihan atau tugas yang telah

a.
b.
c.
d.
e.

dikerjakan mahasiswa
f. memberikan penilaian pada setiap mahasiswa berdasarkan tugas/latihan, tes harian dan
UTS dan UAS

BAB I. INTEGRAL
I.1.Pendahuluan

4

Integral merupakan kebalikan dari hitungan diferensial. Artinya jika hasil integral
didiferensialkan, maka hasilnya

harus sama dengan soal yang diintegralkan tersebut.

Pembagian integral berdasarkan batas integral dibedakan menjadi integral tertentu dan tak
tentu. Integral tertentu artinya batas bawah dan batas atas telah ditentukan nilainya,
sedangkan integral tak tentu nilai batas bawah dan atas belum ditentukan. Berdasarkan
tingkat integrasinya, maka integral dibedakan menjadi itegral tunggal, integral rangkap
dua,integral rangkap tiga dan seterusnya. Tetapi dalam pembahasan integral ini hanya
dibatasi sampai integral rangkap tiga saja. Dalam aplikasinya integral rangkap dua antara

lain digunakan untuk menghitung luas bidang, sedangkan integral rangkap tiga antara lain
digunakan untuk menghitung volume dalam ruang tertutup.
I.2. Integral tunggal tak tentu
Contoh
1. ʃ x dx = ½ x2 + C
2. ʃ (1/x)dx = ln x + ln C
3.

ʃ ex dx = ex + C

4.

ʃ e2x dx = ½ e2x + C

5.

ʃ Sinx dx = - Cosx + C

6.

ʃ Cosx dx = Sinx + C

7.

ʃ tgx dx = ln(Sec x) + C

8.

ʃ Cotx dx = ln(Sinx) + C

9.

ʃ Secx dx = ln(Sec x + tg x) + C

10. ʃ Cosec x dx = ln(Cosec x – Cot x) + C
11. ʃ Sin2x dx = ½ (x) -1/4 (Sin 2x) + C
12. ʃ Cos2x dx = ½ (x) +1/4 (Sin 2x) + C
13. ʃ tg 2x dx = tg x – x + C
5

14. ʃ cot 2x dx = -cot x – x + C
15. ʃ ax dx = (ax/lna)+ C
16. ʃ lnx dx = x ln x –x + C
17. ʃ (1/x lnx) dx = ln (lnx) + C
18. ʃ Sinhx dx = Cosh x + C
19. ʃ Cosh x dx = Sinh x + C
20. ʃ tghx dx = ln (Cosh x) + C
21. ʃ Cothx dx = ln (Sinh x) + C
22. ʃ Sech x dx = arc tg (Sinh x) + C
23. ʃ Cosech x dx = ln [tgh(1/2 x)] + C
24. ʃ Sinh2 x dx = ¼ Sinh 2x – ½ x + C
25. ʃ Cosh2x dx = ¼ Sinh 2x + ½ x + C
26. ʃ tgh2x dx = x – tgh x + C
27. ʃ Cotgh2x dx = x – Cotgh x + C
I.3. Bentuk umum integral tunggal tak tentu
1. ʃ x dx/(a + bx) = 1/(b2) [ a + bx – a ln(a +bx)] + C, dengan a dan b adalah tetapan ≠ 0
2. ʃ x2dx/(a +bx) = 1/(b3) [1/2( a + bx)2 – 2a(a +bx) + a2 ln (a +bx)] + C, dengan a dan b
adalah tetapan ≠ 0
3. ʃ xdx/(a +bx)2 = 1/(b2) [ a/(a + bx) + ln(a +bx)] + C
4. ʃ x2dx/(a +bx)2 = 1/(b3) [ a + bx – a2/(a +bx) - 2a ln (a +bx)] + C
5. ʃ x √(a + bx) dx = 2/(15b3)(3 bu -2a)( a + bu)3/2 + C
6. ʃ x2 √(a + bx) dx = 2/(105b3)(15 b2u2 - 12abu + 8 a2)(a + bu)3/2 + C
6

7. ʃ x dx/( √a + bx) = [2/(3b2)][ bu -2a) √ a +bx + C
8. ʃ x2 dx/( √a + bx) = [2/(15b3)][ 3b2 u2 - 4abu + 8a2 ) √ a +bx + C
9. ʃ dx /( a2 + x2) = 1/a [arc tg (x/a)] + C = 1/a [tg-1(x/a)] + C
10. ʃ dx /( a2 - x2) = 1/2a ln[(x+a)/(x-a) ] + C
11. ʃ dx /( x2 - a2) = 1/2a ln[(x - a)/(x+a) ] + C
12. ʃ dx/( √ a2 + x2) = ½ (x√ a2 + u2 ) - (a2/2) ln [( 1/a√ a2 + u2 - u/a )] + C
13. ʃ xn ex dx = xn ex -n ʃ xn-1 ex dx + C
14. ʃ xn ax dx = [(xn ax) / lna] – n/lna ʃ xn-1 ax dx + C
15. ʃ (lnx)( xn ) dx = [xn-1/ (n +1)2][(n+1) ln x -1] + C
I.4. Metoda penyelesaian integral tunggal tak tentu
I.4.1. Metoda subsitusi trigonometri
Contoh:
1. Selesaikan: ʃ [1/(4 – x2)3/2] dx
Jawab:
SinӨѲ = x/2  x = 2 SinӨѲ

x

2
Ѳ
Ө 2
√4–x

dӨ Ѳ
dx/d Ө
= 2 Cos Ө Ѳ  dx =Ө2 Cos
Ө
Cos
= ½ √4 – x2
√4 – x2 = 2 CosӨѲ
(4 – x2)1/2 = 2 Cos Ѳ (4 – x2)1/2(3) = (2 Cos Ѳ)3

√4 – x2

(4 – x2)3/2 = 8 Cos3 Ѳ

ʃ [1/(4 – x2)3/2] dx = ʃ 2 Cos Ѳ dѲ/8 Cos3 Ѳ = 1/4 ʃ Cos-2 Ѳd Ѳ
= 1/4 ʃ Cos-2 Ѳ dѲ =1/4 ʃ Sec2 Ѳ dѲ
=1/4 tg Ѳ + C = ¼ [ x/√4 – x2 ] + C
= x/[ 4/√4 – x2] + C
2. Selesaikan: ʃ 1/[x2√ (9 – x2)] dx
Jawab:
7

x

3

Sin θ = x/3  x = 3 Sin Ѳ
dx/d θ = 3 Cos Ѳ  dx = 3 Cos Ѳ dѲ
Cos θ = 1/3 √4 – x2
3
√9 – x2 = 3 Cos θ

θ
√ 9 – x2

(9 – x2)1/2 = 3 Cos Ѳ

√9 – x2
ʃ 1/[x2√ (9 – x2)] dx

Latihan
Dengan subsitusi trigonometri selesaikan integral berikut:

I.4.2. Metoda integral sebagian
Contoh:
1. Tentukan :ʃ arc Cos 2 x dx
Jawab:
Misal: u = arc Cos 2x

8

dv = dx  v = x
ʃ arc Cos 2 x dx = ʃ udv = uv - ʃ vdu

Menentukan:

Misalkan: 1 - 4x2 = m atau m = 1 - 4x2
dm/dx = - 8 x
dm = - 8 x dx  2x dx = - 1/4 dm
Sehingga:

= -1/4 (2 m1/2) = - 1/2 m1/2
= - 1/2√ 1- 4 x2
Jadi:
ʃ arc Cos 2 x dx = x arc Cos 2x - 1/2√ 1- 4 x2 + C
2. Tentukan: ʃ x2√1 – x

dx

Jawab:
Misal: u = x2 du/dx = 2x atau du = 2x dx
dv = √1 – x dx = (1-x)1/2 dx  v = - 2/3 (1-x)3/2
ʃ x2√1 – x dx = ʃ udv
= uv - ʃ vdu = -2/3 x2 (1-x)3/2 + 2/3ʃ2x (1-x)3/2 dx
= - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3ʃ x (1-x)3/2 dx
9

Menentukan : ʃ x (1-x)3/2 dx
Misal: u = x  du/dx = 1 atau du = dx
dv = (1-x)3/2 dx  v = -2/5 (1 - x)5/2
Sehingga:
ʃ x √1 – x

dx = ʃ udv
= uv - ʃ vdu
= -2/5(x) (1 - x)5/2 – ʃ -2/5 (1 - x)5/2dx
= -2/5(x) (1 - x)5/2 + 2/5 ʃ (1 - x)5/2dx
= -2/5(x) (1 - x)5/2 + (2/5)(-2/7) (1 - x)7/2
= -2/5(x) (1 - x)5/2 - 4/35 (1 - x)7/2

Jadi:
ʃ x2√1 – x dx = - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3ʃ x (1-x)3/2 dx
= - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3[-2/5(x) (1 - x)5/2 - 4/35 (1 - x)7/2] + C
= - 2/3 x2 (1-x)3/2 -8/15(x) (1 - x)5/2 - 16/105 (1 - x)7/2] + C
I.4.3. Metoda pecahan sebagian
Contoh:
1. Tentukan :

Jawab:

Misal:

Nampak bahwa :
10

1 = x (A+B) +3(A-B)
Bila dilakukan evaluasi koefisien pada x0 dan x1
Ruas kiri

Ruas kanan

x0

1

3(A-B)

x1

0

A+B

Diperoleh persamaan:
3(A-B) = 1 ....................................(1)
A + B = 0 ...................................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat harga A = 1/6 dan B = -1/6
Sehingga:

= 1/6 ln (x-3) - 1/6 ln (x+3) + ln C

2. Tentukan:

Jawab:
Misal:

11

Terlihat bahwa:
x3+ x2 + x +3 = (A+C) x3+ (B+D) x2 +(3A+C) x + (3B+D)
Berdasarkan evaluasi koefisien pada x3, x2 , x, x0diperoleh persamaan:
A + C = 1 ...............................................(1)
B + D = 1 ..............................................(2)
3A + C = 1 ..............................................(3)
3B + D = 3 ...............................................(4)
Dari persamaan (1) s/d (4) diperoleh harga: A= 0, B=1, C = 1, D = 0

= arc tg x + ½ ln (x2+3) + C
Catatan:
Menentukan :

Misal:
u= x2+3 du/dx = 2x atau du = 2x dx  xdx = ½ du

Latihan
1. ʃ x arc tg x dx
2. ʃ Sin x Sin 3x dx
3. ʃ x arc Sin x dx

12

I.5. Integral rangkap dua tak tentu
Prinsip penyelesaian integral rangkap dua:
ʃ ʃ f(x) f(y) dy dx
integral dalam
integral luar
Penyelesaian dapat dimulai dari integral dalam terlebih dahulu dilanjutkan integral luar atau
sebaliknya.
Contoh:
1. Selesaikan: ʃ ʃ x y dy dx
Jawab:
a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
ʃ ʃ x y dy dx = ʃ ½ y2 x dx = (½ y2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x2 + C
b. Penyelesaian dimulai dari integral luar (dx)
ʃ ʃ x y dy dx = ʃ ½ x2 y dy = (½ x2)( (½ y2) + C = ¼ y2 x2 + C
c. Penyelesaian dengan cara memisahkan masing-masing integral (hanya berlaku untuk
bentuk perkalian):
ʃ x y dy dx =[ ʃ y dy][ ʃ x dx] = (½ y2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x2 + C
2. Selesaikan: ʃ ʃ (x2 + y2) dy dx
Jawab:
a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
ʃ ʃ (x2 + y2) dy dx = ʃ (y x2 + 1/3 y3) dx
13

= y(1/3 x3) + 1/3 y3(x) + C = 1/3 y x3+1/3 y3x + C
b. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dx)
ʃ ʃ (x2 + y2) dy dx = ʃ (1/3 x2 + y2 x) dy
= (1/3 x2)(y) + 1/3 y3(x) + C = 1/3 y x2 + 1/3 y3x + C
I.6. Integral rangkap tiga tak tentu
Contoh:
1. ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz
Jawab:
ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz

a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (x2)(1/2 y2)( z2)dx dz
= ʃ (1/3x3)(1/2 y2)( z2) dz
= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3)
= 1/18 (x3y2z3) + C
b. Penyelesaian dimulai dari integral tengah (dx)
ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (1/3 x3)( y2)( z2)dy dz
= ʃ (1/3x3)(1/2 y2)( z2) dz
= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3)
= 1/18 (x3y2z3) + C
c. Penyelesaian dimulai dari integral luar(dz)
ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (x3)( y2)( 1/3z2)dy dx
= ʃ (x3)(1/2 y2)( z2) dy
= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3)
14

= 1/18 (x3y2z3) + C
d. Penyelesaian dilakukan dengan memisahkan masing-masing integral
ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = [ ʃ x2 dx][ ʃ ydy][ ʃ z2dz]
= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3)
= 1/18 (x3y2z3) + C
2. Tentukan : ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz
Jawab:
Pilihan memulai penyelesaian bebas. Bila dipilih integral luar, maka hasil integral:
ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz = ʃ ʃ (zx2 + zy + 1/3z3) dy dx
= ʃ (1/3 zx3 + zyx + 1/3z3 x) dy
= 1/3 zx3y + ½ zy2x + 1/3z3xy + C
Bila dipilih integral tengah, maka hasil integral:
ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz = ʃ ʃ ( 1/3 x3 + yx + xz2) dy dz
= ʃ (1/3 zx3 + zyx + 1/3z3 x) dy
= 1/3 zx3y + ½ zy2x + 1/3z3xy + C
Catatan:
Untuk integral yang memiliki variabel dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan, maka
penyelesaian integral tidak bisa dipisahkan kedalam integral masing-masing variabel. Tetapi
untuk bentuk perkalian, maka penyelesaian integral bisa dipisahkan kedalam masing-masing
integral.
I.7. Integral tertentu
Contoh:
Selesaikan integral berikut:

Jawab:
Misal : u = 1- x  du/dx = -1
15

du = - dx atau dx = - du

=2/3[1-x]3/2

1/2
0

= 2/3 [(1 - ½)3/2 – (1-0)3/2]
= 2/3 [(½)3/2 – (1)3/2] = 2/3 [0,353553 -1]= -0,43096

Jawab:

Latihan
Selesaikan:

I.8. Daftar Pustaka

16

Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York.
pp. 249-468,509-560,563-590
Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico,
Bandung. hal. 37-238, 305-433
BAB II. DIFERENSIAL
II.1. Pendahuluan
Pada bagian ini akan dibahas prinsip dasar cara penyelesaian diferensial total
dan parsial dari suatu fungsi. Selanjutnya dari prinsip dasar yang telah dilakukan tersebut
akan dibuat suatu rumusan umum yang berkaitan dengan tata cara penurunanan atau
diferensiasi dari berbagai bentuk fungsi. Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk
mempelajari cara mendiferensialkan berbagai bentuk fungsi baik secara total maupun secara
parsial.
II.2. Prinsip dasar diferensial total
Pada prinsipnya diferensial atau turunan dari suatu fungsi x atau y = f(x) dapat dihitung
dengan menggunakan dasar persamaan:

Atau dapat juga dituliskan sebagai:

II.2.1. Prinsip dasar diferensial fungsi aljabar
Fungsi aljabar mempunyai bentuk yang sangat beragam, sehingga hasil diferensialnya
juga sangat beragam.
II.2.1.1. Bentuk Polinomial
Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:

1. Tentukan dy/dx dari y = x2 +1
17

Jawab:
y +∆y

= (x+∆x)2 + 1
= x2 + 2 x ∆x+ (∆x)2 +1

∆y

= y +∆y - y
= [x2 + 2 x ∆x+ (∆x)2 +1] –[x2 +1]
= 2 x ∆x+ ( ∆x )2

2. Tentukan dy/dx dari :
Jawab:

∆y

= y +∆y - y

18

Latihan
Dengan menggunakan prinsip bahwa :

Tentukan dy/dx dari:
1. y = 2x2 + 2x
2. y = x/(x+1)
3. y = (x2 +1)/(2x +2)
4. y = x2.x3
II.2.1.2. Bentuk Esponensial
Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:

1. Tentukan y’ dari : y = e x
Jawab:

Dengan acuan turunan polinomial, maka:
y’ = 0 +1 +2x/2! + 3x2/3! + 4x3/4!
y’ = 1 + x + x2/2! + x3/3! = e x
2. Tentukan y’ dari : y = e2x
Jawab:

y = 1 +2x +4x2/2!+ 8 x3/3! + 16 x4/4! + ...
19

Dengan acuan turunan polinomial, maka:
y’ = 0 +2 +8x/2! + 24x2/3! + 64x3/4! + ... = 2(1+4x/2! + 12x2/3! + 32x3/4! + ...)
y’= 2[1+2x + (2x)2/2! + (2x)3/3! + ...] = 2 e2x
Bentuk umum turunan eksponensial:
y = e f(x)  y’= f ’(x) e f(x)

II.2.1.3.Bentuk logaritma
Hubungan antara log dengan ln adalah : log x = 1/2,3[ lnx]
1. Tentukan y’ dari : y = ln x
Jawab
y = ln x

 ey = x

x = ey x’ = dx/dy = ey
y’= dy/dx = 1/ ey = 1/x
2. Tentukan y’ dari : y = ln x2
Jawab:
y = ln x2
x2 = ey  2x dx/dy = ey
dx/dy = ey/2x
dy/dx = 2x / ey = 2x/x2  y’ = 2x/x2
3. Tentukan y’ dari : y = log x2
Jawab :
y = log x2 =1/2,3[ln x2]
y’= 1/2,3[2x/x2]
Bentuk umum turunan fungsi logaritma
y = ln[f(x)]  y’= f ’(x) / f(x)
y = log[f(x)]  y’=1/2,3[f ’(x) / f(x)]

20

Latihan
Tentukan y’ ataua dy/dx dari:
1. y = log (2x3 + x2 + x +3)
2. y = log (3x4 + 3x2+ 2x +4)4
3. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )3
4. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )1/2
5. y = e(5x+4)

II.2.2. Prinsip dasar diferensial fungsi Trigonometri
Ada beberapa fungsi trigonometri yang sering dijumpai pada pemakaian sehari-hari.
fungsi tersebut antara lain: Sin x, Cos x, tg x dan sebagainya.
Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:

1. Tentukan dy/dx dari : y = Sin x
Jawab:
y + ∆y = y + ∆y
= Sin (x +∆x)
∆y = y + ∆y – y
= Sin (x +∆x) - Sin x

21

2. Tentukan dy/dx dari : y = Cos x
Jawab:
y + ∆y = Cos (x +∆x)
∆y = y + ∆y –y
= Cos (x +∆x) – Cos x

Latihan
Dengan menggunakan prinsip bahwa :

Tentukan dy/dx dari:
1. y = tg x
22

2. y = Cot x
3. y = Sec x
4. y = Cosec x
II.3. Bentuk umum diferensial fungsi aljabar dan trigonometri
Dengan menggunakan prinsip bahwa :

maka bentuk diferensial dari berbagai fungsi dapat dilihat seperti pada tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1. Bentuk persamaan umum turunan atau difrensial dari berbagai fungsi
No
Bentuk fungsi
1 y = xn
2 y = [f(x)]n
3 y =[f1(x)][ f2(x)]
4

Bentuk turunan
dy/dx = y’= n x(n-1)
y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]
y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)]

5

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

y = Sin x
y = Sin f(x)
y = Sinn f(x)
y = Cos x
y = Cos f(x)
y = Cos n f(x)
y = tg x
y = tg f(x)
y = tg n f(x)
y = Cotg x
y = Cotgf(x)
y = Cotg n f(x)
y = Sec x
y = Sec f(x)
y = Sec n f(x)
y = Cosec x
y = Cosec f(x)
y = Cosec n f(x)
y = ln[f(x)]
y = ln[f(x)n]

y’ = Cos x
y’ = f ’(x)Cos f(x)
y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)
y’ = - Sin x
y’ = - f ’(x) Sin f(x)
y’ = - n f ’(x) Sin f(x) Cos(n-1) f(x)
y’ = Sec2 x
y’ = f ’(x) Sec2 f(x)
y’ = n f ’(x) Sec2 f(x) tg (n-1) f(x)
y’ = - Cosec2 x
y’ = - f ’(x) Cosec2 f(x)
y’ = - n f ’(x) Cosec2 f(x) tg (n-1) f(x)
y’ = tg x Sec x
y’ = f ’(x) tg f(x) Sec f(x)
y’ = n f ’(x) tg f(x) Sec f(x) Sec (n-1) f(x)
y’ = - Cotg x Cosec x
y’ = -f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x)
y’ = -n f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) Cosec (n-1) f(x)
y’ = f’(x)/f(x)
y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]/f(x)n
23

26
27

y = ef(x)
y’= f’(x) ef(x)
y = log [f(x)]=[1/2,3][lnf(x)] y’ =[1/2,3][ f’(x)/f(x)]

Contoh penggunaan tabel 2.1
Tentukan y’ atau dy/dx dari:
1. y = x3
Jawab:
y’ = 3 x2
2. y = (2x2 +3x +2)3
Jawab:
n =3
f(x) = 2x2 +3x +2

 f ’(x)= 4x +3

y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]
= 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3)
= (12x +9) (2x2 +3x +2)2
3. y = Sin4 (2x2 +3x +2)3

y = Sinn f(x)

y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)

Jawab:
n =4
f(x) = (2x2 +3x +2 )3
y = [f(x)]n

y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]

y = (2x2 +3x +2 )3  f(x)= 2x2 +3x +2  f ’(x)= 4x +3
f ’(x) = 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2
y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)
= 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3
= (48x +36) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3
4. y = e(3x +4)
f(x) = 3x +4  f ’(x)= 3
y’= 3 e(3x +4)
24

5. y = ln [(2x2 +3x +2 )3]
f(x)= [2x2 +3x +2]3  f ’(x)= 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2
y’ = f’(x)/f(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3
6. y = log [(2x2 +3x +2 )3] = [1/2,3] ln [(2x2 +3x +2 )3]
y’ = f’(x)/f(x) = [1/2,3] [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3
7. y = [Sin4 (2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3]
f1(x) = Sin4 (2x2 +3x +2)3
f ‘1(x) = 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3
f 2(x) = ln [(2x2 +3x +2 )3
f ‘2(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3
y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)]
=[4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3]
+ [Sin4 (2x2 +3x +2)3][(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3
8. y = [ e(3x +4)]/[ (2x2 +3x +2)3]
f1(x) = e(3x +4) 

f1 ‘(x) = 3 e(3x +4)

f2(x) = (2x2 +3x +2)3  f2 ‘(x) = 3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)

=[{3 e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)3]2
=[{3 e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)6]

Latihan
Dengan menggunakan tabel 2.1, tentukan y’ dari:

2. y

= (x2- 4x +3) tg(2x+4)

3. y = Cos[(x2- 4x +3)/{ 2x2 +3x +2)3}]
25

Petunjuk soal no 3:
f1(x) =(x2- 4x +3)
f2(x) = (2x2 +3x +2)3

II.4. Diferensial fungsi invers trigonometri
Contoh:
1. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Sin 2x
Jawab:
y = arc Sin 2x  2x = Sin y
x = ½ Sin y
dx/dy = ½ Cos y  dy/dx = 2/Cos y
Cos y = √1 – 4x2
1
2x

1
y

dy/dx = 2/Cos y = 2/√1 – 4x2
Bentuk umum:
y = arc Sin f(x)  dy/dx = f’(x)/√1 – [f(x)]2

√ 1 – 4x2
2. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Cos 2x
Jawab:
y = arc Cos 2x  2x = Cos y
x = ½ Cos y
dx/dy = - ½ Sin y  dy/dx = -2/Sin y
Sin y = √1 – 4x2
√ 1 - 4x2

1 1

dy/dx = - 2/Sin y = - 2/√1 – 4x2

y

Bentuk umum:
y = arc Cos f(x)  dy/dx = - f’(x)/√1 – [f(x)]2

26

2x
3. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc tg 2x
Jawab:

y = arc tg 2x



2x = tg y
x = ½ tg y
dx/dy = ½ Sec2 y  dy/dx = 2/Sec2 y = 2 Cos2 y
Cos y = 1/√1 + 4x2  Cos2 y = 1/(1 + 4x2)

√1 + 4x2

2x

dy/dx = 2 Cos2 y = 2/(1 + 4x2)
Bentuk umum:

y

y = arc tg f(x)  dy/dx = f’(x)/[1 + f(x)2]
1

Latihan
Tentukan dy/dx dari:
1. y = arc Cotg 3x
2. y = arc Sec 4x
3. y = arc Cosec 5x
II.5. Prinsip diferensial parsial
Diferensial parsial biasanya dipakai untuk menurunkan atau mendiferensialkan suatu fungsi
yang mempunyai perubah bebas minimum 2. Dalam hal ini variabel yang tidak
didiferensialkan dianggap tetap sehingga dapat dikeluakan dari tanda diferensial.
Misal:
m = f(x,y,z), dengan variabel bebas x,y,z
maka bentuk diferensial dari fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut:

27

II.5.1.Diferensial parsial fungsi aljabar
Contoh:
m = x y2 z3, tentukan harga dari:

Jawab:

28

II.5.2. Diferensial parsial fungsi trigonometri
m = y2 Sin x Cos z, tentukan harga dari:

Jawab:

II.6. Turunan fungsi implisit
Perbedaan cara penulisan antara fungsi implisist dan eksplisit:
y = 2x +4

 Fungsi eksplisit

2xy +y+ x2y = 4x Fungsi implisit
Contoh:
1. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2xy +y+ x2y = 4x
Jawab:
d/dx{2xy +y+ x2y }=d/dx( 4x)
29

y d/dx (2x) + 2x d/dx(y) + d/dx(y) + y d/dx ( x2) + x2d/dx (y) = 4
y (2) + 2x dy/dx + dy/dx + 2xy + x2dy/dx = 4
dy/dx[ 2x + 1 + x2] = 4 – 2y - 2xy
dy/dx = [4 – 2y - 2xy] /[ 2x + 1 + x2]
2. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2x + y3 + xy2 = x2
Jawab:
d/dx [2x + y3 + xy2 ]= d/dx[x2]
d/dx (2x) + d/dx(y3) + d/dx(xy2)= d/dx[x2]
2 + d/dx(y2.y) + y2d/dx (x) + x d/dx (y2) = 2x
2 + y2 d/dx(y) + y d/dx(y2) + y2d/dx (x) + x d/dx (y.y) = 2x
2 + y2 dy/dx + y d/dx(y.y) + y2 + x [yd/dx (y) + yd/dx (y)] = 2x
2 + y2 dy/dx + y [y d/dx(y) + y d/dx(y) ] + y2 + x [ 2ydy/dx ] = 2x
2 + y2 dy/dx + 2y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x
2 + 3y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x
dy/dx [ 3y2 + 2xy ] = 2x -2 - y2
dy/dx = [2x -2 - y2] / [ 3y2 + 2xy ]
Catatan:
d( yn) /dx = n y(n-1)dy/dx

Latihan
Tentukan y’ atau dy/dx dari:
1. 2xy + x3y3 + x2 y2 = x2
2. x4 + y4 + 4xy2 = x2 y4

II.7. Tugas
A. Tentukan y’ dari:
1. y = [ tg( x4+4)5] /[Cosec(x2- 4x +3)
2. y = Sin2( 3x+2) Cotg(x4+ 3x2+3x+3)
3. y = (x4+ 3x2+3x+3)7(x3+ 2x2+x+2)7
30

4. y = [ ln( x4+4)5] /[log(x2- 4x +3)
5. y = e(3x +3) /(x3+ 2x2+x+2)7
6. y = e(4x+2) /[ ln(x3+ 2x2+x+2)7]
7. y = [e(4x+2) ][ ln(x3+ 2x2+x+2)7]
8. x4 y4 + 2xy4 + xy2 = 6x2y4
9. ln (x4 y4)+ e2xy + xy2 = log (x2y4)
10. ln (Cos 2x)+ ln(x3+ 2x2). e2xy + xy2 = log (x2y4)
B. Diketahui m = (Sin x)(Cosy)(z3 + z2- 6)

II.8. Aplikasi turunan (diferensial) total
Untuk menentukan harga variabel bebas dalam suatu fungsi , maka harga turunan pertama
dari fungsi tersebut harus berharga nol (0). Untuk menguji sutu fungsi apakah fungsi
tersebut berharga maksimum atau minimum, maka harus dilihat pada harga turunan kedunya
pada saat variabel yang diperoleh dari turunan pertma dimasukkan ke dalam turunan kedua
dari funhsi tersebut. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada saat harga variabel tersebut
dimasukkkan dalam turunan kedua, yaitu:
a. Jika harga turunan adalah negatip atau kurang dari nol (0), maka fungsi mempunyai
harga maksimum
b. Jika harga turunan adalah positip atau lebih dari nol (0), maka fungsi mempunyai
harga minimum
Contoh
1.

Sebuah bejana berbentuk kotak persegi bagian atas terbuka dan bagian bawah
tertutup.

Volume bejana = V = Luas alas x tinggi
Bejana diisi penuh dengan cairan sebanyak 216 m 3. Alas bejana berbentuk bujur sangkar
216 = (x)(x)(y)
dan dinding berbentuk persegi panjang. Biaya pembuatan alas Rp 5000; per m2 dan
216 = x2y
dinding Rp2.500; per m2.Tentukan ukuran bejana yang paling ekonomis, sehingga
y =216/x2 .....................................(1)
maksud pembuatan tercapai sesuai rencana.
Biaya alas = 5.000(x)(x)= 5000 x2
Jawab:
Biaya total dinding = 4(x)(y)(2.500) = 10.000xy
Biaya total pembuatan
bejana= 5000 x2+10.000xy
31
H = 5000 x2+10.000xy .................................... (2)
Masukkan persamaan (1) ke (2):

y

x
x

.

H = 5000 x2+10.000xy
= 5000x2+10.000x(216/x2)
=5000x2 + 2.160.000 /x ................................(3)
dH/dx = 10.000 x - 2.160.000 /x2
dH/dx = 0 10.000 x - 2.160.000 /x2 = 0
10.000 x = 2.160.000 /x2

x3 = 216

x = 6 dan y =216/x2 = 216/36 = 6
d 2H/dx2 = d/dx (10.000 x - 2.160.000 /x2) =10.000 +4.320.000/x3
= 10.000 +4.320.000/x3 = 10.000 +4.320.000/216 = 10.000+20.000 = 30.000
Dengn demikian d 2H/dx2 > 0  memenuhi syarat minimasi
Jadi x = y = 6  bejana berbentuk kubus dengan panjang sisi-sisi 6 m

6cm

6 cm
2. Tentukan ukuran dari silinder lingkaran tegak dengan luas selimut maksimum yang
dapat dilukis pada sebuah bola dengan jari-jari 20 cm
32

Jawab:

h = tinggi silinder
R = jari-jari bola = 20 cm
r = jari-jarisilinder
R2 = (1/2h)2 + r2 = ¼ h2 + r2
1/2h

1/2 h

rR
R

400 = ¼ h2 + r2 ......................(1)
Luas selimut silinder = 2IIrh

r
R

A = 2IIrh ................................(2)
dA/dr = 2IId/dr (rh)
= 2II[rdh/dr+hdr/dr]

Dari persamaan (1):

= 2IIr dh/dr + 2IIh ..........(3)

400 = ¼ h2 + r2
h2 + 4r2 = 1600
d/dr (h2 + 4r2) = d/dr (1600)
d (h2)/dr + 4 d(r2)/dr = 0
2h dh/dr + 8r = 0
2h dh/dr = - 8r
dh/dr = - 4 r/h

................................................................

(4)

Masukkan persamaan (4) ke (3):
dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh
= 2IIr (-4r/h) + 2IIh
= -8IIr2/h + 2IIh .........................................................
Menentukan harga r dari persamaan dA/dr =0
dA/dr =0
2IIr (-4r/h) + 2IIh = 0
-8Iir2/h = -2IIh
4r2= h2
h= 2r atau r = h/2
Dari persamaan (5):
dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh
= -8IIr2/h + 2IIh
Jika h = 2r

 dA/dr = -8IIr2/2r + 2II(2r) = -4IIr + 4IIr = 0
33

(5)

Artinya

d2A/dr2 = 0

 tidak bisa dipakai untuk evaluasi harga maksimum atau

minimum fungsi. Untuk mengatasi persoalan tersebut, maka diasumsikan bahwa harga h
dianggap konstan atau tetap.
Dengan demikian: dA/dr = -8IIr2/h + 2IIh
d2A/dr2 = - 16IIr/h
= -16II(h/2)/h = - 8 II
Artinya d2A/dr2 < 0 atau d2A/dr2 berharga negatip (memenuhi syarat untuk harga
maksimum).
Dari persamaan (1): 400 = ¼ h2 + r2
¼ h2 + r2 = 400
¼ h2 + [(1/2)h]2 = 400
¼ h2 + ¼ h2 = 400
½(h2) = 400
h2 = 800
h = 20√2 cm dan r = ½(h) = 10√2 cm

Latihan
1. Tentukan jari-jari R dari kerucut ingkaran tegak dengan volume maksimum yang dapat
dilukiskan dalam sebuh bola dengan jari-jari r (kunci R= 2/3 (r√2).
2. Sebuah silinder lingkaran tegak dilukiskan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak
dengan jari-jari r. Bila volume silinder maksimum, maka tentukan jari-jari R silinder
[kunci R = 2/3(r)]
3. Sebuah bejana (tabung) yang tertutup rapat berisi cairan setengahnya.Bentuk tabung
adalah silinder tegak dengan biaya pembuatan dinding Rp 10.000; per m 2 dan tutup Rp
5.000; per m2. Bila dikehendaki tabung tersebut diisi penuh dapat menampung cairan
1000 m3, maka tentukan ukuran ekonomis tabung tersebut.
II.9. Aplikasi turunan (diferensial) parsial
Contoh:
1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:

34

Bila D = xy2 z5 ax

+ x3 y2 z5 ay

+ x3 y2 z5 az

Tentukan ρv pada A (1,2,3)
Jawab:
D x = x y2 z 5
Dy =x3 y2 z5
Dz =x3 y2 z5

= y2 z5

= 2 y x3 z5

= 5z4 x3 y2

= y2 z5 + 2 y x3 z5 + 5z4 x3 y2
= (22)(35) + 2(2)(1)( 35) +5 (34)(1)(22) = 3564 [C/m3]
Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:Tentukan
medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) dinyatakan
sebagai V = 50 x2yz + 20 y2 [Volt]
Jawab:
∂V/∂x = ∂/∂x (50 x2yz + 20 y2) = 50 yz d/dx (x2) + 20 y2d/dx (1)= 100xyz + 0
= 100xyz
∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2z dy/dy + 20d(y2)/dy = 50 x2z + 40 y
∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2y dz/dz + 20 y2 d(1)/dz = 50 x2y
E = - (100xyz ax + (50 x2z + 40 y) ay + 50 x2y) az
35

EA = -[100(1)(2)(3) ax + [50(12)(3) + 40(2)] ay + 50 (12)(2)] az
= - 600 ax - 230 ay - 100 az [V/m]

Latihan
1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:

Bila D = xy2 ln(z5 ) ax

+ e3x y2 z5 ay

+ x2 y3 z4 az

Tentukan ρv pada A (2,4,6)
Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:Tentukan
medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) dinyatakan
sebagai V = 50 ln(x2 ) y z + 20 x z3 y2 [Volt]

II.10. Daftar Pustaka
Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New
York. pp. 249-468,509-560,563-590
Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico,
Bandung. hal. 37-238, 305-433
Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International
Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204

36

BAB III. PANGKAT
III.1. Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita berhadapan dengan suatu angka yang nilainya
sangat besar. Misal tabungan seseorang dalam suatau bank nilainya 1 milyar rupiah atau
kalau dituliskan dengan angka, maka nialainya adalah Rp1.000.000.000;. Dalam bidang
matematika atau keteknikan cara penulisan seperti ini cukup panjang, menyulitkan dan
banyak memakan tempat. Untuk menghindari kesulitan-kesulitan tersebut dibutuhkan
alaternatif lain. Salah satu

cara penulisan yang cukup sederhana adalah dengan

menuliskan dalam bentuk pangkat. Angka 1.000.000.000 tersebut dalam bentuk pangkat
dapat dituliskan sebagai 10 9. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9
disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan
berpangkat bilangan bulat. Pada bab III ini akan dibahas secara rinci tentang bentukbentuk pangkat dan cara penghitungannya.
III.2. Pengelompokan pangkat
Berdasarkan tanda operasionalnya pangkat dapat dikelompokkan menjadi pangkat positip
dan negatip. Sedangkan berdasarkan nilainya pangkat dikelompokkan menjadi pangkat
bulat, pecah , nol dan tak tentu (∞)
III. 2.1. Pangkat bulat
III. 2.1.1. Pangkat bulat dan positip
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan
faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai
berikut:
a. 2 x 2 x 2 = 8
b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096

37

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut
sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas
dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas
dapat kita tuliskan dengan:

a. 2 x 2 x 2 = 23
b. 3 x 3 x 3 x 3 x3 = 35
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46
Bilangan 23, 35, 46 disebut bilangan berpangkat sebenarnya (riil) karena bilanganbilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan
berpangkat an dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut:
an = a x a x a..............x a
.................................(1)
Berdasarkan persamaan (1) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi
sebagai berikut:
an am = a n +.m

............................... (2)

(an)m = a n . m

............................... (3)

(a.b)n = an .bn

................................ (4)

(a/b)n = an / bn,dengan b≠0

................................ (5)

(am/an) = am–n,denga m > n dan a ≠ 0

.............................. (6)

Contoh
1. 22 .23 = 4 . 8 = 32 atau 22 23 = 25 = 32
2. (22 )3 = 43 = 64 atau (22 )3 = 26 = 64
3. (2.2)3 = 43 = 64 atau (2.2)3 = 23 .2 3 = 8.8 = 64
4. (4/2)3 = (2)3 = 8 atau (43/23) = 64/8 = 8
5.

(23/22) = (8/4) = 2 atau (23/22) = 2(3 – 2) = 2

Latihan
Tentukan :
38

1.

32 .63

2. (92 )3

4. (8/5)3

6. (3.4)4

5. (43/32)

7. (-34/ 43)

III. 2.1.2. Pangkat bulat dan negatip
Dari bentuk perkalian :
a. 2 x 2 x 2 = 8
b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096
Dikembangkan menjadi bentuk pangkat negatip sebagai berikut :
a. 2-1 x 2-1 x 2-1 = ½ x ½ x ½ = 1/(23)= 1/8
b. 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 = 1/3x1/3x1/3x1/3x1/3 = 1/(35) = 1/243
c. 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 = 1/4x1/4x1/4x1/4x1/4x1/4=1/(46) =1/4096
Atau kalau menggunakan persamaan (2), maka dapat dituliskan sebagai:
a. 2-1 x 2-1 x 2-1 = 2 (-1-1-1) = 2 -3 = 1/8
b. 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 = 3 -5 = 1/243
c.4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 = 4- 6 =1/4096
Berdasarkan dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa:
1/(23) = 2 -3
1/(35) = 3 -5
1/(46) = 4- 6
Bila dinyatakan secara umum,maka bentuk pangkat bulat dan negatip dapat dituliskan
sebagai:
(1/an ) = a – n , dengan a ≠ 0
Latihan
Tentukan harga:
39

…..………………………(7)

1. 1/( 34)

4. 5(-3)

2. 1/( -34)

5. -34/ (4 -3)

3. (-5) -5

6. (3.4)-5

Berdasarkan persamaan (7) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi
sebagai berikut:
a-n .a-m = a - (n +.m)

............................... (8)

a-n .a m = a (- n +.m)

................................ (9)

an a-m = a (n -.m)

................................ (10)

(an) -m = a[(n)(- m)]

................................. (11)

(a-n) -m = a[(-n)(- m)]
(a-n) m = a[(-n)( m)]

................................. (12)
............................... .. (13)

(a.b)-n = a-n .b-n

................................. (14)

(a/b) -n = a-n / b-n,dengan b ≠ 0

.............................. (15)

(a-m/an) = a(-m–n),dengan a ≠ 0

............................. (16)

(a-m/a-n) = a(-m + n),dengan a ≠ 0

............................. (17)

Contoh
1. 2-2 2-3 = 1/4 .1/ 8 =1/ 32 atau 2-2 2-3 = 2 -5 = 1/32
2. (22 ) -3 = 4-3 = 1/64 atau (22 )-3 = 2 - 6 = 1/64
3. (2.2)-3 = 4-3 = 1/64 atau (2.2) -3 = (2-3 )(2 -3 ) = (1/8)(1/8) = 1/64
4. (4/2) -3 = (2) -3 = 1/8 atau (4 -3/2 -3) = (1/64) / (1/8) = 8/64 =1/8
5. (2 -3/2 -2) = (1/8) / (1/4) = 4/8 =1/2 atau (2 -3/2 -2) = 2(-3 + 2) = 2-1=1/2
III. 2.2. Pangkat pecah
III. 2.2.1. Pangkat pecah positip
Dari bentuk perkalian :
a. 4 x 4 x 4 = 64
b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561

40

c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576
Dikembangkan menjadi bentuk pangkat pecahan sebagai berikut:
a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = √4 x √4 x √4 = 2 x 2 x 2= 8
b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = √9 x √9 x √9 x √9 = 3 x 3 x 3 x3 =81
c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = √16 x √16 x √16 x √16 x √16 =
4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
Atau dapat dituliskan pula sebagai:
a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4(1/ 2+1/2+1/2) = 4 3/ 2 =√43 = √64 = 8
b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = 9(1/ 2+1/2+1/2 +1/2) = 92 = 81
c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = 16(1/ 2+1/2+1/2+1/2+1/2) =165/2 =√165 = 1024
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa:
a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4 3/ 2 = √43 = 8
b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = 94/2 = 92 =81
c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = 165/2 = √165 = 1024
Dapat disimpulkan bahwa :

Latihan
Tentukan harga dari
1. 41/ 2 x 9 1/4 x 31/ 3
2. 4 2 x 9 1/2 x 62/ 3
3. 8 2/3 x 10 1/2 x 52/ 3
4. 9 2 x 6 1/2 x 162/ 3
III. 2.2.2. Pangkat pecah negatip
Dari bentuk perkalian :
41

a. 4 x 4 x 4 = 64
b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561
c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576
Dikembangkan menjadi bentuk:
a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 = 1/41/ 2 x 1/ 4 -1/ 2 x 1/4 -1/ 2 =1/√4 x 1/√4 x 1/√4 =
1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 1/91/2 x 1/91/2 x 1/91/2 x 1/91/2 =
1/√9 x 1/√9 x 1/√9 x 1/√9 = 1/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/81
c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 =
1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 =
1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 =
1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/1024
Atau dapat dituliskan pula sebagai:
a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 = 4(-1/ 2-1/2-1/2) = 4 -3/ 2 =1/√43 = 1/√64 = 1/8
b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 9 (-1/ 2-1/2-1/2 -1/2) = 1/92 = 1/81
c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 = 16 (-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2) =16-5/2 =1/√165 = 1/1024
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa:
a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4 -3/ 2 =1/√43 = 1/√64 =1/84 3/ 2 = 1/√43 =1/ 8
b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 9 (-1/ 2-1/2-1/2 -1/2) = 1/92 = 1/81
c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 = 16 (-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2) =16-5/2 = 1/165/2
= 1/√165 = 1/ 1024
Dapat disimpulkan bahwa :

42

Latihan
Tentukana harga dari:
1. 4-1/ 2 x 9 -1/4 x 3-1/ 3
2. 4 - 2 x 9 1/2 x 6 -2/ 3
3. 8 - 2/3 x 10 1/2 x 5 -2/ 3
III. 2.3. Pangkat nol
III. 2.3.1. Pangkat nol positip
Dari bentuk perkalian :
a. 4 x 4 x 4 = 64
b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561
c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576
Dikembangkan menjadi bentuk:
a. 4 0 x 4 0 x 4 0 = 1 x 1 x 1 =1
b. 9 0 x 9 0 x 9 0 x 9 0 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1
c. 16 0 x 16 0 x 16 0 x 16 0 x 16 0 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
III. 2.3.2. Pangkat nol negatip
Dari bentuk perkalian :
a. 4 x 4 x 4 = 64
b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561
c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576
Dikembangkan menjadi bentuk:
a. 4 - 0 x 4 - 0 x 4 - 0 = 1/40 x 1/40 x 1/40 =1/1 x 1/1 x 1/1 =1
b. 9 - 0 x 9 - 0 x 9 - 0 x 9 - 0 = 1/90 x 1/90 x 1/90 x 1/90 =1/1 x 1/1 x 1/1x1/1 =1
43

c. 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 = 1/160 x 1/160 x 1/160 x 1/160 x 1/16
=1x1x1x1x1 =1
Kesimpulan:
a 0 = a – 0 = 1 ..................................................................................(22)

III. 2.4. Pangkat tak terhingga (tak tentu )
III. 2.4.1. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) positip ( + ∞ )
Harga + ∞ berarti harga tersebut sangat besar sekali dan positip.
Dari bentuk perkalian :
a. 2+∞ = 2 x 2 x 2 x ..... x 2 = besar sekali = ∞
b. 9 +∞ x 9 +∞ = ∞ x ∞ = ∞
Tetapi untuk 1+∞ = 1x1x1x ….x1= 1
Dapat disimpulkan bahwa :
a∞ = ∞, dengan a ≠ 0 dan a >1 ………………………………………(23)
Jika -1< a < 1 dan a ≠ 0, maka :
a∞ = kecil atau kecil sekali, sehingga a∞ = 0,00000…….≈ 0 …………(24)
Jika a < -1, maka :
│a∞│= besar atau besar sekali, sehingga a∞ ≈ ∞

…………………(25)

III. 2.4.2. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) negatip ( - ∞ )
Harga - ∞ berarti harga tersebut besar sekali dan negatip.
Dari bentuk perkalian :
a. 2 - ∞ = 1/2∞ = 1/2 x 1/2 x ..... x 1/2 = 0,0000000..... = kecil sekali ≈0
b. 2 -∞ x 2 - ∞ = 0 x 0 = 0
Tetapi untuk 1- ∞ = 1x1x1x ….x1= 1
Dapat disimpulkan bahwa :
44

a-∞ = 0, dengan a ≠ 1

……………………………………(26)

Jika -1< a < 1, maka :
│ a- ∞│= kecil atau kecil sekali, sehingga boleh didekati ≈ 0

…………(27)

Contoh soal komprehensip:
1. Tentukan harga dari: 3-3 x 1/ 8-3 x 92/3
Jawab:
2. Tentukan harga dari : 4-1/3 x 1/ 8-3/2 x 9-3/4
Jawab:
0.19245 = 6,92
3. Tentukan harga dari: 8-1/3 x 1/6 -3/2 x 5 -2/3
Jawab:
0.37 x 108 x0,34 = 13,59
4. Tentukan harga dari : 4- ∞ x 1/ 8- ∞ x 9-3/4
Jawab:
4- ∞ x 1/ 8 - ∞ x 9-3/4 = 1/4∞ x 8 ∞ x 1/ 93/4
= 0 x ∞ x 1/ 93/4 = 0
5. Tentukan harga dari : 1- ∞ x 1/ 8- ∞ x 9-3/4
Jawab:
1- ∞ x 1/ 8 - ∞ x 9-3/4 = 1/ 1 ∞ x x 8 ∞ x 1/ 93/4 = 1 x ∞ x 9-3/4 = ∞

Tugas
Tentukan harga dari :
1. 8-1/3 x 1/ 2-3/2 x 100 -5/4
2. 8-1/3 x 1/6 -3/2 x 5 -2/3
3. 3- ∞ x 8 ∞ x 9-3/4
4.

6 ∞ x 1/ 8 - ∞ x 4-3/4
45

5. 16 1/3 x 1/(4 -3/2 ) x 9 -2/3
6. 16 1/3 x 1/4 - 0 x 9 0
7. 3- 0 x 8 ∞ x 9-3/4
8. (2 -3/2 -2) x (2.2)-3x (4/2) -3

Kunci jawaban
1. 0.004472
2. 2.513141
3. 0
4. ∞
5. 4.659095812
6. 16 1/3
7. ∞
8. 0.000977
Daftar Pustaka:
…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik
Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29

46

BAB IV. AKAR
IV.1.

Pendahuluan
Akar merupakan pernyataan lain dari pangkat dalam bentuk pecahan baik positip
atau negatip dari suatu bilangan, dimana bilangan tersebut harus berharga positip dan
tidak boleh berharga nol. Bila bilangan tersebut berharga nol, maka hasil pengakaran
adalah nol juga. Sedangkan kalau bilangan tersebut berharga negatip, maka akan
dihasilkan bilangan khayal atau imajiner yang membutuhkan pembahasan khusus atau
tersendiri. Oleh karena itu pada bagian pembahasan akar ini hanya akan dibatasi dulu
pada hasil yang nyata atau riil saja. Dengan demikian sebenarnya hasil perhitungan
menggunakan

pangkat pecahan dan akar bisa saling bertukar tempat, karena hasil

perhitungan baik dengan menggunakan bentuk akar atau bentuk pangkat pecahan dari
suatau bilangan akan menghsilkan suatu harga yang sama saja.
IV.2.

Pernyataan bentuk akar
Secara umum bentuk akar dapat dinyatakan sebagai:
............................................................................ (1)
dengan:
n = indeks atau ordo dan berharga positip dan untuk n=2 biasanya tidak pernah
dituliskan
a= bilangan yang diakar dan berharga positip
Hubungan antara akar dengan bentuk pangkat pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut
=

................................................................................(2)

Contoh:
1. Tentukan harga dari:
47

Jawab :
=3
Dengan perhitungan secara manual menggunakan alat hitung didapat bahwa 91/2 = 3
Oleh karena itu
= 91/2 = 3
2. Tentukan harga dari:
Jawab:
= 2.666667 (dihitung dengan kalkulator)
Dengan menggunakan alat hitung (komputer) didapat bahwa:

81/2 = 2.666667
Oleh karena itu
IV.3.

= 81/2 = 2.666667

Sifat - sifat akar
Beberapa sifat akar antara lain:

a.
b.

c.
d.

=

e.

=

Contoh:

1. Tentukan harga dari :
Jawab:
= 43/3= 41 = 4

48

3
= ( 1.587401) = 4

Bila dihitung dengan kalkulator harga dari :
3/3

Dengan demikian :

1

3

= 4 = 4 = (1.587401) = 4

2. Tentukan harga dari :
Jawab:

(1.44225)( 1.587401) = 2.289429
Atau dengan cara lain :

3. Tentukan harga dari :
Jawab:Dengan menggunakan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:

0.829827
4. Tentukan harga dari :
Jawab

Atau dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:

5. Tentukan harga dari :
Jawab:

Dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:

49

6. Tentukan harga dari :

1,090508
Dengan cara lain dapat pula diselesaikan sebagai berikut:
1,090508
Latihan
Tentukan harga dari:
a.

b.
c.
d.
e.
IV.4.

Akar dari bilangan negatip
Untuk menyelesaikan akar dari suatu bilangan negatip bisa digunakan sifat dari akar
seperti yang ditunjukkan dalam bentuk
Contoh

Catatan:
Bilangan khayal atau imajiner sangat bermanfaat pada pemakaian bilangan kompleks dan
akan dibahas pada bagian tersendiri. Perlu dikatahui sebagai bahan pengantar bahwa
bilangan kompleks terdiri atas bilangan nyata yang digabungkan dengan bilangan khayal
atau imajiner dan biasanya dituliskan dalam notasi Z dan merupakan bentuk dari suatu
vektor. Bilangan kompleks dalam bidang teknik elektro banyak dipakai sebagai alat bantu

50

pada perhitungan rangkaian listrik arus bolak-balik (AC). Contoh pernytaan bilanag
kompleks adalah Z = 2 + 3j atau Z = 2 + 3i.
Latihan
Tentukan hasil dari :

dan

Catatan:

Tugas
Tentukan harga dari
+

a.

b.

c.

d.

+

+

Kunci jawaban
a. 1.84917
b. 0.210731
c. 26.62187
d. 9.103802
51

e. 1.84917 + 2.828427 j
Daftar Pustaka:
…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik
Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29

BAB V.

PERSAMAAN NON LINIER

V.1. Pendahuluan
Persamaan nojn linier adalah suatu persamaan polynomial dengan orde dua atau lebih. Jika
orde tersebut berharga dua, maka disebut persaman kuadrat. Sedangkan menurut jenisnya
persamaan non linier dapat dikelompokkan

menjadi persamaan kuadrat, persamaan

eksponensial dan sebaginya.
V.2. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari
persamaan kuadrat adalah
…………………………….(1)
dengan:

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien. Dalam hal ini koefisien kuadrat a adalah
koefisien dari

x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan

atau disebut juga suku bebas.
V.3. Grafik atau kurva persamaan kuadrat
Bentuk atau sketsa dari grafik (kurva) persamaan kuadrat sangat dipengaruhi oleh
perubahan harga koefisien dari a,b dan c. Perubahan dari grafik atau kurva ditunjukkan
seperti pada gambar 1, 2 dan 3.

52

Gambar 1. Kurva dari variasi
a

Gambar 2. Kurva
dari variasi b

Gambar 3. Kurva dari variasi
c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan
kuadrat dalam ruang xy.Harga a menentukan tingkat kecekungan atau kecembungan
parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Nilai a > 0
akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan
parabola terbuka ke bawah. Harga b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau
sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk, seperti terlihat pada gambar 2. Posisi
tepatnya adalah -b/2a. Harga c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk
dengan sumbu y atau saat x = 0, seperti terlihat pada gambar 3. .
V.4. Menghitung harga akar-akar persamaan kuadrat
V.4.1. Menghitung dengan rumus kuadrat
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk akar-akar
persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c dari suatu persamaan
kuadrat. Jika persamaan kuadrat tersebut dinyatakan seperti pada persamaan (1) , yaitu:
.
Maka rumus yang dimaksud adalah:
………………………………………(2)
Persamaan ( 2 ) hanya dapat digunakan untuk