BAB II TEORI PENUNJANG
2.1 RING DAN RING POLINOMIAL Definisi 2.1.1 [11]
Suatu ring •
+ ,
, R
adalah himpunan tidak kosong R yang dilengkapi dengan dua operasi biner yang disajikan dengan tanda jumlahan “+” dan tanda
perkalian •
yang memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini : i.
+ ,
R merupakan grup komutatif grup abelian.
ii. Terhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif.
iii. Memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu :
untuk setiap x, y, z ∈
R berlaku : x y + z = x y + x z dan
x + y z = x z + y z
Suatu ring •
+ ,
, R
dikatakan ring komutatif jika operasi perkalian •
pada R bersifat komutatif, yaitu: Untuk setiap
R y
x ∈
, sedemikian sehingga
x y
y x
• =
• .
Selanjutnya tipe khusus dari ring akan didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.2 [7]
Himpunan F adalah sebuah lapangan field jika memenuhi syarat-syarat berikut:
i. F adalah ring komutatif
ii. F mempunyai elemen satuan e dan
≠ e
iii. Setiap elemen tak nol dari F mempunyai invers terhadap perkalian.
Lapangan dengan elemen berhingga disebut lapangan berhingga atau disebut lapangan Galois Galois Field. Lapangan berhingga dangan q
elemen, dinotasikan dengan GF
q
yang menunjukkan Galois Field dengan q elemen. Dimana q haruslah dalam bentuk p
n
yaitu bilangan prima atau pangkat prima.
Definisi 2.1.3 [3]
Suatu lapangan berhingga yang terdiri atas p kelas-kelas residu sebagai sisa pembagian mod p dari bilangan bulat dengan p adalah bilangan prima
disebut Galois Field berorde p dan dinotasikan GF
p
. Misalkan R suatu ring komutatif dengan elemen satuan e dan x suatu simbol
yang disebut indeterminate, dengan fx, gx adalah polinomial-polinomial dalam x,
... ...
2 2
1 2
2 1
+ +
+ =
+ +
+ =
x b
x b
b x
g x
a x
a a
x f
Dimana koefisien-koefisiennya berasal dari lapangan R.
Definisi 2.1.4 [3]
Suatu polinomial fx di dalam GF
p
[x] dikatakan tereduksi atas GF
p
jika ditemukan polinomial
1
x Φ
berderajat m,
2
x Φ
berderajat n di dalam GF
p
[x] dengan
1 ,
1 ≥
≥ n
m sedemikian hingga
2 1
x x
x f
Φ Φ
=
Sehingga, fx dapat dibagi oleh
1
x Φ
dan
2
x Φ
. Sebaliknya, jika tidak mungkin menentukan polinomial dari
1
x Φ
dan
2
x Φ
, maka dikatakan tak tereduksi.
Contoh: Polinomial
4 3
2
2 3
+ +
+ x
x x
atas GF
5
[x] adalah polinomial tereduksi atas GF
5
karena 4
3 2
2 3
+ +
+ x
x x
dapat dibagi oleh polinomial-polinomial 1
3
2 1
+ +
= Φ
x x
x dan
4
2
+ =
Φ x
x
sedemikian sehingga : fx=
4 3
2
2 3
+ +
+
x x
x =
1 3
2
+ +
x x
4 +
x
Definisi 2.1.5 [3]
Polinomial-polinomial f
1
x, f
2
x ∈
GF
p
[x] disebut kongruen modulo x
Φ jika
2 1
x f
x f
−
dapat dibagi oleh x
Φ yang merupakan polinomial dari
GF
p
[x] dan dinotasikan
] [mod
2 1
x x
f x
f Φ
=
Contoh: Misalkan
4 4
3
2 3
1
+ +
+ =
x x
x x
f
x x
x f
+ =
2 1
2 Dimanda f
1
x, f
2
x
∈
GF
5
[x] Karena
4 3
2 3
2 1
+ +
+ =
−
x x
x x
f x
f dapat
dibagi oleh
1 3
2 1
+ +
= Φ
x x
x atau
4
2
+ =
Φ x
x maka
] [mod
1 2
1
x x
f x
f Φ
= .
Definisi 2.1.6 [3]
Setiap elemen tak nol θ
dari
n
p
GF memenuhi persamaan: 1
1
=
−
n
p
θ Elemen tak nol
θ dikatakan elemen primitif dari lapangan jika hasil dari
semua θ
dengan pangkat kurang dari p
n
-1 berbeda. Contoh:
Polinomial 2
2
+ +
=
x x
x p
merupakan polinomial primitif dari
2
3
GF
. Sebagai pengganti
1
2
+ x
polinomial irreduksibel atas
2
3
GF maka diperoleh sembilan kelas yaitu:
[0], [1], [2], [x], [x + 1], [x + 2], [2x], [2x + 1], [2x + 2]. Disisi lain, diberikan
2
2
+ +
= x
x x
p maka elemen-elemen tidak nolnya
adalah:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 ]
2 6
[ ]
2 1
2 2
[ 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 4
2 3
2 1
= +
= +
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
− −
= =
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
1 ]
1 3
[ ]
1 2
[ ]
[ ]
1 [
1 ]
1 4
[ ]
2 1
2 [
2 ]
[ 2
2 ]
2 4
[ ]]
1 2
[ ]
2 [[
2 ]
[ ]
2 [
2 ]
[ ]
2 [
2 8
2 7
2 6
5
= +
= +
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ +
= +
= +
= +
= +
= +
= =
= =
=
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
2.2 FAKTORISASI
Kategori