MASALAH PENUGASAN ASSIGNMENT PROBLEM

Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si

B. MASALAH PENUGASAN ASSIGNMENT PROBLEM

Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari masalah transshipment yang merupakan bentuk khusus masalah transportasi. Berikut ini akan dipelajari bentuk khusus masalah transportasi yang lain, yaitu masalah penugasan Assignment Problem. Masalah yang identik dengan masalah penugasan antara lain pada persoalan mencari pekerjaan, dimana masing-masing lowongan hanya menerima satu orang pelamar. Dapat digambarkan dalam skema penugasan sebagai berikut : P 1 P 2 P 3 P 4 b i O 1 1 O 2 1 O 3 1 O 4 1 a j 1 1 1 1 O i : pelamar kerja ke-i P j : lowongan kerja ke-j c ij : gaji O i bila diterima di P j . Masalah : O i ditugaskan dimana agar gaji total, yaitu ∑∑ ij ij x c minimal? Masalah ini dapat dipandang sebagai masalah transportasi sebagai berikut: Tabel ongkos n × n : c ij ; b i = 1 ∀i; a j = 1 ∀j. Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si Mencari x ij ≥ 0 yang meminimalkan f = ∑∑ = = n j n i ij ij x c 1 1 dengan kendala: i b x i n j ij ∀ = = ∑ = , 1 1 dan j a x j n i ij ∀ = = ∑ = , 1 1 dan x ij bernilai 0 atau 1. Karena x ij = 0 atau 1, b i = 1, a j = 1, maka untuk n agak besar, solusi awalnya selalu degenerate, yaitu n + n − 1. Oleh karenanya ada algoritma khusus untuk menyelesaikannya. Sebenarnya secara teoritis, dapat diselesaikan dengan menambah alokasi semu secukupnya, secara terus menerus pada setiap step iterasi untuk mengatasi masalah “degenerasi”. Tetapi cara ini sangat sulit dilaksanakan, terutama untuk n cukup besar. Oleh karena itu akan dibahas algoritma khusus masalah penugasan: Cara Titik demi Titik Untuk n kecil, cara ini dapat dilakukan dengan pengamatan langsung, misalnya n = 3, maka hanya ada 3 = 6 macam solusi. Kemudian dipilih yang paling minimum. Tetapi untuk format yang besar cara ini sulit dilaksanakan. Algoritma Penugasan Mengingat x ij = ⎩ ⎨ ⎧ isi, kotak untuk , 1 kosong kotak untuk , maka tabel alokasi dan tabel ongkos dipisahkan. Tabel ongkos diproses dulu, kemudian tabel alokasi mengikutinya. Tabel ongkos “dapat diubah” dengan mengurangi menambah suatu kolom baris dengan suatu bilangan yang sama. Dapat diubah dalam arti tidak mengubah penyelesaian optimal p.o, sebab: untuk p 1 konstan: Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si f = ∑∑ = = n j n i ij ij x c 1 1 = ∑ j j j x c 1 1 + ∑ j j j x c 2 2 + … + ∑ j nj nj x c . f = ∑ − j j j x p c 1 1 1 + ∑ j j j x c 2 2 + … + ∑ j nj nj x c = ∑ j j j x c 1 1 + ∑ j j j x c 2 2 + … + ∑ j nj nj x c − 3 2 1 1 1 1 ∑ j j x p = f − p 1 . ∴ meminimalkan f ⇔ meminimalkan f . Secara umum, jika baris ke i dikurangi p i , maka: f = ∑∑ − j i ij i ij x p c = ∑ j j j x c 1 1 + … + ∑ − j j i i j i x p c + … + ∑ j nj nj x c = ∑∑ j i ij ij x c − 3 2 1 1 ∑ j j i i x p = f − i p . Langkah-langkah Algoritma: Hongarian Algorithm Diusahakan supaya dalam setiap baris dan kolom ada ongkos nolnya.; dengan cara mengurangi setiap baris kolom dengan min{c ij } dalam setiap baris kolom. Diuji apakah ada n kotak dengan ongkos nulnya yang mewakili tiap-tiap baris dan kolom? Jika ada, berarti tabel sudah optimal karena kombinasi nul yang paling murah dan itulah penyelesaian optimal soal asli. Bila belum ada, diadakan lagi pengurangan ongkos langkah I. Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si Contoh 1.2. Selesaikanlah masalah penugasan berikut : P 1 P 2 P 3 P 4 O 1 4 3 2 1 O 2 1 5 6 2 O 3 2 4 3 3 O 4 5 7 9 8 Penyelesaian : Tabel 1 I P 1 P 2 P 3 P 4 O 1 4 3 2 1 −1 O 2 1 5 6 2 −1 O 3 2 4 3 3 −2 O 4 5 7 9 8 −5 Tabel 2 II P 1 P 2 P 3 P 4 O 1 3 2 1 0 Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si O 2 0 4 5 1 O 3 0 2 1 1 O 4 0 2 4 3 −2 −1 Tabel 3 III P 1 P 2 P 3 P 4 O 1 3 0 0 0 √ O 2 √ 2 4 1 O 3 0 0 0 √ 1 O 4 √ 3 3 Banyaknya garis penutup nilai nol sudah sama banyaknya dengan banyaknya baris atau banyaknya kolom, sehingga tabel sudah optimal. Pemilihan nol yang mewakili tabel optimal sebagai berikut : 1. Pilih nol pada baris pertama kolom keempat terlebih dahulu, karena nol pada kolom keempat hanya ada pada baris pertama saja. Akibatnya nol pada baris pertama kolom kedua dan ketiga tidak mungkin terpilih juga. Nol pada kolom ketiga baris ketiga menjadi satu-satunya nol. 2. Pilih nol pada baris ketiga kolom ketiga. Akibatnya nol pada baris ketiga kolom pertama dan kedua tidak mungkin terpilih juga. Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si 3. Pilih nol pada baris kedua kolom pertama, sebab ia merupakan satu-satunya nol pada baris kedua. Akibatnya nol pada kolom pertama baris keempat tidak mungkin terpilih. Nol pada baris keempat kolom kedua menjadi satu- satunya nol. 4. Pilih nol terakhir, yaitu nol pada baris keempat kolom kedua. Tabel IV P 1 P 2 P 3 P 4 O 1 4 3 2 1 1 O 2 1 1 5 6 2 O 3 2 4 3 1 3 O 4 5 7 1 9 8 Diperoleh nilai f min = 1.1 + 1.1 + 1.3 + 1.7 = 12. Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si Soal-soal Latihan 1.2. : 1. Diberikan tabel biaya masalah penugasan sebagai berikut, selesaikan masalah penugasan tersebut: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 O 1 9 4 7 7 2 3 O 2 4 5 1 3 6 7 O 3 5 3 10 5 11 7 O 4 6 5 6 8 3 7 O 5 6 7 5 2 1 3 O 6 6 4 5 5 7 2 2. Diberikan skema masalah penugasan sebagai berikut. Selesaikanlah masalah penugasan tersebut. 3. Sebuah firma hukum sedang melakukan training untuk 4 calon pengacara baru O 1 – O 4 . Akan ditentukan siapa yang paling sesuai terhadap 5 kasus 1 2 3 4 18 22 24 25 20 23 20 18 20 23 24 21 Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si yang ada D1 – D 5 . Diberikan tabel biaya masalah penugasan sebagai lama waktu masing-masing calon mempelajari setiap masalah dalam hari berikut ini: D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 b i O 1 4 5 3 5 3 1 O 2 3 7 4 6 2 1 O 3 4 5 4 4 3 1 O 4 7 7 6 7 4 1 a j 1 1 1 1 1 Selesaikanlah masalah firma hukum tersebut 4. a. Sebutkan persamaan dan perbedaan antara masalah Penugasan dan masalah TSP. b. Apa yang terjadi apabila penyelesaian TSP tidak berbentuk circuit? Bagaimana menyelesaikannya. c. Apa yang dimaksud dengan Masalah Transshipment? Mengapa Transshipment perlu dilakukan? d. Buatkan masalah PL bentuk kanonik untuk suatu masalah transportasi meminimalkan dengan 3 kendala sumber kendala tujuan. 5. Diberikan diagram berikut ini : a. Tentukan pemodelan masalah TSP tersebut. b. Tentukan solusi optimalnya. 1 2 3 4 18 22 24 25 20 23 20 20 Ketekunan dan Ketelitian Kunci Kesuksesan Anda Diktat Penelitian Operasional Caturiyati, M.Si

C. TRAVELLING SALESMAN PROBLEM