bab-3-mencari-akar-persamaan-non-linier-dengan-metode-newton-rhapson.docx
LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES
BAB III
MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN
METODE NEWTON RHAPSON
DISUSUN OLEH
Nama
: Noni Ayu Rizka
NIM
: 12521004
Kelas
:A
Asisten
: 1. Heni Anggorowati
2. Agus Kurniawan
3. Andry Septian
4. Ria Ariani
LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES
JURUSAN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
YOGYAKARTA
2014
DAFTAR ISI
Daftar Isi...........................................................................................................
1
BAB I
A. Tujuan.............................................................................................
B. Dasar Teori......................................................................................
2
2
C. Latihan Soal....................................................................................
D. Tugas...............................................................................................
6
8
BAB II
BAB III
E. Kesimpulan dan Saran....................................................................
F. Daftar Pustaka.................................................................................
9
10
BAB I
MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE
NEWTON RHAPSON
A. Tujuan
Agar
mahasiswa
dapat
mencari
akar
persamaan
non
linear
menggunakan penyelesaian numerik.
B. Dasar Teori
Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol
yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis atau sama. Terdapat dua macam
persamaan, yaitu persamaan linier dan non linier. Persamaan linier adalah
sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau
perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear
sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam
sistem koordinat kartesius.
Perbedaannya :
1. Bentuk Persamaan
Persamaan linier
ax + b =0
Persamaan non linier ax2 + bx + c = 0
2. Bentuk Grafik
Persamaan linier
garis lurus
y
x
Gambar 2.1. Grafik garis lurus
y
Persamaan non linier parabola
y
x
Gambar 2.2. Grafik parabola
x
Penyelesaian persamaan Non Linear :
1. Analitik
Metode abc
2
−b ± √ b −4 ac
x 1 , x 2=
2a
Metode faktorisasi
2
x −4 x + 4=0
( x−2 ) ( x −2 )=0
2. Numeris
Biseksi
Regula Falsi
Secant
Newton Rhapson
Penyelesaian persamaan non linier
1. Metode Tertutup
Mencari akar pada range (a,b) tertentu.
Dalam range (a,b) dipastikan terdapat satu akar.
Hasil selalu konvergen, disebut juga metode konvergen.
2. Metode Terbuka
Diperlukan tebakan awal.
xn dipakai untuk menghitung xn+1.
Hasil dapat konvergen atau divergen.
Metode Tertutup
Metode tabel
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
Metode Terbuka
Metode iterasi sederhana
Metode Newton – Rhapson
Metode Secant.
Dalam bidang teknik sering didapatkan persamaan non linear :
f(x) = 0. Ingin dicari hagra x yang memenuhi persamaan tersebut. Ada
beberapa cara numeris yang dapat digunakan. Di sini akan dibahas cara
Newton Rhapson.
Mula – mula diramal suatu harga x, (misal x old), yang kira – kira dapat
memenuhi. Berdasarkan harga tersebut dicari harga x yang lebih baik, yaitu
xnew, yang didapatkan dengan persamaan :
x new =x old −
f ( x old )
'
f ( x new )
⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯(3.1)
Selanjutnya harga xnew menjadi xold untuk mencari xnew berikutnya.
Demikian seterusnya hingga diperoleh harga x yang cukup baik. Hal ini
ditandai dengan harga xnew mendekati xold atau harga : f(xnew) ≈ 0
Newton Rhapson
Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan
satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien
pada titik tersebut.
x
xold
x new=x old −
Iterasi dihentikan ketika
xold ≈ xnew
f(xold) ≈ 0
Algoritma
1. Menentukan nilai x dan ε
2. Menghitung nilai f(xold)
3. Menghitung nilai f ’(xold) dengan cara central
f ' ( x old )=
f ( x old +ε )−f ( x old −ε )
2ε
4. Menghitung xnew
x new=x old −
f (x old )
f ' (x old )
f ( x old )
'
f ( x new )
BAB II
C. Latihan Soal
Nomor 1
2
y=0,2
x +3 . 4 x +4
xold
ε
4
0.0001
xold
4.0000
-0.1600
-1.1975
-1.2712
-1.2716
-1.2716
f(xold)
20.8000
3.4611
0.2153
0.0011
0.0000
0.0000
f''(xold)
5.0000
3.3360
2.9210
2.8915
2.8914
2.8914
xnew
-0.1600
-1.1975
-1.2712
-1.2716
-1.2716
-1.2716
Nomor 2
y=ln( x−1)+cos( x−1)
xold
ε
8
0.0004
xold
8.0000
13.2512
4.4243
3.9504
3.2778
3.8183
1.4506
1.3928
1.3977
1.3977
1.3977
f(xold)
2.6998
3.4564
0.2706
0.1002
0.1736
0.0879
0.1030
-0.0105
-0.0001
0.0000
0.0000
f''(xold)
-0.5141
0.3916
0.5710
0.1489
-0.3213
0.0371
1.7837
2.1627
2.1271
2.1268
2.1268
xnew
13.2512
4.4243
3.9504
3.2778
3.8183
1.4506
1.3928
1.3977
1.3977
1.3977
1.3977
Nomor 3
x
y=
2
e − x +3 x−2
xold
ε
5
0.0005
xold
5.0000
f(xold)
136.4132
f''(xold)
141.4132
xnew
4.0354
4.0354
3.0569
2.0051
0.8484
0.2545
0.2575
0.2575
50.3851
19.0869
7.4215
2.1614
-0.0115
0.0000
0.0000
51.4924
18.1470
6.4165
3.6391
3.7808
3.7787
3.7787
3.0569
2.0051
0.8484
0.2545
0.2575
0.2575
0.2575
Nomor 4
2x
y=
5
3
+sin 3
xold
ε
9
0.0002
xold
9.0000
6.3049
3.6376
2.0945
5.7259
3.1668
1.9588
0.5874
0.3245
0.4155
0.4162
0.4162
f(xold)
290.2201
99.1415
19.4273
3.2504
74.0821
11.0223
3.1884
0.3069
-0.2097
-0.0016
0.0000
0.0000
x
3
3
−4
2
f''(xold)
107.6852
37.1692
12.5900
-0.8951
28.9486
9.1240
2.3249
1.1677
2.3056
2.2209
2.2190
2.2190
xnew
6.3049
3.6376
2.0945
5.7259
3.1668
1.9588
0.5874
0.3245
0.4155
0.4162
0.4162
0.4162
D. Tugas
y= ln
2x
3
2
√
3
+3 2
xold
ε
5
0.0005
xold
5.0000
2.3333
0.4456
0.8595
0.7564
0.7466
0.7465
0.7465
f(xold)
52.1735
20.0821
-1.5907
0.8794
0.0704
0.0006
0.0000
0.0000
x −3 sin ( 2 x )
f''(xold)
19.5647
10.6388
3.8438
8.5308
7.1700
7.0425
7.0414
7.0414
xnew
2.3333
0.4456
0.8595
0.7564
0.7466
0.7465
0.7465
0.7465
BAB III
E. Kesimpulan dan Saran
Kualitatif
Dari latihan yang dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa semakin
besar nilai xold maka semakin banyak pula iterasi yang dilakukan. Hal ini
dikarenakan nilai tebak dari xold jauh dari nilai yang sebenarnya, sehingga
diperlukan beberapa kali iterasi agar mendapat nilai x yang sebenarnya.
Selesainya iterasi ditandai dengan nilai xold dan xnew yang sama, dan f(xold)
bernilai 0. xold dan xnew pada f(xold) = 0 tersebut merupakan akar dari persamaan
yang dicari.
Metode Newton Rhapson merupakan metode terbuka yaitu diperlukan
tebakan awal, xn dipakai untuk menghitung xn+1, hasil dapat konvergen atau
divergen. Metode Newton Rhapson memiliki kelebihan dan kekurangan,
kelebihan metode ini antara lain adalah konvergensi yang dihasilkan lebih
cepat. Beberapa kekurangannya adalah tidak selalu menemukan akar atau
divergen karena tidak ditentukannya range dari akar – akar yang dicari, selain
itu sulit untuk mencari f ’(xold) dan penetapan xold yang cukup sulit.
Kuantitatif
Pada soal latihan 1 dengan xold tebak sebesar 4 dan ε 0,0001 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar -1,2716 dengan f ’(xold) sebesar
2,8914.
Pada soal latihan 2 dengan xold tebak sebesar 8 dan ε 0,0004 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 1,3977 dengan f ’(xold) sebesar
2,1268.
Pada soal latihan 3 dengan xold tebak sebesar 5 dan ε 0,0005 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,2575 dengan f ’(xold) sebesar
3,7787.
Pada soal latihan 4 dengan xold tebak sebesar 9 dan ε 0,4162 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,4162 dengan f ’(xold) sebesar
2,2190.
Pada tugas dengan xold tebak sebesar 5 dan ε 0,0005 diperoleh akar xold
dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,7465 dengan f ’(xold) sebesar 7,0414.
Saran
Dalam penulisan rumus atau formula pada Microsoft Excel dibutuhkan
ketelitian yang tinggi karena tanda kurung dan simbol – simbol matematika
yang digunakan cukup banyak pada praktikum ini. Ketidaktelitian dalam
membaca soal dapat berakibat hasil perhitungan yang tidak sesuai. Pada
praktikum ini dibutuhkan ketelitian terutama dalam penulisan rumus f’(x old)
karena rumus yang digunakan cukup panjang sehingga kesalahan penulisan
sangat mungkin dan sering terjadi pada saat melakukan praktikum.
F. Daftar Pustaka
Penyelesaian Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:39
http://lecturer.eepis-its.edu/~alfaruqi/mnumerik/bab3tm.pdf
Persamaan. Diakses 28 Oktober 2014 19:52
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan
Persamaan Linier. Diakses 28 Oktober 2014 19:57
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear
Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:31
http://www.slideshare.net/dagangku1/metode-numerik-persamaan-linier
BAB III
MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN
METODE NEWTON RHAPSON
DISUSUN OLEH
Nama
: Noni Ayu Rizka
NIM
: 12521004
Kelas
:A
Asisten
: 1. Heni Anggorowati
2. Agus Kurniawan
3. Andry Septian
4. Ria Ariani
LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES
JURUSAN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
YOGYAKARTA
2014
DAFTAR ISI
Daftar Isi...........................................................................................................
1
BAB I
A. Tujuan.............................................................................................
B. Dasar Teori......................................................................................
2
2
C. Latihan Soal....................................................................................
D. Tugas...............................................................................................
6
8
BAB II
BAB III
E. Kesimpulan dan Saran....................................................................
F. Daftar Pustaka.................................................................................
9
10
BAB I
MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE
NEWTON RHAPSON
A. Tujuan
Agar
mahasiswa
dapat
mencari
akar
persamaan
non
linear
menggunakan penyelesaian numerik.
B. Dasar Teori
Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol
yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis atau sama. Terdapat dua macam
persamaan, yaitu persamaan linier dan non linier. Persamaan linier adalah
sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau
perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear
sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam
sistem koordinat kartesius.
Perbedaannya :
1. Bentuk Persamaan
Persamaan linier
ax + b =0
Persamaan non linier ax2 + bx + c = 0
2. Bentuk Grafik
Persamaan linier
garis lurus
y
x
Gambar 2.1. Grafik garis lurus
y
Persamaan non linier parabola
y
x
Gambar 2.2. Grafik parabola
x
Penyelesaian persamaan Non Linear :
1. Analitik
Metode abc
2
−b ± √ b −4 ac
x 1 , x 2=
2a
Metode faktorisasi
2
x −4 x + 4=0
( x−2 ) ( x −2 )=0
2. Numeris
Biseksi
Regula Falsi
Secant
Newton Rhapson
Penyelesaian persamaan non linier
1. Metode Tertutup
Mencari akar pada range (a,b) tertentu.
Dalam range (a,b) dipastikan terdapat satu akar.
Hasil selalu konvergen, disebut juga metode konvergen.
2. Metode Terbuka
Diperlukan tebakan awal.
xn dipakai untuk menghitung xn+1.
Hasil dapat konvergen atau divergen.
Metode Tertutup
Metode tabel
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
Metode Terbuka
Metode iterasi sederhana
Metode Newton – Rhapson
Metode Secant.
Dalam bidang teknik sering didapatkan persamaan non linear :
f(x) = 0. Ingin dicari hagra x yang memenuhi persamaan tersebut. Ada
beberapa cara numeris yang dapat digunakan. Di sini akan dibahas cara
Newton Rhapson.
Mula – mula diramal suatu harga x, (misal x old), yang kira – kira dapat
memenuhi. Berdasarkan harga tersebut dicari harga x yang lebih baik, yaitu
xnew, yang didapatkan dengan persamaan :
x new =x old −
f ( x old )
'
f ( x new )
⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯(3.1)
Selanjutnya harga xnew menjadi xold untuk mencari xnew berikutnya.
Demikian seterusnya hingga diperoleh harga x yang cukup baik. Hal ini
ditandai dengan harga xnew mendekati xold atau harga : f(xnew) ≈ 0
Newton Rhapson
Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan
satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien
pada titik tersebut.
x
xold
x new=x old −
Iterasi dihentikan ketika
xold ≈ xnew
f(xold) ≈ 0
Algoritma
1. Menentukan nilai x dan ε
2. Menghitung nilai f(xold)
3. Menghitung nilai f ’(xold) dengan cara central
f ' ( x old )=
f ( x old +ε )−f ( x old −ε )
2ε
4. Menghitung xnew
x new=x old −
f (x old )
f ' (x old )
f ( x old )
'
f ( x new )
BAB II
C. Latihan Soal
Nomor 1
2
y=0,2
x +3 . 4 x +4
xold
ε
4
0.0001
xold
4.0000
-0.1600
-1.1975
-1.2712
-1.2716
-1.2716
f(xold)
20.8000
3.4611
0.2153
0.0011
0.0000
0.0000
f''(xold)
5.0000
3.3360
2.9210
2.8915
2.8914
2.8914
xnew
-0.1600
-1.1975
-1.2712
-1.2716
-1.2716
-1.2716
Nomor 2
y=ln( x−1)+cos( x−1)
xold
ε
8
0.0004
xold
8.0000
13.2512
4.4243
3.9504
3.2778
3.8183
1.4506
1.3928
1.3977
1.3977
1.3977
f(xold)
2.6998
3.4564
0.2706
0.1002
0.1736
0.0879
0.1030
-0.0105
-0.0001
0.0000
0.0000
f''(xold)
-0.5141
0.3916
0.5710
0.1489
-0.3213
0.0371
1.7837
2.1627
2.1271
2.1268
2.1268
xnew
13.2512
4.4243
3.9504
3.2778
3.8183
1.4506
1.3928
1.3977
1.3977
1.3977
1.3977
Nomor 3
x
y=
2
e − x +3 x−2
xold
ε
5
0.0005
xold
5.0000
f(xold)
136.4132
f''(xold)
141.4132
xnew
4.0354
4.0354
3.0569
2.0051
0.8484
0.2545
0.2575
0.2575
50.3851
19.0869
7.4215
2.1614
-0.0115
0.0000
0.0000
51.4924
18.1470
6.4165
3.6391
3.7808
3.7787
3.7787
3.0569
2.0051
0.8484
0.2545
0.2575
0.2575
0.2575
Nomor 4
2x
y=
5
3
+sin 3
xold
ε
9
0.0002
xold
9.0000
6.3049
3.6376
2.0945
5.7259
3.1668
1.9588
0.5874
0.3245
0.4155
0.4162
0.4162
f(xold)
290.2201
99.1415
19.4273
3.2504
74.0821
11.0223
3.1884
0.3069
-0.2097
-0.0016
0.0000
0.0000
x
3
3
−4
2
f''(xold)
107.6852
37.1692
12.5900
-0.8951
28.9486
9.1240
2.3249
1.1677
2.3056
2.2209
2.2190
2.2190
xnew
6.3049
3.6376
2.0945
5.7259
3.1668
1.9588
0.5874
0.3245
0.4155
0.4162
0.4162
0.4162
D. Tugas
y= ln
2x
3
2
√
3
+3 2
xold
ε
5
0.0005
xold
5.0000
2.3333
0.4456
0.8595
0.7564
0.7466
0.7465
0.7465
f(xold)
52.1735
20.0821
-1.5907
0.8794
0.0704
0.0006
0.0000
0.0000
x −3 sin ( 2 x )
f''(xold)
19.5647
10.6388
3.8438
8.5308
7.1700
7.0425
7.0414
7.0414
xnew
2.3333
0.4456
0.8595
0.7564
0.7466
0.7465
0.7465
0.7465
BAB III
E. Kesimpulan dan Saran
Kualitatif
Dari latihan yang dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa semakin
besar nilai xold maka semakin banyak pula iterasi yang dilakukan. Hal ini
dikarenakan nilai tebak dari xold jauh dari nilai yang sebenarnya, sehingga
diperlukan beberapa kali iterasi agar mendapat nilai x yang sebenarnya.
Selesainya iterasi ditandai dengan nilai xold dan xnew yang sama, dan f(xold)
bernilai 0. xold dan xnew pada f(xold) = 0 tersebut merupakan akar dari persamaan
yang dicari.
Metode Newton Rhapson merupakan metode terbuka yaitu diperlukan
tebakan awal, xn dipakai untuk menghitung xn+1, hasil dapat konvergen atau
divergen. Metode Newton Rhapson memiliki kelebihan dan kekurangan,
kelebihan metode ini antara lain adalah konvergensi yang dihasilkan lebih
cepat. Beberapa kekurangannya adalah tidak selalu menemukan akar atau
divergen karena tidak ditentukannya range dari akar – akar yang dicari, selain
itu sulit untuk mencari f ’(xold) dan penetapan xold yang cukup sulit.
Kuantitatif
Pada soal latihan 1 dengan xold tebak sebesar 4 dan ε 0,0001 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar -1,2716 dengan f ’(xold) sebesar
2,8914.
Pada soal latihan 2 dengan xold tebak sebesar 8 dan ε 0,0004 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 1,3977 dengan f ’(xold) sebesar
2,1268.
Pada soal latihan 3 dengan xold tebak sebesar 5 dan ε 0,0005 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,2575 dengan f ’(xold) sebesar
3,7787.
Pada soal latihan 4 dengan xold tebak sebesar 9 dan ε 0,4162 diperoleh
akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,4162 dengan f ’(xold) sebesar
2,2190.
Pada tugas dengan xold tebak sebesar 5 dan ε 0,0005 diperoleh akar xold
dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 0,7465 dengan f ’(xold) sebesar 7,0414.
Saran
Dalam penulisan rumus atau formula pada Microsoft Excel dibutuhkan
ketelitian yang tinggi karena tanda kurung dan simbol – simbol matematika
yang digunakan cukup banyak pada praktikum ini. Ketidaktelitian dalam
membaca soal dapat berakibat hasil perhitungan yang tidak sesuai. Pada
praktikum ini dibutuhkan ketelitian terutama dalam penulisan rumus f’(x old)
karena rumus yang digunakan cukup panjang sehingga kesalahan penulisan
sangat mungkin dan sering terjadi pada saat melakukan praktikum.
F. Daftar Pustaka
Penyelesaian Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:39
http://lecturer.eepis-its.edu/~alfaruqi/mnumerik/bab3tm.pdf
Persamaan. Diakses 28 Oktober 2014 19:52
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan
Persamaan Linier. Diakses 28 Oktober 2014 19:57
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear
Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:31
http://www.slideshare.net/dagangku1/metode-numerik-persamaan-linier