PARAMETER ESTIMATION OF THE CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES) PRODUCTION MODEL WITH NONLINEAR LEAST SQUARE METHOD

PENDUGAAN PARAMETER
MODEL PRODUKSI CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES)
DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL NONLINEAR

Oleh
Noferdis Setiawan

Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2013

ABSTRACT
PARAMETER ESTIMATION
OF THE CONSTANT ELASTICITY OF SUBTITUTIONS (CES)
PRODUCTION MODEL WITH NONLINEAR LEAST SQUARE METHOD

By
NOFERDIS SETIAWAN

Constant Elasticity of Subtitutions (CES) production model is one of nonlinear
model intrisically nonlinear. The aim of parameters estimation is to get parameters
value of CES production model. Parameters estimation of the CES production
model use nonlinear least square method. In nonlinear least square method, if the
sum square of error are minimum it will get the normal equations.
The result of this study get the equations which is cannot be solved analytically.
So that itterative methods are necessary. This study are using Newton Rapshon
method in SAS. Newton Rapshon method need Starting Value. If not sure about
the starting values, it can use a grid by offering SAS more than one starting value.
It will calculate the initial residual sum of squares for all combinations of starting
values and start the iterations with the best set. The values of parameter with least
sum of square are starting values.

Keywords : Nonlinear model, CES, Constant Elasticity of Subtitutions, Newton
Rapshon, Nonlinear least square method, SAS.

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................
xiv
DAFTAR TABEL .....................................................................................
xv
I.

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .........................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.3 Manfaat Penelitian .........................................................................

II. LANDASAN TEORI
2.1 Model Nonlinear ............................................................................
2.2 Model Produksi Constant Elasticity of Subtitutions (CES) ..........

2.3 Pendugaan Parameter ....................................................................
2.4 Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil Nonlinear (Nonlinear
Least Square Estimation) ..............................................................
2.5 Metode Newton Raphson ..............................................................
III. METODELOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................
3.2 Metode Penelitian ..........................................................................
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pendugaan Parameter Model Nonlinear model produksi CES
dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear ..................................
................................................
4.1.1 Pendugaan parameter
4.1.2 Pendugaan parameter
................................................
4.1.3 Pendugaan parameter
...............................................
................................................
4.1.4 Pendugaan parameter
4.2 Metode Newton Rapshon untuk Pendugaan Parameter 1, 2,
dan 3..............................................................................................

4.3 Simulasi .........................................................................................
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

1
3
3

4
5
6
7
8

10
10

12
12

13
15
17
18
25

I.

1.1

PENDAHULUAN

Latar Belakang dan Masalah

Analisis regresi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelidiki
atau membangun model hubungan antara beberapa variabel. Dalam analisis
regresi terdapat 2 bentuk model yaitu model linear dan model nonlinear. Suatu
model dikatakan linear bila segugus data diplotkan dan terletak pada suatu garis
lurus. Tetapi bila segugus data tersebut tidak terletak pada suatu garis lurus atau
membentuk suatu kurva maka ini disebut model nonlinear.

Model nonlinear dapat dibedakan menjadi dua yaitu model nonlinear pada
variabel dan model nonlinear pada parameter. Berikut ini berturut-turut contoh
model nonlinear pada variabel dan model nonlinear pada parameter
(1.1)
(1.2)

Model nonlinear pada parameter dapat dibagi menjadi dua yaitu model nonlinear
secara intrinsik linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara intrinsik nonliear
(intrinsically nonlinear). Model nonlinear secara intrinsik linear adalah model

yang dapat ditransformasi kedalam bentuk linier dengan menggunakan fungsi ln.
Sedangkan model nonlinear secara intrinsik nonlinear adalah model yang tidak
dapat ditranformasi kedalam bentuk linear. Sebagai contoh diberikan model
nonlinear secara intrinsik linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara
intrinsik nonliear (intrinsically nonlinear)
(1.3)
jika Persamaan (1.3) ditransformasi dengan fungsi ln, sehingga diperoleh
Persamaan sebagai berikut
(1.5)

Untuk contoh model nonlinear secara intrinsik nonliear (intrinsically nonlinear)
banyak ditemukan pada model-model ekonomi salah satunya adalah model
produksi CES (Constant Elasticity of Subtitutions). Bentuk model produksi CES
dapat dilihat pada Persamaan (1.2) meskipun dilakukan transformasi dengan
fungsi ln, Persamaan (1.2) tetap dalam bentuk nonlinear.

Berdasarkan uraian diatas penulis tertarik dilakukanya pendugaan parameterparameter pada model nonlinear secara intrinsik nonlinear yaitu model produksi
CES. Dengan diminimumkan jumlah kuadrat akan diperoleh Persamaan normal
dan dikembangkan suatu teknik iteratif untuk memecahkanya. Metode pendugaan
dan iteratif yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kudrat terkecil
nonlinear (Nonlinear Least Square method) dan metode Newton Rapshon.

2

1.2

Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

1. Menduga parameter model nonlinear secara intrinsik nonlinear dengan
menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinear (Nonlinear Least Square).
2. Mendapatkan nilai dugaan bagi parameter model nonlinear secara intrinsik
nonlinear dengan metode Newton Rapshon.

1.3

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Dapat menambah pengetahuan tentang model nonlinear.
2. Dapat menambah pengetahuan tentang metode kuadrat terkecil nonlinear.
3. Dapat menambah pengetahuan tentang metode Newton Rapshon.

3

II.

2.1

LANDASAN TEORI

Model Nonlinear

Model nonlinear merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan
peubah penjelas yang tidak linear dalam parameter. Secara umum model nonlinear
ditulis sebagai berikut :
(2.1)
(i= 1,2,...,n)
dengan,
: peubah respon ke-i
f(.)

: fungsi nonlinear
: peubah penjelas respon ke-i
: parameter
: galat ke-i
diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan

ragam σ2.

Model nonlinear dapat dibagi menjadi dua yaitu model nonlinear secara intrinsik
linear (intrisnsically linear) dan nonlinear secara intrinsik nonliear (intrinsically
nonlinear). Model yang secara intrinsik linear adalah model nonlinear yang dapat
ditransformasi menjadi bentuk linear sedangkan model yang secara intrinsik

nonlinear yaitu model yang tidak bisa ditransformasi menjadi bentuk linear
(Draper and Smith, 1981).

Adapun contoh model nonlinear secara intrinsik nonlinear yaitu pada model
produksi CES (Constant Elasticity of Subtitution), yaitu fungsi dengan elastisitas
konstan.

2.2

Model Produksi CES (Constant Elasticity of Subtitutions)

Menurut Rasidin dan Bonar (2006) fungsi constant elasticity of subtitution
disingkat dengan CES dikembangkan oleh Arrow, Chenery, Minhan, dan Solow
(1961). Elastisitas subtitusi adalah ukuran bagaimana perusahaan dengan mudah
mensubtitusikan satu input dengan input lainnya untuk menjaga tingkat produksi

pada level yang sama.
Model produksi CES didefinisikan sebagai berikut :
(2.2)
Dimana Y=output, x1=input kapital, x2=input tenaga kerja, dengan
dan

≥-1 serta

parameter efisiensi,
subtitusi, dan

>0, 0<