Pendugaan turunan pertama dan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas proses poisson dengan tren linear:

a"

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DAM
KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

EVILIYANIDA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009

PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Turunan
Pertarna dan Kedua dari Komponen Periodii Fungsi Intensitas Suatu Proses
Poisson Periodik dengan Tren Linear adalah karya saya sendiri dengan arahan dari
komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan
tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks

dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Mei 2009
Eviliyanida
G551070481

ABSTRACT
EVILIYANIDA. Estimation of the First and Second Order Derivatives for Periodic
Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of
Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI
A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function.
In this process, the lokal intensity function at s expresses the rate of the process at
time s. If the intensity function increasing linearly with respect to lime then the
suitable model is periodic Poisson process with linear trend. In this thesis, estimation
of the first and second order derivatives for periodic component of intensity function
of a periodic Poisson process in the presence of linear trend using general kernel
function is discussed. First, estimators for the first and second order derivatives are
constructed. Next, consistency of these estimators are proved. Finally, asymtotic
biases, variances, and mean-square errors of these estimators are computed.
Keywords: periodic Poisson process, intensity function, linear trend, asymptotic bias,
asymptotic variance, mean-square error

RINGKASAN
EVILIYANIDA. Pendugaan Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen
Periodik Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodii dengan Tren Linear.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah
proses Poisson periodii. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson
dengan fungsi intensitas bempa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di
samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik,
diperlukanjuga penduga bagi tunman pertama dan kedua dari komponen periodik
fungsi intensitas tersebut.
Pada karya ilmiah ini dirumuskan penduga bagi tumnan pertama dan kedua
dari komponen periodik suatu fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan
@en linear. Pada awalnya ditentukan penduga komponen periodik & dari suatu
fungsi intensitas A dengan h(s)=&(s) + as, pada s E [0, co) dari suatu proses
Poisson periodik (dengan periode z yang diketahui) dengan tren linear yang
diamati pada interval [O,n]. Penduga tipe kernel bagi &(s), dimmuskan sebagai
berikut:

Dari penduga di atas, ditumnkan penduga bagi kL(s) yang dirumuskan sebagai:

..
Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi kz(s) yang
dirumuskan sebagai berikut:

Pada ketiga penduga di atas, k,, disebut"bandwidth. Pengkajian yang dilakukan
mencakup kekonsistenan, kekonvergenan mean square error (MSE) dan sifat sifat statistika dari penduga XcSnsK(s)dan x , n , K ( ~ ) .
Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:
Penduga Xc,n,K(~)mempakan penduga tak bias asimtotik bagi &(s).
(9.
Ragam dari fc,n,K(s)
konvergen menuju nol, jika n+ a.
(ii).
Penduga jh,n,K(~) merupakan penduga konsisten bagi k;(s).
(iii).
Mean square error (MSE) dari X,,,(s) konvergen menuju nol, jika
(iv).
n+ oo.
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan Xc,n,K(~)
adalah

(v).

E X ~ , ~ , ~=
( S A;(S)
I

+ ($+ ~ [ - ~ x z ~ ( ~GA;(S)
) ~ x ) + o(G).

(vi).

Aproksimasi asimtotik bagi ragam j.&,(s)
(2Ac(s)+A;(s)q
Var(x;n,K(s>) =

adalah

+ 2a.s) ($1 + Z a r ( h n + y )
1

(vii).
(viii).
(ix).
(x).
(xi).

Penduga j:,,,(s) merupakan penduga tak bias asimtotik bagi lE(s).
Ragam dari fi;,,(s) konvergen menuju nol, jika n+ m.
Penduga j:,n,K(s)merupakan penduga konsisten bagi dL(s).
Mean square error (MSE) dari fi,n,K(s)
konvergen menuju no], jika
n-+ m.
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan j:,n,K(s) adalah
~fi;,,,(s) = A;@)

(xii).

+

A?)(S)% + o(G).

Aproksimasi asimtotik bagi ragam RiznaK(~)
adalah

0Hak cipta nrilik IPB, tahutz 2009
Hak cipta dilitfdungi Undang-Undang
I . Dilarang mengutip sebagian atau seluruh kurya tulis ini tanpa
mencantumkun atau menyebutkan sumber
a. Pengulipan hanya untuk kepentingan pendidikun, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kriiik atau tinjauan suatu
masaluh
h. Pengulipan tidak merugikon kepentingan yang wajar IPB
2. Dilarang mengumumkun dun memperbanyak sebagian atau seluruh karya
iulis dalam bentuk apapun tanpa izin I PB

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI
KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU
PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

EVILIYANIDA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009

Judul Tesis
Nama
NRP

: Pendugaan Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik
Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren
Linear
:Eviliyanida
: G551070481

Disetujui
n

Komisi Pembimbing

A

IT. ~d?~;;ia:i,

Dr. Ir. I Wayan Maneku, M.Sc.
Ketua

M.S.

Diketahui

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Tanggal Ujian: 27 Mei 2009

Tanggal Lulus:

2 9 MAY 2QQ9

PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya
ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih
pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan januari 2009 ini adalah Pendugaan
Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Suatu
Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan,
bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis
ucapkan kepada Dr. Ir. I wayan Mangku, M.Sc. dan Ir. Retno Budiarti, M.S.
selaku pembimbing serta Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaha, DEA selaku penguji yang
banyak memberikan saran.
Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada DEPAG RI yang
telah memberikan bea siswa. Kemudian kepada teman - teman seangkatan BUD
I1 DEPAG RI khususnya Adrina Lony, Ayu Tsurayya, Deliana Hastuti Caniago,

Dwianti Marthalena, dan Santiarini Hidayah yang telah memberikan semangat
kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika
Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB. Ungkapan terimakasih juga disarnpaikan
kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas doa dan kasih sayangnya.
Semoga Karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2009
Eviliyanida

Penulis dilahirkan di Binjai pada tanggal 2 Pebruari 1978 dari Bapak
Muchtaruddin,SH dan ibu Hamiah,Amd. Penulis mempakan an& ketiga dari lima
bersaudara.
Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Stabat, dan pada tahun 1997
lulus seleksi masuk Universitas Negeri Medan di Medan. Penulis memilih Jurusan
Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 2002.
Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di MTsN Stabat. Pada tahun
2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Progtam Studi
Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan
Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR IS1

PENDAHULUAN ....................................................................................
1.1. Latar Belakang .................................................................................
1.2. Tujuan Penelitian ...............................................................................

1
1
2

11 TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................
2.1. Proses Poisson Periodik .....................................................................
2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ......................

3
3
6

I11 REVIEW PENDUGAAN Ac(s) .............................................................
3.1. Perumusan Penduga bagi h(s) ............................................................
3.2. Sifat - Sifat Statistika dari an dan 1..
~ ( s.......................................
)

8
8
9

I

-.

IV PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA ................ 24
4.1. Penimusan Penduga ,
I
crnc.n.dan Kekonsistenannya............................. 24
4.2. Perumusan Penduga R K ( ~ dan
)
Kekonsistenannya........................ 29

xi.

V SIFAT .
SIFAT STATISTIKA................................................................ 36
5.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam fC..K(s).................... 36
5.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam I.,. K(s).................... 39
V1 KESIMPULAN

........................................................................................

44

...............................................................................

46

DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

..............................................................................................

48

BAB I

PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang

Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari - hari yang
dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah
satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan - aturan peluang dan
mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari - hari
seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat sewis.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari
proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses
Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa
fungsi periodik. Fenomena yang dapat d'iodelkan dengan proses Poisson
periodik di antaranya pada bidang komunikasi, meteorologi, dan seismologi.
Sebagai wntoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat
dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada
proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal u s ) menyatakan laju
kedatangan pelanggan pada waktu s. Tetapi jika laju kedatangan pelanggan
tersebut cenderung meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang
sesuai adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Sehingga fungsi
intensitas pada titik s menjadi ;l(s)= ;lc(s)

+ as dengan a menyatakan kemiringan

tren linear, dan ;lc(s)adalah fungsi periodik.
Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi
intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga penduga bagi turunan
pertama dan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas tersebut. Sehingga
pada karya ilmiah ini ditentukan perumusan penduga bagi turunan pertama dan
turunan kedua dari komponen period'i fungsi intensitas suatu proses Poisson
periodik dengan tren linear.

1.2. Tujuan Penelitian
Pennasalahan yang dikaji pada penelitian ini adalah perumusan penduga
turunan pertama dan penduga turunan kedua dari komponen periodik fungsi
intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Kemudian ditentukan
syarat minimal agar penduga - penduga yang diperoleh adalah konsisten.
Selanjutnya dirumuskan sifat - sifat statistika, yaitu ditentukan pendekatan
asimtotik bagi bias dan mgam dari penduga - penduga yang dikaji.
Dengan demikian, tujuan penelitian ini adalah:
(i) Menentukan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen
periodii fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.
(ii) Menentukan syarat minimal agar penduga - penduga yang diperoleh adalah
konsisten.
(iii)Membulctikan kekonvergenan menuju no1 dari MSE penduga.
(iv)Menentukan pendekatan asimtotik dari bias penduga.
(v) Menentukan pendekatan asimtotik dari ragam penduga.
(vi)Menentukan pendekatan asimtotik dari MSE penduga.

BAB 11

TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Proses Poisson Periodik
Definisi 1(Proses stokastik)
Proses stokastik X={X(t), t~ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh fi ke suatu ruang state S.
(Ross 2007)
Dengan demikian, X(?) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada
himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut keadaan
(state) dari proses pada waktu t. Ruang state S dapat benrpa himpunan bilangan
bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat berupa himpunan bilangan real (atau
himpunan bagiannya).
Definisi 2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T
adalah suatu interval.
(Ross 2007)
Definisi 3 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(r), t s T } disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua to < tl < t2 < ... < t,, peubah acak X(tl)
X(to), X(t2) - X(tl),

... , X(t,) - X(t,-,)

-

adalah bebas.
(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut
memiliki inkremen bebas jika proses bembahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
Definisi 4 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t~ T } disebut memiliki
inkremen stasioner jika X(t+s)
nilai t.

- X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua

(Ross 2007)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut
memilii inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang
dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak
bergantung pada lokasi titik - titik tersebut.
Proses Poisson mempakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik
dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali diiyatakan secara khusus,
kita anggap bahwa hiipunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif,
yaitu [O,m).
Definisi 5 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik {No), t a } disebut proses pencacahan jika N(t)
menyatakan banyaknya kejadian yang telah tejadi sampai waktu t. Proses
pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut:
(i) N(t) 2 0 untuk semua t E[O,m).
(ii) Nilai N(t) adalah integer.
(iii)Jika s < t maka N(s)

O,
jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) N(0)

= 0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii)Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan At. Jadi untuk semua t, s>O,

(Ross 2007)

Dari syarat (iii) diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner.
Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa E(N(~))=At, yang juga menjelaskan
kenapa A disebut laju proses tersebut.
Definisi 7 (Proses Poisson homogen)
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju 1 yang merupakan
konstanta untuk semua waktu t.
(Ross 2007)
Definisi 8 (Proses Poisson tak homogen)
Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju h pada
sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu A(t).
(Ross 2007)

Definisi 9 (Fungsi intensitas)
Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 201, yaitu A(t) disebut fungsi
intensitas proses Poisson tersebut pada t.
(Mangku 200 1)
Definisi 10 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas

A pada titik s E R adalah A(s), yaitu nilai fungsi A di s.
(Cressie 1993)
Definisi 11 (Fungsi intensitas global)
Misalkan N([O,n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas
global 6 dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
E = lim

n-tm

EN([O, nl)

n

jika limit di atas ada.
(Cressie 1993)

Definisi 12 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi h disebut periodik jika 1(s+ks)= 1(s) untuk semua s E R dan k E Z,
dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil T yang memenuhi
persmaan di atas disebut periode dari fungsi h tersebut.
(Browder 1996)
Definisi 13 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
adalah fungsi periodik.
(Mangku 2001)

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas
lokal (yang lebii sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas
global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu,
sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata - rata laju dari suatu proses
Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu
proses Poisson di titik s ialah dengan menaksii rata

- rata banyalcnya kejadian

proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis,
misalkan h, 1 0 dan N[O,tJ menyatakan banyaknya kejadian yang tejadi pada
[O,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh

1

N([s - h,,,s

+ h,]).

Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas
global dari suatu proses Poisson ialah dengan menalcsjr rata

-

rata banyaknya

kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [O,n]. Secara matematis,
1

intensitas global dapat diiampiri dengan ;
N([O, n]).
Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas
(lokal) proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam
pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara
komputasi, telah dirutnuskan mengenai algorihna untuk menduga fungsi intensitas
suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers

dan Zikitis 1999). Pendugaan tipe kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas
telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), sedangkan kekonsistenan penduga
fungsi intensitas dengan tren linear telah dibuktikan pada Mangku et al. (2007).
Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas menggunakan
metode titik terdekat (nearest neighbor estimation) telah dikaji pada Mangku
(1999).
Pada proses Poisson periodik, pendugaan fungsi intensitas dapat dibedakan
berdasarkan periodenya, yaitu: periode diketahui dan periode tidak diketahui.
Untuk periode tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit
dibandingkan jika periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat - sifat
statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dimmuskan
pada Helmers et al. (2005).
Pendugaan fungsi intensitas global dari proses Poisson periodik dengan tren
linear telah di bahas pada Mangku (2005). Sifat - sifat statistika penduga fungsi
intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear untuk kernel seragam telah
dibahas pada Nurrahmi (2005). Pernodelan suatu fenomena dengan proses Poisson
periodik berkembang dengan menyertakan tren linear telah dikaji pada Helmers
dan Mangku (2007). Adapun sifat - sifat statistika orde-2 pendugaan tipe kernel
bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren
linear dan modifikasinya telah dibahas pada Marlina (2008). Sedangkan penduga
non parametrik pada fungsi intensitas proses Poisson periodik ganda telah dikaji
pada Helmers ef al. (2007). Adapun untuk pendugaan tumnan pertama dan kedua
dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dibahas pada Syamsuri
(2007).

BAB III
REVIEW PENDUGAAN &(s)
Pada bab ini direview sifat - sifat statistika penduga tipe kernel bagi
komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear
yang dikaji Mangku et at. (2008) yang digunakan untuk membuktikan
kekonsistenan dan perumusan sifat - sifat statistika penduga turunan pertama dan
turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson
periodik dengan tren linear.

3.1. Perumusan Penduga bagi &(s)
Misalkan N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas ?.
yang diamati pada interval [O,n]dengan fungsi intensitas h(s) (tidak diketahui)
yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik dengan
periode T

> 0 dan komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik

s E [0, m), fungsi intensitas h(s) dapat ditulis sebagai berikut:
h(s) = A&)

+ as

(1)
dengan hc(s) adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) t > 0 dan a
menyatakan kemiringan tren linear. Karena &(s) adalah fungsi periodik maka
untuk setiap s E [O, m) dan k E Z , dengan Z adalah himpunan bilangan bulat,
berlaku
h,(s

+k

~ =) &(s).

(2)

Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari k, sehingga berlaku:

Syarat cukup agars merupakan titik Lebesgue dari h adalah fungsi h kontinu di s.
Karena &(s) adalah fungsi periodik dengan periode r maka untuk menduga
Ac(s) pada s E [0, m) cukup di duga nilai &(s)pada s E [0, t).
Misalkan K:R + [0, m) merupakan fungsi bernilai real, yang disehut
kernel, yang memenuhi sifat - sifat berikut: (Kl) K merupakan fungsi kepekatan
peluang, (K2) K terbatas, dan 6 3 ) K memiliki daerah definisi pada [-1,1]

(Helmers et al. 2003). Misalkan juga h,, merupakan barisan bilangan real positif
yang konvergen ke 0, yaitu

k, 5- 0

(4)

jika n + m.
Penduga bagi a dan &(s) pada titik s E [0, .r) secara berturut - turut dirumuskan
sebagai berikut :

dan
K
:= -

s

k

) N(dx) -2,

h,,

( +s

Ide di balik pembentukan penduga i?, dan lc,n,K(~)dapat dilihat pada Helmers
dan Mangku (2009), Marlina (2008).
3.2. Sifat - Sifat Statistika dari ii,dan 2c,n,K(s)

Lema 1
Misalkan fungsi intensitas A memenuhi (I) dan terintegralkan lokal.
Maka

dan

Var (En):=-+n2

0

-

untuk n+ co, dengan 6 = r-l foT&(s)ds; yang menyatakan fungsi intensitas
global dari komponen periodik dari I Hasil tersebut menyatakan bahwa 8,
merupakan penduga konsisten bagi a. MSE Endiberikan oleh persamaan
MSE (2,): =

untuk n

-t

+

4e2 2a
nZ

m.

Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).

Teorema 1(Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ;ic,wK(~))
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .10
untuk n+ w, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (Kl), (K2),

(K3).
i) Jika k, Inn + w, dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka
E / ~ , ~ , K ( s )= A,(S)

+ o(h,,)

(10)

ii) Jika h$ In n + w, dan A, memiliki turunan kedua berhiigga pada s, maka

iii) Jika

G Inn + w, dan A,

memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka

iv) Jika

G I n n + w, dan A,

memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

untuk n+ w.
Bukti:

Suku pertama pada ruas kanan persamaan (14) dapat ditulis menjadi
x - (S

+ kr)

+

m

)I(x)I(x

x - ( S kr)

t [0,n])dx.

(15)

Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (1) dan (2),
persamaan (15) dapat ditulis

(16)
Dengan menggunakan fakta bahwa

dan selanjutnya menggantikan variabel maka suku pertama pada ruas kanan
persamaan (16) dapat ditulis menjadi

Karena A, mempunyai turunan pertama pada s, dengan menggunakan deret
Taylor, kita peroleh

I,(S + x h ) = A,(s)

AXs)
+ -x&
I!

+o

( ~ ,

jika n

-+ 03.

Maka persarnaan (18) menjadi

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi
pada [-1,1], maka f1K(x)dx = 1. Karena kernel K adalah simetris, maka
1

S-,xK(x)dx = 0.Dari asumsi h,, inn + co maka suku terakhir pada mas kanan
dari persamaan (19) menjadi o ( h ) , jika n + co. Sehingga persamaan (19)
menjadi sama dengan

Ac(s)+ o ( h )
untuk n + w. Sedangkan suku kedua pada mas kanan persamaan (16) dapat
ditulis menjadi sama dengan

1&,1 (t)
m

-!.-.In(:)

K

xI(x

+ s + kr E [0,n])dx

k=l

Dengan menggunakan (1 7) dan fakta bahwa

untuk n-, m, maka mas kanan persamaan (20) dapat ditulis menjadi

+

as
&in

($1(In):(

j"

+ ~ ~ ( 1R1 K)

(e)

dx

jika n-, co.
Karena kernel K adalah simetris, maka fl, x K ( x ) d x = 0, sehingga suku pertama
persamaan (21) menjadi sama dengan nol. Karena K merupakan fungsi kepekatan
peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1],

maka ~ : ~ K ( x ) d=x 1 .

Sehingga persamaan (21) menjadi sama dengan

Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada persamaan (16),
maka persamaan (15) akan sama dengan

Dari asumsi h, inn -, m maka suku terakhir pada dari persamaan (22) menjadi
o ( h ) , jika n -,m. Sehingga persamaan (22) menjadi

untuk n+ w. Kemudian untuk menyelesaikan suku kedua mas kanan dari
persamaan (14), kita gunakan persamaan (7) dari Lema 1 sehingga diperoleh

jika n+ w. Dari asumsi h,,lnn + w maka suku terakhir mas kanan dari
persamaan (23) menjadi o(h,J, jika n + m.
Dengan menggabungkan persamaan (22) dan (23) akan diperoleh persamaan
(lo)..
Untuk membuktikan persamaan (11) kita gunakan argumen berikut. Karena Ac
mempunyai turunan kedua pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7
dalam Lampiran I), yaitu

untuk n-t w. Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+ w,
maka persamaan (1 8) menjadi

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi
pada [-1,1], maka $ : + ~ ( x ) d x= 1. Karena kernel K adalah simetris, maka
1

$-,xK(x)dx = 0. Dari asumsi %Inn

+w

maka suku terakhir pada ruas kanan

dari persamaan (24) menjadi o ( g ) , jika n -t w. Sehingga persamaan (18)
menjadi sama dengan

untuk n+ w. Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada
persamaan (16), maka persamaan (15) sama dengan

untuk n+ w. Dengan mensubstitusikan persamaan (23) dan (25) ke (14) akan
diperoleh persamaan (1 1). a
Untuk membuktikan persamaan (12) kita menggunakan argumen berikut. Karena

A, mempunyai turunan ketiga pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7
dalam Lampiran I), maka diperoleh

jika n+ w.
Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+
(1 8) menjadi

w,

maka persamaan

jika n+ m. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah
definisi pada [-l,l], maka l:f K ( x ) d x = 1. Karena kernel K adalah simetris,
1

1

maka S - , X K ( X ) ~ X= 0 dan $-,x3K(x)dx = 0. Dari asumsi g l n n + m maka
suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (26) menjadi o(h:), jika n + m.
Sehingga persamaan (18) menjadi sama dengan

Jika kita gabungkan hasil suku pertama persamaan dan suku kedua persaman (16),
maka persamaan (15) sama dengan

untuk n+ m. Dengan mensubstitusi persamaan (23) dan persamaan (27) ke
persamaan (14) maka diperoleh persamaan (12).a
Untuk membuktikan persamaan (13) kita gunakan argumen berikut. Karena A,
mempunyai turunan keempat pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7
dalam Lampiran I), kita peroleh
Ac(s

+ xh,,) = Ac(s) +

xh,,

+-&'(s)
2!

XZG

(s)
x 3 g + - LC ( ~ 1 ~ 4 %
3!
4!
(4)

+

+o(G)
jika n+ m.
Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+ m, maka persamaan

(18) menjadi

- m(F)
2 j ' K ( x ) ( I . ( s ) +-xh,,
A%-)
l!
-

-1

+ AZ'(s) ,h,,,+ AZ"(s)
-X
-X

2!

3!

3h,,
3

x3K(x)dx

1 (s)
+ o ( g ) +):4!

lx4 +
K(x)dx

o(@)

jika n+ w.Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah
definisi pada [-1,1], maka

J : ~~ ( x ) d =
x 1. Karena kernel K adalah simetris,

maka f 1 x ~ ( x ) d x= 0 dan J : l x 3 ~ ( x ) d x = 0. Dari asumsi g l n n + w maka
suku terakhii pada ruas kanan dari persamaan (28) menjadi o ( g ) , jika n + w.
Sehingga persamaan (18) menjadi sama dengan

jika kita gabungkan hasil suku pertama persamaan clan suku kedua persaman (16),
maka persamaan (1 5) sama dengan

+o(W

(29)

untuk n+ w. Dengan mensubstitusi persamaan (23) dan persamaan (29) ke
persamaan (14) maka diperoleh persamaan (13).m
Berarti Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 (Aproksirnasi asimtotik bagi ragarn Ac,n,K(s))

Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .10
untuk n+ w, fungsi kernel K memenuhi asumsi ( K l ) , (K2), (K3). J i a h,, ln n +
w, maka

untuk n-t a,asalkan s adalah titik Lebesgue dari A,, dimana y=0,577

... adalah

konstanta Euler.

Bukti:
Kita ingat bahwa

1

m

n

x - (S

+k

~ )

h,,

Untuk memperoleh ragam dari ^hSRK(s)kifa gunakan persamaan berikut
~ a r ( % , , , ( s ) ) = V a r (A)

+ V a r ( B ) - 2Cov(A, B).

Dari asumsi (4), untuk n yang cukup besar, interval [s
dan [s +j r

- h,,,s +j r

f

(31)

+ k r - &,s + k r + h,]

h,,] tidak overlap untuk semua k

f

j . Hal ini

berimplikasi bahwa untuk semua k # j,

dan

saling bebas. Karena ragam pada ruas kanan persamaan (31) dapat dinyatakan
sebagai berikut

x - (S

+ kz)

Suku pertama pada mas kanan persamaan (32) dapat ditulis menjadi:

Dengan menganti variabel dan menggunakan (1) dan (2), persamaan (33) dapat
ditulis menjadi

-

1

( n ) )

c

1

Ac(x

+ s)I(x + s + k~ E [O,n])dx

k=1

(34)

Suku pertama pada mas kanan persamaan (34) adalah sama dengan

Kita perhatikan bahwa

untuk n+

m.

Karena Kernel Kterbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1,1],

dengan menggunakan persamaan (3) dan (36) maka suku pertama pada ruas
kanan persamaan (35) sama dengan o

,untuk n+

kedua pada ruas kanan persamaan (35) menjadi sama dengan

m.

Sedangkan suku

lrr
($))'

-- Ac(s)(n2/6)
h,, (ln

K Z ( ~dx) + o

-hn

((h,in1 n)

untuk n-t ca.
Suku kedua pada persamaan (34) dapat ditulis sebagai berikut

Dengan menggunakan persamaan (36) maka suku pertama pada persamaan (38)
menjadi

untuk n-t

m.

Dengan menggunakan fakta bahwa

Suku kedua pada mas kanan persamaan (38) menjadi

untuk n-i co. Dengan menggabungkan persamaan persamaan (37), (39) dan (41),
maka suku pertama pada persamaan (32) menjadi

+

az

a
h,, (in

Ihn

c))'

K2(x)dx

-hn

1
+ o L,,(lnn)2).

Dengau asumsi (K3), maka

Dengan menggunakan persamaan (8) pada Lema 1, suku kedua pada persamaan
(32) dapat ditulis sebagai berikut

untuk n+

03.

Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada mas kanan

persamaan (43) sama dengan ~ ( & - ' ( l n n ) - ~ ) , untuk n+

m.

Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz suku ketiga dari
persamaan (32) adalah
2Cov(A, B ) 1 2 - r n
(Ac(s) + a s ) ( n 2 / 6 ) + av

untuk n+

m.

-12

Dengan menggabungkan persaman (42), (43) dan (44) kita peroleh

persamaan (30). Jadi Teorema 2 terbukti.

BAB IV
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
4.1. Perurnusan Penduga

;if;,,

dan Kekonsistenannya

Jika fic,n,K(~) adalah penduga bagi Ac(s) maka penduga bagi &(s) dapat
dirumuskan sebagai berikut :

Penduga diatas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h>O yang cukup
kecil maka

Teorema 3 (Kekousistenan dari .&sK(s))
Misalkan hngsi Intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,

'
z,n,K(~)

Inn -t co, dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka
%,n,K(s)
jika n+ co. Dengan kata lain

(46)

adalah penduga konsisten bagi IZL(s).

Untuk membuktikan Teorema 3 diperlukan 2 Lema berikut.

Lema 2 (Ketakbiasan asimtotik bagi

q,n,K(~))

Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal . Jika h,,L 0 ,

h,, ln n + co, untuk n-t

m , fungsi kernel

K adalah simetrik dan memenuhi

asumsi (Kl), (K2), (K3) dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka
E%,~,K (s)

jika n-r co. Dengan kata lain

-+

1; (s)

2c,n,K(~)
adalah penduga tak

n:(s).
Bukti:
Untuk membuktikan (47) akan diperlihatkan bahwa

urn E % , ~ , ~ (=s&(s)
)

n-m

(47)

bias asimtotik bagi

=

1

-

( E ~ ~ , ~+ ,h,
K)(-~E ~ c , ~ , K h
(,
~)).

Ingat kembali (10) yaitu E&,,,(s) = Ac(s)

+ o(h,)

jika n+ w,

Sehingga mengakibatkan:

+
~ f i , , ~-(k s ) = Ac(s - 4 ) + a ( & ) , jika n-, w.

E&,,,(s

+ k,)

= Ac(s + h,) o ( h ) ,jika n-+ m

(50)
(51)

Dengan mensubsitusi (50) dan(51) ke (49) maka

1
~ z c , n , K (=~) (Ac(s + h,)- Ac(s - h,)+ a(&)) .
(52)
2hn
Dengan deret Taylor maka suku pertama dan suku kedua pada (52) menjadi:

AXs)
Ac(s + 4 )= Ac(s) + ~ h , +,a(&)
dan

A:(s)
Ac(s - h)= Ac(s> - -h, + o ( h )
I!
Substitusi (53) dan (54)ke persamaan (52) diperoleh

= AXs) + o ( h )
jika n+ w, maka Lema 1 terbukti..
Lema 3 (Kekonvergenan ragam bagi

z,n,K(~))

Misalkan hngsi intensitas ,
Imemenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K
memenuhi sifat (Kl), (K2), (K3), h,, L O dan @ ln n -+ m, untuk n-t m, maka

v ~ ~ ( $ , ~ , K+(O~ ) )
jika n+

m, asakan s adalah titik Lebesgue bagi

A,.

(56)

Bukti:
var (&,,,,,(s>)

= var p ( s + h i ) - &,n,K(~- h i )
2hn
1
= -(var
( f i ~ , ~ , K+( sh i ) ) + Var (&,TZ,K(~
- hi))
4hi2
- 2Cov ( ~ ~ C , ~ +
I , hi),
K ( SAc,n,K(s - h i ) ) )

(57)

Ingat kembali pernyataan (6)yang mengakibatkan :

dan

-hi) =

m

-C-[K(
kh,
1

1

ln(y) k=1

n

x-(s-&+k~)

0

hi

l o , untuk nilai n yang besar, maka selang [s + k t , s + k~ + 2&] dan
[s + k t - 2&,s + kz] tidak tumpang tindih (tidak overlap).
Sehingga N[s + kz, s + k t + 2 h i ] dan N [s + kr - 2hi, s + kz] adalah bebas.

Dari

Dengan demikian Cov (fi,,,(s

+ h,),fiC,,,,,(s

- h i ) ) = 0, sehmgga persamaan

(57) menjadi
1
var (%,n,n(s)) = -7 ( ~ a (ficZnsK(s
r
+ h i ) ) + Var (&,n.~(s- hi))). (58)
4hn

Kemudian

ingat

kembali

+

pernyafaan

yang

(30)

($1 +

( Ac(s + h i ) + a(s + hi))

mengakibatkan:

a7

1

[-;'(XI

dx

+
"

1
(h(1.n)').

Dengan mensubstitusikan persamaan (59) dan (60) ke (58), maka

Substitusi persamaan (53) dan (54) ke (61) sehingga (58) menjadi

(60)

Maka untuk membuktikan (62) cukup tunjukan
((A~(S)

+ as)($)+ ar(1nn + y)

1

2G (in(:I)=
= o(1)

(63)

jika n+ m.
Karena T adalah konstanta, k, .10 dipenuhi dan

G Inn + m, dan untuk n+

m,

maka didapatkan (56). Sehingga Lema 3 terbukti.
Bukti Teorema 3:
Untuk membuktikan (46), maka akan diperlihatkan untuk setiap e > 0 berlaku

> E)

~ ( l f i ~ , ~ , K ( s-A:(s)(
)

+

(64)

0

jika n-t m.
Ruas kiri (64) dapat dinyatakan sebagai berikut
p(lX;n,K(s> -AXs)l

> E)

= P ( I & , ~ ( -s E) % , ~ ~ ~+
( sE4:n,K(~)
)
- A:(s)I

> E)

(65)

Dengan ketaksamaan segitiga maka persarnaan (65) menjadi

5 p(lfi;,~(s> - ~ f i c , ~ , ~ ( s +
)I

IE&~~K(s) - %(s)I > E)
= P(lfi:,n,~(~)
-E~~',~,~(S)I > E - I E ~ ~ ~ , ~ , K ( s ) - &(s)I)
Berdasarkan (47) yakni ~ f i ~ , ~ , ,-(,s A:(s),
)
jika n+

I EL,~,~(s>
- &(S)I
untuk semua n

(66)

m, maka ada N sehingga

E

55

(67)

> N.

Dengan mensubstitusikan (67) ke ruas kanan (66) maka ruas kanan (66) menjadi

<

(I&,n,K

(s)

-E?C,~,K(S)

1>

Kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev (Lema 8 dalam
Lampiran l), maka peluang diatas

Berdasarkan

(56)

yakni

~ a r ( & , ~ ,+
~ (0s ) jika

maka

n+ w,

jika m m, sehingga (64) terbukti benar. Teorema 3 terbukti.8
Teorerna 4 (Kekonvergenan MSE bagi gswK(s))
Misalkan fungsi intensitas l. memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,

b3Inn + w,

untuk n+ m, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi

asumsi (Kl), (K2), (K3) dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka

jika n+ w.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran I), teorema di atas dapat dibuktikan
dengan menggunakan Lema 2 tentang ketakbiasan asimtotik bagi

g,n,K(~)
dan

Lema 3 tentang kekonvergenan ragam bagi TCpn,,(s).
Karena E~,.',,,(S) + A:@), yang berarti jika n-t w,
maka

IE%,~,~(S)

- A:(s)I + 0 , dan karena ~ a r ( % , , , ~ ( +
s ) 0,
) akibatnya

+

M S E ( P , , ~ , ~ ( S )=
) ( ~ i a s ( & , ~ , ~ ( s~) a
) r) (~% , , , , ~ (+
s ) )0, jika n+

w.

Maka

Teorema 4 terbukti..
4.2. Perurnusan Penduga KnsK(s)
dan Kekonsistenannya

Jika ficSnvK(s)
adalah penduga bagi &(s) maka penduga bagi /IF(s) dapat
dirumuskan sebagai berikut :

(Helmers dan Mangku 2009).

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h O yang cukup
kecil maka

Teorema 5 (Kekonsistenan dari C n Z K ( s ) )
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi ( 1 ) dan terintegralkan lokal. Jika h,, I 0 ,
l n n + w, untuk n+

m,

fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi

asurnsi (Kl), (K?), K3) serta A, memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
P

2&,K (s) A:(s)

(70)

+

jika n+ w. Dengan kata lain e n , , ( s ) adalah penduga konsisten bagi A:(s).
Untuk membuktiian Teorema 5 diperlukan 2 Lema berikut
Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik bagi Cn,,(s))
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi ( 1 ) dan terintegralkan lokal. Jika h,,I 0,
G l n n + m, untuk n 4 w , fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi

(Kl),(K?), (K3) dan 1, memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
4

Z(s)

(71)

jika n+ w. Dengan kata lain Zpn,,(s) adalah penduga tak bias asimtotik
bagi A:@).
Bukfk
Untuk membuktikan (71) akan diperlihatkan bahwa
lim E X ; , ~ , ~ ( =
S )A:(s).

n+m

c,n.~(s
+ 2h,,)+ fiC,n,K(s - 2 h l ) - 2fic,n,K(s)
4hZ

Ingat kembali ( 1 1 ) yaitu

o(G) jika n+

EX,,,(S)

= A,(s)

w, sehingga mengakibatkan

1
+ ;A:(s)h,,'
~2~x z ~ ( x ) d +x

+o(%)

jika n+ w,

+o(h3

(75)

jika n+ w.
Dengan deret Taylor maka suku pertarna dan kedua pada (74) menjadi

1; (s>
+ 2 4 ) = Ac(s) + -A;I !2 4 + -4%
+ o(hi)
2!
A:(S + 2 4 ) = A:(s) + o(1).

&(s

(76)

(77)
Dengan mensubstitusikan (76) dan (77) ke (74) maka persamaan (74) menjadi

+o(%)

(78)

jika n+ w. Dengan deret Taylor maka suku pertama d m kedua pada (75)menjadi

A;(s

- 2h,)

= A; ( s )

+ o (1)

(80)

Dengan mensubstitusikan (79) dan (80) ke (75) maka persamaan (75) menjadi

jika n+

m. Dengan mensubstitusikan (78) dan (81) ke (73),akibatnya diperoleh

E%,,(S) = A;(s)

+ o(l),

jika n+ w. Sehingga Lema 4 terbukti.a
Lema 5 (Kekonvergenan ragam bagi %,,,K(S))

Misalkan fingsi intensitas A memenuhi (1) d m terintegralkan lokal. Jika Jika
kernel K memenuhi sifat ( K l ) , (K2), (K3), h, 1 0, dan h; Inn

+ w,

untuk n+

a,

maka
var(%n,~(s))

+

c~

(82)

jika n+

m, asalkan s adalah titik

Lebesgue bagi A,.

Bukti:

Var ( g n , K ( s ) )dapat ditentukan sebagai berikut,
Var ( x n p K ( s ) =
) Var Ac,n,~(s+ 2h,,)

+ jc,n,K(s - 2hn) - ~Ac,n,K(s)
4hnz

Ingat kembali pernyataan (6) yang mengakibatkan :

Ac,n,K(s + zh,,) =

T z -1 (
1

m

1

n

K

&I

ln(?)k=1

0

x - (S

+ 2h,, + k

~ )

hn

(84)
dan
1

~c,n.K(s-2hn)
ln

m

(?)k=1

n

1
x - (S- 2h,
kh, / K (
ha

+ kz)

) N (d*)

0

(85)

+

Dari h,, I 0, untuk nilai n yang besar, maka seiang [s k z - h,,,s

+ k z + h,,]

+ k r - 3h,,, s + k r - h,,] tidak tumpang
tindih (tidak overlap). Sehingga N [ s + k r - h,,,s + k r + h,,],
dan [s + k r + h,,,s + k r + 3hn] dan [s

+ + h , s + k5 + 3 h 1 , dan N[s + k5 - 3 h , s + k-r - h] adalah bebas.
- 2 h ) ) = 0,
Dengan demikian Cow (&,,,(s + ~h),fl~,~,,(s
N[s

cow (AC,,K(s

+ 2h),Ic,n,K(s))

dan Cow (&,n,~(s- 2h),A,,,(s))
1

V~~(Z,~,K(S))
=1 6 b 4 (var (

= 0,

= 0, sehiigga

+

+

~ ~ , ~
2 h~
) ) ~ Var
( s(Ac,n,K(~ - 2 b ) )

+war (Ac,n,K(s))).

(86)

Kemudian ingat kembali pernyataan (30) yang mengakibatkan

~ a(fican,K(s
r

+2h))

=

aT

h,, ln (f)

11~2(x)h
-1

jika n+ w, dan

+

s

-2

+a s -2
h (ln

+O

(37

($1 +

a

1

l-;2(x)

1
(h(1nn)Z)

jika n+ w. Dengan mensubstitusikan (87), (88) dan (30) ke (86), diperoleh

dx

(88)

jika n-1 m.
Karena T adalah konstanta, h,, 10 dipenuhi dan

inn -1m, dan untuk n+ co,

maka didapatkan (82). Sehingga Lema 5 terbukti..
Bukti Teorema 5:
Untuk m e m b u k t i i (70), maka akan diperlihatkan untuk setiap E
~(l%n,,(s)

> E)

-&('s)l

+

> 0 berlaku

0

(90)

jika n-1 m.
Ruas kiri (90) dapat dinyatakan sebagai berikut

€1

p(lflLn,K(s) -~;(s>l>
= P(~%,,(s)

-Efi&,,(s)

+ Egn,,(s) - /2:'(s)l > E).

Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan (91) menjadi

5 ~ ( l % ~ , K ( s ) -E%~,K(S)I

+

- A;(s)~> E)

= P(~%~,K(S)
-E%~,~(s)I> E - @gn,K(s)- 4'(s)l)

(92)

Berdasarkan (71) yakni E ~ , , , ( s )+ A;(s), jika n-1 m,maka ada N sehingga

untuk semua n > N.
Dengan mensubstitusikan (93) ke ruas kanan (92) maka ruas kanan (92) menjadi

kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev (Lema 8 dalam
Lampiran I), maka peluang di atas

Berdasarkan

(82)

yakni

~ a r ( , ~ , ~+(0s ) jika

jika n-1 w, sehingga (90) terbukti benar. Teorema 5 terbukti..

n-1 m,

maka

Teorema 6 (Kekonvergenan MSE bagi

qnZr(~))

Misalkan fungsi intensitas I, memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h, I 0,
ln n -t m, untuk n-) m, fungsi kernel Kadalah sirnetrik dan memenuhi asumsi

(Kl), (K2), (K3) dan ,Ic memilii turunan kedua berhingga pada s, maka
MsE (2:,n,K(s))-) O

(94)

jika n+ m.
Bukti:
Bedasarkan Definisi 34 ( l i a t Lampiran I), teorema di atas dapat dibuktikan
dengan menggunakan Lema 4 tentang ketakbiasan asimtotik bagi q n P K ( s )dan
Lema 5 tentang kekonvergenan ragam bagi z , n , K ( s ) .
Karena E ~ ~ , , -(1s ilF(s)
)
,yang berarti jika n - +m,
maka \E%,~,,(S) - ,I~(s)l+ 0 , dan karena ~ar(?:,,,,,(s))+ 0 ,akibatnya

+

MSE ( G ~ , , ( S ) ) = ( B ~ Q S ( $ ~ ~ ( S ) ) ) ~v a ~ ( x , , , ( s ) )-+ 0, jika n-1 m. aka

Teorema 6 terbukti.~

BAB V
SIFAT - SIFAT STATISTIKA
5.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam Z s n K ( s )
Teorema 7 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan q G K ( s ) )

Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0
dan

Inn + w untuk n-+ w, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi

asumsi (Kl), (KZ), (K3), serta A, memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka
E%,,,(s) = A:(s)

+

Ay(s)g

+o ( g )

(95)

jika n+ w.
Bukti:

Untuk membuktikan persamaan (95),dari persaman (12) dan (49) diperoleh

Dengan deret Taylor diperoleh
n:(s)
n;(s)
ny(s)
a , ( s + h ) = & ( ~ ) + ~ h , + 2!- ~ + - ~ +3!o ( ~ ) ,

(96)

Al.(s)
A;(s)
a,(s-b) = ~ ~ ( ~ ) - - h + - g - I!
2!

(97)

A:'(s)
3!

G + o(G)*

+ h,,) = A;(s) + ~ : ' ( s ) h ,+ o(h,),
A;(S - h,,) = A: (s) - A? (s)hn + o (h,,).
A;(S

Dengan mensubstitusikan (96)- (99),maka dihasilkan

(98)
(99)

Teorema 8 (Aprohimasi asimtotik untuk ragam %,&))
Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika hn .1 0,
% I n n -+

m,

untuk n-,

m,

fungsi kernel K memenuhi asurnsi (Kl), (K2), (K3)

serta ,Ic memiliki tunman ketiga berhingga pada s, maka

jika n-,

m.

Bukti:
Dari persamaan (61) dan dengan mensubstitusikan (96) dan (97) sehingga
diperoleh,

Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran 1) serta menggunakan Teorema 7 dan 8,
maka diperoleh Mean-Squared-Error WSE) dari /T:,n,K(s)
yang diberikan pada
Corollary dibawah ini.

Corollary 1(Aproksimasi asimtotik untuk MSE Rc,%K(~))
Misalkan kngsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,

G ln n + w, untuk n-,

m, fungsi kernel Kadalah

simetrik dan memenuhi asumsi

(Kl), (K2), (K3) serta A, memilii turunan ketiga berhingga pada s, maka

jika n-1 w.
Untuk memperoleh nilai k, optimum, maka dilakukan minirnisasi
persamaan (101) dengan mencari turunan pettama persamaan (101) terhadap h,,,
kemudian dievaluasi saat turunan pertamanya tersebut nol.

Nilai h,, yang memenuhi persamaan (102) merupakan
aproksimasi untuk

fi;,,(s)

h,, optimum dalam

dengan tingkat penurunan nilai MSE%,~,,(S) yang

memiliki derajat ~ ( ( l n n ) - ~ /jika
~ ) n+

m.

5.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam %,,(s)

Teorema 9 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan &',,(s))

Misalkan fungsi intensitas ?, memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika k, .l0
dan

l n n + m, untuk n+ co, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi

asumsi (Kl), (K2), (K3) serta A, memiliki turunan keempat berhingga pada s,
maka

jika n+ co.
Bukti:

Dari persamaan (73) dan persamaan (13) diperoleh
1
E&,,(s) = -(A,(s 2 b ) Ic(s - 2k,) - 2Ac(s)
4h2

+

1
+z(IF)(s

+

+ Z k , ) + A$)(s - Zh,,) - 2A:')(s)) G

1
1

-1 x4K(x)dx

)

+ o(G) .
(104)

Dengan deret Taylor diperoleh

+0(16h;t)

(106)

+ 2 h ) = n:(s) + 2n:'((sk + 4 n P ) ( ~ ) g+ o ( 4 g )
a:(~ - 2&) = A;(s) - 2 n y ( ~ ) 4+ 4 n P ) ( ~ ) g+ 0 ( 4 g )
Q)(s + &) = p ( s ) + o(1)
n, (S - = A ~ ) ( S +) o(I).
n:(s

(107)
(108)
(109

(4)

( 110)

Dengan mensubstitusikan (105) - (1 lo), ke (104) maka dihasilkan

Teorema 10 (Aproksimasi asimtotik untuk ragam q n x ( s ) )
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h, .1 0 ,

g l n n -,w, untuk n-, w, fungsi kernel K memenuhi asumsi (Kl),

(KZ),(K3)

serta 1,memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

Var(xn,K(~)) =

a m
4~ (in

(F))

2

+

a?)(s)
12k

(b(F)))i

Bukti:
Dari persamaan (89) dan dengan mensubstitusikan (105) - (106) diperoleh,

n:)(s)

+

4

(In(

)

(;)l

l2h (In

Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran 1) serta menggunakan Teorema 9 dan 10,
maka akan diperoleh Mean Squared Error (MSE) dari 21,n,K(~)yang diberikan
pada Corollary di bawah ini.
Corollary 2 (Aproksimasi asimtotik untuk MSE 21n,,(s))
Misalkan fungsi intensitas I. memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .1 0 ,

hz I n n + oo, untuk n-i oo, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
asumsi (Kl), (K2), (K3) serta 2, memiliki turunan keempat berhingga pada s,
maka

+

($)+ 3aT(1nn y!)02(x)d
8G @n(
;I)
8G (In (F))
'a

2)

+

jika n-1 00.
Untuk memperoleh nilai h, optimum, maka dilakukan minimisasi
persamaan ( 1 12) dengan mencari tumnan pertama persamaan (1 12) terhadap h,,,
kemudian dievaluasi saat turunan pertamanya tersebut nol.

~A:(s)

ar)(s)
2

4

@) )

+
12% (In

(F))

2

+
8~

(In (:)

+ ilor(1nn + y ) )

1

[:'(x)dr

(113)
Nilai k, yang memenuhi persamaan (113) merupakan h, optimum dalam

aproksimasi untuk %,,(s)

dengan tingkat penurunan nilai M S E ~ , , ~ ( yang
S)

memiliki derajat ~ ( ( l n n ) - ~ jika
/ ' ) n+ a.

DAFTAR PUSTAKA
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York: Springer.
Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Ed ke-1. California: Wardswort
& Brooks/Cole, Pasific Grove.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York:
Wiley.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort &
Brooks.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford: University Press.
Helmers R. 1995. On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea.

CWINote BS-N9501.
Helmers R, Zikitis R. 1999. On estimation of Poisson process intensity function.

Annals Institute of Statistical Mathernutics 51: 265-280.
Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson process. Journal of M~iltivariateAnalysis 84: 1939.
Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2005. Statistical properties of kernel type
estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of

Multivariate Analysis 92: 1-23.
Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2007. A non-parametric estimator for the
doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology 4: 481-892.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. To appear in Annals Institute of

Statistical Mathentatics, 61.
Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theoiy: with Contenporary

Application. New York: W. H. Freeman and Company.
Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Matherriatical Statistics.
Ed Ke-6. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku IW. 1999. Nearest neighbor estimation of the intensity of a cyclic
Poisson process. CWI Report PNA-R9914.

Mangku IW. 2001. Estimating The Intensiiy of a Cyclic Poisson Process [Ph.D
tesis]. Amsterdam: University of Amsterdam.
Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and its

Application 4(2): 1-12.
Mangku IW, Siswadi, Budiarti R. 2007. Consistency of a kernel type estimator of
the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submitted for
publication.
Mangku IW, Siswadi, Budiarti R. 2008. Statistical properties of a kernel type
estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend.
Submitted for publication.
Marlina NM. 2008. Sifat - sifat statistika orde-2 penduga tipe kernel bagi
komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan trend
linear dan modifikasinya [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor.
Nurrahmi. 2005. Sifat - sifat statistika penduga fungsi intensitas proses Poisson
periodik dengan tren linear [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Purcell E.J, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed Ke-5.
Jakarta: Erlangga.
Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models, Ed Ke-9. Burlington:
Elsevier, Inc.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York: John Wiley & Sons.
Syamsuri. 2007. Pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi
intensitas suatu proses Poisson periodik [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana,
Institut Pertanian Bogor.
Taylor HM, Karlin S. 1984. An Introduction to Stochastic Modeling. Florida:
Academic Press, Inc. Orlando.
Wheeden RL, Zygmund A. 1977. Measure and Integral :An Introduction to Real

Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc

BAB VI
KESIMPULGN
Untuk menduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen
periodik suatu fungsi intensitas, pada awalnya ditentukan penduga komponen
periodik kc dari fungsi intensitas A padas E [O,m)

dari suatu proses Poisson

periodik (dengan periode -c yang diketahui) dengan tren linear yang diamati pada
interval [O,n].Penduga tipe kernel bagi &(s), dirumuskan sebagai berikut:

Dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi hk(s) yang dirumuskan sebagai:

Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi kg(s) yang
dirumuskan sebagai berikut:

Pada ketiga penduga di atas, h,, disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan
mencakup kekonsistenan, kekonvergenan mean square error (MSE) dan sifat sifat statistika dari %,,(s) dan ZsnnK(s).
Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:
6).

Penduga %,,,(s) merupakan penduga tak bias asimtotik bagi lk(s).

(ii).

Ragam dari ?c,n,K(~) konvergen menuju nol, jika n-, co.

(iii).

Penduga /i:,,(s)

(iv).

Mean square error (MSE) dari /il;n,K(s)
konvergen menuju nol, jika

merupakan penduga konsisten bagi k;(s).

n+ m.

(v).

Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ?c,n,K(~) adalah

(vi).

)
Aproksimasi asimtotik bagi tagam g , n , K ( ~adalah

(vii).

Penduga

(viii).

Cn,,(s)m e ~ p a k a npenduga tak bias asimtotik bagi by(s).
Ragam dari X,,,(s) konvergen menuju nol, jika n-i m.

(ix).

Penduga

(x).

Mean square error (MSE) dari %>,,(s)ko