BAB 3 Sistem persamaan linier fixs

BAB 3
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
A.

PERSAMAAN LINEAR
Bentuk umum sistem persamaan liniear dan linear
1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
ax  by  c
px  qy  r



x dan y adalah variabel
a,b,c,p,q,r �R
Basic concept :
Cara menyelesaikannya dengan :
1) Metode Eliminasi
2) Metode Substitusi
3) Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
4) Metode Grafik
5) Metode Diskriminan

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut !
xy 2
3x  7y  2
a. Eliminasi

x− y=2
3 x−7 y=−2

x3
x1

x− y=2
3 x−7 y=−2

x7
x1

3 x−3 y=6
3 x−7 y=−2

4y = 8
y =2

7 x−7 y=14
3 x−7 y=−2
4x = 16
x= 4

b. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
diperoleh :
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16

32

x=4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)

4–y=2
y =4–2
=2
c. Campuran Eliminasi dan Substitusi

x− y=2
3 x−7 y=−2

3 x−3 y=6
3 x−7 y=−2

x3
x1

4y = 8
y =2

d.

y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)

x–2=2
x
= 4
Grafik

3x – 7y = -2
(4,2)

2
-2

x–y=2

Dengan grafik dapat dilihat :
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
mampunyai anggota tak terhingga)

33

e.

2.

-

2.

Diskriminan
a b
D  p q  aq  bp
c b
Dx  r q  cq  br
a c
Dx  p r  ar  cp
D
D

x  x dan y  y
D
D

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
a1 x  b1 y  c1z  d1
a2 x  b2 y  c2 y  d2
a x  b3 y  c3z  d3
Bentuk umum : 3
x, y, z adalah variabel
a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,d3 �R
Solusi / penyelesaian : bisa dengan metode eliminasi

MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPL
Contoh :
Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun
yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun.
Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek
sekarang.
Jawab :

Misalkan :
umur kakek sekarang adalah x
umur adikku sekarang adalah y
Maka diperoleh persamaan :
a. x – 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50 .............. (1)
b. (x + 5)+(y + 5) = 93
x + y + 10 = 93
x + y = 83...................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x – 6y = -50
x + y = 83
- 7y = -133
y = 19

34

x + y = 83
x
= 83 – 19 = 64

Jadi, umur nenek sekarang = 64 – 6 = 58 tahun.

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1. UN 2011
Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil
kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih
banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga
kebun tersebut adalah 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah…
A. 90 kg
D. 70 kg
B. 80 kg
E. 60 kg
C. 75 kg
Pembahasan :
Misalkan :
Jumlah hasil panen Pak Ahmad = x kg
Jumlah hasil kebun Pak Badrun = y kg
Jumlah hasil kebun Pak Yadi = z kg
Maka diperoleh persamaan :
y  x  15

z  y  15
x  y  z  225
� x   x  15    x  15  15  225
� 3x  270
� x  90
Jawaban:A
2.

UN 2012
Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun
lebih muda dari pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira
adalah 119 tahun. Jumlah umur bu Andi dan Amira adalah…
A. 86 tahun
D. 64 tahun
B. 74 tahun
E. 58 tahun
C. 68 tahun
Pembahasan :
Misalkan :
Umur Pak Andi = a

Umur Bu Andi = b

35

Umur Amira = c
Maka,
a  c  28 � c  a  28
ba6
a  b  c  119
� a   a  6    a  28   119
� 3a  34  119
� 3a  153 � a  51
a  b  c  119
� 51  b  c  119
� b  c  119  51  68
Jawaban:C
3.

UN 2012
Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur Elisa. Umur Elisa 3 tahun lebih

tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa, dan Firda 58 tahun,
jumlah umur Deksa dan Firda adalah . . .
A. 52 tahun
D. 39 tahun
B. 45 tahun
E. 35 tahun
C. 42 tahun
Pembahasan :
Misalkan:
d = umur Deksa
e = umur Elisa
f = umur Firda
d  e  4
e  f 3� f  e3
d  e  f  58
�  e  4   e   e  3  58
3e  1  58
3e  57

�
�

�
e  19
Jadi,
d  e  f  58
� d  19  f  58
�
d  f  58  19
�

d  f  39
Jawaban:D

36

PAKET SOAL LATIHAN
1.

Jika x dan y memenuhi sistem persamaan linier :
3x  2y   3
2x  y  5



Nilai x + y =…

2.

A. – 8
D. 4
B. – 6
E. 6
C. – 2
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut :
�3 4
  16
�
�x y
�2 3
�  5
�x y
adalah {(x ,y )}
o

o

Maka nilai 4xo.yo = …

3.

4.

5.

A. 4
D. – 8
B. 1
E. – 16
C. – 4
Adit, Budi, Candra, dan Doni pergi belanja ke toko buah bersama – sama.
Adit membeli 2 kg rambutan dan 2 kg duku dan ia harus membayar Rp
29.500,00. Candra membeli 2 kg rambutan dan 2 kg jeruk, dan ia harus
membayar Rp 24.750,00. Budi membeli 3 kg jeruk dan 1 kg duku, ia pun
harus membayar Rp 36.750,00. Jika Doni ingin membeli 1 kg rambutan, 1
kg duku, dan 1 kg jeruk, maka ia harus membayar sebesar…
A. Rp 24.000,00
D. Rp 23.000,00
B. Rp 23.500,00
E. Rp 22.750,00
C. Rp 23.250,00
Umur pak Dani 28 tahun lebih tua dari umur Bella. Umur bu Dani 6 tahun
lebih muda dari pak Dani. Jika jumlah umur pak Dani, bu Dani, dan Bella
adalah 119 tahun. Jumlah umur Bu Dani dan Bella adalah…
A. 58 tahun
D. 75 tahun
B. 64 tahun
E. 80 tahun
C. 68 tahun
Diketahui sistem persamaan sebagai berikut :
�
�x  y  z   4
3x  2y  3z  5
�
� x  y  2z  3

37

Maka nilai z =…

6.

7.

8.

9.

A. 5
D. – 2
B. 4
E. – 3
C. – 1
Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00.
Sedangkan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp
90.000,00. Jika dengan uang Rp 130.000,00, Dini mendapatkan 2 kg
mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur. Maka harga 1 kg jeruk adalah…
A. Rp 5.000,00
D. Rp 15.000,00
B. Rp 7.500,00
E. Rp 20.000,00
C. Rp 10.000,00
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut :
�2 2 1
�x  y  z  3
�
�1 1 1
�   6
�x y z
�3  1  2  7
�
�x y z
adalah {(x,y,z)}
Maka nilai dari 3z + x + 2y = …
A. 0
D. 12
B. 1
E. 14
C. 3
Pak Slamet bekerja selama 5 hari dan 2 di antaranya lembur dan
mendapat upah Rp 550.000,00. Sedangkan Pak Warto bekerja selama 6
hari dan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp 740.000,00. JIka
Pak Maryadi bekerja selama 4 hari dengan terus – menerus lembur, maka
upah yang akan diperoleh adalah…
A. Rp 700.000,00
D. Rp 460.000,00
B. Rp 600.000,00
E. Rp 360.000,00
C. Rp 560.000,00
Seorang siswa bernama Arif mempunyai nilai – nilai Matematika, Fisika,
dan Kimia dengan data sebagai berikut :
Jumlah nilai Matematika, Fisika, dan Kimia adalah 228, apabila 2 kali nilai
Matematika ditambah nilai Fisika kemudian dikurangi nilai Kimia
menghasilkan 142, sedangkan jika nilai Matematika dikurangi 3 kali nilai
Fisika kemudian ditambah 5 kali nilai Kimia menghasilkan 220. Nilai
Matematika Arif adalah…

38

A. 68
D. 72
B. 69
E. 78
C. 70
10. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur anaknya.
Empat tahun yang akan datang, 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur
anaknya ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…
A. 78 tahun
D. 43 tahun
B. 54 tahun
E. 39 tahun
C. 49 tahun

39