TEKNIK PENENTUAN RUMUS UMUM SUKU KE-n DARI BARISAN BILANGAN PELL DAN PELL-LUCAS
ABSTRAK
TEKNIK PENENTUAN RUMUS UMUM SUKU KE-n DARI
BARISAN BILANGAN PELL DAN PELL-LUCAS
Oleh
ABDUL ROHIM
Dalam menentukan bentuk umum rumus suku ke-n dari barisan bilangan dapat
ditempuh dengan cara analitik. Metode analitik yang dapat digunakan diantaranya
adalah metode iterasi, metode persamaan karakteristik, metode fungsi pembangkit
dan algoritma penyortiran (Bubblesort Algoritma). Dalam penelitian ini
digunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi pembangkit
berdasarkan pertimbangan kedua metode tersebut lebih mudah untuk dipahami.
Penelitian ini mengupayakan sebuah cara mendapatkan bentuk umum rumus suku
ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas dari bentuk relasi rekurensinya.
Untuk metode persamaan karakteristik tahapan yang dilakukan adalah dengan
mencari akar-akar dari bentuk persamaan karakteristiknya kemudian didapatlah
suatu solusi homogen. Dari nilai awal yang sudah diketahui didapatlah bentuk
umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas. Untuk metode yang
kedua yaitu metode fungsi pembangkit, bentuk umum rumus suku ke-n barisan
bilangan Pell dan Pell-Lucas diperoleh dari bentuk fungsi pembangkitnya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode persamaan karakteristik memberikan
perolehan bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas
lebih mudah dibandingkan dengan metode fungsi pembangkit yang memberikan
hasil yang sama.
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa
metode persamaan karakteristik memberikan perolehan bentuk umum rumus suku
ke-n barisan bilangan lebih mudah bila dibandingkan dengan menggunakan
metode fungsi pembangkit yang memberikan hasil yang sama dari sebuah relasi
rekurensi yang berbentuk :
c1 a n
1
c2 an
an
2
,n
2
,n
0
,n 1
Dengan hasil sebagai berikut :
an
(c1
c1
2 c1
dengan G
4.2
c1
c1
2
2
2
2
4c 2 ) 2
4c 2
4c 2
G
n
(c1
c1
2
2 c1
2
4c 2 ) 2
G
n
4c 2
.
Saran
Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk mendapatkan rumus umum suku
ke-n dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas adalah metode
persamaan karakteristik dan fungsi pembangkit. Diharapkan untuk penelitian
45
berikutnya dapat menggunakan metode yang lain misalnya algoritma penyortiran
(Bubblesort Algoritma).
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Didalam berbagai masalah komputasi, sering kali lebih mudah untuk memperoleh rumus umum
bagi suatu fungsi numerik dalam bentuk relasi rekurensi dari pada dalam bentuk rumus umum
yang menyatakan nilai fungsi di n atau pun bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Relasi
rekurensi dapat dikerjakan setahap demi setahap untuk menentukan a n dari a n 1 , a n 2 ,..., asalkan
nilai fungsi di satu atau lebih titik diketahui sehingga komputasi bisa dimulai. Dengan nilai awal
yang diketahui (initial value) suatu fungsi numerik dapat dideskripsikan oleh suatu relasi
rekurensi. Fungsi numerik demikian ini juga sering diacu sebagai solusi bagi relasi rekurensi
bersangkutan.
Selain penentuan nilai-nilai suatu fungsi numerik secara tahap demi tahap berdasarkan relasi
rekurensi yang diketahui, yang lebih sulit lagi adalah mendapatkan dari relasi rekurensi itu suatu
rumus umum bagi solusinya atau suatu bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Untuk
mendapatkan suatu rumus umum dari relasi rekurensi dapat dipergunakan beberapa metode yaitu
metode iterasi, metode fungsi pembangkit dan metode khusus yang berlaku untuk relasi
rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan. Metode khusus ini disebut sebagai metode
persamaan karakteristik.
Oleh karena itu, perlu dicari sebuah rumus umum dari suatu relasi rekurensi. Sedangkan rumus
umum yang akan dicari adalah rumus umum dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan
Pell-Lucas. Bilangan Pell ( Pn ) adalah bilangan yang memiliki bentuk relasi rekurensi
Pn
2 Pn
1
Pn
2
untuk n
2 dengan syarat awal P0
0 dan P1
2 . Sedangkan bilangan Pell-
Lucas ( Qn ) adalah bilangan yang memiliki bentuk relasi rekurensi Qn
n
2 dengan syarat awal Q0
2 dan Q1
2Qn
1
Qn
2
untuk
2.
Pada penelitian ini penulis menggunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi
pembangkit berdasarkan pertimbangan bahwa bentuk dari relasi rekurensi bilangan Pell dan
bilangan Pell-Lucas adalah relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan dan juga
karena metode ini lebih mudah untuk dipakai.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya untuk mencari rumus umum suku ke-n
dari bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas menggunakan metode persamaan karakteristik dan
fungsi pembangkit.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mencari rumus umum suku ke-n dari bilangan Pell dan
bilangan Pell-Lucas.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
a. Menambah wawasan tentang teori bilangan terutama bilangan Pell dan bilangan PellLucas.
b. Memberikan sumbangan pemikiran guna memperluas dan memperdalam pengetahuan
ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas.
c. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang konsep barisan bilangan.
TEKNIK PENENTUAN RUMUS UMUM SUKU KE-n DARI
BARISAN BILANGAN PELL DAN PELL-LUCAS
Oleh
ABDUL ROHIM
Dalam menentukan bentuk umum rumus suku ke-n dari barisan bilangan dapat
ditempuh dengan cara analitik. Metode analitik yang dapat digunakan diantaranya
adalah metode iterasi, metode persamaan karakteristik, metode fungsi pembangkit
dan algoritma penyortiran (Bubblesort Algoritma). Dalam penelitian ini
digunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi pembangkit
berdasarkan pertimbangan kedua metode tersebut lebih mudah untuk dipahami.
Penelitian ini mengupayakan sebuah cara mendapatkan bentuk umum rumus suku
ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas dari bentuk relasi rekurensinya.
Untuk metode persamaan karakteristik tahapan yang dilakukan adalah dengan
mencari akar-akar dari bentuk persamaan karakteristiknya kemudian didapatlah
suatu solusi homogen. Dari nilai awal yang sudah diketahui didapatlah bentuk
umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas. Untuk metode yang
kedua yaitu metode fungsi pembangkit, bentuk umum rumus suku ke-n barisan
bilangan Pell dan Pell-Lucas diperoleh dari bentuk fungsi pembangkitnya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode persamaan karakteristik memberikan
perolehan bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas
lebih mudah dibandingkan dengan metode fungsi pembangkit yang memberikan
hasil yang sama.
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa
metode persamaan karakteristik memberikan perolehan bentuk umum rumus suku
ke-n barisan bilangan lebih mudah bila dibandingkan dengan menggunakan
metode fungsi pembangkit yang memberikan hasil yang sama dari sebuah relasi
rekurensi yang berbentuk :
c1 a n
1
c2 an
an
2
,n
2
,n
0
,n 1
Dengan hasil sebagai berikut :
an
(c1
c1
2 c1
dengan G
4.2
c1
c1
2
2
2
2
4c 2 ) 2
4c 2
4c 2
G
n
(c1
c1
2
2 c1
2
4c 2 ) 2
G
n
4c 2
.
Saran
Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk mendapatkan rumus umum suku
ke-n dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas adalah metode
persamaan karakteristik dan fungsi pembangkit. Diharapkan untuk penelitian
45
berikutnya dapat menggunakan metode yang lain misalnya algoritma penyortiran
(Bubblesort Algoritma).
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Didalam berbagai masalah komputasi, sering kali lebih mudah untuk memperoleh rumus umum
bagi suatu fungsi numerik dalam bentuk relasi rekurensi dari pada dalam bentuk rumus umum
yang menyatakan nilai fungsi di n atau pun bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Relasi
rekurensi dapat dikerjakan setahap demi setahap untuk menentukan a n dari a n 1 , a n 2 ,..., asalkan
nilai fungsi di satu atau lebih titik diketahui sehingga komputasi bisa dimulai. Dengan nilai awal
yang diketahui (initial value) suatu fungsi numerik dapat dideskripsikan oleh suatu relasi
rekurensi. Fungsi numerik demikian ini juga sering diacu sebagai solusi bagi relasi rekurensi
bersangkutan.
Selain penentuan nilai-nilai suatu fungsi numerik secara tahap demi tahap berdasarkan relasi
rekurensi yang diketahui, yang lebih sulit lagi adalah mendapatkan dari relasi rekurensi itu suatu
rumus umum bagi solusinya atau suatu bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Untuk
mendapatkan suatu rumus umum dari relasi rekurensi dapat dipergunakan beberapa metode yaitu
metode iterasi, metode fungsi pembangkit dan metode khusus yang berlaku untuk relasi
rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan. Metode khusus ini disebut sebagai metode
persamaan karakteristik.
Oleh karena itu, perlu dicari sebuah rumus umum dari suatu relasi rekurensi. Sedangkan rumus
umum yang akan dicari adalah rumus umum dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan
Pell-Lucas. Bilangan Pell ( Pn ) adalah bilangan yang memiliki bentuk relasi rekurensi
Pn
2 Pn
1
Pn
2
untuk n
2 dengan syarat awal P0
0 dan P1
2 . Sedangkan bilangan Pell-
Lucas ( Qn ) adalah bilangan yang memiliki bentuk relasi rekurensi Qn
n
2 dengan syarat awal Q0
2 dan Q1
2Qn
1
Qn
2
untuk
2.
Pada penelitian ini penulis menggunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi
pembangkit berdasarkan pertimbangan bahwa bentuk dari relasi rekurensi bilangan Pell dan
bilangan Pell-Lucas adalah relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan dan juga
karena metode ini lebih mudah untuk dipakai.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya untuk mencari rumus umum suku ke-n
dari bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas menggunakan metode persamaan karakteristik dan
fungsi pembangkit.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mencari rumus umum suku ke-n dari bilangan Pell dan
bilangan Pell-Lucas.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
a. Menambah wawasan tentang teori bilangan terutama bilangan Pell dan bilangan PellLucas.
b. Memberikan sumbangan pemikiran guna memperluas dan memperdalam pengetahuan
ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas.
c. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang konsep barisan bilangan.