M01629

(1)

(2)

ISSN: 2459-962X

viii

DAFTAR ISI

Halaman Judul ...

i

Dewan Redaksi

... ii

Tim Prosiding

... iii

Tim

Reviewer

...

iv

Keynote Speakers ...

v

Kata Pengantar

... vi

Daftar Isi

... viii

Makalah Utama

Pendidikan Matematika Indonesia di Abad 21

Hardi Suyitno (FMIPA, UNNES) ... 2

Pembelajaran Matematika Abad

Ali Mahmudi (FMIPA, UNY) ... 16

Makalah Pendamping Bidang Matematika

... 29

... 34

Optimasi Penentuan Rute Pengiriman

Cash Cartridge

ATM Menggunakan

Integer Linear Programming

Prapto Tri Supriyo, Muhammad Dinar Mardiana (FMIPA, IPB) ... 40

Implementation Tobit Model for Analyzing Factors Affecting The Number of

Fish Consumption of Household in Yogyakarta

Imam Adiyana (FMIPA, UII) ... 45

Modeling of Household Welfare in The District Klaten With MARS

Case Study SUSENAS 2013

Sunardi (BPS Klaten) ... 53

Estimasi Berbasis MCMC untuk

Return

s

_Volatility

_{di Pasar Valas Indonesia}

Estimasi M

CMC

_Untuk

_{Return Volatility}

d

_{alam Model A}

RCH

d

_engan

_Return

Melalui Model ARCH

Imam M. Safrudin

, dkk.

(FSM, Univ Kristen Satya Wacana)

Error

Berdistribusi

Student

-t

(3)

ISSN: 2459-962X

Membangun Konten Elearning Interaktif Scorm dengan

Open Source

CourseLab

Kuswari Hernawati (FMIPA, UNY) ... 59

Model Sistem Informasi Pendataan Bencana Secara Partisipatif Berbasis

Android

Aris Tjahyanto (FTIf, ITS) ... 67

Analisis Penjadwalan Proyek

Pre Wedding

dan

Wedding Photography

Menggunakan Metode Pert

Maria Anistya Sasongko, dkk (FSM, UKSW) ... 77

Metode Fuzzy Time Series Cheng dan Stevenson & Porter dalam

Peramalan Minyak Bumi

Marginsyah Fitra, Kariyam (FMIPA, UII) ... 84

The Aplication of Goal Programming Method in Optimization of Production

Planning Limited (Ltd.) Company X

Elisabeth Dwi Saputri, Fransisca Cintya Salim (FSM, UKSW) ... 93

Model

Storyboard

Pengembangan

Media

Pembelajaran

Berbasis

Multimedia

Nur Hadi Waryanto (FMIPA, UNY) ... 97

Analisis Manfaat Biaya Teknologi )nformasi Untuk Aplikasi Blood

Bank

Information System

BlooB)S

Sholiq (FTIf, ITS) ... 106

Pemilihan Basis Fungsi Optimal pada Estimator MARS dalam Regresi

Nonparametrik Birespon

Ayub Parlin Ampulembang (FMIPA, ITS) ... 114

K-means

dan

Kernel

K-means

Clustering

Untuk

Pengelompokan

Kabupaten/Kota di Indonesia Berdasarkan Penduduk dengan Faktor-faktor

Risiko Penyebab Penyakit (ipertensi

Siti Maysaroh (BPS) ... 121

Makalah Bidang Pendidikan Matematika

Respon Siswa SMP Terhadap Penggunaan

Lembar Kerja Siswa (LKS)

Matematika Realistik

Online

Riawan Yudi Purwoko (Pascasarjana, UNY) ... 129

Keterampilan Berhitung Matematika Siswa Kelas V SD/MI di Desa

Gadingrejo Kecamatan Kepil Kabupaten Wonosobo

(4)

ISSN: 2459-962X

Penerapan

Interactive

Multimedia

Pada Pembelajaran Matematika Berbasis

Kurikulum 2013

Henry Suryo Bintoro (FKIP, Universitas Muria Kudus) ... 138

Pembelajaran Matematika dengan Metode

Numbered Heads Togrther

(NHT)

Ditinjau dari Kecerdasan Intrapersonal Siswa SD

Henry Suryo Bintoro (FKIP, Universitas Muria Kudus) ... 146

Norma Sosiomatematik dalam Kurikulum 2013

Ilham Rizkianto, Endang Listiyani (FMIPA, UNY) ... 157

Alasan Mencari Bantuan Adaptif dalam Belajar Matematika siswa SMP di

Kabupaten Purworejo

Titi Ayu Wulandari (FKIP, UMP) ... 165

Tingkat Kecemasan Siswa Dalam Menghadapi Mata Pelajaran Matematika

(Analisis Asesmen BK

Suhas Caryono, Endro Widiyatmono (SMA N 8 Purworejo) ... 171

Karakteristik Realistic Mathematics Education RME Pada Perangkat

Pembelajaran Bangun Ruang Sisi Lengkung dengan Konteks Lokal

Purworejo

Puji Nugraheni, Mita Hapsari Jannah (FKIP, UMP) ... 179

Analisis Kompetensi Profesional Mahasiswa Calon Guru Matematika Dalam

Materi Matematika SMP

Bambang Priyo Darminto (FKIP, UMP) ...

Implementasi Eksperimen Eratosthenes Pada Pembelajaran Teorema

Phytagoras dengan Menggunakan Model

Project Based Learning

Fitri Sarnita (Pascasarjana, Universitas Ahmad Dahlan) ... 192

Pengaruh Pendekatan

Problem Solving

dan

Problem Posing

Serta Minat

Terhadap Kemampuan Matematis Siswa SMP

Martalia Ardiyaningrum (PGMI, STIA Alma Alta Yogyakarta) ... 197

Bagaimana

Project Based Learning

Membentuk Sikap Saling Menghargai

Hadi Sutrisno (SMP N 1 Tanahmerah Bangkalan) ... 209

Pengembangan Bahan Ajar Matematika dengan Pendekatan Kontekstual

Untuk Pembelajaran di SMK

Ali Mahmudi, Sugiman, Kuswari, Himmawati Puji Lestari (FKIP, UNY)... 217

Pengembangan

Perangkat

Pembelajaran

Berbasis

Masalah

Dalam

Pembiasaan Siswa Berpikir Tingkat Tinggi

Eko

Pujiati,

Endang

Werdingsih,

Anton

Prayitno

(FKIP,

Universitas

Wisnuwardhana Malang) ... 227

(5)

ISSN: 2459-962X

Imajinasi Matematis Siswa Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika

Teguh Wibowo (Pascasarjana, Universitas Negeri Malang) ... 236

Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe

Numbered Heads Together

(

NHT

) Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Siswa

Yumi Sarassanti, Selviana Junita (Pascasarjana Matematika, UPI) ... 242

Penerapan Model

Connected Mathematic Project (CMP)

Berbantu Media

Puzzle

Pada Peningkatan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematis

Siswa Kelas VIIA SMP Negeri 3 Gombong Tahun Pelajaran 2014/2015

Nila Kurniasih, Atik Kusuma Dewi (FKIP, UMP) ... 247

Modification of Direct Learning to Increase Student Learning Achievement on

Analytical Geometry

Hari Purnomo Susanto (Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Pacitan) ... 252

Pengembangan )nstrumen Penilaian Kinerja Guru Matematika SMP

di

Kabupaten Ende

Juwita Merdja (Pascasarjana, UNY) ... 257

Pengembangan Media Pembelajaran Matematika Dengan MACULTA

Berbasis Pembelajaran Kooperatif

Joko Santoso, Nila Kurniasih, Heru Kurniawan (FKIP, UMP) ... 263

Analisis Karakteristik Perangkat Soal Ujian Akhir Semester Gasal

Matematika Wajib Kelas X di SMA Negeri 9 Yogyakarta

Nuril Huda (Pascasarjana, UNY) ... 290

Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Siswa Smp Ylpi Pekanbaru

Melalui Pendekatan

Visual Thinking

Erdawati Nurdin, Mefa Indriati (FKIP, Universitas Islam Riau) ... 303

Upaya Peningkatan Pemahaman Anak Dalam Mengenal Konsep Bilangan

Matematika Melalui Pendekatan Multisensori di Kelompok Bermain Tanjung

Ria Nanggulan Kulon Progo

Suyoto, Premi Rahayu (FKIP UMP, TK-KB Tanjung Ria Nanggulan) ... 307

Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Mahasiswa

Calon Guru Matematika

Elly Arliani (FMIPA, UNY) ... 320

Peningkatan Disposisi Matematis Melalui Model Pembelajaran Kooperatif Tipe

TSTS Kombinasi SAVI

Erni Puji Astuti, Mazro

ngatul Ma’sumah FK)P, UMP

... 324

Efektivitas Strategi Pembelajaran Inkuiri dan

Discovery

Terhadap

Kemampuan Berpikir Kritis Matematika Siswa

(6)

ISSN: 2459-962X

DEWAN REDAKSI

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

(SENDIKA 2015)

Sekretariat: Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Purworejo

Jalan KH. Ahmad Dahlan No. 3 Purworejo 54111

Email : [email protected]

Website : http://pmat.umpwr.ac.id

Pembina:

Rektor Universitas Muhammadiyah Purworejo

Penasihat Teknis:

Pembantu Rektor I, II, III, IV dan Dekan FKIP

Penanggung Jawab:

Ketua Program Studi Pendidikan Matematika

Panitia Pelaksana/

Organizing Committe

:

Ketua: Dr. H. Bambang Priyo Darmnto, M.Kom.

Sekretariat: Puji Nugraheni, S.Si., M.Pd.

Bendahara: Erni Puji Astuti, M.Pd.

(7)

ISSN: 2459-962X

iii

TIM PROSIDING

Editor

Mita Hapsari Jannah, S.Si., M.Pd., Heru Kurniawan, M.Pd.,

Dita Yuzianah, M.Pd., Isnaneni Mariyam, M.Pd.,

Wharyanti Ika Purwaningsih, M.Pd.

Tim Teknis

Harmaji, Adchatul Fauziah, Tika Ratna Cipta, Ngarifin,

Eti Marlina, Samsul Maarif, Fathurizal Amri,

Restu Tri Budiman

Layout

&

_Cover

Teguh Sugiharto, Rizkhi Saputra

Risqi Amanah

(8)

ISSN: 2459-962X

TIM

_REVIEWER

Dr. H. Bambang Priyo Darminto, M. Kom.

Prof. Dr. H. Sugeng Eko Putro W.

Drs. H. Supriyono, M. Pd.

Drs. Budiyono, M.Si

Drs. Abu Syafik, M.Pd.

Riawan Yudi Purwoko, S.Si., M.Pd.

Nila Kurniasih, M.Si.

Wahju T Saputro, S.Kom., M.Cs.

(9)

ISSN: 2459-962X

KEYNOTE SPEAKERS

Prof. Dr. Hardi Suyitno, M.Pd.

Mujiyem Sapti, S.Pd., M.Si.

Dr. Ali Mahmudi, M.Pd.

Teguh Wibowo, M.Pd.

(10)

ISSN: 2459-962X

iii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum wr. wb.

Mengawali sambutan ini, marilah kita panjatkan puji syukur ke hadirat Allah SWT

karena berkat rahmat dan karunia-Nya kita dapat berkumpul di ruang ini dalam

keadaan sehat wal’afiat. Alhamdulillahirobbil’alamin hari ini Program Studi

Pendidikan Matematika UM Purworejo menyelenggarakan Seminar Nasional

Matematika dan Pendidikan Matematika dengan

tema Peran Matematika dan

Pendidikan Matematika di Abad

.

Program Studi Pendidikan Matematika UMP telah merencanakan bahwa setiap tahun

akan menyelenggarakan Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika.

Untuk kali ini mengundang pemakalah utama, Guru Besar Matematika dari UGM Prof.

Subanar, Ph.D dan pakar pendidikan matematika dari UNY, Dr. Ali Mahmudi

sementara untuk tahun depan kami merencanakan mengundang Prof. Dr. Hardi

Suyitno, M.Pd., Guru Besar Pendidikan Matematika dari UNNES dan pakar matematika

dari ITB yaitu Dr. Janson Naiborhu, namun kira-kira tanggal 11 April 2015 yang lalu,

Prof. Subanar, Ph.D. menginformasikan bahwa bersamaan dengan waktu Seminar

Nasional hari ini mendapat tugas dari UGM untuk menghadiri acara di Thailand. Oleh

karena itu, kami memohon jadwal Prof. Dr. Hardi Suyitno, M.Pd. untuk dimajukan. Jadi

dalam hal ini istilahnya ditukar waktunya. Insya-Allah, Seminar Nasional tahun depan

Prof. Subanar, Ph.D. kita harapkan dapat hadir di tengahtengah kita.

Seminar Nasional kali ini dihadiri oleh praktisi pendidikan dan teman-teman dosen

dari berbagai perguruan tinggi lebih dari 58 makalah masuk dan terseleksi oleh tim

reviewer

sekitar 40 judul sebagai pemakalah pendamping, baik dari disiplin

matematika murni maupun dari pendidikan matematika. Di samping itu, Seminar

Nasional ini juga diikuti oleh beberapa guru matematika dan mahasiswa program

studi pendidikan matematika.

(11)

ISSN: 2459-962X

Akhirnya, panitia mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Kepada seluruh peserta

seminar kami mengucapkan terima kasih atas partisipasinya, selamat berseminar, dan

semoga bermanfaat.

Wassalamu’alaikum wr. wb.

Purworejo, 9 Mei 2015

Ketua Panitia,

Dr. H. Bambang Priyo Darminto, M.Kom.

(12)

28

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika |

Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

MAKALAH

PENDAMPING

BIDANG MATEMATIKA

(13)

34

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika |

Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

Imam Malik Safrudin.1), Didit Budi Nugroho2) dan Adi Setiawan2) 1),2), 3)

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen SatyaWacana e-mail: 1)[email protected], 2)[email protected],3)[email protected]

Abstrak

Pemodelan asset returns volatility

merupakan salah satu dari sekian banyak topic dalam dasar teori runtun waktu ekonometrika keuangan. Model volatility

yang mula-mulayaitu ARCH (autoregressive conditional heteroscedasticity) yang diperkenalkan oleh Engle (1982). Safrudin dkk. (2015) telah mempelajari model ARCH (1) untuk returns volatility, dimana returns error berdistribusi normal. Model tersebut diselesaikan menggunakan metode MCMC dan diaplikasikan pada data kurs beli Model tersebut diselesaikan menggunakan metode MCMC dan diaplikasikan pada data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah yen Jepang (JPY), dolar Amerika (USD), dan euro Eropa (EUR) terhadap rupiah Indonesia (IDR) atas periode harian dari tanggal 5 Januari 2009 sampai 31 Desember 2014.

Banyak studi empiris menunjukkan bahwa

asset returns dikarakterisasi oleh heavy tails

(kurtosis positif) yang tidak bisa diakomodasi oleh distribusi normal (sebagai contoh, lihat Bollerslev (1987)). Oleh karena itu, studi ini memperluas model di Safrudin dkk. (2015) dengan mengasumsikan bahwa returns error

berdistribusi Student-t yang bisa mengakomodasi heavy tails. Model diestimasi menggunakan metode MCMC dan diimplementasikan pada data yang sama seperti di Safrudin dkk. (2015).

2. KAJIAN LITERATUR

2.1.MODEL RETURNS VOLATILITY

Dalam naskah keuangan akademik, returns didefinisikan sebagai persentase perubahan logaritma harga aset (Tsay, 2010):

untuk . Selanjutnya model ARCH (1) untuk returns volatility, dimana returns error berdistribusi Student-t, dinyatakan seperti:

√ ,

, ,

Dengan , , menyatakan derajat kebebasan, dan diasumsikan returns

tidak berkorelasi.

2.2.METODE MCMC UNTUK

RETURNS VOLATILITY

Menurut Casella dan Berger (2002), MCMC merupakan suatu metode untuk membangkitkan peubah-peubah acak yang didasarkan pada rantai markov. Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam implementasi metode MCMC melibatkan dua langkah (Nugroho, 2014), yaitu membangun

ESTIMASI MCMC UNTUK

RETURN VOLATILITY

DALAM MODEL ARCH

DENGAN

RETURN ERROR

BERDISTRIBUSI

STUDENT

_-T

Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk mengestimasi return volatility dalam model ARCH dengan return error berdistribusi Student-t. Metode Metropolis–Hastings digunakan dalam MCMC untuk memperbaharui nilai-nilai parameter model. Model dan algoritma diaplikasikan menggunakan data harian kurs beli yen Jepang, dolar Amerika, dan euro Eropa terhadap rupiah Indonesia pada periode5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari arsip Bank Indonesia (BI). Hasil empiris menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut.

Kata Kunci: ARCH, kursbeli, MCMC, Student-t_,_{volatility return}

(14)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

35

rantai Markov dan menggunakan metode Monte Carlo untuk meringkas distribusi

posterior pada parameter sebagai keluaran MCMC.

Dimisalkan ,

, dan . Berdasarkan Teorema Bayes (lihat Koop dkk. (2007)), distribusi gabungan untuk model di atas yaitu

| |

dimana | adalah fungsi likelihood

dan adalah distribusi prior

pada . Selanjutnya ditetapkan prior

seperti berikut:

Dimana prior (a,b) tersebut dipilih untuk memenuhi kendala-kendala model. Sekarang dipunyai distribusi gabungan yaitu

| ∏ { ₍ ) } ∏ ( )

atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh | ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (1)

Pembangkitan parametera

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi

posterior untuk a dinyatakan oleh

| ∑ ∑

Masalah yang muncul di sini yaitu posterior

tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain

Metropolis–Hastings (IC-MH) yang diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu

Langkah 2: Menghitung rasio

_||

Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi seragam .

(15)

36

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika |

Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

Langkah 4: Jika , maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak.

Rata-rata dan variansi dicari dengan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkahlaku distribusi di sekitar modus (lihat Albert (2009)). Modus ̂ dari , artinya ̂ ,dicari menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya diambil ̂ dan ̂ . Masalahnya adalah ̂ bisa bernilai positif, karena itu diambil ̂ dengan ̂ ̂ .

Pembangkitan parameter b

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi

posterior untuk b dinyatakan oleh

| ∑ ∑ ,

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a.

Pembangkitan nilai parameter

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi

posterior untuk dinyatakan oleh

| ∑

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, para meter dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a, dimana proposalnya yaitu

Pembangkitan nilai vektor parameter z

Berdasarkan persamaan (1), distribusi

posterior untuk z dinyatakan oleh

| ∏

Dalam kasus ini, bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma,yaitu

untuk

Metode MCMC mensimulasi suatu nilai baru untuk setiap parameter dari distribusi posteriornya dengan mengasumsikan bahwa nilai saat ini untuk parameter lain adalah benar. Sacara ringkas skema MCMC untuk model dalam studi ini yaitu

(v)

Inisialisasi a, b,dan .

(vi)

Membangkitkan sampel z secara langsung.

(vii)

Membangkitkan sampel dengan

metode IC-MH.

(viii)

embangkitkan sampel a dengan metode IC-MH.

(ix)

Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH.

(x)

Menghitung variansi (volatility

(16)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

37

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),

Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu

software Matlab 2012 a. Lihat Safrudin dkk. (2015) untuk plot runtun waktu untuk returns

dan statistic deskriptif.

3.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitung rata-rata

posterior, simpangan baku, interval Bayes,

numerical standard error (NSE), dan diagnose konvergensi. Di sini, dipilih interval

highest posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung

integrated autocorrelation time (IACT), lihat Geweke (2005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas (seberapa cepat konvergen sisi mulasi). Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score

Geweke (1992) dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke (2005).

Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana ,

, , dan .

Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan

dan v = 20.

3.3 Estimasi Parameter

Tabel1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi

posterior parameter dalam model ARCH (1), dimana returns error berdistribusi Student-t, berturut-turutuntuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang

berasosiasi dengan Geweke‟s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-MH adalah sangat efisien.

Tabel l1. Ringkasan hasil simulasi posterior

untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%.

Parameter A b v Mean 0.0547 0.2180 5.1708

SD 0.0030 0.0414 0.5779 LB 0.0495 0.1386 4.0913 UB 0.0598 0.2998 6.3289 IACT 8.1819 5.9936 22.9946

NSE 0.0000 0.0009 0.0233 G-CD –0.0063 0.0686 0.1160

p-value 0.9949 0.9453 0.9076 CPU time (detik): 313.795

Tabe l2. Ringkasan hasil simulasi posterior

untuk data kurs beli USD terhadapIDR. Parameter a b v

Mean 0.0078 0.3809 3.1140 SD 0.0004 0.0497 0.2386 LB 0.0069 0.2882 2.6469 UB 0.0087 0.4832 3.5717 IACT 1.0000 5.3140 10.0292

NSE 0.0000 0.0011 0.0070 G-CD –0.0059 –0.0003 –0.1576

p-value 0.9953 0.9998 0.8747 CPU time (detik): 295.673

Tabe l3. Ringkasan hasil simulasi posterior

untuk data kurs beli EUR terhadap IDR. Parameter a b v

Mean 0.0546 0.1612 10.4858 SD 0.0026 0.0353 1.6553 LB 0.0502 0.0958 7.6162 UB 0.0595 0.2339 13.9917 IACT 12.2060 5.2695 66.3636 NSE 0.0000 0.0007 0.0799 G-CD 0.0045 0.0408 0.3283

p-value 0.9964 0.9674 0.7427 CPU time (detik): 285.506

Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a

(17)

38

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika |

Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

1 dan Gambar 2. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada model ARCH (1) untuk returns

kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Gambar 2. Histogram distribusi posterior

parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Penyimpangan returns dari asumsi normalitas dinyatakan oleh . Derajat kebebasan mengambil nilai dari 4 sampai 7 untuk JPY, dari sampai 4 untuk USD, dan dari 7 sampai 14 untuk EUR, mengindikasikan bukti kuat adanya karakteristik distribusi Student-t pada ketiga data pengamatan. Sementara itu, dalam kasus data kurs beli JPY dan EUR, estimasi parameter a danb adalah serupa dengan

estimasi dari ARCH (1) yang berdistribusi normal di Safrudin dkk. (2015). Terkait dengan volatility, rata-rata posterior untuk variansi (volatility kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari 0.0550 sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai 0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.0835, 0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode September 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. (2015), pada data JPY menunjukkan perbedaan periode untuk variansi tertinggi.

Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:

Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk

returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

4. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH (1) dengan returns error berdistribusi Student-t

untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut.

0 5000 10000

0.04 0.06 0.08

0 5000 10000

0 0.5

0 5000 10000

4 6 8

0 5000 10000

6 8 10

x 10-3

0 5000 10000

0.2 0.4 0.6

0 5000 10000

2 3 4

0 5000 10000

0.04 0.06 0.08

0 5000 10000

0 0.2

0 5000 10000

5 10 15 20

(18)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

39

Model yang disajikan dalam studi ini bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi Student-t yang umum, seperti non-central Student-t dan generalized skew Student-t yang mengakomodasi heavy tails

dan skewness. Lebih lanjut model bisa diperluas ke model GARCH.

5. REFERENSI

1. Bollerslev, T. (1987). A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for SpeculativePrices and Rates of Return, Review of Economics and Statistics, 69, 542– 547.

2. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).

Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury.

3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 69–92. 4. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, 987–1007.

5. Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. DawiddanA. F. M. Smith), 169–194.

6. Geweke, J. (2005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons.

7. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. (2007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York.

8. Nugroho, D. B. (2014). Realized stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 9. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions.

Annals of Statistics, 22(4), 1701– 1762.

10. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York.

(19)

(1)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

35

rantai Markov dan menggunakan metode

Monte Carlo untuk meringkas distribusi posterior pada parameter sebagai keluaran MCMC.

Dimisalkan ,

, dan . Berdasarkan Teorema Bayes (lihat Koop dkk. (2007)), distribusi gabungan untuk model di atas yaitu

| |

dimana | adalah fungsi likelihood dan adalah distribusi prior pada . Selanjutnya ditetapkan prior seperti berikut:

Dimana prior (a,b) tersebut dipilih untuk memenuhi kendala-kendala model. Sekarang dipunyai distribusi gabungan yaitu

∏

{ ₍

) }

∏

( ) atau dengan pengambilan logaritma natural diperoleh

∑

∑ ∑

(1)

Pembangkitan parametera

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk a dinyatakan oleh

∑

Masalah yang muncul di sini yaitu posterior tersebut tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, a dibangkitkan menggunakan metode Independence Chain Metropolis–Hastings (IC-MH) yang diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti berikut:

Langkah 1: Menentukan proposal untuk a, yaitu

Langkah 2: Menghitung rasio

_||

Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi seragam .

(2)

36

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

Langkah 4: Jika , maka proposal diterima, jika tidak, maka proposal ditolak.

Pembangkitan parameter b

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk b dinyatakan oleh

∑

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Karena itu nilai parameter b dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a.

Pembangkitan nilai parameter

Berdasarkan persamaan (1), log distribusi posterior untuk dinyatakan oleh

∑

yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu. Oleh karena itu, para meter dibangkitkan menggunakan cara yang sama seperti pada pembangkitan parameter a, dimana proposalnya yaitu

Pembangkitan nilai vektor parameter z Berdasarkan persamaan (1), distribusi posterior untuk z dinyatakan oleh

∏

Dalam kasus ini, bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi invers gamma,yaitu

untuk

(v)

Inisialisasi a, b,dan .

(vi)

Membangkitkan sampel z secara langsung.

(vii)

Membangkitkan sampel dengan metode IC-MH.

(viii)

embangkitkan sampel a dengan metode IC-MH.

(ix)

Membangkitkan sampel b dengan metode IC-MH.

(x)

Menghitung variansi (volatility kuadrat): .

(3)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

37

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Data Pengamatan

Selanjutnya model dan metode di atas diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu software Matlab 2012 a. Lihat Safrudin dkk. (2015) untuk plot runtun waktu untuk returns dan statistic deskriptif.

3.2 Pengaturan MCMC

Algoritma MCMC dijalankan dengan menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000 iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N = 10000, disimpan untuk menghitung rata-rata posterior, simpangan baku, interval Bayes, numerical standard error (NSE), dan diagnose konvergensi. Di sini, dipilih interval highest posterior density (HPD) yang disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa konvergensi dilakukan dengan menghitung integrated autocorrelation time (IACT), lihat Geweke (2005), untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus dibangkitkan untuk mendapatkan sampel yang saling bebas (seberapa cepat konvergen sisi mulasi). Sementara itu konvergensi rantai Markov diperiksa berdasarkan pada uji z-score Geweke (1992) dan NSE dihitung menggunakan metode yang disajikan oleh Geweke (2005).

Dalam aplikasi algoritma MCMC, model dilengkapi dengan prior dimana ,

, , dan . Untuk nilai-nilai awal parameter ditetapkan

dan v = 20. 3.3 Estimasi Parameter

Tabel1, 2 dan 3 meringkas hasil simulasi posterior parameter dalam model ARCH (1), dimana returns error berdistribusi Student-t, berturut-turutuntuk data kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. p-value yang berasosiasi dengan Geweke‟s convergence diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-MH adalah sangat efisien.

Tabel l1. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli JPY terhadap IDR. LB dan UB menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas interval HPD 95%.

Parameter A b v

Mean 0.0547 0.2180 5.1708 SD 0.0030 0.0414 0.5779 LB 0.0495 0.1386 4.0913 UB 0.0598 0.2998 6.3289 IACT 8.1819 5.9936 22.9946

NSE 0.0000 0.0009 0.0233 G-CD –0.0063 0.0686 0.1160 p-value 0.9949 0.9453 0.9076 CPU time (detik): 313.795

Tabe l2. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli USD terhadapIDR.

Parameter a b v

Mean 0.0078 0.3809 3.1140 SD 0.0004 0.0497 0.2386 LB 0.0069 0.2882 2.6469 UB 0.0087 0.4832 3.5717 IACT 1.0000 5.3140 10.0292

NSE 0.0000 0.0011 0.0070 G-CD –0.0059 –0.0003 –0.1576 p-value 0.9953 0.9998 0.8747 CPU time (detik): 295.673

Tabe l3. Ringkasan hasil simulasi posterior untuk data kurs beli EUR terhadap IDR.

Parameter a b v

Mean 0.0546 0.1612 10.4858 SD 0.0026 0.0353 1.6553 LB 0.0502 0.0958 7.6162 UB 0.0595 0.2339 13.9917 IACT 12.2060 5.2695 66.3636 NSE 0.0000 0.0007 0.0799 G-CD 0.0045 0.0408 0.3283 p-value 0.9964 0.9674 0.7427 CPU time (detik): 285.506

Plot sampel posterior dan histogram distribusi posterior parameter-parameter a dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar

(4)

38

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | Pera Mate atika da Pe didika Mate atika Abad

1 dan Gambar 2. Plot sampel mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi disekitar rata-rata posterior, yang berarti bahwa sampel telah bercampur dengan baik (good mixing).

Gambar 1. Plot sampel untuk parameter a, b, dan v pada model ARCH (1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

Gambar 2. Histogram distribusi posterior parameter a, b, dan v pada model ARCH(1) untuk returns kurs beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

estimasi dari ARCH (1) yang berdistribusi normal di Safrudin dkk. (2015). Terkait dengan volatility, rata-rata posterior untuk variansi (volatility kuadrat) returns disajikan dalam Gambar 3. Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR berturut-turut yaitu dari 0.0550 sampai 0.8084, dari 0.0078 sampai 0.6505, dan dari 0.0546 sampai 0.3584, dimana rata-ratanya berturut-turut yaitu 0.0835, 0.0254, 0.0686. Nilai variansi tertinggi terjadi pada periode September 2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD, dan September 2011 untuk EUR. Dibandingkan dengan hasil di Safrudin dkk. (2015), pada data JPY menunjukkan perbedaan periode untuk variansi tertinggi.

Jadi, model volatility untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah berturut-turut:

Gambar 3. Plot runtun waktu variansi untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR dari Januari 2009 sampai Desember 2014.

4. KESIMPULAN

Studi ini menyajikan model ARCH (1) dengan returns error berdistribusi Student-t untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap IDR. Algoritma MCMC yang efisien dibangun untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior model. Hasil empiris menunjukkan bukti sangat kuat untuk penggunaan distribusi Student-t pada ketiga data tersebut.

0 5000 10000 0.04

0.06 0.08

0 5000 10000 0

0.5 b

0 5000 10000 4

6 8

0 5000 10000 6

8 10

x 10-3

0 5000 10000 0.2

0.4 0.6

0 5000 10000 2

3 4

0 5000 10000 0.04

0.06 0.08

0 5000 10000 0

0.2

0 5000 10000 5

10 15 20

(5)

Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015

39

Model yang disajikan dalam studi ini

bisa diperluas dengan memperhatikan distribusi Student-t yang umum, seperti non-central Student-t dan generalized skew Student-t yang mengakomodasi heavy tails dan skewness. Lebih lanjut model bisa diperluas ke model GARCH.

5. REFERENSI

1. Bollerslev, T. (1987). A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for SpeculativePrices and Rates of Return, Review of Economics and Statistics, 69, 542– 547.

2. Casella, G. dan Berger R., L. (2002). Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury.

3. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian

credible and HPD

intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 69–92. 4. Engle, R. F. (1982). Autoregressive

conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, 987–1007.

5. Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Berger, A. P. DawiddanA. F. M. Smith), 169–194.

6. Geweke, J. (2005). Contemporary Bayesian econometrics and statistics. John Wiley & Sons.

7. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. (2007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York.

8. Nugroho, D. B. (2014). Realized stocastic volatility model using

generalized student’s t-error

distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. 9. Tierney, L. (1994). Markov chain for

exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22(4), 1701– 1762.

10. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York.

(6)