PELABELAN L(2; 1) PADA GRAF SIERPIN´ SKI S(n; k).
PELABELAN L(2,1) PADA GRAF SIERPIŃSKI S(n,k)
Oleh :
Yuri C Sagala
NIM.4113230031
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
PELABELAN L(2, 1) PADA GRAF SIERPIŃSKI S(n, k)
Yuri C Sagala
NIM: 4113230031
ABSTRAK
Pelabelan L(2, 1) pada sebuah graf G adalah fungsi f dari himpunan verteks
V (G) ke himpunan semua bilangan non-negatif sehingga |f (u) − f (w)| ≥ 2 jika
d(u, w) = 1 dan |f (u) − f (w)| ≥ 1 jika d(u, w) = 2. Bilangan pelabelan L(2, 1)
dari sebuah graf G adalah bilangan k terkecil sehingga G memiliki pelabelan L(2, 1)
dengan max{f (v) : v ∈ V (G)} = k. Graf Sierpiński merupakan salah satu bentuk
graf khusus perluasan dari graf lengkap. Pada penelitian ini ditunjukkan pelabelan
pada graf Sierpiński dengan menggunakan algoritma Chang-Kuo dan diperoleh
nilai L(2, 1){S(n, 2)} = 4 dan nilai L(2, 1){S(n, 3)} = 6 untuk n ≥ 2, dengan
L(2, 1){G} adalah bilangan maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) dari sebuah graf
G.
Kata kunci: Pelabelan L(2, 1), graf Sierpiński, nilai L(2, 1){S(n, k)}.
iii
Tehillim 121
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat T-han Yang Maha Esa atas rahmat
dan karunia-Nya sehingga skripsi yang berjudul ”Pelabelan L(2, 1) pada Graf
Sierpiński S(n, k) ini dapat terselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun untuk
memenuhi salah satu syarat gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu
hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan saran serta doa dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih
kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan.
2. Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Universitas Negeri Medan
dan Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika.
4. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika.
5. Ibu Susiana, S.Si, M.Si selaku dosen Pembimbing Skripsi yang telah banyak
memotivasi dan membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, serta
membimbing penulis juga dalam perkuliahan.
6. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Bapak Dr. Mulyono, M.Si, dan Ibu
Arnah Ritonga, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan
masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini.
7. Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku dosen Pembimbing Akademik.
8. Pegawai Perpustakaan Universitas Negeri Medan, yang memberikan izin dan
tempat kepada penulis untuk melakukan penelitian.
9. Seluruh dosen dan staf pegawai administrasi Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Negeri Medan yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi
ini dan memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
10. Teristimewa kepada Ayahanda terkasih Yustin Sagala, S.E dan ibunda tercinta
Ery Lucia Marpaung, S.E untuk semua kasih sayang, doa, ajaran, motivasi dan
jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
11. Kepada adik-adik Yadhi G.M Sagala, si kembar Gabriel dan Gilbert Sagala yang
memberikan dukungan kepada penulis.
v
12. Kepada teman-teman Joni Simanullang, Berkat I Sihotang, Sri Rejeki
Tambunan, Dian Utami serta keluarga besar Matematika Nondik 2011 yang
tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah memberikan dukungan, doa,
semangat, saran dan membantu proses persiapan dalam menyelesaikan skripsi
ini.
13. Pimpinan Bimbingan Belajar Medica Bapak dr.
Reinhard Silalahi yang
memberikan motivasi, ilmu dan pengalamannya kepada penulis dan kepada Kak
Ros, Bang Justin, Bang Hebron, Bang Vicky, Bang Rinaldo serta seluruh rekan
pengajar dan pegawai Bimbingan Belajar Medica atas kerja samanya selama ini.
14. Bang Salman yang telah membantu pembuatan program dalam penyusunan
tugas akhir ini.
15. Semua pihak yang telah membantu dan memberikan masukan serta arahan
kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Semoga T-han Yang Maha Kuasa membalas semua yang telah diberikan Bapak/Ibu
serta saudara/i, kiranya kita tetap dalam lindunganNya. Tulisan ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan.
Semoga tulisan ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir
kata, penulis ucapkan terima kasih.
Medan, Maret 2016
Penulis
Yuri C Sagala
NIM. 4113230031
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 2.4
Gambar 2.5
Gambar 2.6
Gambar 2.7
Gambar 2.8
Gambar 2.9
Gambar 2.10
Gambar 2.11
Gambar 2.12
Gambar 2.13
Gambar 2.14
Gambar 2.15
Gambar 2.16
Gambar 2.17
Gambar 2.18
Gambar 2.19
Gambar 2.20
Gambar 2.21
Gambar 2.22
Gambar 2.23
Gambar 2.24
Gambar 2.25
Gambar 2.26
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Gambar 4.6
Gambar 4.7
Contoh sebuah graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf Ganda, (b) Graf Semu . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf Tak Berarah, (b) Graf Berarah (Digraph) . . .
Graf tak berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jalan (walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf terhubung, (b) Graf tidak terhubung . . . . . . .
Graf dan subgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf lengkap Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf lingkaran Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf roda Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf bipartit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf yang isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf pohon, (b) Bukan graf pohon . . . . . . . . . . .
Graf Sierpiński (a) S(1, 3), (b) S(2, 3), (c) S(3, 3) . . .
Graf Sierpiński (a) S(1, 4), (b) S(2, 4), (c) S(3, 4) . . .
Fungsi f memetakan A ke B . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label verteks dan (b)
graf G yang sudah diberikan label verteks . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label jalur dan (b) graf
G yang sudah diberikan label jalur . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label total dan (b) graf
G yang sudah diberikan label total . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan pelabelan L(2, 1) dan
(b) graf G yang sudah diberikan pelabelan L(2, 1) . . .
Pelabelan L(2, 1) untuk graf P5 . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K1 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K1
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K2 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K2
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K3 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K3
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Graf Sierpiński S(2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(2, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf S(2, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf Sierpiński S(3, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(3, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf Sierpiński S(2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(2, 3) setelah semua verteks diberi label
.
.
.
.
.
.
.
ix
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
6
7
7
8
10
10
11
13
14
14
15
15
16
17
17
19
. 20
. 21
. 21
. 23
. 24
. 25
. 25
. 26
30
31
32
33
34
35
36
Gambar 4.8
Gambar 4.9
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Gambar 4.12
Graf Sierpiński S(3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(3, 3) setelah semua verteks diberi label . . .
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf S(n, 3) . . . . . . .
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(4, 3)
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(6, 3)
Gambar A.1
Tampilan halaman awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
41
44
45
45
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan alternatif dalam
mempermudah menyelesaikan suatu permasalahan di segala bidang. Salah satu
cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori
graf. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang diperkenalkan
pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736. Ide
besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Königsberg. Di
Königsberg (sebelah timur Prussia, Jerman) sekarang bernama Kaliningrad terdapat
sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak
sungai tersebut.
Saat ini teori graf semakin berkembang dan menarik karena keunikan dan
banyak sekali penerapannya. Keunikan teori graf adalah kesederhanaan pokok
bahasan yang dipelajarinya, karena dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan
jalur (edge). Misalnya menyelesaikan permasalahan pencarian lintasan terpendek,
permasalahan pengiriman surat (The Postman Problem), penentuan frekuensi
pemancar radio dan lain-lain dapat diselesaikan dengan teori graf. Permasalahan
seperti inilah yang dapat dimodelkan dalam bentuk graf dengan verteks-verteks
pada graf berkorespondensi dengan tempat-tempat yang berbeda dan dua verteks
pada graf dihubungkan dengan satu sisi atau jalur jika dan hanya jika dua tempat
yang berkorespondensi dengan dua verteks tersebut dihubungkan dengan sebuah
jalur.
Permasalahan yang muncul pada penentuan frekuensi pemancar radio adalah
menentukan frekuensi pada setiap pemancar radio sehingga jika ada dua pemancar
yang berdekatan, maka pemancar tersebut diberikan frekuensi yang berbeda. Tentu
saja, pemancar yang berdekatan harus menerima frekuensi dengan selisih yang
cukup untuk menghindari pelayangan. Permasalahan ini bermula dari pembicaraan
Fred Roberts dengan Jerrold Griggs, yang berencana menggunakan bilangan nonnegatif untuk mewakili saluran radio untuk mempelajari permasalahan penentuan
1
saluran radio secara optimal pada pemancar pada lokasi tertentu. Hasilnya, Griggs
dan Yeh (1992) memperkenalkan pelabelan L(h, k), yaitu pelabelan yang diberikan
pada verteks suatu graf yang bergantung tidak hanya pada dua verteks bertetangga
(berjarak satu), tetapi juga berjarak dua. Permasalahan yang lain adalah bagaimana
meminimumkan rentang pelabelan pada suatu graf yang diberikan, Hale (1980).
Pada penelitian ini, penulis menunjukkan pelabelan L(2,1) pada graf
Sierpiński.
Graf Sierpiński S(n, k) diperluas dari S(n, 3) oleh Klavz̆ar dan
Milutinović (1997) untuk k ≥ 3. Motivasi untuk perluasan ini muncul dari studi
topologi ruang Lipscomb, dan ditunjukkan bahwa ruang ini adalah perluasan dari
segitiga Sierpiński.
Kemudian, graf ini banyak dipelajari dari berbagai sudut
pandang (Fu dan Xie (2010), Gravier dan Parreau (2009), Gravier dan Mollard
(2005)). Graf Sierpiński S(n, k) diperluas dengan proses: S(1, k) isomorfik dengan
graf lengkap dengan k verteks (Kk ). S(n + 1, k) dibuat dari S(n, k) dengan
menggandakan n kali graf S(n, k) dan menambahkan tepatnya satu jalur pada setiap
hasil penggandaannya. Contoh graf Sierpiński ditunjukkan pada gambar Gambar
2.16 dan gambar Gambar 2.17.
Dengan demikian, penulis merumuskan judul yakni : PELABELAN L(2, 1)
PADA GRAF SIERPIŃSKI S(n, k).
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah maka rumusan masalah dari penelitian
ini adalah:
a. Untuk setiap nilai n dan k yang diberikan pada sebuah graf Sierpiński
S(n, k), bagaimana memberikan labelnya?
b. Berapakah nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf
Sierpiński?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan pelabelan
L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, k) dengan n ≥ 2 dan k = 2, 3.
2
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka yang menjadi tujuan penelitian
ini adalah:
a. Mengetahui cara memberikan label pada sebuah graf Sierpiński S(n, k)
dengan n ≥ 2 dan k = 2, 3.
b. Menentukan nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf
Sierpiński.
c. Membuat program sesuai algoritma pada tujuan (a).
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat, yaitu:
a. Sebagai bahan studi dan referensi bagi mahasiswa yang berminat untuk
mengadakan penelitian lebih lanjut tentang matematika terapan salah
satunya teori graf pada pelabelan graf.
b. Untuk menambah pengalaman bagi penulis dalam penelitian model
matematika tentang graf pada pelabelan graf yakni mengetahui bagaimana
penggunaan konsep pelabelan L(2, 1).
c. Secara umum, sebagai sumbangan pemikiran dan bahan kajian yang dapat
dipakai dalam penelitian lebih lanjut mengenai pelabelan pada graf.
3
BAB 5
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada bab 4, maka dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut:
Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński adalah sebagai
berikut:
1. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(2, 2)
atau nilai L(2, 1){S(2, 2)} adalah 3.
2. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, 2)
atau nilai L(2, 1){S(n, 2)} dengan n ≥ 3 adalah 4.
3. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(2, 3)
atau nilai L(2, 1){S(2, 3)} dengan 6.
4. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, 3)
atau nilai L(2, 1){S(n, 3)} dengan n ≥ 3 adalah 6.
5.2 Saran
Jika pembaca tertarik melanjutkan penelitian ini, penulis menyarankan hal-hal
berikut:
1. Algoritma Chang-Kuo untuk pelabelan L(2, 1) memiliki kelemahan dalam
hal pemilihan verteks. Algoritma ini hanya mempertimbangkan jarak
antara kedua verteks yang akan diberikan label. Penulis menyarankan
perlu adanya algoritma pelabelan L(2, 1) yang tidak hanya mempertimbangkan jarak antara dua verteks.
2. Menyelidiki adanya pola pengulangan label pada graf Sierpiński S(n, k)
untuk k ≥ 4.
3. Melakukan pelabelan L(2, 1) pada graf lainnya.
46
DAFTAR PUSTAKA
Bača, M., dan Mirka, M., (2008): Super Edge-Antimagic Graph: A Wealth of
Problems and Solutions, Brown Walker Press Boca Raton, Florida.
Calamoneri, T., dan Petreschi (2009): L(2, 1)-Labeling of Unigraphs, Department
of Computer Science, 1–19.
Chang, G., dan Kuo, D., (1996): The L(2, 1)-Labeling Problem on Graphs, SIAM
J. Disc. Math, 9, 309–316.
Chartrand, G., dan Lesniak, L., (1996): Graphs and Digraphs, CRC Press, Florida,
USA.
Chartrand, G., dan Zhang, P., (2009): Chromatic Graph Theory, CRC Press, USA.
Fu, H., dan Xie, D., (2010): Equitable L(2, 1)-labelings of Sierpiński graphs,
Australasian Journal of Combinatorics, 46, 147–156.
Gravier, S.; Klavz̆ar, S., dan Mollard, M., (2005): Codes and L(2, 1)-Labelings in
Sierpiński Graphs, Taiwanese Journal of Matematics, 9(4), 671–681.
Gravier, S.; Kovše, M., dan Parreau, A., (2009): Generalized Sierpiński Graphs,
ANR IDEA, .
Griggs, J., dan Yeh, R., (1992): Labeling graphs with a condition at distance two,
SIAM J. Discrete Math., 5(4), 586–595.
Hale, W., (1980): Frequency assignment: theory and application, Proc IEEE,
68, 1479–1514.
Klavz̆ar, S., dan Milutinović, U., (1997): Graphs S(n, k) and a Variant of The Tower
of Hanoi Problem, Czechoslovak Math J., 47(122), 95–104.
Lipschutz, S., dan Lipson, M., (2007): Theory and Problems of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, United States of America.
Lum, A., (2007): Upper Bound on the L(2, 1)-labeling Number of Graphs with
Maximum Degree ∆.
Marr, A., dan Wallis, W., (2001): Magic Graphs, Birkhäuser, Boston.
Munir, R., (2003): Matematika Diskrit, Informatika Bandung, Bandung.
Paul, S.; Pal, M., dan Pal, A., (2014): L(2, 1)-labeling of Circular-arc Graph, Annals
of Pure and Applied Mathematics, 5(2), 208–219.
Rao, G., (2009): Discrete Mathematical Structures, New Age International, New
Delhi.
Rosen, K., (2012): Discrete Mathematics and its Applications, McGraw-Hill,
United States of America.
Shao, Z.; Yeh, R., dan Zhang, D., (2008): The L(2, 1)-labeling on graphs and the
47
frequency assignment problem, Elsevier, 21, 37–41.
Siang, J., (2006): Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi,
Bandung.
Vasudev, C., (2006): Graph Theory with Applications, New Age International, New
Delhi.
Wallis, W., (2006): A Beginner’s Guide to Graph Theory, Birkhäuser, Boston.
48
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 22 November 1993. Ayah bernama
Yustin Sagala, S.E, dan ibu bernama Ery Lucia Marpaung, S.E. Penulis merupakan
anak pertama dari empat bersaudara.
Pada tahun 1999 penulis bersekolah di SD HKBP 1 Balige dan lulus pada tahun
2005. Lalu, pada tahun 2005 melanjutkan sekolah di SMP Budhi Dharma Balige
dan lulus pada tahun 2008. Kemudian melanjutkan pendidikan SMA di SMA
Negeri 4 Medan dan menyelesaikan pendidikan SMA pada tahun 2011.
Selesai menempuh pendidikan sekolah selama 12 tahun, penulis melanjutkan
pendidikan ke taraf yang lebih tinggi dengan berkuliah di Universitas Negeri
Medan, tepatnya di program studi Matematika jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) pada tahun 2011.
Selama perkuliahan, penulis mengikuti kegiatan organisasi kemahasiswaan di
Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika sebagai anggota dan juga bekerja
sebagai pengajar Matematika di Bimbingan Belajar Medica. Dan pada akhirnya,
penulis menyelesaikan studinya pada tanggal 18 Agustus 2016.
ii
Oleh :
Yuri C Sagala
NIM.4113230031
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
PELABELAN L(2, 1) PADA GRAF SIERPIŃSKI S(n, k)
Yuri C Sagala
NIM: 4113230031
ABSTRAK
Pelabelan L(2, 1) pada sebuah graf G adalah fungsi f dari himpunan verteks
V (G) ke himpunan semua bilangan non-negatif sehingga |f (u) − f (w)| ≥ 2 jika
d(u, w) = 1 dan |f (u) − f (w)| ≥ 1 jika d(u, w) = 2. Bilangan pelabelan L(2, 1)
dari sebuah graf G adalah bilangan k terkecil sehingga G memiliki pelabelan L(2, 1)
dengan max{f (v) : v ∈ V (G)} = k. Graf Sierpiński merupakan salah satu bentuk
graf khusus perluasan dari graf lengkap. Pada penelitian ini ditunjukkan pelabelan
pada graf Sierpiński dengan menggunakan algoritma Chang-Kuo dan diperoleh
nilai L(2, 1){S(n, 2)} = 4 dan nilai L(2, 1){S(n, 3)} = 6 untuk n ≥ 2, dengan
L(2, 1){G} adalah bilangan maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) dari sebuah graf
G.
Kata kunci: Pelabelan L(2, 1), graf Sierpiński, nilai L(2, 1){S(n, k)}.
iii
Tehillim 121
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat T-han Yang Maha Esa atas rahmat
dan karunia-Nya sehingga skripsi yang berjudul ”Pelabelan L(2, 1) pada Graf
Sierpiński S(n, k) ini dapat terselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun untuk
memenuhi salah satu syarat gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu
hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan saran serta doa dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih
kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan.
2. Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Universitas Negeri Medan
dan Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika.
4. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika.
5. Ibu Susiana, S.Si, M.Si selaku dosen Pembimbing Skripsi yang telah banyak
memotivasi dan membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, serta
membimbing penulis juga dalam perkuliahan.
6. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Bapak Dr. Mulyono, M.Si, dan Ibu
Arnah Ritonga, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan
masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini.
7. Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku dosen Pembimbing Akademik.
8. Pegawai Perpustakaan Universitas Negeri Medan, yang memberikan izin dan
tempat kepada penulis untuk melakukan penelitian.
9. Seluruh dosen dan staf pegawai administrasi Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Negeri Medan yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi
ini dan memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
10. Teristimewa kepada Ayahanda terkasih Yustin Sagala, S.E dan ibunda tercinta
Ery Lucia Marpaung, S.E untuk semua kasih sayang, doa, ajaran, motivasi dan
jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
11. Kepada adik-adik Yadhi G.M Sagala, si kembar Gabriel dan Gilbert Sagala yang
memberikan dukungan kepada penulis.
v
12. Kepada teman-teman Joni Simanullang, Berkat I Sihotang, Sri Rejeki
Tambunan, Dian Utami serta keluarga besar Matematika Nondik 2011 yang
tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah memberikan dukungan, doa,
semangat, saran dan membantu proses persiapan dalam menyelesaikan skripsi
ini.
13. Pimpinan Bimbingan Belajar Medica Bapak dr.
Reinhard Silalahi yang
memberikan motivasi, ilmu dan pengalamannya kepada penulis dan kepada Kak
Ros, Bang Justin, Bang Hebron, Bang Vicky, Bang Rinaldo serta seluruh rekan
pengajar dan pegawai Bimbingan Belajar Medica atas kerja samanya selama ini.
14. Bang Salman yang telah membantu pembuatan program dalam penyusunan
tugas akhir ini.
15. Semua pihak yang telah membantu dan memberikan masukan serta arahan
kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Semoga T-han Yang Maha Kuasa membalas semua yang telah diberikan Bapak/Ibu
serta saudara/i, kiranya kita tetap dalam lindunganNya. Tulisan ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan.
Semoga tulisan ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir
kata, penulis ucapkan terima kasih.
Medan, Maret 2016
Penulis
Yuri C Sagala
NIM. 4113230031
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 2.4
Gambar 2.5
Gambar 2.6
Gambar 2.7
Gambar 2.8
Gambar 2.9
Gambar 2.10
Gambar 2.11
Gambar 2.12
Gambar 2.13
Gambar 2.14
Gambar 2.15
Gambar 2.16
Gambar 2.17
Gambar 2.18
Gambar 2.19
Gambar 2.20
Gambar 2.21
Gambar 2.22
Gambar 2.23
Gambar 2.24
Gambar 2.25
Gambar 2.26
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Gambar 4.6
Gambar 4.7
Contoh sebuah graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf Ganda, (b) Graf Semu . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf Tak Berarah, (b) Graf Berarah (Digraph) . . .
Graf tak berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jalan (walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf terhubung, (b) Graf tidak terhubung . . . . . . .
Graf dan subgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf lengkap Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf lingkaran Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf roda Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf bipartit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf yang isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf pohon, (b) Bukan graf pohon . . . . . . . . . . .
Graf Sierpiński (a) S(1, 3), (b) S(2, 3), (c) S(3, 3) . . .
Graf Sierpiński (a) S(1, 4), (b) S(2, 4), (c) S(3, 4) . . .
Fungsi f memetakan A ke B . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label verteks dan (b)
graf G yang sudah diberikan label verteks . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label jalur dan (b) graf
G yang sudah diberikan label jalur . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan label total dan (b) graf
G yang sudah diberikan label total . . . . . . . . . . . . . .
(a) graf G yang belum diberikan pelabelan L(2, 1) dan
(b) graf G yang sudah diberikan pelabelan L(2, 1) . . .
Pelabelan L(2, 1) untuk graf P5 . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K1 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K1
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K2 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K2
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Graf K3 sebelum diberi label L(2, 1), (b) Graf K3
setelah diberi label L(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Graf Sierpiński S(2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(2, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf S(2, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf Sierpiński S(3, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(3, 2) setelah semua verteks diberi label
Graf Sierpiński S(2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(2, 3) setelah semua verteks diberi label
.
.
.
.
.
.
.
ix
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
6
7
7
8
10
10
11
13
14
14
15
15
16
17
17
19
. 20
. 21
. 21
. 23
. 24
. 25
. 25
. 26
30
31
32
33
34
35
36
Gambar 4.8
Gambar 4.9
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Gambar 4.12
Graf Sierpiński S(3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf S(3, 3) setelah semua verteks diberi label . . .
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf S(n, 3) . . . . . . .
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(4, 3)
Hasil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(6, 3)
Gambar A.1
Tampilan halaman awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
41
44
45
45
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan alternatif dalam
mempermudah menyelesaikan suatu permasalahan di segala bidang. Salah satu
cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori
graf. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang diperkenalkan
pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736. Ide
besarnya muncul sebagai upaya menyelesaikan masalah jembatan Königsberg. Di
Königsberg (sebelah timur Prussia, Jerman) sekarang bernama Kaliningrad terdapat
sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak
sungai tersebut.
Saat ini teori graf semakin berkembang dan menarik karena keunikan dan
banyak sekali penerapannya. Keunikan teori graf adalah kesederhanaan pokok
bahasan yang dipelajarinya, karena dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan
jalur (edge). Misalnya menyelesaikan permasalahan pencarian lintasan terpendek,
permasalahan pengiriman surat (The Postman Problem), penentuan frekuensi
pemancar radio dan lain-lain dapat diselesaikan dengan teori graf. Permasalahan
seperti inilah yang dapat dimodelkan dalam bentuk graf dengan verteks-verteks
pada graf berkorespondensi dengan tempat-tempat yang berbeda dan dua verteks
pada graf dihubungkan dengan satu sisi atau jalur jika dan hanya jika dua tempat
yang berkorespondensi dengan dua verteks tersebut dihubungkan dengan sebuah
jalur.
Permasalahan yang muncul pada penentuan frekuensi pemancar radio adalah
menentukan frekuensi pada setiap pemancar radio sehingga jika ada dua pemancar
yang berdekatan, maka pemancar tersebut diberikan frekuensi yang berbeda. Tentu
saja, pemancar yang berdekatan harus menerima frekuensi dengan selisih yang
cukup untuk menghindari pelayangan. Permasalahan ini bermula dari pembicaraan
Fred Roberts dengan Jerrold Griggs, yang berencana menggunakan bilangan nonnegatif untuk mewakili saluran radio untuk mempelajari permasalahan penentuan
1
saluran radio secara optimal pada pemancar pada lokasi tertentu. Hasilnya, Griggs
dan Yeh (1992) memperkenalkan pelabelan L(h, k), yaitu pelabelan yang diberikan
pada verteks suatu graf yang bergantung tidak hanya pada dua verteks bertetangga
(berjarak satu), tetapi juga berjarak dua. Permasalahan yang lain adalah bagaimana
meminimumkan rentang pelabelan pada suatu graf yang diberikan, Hale (1980).
Pada penelitian ini, penulis menunjukkan pelabelan L(2,1) pada graf
Sierpiński.
Graf Sierpiński S(n, k) diperluas dari S(n, 3) oleh Klavz̆ar dan
Milutinović (1997) untuk k ≥ 3. Motivasi untuk perluasan ini muncul dari studi
topologi ruang Lipscomb, dan ditunjukkan bahwa ruang ini adalah perluasan dari
segitiga Sierpiński.
Kemudian, graf ini banyak dipelajari dari berbagai sudut
pandang (Fu dan Xie (2010), Gravier dan Parreau (2009), Gravier dan Mollard
(2005)). Graf Sierpiński S(n, k) diperluas dengan proses: S(1, k) isomorfik dengan
graf lengkap dengan k verteks (Kk ). S(n + 1, k) dibuat dari S(n, k) dengan
menggandakan n kali graf S(n, k) dan menambahkan tepatnya satu jalur pada setiap
hasil penggandaannya. Contoh graf Sierpiński ditunjukkan pada gambar Gambar
2.16 dan gambar Gambar 2.17.
Dengan demikian, penulis merumuskan judul yakni : PELABELAN L(2, 1)
PADA GRAF SIERPIŃSKI S(n, k).
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah maka rumusan masalah dari penelitian
ini adalah:
a. Untuk setiap nilai n dan k yang diberikan pada sebuah graf Sierpiński
S(n, k), bagaimana memberikan labelnya?
b. Berapakah nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf
Sierpiński?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan pelabelan
L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, k) dengan n ≥ 2 dan k = 2, 3.
2
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka yang menjadi tujuan penelitian
ini adalah:
a. Mengetahui cara memberikan label pada sebuah graf Sierpiński S(n, k)
dengan n ≥ 2 dan k = 2, 3.
b. Menentukan nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf
Sierpiński.
c. Membuat program sesuai algoritma pada tujuan (a).
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat, yaitu:
a. Sebagai bahan studi dan referensi bagi mahasiswa yang berminat untuk
mengadakan penelitian lebih lanjut tentang matematika terapan salah
satunya teori graf pada pelabelan graf.
b. Untuk menambah pengalaman bagi penulis dalam penelitian model
matematika tentang graf pada pelabelan graf yakni mengetahui bagaimana
penggunaan konsep pelabelan L(2, 1).
c. Secara umum, sebagai sumbangan pemikiran dan bahan kajian yang dapat
dipakai dalam penelitian lebih lanjut mengenai pelabelan pada graf.
3
BAB 5
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada bab 4, maka dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut:
Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński adalah sebagai
berikut:
1. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(2, 2)
atau nilai L(2, 1){S(2, 2)} adalah 3.
2. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, 2)
atau nilai L(2, 1){S(n, 2)} dengan n ≥ 3 adalah 4.
3. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(2, 3)
atau nilai L(2, 1){S(2, 3)} dengan 6.
4. Nilai maksimum terkecil pelabelan L(2, 1) pada graf Sierpiński S(n, 3)
atau nilai L(2, 1){S(n, 3)} dengan n ≥ 3 adalah 6.
5.2 Saran
Jika pembaca tertarik melanjutkan penelitian ini, penulis menyarankan hal-hal
berikut:
1. Algoritma Chang-Kuo untuk pelabelan L(2, 1) memiliki kelemahan dalam
hal pemilihan verteks. Algoritma ini hanya mempertimbangkan jarak
antara kedua verteks yang akan diberikan label. Penulis menyarankan
perlu adanya algoritma pelabelan L(2, 1) yang tidak hanya mempertimbangkan jarak antara dua verteks.
2. Menyelidiki adanya pola pengulangan label pada graf Sierpiński S(n, k)
untuk k ≥ 4.
3. Melakukan pelabelan L(2, 1) pada graf lainnya.
46
DAFTAR PUSTAKA
Bača, M., dan Mirka, M., (2008): Super Edge-Antimagic Graph: A Wealth of
Problems and Solutions, Brown Walker Press Boca Raton, Florida.
Calamoneri, T., dan Petreschi (2009): L(2, 1)-Labeling of Unigraphs, Department
of Computer Science, 1–19.
Chang, G., dan Kuo, D., (1996): The L(2, 1)-Labeling Problem on Graphs, SIAM
J. Disc. Math, 9, 309–316.
Chartrand, G., dan Lesniak, L., (1996): Graphs and Digraphs, CRC Press, Florida,
USA.
Chartrand, G., dan Zhang, P., (2009): Chromatic Graph Theory, CRC Press, USA.
Fu, H., dan Xie, D., (2010): Equitable L(2, 1)-labelings of Sierpiński graphs,
Australasian Journal of Combinatorics, 46, 147–156.
Gravier, S.; Klavz̆ar, S., dan Mollard, M., (2005): Codes and L(2, 1)-Labelings in
Sierpiński Graphs, Taiwanese Journal of Matematics, 9(4), 671–681.
Gravier, S.; Kovše, M., dan Parreau, A., (2009): Generalized Sierpiński Graphs,
ANR IDEA, .
Griggs, J., dan Yeh, R., (1992): Labeling graphs with a condition at distance two,
SIAM J. Discrete Math., 5(4), 586–595.
Hale, W., (1980): Frequency assignment: theory and application, Proc IEEE,
68, 1479–1514.
Klavz̆ar, S., dan Milutinović, U., (1997): Graphs S(n, k) and a Variant of The Tower
of Hanoi Problem, Czechoslovak Math J., 47(122), 95–104.
Lipschutz, S., dan Lipson, M., (2007): Theory and Problems of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, United States of America.
Lum, A., (2007): Upper Bound on the L(2, 1)-labeling Number of Graphs with
Maximum Degree ∆.
Marr, A., dan Wallis, W., (2001): Magic Graphs, Birkhäuser, Boston.
Munir, R., (2003): Matematika Diskrit, Informatika Bandung, Bandung.
Paul, S.; Pal, M., dan Pal, A., (2014): L(2, 1)-labeling of Circular-arc Graph, Annals
of Pure and Applied Mathematics, 5(2), 208–219.
Rao, G., (2009): Discrete Mathematical Structures, New Age International, New
Delhi.
Rosen, K., (2012): Discrete Mathematics and its Applications, McGraw-Hill,
United States of America.
Shao, Z.; Yeh, R., dan Zhang, D., (2008): The L(2, 1)-labeling on graphs and the
47
frequency assignment problem, Elsevier, 21, 37–41.
Siang, J., (2006): Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi,
Bandung.
Vasudev, C., (2006): Graph Theory with Applications, New Age International, New
Delhi.
Wallis, W., (2006): A Beginner’s Guide to Graph Theory, Birkhäuser, Boston.
48
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 22 November 1993. Ayah bernama
Yustin Sagala, S.E, dan ibu bernama Ery Lucia Marpaung, S.E. Penulis merupakan
anak pertama dari empat bersaudara.
Pada tahun 1999 penulis bersekolah di SD HKBP 1 Balige dan lulus pada tahun
2005. Lalu, pada tahun 2005 melanjutkan sekolah di SMP Budhi Dharma Balige
dan lulus pada tahun 2008. Kemudian melanjutkan pendidikan SMA di SMA
Negeri 4 Medan dan menyelesaikan pendidikan SMA pada tahun 2011.
Selesai menempuh pendidikan sekolah selama 12 tahun, penulis melanjutkan
pendidikan ke taraf yang lebih tinggi dengan berkuliah di Universitas Negeri
Medan, tepatnya di program studi Matematika jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) pada tahun 2011.
Selama perkuliahan, penulis mengikuti kegiatan organisasi kemahasiswaan di
Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika sebagai anggota dan juga bekerja
sebagai pengajar Matematika di Bimbingan Belajar Medica. Dan pada akhirnya,
penulis menyelesaikan studinya pada tanggal 18 Agustus 2016.
ii