Menentukan akar persamaan polinomial non linear dengan metode Muller dan metode Muller-Biseksi.

(1)

vii ABSTRAK

Metode Müller merupakan perluasan dari metode Secant untuk menentukan akar persamaan polinomial. Dalam metode Secant, untuk mencari akar persamaan polinomial dimulai dengan dua titik awal. Titik pendekatan berikutnya diperoleh dari perpotongan garis yang melalui kedua titik awal dengan sumbu x. Untuk mencari akar persamaan polinomial dengan Metode Müller, dimulai dengan tiga titik awal. Titik pendekatan selanjutnya diperoleh dari perpotongan parabola yang melalui ketiga titik awal tersebut dengan sumbu . Dengan metode Müller dapat diperoleh akar real maupun kompleks dari masalah polinomial . Jika yang akan dicari hanya akar real saja, maka dipilih dua titik yang paling dekat dengan perpotongan parabola tersebut. Jika yang dicari adalah akar real maupun akar kompleks, maka tiga titik awal diperbaharui menggunakan titik potong yang baru ditemukan.

Metode Müller-Biseksi merupakan gabungan antara metode biseksi dengan metode Müller. Metode biseksi merupakan metode untuk mencari akar persamaan polinomial yang dimulai dengan dua titik awal, dimana nilai fungsi di kedua titik tersebut harus berbeda tanda, sehingga dapat diperoleh setidaknya satu akar real. Untuk mendapatkan titik ketiga yang akan digunakan dalam metode Müller, maka digunakan titik tengah dari kedua titik yang diketahui, dimana jarak antara titik tengah dengan salah satu titik, sama dengan jarak antara titik tengah dengan titik yang lainnya. Metode Müller-Biseksi menerapkan prinsip-prinsip pada algoritma metode biseksi, sehingga juga dapat diperoleh setidaknya satu akar real.

0 ) (x 

(2)

viii ABSTRACT

Müller method is an extension of the secant method for determining the roots of a non linear polynomial equation. In the secant method, to find a root of

polynomial it’s begun with two initial points. The next approximate points are obtained from the intersection of the line through the second starting point with the x-axis. To solve the root-finding problems by Müller method,it’s startedwith three initial points. The next approach point are obtained from the intersection of the parabola passing through the three started points with the x-axis. By this method, it may be obtained real and complex roots of a polynomial problem

0 ) (x _

f . If we want to find real-roots only, then we select two points closest to

the intersection of the parabola. If we are looking for the real and complex roots, the three initial points are updated using the new intersection point.

Müller-Bisection method is a combination of bisection and Müller method. Bisection method is a method to solve polynomial equations that started with two initial points, where the value of function at two points have different signs, so as to obtain at least one real root. To get the third points that will be used in the Müller method, we used the mid point given two points, where the distance between the mid point with one point equal to the distance between the mid point of the other point. Müller-Bisection method applies the principles of the bisection algorithm, so it can also obtained at least one real-root.

(3)

MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL

NON LINEAR DENGAN METODE MÜLLER

DAN METODE MÜLLER-BISEKSI

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Yakobus Galih Mahardhika NIM: 063114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(4)

DETERMINE THE ROOTS OF NON LINEAR

POLYNOMIAL EQUATION USING MÜLLER

AND MÜLLER-BISEKSI METHOD

A PAPER

Presented As Partial Fulfillment Of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree Of

Mathematics Study Program

Written by:

Yakobus Galih Mahardhika Student ID: 063114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(5)

(6)

(7)

"

Lakukan apapun dengan tepat, bukan hanya

cepat. Keberhasilan tak bisa dihalangi jika

yang kamu lakukan telah tepat

"

Makalah ini kupersembahkan kepada:

Tuhan Yesus Kristus Dan Bunda Maria yang selalu memberkatiku,

Bapak dan Ibu yang selalu mendukungku,

Kekasih tercinta yang selalu memberi semangat dalam keadaan apapun,

Saudara dan teman-teman.

Almamaterku Universitas Sanata Dharma.

(8)

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Januari 2013 Penulis

(9)

vii ABSTRAK

0 ) (x 

(10)

viii ABSTRACT

Müller method is an extension of the secant method for determining the roots of a non linear polynomial equation. In the secant method, to find a root of

0 ) (x _

f . If we want to find real-roots only, then we select two points closest to

the intersection of the parabola. If we are looking for the real and complex roots, the three initial points are updated using the new intersection point.

(11)

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

Nomor Mahasiswa

: Yakobus Galih Mahardhika : 063114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

MEMENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON LINEAR DENGAN METODE MÜLLER DAN METODE MÜLLER-BISEKSI

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 31 Januari 2013

Yang menyatakan

(12)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.

Dalam menulis makalah ini banyak hambatan dan kesulitan yang penulis temukan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya makalah ini dapat selesai. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus dosen pembimbing makalah yang telah meluangkan waktu, pikiran, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam menyusun makalah ini.

3. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing akademik penulis sekaligus dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.

4. Ibu Ch.Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis semasa perkuliahan.

(13)

7. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan memberikan kemudahan kepada penulis semasa perkuliahan. 8. Kedua orang tuaku tercinta : Bapak Lucianus Bambang Turatmaja dan Ibu

Titik Maenawati serta adikku Benediktus Bintang Anggara yang dengan penuh cinta kasih telah memberikan semangat, saran, dan dukungan kepada penulis dalam segala hal.

9. Keluarga besar Rcs Harsodiryono dan Isman Prawirodiharjo yang telah memberikan doa dan dukungan kepada penulis.

10. Fransiska Dian Ajeng Pratiwi tercinta yang selalu mendampingi penulis dalam segala hal.

11. Teman-teman angkatan 2006 tanpa terkecuali yang telah memberikan semangat kepada penulis.

12. Seluruh kakak angkatanku dan adik angkatanku .

Penulis juga berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan makalah ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 31 Januari 2013

(14)

xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……….. HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS………

i ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….

HALAMAN PENGESAHAN ………

HALAMAN PERSEMBAHAN ……….

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………

ABSTRAK ………..

iii iv v vi vii

ABSTRACT ……… viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI………. ix

KATA PENGANTAR ……… x

DAFTAR ISI ………... xii

DAFTAR GAMBAR ……….. xiv

DAFTAR LAMPIRAN ………... xv BAB I. PENDAHULUAN ………..

A. Latar Belakang ………... B. Rumusan Masalah ……….. C. Pembatasan Masalah ……….. D. Tujuan Penulisan ………... E. Manfaat Penulisan ……….. F. Metode Penulisan ………...

1 1 3 3 3 3 4

(15)

xiii

G. Sistematika Penulisan ……… 4 BAB II. METODE BISEKSI DAN METODE SECANT………..

A. Persamaan Kuadrat ..……….. B. Fungsi dan Turunan……… C. Barisan……….. D. Metode Biseksi…..……… E. Metode Secant………

6 6 14 23 24 36 BAB III. MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON

LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MÜLLER DAN METODE MÜLLER-BISEKSI…

A. Metode Müller ……… B. Algoritma Metode Müller...………. C. Metode Müller-Biseksi……… D. Algoritma Metode Müller-Biseksi………..

51 51 59 75 76 BAB IV. PENUTUP ………

A. Kesimpulan ………..

B. Saran ………

85 85 86

DAFTAR PUSTAKA ……….. 87

(16)

xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 ………... 21 Gambar 2.2 ………...

Gambar 2.3 ………... Gambar 3.1………... Gambar 3.2………...

25 37 52 76

(17)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Biseksi………... Lampiran 2 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Secant………...

Lampiran 3 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan Menggunakan Metode Müller………... Lampiran 4 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Müller-Biseksi…...

(18)

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Metode Numerik merupakan suatu teknik atau metode penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis. Pendekatan penyelesaian dengan metode ini dilakukan apabila penyelesaian secara umum atau analitis sulit dilakukan. Hal-hal khusus yang dimiliki oleh metode ini adalah adanya proses penghitungan yang berulang-ulang (iterasi) yang membawa konsekuensi perlunya alat bantu untuk proses otomatisasi dari iterasi tersebut, yaitu program komputer. Penyelesaian metode numerik meliputi identifikasi masalah, memodelkan masalah secara matematis, mengidentifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya, implementasi metode ini dalam komputer, dan yang terakhir adalah menganalisis hasil akhir. Metode numerik hanya akan memberikan solusi hampiran yang ketelitiannya tergantung pada banyak faktor, seperti banyaknya desimal, kalkulator atau komputer yang digunakan, dan toleransi kesalahan yang diinginkan.

Dalam suatu persamaan polinomial kuadrat, akar-akarnya dapat diperoleh secara eksplisit dengan rumus kuadrat. Akan tetapi, untuk mencari penyelesaian dari suatu persamaan polinomial dengan derajat atau pangkat 3 tidaklah mudah,

karena tidak terdapat rumus eksplisit untuk mencari akarnya. Oleh karena itu, untuk mencari penyelesaian dari persamaan polinomial non linear secara umum, digunakan metode iterasi. Contoh metode numerik untuk menyelesaikan

(19)

persamaan polinomial adalah metode biseksi, metode Newton-Raphson dan metode Secant. Akan tetapi, metode tersebut dianggap belum cukup untuk mencari penyelesaian dari persamaan polinomial, karena penyelesaian yang dihasilkan hanya berupa akar real.

Mengingat bahwa dalam menyelesaikan suatu persamaan polinomial terkadang penyelesaiannya tidak hanya akar-akar real tetapi juga akar-akar kompleks, maka untuk mencari akar-akar real maupun akar-akar kompleks tersebut dapat digunakan metode Müller, dimana metode Müller merupakan perluasan dari metode Secant. Dalam metode Secant, untuk mencari penyelesaian masalah polinomial dimulai dengan dua nilai awal. Nilai pendekatan berikutnya diperoleh dari perpotongan garis yang melalui kedua titik awal tersebut dengan sumbu-x. Metode Müller, untuk mencari penyelesaian masalah polinomial dimulai dengan tiga nilai awal. Nilai pendekatan selanjutnya diperoleh dari perpotongan parabola yang melalui ketiga titik awal tersebut dengan sumbu-x.

Metode Müller-Biseksi merupakan gabungan antara metode biseksi dengan metode Müller. Metode biseksi merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan polinomial yang dimulai dengan dua nilai awal, dimana nilai awal fungsi dari kedua titik tersebut harus berbeda tanda. Untuk mendapatkan titik ketiga yang akan digunakan dalam metode Müller, maka digunakan nilai tengah dari iterasi kedua titik yang diketahui, dimana jarak antara nilai tengah dengan salah satu titik sama dengan jarak antara nilai tengah dengan titik yang lainnya. Selanjutnya, dari ketiga titik tersebut dapat digunakan metode Müller untuk menyelesaikan persamaan polinomial.

(20)

B. PERUMUSAN MASALAH

Berdasarkan uraian yang telah dikemukakan dalam latar belakang di muka, pokok permasalahan dalam makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apakah metode Müller dan metode Müller-Biseksi?

2. Bagaimana menentukan penyelesaian persamaan polinomial non linear menggunakan metode Müller dan metode Müller-Biseksi?

3. Bagaimana mengaplikasikan algoritma metode Müller dan metode Müller-Biseksi menggunakan MATLAB?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan makalah ini akan dibahas penyelesaian real dan kompleks dari persamaan polinomial non linear berderajat tinggi.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan makalah ini adalah menentukan penyelesaian persamaan polinomial non linear dengan metode Müller dan metode Müller-Biseksi.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat mencari penyelesaian persamaan polinomial yang berupa penyelesaian real dan kompleks dengan metode Müller maupun metode Müller-Biseksi.

(21)

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik proposal makalah ini, sehingga tidak ada hal-hal baru. Data yang diperoleh diolah dengan menggunakan MATLAB.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH B. PERUMUSAN MASALAH

C. PEMBATASAN MASALAH D. TUJUAN PENULISAN E. MANFAAT PENULISAN F. METODE PENULISAN G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB II METODE BISEKSI DAN METODE SECANT

A. PERSAMAAN KUADRAT B. FUNGSI DAN TURUNAN C. BARISAN

D. METODE BISEKSI E. METODE SECANT

(22)

BAB III MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON LINEAR DENGAN METODE MÜLLER DAN METODE MÜLLER-BISEKSI

A. METODE MÜLLER

B. ALGORITMA METODE MÜLLER C. METODE MÜLLER-BISEKSI

D. ALGORITMA METODE MÜLLER-BISEKSI

BAB IV PENUTUP

A. KESIMPULAN B. SARAN

(23)

BAB II

METODE BISEKSI DAN METODE SECANT

A. Persamaan Kuadrat Definisi 2.1

Suatupolinomial berorde n adalah suatu bentuk

0 1 1

1x ... a x a

a x a

y _n n  _n_ n   

dimana n adalah bilangan bulat tak negatif dan a_i adalah konstanta dengan i0,1,2,...,ndan an 0.

Contoh 2.1

3 2 ₅

2 6

8 x x x

y    adalah persamaan polinomial berorde 3.

Definisi 2.2

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

c bx ax

y 2  , dengan a0, a,b,cℝ

Huruf-hurufa,bdancdisebut sebagai koefisien. Koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linearb adalah koefisien darix, danc adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas. Grafik dari

(24)

persamaan kuadrat berbentuk parabola. Nilai-nilaia, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari persamaan kuadrat, yakni:

1. Nilai a0akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan

nilai a0akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.

2. b menentukan posisi puncak parabola, atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, yakni

a b x

2 

 .

3. c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbuyatau saat x0.

Contoh 2.2

Diberikan persamaan parabola _ _ 2 _2 _3

x x y

1. Karena a10, maka parabola terbuka ke bawah.

2. Sumbu simetri dari kurva yang dibentuk adalah 1 ) 1 ( 2

2 2  

   

a b

x .

Sedangkan posisi puncak parabola adalah (1,4).

3. Titik potong kurva parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat

0 

x adalah saat (0,c) atau (0,3).

Berikut kurva persamaan parabola __ 2 _2 _3

x x y

(25)

Definisi 2.3

Diberikan persamaan 1 ₁ ₀

1 ...

)

(x a x a x a x a f

y n n

n    



 



p disebut akar persamaan dari y bila dan hanya bila

0 ...

)

( 1 ₁ ₀

1    



 

 p a p a

a p a p

f n n

n n

Contoh 2.3 1 2 )

(    f x x y

Memiliki akar, yaitu

2 1 

p , sehingga f(p)0.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien real dapat memilki sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, dimana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan real atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya.

Definisi 2.4

Bilangan kompleksadalah bilangan yang berbentuk,

bi a

dimana adan badalah bilangan real dan i2 1.

Bilangan kompleks biasa dilambangkan dengan huruf z, huruf a dan bmenyatakan bilangan real, sehingga dapat diwujudkan sebagai:

bi a

z 

Jika b0, z disebut bilangan imaginer.

(26)

Jika b0, zmerupakan bilangan real.

Jika b0 dan a0, maka z 0 adalah bilangan 0 padaℝmaupun pada ℂ. _{Dengan demikian, terlihat bahwa} ℝ _{adalah himpunan bagian dari} ℂ_,

atau bilangan real adalah kejadian khusus dari bilangan kompleks.

Contoh 2.4

5 3

4  adalah bilangan imaginer.

) 3 2

(  adalah bilangan imaginer murni.

Definisi 2.5

Diskriminansuatu persamaan kuadrat dirumuskan Db2 4ac.

Sifat-sifat diskriminan adalah sebagai berikut:

1. Jika diskriminan bernilai positif, akan terdapat dua akar berbeda yang keduanya merupakan bilangan real, yakni:

a ac b

b x

2 4

2 1

  

 , dan

a ac b

b x

2 4

2 2

   

Bukti:

Misalkan diberikan rumus kuadrat yax2bxc, dengan a0,



c b

a, , ℝ.

Misalkan x akar dari persamaan tersebut, maka

2 _ _ _

c bx ax

(27)

 a c x a b

x2  

Dengan melengkapkan kuadrat, persamaan di atas akan diperoleh

2 2

2 _

               a b a c a b x a b x  ₂ 2 2 4 2 a b a c a b

x _  

      

 ₂ 2

2 4 4 2 a b ac a b

x _  

      

Dengan menarik akar, diperoleh

a ac b a b x 2 4 2 2 _     a ac b a b x 2 4 2 2 _     a ac b b x 2 4 2 _    (1)

Karena D0, maka nilai x ada, yaitu:

a ac b b x 2 4 2 1   

 , dan

a ac b b x 2 4 2 2    

2. Jika diskriminan bernilai nol, terdapat satu akar yang merupakan bilangan real, yaitu

a b x 2   Bukti:

(28)

a ac b

b x

2 4

2 _   

Karena D0, maka persamaan (1), menjadi

a b x

2 0    

a b x

2  

Jadi, nilai x ada, yaitu

a b x

2 

 .

3. Jika diskriminan bernilai negatif, maka tidak terdapat akar real tetapi terdapat dua buah akar kompleks, yakni:

a b ac i b x

4 2 1

 



 dan

a b ac i b x

4 2 2

 

 

Bukti:

Diketahui persamaan (1), yaitu

a ac b

b x

2 4

2 _   

Karena D0, maka persamaan (1), menjadi

a b ac b

) 4

( _ 2 

  



b ac b

2 4 1 _ 2 

  



a b ac i b x

4 _ 2 

 

(29)

a b ac i b x 2 4 2 1     dan a b ac i b x 2 4 2 2     Contoh 2.5

1. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai positif Diberikan persamaan parabola _2 2 _5 _2

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a2, koefisien 5



b , koefisien c2. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

adalah

ac b

D 2 4

9 ) 2 )( 2 ( 4

52 _ _ 

Karena diskriminan positif, maka akar persamaannya berupa dua buah bilangan real, yakni:

a ac b b x 2 4 2 1     ) 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( 4 5 5_ 2 _   ) 2 ( 2 9 5 

 0.5

a ac b b x 2 4 2 2     ) 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( 4 5 5_ 2 _   ) 2 ( 2 9 5 

 2

(30)

2. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai nol Diberikan persamaan parabola _ 2 _6 _9

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a 1, koefisien 6



b , koefisien c9. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

adalah

ac b

D 2 4

0 ) 9 )( 1 ( 4

62 _ _ 

Karena diskriminan bernilai nol, maka terdapat satu akar yang merupakan bilangan real, dimana nilainya adalah

a b x

2 

 3

) 1 ( 2

6 __

 

Jadi, akar persamaannya adalah x3

3. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai negatif Diberikan persamaan parabola _ 2 _ _2

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a 1, koefisien 1



b , koefisien c2. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

(31)

ac b

D_ 2 _4

4 ) 2 )( 1 ( 4

12 _ __ 

Karena diskriminan negatif, maka akar persamaannya berupa dua buah bilangan kompleks, yakni:

        _     a b ac i a b x 2 4 2 2         _    ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 4 ) 1 ( 2 1 2

i _

         2 7 5 . 0 i         _     a b ac i a b x 2 4 2 2         _    ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 4 ) 1 ( 2 1 2

i _

         2 7 5 . 0 i

B. Fungsi dan Turunan Definisi 2.6

Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari suatu himpunan pertama dengan elemen-elemen pada himpunan kedua.

(32)

Himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi disebut daerah asal, sedangkan himpunan semua komponen kedua dari pasangan terurut dari relasi disebutdaerah hasil.

Contoh 2.6

Misalkan himpunan A adalah komponen pertama dari pasangan terurut,



1,3,5,6





Misalkan himpunan B adalah komponen kedua dari pasangan terurut



2,6,10,12





Relasi himpunan A dan himpunan B dapat ditulis dengan himpunan pasangan terurut



   

1,2, 3,6 5,10

 

, 6,12





, dengan daerah asal relasi



1,3,5,6



dan daerah hasil relasi



2,6,10,12



Definisi 2.7

Fungsiadalah relasi dimana setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil.

Contoh 2.7

Misalnya, persamaan y2x1 dan daerah asal ℝ menentukan fungsi 



 x x

y y

x, )| 2 1,

{( ℝ}.

Pasangan terurut dalam fungsi itu dapat ditentukan oleh pemberian nilai pada x.

(33)

untuk x2  y2(2)15

maka dua pasangan terurut dalam fungsi itu adalah (1,3) dan (2,5).

Definisi 2.8

Diberikan fungsi f :E ℝ dengan _Eℝ dan _cℝ titik limit _E.

Bilangan L dikatakanlimit f

 

x untuk x mendekati c, jika untuk setiap

0 

ε yang diberikan, terdapat δ 0 sedemikian sehingga untuk setiap

x dengan 0 xx0 δ , maka f(x)L ε . Dinotasikan

L x f

x ( ) lim

Contoh 2.8

Diberikan fungsi konstan f(x)k, dimana k suatu bilangan, untuk

setiap xℝ. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan real _c maka

 

x k f

x 

lim .

Penyelesaian

Diberikan ε 0. Maka, untuk sembarang bilangan real c yang ditentukan, c adalah titik limit dariℝ. Karena _f(_x)_k untuk semua



x ℝ, maka untuk δ 0 yang manapun, _xℝ dengan 0 _x_c δ

pasti berlaku f(x)k  kk 0ε. Jadi, menurut definisi terbukti

bahwa f

 

x k

x 

(34)

Definisi 2.9

Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, maka f kontinudi c jika

 

x f

c x

lim = f

 

Dari definisi tersebut, mengisaratkan tiga hal agar fungsi f

dikatakan kontinu di c, yaitu:

Fungsi f terdefinisi di c, yaitu f

 

c ada.

 

c x

lim ada

 

x f

c x

lim = f

 

c .

Contoh 2.9

Misalkan

 

2 4

2 

 

x x x

f , x2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan

di x2 agar kontinu di titik x2?

Penyelesaian

 



 ₂

4 lim

2 _x

x  

 

 ₂

) 2 )( 2 ( lim

2 _x

x x

x limx2



x2



4

(35)

Definisi 2.10

Fungsi f kontinu pada selang terbuka, jika f kontinu di setiap titik

selang tersebut. Fungsi f kontinu pada selang tertutup

 

a,b jika f

kontinu pada

 

a, , kontinu kanan dib a,dan kontinu kiri di b.

Contoh 2.10

Misalkan f(x) x, buktikan f(x) kontinu

 

1,2 .

Bukti: 1 ) ( lim

1 

 f x

Misalkan ambil ε 0, ada δ 0, xℝ _dengan ₀ _x₁δ _berlaku ε

 1 ) (x

f . Karena x1δ , maka pilih δ ε , sehingga ε

   1 1 )

(x x

f . Jadi terbukti bahwa lim

 

1

c f x

x .

2 ) ( lim

2 

 f x

Misalkan ambil ε 0, ada δ 0, xℝ dengan 02_xδ berlaku ε

 2 ) (x

f . Karena 2xδ , maka pilih δ ε , dan karena

x2  2 , sehingga f(x)2  x2 ε . Jadi terbukti bahwa

 

lim 

c f x

x .

(36)

Definisi 2.11

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f' yang nilainya pada sebarang

bilangan c adalah

h c f h c f c

) ( ) ( lim ) (

' _  



asalkan limit ini ada.

Contoh 2.11

Misalkan f(x)13x6. Carilah f'(4).

Penyelesaian

h f h f f

) 4 ( ) 4 ( lim ) 4 (

' _  

 _h

] 6 ) 4 ( 13 [ ] 6 ) 4 ( 13 [ lim

 

  



h h

13 lim

0 

 lim13 13

0 

 

Definisi 2.12

Misalkan Aℝ dan misalkan _f :_Aℝ, _f mempunyai maksimum mutlak pada A jika ada titik x*A sedemikian sehingga f(x*) f(x)

x

 .

Definisi 2.13

Misalkan Aℝ _{dan misalkan} _f _:_Aℝ_, _f _mempunyai minimum mutlak pada A jika ada titik x*A sedemikian sehingga ( *) ( )

x f x f 

x

(37)

Teorema 2.1 (Teorema Rolle)

Misalkan f C

 

a,b dan f terdeferensial pada

 

a,b . Jika f(a) f(b) ,

maka ada paling sedikit satu bilangan c

 

a,b sedemikian sehingga 0

) (

' _

f .

Bukti:

Karena f(x) kontinu pada selang a xb, berarti f(x) mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam

 

a, , jadib

M x f

m ( ) dalam

 

a, . Bilab mM , maka f(x)= konstan, berarti

0 ) (x 

f .

Karena mM dan f(a) f(b), maka paling sedikit salah satu m atau

M tidak sama dengan f(a) f(b), misalnya M  f(a). Maka nilai

maksimum M tidak pada titik akhir dari

 

a, , melainkan terletak dib c

x , (acb) dan berarti f'(c)0 █

Teorema 2.2 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f C

 

a,b dan f terdeferensial pada

 

a,b , maka ada bilangan

 

a b

c , sedemikian sehingga

a b

a f b f c f

   ( ) ( ) )

(

' _. _(2.1)

(38)

Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis

lurus dari titik A(a, f(a)) dan B(b, f(b)), (lihat gambar 2.1), maka

fungsinya

) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

a b

a f b f a f x

g 

  

 (2.2)

Selisih antara grafik f dan g pada x adalah

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

a b

a f b f a f x f x g x f x

h 

  

 



 (2.3)

Dari persamaan (2.3), maka h(a)h(b)0. Oleh karena fungsi-fungsi )

f dan (xa) adalah kontinu dalam a xb dan terdeferensial

dalam (axb), maka menurut Teorema 2.1 ada nilai x yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk xc, acb berlaku

0 ) (

' _

h .

(39)

Dari persamaan (2.3) diperoleh

a b

a f b f x f x h

  

 ( ) ( ) ( ) )

( '

' _(2.4)

Untuk persamaan xc, persamaan (2.4) menjadi

a b

a f b f c f c h

  

 ( ) ( ) ( ) )

( '

a b

a f b f c f

  

 ( ) ( ) ( ) 0 '

a b

a f b f c f

   ( ) ( ) )

( '

█

Teorema 2.3 (Teorema Nilai Antara)

Jika f kontinu pada [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara f(a) dan

) (b

f , maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian sehingga f(c)W.

Bukti :

Dimisalkan f(a)< f(b), m dan M berturut-turut nilai minimum dan

maksimum mutlak dari f([a,b]). Karena m nilai minimum mutlak, maka

 

a b x

x f

m ( ),   , . Demikian juga M nilai maksimum mutlak, maka

) (x f

M  , x

 

a,b . Karena f kontinu pada

 

a, , makab

] , [ ]) ,

([a b m M

f  . Misalkan f(c)[m,M] untuk suatu c

 

a,b .Karena

m adalah minimum mutlak dan M adalah maksimum mutlak, maka M

b f c f a f

(40)

mutlak dari m sampai dengan Mpada [a,b], maka terdapat c(a,b)

sehingga f(c)W.█

C. Barisan

Sifat Archimedes

Untuk setiap bilangan real x dan y dengan x0, terdapat suatu bilangan

asli n sedemikian sehingga nx y.

Akibat Sifat Archimedes

Dengan mengganti x dengan 1 dan y dengan x, maka untuk setiap bilangan real x terdapat suatu bilangan asli n sehingga nx.

Definisi 2.14

Diberikan

 

xn _n_₁ barisan tak berhingga dari bilangan real atau kompleks.

Barisan

 

x_n _n_₁ mempunyai limit x (konvergen ke x), jika untuk setiap

0 

ε , ada bilangan bulat positif N(ε) sedemikian sehingga x_n x ε, bila n N(ε). Dinotasikan

x xn n 

lim .

(41)

Diberikan barisan

 

sn _n_₁ dengan

s_n 11. Buktikan

 

sn _n_₁ konvergen

ke 1.

Penyelesaian

Diberikan ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕdan ε

, sehingga untuk nℕ_dengan _n _berlaku 1ε

      

N n n

s_n 1 1 1 1 1 1

Jadi, lim 1   n

n S .

D. Metode Biseksi

Diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval [a,b],

dengan f(a)f(b)0, dimana dimisalkan bahwa f(a)0 dan f(b)0.

Dengan teorema nilai antara, jika f kontinu pada [a,b] dan bahwa f(a)

dan f(b) berbeda tanda, maka ada nilai p

 

a,b dengan f(p)0.

Meskipun prosedur akan bekerja ketika ada lebih dari satu akar dalam interval

 

a, , diasumsikan untuk kesederhanaan, bahwa akar dalamb interval ini adalah tunggal. Cara kerja metode ini adalah membagi dua subinterval [a,b] secara berulang, dan pada setiap langkah menempatkan

titik p pada tengah subinterval tersebut. Misalkan a₁ a dan b₁ b, dan misalkan p1 adalah titik tengah dari [a,b], maka

(42)

2 2

1 1 1 1 1 1

b a a b a

p     

Jika f(p₁) 0, maka p p₁dan proses dihentikan. Jika f(p₁)0, maka )

(p₁

f memiliki tanda yang sama dengan salah satu dari f(a₁) atau )

(b₁

f . Ketika f(p₁) dan f(a₁) mampunyai tanda yang sama, maka )

, (p₁ b₁

p , dan menetapkan a₂  p₁ dan b₂ b₁. Ketika f(p₁) dan

) (a₁

f berlawanan tanda , maka p(a₁,p₁), dan menetapkan a₂ a₁ dan

2 p

b  . Kemudian prosesnya diulang kembali untuk interval [a2,b2]. Cara kerja metode biseksi bila diilustrasikan secara geometris tampak seperti pada Gambar 2.2 berikut ini.

Gambar 2.2 Metode Biseksi

Definisi 2.15

Misalkan

 

βn _n_₁ adalah suatu barisan yang diketahui konvergen ke nol,

(43)

n n α Kβ

α   , untuk n besar,

Maka dapat dikatakan bahwa

 

αn _n_₁ konvergen ke α dengan laju

konvergensi O

 

β_n , (dibaca “big oh dari β_n”). Hal ini dapat ditunjukkan

dengan menulis αn αOβn.

Contoh 2.13

Misalkan



      

n adalah suatu barisan yang konvergen ke nol, dan



       

1 1

n konvergen ke 1. Jika ada K konstanta positif dengan

n K n

1 1 1

1   , maka

        

1 1

n konvergen ke 1 dengan laju

konvergensi _     

O 1 .

Jadi 

       

n O n

1 1 1

1 .

Teorema 2.4

Misalkan bahwa f C[a,b] dimana f(a)f(b)0. Metode biseksi

membangkitkan barisan

 

p_n _n_₁ yang konvergen ke akar p dari f dengan



n n



n a b

p  

2 1

(44)

] , [ n n n a b

I  , nℕ, dengan ( ) ( )0,

n n f b

a f

dan n _n

a b p p

2  

 , ketika n1

serta laju konvergensi      

2 1

Bukti:

1. Akan dibuktikan ( ) 2

1 b a

b_n  _n  _n_ 

Diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval [a,b],

dengan f(a)f(b)0, dimana dimisalkan bahwa f(a)0 dan

0 ) (b 

f . Dengan teorema nilai antara, jika f kontinu pada [a,b] dan

bahwa f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka ada nilai p

 

a,b dengan f(p)0. Misalkan a₁ a dan b₁ b, dan p adalah akar

dari f(x). Misalkan I₁ [a,b], dimana panjang I₁ ba. Cara kerja metode biseksi adalah dengan membagi interval menjadi dua bagian, sehingga panjang interval I₂ [a₂,b₂] adalah setengah dari panjang interval I₁, untuk setiap n1, dapat diperoleh

a b I₁  

1 2

2 1

I 

) ( 2 1 ) (

2 1

1 1 2

2 a b a b a

(45)

2 3

2 1

I 

) (

2 1

2 2 3

3 a b a

b    ( )

2 1 2 1

1 1 a

b 



 ( )

2 1

2 ba 

3 4

2 1

I 

) (

2 1

3 3 4

4 a b a

b    ( )

2 1

3 ba 

Dan seterusnya, sehingga diperoleh

1 2 1

  n n I

) ( 2

1 b a

bn  n  _n_ 

2. Akan dibuktikan

 

p_n _n_₁ konvergen ke akar p.

Bukti:

Misalkan pakar dari f dan f(an)f(bn)0, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, a_n  pb_n ,nℕ, sehingga

1. an  pbn atau  pan bn an  n_₁



ba



2 1

0 .

Untuk  pan bn an  _n_₁



ba



2 1

0 , maka



b a





b a



p _n  _n_   _n 

2 2 2

1 1



b a



a p

n n _ _



2 1 2



b a



p _n  _n_₁ 

2 1

(46)



b a





b a



n   ₂ 1  1 2

...(2) Selisih dari (1) dan (2) diperoleh

  )

(p an





1 _ _

a b

  )

(p a_n _n



ba



2 1

Jadi p a p an _n



b a





b a



n _ _ _ _ _ _



1 2

1 2

2 .

2. an  pbn an  p0bn  p

Karena 0b_n  p dan bn  pbn an , maka



b a



a b p

bn   n  n  _n 

 _₁

2 1

0 , sehingga

Untuk bn  pbn an  _n_₁



ba



2 1

0 , maka



b a





b a



b_n   _n_   _n 

2 2 2

1 1



b a



p b

n n  _ _

2 1 2



b a



bn   _n_₁ 

2 1

...(1)



b a





b a



n   ₂ 1  1 2

...(2) Selisih dari (1) dan (2) diperoleh

  )

(bn p





1 _ _

a b

(47)

  )

(b_n p _n



ba



2 1

Jadi bn p _b_n _ p_ _n



b_a



_ _n



b_a



1 2 1 2 1 2 .

Sehingga p_n  p  (a_n b_n)p

2 1

p p b

an n

2 1 2 1 ) ( 2

1 _ _ _



p p b

a_n _n

2 1 2 1 2 1 2 1     p b p

a_n _n

2 1 2 1 2 1 2 1    

dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

p b p

a_n _n

2 1 2 1 2 1 2 1     p b a

p n n

2 1 2 1 2 1 2

1 _ _ _





pa_n  b_n  p



 2 1









      _ _ _

 _n b a _n b a

2 1 2 1 2 1



b a





b a



n   

  2 1 2 2 2 1

sehingga p_n  p  _n



ba



2 1

(48)

Untuk membuktikan laju konvergensinya, ada dua syarat yang harus dibuktikan, yaitu;

1. Barisan



      

2 1

n konvergen ke 0.

2. Barisan

 

pn _n_₁ konvergen ke p.

Bukti:

1. Akan dibuktikan 0 2

1 lim 

  n

n .

Bukti:

Ambil sebarang ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕ dan ε



, maka untuk nℕ dengan _n_N berlaku

    

N n n

1 2

1 0 2

Jadi 0 2

1 lim 

  n

n .

2. Akan dibuktikan p_n p

n 

lim .

Bukti:

Ambil sebarang ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕ dan ε



, maka untuk nℕdengan _n_N berlaku















  ε  ε



 1 ( ) ( )

2 1 2

1 b a

a b N a b a

b p

p_n _n _N .

Jadi pn p

n 

(49)

Jadi terbukti bahwa barisan

 

pn _n_₁ konvergen ke p dengan

laju konvergensi      

2 1

; maka

      

 _n

n p O

2 1

. █

Algoritma Metode Biseksi

1. Menentukan nilai a₁ dan b₁, toleransi,i=1. 2. Menghitung f(a₁) dan f(b₁).

Jika f(a₁)f(b₁)0, maka proses dihentikan karena tidak mempunyai akar. Jika f(a₁)f(b₁)0, maka proses dilanjutkan.

3. Menghitung

2 1 1 1

b a

p  

4. Menghitung nilai f(p₁). Jika f(p₁) toleransi, maka iterasi

dihentikan. Jika tidak, lanjutkan ke Langkah 5.

5. Jika f(a₁)f(p₁)0,, maka tetapkan a₂ a₁ dan b₂  p₁, jika ,

0 ) ( )

(b1 f p1 

f , maka tetapkan a2  p1 dan b2 b1. Kembali ke

Langkah 3. Tetapkani=i+1.

Contoh 2.14

Gunakan metode Biseksi untuk menentukan akar persamaan 10

4 )

( _ 3 _ 2 _

x x x f

(50)

dalam interval [1,2]. Toleransi galatnya adalah 0.01%.

Penyelesaian Iterasi 1

Langkah 1. a1 x0 1 b1 x1 2

Toleransi galatnya 0.01%. i=1

Langkah 2. f(x₀)5 f(x₁)14

Karena f(x₀)f(x₁)0 , maka proses dilanjutkan. Langkah 3. Menghitung 1.5

2 2 1 2

1 0

2 

    x x

Langkah 4. Menghitung f(x₂)2.375

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₀)f(x₂)0 maka tetapkan x₀ 1 dan x₁ 1.5

Iterasi 2

Langkah 3. Menghitung 1.25 2

5 . 1 1 2

2 0

3 

    x x

Langkah 4. Menghitung f(x₃)1.79687

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.25 dan 5

. 1

1 

(51)

Iterasi 3

Langkah 3. Menghitung 1.375 2

5 . 1 25 . 1 2

2 3

4 

    x x

Langkah 4. Menghitung f(x₄)0.16211

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.25 dan 375

. 1

1 

Iterasi 4

Langkah 3. Menghitung 1.3125 2

375 . 1 25 . 1 2

4 3

5 

    x x

Langkah 4. Menghitung f(x5)0.84839

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.3125 dan 375

. 1

1 

Iterasi 5

Langkah 3. Menghitung 1.34375 2

375 . 1 3125 . 1 2

4 5

6 

 

  x x

Langkah 4. Menghitung f(x₆)0.35098

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x6)f(x4)0 maka tetapkan x0 1.34375 dan

375 . 1

1 

(52)

Iterasi 6

Langkah 3. Menghitung 1.35937 2

375 . 1 34375 . 1 2

4 6

7 

 

  x x

Langkah 4. Menghitung f(x₇)0.09641

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₇)f(x₄)0 maka tetapkan x₀ 1.35975 dan 375

. 1

1 

Iterasi 7

Langkah 3. Menghitung 1.36718 2

375 . 1 35937 . 1 2

4 7

8 

 

  x x

Langkah 4. Menghitung f(x₈)0.03236

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₇)f(x₈)0 maka tetapkan x₀ 1.35975 dan 36718

. 1

1 

Iterasi 8

Langkah 3. Menghitung 1.36328 2

36718 . 1 35937 . 1 2

8 7

9 

 

  x x

Langkah 4. Menghitung f(x₉)0.03215

(53)

Langkah 5. Karena f(x₉)f(x₈)0 maka tetapkan x₀ 1.36328 dan 36718

. 1

1 

Iterasi 9

Langkah 3. Menghitung 1.36523 2

36718 . 1 36328 . 1 2

8 9

10 

 

  x x

Langkah 4. Menghitung f(x10)0.0000002

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dihentikan.

Dengan menggunakan program MATLAB, maka untuk setiap iterasi dapat ditunjukkan pada tabel berikut.

i a b P FP 1 1.000000000 2.000000000 1.500000000 2.375000000 2 1.000000000 1.500000000 1.250000000 -1.796875000 3 1.250000000 1.500000000 1.375000000 0.162109375 4 1.250000000 1.375000000 1.312500000 -0.848388672 5 1.312500000 1.375000000 1.343750000 -0.350982666 6 1.343750000 1.375000000 1.359375000 -0.096408844 7 1.359375000 1.375000000 1.367187500 0.032355785 8 1.359375000 1.367187500 1.363281250 -0.032149971 9 1.363281250 1.367187500 1.365234375 0.000072025 Jadi, hampiran akar persamaan ( )_ 3 _4 2 _10

x x x

(54)

E. Metode Secant

Metode secant adalah sebuah metode untuk mencari penyelesaian masalah polinomial f(x)0. Dalam metode secant, untuk mencari

penyelesaian persamaan polinomial dimulai dengan dua hampiran awal, yaitu x₀ dan x₁. Kedua hampiran tersebut tidak boleh menyebabkan

) (x₀

f dan f(x₁) saling meniadakan atau bernilai nol, karena jika salah satu diantara f(x₀) atau f(x₁) bernilai nol maka nilai f(x) selanjutnya

juga akan bernilai nol. Hal itu berarti akar persamaannya sudah diperoleh. Selama iterasi, nilai f(x₀) dan f(x₁) tidak boleh tepat sama.

Cara kerja metode secant bila diilustrasikan secara geometris tampak seperti pada Gambar 2.3 berikut ini.

(55)

Nilai pendekatan berikutnya x₂ diperoleh dari perpotongan garis yang melalui A(x₀,f(x₀))dan B(x₁,f(x₁)) dengan sumbu x , misalnya

titik potongnya disebut titik C.

Teorema 2.5

Misalkan bahwa f C[x₀,x₁]. Metode secant membangkitkan barisan

 

 1

n n

x dengan

)) ( ) ( (

) ( )

(

2 1

2 1 1 2

 

  



  

n n

n n n

n n

x f x f

x f x x f x

x , dan misalkan f ' kontinu

pada interval I 



ξ h,ξ h



,h0, dengan titik pusat ξ . Selanjutnya misalkan bahwa f(ξ)0, f'(ξ)0. Maka, barisan

 

x_n yang didefinisikan oleh metode secant akan konvergen ke ξ .

Bukti:

1. Perhatikan segitiga RAT dan SBT pada Gambar 2.3. Segitiga RAT sebangun dengan segitiga SBT, maka dengan rumus kesebangunan segitiga diperoleh

2 1

1 2

0) ( )

(

x x

x f x x

x f

  

 (x₁x₂)f(x₀)(x₀ x₂)f(x₁)

 x1f(x0)x2f(x0) x0f(x1)x2f(x1)

 x₂f(x₁)x₂f(x₀)x₀f(x₁)x₁f(x₀)

(56)

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 0 1 0 1 1 0 2 x f x f x f x x f x x   

Selanjutnya perhatikan segitiga SBU dan TCU pada Gambar 2.3. Segitiga SBU sebangun dengan segitiga TCU, maka dengan rumus kesebangunan segitiga diperoleh

3 2

2 3

1) ( )

( x x x f x x x f   

 (x₂ x₃)f(x₁)(x₁ x₃)f(x₂)

 x₂f(x₁)x₃f(x₁) x₁f(x₂)x₃f(x₂)

 x₃f(x₂)x₃f(x₁)x₁f(x₂)x₂f(x₁)

 x3(f(x2) f(x1))x1f(x2)x2f(x1)

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 1 3 x f x f x f x x f x x   

dan seterusnya, sehingga didapat

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x

2. Akan dibuktikan barisan

 

xn yang didefinisikan oleh metode secant

akan konvergen ke ξ .

Bukti:

Karena '(_ξ)_0

f , dimisalkan bahwa f '(ξ)α 0. Karena f' kontinu di I , maka untuk setiap ε 0 dapat dipilih interval



ξ δ ξ δ



δ   , 

(57)

ε α   ) ( ' x

f , xI_δ.

Dipilih ε α

4 1

 , dapat dilihat bahwa α α 4 5 ) ( 4 3

0_ _ ' _

f , xI_δ

Perhatikan kembali rumus metode secant sebagai berikut:

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x  )) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 1 1 1     _   n n n n n n n x f x f x f x x f x x

 xn_₁(f(xn) f(xn_₁))xn_₁f(xn)xnf(xn_₁)

 xn_₁f(xn)xn_₁f(xn_₁)xn_₁f(xn)xn f(xn_₁)

 xn1f(xn)xn1f(xn1)xnf(xn1)xn1f(xn) Kedua ruas dikurangi x_nf(x_n) , sehingga menjadi

 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ₁ ₁ ₁ ₁

1 n n n n n n n n n n n

n f x x f x x f x x f x x f x x f x

x _  _ _  _   _ 



(x_n_₁ x_n)(f(x_n) f(x_n_₁))(x_n_₁x_n)f(x_n)



) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1    _    n n n n n n n x f x f x f x x x x



) ( ) ( ) )( ( 1 1 1         n n n n n n n x f x f x x x f x x



_             )) ( ) ( ( ) ( 1 1 1 n n n n n n n x f x f x x x f x x (*)

(58)

1  n

x

_             )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( 1 1 n n n n n n x f x f x x f x f x ξ 1 1) ( ) ( ) ( ) (        n n n n n n x x x f x f f x f x ξ 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ) (          n n n n n n n n x x x f x f x f x f x x ξ ξ ξ

Dimisalkan bahwa σ_n terletak diantara x_n dan ξ, dan ϕ_n terletak diantara xn dan xn1. Dari rumus metode secant dan dengan teorema

nilai rata-rata serta f(ξ)0,diperoleh

1  n

x

) ( ) ( ) ( ' ' n n n n f f x x ϕ σ ξ    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' ' n n n n n n f f x f f x ϕ σ ξ ϕ ϕ    ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' n n n n n f f x f x ϕ σ ξ

ϕ  



 '( ) '( ) ( ) '( )

1 n n n n n

n f x f x f

x _ ϕ  ϕ  ξ σ

 '( ) '( ) ( ) '( )

1 n n n n n

n f x f x f

x ϕ  ϕ  ξ σ

 _  ( ) '( ) '( ) '( ) ( ) '( ) 1 ' n n n n n n n

n x f f x f x f

f ϕ ϕ ξ ϕ ϕ ξ σ

ξ  _    

 ( )( '( )) '( ) '( ) ( ) '( )

1 n n n n n

n f f x f x f

x ϕ ξ ϕ ϕ ξ σ

ξ  _    

 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ' ' 1 n n n n n n n f f x f x f x ϕ σ ξ ϕ ϕ ξ

(59)

 ) ( ) ( ) ( ' ' 1 n n n n n f f x x x ϕ σ ξ ξ

ξ       .

Oleh karena itu, karena x_n_₁I_δ dan x_nI_δ, kemudian juga σ_nI_δ dan ϕ_n I_δ, maka

) ( ) ( ) ( ' ' 1 n n n n n f f x x x ϕ σ ξ ξ

ξ  _    

) ( ) ( ) ( ' ' n n n n f f x x ϕ σ ξ

ξ   



1  xn

ξ ) ( ) ( 1 _' ' n n n f f x ϕ σ

ξ  



Karena σ_n,ϕ_nI_δ dan α α

4 5 ) ( 4 3

0_ _ ' _

f , xI_δ, maka

α σ α 4 5 ) ( 4 3

0_ _ ' _

f dan α ϕ α

4 5 ) ( 4 3

0_ _ ' _

n f . Misalkan,           

 α σ α α ϕ α

ϕ σ 4 5 ) ( 4 3 4 5 ) ( 4 3 | ) ( ) ( ' ' ' ' n n n n f dan f R f f P , maka, 5 3 4 5 4 3  α α

merupakan batas bawah dari P, sedangkan

3 5 4 3 4 5  α α

merupakan batas atas dari P.

Dengan demikian, 3 5 ) ( ) ( 5 3 ' '   n n f f ϕ σ

(60)

3 5 ) ( ) ( 5 3 ' '       n n f f ϕ σ 3 5 1 ) ( ) ( 1 5 3 1 _' '       n n f f ϕ σ 3 2 ) ( ) ( 1 5 2 ' '      n n f f ϕ σ atau 3 2 5 2 ) ( ) ( 1 3 2 ' '       n n f f ϕ σ atau 3 2 ) ( ) ( 1 _' '    n n f f ϕ σ sehingga 1  xn

ξ ) ( ) ( 1 _' ' n n n f f x ϕ σ

ξ  



1  xn

ξ  ξ xn

3 2

Jadi, x_n_₁I_δ dan barisan

 

xn konvergen ke ξ.

Definisi 2.16

Misalkan xn ξ en dan xn1 ξ en1 , dimana ξ adalah akar

dari f(x)0 , sedangkan en dan en1 adalah galat pada iterasi ke- n

dan n1, dan x_n , x_n_₁ adalah aproksimasi dari ξ pada iterasi ke- n dan n1. Jika en1 K enp dimana K adalah konstanta, maka laju

(61)

konvergensi dari metode secant yang membangkitkan

 

xn yang

dihasilkan adalah p.

Teorema 2.6

Metode secant memiliki laju konvergensi p1.618.

Bukti:

Diketahui, rumus iterasi untuk metode secant adalah sebagai berikut

)) ( ) ( (

) ( )

(

2 1

2 1 1

 

  



  

n n

n n n

n n

x f x f

x f x x

f x x



)) ( ) ( (

) ( )

(

1 1 1

  

 _

 

n n

n n n n n

x f x f

x f x x f x

x (1)

Misalkan ξ adalah akar dari f(x), sehingga f(ξ)0, dan

ξ   n n x

e adalah galat pada iterasi ke- n dalam mengestimasi ξ. Dengan demikian,

1 

   n n e

x ξ

n n e

x ξ  (2)

1 

   n n e

x ξ

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) akan diperoleh

(62)

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 1 1 1     _   n n n n n n n x f x f x f e x f e e (3)

Dengan teorema nilai rata-rata, β_n dalam interval x_n dan ξ , sehingga ξ ξ β    n n n x f x f

f '( ) ( ) ( )

karena

0 ) (ξ 

f dan xn ξ en ,

maka n n n e x f

f '(β ) ( ) atau f(x_n)e_nf '(β_n) (4)

Dengan menggunakan persamaan (2), diperoleh

) ( )

( ' ₁

1  

  n n

n e f

f β (5)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4) dan (5) ke persamaan (3), diperoleh ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ' ' 1 1        n n n n n n n x f x f f f e e

e β β

yakni 1  n e ∝ 1  n ne e (6)

Dengan definisi laju konvergensi, metode secant memiliki orde p

jika

e ∝ p n e

 , yakni en1 ∝

e (7)

(63)

n e ∝

1 

n ne

e yakni p

n e ∝

1 1   n p n e

 p

e ∝ p_₁1

 e_n∝ p p

e _₁( 1)/ (8)

Dari persamaan (7) dan (8) didapat

p p p 1

 2 _ _1_0 p

2 5 1 

Karena p0 , maka dipilih p1.618

Dengan demikian en_₁∝

618 . 1 n e

Jadi metode secant memiliki laju konvergensi dengan p1.618

Berdasarkan uraian pada bagian sebelumnya, maka prosedur dalam menentukan akar-akar polinomial dengan metode secant adalah sebagai berikut:

Algoritma Metode Secant

1. Menentukan dua hampiran awal, yaitu x₀ danx₁, menentukan toleransi.

(64)

)) ( ) ( (

) ( )

(

2 1

2 1 1

 

  



  

n n

n n n

n n

x f x f

x f x x f x x

3. Menghitung nilai f(x_n)

4. Jika f(x_n)  toleransi, maka iterasi dihentikan.

Jika f(x_n)  toleransi, maka iterasi diulangi lagi ke langkah 2, nn1.

Akar persamaan adalah nilai x_n terakhir yang diperoleh.

Contoh 2.15

Selesaikan ( )_ 3 _4 2 _10_0 x

x x

f dengan menggunakan metode secant. Dipilih tebakan awal x0 1 dan x1 2 dan toleransi galatnya adalah

0.01%.

Penyelesaian Iterasi 1

Langkah 1. Untuk x₀ 1, maka f(x₀)5 Untuk x1 2, maka f(x1)14

Langkah 2. Menghitung

)) ( ) ( (

) ( ) (

0 1

0 1 1 0 2

x f x f

x f x x f x x

  

5 14

) 5 ( 2 ) 14 ( 1

   

29 24

 1.2631

Langkah 3. Menghitung f(x₂)1.6023

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan kembali

(1)

Lampiran 1 : Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan Menggunakan

Metode Biseksi

fprintf('\n\n\n\n'); clear

clc

disp( '---');

disp('---Algoritma Metode Biseksi---');

disp( '---');

a = input(' masukkan a= '); b = input(' masukkan b= '); tol = input('masukkan tol= ');

disp(' i a b P FP')

N = 50; i = 1; FA = f(a);

while i<=N

P = a+(b-a)/2; FP = f(P);

fprintf('%5.0f%15.9f%15.9f%15.9f%15.9f\n',i,a,b,P,FP)

if abs(FP)< tol;

break end

i=i+1;

if FA*FP>0 a = P; FA=FP;

else

b=P;

end end

(2)

clear clc

n=input('masukkan n='); p0=input('masukkan p0='); p1=input('masukkan p1='); i=1;

q0=u(p0); q1=u(p1);

disp(' i p0 p1 p fp')

while i<=n

p=(p0*(q1)-p1*(q0))/(q1-q0); fp=f(p);

fprintf('%5.0f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f\n',i,p0,p1,p,fp)

if abs(fp)<(10^(-4))

break else

i=i+1; p0=p1; q0=q1; p1=p; q1=u(p);

end end

(3)

Lampiran 3 : Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan Menggunakan

Metode Muller

%Metode Muller clear

clc

%n=input('masukkan n='); %x0=input('masukkan x0='); %x1=input('masukkan x1='); %x2=input('masukkan x2='); n=50;

x0=4.5; x1=5.5; x2=5; h0=x1-x0; h1=x2-x1;

d0=(p(x1)-p(x0))/h0; d1=(p(x2)-p(x1))/h1; a=(d1-d0)/(h1+h0); b=d1+h1*a;

i=1; %j=i-1;

disp(' i x0 x1 x2 real(x) im(x) p(x) e')

%fprintf('%5.0f %5.0f\n',j,x2)

while i<=n b=d1+h1*a; x2;

D=(b^2-4*p(x2)*a)^(1/2);

if abs(b+D)> abs(b-D) E=b+D;

else

E=b-D;

end

x=x2+((-2*p(x2))/E); e=abs((x-x2)/x);

%fprintf('%5.0f %5.5f \n',i,x)

fprintf('%5.0f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f\n',i,x0,x1,x2,real(x),imag(x),p(x),e)

%if abs(p(x))<(10)^(-4)

if e<(10)^(-4)

break else

x0=x1; x1=x2; x2=x; h0=x1-x0; h1=x2-x1;

(4)

(5)

Lampiran 4 : Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan Menggunakan

Metode Muller-Biseksi

clear clc

%n=input('masukkan n='); %x0=input('masukkan x0='); %x1=input('masukkan x1='); %x2=input('masukkan x2='); n=50;

x0=1; x1=2;

% b=d1+h1*a; i=1;

disp(' i x0 x1 x2 real(x) im(x) p(x) e')

% x2=(x0+x1)/2; % if p(x2)<10^-4 % break % else % h0=x1-x0; % h1=x2-x1;

% d0=(p(x1)-p(x0))/h0; % d1=(p(x2)-p(x1))/h1; % a=(d1-d0)/(h1+h0); % b=d1+h1*a;

% D=(b^2-4*p(x2)*a)^(1/2); % if abs(b+D)> abs(b-D) % E=b+D;

% else

% E=b-D; % end

% x=x2+((-2*p(x2))/E); % e=abs((x-x2)/x); % if p(x0)*p(x)<0 % x0 = x0; % x1= x; % x2=x2; % else

% x0=x; % x1=x1; % x2=x2; % end

% fprintf('%5.0f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f \n',i,x0,x1,x2,real(x),imag(x),p(x))

% if e<(10)^(-4) % break % end

(6)

h1=x2-x1;

d0=(p(x1)-p(x0))/h0; d1=(p(x2)-p(x1))/h1; a=(d1-d0)/(h1+h0); b=d1+h1*a;

D=(b^2-4*p(x2)*a)^(1/2);

if abs(b+D)> abs(b-D) E=b+D;

else

E=b-D;

end

x=x2+((-2*p(x2))/E); e=abs((x-x2)/x);

fprintf('%5.0f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f %15.5f\n',i,x0,x1,x2,real(x),imag(x),p(x),e)

jx0=abs(x-x0); jx1=abs(x-x1); jx2=abs(x-x2);

if p(x0)*p(x)<0

if jx1 < jx2 x2=x1;

else

x2=x2;

end

x0 = x0; x1= x;

else

x0=x; x1=x1; x2 = x2;

end

i=i+1;

%if abs(p(x))<(10)^(-4)

if e<(10)^(-4)

break end

if p(x)<10^-5

break end

end end