PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM DAN KRUSKAL PADA JARINGAN PENDISTRIBUSIAN AIR PDAM TIRTANADI (STUDIKASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN).
PERBANDINGAN AL GORITMA PRIM DAN KRUSKAL PADA
JARINGAN PENDISTRIB USIAN AIR PDAM TIRTANADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Oleh :
RIZBA SAMUEL
NIM: 4122230007
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
PERBANDINGAN AL GORITMA PRIM DAN KRUSKAL PADA
JARINGAN PENDISTRIB USIAN AIR PDAM TIRTANADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Rizba Samuel
4122230007
ABSTRAK
Algoritma Prim dan Kruskal adalah algoritma yang dapat digunakan untuk
mencari pohon rentang minimum pada graf berbobot dengan cepat. Dalam
penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan Algoritma
Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur. Dari data yang diperoleh
dapat disusun gambar jaringan. Kemudian dari gambar jaringan tersebut diperoleh
pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal, dengan
bantuan program C++. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat
disimpulkan bahwa pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan
program C++ adalah 27.302 meter, begitupula menggunakan Algoritma Kruskal
dan program C++ ternyata 27.302 meter. Hal ini mengakibatkan penghematan
pipa pendistribusian sepanjang 2.425 meter dari panjang total sebelumnya yaitu
29.727 meter.
Kata kunci:
Graf, Algoritma Prim, Algoritma Kruskal, Pohon Rentang
Minimum, Program C++
iii
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang
telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Perbandingan Algoritma Prim
dan Kruskal pada Jaringan Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi
Kasus: PDAM Tirtanadi Cabang HM. YAMIN)”. Skripsi ini disusun untuk
memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri
Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan
bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan
dengan baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima
kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M. Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M. Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr. Edy Surya, M. Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs.
Yasifati Hia, M. Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr.
Pardomuan, M. Si., selaku Ketua Prodi Studi Matematika serta Bapak dan Ibu
dosen dan juga beberapa pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. H.Banjarnahor, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.
5. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., Bapak Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si,
M.Si., dan Ibu Chairunnisah, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Bapak Tauhid Ichyar, selaku Kepala Cabang PDAM Tirtanadi Cabang HM.
Yamin, serta staf-staf pegawai PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin, yang
telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian.
7. Teristimewa buat orangtua penulis tercinta (E. Sinaga dan M. Br Butar-butar)
dan nenek penulis (T. Br Nainggolan) yang senantiasa memberikan kasih
v
sayang yang tak ternilai yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga
mendukung saya dalam segala hal, untuk adek penulis (Christian Sinaga) dan
seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan doanya.
8. Sahabat-sahabat penulis dibangku kuliah Imanuel, S.Si., Bruce, Licardo, Julius,
Solihadi, Chandra, Intan, dan kepada semua teman teman seperjuangan
Nondik12 yang tidak dapat disebutkan satu per satu, dan buat yang spesial
Ruth Melda Br Simanjuntak, S.Si yang mendukung dan menyemangati penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mugkin dalam penyusunan skripsi ini,
dan penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
Januari 2017
Penulis,
Rizba Samuel
NIM. 4122230007
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata Pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
ix
Daftar Tabel
x
Daftar Lampiran
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penelitian
4
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Graf
5
2.2. Jenis-jenis Graf
6
2.2.1 Graf Ganda (Multi Graph)
6
2.2.2 Graf Semu (Pseudo Graph)
6
2.2.3 Graf Trivial
7
2.2.4 Graf Lengkap (Complete Graph)
7
2.2.5 Graf Teratur (Regular Graph)
8
2.2.6 Graf Bipartit (Bipartive Graph)
8
2.2.7 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
9
2.2.8 Graf Berarah (Directed Graph atau Diagraph)
9
2.3 Terminologi Graf
10
2.3.1 Simpul (Vertex)
10
2.3.2 Jalur (Egde)
10
vii
2.3.3 Bertetangga (Adjacent)
10
2.3.4 Bersisisan (Incident)
11
2.3.5 Derajat (Degree)
11
2.3.6 Lintasan (Path)
12
2.3.7 Subgraf
12
2.3.8 Graf Terhubung (Connected)
13
2.3.9 Graf Berbobot (Weighted Graph)
14
2.4 Pohon (Tree)
14
2.5 Pohon Merentang (Spanning Tree)
15
2.6 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spaning Tree)
16
2.7 Algoritma Prim
17
2.8 Algoritma Kruskal
20
2.9 Program C++
25
2.9.1 Struktur C++
25
2.9.2 Variabel dan Tipe Data
28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan tempat penelitian
32
3.2 Jenis Penelitian
32
3.3 Prosedur Penelitian
32
3.3.1 Teknik Pengumpulan Data
32
3.3.2 Teknik Pengolahan Data
32
3.3.3 Penarikan Kesimpulan
33
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Data Awal
34
4.2 Merepresentasikan Data ke dalam Bentuk Graf Terhubung
Berbobot
4.3 Implementasi Sistem
4.3.1 Tampilan Program
34
34
35
4.4 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
Prim
35
viii
4.5 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
Kruskal
48
4.6 Langkah-langkah Penyelesaian Minimum Spanning Tree
Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Menggunakan
Program C++
52
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
53
5.2 Saran
53
DAFTAR PUSTAKA
55
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Graf G1, Graf G2 dan Graf G3
5
Gambar 2.2 Graf Ganda
6
Gambar 2.3 Graf Semu
7
Gambar 2.4 Graf Trivial
7
Gambar 2.5 Graf Lengkap
8
Gambar 2.6 Graf Teratur
8
Gambar 2.7 Graf Bipartit
9
Gambar 2.8 Graf tak-berarah
10
Gambar 2.9 Graf Berarah
10
Gambar 2.10 Bertetangga
11
Gambar 2.11 Derajat
12
Gambar 2.12 (a) Graf dan (b) Subgraf
14
Gambar 2.13 Terhubung
15
Gambar 2.14 Graf Berbobot
16
Gambar 2.15 Pohon
16
Gambar 2.16 Graf G dan Pohon rentang T 1 dan T 2
17
Gambar 2.17 (a) Graf Berbobot dan (b) MST
18
Gambar 2.18 Contoh graf G
20
Gambar 2.19 Jalur (v 1 , v 2 )
20
Gambar 2.20 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 )
20
Gambar 2.21 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 ), (v 3 , v 4 )
21
Gambar 2.22 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 ), (v 3 , v 4 ), (v 2 , v 5 )
21
Gambar 2.23 Pohon merentang minimum dari graf G
21
Gambar 2.24 Graf G
23
Gambar 2.25 Kumpulan titik G
24
Gambar 2.26 Graf T (Jalur e 4 )
24
Gambar 2.27 Graf T (Jalur e 4 dan e 7 )
24
x
Gambar 2.28 Graf T (Jalur e 4 , e , e 2 , e 8 , dan e 9 )
25
Gambar 2.29 Graf T (Jalur e 4 , e 7 , e 2 , e 8 , e 9 , e 1 dan e 10 )
25
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Bobot dari yang Terkecil
23
Tabel 2.2 Kata Kunci dalam C++
29
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Denah Penyaluran Air
Lampiran 2: Tampilan Program C++
Lampiran 3: Daftar Jalur dan Panjang Pipa Distribusi Air di Perusahaan Daerah
Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah
kecamatan Medan Perjuangan
Lampiran 4: Bobot yang Paling Kecil ke yang Paling Besar
Lampiran 5: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Prim
Lampiran 6: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Kruskal
Lampiran 7: Representasi Denah PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin
Lampiran 8: Representasi Algoritma Prim dan Kruskal
Lampiran 9: Code Algoritma Prim Pada Program C++
Lampiran 10: Code Algoritma Kruskal Pada Program C++
Lampiran 11: Dokumentasi Penelitian
Lampiran 12: Surat Persetujuan Dosen Pembimbing Skripsi
Lampiran 13: Surat Izin Penelitian dari FMIPA UNIMED
Lampiran 14: Surat Izin Penelitian dari PDAM Cabang HM.Yamin
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya dan
memiliki
banyak
terapan
sampai
saat
ini.
Graf
digunakan
untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai
simpul, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan jalur.
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V
merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul dan E merupakan
himpunan jalur yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2012).
PDAM Tirtanadi dibangun oleh pemerintahan kolonial Belanda pada
tanggal 8 September 1905 yang diberi nama NV Waterleiding Maatschappij Ajer
Beresih. Pembangunan ini dilakukan oleh Hendrik Cornelius Van Den Honert
selaku direktur Deli Maatschappij, Pieter Kolff selaku direktur Deli Steenkolen
Maatschappij dan Charles Marie Hernkenrath selaku direktur Deli Spoorweg
Maatschappij. Kantor pusat dari perusahaan air bersih ini berada di Amsterdam
Belanda. Pada saat itu air yang diambil dari sumber utama mata air rumah sumbul
di Sibolangit dengan kapasitas 3000 m3/hari. Air tersebut ditransmisikan ke
reservoir menara yang memiliki kapasitas 1200 m3 yang terletak di Jl. Kapitan
(sekarang kantor pusat PDAM Tirtanadi provinsi Sumatera Utara). Reservoir ini
memiliki ketinggian 42 m dari permukaan tanah, reservoir ini dibuat dari besi
dengan diameter 14 m. Setelah kemerdekaan Indonesia, perusahaan ini diserahkan
kepada pemerintah provinsi Sumatera Utara melalui pemerintah Indonesia. Secara
keseluruhan pipa yang digunakan PDAM Tirtanadi yaitu terbagi 2 yaitu pipa
dinas dan pipa distribusi. Pipa dinas merupakan pipa yang mengalirkan air ke pipa
distribusi dimana ukuran pipa dinas adalah 8 inci, sedangkan pipa distribusi
adalah pipa yang mengalirkan air ke rumah pelanggan dimana ukuran pipa
distribusi adalah 3 inci dan 4 inci.
1
2
Air merupakan salah satu kebutuhan makhluk hidup yang penting karena
air dibutuhkan oleh setiap makhluk hidup, terutama manusia. Tingkat kebutuhan
air setiap tahunnya mengalami peningkatan sesuai dengan jumlah pertumbuhan
manusia. Agar air dapat didistribusikan, maka diperlukan jaringan.
Masalah pendistribusian banyak dialami beberapa industri-industri
(perusahaaan) yang ada di Indonesia, salah satunya adalah Perusahaan Daerah Air
Minum (PDAM) di kota Medan. Perusahaan daerah ini adalah perusahaan yang
bergerak di bidang pengolahan air bersih. Pertambahan jumlah Penduduk yang
terjadi di kecamatan Medan Perjuanagan, mengakibatkan meningkatnya
kebutuhan terhadap air bersih, peningkatan tersebut dipengaruhi beberapa faktor,
misalnya semakin banyak dibangun perubahan baru di kecamatan Medan
Perjuangan,
semakin
banyak
penduduk
sementara
seperti
mahasiswa/i.
Pertambahan jumlah penduduk tersebut mengakibatkan PDAM Tirtanadi Cabang
HM. Yamin harus meningkatkan pelayanannya terkhusus dalam pendistribusian
air terhadap pelanggan, dalam arti jaringan air yang dipasang minimum dan dapat
mengalirkan air keseluruh perumahan penduduk dengan lancar.
Dalam hal ini timbul masalah, apakah pipa yang akan dipasang sudah
optimal? Dikatakan optimal jika pipa yang terpasang sudah minimum tanpa
mengurangi fungsi dari pipa air tersebut.
Salah satu cara meminimumkan panjang pipa air adalah dengan
menggunakan pohon merentang minimum. Minimum G = (V, E) adalah graf tak
berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di graf G terdapat sirkuit. Graf
G dapat diubah menjadi T = (V, E) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang
ada. caranya yaitu dengan memutuskan salah satu jalur pada sirkuit hingga tidak
ada sirkuit pada graf G. Jika di graf G tidak ada lagi sirkuit maka T ini disebut
dengan pohon merentang. Dikatakan merentang karena semua simpul pada T
sama dengan simpul pada graf G dan jalur-jalur pada T merupakan jalur-jalur
pada garf G. Diantara pohon merentang yang ada pada graf G, yang paling
penting adalah pohon merentang dengan bobot minimum. Pohon merentang
dengan bobot minimum ini disebut pohon merentang minimum atau Minimum
Spanning Tree (MST). Dalam kasus ini, panjang pipa distribusi direpresensikan
3
sebagai jalur dan ujung persanmbungan pipa distribusi direpresensikan sebagai
simpul.
Terdapat 2 Algoritma yang sering digunakan untuk mencari pohon
merentang minimum dari suatu graf terhubung dan berbobot, yaitu Algoritma
Prim dan Kruskal. Untuk mencari pohon rentang minimum dari graf G dengan
Algoritma yang di temukan Robert C Prim, mula-mula dipilih satu simpul
sembarang (misal v 1 ), Kemudian ditambahkan satu jalur yang berhubungan
dengan v 1 dengan bobot yang paling minimum (misal e 1 ) dan simpul ujung
lainnya ke T sehingga T terdiri dari sebuah jalur e1 dan dua buah simpul ujung
jalur e 1 (salah satunya adalah v 1 ). Metode lain untuk mencari pohon rentang
minimum ditemukan oleh Kruskal, mula-mula semua garis dalam G diurutkan
berdasarkan bobotnya dari yang kecil ke besar kemudian pilih jalur dengan bobot
terkecil. Pada setiap langkah, dipilih jalur dengan bobot terkecil, tetapi tidak
membentuk loop dengan jalur yang sudah dipilih terdahulu (Siang, 2006).
Berdasarkan uraian diatas, peneliti tertarik melakukan penelitian dengan
judul: “Perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal pada Jaringan
Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi Kasus: PDAM Cabang HM.
YAMIN)”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dalam
studi kasus ini adalah :
1. Bagaimana
perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin?
2. Bagaimana visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program
C++?
1.3
Batasan Masalah
Dalam penyusunan skripsi ini, permasalahan yang akan dibahas dibatasi
pada:
4
1. Pengoptimalan jaringan pipa air di PDAM cabang HM. Yamin wilayah
kecamatan Medan Perjuangan menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal.
2. Daerah atau wilayah yang dilakukan penelitian merupakan dataran rendah
(rata), tidak bergunung-gunung, tidak melewati sungai.
3. Yang menjadi simpul dalam penelitian ini adalah setiap ujung pipa yang
berukuran 3 inci dan 4 inci dan menjadi jalur adalah pipa yang
menghubungkan ujung pipa yang satu dengan ujung pipa yang lainnya.
4. Pada penyusunan skripsi ini yang dibahas dibatasi pada pohon merentan
minimum (minimum spanning tree).
5. Sumber air dianggap telah memadai.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengetahui
perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin.
2. Mengetahui visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program
C++.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Perusahaan : Menjadi salah satu bahan pertimbangan dalam
membuat perencanaan pendistribusian air yang optimal.
2. Bagi Penulis
: Penulis mampu menerapkan ilmu yang telah penulis
pelajari, khususnya tentang pohon merentang minimum. Sehingga dapat
semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh
selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam
kehidupan nyata khususnya dalam bidang industri air bersih.
3. Bagi Pembaca
: Sebagai sumbangan pemikiran dan bahan kajian
dalam penelitian lebih lanjut yang terkhusus pada masalah mencari pohon
merentang minimum (mst).
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Dari hasil penelitian dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan yaitu:
1. Hasil total panjang pipa minimum yang digunakan dari jalur distribusi
pipa PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah kecamatan Medan
Perjuangan yang diperoleh dengan Algoritma Prim yaitu 27.302 meter
sama dengan Algoritma Kruskal memperoleh total panjang pipa minimum
sepanjang 27.302 meter. Ini berarti penggunaan Algoritma Prim dan
Kruskal dalam pencarian pohon rentang minimum mempunyai hasil yang
sama.
2. Algoritma
Prim
dan
Algoritma
Kruskal
dapat
menyelesaikan
permasalahan pencarian pohon merentang minimum dengan tepat. Dalam
penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan
Algoritma Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur.
3. Dalam penelitian ini, penulis juga menggunakan software komputer yakni
program C++ sebagai output secara langsung yang dapat memberikan
hasil berupa data pohon rentang minimum, yang mempunyai panjang
27.302 meter, baik menggunakan Algoritma Prim maupun Kruskal.
Dengan demikian PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin dapat menghemat
pipa sepanjang 2.425 meter dari total panjang pipa terpasang yaitu 29.727
meter.
5.2
Saran
Saran-saran yang dapat dikemukakan sebagai berikut:
1. Dari hasil penelitian ini disarankan kepada PDAM Tirtanadi Cabang
HM.Yamin agar dalam penentuan kebijakan pemasangan pipa distribusi
air menggunakan hasil penelitian ini, dengan asumsi bahwa wilayah yang
diteliti merupakan dataran rendah.
2. Aplikasi yang penulis rancang fiturnya masih sangat sederhana, sehingga
diharapkan nantinya bisa dikembangkan lagi dengan menambah fitur–fitur
53
54
lainnya, misalnya adanya fitur mencetak hasil penyelesaian pohon
merentang minimum dengan Algoritma Prim dan Kruskal.
3. Dalam memasukkan data ke dalam program C++ haruslah lebih sabar dan
teliti agar hasil yang diinginkan tercapai.
55
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, d., (2009): Teori Graf, UIN-Malang Press, Malang.
Albertson, M., dan Hutchinson, J., (2000): Discrete Mathematics with Algorithms,
Third Edition, John Wiley and Son, Canada.
Bondy, J. A., dan Murty, S. R., (1982): Graph Theory with Applications, Fifth
edition, New York.
Darmaji, d., (2013): Penggunaan Algoritma Kruskal Dalam Jaringan Pipa Air
Minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk, Jurnal Sains dan Seni
Pomits, 1(1).
Johnsonbaugh, R., (2002): Matematika Diskrit Jilid 2, Edisi Bahasa Indonesia,
PT. Prenhallindo, Jakarta.
Kodirun
(2009):
Perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
Menentukan
Pohon Rentang Minimum, Jurusan Matematika FMIPA
Universitas
Haluoleo, Kendari, 6(2).
Liu, C. L., (2008): Elements of Discrete Mathematics, Third Edition, McGrawHill, New Delhi.
Munir, R., (2012): Matematika Diskrit, Edisi Kelima, Penerbit Informatika,
Bandung.
Ngoen, T. S., (2004): Pengantar Algoritma Dengan Bahasa C, Edisi Pertama,
Salemba Teknika, Jakarta.
Nugraha, D., (2011): Aplikasi Algoritma Prim Untuk Menentukan Minimum
Spanning Tree Suatu Graf Berbobot Dengan Menggunakan Pemrograman
Berorientasi Objek, Jurnal Ilmiah Foristek, 1(2).
Rosen, K. H., (2007): Discrete Mathematics and Its Applicatoins, Seventh
Edition, McGraw-Hill.
Sholeh, M., (2013): Panduan Belajar Pemrograman Terstruktur Algorima dan
Pemrograman C++, Akprind Press, Yogyakarta.
Siang, J. J., (2006): Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Komputer, Penerbit
ANDI, Yogyakarta.
Wibisono, S., (2008): Matematika Diskrit, Edisi Kedua, Graha Ilmu, Yogyakarta.
JARINGAN PENDISTRIB USIAN AIR PDAM TIRTANADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Oleh :
RIZBA SAMUEL
NIM: 4122230007
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2017
i
PERBANDINGAN AL GORITMA PRIM DAN KRUSKAL PADA
JARINGAN PENDISTRIB USIAN AIR PDAM TIRTANADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Rizba Samuel
4122230007
ABSTRAK
Algoritma Prim dan Kruskal adalah algoritma yang dapat digunakan untuk
mencari pohon rentang minimum pada graf berbobot dengan cepat. Dalam
penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan Algoritma
Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur. Dari data yang diperoleh
dapat disusun gambar jaringan. Kemudian dari gambar jaringan tersebut diperoleh
pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal, dengan
bantuan program C++. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat
disimpulkan bahwa pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan
program C++ adalah 27.302 meter, begitupula menggunakan Algoritma Kruskal
dan program C++ ternyata 27.302 meter. Hal ini mengakibatkan penghematan
pipa pendistribusian sepanjang 2.425 meter dari panjang total sebelumnya yaitu
29.727 meter.
Kata kunci:
Graf, Algoritma Prim, Algoritma Kruskal, Pohon Rentang
Minimum, Program C++
iii
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang
telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Perbandingan Algoritma Prim
dan Kruskal pada Jaringan Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi
Kasus: PDAM Tirtanadi Cabang HM. YAMIN)”. Skripsi ini disusun untuk
memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri
Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan
bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan
dengan baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima
kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M. Pd., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M. Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr. Edy Surya, M. Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs.
Yasifati Hia, M. Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr.
Pardomuan, M. Si., selaku Ketua Prodi Studi Matematika serta Bapak dan Ibu
dosen dan juga beberapa pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. H.Banjarnahor, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.
5. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., Bapak Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si,
M.Si., dan Ibu Chairunnisah, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Bapak Tauhid Ichyar, selaku Kepala Cabang PDAM Tirtanadi Cabang HM.
Yamin, serta staf-staf pegawai PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin, yang
telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian.
7. Teristimewa buat orangtua penulis tercinta (E. Sinaga dan M. Br Butar-butar)
dan nenek penulis (T. Br Nainggolan) yang senantiasa memberikan kasih
v
sayang yang tak ternilai yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga
mendukung saya dalam segala hal, untuk adek penulis (Christian Sinaga) dan
seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan doanya.
8. Sahabat-sahabat penulis dibangku kuliah Imanuel, S.Si., Bruce, Licardo, Julius,
Solihadi, Chandra, Intan, dan kepada semua teman teman seperjuangan
Nondik12 yang tidak dapat disebutkan satu per satu, dan buat yang spesial
Ruth Melda Br Simanjuntak, S.Si yang mendukung dan menyemangati penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mugkin dalam penyusunan skripsi ini,
dan penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
Januari 2017
Penulis,
Rizba Samuel
NIM. 4122230007
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata Pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
ix
Daftar Tabel
x
Daftar Lampiran
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penelitian
4
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Graf
5
2.2. Jenis-jenis Graf
6
2.2.1 Graf Ganda (Multi Graph)
6
2.2.2 Graf Semu (Pseudo Graph)
6
2.2.3 Graf Trivial
7
2.2.4 Graf Lengkap (Complete Graph)
7
2.2.5 Graf Teratur (Regular Graph)
8
2.2.6 Graf Bipartit (Bipartive Graph)
8
2.2.7 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
9
2.2.8 Graf Berarah (Directed Graph atau Diagraph)
9
2.3 Terminologi Graf
10
2.3.1 Simpul (Vertex)
10
2.3.2 Jalur (Egde)
10
vii
2.3.3 Bertetangga (Adjacent)
10
2.3.4 Bersisisan (Incident)
11
2.3.5 Derajat (Degree)
11
2.3.6 Lintasan (Path)
12
2.3.7 Subgraf
12
2.3.8 Graf Terhubung (Connected)
13
2.3.9 Graf Berbobot (Weighted Graph)
14
2.4 Pohon (Tree)
14
2.5 Pohon Merentang (Spanning Tree)
15
2.6 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spaning Tree)
16
2.7 Algoritma Prim
17
2.8 Algoritma Kruskal
20
2.9 Program C++
25
2.9.1 Struktur C++
25
2.9.2 Variabel dan Tipe Data
28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan tempat penelitian
32
3.2 Jenis Penelitian
32
3.3 Prosedur Penelitian
32
3.3.1 Teknik Pengumpulan Data
32
3.3.2 Teknik Pengolahan Data
32
3.3.3 Penarikan Kesimpulan
33
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Data Awal
34
4.2 Merepresentasikan Data ke dalam Bentuk Graf Terhubung
Berbobot
4.3 Implementasi Sistem
4.3.1 Tampilan Program
34
34
35
4.4 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
Prim
35
viii
4.5 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
Kruskal
48
4.6 Langkah-langkah Penyelesaian Minimum Spanning Tree
Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Menggunakan
Program C++
52
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
53
5.2 Saran
53
DAFTAR PUSTAKA
55
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Graf G1, Graf G2 dan Graf G3
5
Gambar 2.2 Graf Ganda
6
Gambar 2.3 Graf Semu
7
Gambar 2.4 Graf Trivial
7
Gambar 2.5 Graf Lengkap
8
Gambar 2.6 Graf Teratur
8
Gambar 2.7 Graf Bipartit
9
Gambar 2.8 Graf tak-berarah
10
Gambar 2.9 Graf Berarah
10
Gambar 2.10 Bertetangga
11
Gambar 2.11 Derajat
12
Gambar 2.12 (a) Graf dan (b) Subgraf
14
Gambar 2.13 Terhubung
15
Gambar 2.14 Graf Berbobot
16
Gambar 2.15 Pohon
16
Gambar 2.16 Graf G dan Pohon rentang T 1 dan T 2
17
Gambar 2.17 (a) Graf Berbobot dan (b) MST
18
Gambar 2.18 Contoh graf G
20
Gambar 2.19 Jalur (v 1 , v 2 )
20
Gambar 2.20 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 )
20
Gambar 2.21 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 ), (v 3 , v 4 )
21
Gambar 2.22 Jalur (v 1 , v 2 ), (v 1 , v 3 ), (v 3 , v 4 ), (v 2 , v 5 )
21
Gambar 2.23 Pohon merentang minimum dari graf G
21
Gambar 2.24 Graf G
23
Gambar 2.25 Kumpulan titik G
24
Gambar 2.26 Graf T (Jalur e 4 )
24
Gambar 2.27 Graf T (Jalur e 4 dan e 7 )
24
x
Gambar 2.28 Graf T (Jalur e 4 , e , e 2 , e 8 , dan e 9 )
25
Gambar 2.29 Graf T (Jalur e 4 , e 7 , e 2 , e 8 , e 9 , e 1 dan e 10 )
25
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Bobot dari yang Terkecil
23
Tabel 2.2 Kata Kunci dalam C++
29
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Denah Penyaluran Air
Lampiran 2: Tampilan Program C++
Lampiran 3: Daftar Jalur dan Panjang Pipa Distribusi Air di Perusahaan Daerah
Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah
kecamatan Medan Perjuangan
Lampiran 4: Bobot yang Paling Kecil ke yang Paling Besar
Lampiran 5: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Prim
Lampiran 6: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Kruskal
Lampiran 7: Representasi Denah PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin
Lampiran 8: Representasi Algoritma Prim dan Kruskal
Lampiran 9: Code Algoritma Prim Pada Program C++
Lampiran 10: Code Algoritma Kruskal Pada Program C++
Lampiran 11: Dokumentasi Penelitian
Lampiran 12: Surat Persetujuan Dosen Pembimbing Skripsi
Lampiran 13: Surat Izin Penelitian dari FMIPA UNIMED
Lampiran 14: Surat Izin Penelitian dari PDAM Cabang HM.Yamin
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya dan
memiliki
banyak
terapan
sampai
saat
ini.
Graf
digunakan
untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai
simpul, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan jalur.
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V
merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul dan E merupakan
himpunan jalur yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2012).
PDAM Tirtanadi dibangun oleh pemerintahan kolonial Belanda pada
tanggal 8 September 1905 yang diberi nama NV Waterleiding Maatschappij Ajer
Beresih. Pembangunan ini dilakukan oleh Hendrik Cornelius Van Den Honert
selaku direktur Deli Maatschappij, Pieter Kolff selaku direktur Deli Steenkolen
Maatschappij dan Charles Marie Hernkenrath selaku direktur Deli Spoorweg
Maatschappij. Kantor pusat dari perusahaan air bersih ini berada di Amsterdam
Belanda. Pada saat itu air yang diambil dari sumber utama mata air rumah sumbul
di Sibolangit dengan kapasitas 3000 m3/hari. Air tersebut ditransmisikan ke
reservoir menara yang memiliki kapasitas 1200 m3 yang terletak di Jl. Kapitan
(sekarang kantor pusat PDAM Tirtanadi provinsi Sumatera Utara). Reservoir ini
memiliki ketinggian 42 m dari permukaan tanah, reservoir ini dibuat dari besi
dengan diameter 14 m. Setelah kemerdekaan Indonesia, perusahaan ini diserahkan
kepada pemerintah provinsi Sumatera Utara melalui pemerintah Indonesia. Secara
keseluruhan pipa yang digunakan PDAM Tirtanadi yaitu terbagi 2 yaitu pipa
dinas dan pipa distribusi. Pipa dinas merupakan pipa yang mengalirkan air ke pipa
distribusi dimana ukuran pipa dinas adalah 8 inci, sedangkan pipa distribusi
adalah pipa yang mengalirkan air ke rumah pelanggan dimana ukuran pipa
distribusi adalah 3 inci dan 4 inci.
1
2
Air merupakan salah satu kebutuhan makhluk hidup yang penting karena
air dibutuhkan oleh setiap makhluk hidup, terutama manusia. Tingkat kebutuhan
air setiap tahunnya mengalami peningkatan sesuai dengan jumlah pertumbuhan
manusia. Agar air dapat didistribusikan, maka diperlukan jaringan.
Masalah pendistribusian banyak dialami beberapa industri-industri
(perusahaaan) yang ada di Indonesia, salah satunya adalah Perusahaan Daerah Air
Minum (PDAM) di kota Medan. Perusahaan daerah ini adalah perusahaan yang
bergerak di bidang pengolahan air bersih. Pertambahan jumlah Penduduk yang
terjadi di kecamatan Medan Perjuanagan, mengakibatkan meningkatnya
kebutuhan terhadap air bersih, peningkatan tersebut dipengaruhi beberapa faktor,
misalnya semakin banyak dibangun perubahan baru di kecamatan Medan
Perjuangan,
semakin
banyak
penduduk
sementara
seperti
mahasiswa/i.
Pertambahan jumlah penduduk tersebut mengakibatkan PDAM Tirtanadi Cabang
HM. Yamin harus meningkatkan pelayanannya terkhusus dalam pendistribusian
air terhadap pelanggan, dalam arti jaringan air yang dipasang minimum dan dapat
mengalirkan air keseluruh perumahan penduduk dengan lancar.
Dalam hal ini timbul masalah, apakah pipa yang akan dipasang sudah
optimal? Dikatakan optimal jika pipa yang terpasang sudah minimum tanpa
mengurangi fungsi dari pipa air tersebut.
Salah satu cara meminimumkan panjang pipa air adalah dengan
menggunakan pohon merentang minimum. Minimum G = (V, E) adalah graf tak
berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di graf G terdapat sirkuit. Graf
G dapat diubah menjadi T = (V, E) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang
ada. caranya yaitu dengan memutuskan salah satu jalur pada sirkuit hingga tidak
ada sirkuit pada graf G. Jika di graf G tidak ada lagi sirkuit maka T ini disebut
dengan pohon merentang. Dikatakan merentang karena semua simpul pada T
sama dengan simpul pada graf G dan jalur-jalur pada T merupakan jalur-jalur
pada garf G. Diantara pohon merentang yang ada pada graf G, yang paling
penting adalah pohon merentang dengan bobot minimum. Pohon merentang
dengan bobot minimum ini disebut pohon merentang minimum atau Minimum
Spanning Tree (MST). Dalam kasus ini, panjang pipa distribusi direpresensikan
3
sebagai jalur dan ujung persanmbungan pipa distribusi direpresensikan sebagai
simpul.
Terdapat 2 Algoritma yang sering digunakan untuk mencari pohon
merentang minimum dari suatu graf terhubung dan berbobot, yaitu Algoritma
Prim dan Kruskal. Untuk mencari pohon rentang minimum dari graf G dengan
Algoritma yang di temukan Robert C Prim, mula-mula dipilih satu simpul
sembarang (misal v 1 ), Kemudian ditambahkan satu jalur yang berhubungan
dengan v 1 dengan bobot yang paling minimum (misal e 1 ) dan simpul ujung
lainnya ke T sehingga T terdiri dari sebuah jalur e1 dan dua buah simpul ujung
jalur e 1 (salah satunya adalah v 1 ). Metode lain untuk mencari pohon rentang
minimum ditemukan oleh Kruskal, mula-mula semua garis dalam G diurutkan
berdasarkan bobotnya dari yang kecil ke besar kemudian pilih jalur dengan bobot
terkecil. Pada setiap langkah, dipilih jalur dengan bobot terkecil, tetapi tidak
membentuk loop dengan jalur yang sudah dipilih terdahulu (Siang, 2006).
Berdasarkan uraian diatas, peneliti tertarik melakukan penelitian dengan
judul: “Perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal pada Jaringan
Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi Kasus: PDAM Cabang HM.
YAMIN)”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dalam
studi kasus ini adalah :
1. Bagaimana
perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin?
2. Bagaimana visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program
C++?
1.3
Batasan Masalah
Dalam penyusunan skripsi ini, permasalahan yang akan dibahas dibatasi
pada:
4
1. Pengoptimalan jaringan pipa air di PDAM cabang HM. Yamin wilayah
kecamatan Medan Perjuangan menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal.
2. Daerah atau wilayah yang dilakukan penelitian merupakan dataran rendah
(rata), tidak bergunung-gunung, tidak melewati sungai.
3. Yang menjadi simpul dalam penelitian ini adalah setiap ujung pipa yang
berukuran 3 inci dan 4 inci dan menjadi jalur adalah pipa yang
menghubungkan ujung pipa yang satu dengan ujung pipa yang lainnya.
4. Pada penyusunan skripsi ini yang dibahas dibatasi pada pohon merentan
minimum (minimum spanning tree).
5. Sumber air dianggap telah memadai.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengetahui
perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin.
2. Mengetahui visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program
C++.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Perusahaan : Menjadi salah satu bahan pertimbangan dalam
membuat perencanaan pendistribusian air yang optimal.
2. Bagi Penulis
: Penulis mampu menerapkan ilmu yang telah penulis
pelajari, khususnya tentang pohon merentang minimum. Sehingga dapat
semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh
selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam
kehidupan nyata khususnya dalam bidang industri air bersih.
3. Bagi Pembaca
: Sebagai sumbangan pemikiran dan bahan kajian
dalam penelitian lebih lanjut yang terkhusus pada masalah mencari pohon
merentang minimum (mst).
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Dari hasil penelitian dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan yaitu:
1. Hasil total panjang pipa minimum yang digunakan dari jalur distribusi
pipa PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah kecamatan Medan
Perjuangan yang diperoleh dengan Algoritma Prim yaitu 27.302 meter
sama dengan Algoritma Kruskal memperoleh total panjang pipa minimum
sepanjang 27.302 meter. Ini berarti penggunaan Algoritma Prim dan
Kruskal dalam pencarian pohon rentang minimum mempunyai hasil yang
sama.
2. Algoritma
Prim
dan
Algoritma
Kruskal
dapat
menyelesaikan
permasalahan pencarian pohon merentang minimum dengan tepat. Dalam
penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan
Algoritma Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur.
3. Dalam penelitian ini, penulis juga menggunakan software komputer yakni
program C++ sebagai output secara langsung yang dapat memberikan
hasil berupa data pohon rentang minimum, yang mempunyai panjang
27.302 meter, baik menggunakan Algoritma Prim maupun Kruskal.
Dengan demikian PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin dapat menghemat
pipa sepanjang 2.425 meter dari total panjang pipa terpasang yaitu 29.727
meter.
5.2
Saran
Saran-saran yang dapat dikemukakan sebagai berikut:
1. Dari hasil penelitian ini disarankan kepada PDAM Tirtanadi Cabang
HM.Yamin agar dalam penentuan kebijakan pemasangan pipa distribusi
air menggunakan hasil penelitian ini, dengan asumsi bahwa wilayah yang
diteliti merupakan dataran rendah.
2. Aplikasi yang penulis rancang fiturnya masih sangat sederhana, sehingga
diharapkan nantinya bisa dikembangkan lagi dengan menambah fitur–fitur
53
54
lainnya, misalnya adanya fitur mencetak hasil penyelesaian pohon
merentang minimum dengan Algoritma Prim dan Kruskal.
3. Dalam memasukkan data ke dalam program C++ haruslah lebih sabar dan
teliti agar hasil yang diinginkan tercapai.
55
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, d., (2009): Teori Graf, UIN-Malang Press, Malang.
Albertson, M., dan Hutchinson, J., (2000): Discrete Mathematics with Algorithms,
Third Edition, John Wiley and Son, Canada.
Bondy, J. A., dan Murty, S. R., (1982): Graph Theory with Applications, Fifth
edition, New York.
Darmaji, d., (2013): Penggunaan Algoritma Kruskal Dalam Jaringan Pipa Air
Minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk, Jurnal Sains dan Seni
Pomits, 1(1).
Johnsonbaugh, R., (2002): Matematika Diskrit Jilid 2, Edisi Bahasa Indonesia,
PT. Prenhallindo, Jakarta.
Kodirun
(2009):
Perbandingan
Algoritma
Prim
dan
Kruskal
dalam
Menentukan
Pohon Rentang Minimum, Jurusan Matematika FMIPA
Universitas
Haluoleo, Kendari, 6(2).
Liu, C. L., (2008): Elements of Discrete Mathematics, Third Edition, McGrawHill, New Delhi.
Munir, R., (2012): Matematika Diskrit, Edisi Kelima, Penerbit Informatika,
Bandung.
Ngoen, T. S., (2004): Pengantar Algoritma Dengan Bahasa C, Edisi Pertama,
Salemba Teknika, Jakarta.
Nugraha, D., (2011): Aplikasi Algoritma Prim Untuk Menentukan Minimum
Spanning Tree Suatu Graf Berbobot Dengan Menggunakan Pemrograman
Berorientasi Objek, Jurnal Ilmiah Foristek, 1(2).
Rosen, K. H., (2007): Discrete Mathematics and Its Applicatoins, Seventh
Edition, McGraw-Hill.
Sholeh, M., (2013): Panduan Belajar Pemrograman Terstruktur Algorima dan
Pemrograman C++, Akprind Press, Yogyakarta.
Siang, J. J., (2006): Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Komputer, Penerbit
ANDI, Yogyakarta.
Wibisono, S., (2008): Matematika Diskrit, Edisi Kedua, Graha Ilmu, Yogyakarta.