FUNGSI DALAM L FUNGSI DENSITAS EMPIRIK

84

2. FUNGSI DALAM L

2 R Diberikan f fungsi terukur yang didefinisikan pada himpunan terukur E ⊂R. Fungsi f dikatakan terintegral kuadrat Lebesgue jika f 2 terintegral Lebesgue pada E. Himpunan semua fungsi terukur yang terintegral kuadrat pada E dinotasikan dengan L 2 E L 2 E= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ ∫ E 2 f : f merupkan ruang linier. Lebih lanjut terhadap norma • dengan aturan jika f ∈L 2 E didefinisikan 2 1 E 2 f f ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∫ maka L 2 E merupakan ruang Banach. Jika L 2 E diperlengkapi dengan inner product 〉 〈.,. dengan aturan jika f,g∈ L 2 E didefinisikan ∫ = 〉 〈 E fg g , f maka L 2 E merupakan ruang pre Hilbert. Lebih lanjut ruang pre Hilbert L 2 E terhadap norma • di atas merupakan ruang Hilbert. Definisi 2.1 Dua fungsi f,g ∈ L 2 E dikatakan saling ortogonal jika g , f = 〉 〈 Definisi 2.2 Barisan fungsi {f n } ⊂ L 2 E dikatakan ortonormal jika untuk setiap indek i berlaku 1 f , f f i i i = 〉 〈 = dan f , f j i = 〉 〈 untuk i ≠j Definisi 2.3 Barisan fungsi {f n } ⊂ L 2 E dikatakan sistem ortonormal lengkap Complete Orthonormal System=CONS jika {f n } ortonormal dan jika g ∈ L 2 E sedemikian hingga g , f i = 〉 〈 untuk setiap indek i, maka g adalah fungsi nol. Teorema 2.1 Jika {f n } ⊂ L 2 E merupakan sistem ortonormal lengkap maka untuk setiap f ∈ L 2 E dapat dinyatakan sebagai ∑ ∞ = 〉 〈 = i i i i f f , f f Bukti : Diketaui {f n } CONS berarti jika g ∈ L 2 E dan g , f i = 〉 〈 untuk setiap i maka g=O. Ambil g= ∑ ∞ = 〉 〈 − i i i i f f , f f maka untuk sebarang indek k berlaku f , f f , f f k n 1 i i i = 〉 〈 − ∑ = dengan kata lain ∑ ∞ = 〉 〈 = i i i i f f , f f . g 85

3. FUNGSI DENSITAS EMPIRIK

Jika Fx menyatakan fungsi distribusi kumulatif CDF dari random variabel X maka peluang suatu observasi sama dengan atau lebih kecil dari x adalah PX ≤x=Fx. Karena fungsi densitas fx didefinisikan sebagai turunan dari Fx maka dapat dituliskan sebagai : x F x F 2 1 lim x f λ − − λ + λ = → λ Fungsi densitas ini dapat ditaksir dengan fungsi densitas empirik x . n 2 1 x F x F 2 1 lim x fˆ ~ ~ λ = λ − − λ + λ = → λ x menyatakan banyaknya data yang berada dalam interval x- λ, x+λ] Jika didefinisikan fungsi kernel ⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 x K lain yang 1 x 1 ≤ − maka fungsi densitas empirik di atas dapat dituliskan sebagai 3.1 ∑ = λ λ − λ = n 1 i i X x K n 1 x fˆ dengan X i =sampel ke-i, i=1,2,...,n dan λ= lebar bandwidth Beberapa fungsi kernel yang terkenal antara lain Kernel Gausian, Kernel Uniform, Kernel Triangle, dan Kernel Epanechnikov. Setiap fungsi kernel mempunyai sifat sebagai fungsi densitas dan simetri terhadap garis x=0. Secara analitis telah dibuktikan bahwa setiap fungsi kernel dapat digunakan untuk memberikan pendekatan terhadap persamaan 3.1.

4. PENDUGA DENSITAS TERBAIK