Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
35
rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas distribusi
posterior pada parameter sebagai keluaran
MCMC. Dimisalkan
, ,
dan .
Berdasarkan Teorema Bayes lihat Koop dkk. 2007, distribusi gabungan untuk model di
atas yaitu
| | |
dimana | adalah fungsi likelihood
dan adalah distribusi prior
pada . Selanjutnya ditetapkan prior
seperti berikut:
Dimana prior a,b tersebut dipilih untuk memenuhi kendala-kendala model. Sekarang
dipunyai distribusi gabungan yaitu
|
∏ {
}
∏
atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
1
Pembangkitan parametera
Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior
untuk a dinyatakan oleh |
∑ ∑
Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi
tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain
Metropolis
–Hastings IC-MH
yang diperkenalkan oleh Tierney 1994 seperti
berikut: Langkah 1
: Menentukan proposal untuk a, yaitu
Langkah 2 : Menghitung rasio
| |
Langkah 3 : Membangkitkan
dari distribusi seragam
.
36
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad
Langkah 4 : Jika
, maka proposal diterima, jika tidak,
maka proposal ditolak. Rata-rata
dan variansi dicari
dengan menggunakan
metode yang
didasarkan pada tingkahlaku distribusi di sekitar modus lihat Albert 2009. Modus
̂ dari
, artinya
̂ ,dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya
diambil ̂ dan
̂ .
Masalahnya adalah
̂ bisa bernilai positif, karena itu diambil
̂ dengan
̂ ̂ .
Pembangkitan parameter b
Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior
untuk b dinyatakan oleh
|
∑ ∑
, yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.
Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada
pembangkitan parameter a.
Pembangkitan nilai parameter
Berdasarkan persamaan 1, log distribusi posterior
untuk dinyatakan oleh
|
∑ yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.
Oleh karena itu, para meter dibangkitkan
menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan
parameter a
, dimana
proposalnya yaitu
Pembangkitan nilai vektor parameter z
Berdasarkan persamaan 1, distribusi posterior
untuk z dinyatakan oleh
|
∏ Dalam kasus ini,
bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma,yaitu
untuk
Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi
posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah
benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu
v
Inisialisasi a, b,dan .
vi
Membangkitkan sampel
z secara
langsung.
vii
Membangkitkan sampel
dengan metode IC-MH.
viii
M embangkitkan sampel a dengan metode
IC-MH.
ix
Membangkitkan sampel
b dengan
metode IC-MH.
x
Menghitung variansi
volatility kuadrat:
.
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
37
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Data Pengamatan
Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro EUR,
Japanese Yen JPY, dan US Dollar USD
terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang
terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu
software
Matlab 2012 a. Lihat Safrudin dkk. 2015 untuk plot runtun waktu untuk returns
dan statistic deskriptif.
3.2 Pengaturan MCMC
Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000
iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitung rata-rata
posterior , simpangan baku, interval Bayes,
numerical standard error
NSE, dan diagnose konvergensi. Di sini, dipilih interval
highest posterior density HPD yang
disajikan oleh Chen dan Shao 1999 sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa
konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time
IACT, lihat Geweke 2005, untuk mengetahui berapa
banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas
seberapa cepat konvergen sisi mulasi. Sementara itu konvergensi rantai Markov
diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke
1992 dan
NSE dihitung
menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke 2005.
Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana
, ,
, dan
. Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan
dan v = 20.
3.3 Estimasi Parameter
Tabel1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi posterior
parameter dalam model ARCH 1, dimana returns error berdistribusi Student-t,
berturut-turutuntuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang
berasosiasi dengan Geweke‟s convergence diagnostic
G-CD mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-
nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC- MH adalah sangat efisien.
Tabel l1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB
dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95.
Parameter A
b v
Mean 0.0547
0.2180 5.1708
SD 0.0030
0.0414 0.5779
LB 0.0495
0.1386 4.0913
UB 0.0598
0.2998 6.3289
IACT 8.1819
5.9936 22.9946
NSE 0.0000
0.0009 0.0233
G-CD –0.0063
0.0686 0.1160
p-value 0.9949
0.9453 0.9076
CPU time detik: 313.795
Tabe l2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadapIDR.
Parameter a
b v
Mean 0.0078
0.3809 3.1140
SD 0.0004
0.0497 0.2386
LB 0.0069
0.2882 2.6469
UB 0.0087
0.4832 3.5717
IACT 1.0000
5.3140 10.0292
NSE 0.0000
0.0011 0.0070
G-CD –0.0059 –0.0003 –0.1576
p-value 0.9953
0.9998 0.8747
CPU time detik: 295.673
Tabe l3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap IDR.
Parameter a
b v
Mean 0.0546
0.1612 10.4858
SD 0.0026
0.0353 1.6553
LB 0.0502
0.0958 7.6162
UB 0.0595
0.2339 13.9917
IACT 12.2060
5.2695 66.3636
NSE 0.0000
0.0007 0.0799
G-CD 0.0045
0.0408 0.3283
p-value 0.9964
0.9674 0.7427
CPU time detik: 285.506
Plot sampel posterior dan histogram
distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar
38
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad
1 dan
Gambar 2.
Plot sampel
mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti
bahwa sampel telah bercampur dengan baik good mixing.
Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada model ARCH 1 untuk returns
kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap IDR dari Januari 2009
sampai Desember 2014.
Gambar 2. Histogram distribusi posterior parameter a, b, dan v pada model ARCH1
untuk returns kurs beli JPY atas, USD tengah, dan EUR bawah terhadap Rupiah
dari Januari 2009 sampai Desember 2014.
Penyimpangan returns
dari asumsi
normalitas dinyatakan oleh . Derajat
kebebasan mengambil nilai dari 4 sampai 7
untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari
7 sampai
14 untuk
EUR, mengindikasikan
bukti kuat
adanya karakteristik distribusi Student-t pada ketiga
data pengamatan. Sementara itu, dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR, estimasi
parameter a danb adalah serupa dengan estimasi dari ARCH 1 yang berdistribusi
normal di Safrudin dkk. 2015. Terkait dengan volatility, rata-rata posterior untuk
variansi volatility kuadrat returns disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa variansi
untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari 0.0550
sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai 0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana rata-
ratanya berturut-turut yaitu 0.0835, 0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi pada
periode September 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk
EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. 2015, pada data JPY menunjukkan
perbedaan periode untuk variansi tertinggi.
Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah
berturut-turut:
Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns
kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai
Desember 2014.
4. KESIMPULAN
Studi ini menyajikan model ARCH 1 dengan returns error berdistribusi Student-t
untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien
dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris
menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga
data tersebut.
5000 10000
0.04 0.06
0.08 a
5000 10000
0.5 b
5000 10000
4 6
8
Q
5000 10000
6 8
10 x 10
-3
5000 10000
0.2 0.4
0.6 5000
10000 2
3 4
5000 10000
0.04 0.06
0.08 5000
10000 0.2
5000 10000
5 10
15 20
