Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika

  

BAB 9

BARISAN DAN DERET A. Barisan Barisan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu. Setiap bilangan pada barisan disebut “suku barisan” yang dipisahkan dengan lambang “,” (koma). Bentuk umum barisan: U 1 , U 2 , U 3 , … ,U n

  dengan:

  U 1 = suku pertama U 2 = suku kedua

  U 3 = suku ketiga

  …

  U n = suku ke-n B.

   Deret Deret adalah bentuk penjumlahan barisan.

  Bentuk umum deret:

  U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + … + U n C.

   Barisan Aritmatika Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih suku yang berdekatan selalu tetap (konstan).

  Selisih dua suku yang berdekatan disebut beda.

  Bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika U = a + (n – 1)b n

  dengan

  U n = suku ke-n a = suku pertama (U 1 ) n = banyaknya suku b = beda/selisih = U

  2 – U 1 = U 3 – U

  2 Jumlah n suku pertama barisan aritmatika n

  S n = (a + U n ) …. jika diketahui a dan U n

  2 n

  S n = (2a + (n – 1)b) …. Jika diketahui a dan b

2 D.

   Barisan geometri

  Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan (rasio) dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio atau pembanding dan biasanya dilambangkan dengan “r”.

  Bentuk umum suku ke-n barisan geometri n – 1

  U n = a.r

  dengan

  U n = suku ke-n a = suku pertama (U1) n = banyaknya suku ₂ U ₃ r = rasio = U 

  U U _{1 2} Jumlah n suku pertama barisan geometri _n a (

  1  r ) Jika r < 1 dan r  1, maka S  _n 1  r _n

  a ( r

  1 ) 

  Jika r > 1 dan r  1, maka S  , _n

  r

  1 

E. Deret Geometri Tak Hingga

  2

  12  b 4  a

  12 ) 3 (  4  a

  12  12  a 12  12  a

   a

  Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah _n

  S = ) ) 1 ( 2 (

  2 b n a n

   

  Sehingga: ₂₀ S =   )

  3 )(

  1 ) 20 ( (

  2

  27  b 9  a

  20   ₂₀ S =   )

  3 (

  19 10  ₂₀ S =

   

  57

  10 ₂₀ S = 570 3.

  Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku ke-4 barisan tersebut adalah ....

  Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah ¹ .

    ⁿ _n U r a

  2

  54 _{2 5} 

  U U

  15  b 5   3  b

  Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas. Jika

  1  1   r ,

  15   b  3  b

  maka rumus jumlah deret geometri tak hingga:

  r a S

  





  1 Pembahasan Soal-soal: 1.

  Diketahui barisan arimatika dengan suku keempat adalah 41 dan suku kesembilan adalah 26. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah ....

  Pembahasan:

  41 ₄  U →

  41  b 3  a

  26 ₉  U →

  26  b 8  a

  15  b 5 

  5

  41  b 3  a

  12  b 4  a

  41 ) 3 (  3   a

  41  9  a 9  41  a

  50  a U b a

  9 ₁₀   ) 3 (

  9

  50 ₁₀    U

  27

  50 ₁₀   U = 23 2.

  Diketahui deret aritmatika dengan suku kelima adalah 12 dan suku kesepuluh adalah 27. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....

  Pembahasan: Suku ke-n deret aritmatika adalah b n a U _n )

   1 (   Sehingga:

  12 ₅  U →

  27 ₁₀  U →

  27 . . ₁ ⁴

  18 ₄  U Karena suku-sukunya positif, maka

  8 ³  r ₃ 8  r

  2  r , karena

  8

  2 ³ 

  24 ₂  U 24 . ¹  r a 24 ) 2 .(  a

  2

  24  a 12  a _{3 4}

  .r a U  _{3 4} ) 3 .(

  3 2   

    

   U

27 .

  

3

  

2

₄  U

  2  r dan 1  r .

  8 ^{1 4} 

  Sehingga: _n

  S =

  1 ) 1 .(

   

  r r a ⁿ ₈ S

  =

  1

  2 )

  1 2 .(

  12 ⁸ 

   =

  ) .( 1 256

  12 

  = ) 255 .(

   r

  r a r a

  

  2  a _{3 4}

  r a r a

  27 ^{1 4} 

   r

  27 ³  r ₃

  27 

  r 3  r

  , karena

  27

  3 ³ 

  2 ₂  U 2 . ¹  r a 2 )

  3 .( 

  a

  3

  .r a U  _{3 4}

  

  ) 3 .( 3 2 

   

    

   U

27 .

  

3

  

2

₄  U

  18 ₄  U 4.

  Suku ke-2 dan suku ke-5 deret geometri berturut-turut adalah 24 dan 192. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ….

  Pembahasan: Suku ke-n barisan geometri adalah ¹ .

    ⁿ _n U r a

  24 192 _{2 5}

  

  U U

  8 . . ₁ ⁴

  12 = 3.060

  5. Seorang ayah akan membagikan 78 sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian merupakan barisan aritmatika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 sapi dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat bagian sebanyak …. sapi. Pembahasan:

  S  ₆

  78

  a 

  3 n

  S = ( _n 2 a  ( n  1 ) b )

  2

6 S  (

  ₆ 2 ( 3 )  ( 6  1 ) b )

  2

  78 = 3 ( 6  5 b ) 78 =

  18  15 b 78  18  15 b 60 

  15 b

  60 b 

  15 b 

  4 U = a

2 b

₃ 

  = 3  2 ( 4 ) =

  3 

  

8

U = 11 ₃ 6.

  Pada tahun pertama, sebuah perusahaan memproduksi barang sebanyak 2.000 unit. Pada tahun-tahun

  3

  berikutnya produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya. Jumlah hasil produksi selama 3

  4 tahun adalah .... unit.

  Pembahasan:

3 Produksinya naik dari jumlah produksi sebelumnya, berarti barisan geometri.

  4 a  2 . 000

  3 r 

4 Karena r < 1, maka:

  _n

  a (

  1  r )

  S  _n

  1  r ₃  

  3  

    2000 .

  1 

     

  4  

   

  S  ₃

  3 1 

  4 ₃  

  3 2000 .

  1  ₃

   

  4  

  S  ₃

  4

  3 

  4

  4

  64

  27   2000 .   

  64

  64  

  S  ₃

  1

  4

  37   2000 .

   

  64  

  S  ₃

  1

  4 2000 .

  37

4 S  .

  ₃

  64

  1

  2000 .

  37 S ₃ 

  16 74000 S ₃ 

  16 S  4625 ₃

  8

  8

  

8

7.

• – + + ... adalah ....

  Jumlah deret geometri tak hingga 8 –

  3

  9

  

27

Pembahasan: a 

  8 U ₂ Pembanding/rasio (r) = U ₁

  8 

  3 =

  8

  8

  1 =  .

  3

  8

  1

  = 

  3

a

  Jumlah deret geometri tak hingga: S =

  

  1

 r

  8

  =

  1 

1  

 

  3  

  8 =

  3

  1 

  3

  3

  8 =

  4

  3

  

3

  = 8 .

  

4

S = 6 

  LATIHAN UN: 1.

  Diketahui barisan aritmatika: 21, 18, 15, ...

  Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....

  A. n = 18 + n U

  B. n = 18 + 3n U

  C. n = 21 + n U

  D. n = 24 – 3n U

  E. n = 24 + 3n U 2.

  n = 16 – 3n. Suku ke-5 barisan tersebut

  Rumus umum suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah U adalah ....

  A.

  1 B.

  2 C.

  4 D.

  8 E.

  31 3. Diberikan barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, ... , 68. Banyak suku barisan tersebut adalah ....

  A.

  21 B.

  22 C.

  23 D.

  24 E.

  25

  4. Suku ke-9 dan ke-10 suatu barisan aritmatika masing-masing adalah 20 dan 30. Suku pertama dan beda pada barisan tersebut adalah ....

  A.

• –60 dan –20 B.
• –60 dan 10 C.

  10 dan –60 D.

  30 dan 20 E. 60 dan 10 5.

  3 = 12 dan U 9 = 36. Jika salah satu suku besarnya 52, maka

  Diketahui barisan aritmatika dengan U suku itu terletak pada suku ke ....

  A.

  8 B.

  9 C.

  10 D.

  12 E.

  13 6. Suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmatia adalah 17 dan 37. Jumlah 5 suku pertamanya adalah ....

  A.

  27 B.

  32 C.

  85 D.

  98 E. 240 7.

  1 + U 3 = 10 dan suku ke-15 suatu barisan aritmatika adalah 31, maka jumlah 25 suku pertama

  Jika U adalah ....

  A.

  638 B. 675 C. 700 D.

  950 E. 1.275 8. Seorang karyawan suatu perusahaan mendapatkan gaji pertama sebesar Rp1.000.000,00 per bulan.

  Jika setiap bulan gajinya dinaikkan sebesar Rp75.000,00, maka jumlah gaji karyawan tersebut selama 1 tahun adalah ....

  A.

  Rp1.825.000,00 B. Rp1.900.000,00 C. Rp13.350.000,00 D.

  Rp16.950.000,00 E. Rp17.400.000,00 9. Suatu tempat memiliki 15 baris kursi. Di barisan paling depan terdapat 12 kursi, di baris kedua 16 kursi, di baris ketiga 20 kursi, demikian seterusnya. Banyak kursi yang tersedia di dalam aula adalah

  .... kursi.

  A.

  415 B. 525 C. 600 D.

  648 E. 676 10. Diketahui barisan geometri 12, 24, 48, 96, ... Rumus umum suku ke-n barisan tersebut adalah .... _n

  A. Un 

  12

  2

    _{n  1} B. Un 

  12

  2

    _{n  1} C. Un 

  6

  2

    _{n  1} D. Un 

  3

  2

    _n

  E. Un 

  3

  2

    11.

  Suatu barisan geometri diketahui suku ke-4 dan ke-6 berturut-turut 81 dan 729. Suku kedua barisan tersebut adalah ....

  A.

  3 B.

  9 C.

  27 D.

  81 E. 243 12. Suatu deret geometri diketahui suku pertamanya 5 dan suku keempat 40, maka jumlah 6 suku pertama adalah ....

  A.

  135

  B.

  153 C. 235 D.

  315 E. 513 13. Jika jumlah dari deret geometri tak hingga adalah 15 dan suku pertamanya 6, maka rasio deret tersebut adalah ....

  1 A.

  5

  1 B.

  3

  2 C.

  5

  3 D.

  5

  5 E.

  3 ₂

  1 14. p  p  1   ... adalah p 4 maka nilai adalah ....

  p

  Jika jumlah tak hingga deret geometri

  p A.

  4 B.

  3 C.

  2

  4 D.

  3

  3 E.

  4 15.

  Pada tahun pertama, sebuah perusahaan memproduksi barang sebanyak 200 unit. Pada tahun-tahun

  1

  berikutnya produksinya menurun dari jumlah produksi sebelumnya. Hasil produksi pada tahun ke-

  2 4 adalah .... unit.

  A.

  10 B.

  15 C.

  20 D.

  25 E.

  30 16. Pertambahan penduduk setiap tahun di suatu daerah mengikuti deret geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 2000 sebesar 450 orang dan tahun 2003 sebesar 3.600 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2005 adalah .... orang.

  A.

  14.400 B. 14.200 C. 13.800 D.

  13.600 E. 13.200