STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM (PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY.
STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY
Oleh:
Elvira Riska Harahap
NIM 409530005
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014
iv
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena
atas berkat, rahmat serta hidayah-Nya skripsi yang berjudul “Studi Jaringan Air
Di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Dengan Algoritma
Greedy” dapat terselesaikan. Shalawat serta salam tercurahkan kepada Nabi
Muhammad SAW, keluarga dan sahabatnya.
Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat
untuk mencapai gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan. Penulis menyadari bahwa tanpa
bantuan, bimbingan serta doa dari berbagai pihak mulai dari masa perkuliahan
sampai pada penyusunan skripsi ini, sangat sulit bagi penulis untuk
menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih
kepada : Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku
Ketua Jurusan Matematika dan Pembimbing Akademik, Bapak Drs. Yasifati Hia,
M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si.,
selaku Ketua Program Studi Matematika, Bapak Drs. Zul Amry, M.Si., selaku
Dosen Pembimbing Skripsi yang telah memberikan bimbingan, arahan, serta
petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini, kepada Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si., Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd serta Bapak
Mulyono, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji, seluruh staf pengajar Jurusan
Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis selama
perkuliahan, seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED.
Ungkapan terimakasih dan penghargaan yang sangat spesial penulis
ucapkan dengan rendah hati dan rasa hormat kepada kedua orang tua tercinta
Ayahanda Syahrial Harahap dan Mamanda Nelviana Matondang yang dengan
segala pengorbanannya tidak akan penulis lupakan atas jasa, nasihat, dan doa dari
v
mereka yang merupakan dorongan moril terbesar bagi penulis hingga
terselesaikannya skripsi ini, keluarga besar Harahap dan Matondang yang telah
memberikan motivasi sampai akhir studi, pimpinan serta seluruh pegawai
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Padang Bulan yang
telah banyak membantu penulis dalam memberikan data – data yang dibutuhkan,
seluruh staf Perpustakaan Universitas Negeri Medan atas segala kemudahan yang
diberikan untuk mendapatkan referensi yang mendukung penyelesaian skripsi ini,
teman seperjuangan : Eka, Ervina, Leo, Muslim, Mauliza yang selalu ada dalam
suka dan duka, spesial buat Christian Shindy atas saran, motivasi serta waktunya
untuk mendengarkan setiap keluhan dari penulis, teman – temanku Matematika
Non-dik ’09 yang tidak dapat penulis sebutkan satu – persatu yang selalu
memberikan semangat, semua pihak yang tidak dapat disebutkan dalam
peyusunan skripsi ini, terimakasih banyak.
Akhir kata, penulis berharap Allah SWT berkenan membalas kebaikan
semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi
pengembangan ilmu.
Medan,
Januari 2014
Penulis,
Elvira Riska Harahap
NIM.409530005
iii
STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY
Elvira Riska Harahap (409530005)
ABSTRAK
Penelitian ini merupakan suatu studi kasus yang bertujuan meminimumkan
jaringan air yaitu panjang pipa yang akan dipasang di Perumahan Golden Palace
Jl. Saudara dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya akan
meminimumkan biaya pemasangan pipa oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang
Bulan. Permasalahan yang akan dibahas pada tulisan ini adalah panjang pipa yang
akan digunakan oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan adalah 876 m
dengan biaya Rp 168.044.700, sedangkan panjang pipa yang diperoleh dengan
Algoritma Greedy adalah 828 m dengan biaya Rp 158.836.896. Maka dengan
menggunakan Algoritma Greedy PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan dapat
menghemat 48 m pipa dan menghemat biaya Rp 9.207.804.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
Daftar Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
x
BAB I PENDAHULAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan Peneltian
Manfaat Penelitian
1
5
5
5
6
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Teori Graf
Konsep Dasar Graf
Jenis – Jenis Graf
Terminologi Graf
Pohon
Algoritma Greedy
7
8
10
14
20
23
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
3.2
3.3
Tempat dan Waktu Penelitian
Jenis Penelitian
Prosedur Penelitian
33
33
33
vii
BAB IV PEMBAHASAN
4.1
4.2
Jaringan Air yang akan Dipasang
Menentukan Pohon Rentang Minimum
34
35
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
5.2
Kesimpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
61
62
63
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1.
Sket Jaringan Air yang akan Dipasang di Perumahan
Goden Palace Jl. Saudara
64
Anggaran Biaya yang Digunakan dalam Pemasangan
Jaringan Air Di Perumahan Golden Palace
65
Lampiran 3
Representasi Jaringan Air dengan Graf
66
Lampiran 4
Graf G dengan Bobot Nol
67
Lampiran 5
Graf G dengan Bobot 0,6 cm
68
Lampiran 6
Graf G dengan Bobot 0,9 cm
69
Lampiran 7
Graf G dengan Bobot 2,5 cm
70
Lampiran 8
Graf G dengan Bobot 37 cm
71
Lampiran 9
Graf G dengan Bobot 67 cm
72
Lampiran 2.
Lampiran 10 Graf G dengan Bobot 67,7 cm
73
Lampiran 11 Graf G dengan Bobot 70,9 cm
74
Lampiran 12 Graf G dengan Bobot 72,9 cm
75
Lampiran 13 Graf G dengan Bobot 74 cm
76
Lampiran 14 Graf G dengan Bobot 75,2 cm
77
Lampiran 15 Graf G dengan Bobot 76,5 cm
78
Lampiran 16 Graf G dengan Bobot 77,9 cm
79
Lampiran 17 Graf G dengan Bobot 80,9 cm
80
Lampiran 18 Graf G dengan Bobot 82,8 cm
81
Lampiran 19 Jaringan Air dengan Algoritma Greedy
82
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Ilmu pengetahuan muncul sebagai akibat dari aktivitas untuk memenuhi
kebutuhan hidup manusia. Tujuan pertama perkembangan ilmu pengetahuan
adalah perubahan kehidupan masa depan yang lebih baik, mudah, murah, cepat
dan aman. Kemajuan ilmu pengetahuan juga mempengaruhi perkembangan kota
dimana perkembangan kota ini dilakukan karena jumlah penduduk yang terus
bertambah. Sehubungan dengan hal itu, maka semakin meningkat pula kebutuhan
penduduk dalam hal ini air bersih. Perkembangan ilmu pengetahuan yang pesat
mengakibatkan zaman juga berkembang dengan pesat. Semakin berkembangnya
zaman, maka semakin kompleks pula masalah yang akan muncul. Permasalahan
timbul karena orang menginginkan kenyamanan serta keuntungan. Misalnya saja
pada jaringan air, pipa air yang terpasang haruslah minimum dan dapat
mengalirkan ke seluruh bagian yang diinginkan.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Medan merupakan
Badan Usaha Milik Daerah Propinsi Sumatera Utara yang telah berdiri pada
zaman pemerintahan Belanda pada tanggal 23 September 1905 dengan nama
perusahaan NV. Waterleiding Maatschappij Ayer Bersih dan berkantor Pusat di
Amsterdam, Belanda. Meskipun telah melalui zaman penjajahan Belanda dan
Jepang, dan selanjutnya memasuki masa kemerdekaan Republik Indonesia,
perusahaan masih mampu memberikan pelayanan kepada masyarakat secara
berkelanjutan.
PDAM Tirtanadi telah banyak mengalami perubahan-perubahan dan
kemajuan, diantaranya, selain melayani kebutuhan air bersih di kota Medan dan
sekitarnya, juga melakukan kerjasama operasi dan kerjasama manajemen dengan
beberapa Pemerintah Daerah / PDAM di Propinsi Sumatra Utara. Kerjasama ini
dimaksudkan untuk meningkatkan pelayanan air bersih kepada masyarakat
1
2
sebagaimana diatur dalam Perda No. 3 tahun 1999, direalisasikan pada tanggal 17
Juli 1999 dengan penandatanganan naskah perjanjian kerjasama pembentukan
beberapa cabang PDAM Tirtanadi di daerah kabupaten, antara lain Kabupaten
Deli Serdang, Simalungun, Toba Samosir, Mandailing Natal, Tapanuli Tengah,
Nias dan Tapanuli Selatan. Perjanjian kerjasama tersebut berbentuk Kerjasama
Operasional (KSO) selama 25 tahun, serta Kerjasama Management (KSM)
dengan Pemerintah Kabupaten Labuhan Batu dan Pemerintah Kabupaten Dairi.
Diharapkan kerjasama ini akan meningkatkan mutu pelayanan air bersih di daerah
tersebut.
Secara garis besar daerah operasional PDAM Tirtanadi dikelompokkan
menjadi 2 bagian, yaitu Wilayah Pelayanan I (Kota Medan dan sekitarnya) yang
terdiri dari Cabang Utama, Cabang Sei Agul, Cabang Padang Bulan, Cabang
Medan Denai, Cabang Belawan, Cabang Tuasan, Cabang Sunggal, Cabang Deli
Tua, Cabang H. M. Yamin, Cabang Diski dan Cabang Amplas. Daerah Kerjasama
Operasi/Kerjasama Manajemen (Daerah Operasional 2), yang terdiri dari
Kabupaten Deli Serdang, Simalungun, Toba Samosir, Mandailing Natal, Tapanuli
Tengah, Nias,Tapanuli Selatan, Kabupaten Labuhan Batu dan Kabupaten Dairi.
Secara keseluruhan pipa yang digunakan PDAM Tirtanadi yaitu terbagi 2
yaitu pipa dinas dan pipa distribusi. Pipa dinas merupakan pipa yang mengalirkan
air ke pipa distribusi dimana ukuran pipa dinas ini adalah 8”. Sedangkan pipa
distribusi adalah pipa yang mengalirkan air ke rumah pelanggan dimana ukuran
pipa ini adalah 3” dan 4”.
Semakin banyaknya jumlah penduduk maka semakin meningkat pula
kebutuhan masyarakat akan air bersih. Oleh karena itu PDAM Tirtanadi berusaha
semaksimal mungkin dalam memenuhi kebutuhan masyarakat. Seperti wawancara
yang dilakukan oleh Media Sumut kepada Direktur Operasi Perusahaan Daerah
Air Minum Tirtanadi Sumatra Utara, Mangindang Ritonga pada tanggal 24
Januari 2013 mengatakan ketersedian produksi air di Kota Medan sudah tidak
seimbang. Kondisi itu disebabkan pertumbuhan perumahan yang membutuhkan
sambungan baru. Dengan pemasangan sambungan pipa baru diharapakan dapat
3
menyelesaikan masalah yang ada yaitu masalah pendistribusian air dan masalah
persediaan air. (Ritonga, 2013)
Menurut hasil wawancara dengan salah satu karyawan PDAM Tirtanadi
Cabang Padang Bulan, Ramli mengatakan bahwa akan ada pemasangan pipa baru
untuk Perumahan Golden Palace yang terletak di Jl. Saudara Padang Bulan.
Dimana jenis pipa yang digunakan adalah jenis pipa PVC yang terbuat dari besi,
ukuran pipa yang digunakan adalah 3” dan sumber air yang akan dialirkan berasal
dari Sibolangit.
Dalam hal ini timbul masalah, apakah pipa yang akan dipasang akan
optimal? (studi kasus PDAM Cabang Padang Bulan). Dikatakan optimal jika pipa
yang terpasang minimum untuk mengurangi biaya tanpa mengurangi fungsi dari
pipa air tersebut.
Misalkan terdapat beberapa alternatif untuk melakukan kunjungan –
kunjungan (visiting) dari satu tempat ke tempat – tempat yang lainnya, tentu dapat
segera dicari tahu alternatif yang cukup baik adalah dengan mencari jarak yang
terdekat antar tempat itu. (Nugraha, 2011)
Dalam masalah jaringan air dapat digunakan suatu cabang ilmu
matematika, yaitu matematika diskrit yang membahas mengenai teori graph.
Jaringan pipa air yang terpasang direpresentasikam ke dalam graf terhubung, tidak
berarah dan berbobot. Dimana kedua ujung dari pipa direpresentasikan sebagai
vertex V dan panjang pipa air direpresentasikan dengan edge E. (Jhonsonbaugh,
2005)
Salah satu cara meminimumkan panjang pipa air adalah dengan
menggunakan pohon rentang minimum. Misalkan G = (V, E) adalah graf takberarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di G terdapat sirkuit. G dapat
diubah menjadi pohon T = (V, E) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang
ada. Caranya yaitu dengan memutuskan salah satu sisi pada sirkuit hingga tidak
ada sirkuit pada G. Jika di G tidak lagi ada sirkuit maka pohon T ini disebut
dengan pohon merentang. Disebut merentang karena semua simpul pada pohon T
sama dengan simpul pada graf G dan sisi-sisi pada pohon T merupakan sisi-sisi
pada graf G. Diantara pohon merentang yang ada pada G, yang paling penting
4
adalah pohon merentang dengan bobot minimum. Pohon merentang dengan bobot
minimum ini disebut dengan pohon merentang minimum atau Minimum Spanning
Tree (MST).
Algoritma adalah deskripsi langkah – langkah penyelesaian masalah yang
tersusun secara logis pengambilan keputusan untuk pemecahan suatu masalah.
Algoritma ditulis dengan notasi khusus, notasi mudah dimengerti dan notasi dapat
diterjemahkan menjadi sintaks suatu bahasa pemrograman (Zakaria dan Prijono,
2006). Algoritma yang dapat diterapkan pada masalah pohon rentang minimum
diantaranya adalah Algoritma Program Dinamik dan Algoritma Greedy.
Algoritma Program Dinamik adalah salah satu teknik matematika yang
digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap
ganda. Inti dari teknik ini adalah membagi satu persoalan atas beberapa bagian
persoalan. Kemudian memecahkan tiap saat sampai seluruh persoalan telah
terpecahkan. Dalam pengerjaannya Algoritma Program Dinamik harus memiliki
kompleksitas data yang besar dan jika dikerjakan secara manual algoritma ini
akan bekerja secara lambat dan rumit.
Algoritma Greedy merupakan metode yang paling populer untuk
memecahkan persoalan optimasi dengan membentuk solusi langkah per langkah
(step by step). Terdapat banyak pilihan yang perlu dieksplorasi pada setiap
langkah solusi. Oleh karena itu, pada setiap langkah harus dibuat keputusan yang
terbaik dalam menentukan pilihan. Keputusan yang telah diambil pada suatu
langkah tidak dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya. Pendekatan yang
digunakan di dalam Algoritma Greedy adalah membuat pilihan yang “tampaknya”
memberikan perolehan terbaik, yaitu dengan membuat pilihan optimum lokal
(local optimum) pada setiap langkah dengan harapan bahwa sisanya mengarah ke
solusi optimum global (global optimum).
Algoritma yang termasuk ke dalam tipe Algoritma Greedy antara lain
Kode Huffman, Algoritma Dijkstra, Algoritma Prim, dan Algoritma Kruskal yang
ketiganya digunakan dalam menyelesaikan permasalahan optimasi pada graf. Kali
ini pembahasan akan ditik beratkan pada pemecahan masalah pembentukan pohon
merentang minimum.
5
Dalam tulisan ini penulis akan menggunakan strategi Algoritma Greedy
dalam menentukan pohon rentang minimum pada jaringan air di Perusahaan
Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Padang Bulan.
Berdasarkan latar belakang masalah di atas maka penulis memilih judul
“STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY”.
1.2.Rumusan Masalah
Berdasarkan pada latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalah
dalam penelitian ini adalah bagaimana meminimumkan jaringan air yaitu panjang
pipa dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya akan
meminimumkan biaya pemasangan pipa yang akan dipasang di Perumahan
Golden Palace Jl. Saudara (studi kasus PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan).
1.3.Batasan Masalah
Adapun batasan masalah yang tertera dalam tulisan ini adalah hanya
meneliti pipa jaringan air di PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan. Tidak
menggunakan program dalam penyelesaian masalah. Algoritma yang digunakan
adalah Algoritma Greedy. Konsep graf yang digunakan adalah graf tidak berarah,
berbobot dan terhubung.
1.4.Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menimumkan jaringan air
yaitu panjang pipa dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya
akan meminimumkan biaya pemasangan pipa yang akan dipasang oleh PDAM
Tirtanadi Cabang Padang Bulan di Perumahan Golden Palace Jl. Saudara.
6
1.5.Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Manfaat bagi penulis
Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu
yang telah dipelajari untuk mengkaji permasalahan tentang jaringan air
PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan.
2. Manfaat bagi pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan informasi mengenai Algoritma
Greedy dalam menyelesaikan masalah jaringan air dan sebagai acuan
dalam pengembangan karya tulis ilmiah.
3. Manfaat bagi perusahaan
Menjadi bahan pertimbangan untuk memperoleh pengoptimalan
jaringan air yaitu meminimumkan panjang pipa sehingga tidak
menimbulkan
kerugian
pada
panjang
pipa
yang
digunakan.
7
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Dengan merepresentasikan ujung rumah yang satu dan yang lainnya juga
antar ujung pipa sebagai vertex dan panjang pipa direpresentasikan sebagai edge
dari suatu graf berbot, terhubung dan tak berarah, maka Algoritma Greedy dapat
menentukan pohon rentang minimum dari graf tersebut.
Menurut sket yang terlampir (Lampiran 1) panjang pipa yang akan
digunakan untuk pembangunan Perumahan Golden Palace Jl. Saudara adalah 876
m. Sementara setalah dianalisis dengan menggunakan Algoritma Greedy panjang
pipa yang dapat digunakan untuk pembangunan perumahan tersebut adalah 828
m, yaitu dengan tidak digunakannya sisi 140 yang dihubungkan oleh
dan
dengan panjang 14 m, tidak digunakannya sisi 143 yang dihubungkan oleh
dan
dengan panjang 16 m dan tidak digunakannya sisi 144 yang dihubungkan
oleh
dan
dengan panjang 18 m (Lampiran 18). Berarti PDAM Tirtanadi
Cabang Padang Bulan dapat menghemat 48 m pipa untuk pembangunan jaringan
air di perumahan tersebut. Hal ini berarti jaringan air yang akan dipasang di
Perumahan Golden Palace Jl. Saudara belum optimal.
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 140 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
dapat dialirkan melalui
sedangkan pada
dan
aliran air
, hanya saja aliran air mengalir pelan karena di sekitar
simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat pasokan air dari simpul
lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
. (Lampiran 19).
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 143 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
dapat dialirkan melalui
sedangkan pada
dan
aliran air
, hanya saja aliran air mengalir pelan karena di sekitar
61
62
simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat pasokan air dari simpul
lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
. (Lampiran 19).
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 144 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
aliran air dapat dialirkan melalui
dan
dan
dan
sedangkan pada
, hanya saja aliran air mengalir pelan
karena di sekitar simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat
pasokan air dari simpul lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
,
,
.(Lampiran 19).
Memininumnya panjang pipa yang digunakan tidak terlalu berdampak
pada aliran air. Aliran air akan tetap mengalir ke setiap rumah, hanya saja pada
saat beban puncak (jam tertentu dimana penggunaan air maksimal) air akan
mengalir pelan. Selebihnya air akan mengalir normal karena graf yang
diimplementasikan pada jaringan air merupakan graf terhubung.
Sehubungan dengan panjang pipa yang belum optimal, maka anggaran
biaya yang akan digunakan untuk pemasangan pipa air juga belum optimal.
Anggaran biaya yang digunakan oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan
untuk pemasangan pipa air tersebut adalah Rp 168. 044. 700 dengan panjang pipa
876 m. Jika menggunakan panjang pipa yang telah diminimumkan oleh Algoritma
Greedy yaitu 828 m maka anggaran biaya yang digunakan adalah Rp 158. 836.
896. Maka PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan dapat menghemat biaya
sekitar Rp 9. 207. 804.
5.2
Saran
Pada tulisan ini penulis meneliti jaringan air yang akan dipasang di
Perumahan Golden Palace Jl. Saudara (Studi Kasus PDAM Tirtanadi Cabang
Padang Bulan) dan dengan menggunakan Algoritma Greedy diperoleh hasil yang
lebih optimal. Maka disarankan kepada PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan
menggunakan Algoritma Greedy untuk membangun jaringan air tersebut.
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY
Oleh:
Elvira Riska Harahap
NIM 409530005
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014
iv
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena
atas berkat, rahmat serta hidayah-Nya skripsi yang berjudul “Studi Jaringan Air
Di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Dengan Algoritma
Greedy” dapat terselesaikan. Shalawat serta salam tercurahkan kepada Nabi
Muhammad SAW, keluarga dan sahabatnya.
Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat
untuk mencapai gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan. Penulis menyadari bahwa tanpa
bantuan, bimbingan serta doa dari berbagai pihak mulai dari masa perkuliahan
sampai pada penyusunan skripsi ini, sangat sulit bagi penulis untuk
menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih
kepada : Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku
Ketua Jurusan Matematika dan Pembimbing Akademik, Bapak Drs. Yasifati Hia,
M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si.,
selaku Ketua Program Studi Matematika, Bapak Drs. Zul Amry, M.Si., selaku
Dosen Pembimbing Skripsi yang telah memberikan bimbingan, arahan, serta
petunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini, kepada Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si., Bapak Drs. H. Banjarnahor, M.Pd serta Bapak
Mulyono, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji, seluruh staf pengajar Jurusan
Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis selama
perkuliahan, seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED.
Ungkapan terimakasih dan penghargaan yang sangat spesial penulis
ucapkan dengan rendah hati dan rasa hormat kepada kedua orang tua tercinta
Ayahanda Syahrial Harahap dan Mamanda Nelviana Matondang yang dengan
segala pengorbanannya tidak akan penulis lupakan atas jasa, nasihat, dan doa dari
v
mereka yang merupakan dorongan moril terbesar bagi penulis hingga
terselesaikannya skripsi ini, keluarga besar Harahap dan Matondang yang telah
memberikan motivasi sampai akhir studi, pimpinan serta seluruh pegawai
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Padang Bulan yang
telah banyak membantu penulis dalam memberikan data – data yang dibutuhkan,
seluruh staf Perpustakaan Universitas Negeri Medan atas segala kemudahan yang
diberikan untuk mendapatkan referensi yang mendukung penyelesaian skripsi ini,
teman seperjuangan : Eka, Ervina, Leo, Muslim, Mauliza yang selalu ada dalam
suka dan duka, spesial buat Christian Shindy atas saran, motivasi serta waktunya
untuk mendengarkan setiap keluhan dari penulis, teman – temanku Matematika
Non-dik ’09 yang tidak dapat penulis sebutkan satu – persatu yang selalu
memberikan semangat, semua pihak yang tidak dapat disebutkan dalam
peyusunan skripsi ini, terimakasih banyak.
Akhir kata, penulis berharap Allah SWT berkenan membalas kebaikan
semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi
pengembangan ilmu.
Medan,
Januari 2014
Penulis,
Elvira Riska Harahap
NIM.409530005
iii
STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY
Elvira Riska Harahap (409530005)
ABSTRAK
Penelitian ini merupakan suatu studi kasus yang bertujuan meminimumkan
jaringan air yaitu panjang pipa yang akan dipasang di Perumahan Golden Palace
Jl. Saudara dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya akan
meminimumkan biaya pemasangan pipa oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang
Bulan. Permasalahan yang akan dibahas pada tulisan ini adalah panjang pipa yang
akan digunakan oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan adalah 876 m
dengan biaya Rp 168.044.700, sedangkan panjang pipa yang diperoleh dengan
Algoritma Greedy adalah 828 m dengan biaya Rp 158.836.896. Maka dengan
menggunakan Algoritma Greedy PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan dapat
menghemat 48 m pipa dan menghemat biaya Rp 9.207.804.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
Daftar Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
x
BAB I PENDAHULAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan Peneltian
Manfaat Penelitian
1
5
5
5
6
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Teori Graf
Konsep Dasar Graf
Jenis – Jenis Graf
Terminologi Graf
Pohon
Algoritma Greedy
7
8
10
14
20
23
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
3.2
3.3
Tempat dan Waktu Penelitian
Jenis Penelitian
Prosedur Penelitian
33
33
33
vii
BAB IV PEMBAHASAN
4.1
4.2
Jaringan Air yang akan Dipasang
Menentukan Pohon Rentang Minimum
34
35
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
5.2
Kesimpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
61
62
63
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1.
Sket Jaringan Air yang akan Dipasang di Perumahan
Goden Palace Jl. Saudara
64
Anggaran Biaya yang Digunakan dalam Pemasangan
Jaringan Air Di Perumahan Golden Palace
65
Lampiran 3
Representasi Jaringan Air dengan Graf
66
Lampiran 4
Graf G dengan Bobot Nol
67
Lampiran 5
Graf G dengan Bobot 0,6 cm
68
Lampiran 6
Graf G dengan Bobot 0,9 cm
69
Lampiran 7
Graf G dengan Bobot 2,5 cm
70
Lampiran 8
Graf G dengan Bobot 37 cm
71
Lampiran 9
Graf G dengan Bobot 67 cm
72
Lampiran 2.
Lampiran 10 Graf G dengan Bobot 67,7 cm
73
Lampiran 11 Graf G dengan Bobot 70,9 cm
74
Lampiran 12 Graf G dengan Bobot 72,9 cm
75
Lampiran 13 Graf G dengan Bobot 74 cm
76
Lampiran 14 Graf G dengan Bobot 75,2 cm
77
Lampiran 15 Graf G dengan Bobot 76,5 cm
78
Lampiran 16 Graf G dengan Bobot 77,9 cm
79
Lampiran 17 Graf G dengan Bobot 80,9 cm
80
Lampiran 18 Graf G dengan Bobot 82,8 cm
81
Lampiran 19 Jaringan Air dengan Algoritma Greedy
82
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Ilmu pengetahuan muncul sebagai akibat dari aktivitas untuk memenuhi
kebutuhan hidup manusia. Tujuan pertama perkembangan ilmu pengetahuan
adalah perubahan kehidupan masa depan yang lebih baik, mudah, murah, cepat
dan aman. Kemajuan ilmu pengetahuan juga mempengaruhi perkembangan kota
dimana perkembangan kota ini dilakukan karena jumlah penduduk yang terus
bertambah. Sehubungan dengan hal itu, maka semakin meningkat pula kebutuhan
penduduk dalam hal ini air bersih. Perkembangan ilmu pengetahuan yang pesat
mengakibatkan zaman juga berkembang dengan pesat. Semakin berkembangnya
zaman, maka semakin kompleks pula masalah yang akan muncul. Permasalahan
timbul karena orang menginginkan kenyamanan serta keuntungan. Misalnya saja
pada jaringan air, pipa air yang terpasang haruslah minimum dan dapat
mengalirkan ke seluruh bagian yang diinginkan.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Medan merupakan
Badan Usaha Milik Daerah Propinsi Sumatera Utara yang telah berdiri pada
zaman pemerintahan Belanda pada tanggal 23 September 1905 dengan nama
perusahaan NV. Waterleiding Maatschappij Ayer Bersih dan berkantor Pusat di
Amsterdam, Belanda. Meskipun telah melalui zaman penjajahan Belanda dan
Jepang, dan selanjutnya memasuki masa kemerdekaan Republik Indonesia,
perusahaan masih mampu memberikan pelayanan kepada masyarakat secara
berkelanjutan.
PDAM Tirtanadi telah banyak mengalami perubahan-perubahan dan
kemajuan, diantaranya, selain melayani kebutuhan air bersih di kota Medan dan
sekitarnya, juga melakukan kerjasama operasi dan kerjasama manajemen dengan
beberapa Pemerintah Daerah / PDAM di Propinsi Sumatra Utara. Kerjasama ini
dimaksudkan untuk meningkatkan pelayanan air bersih kepada masyarakat
1
2
sebagaimana diatur dalam Perda No. 3 tahun 1999, direalisasikan pada tanggal 17
Juli 1999 dengan penandatanganan naskah perjanjian kerjasama pembentukan
beberapa cabang PDAM Tirtanadi di daerah kabupaten, antara lain Kabupaten
Deli Serdang, Simalungun, Toba Samosir, Mandailing Natal, Tapanuli Tengah,
Nias dan Tapanuli Selatan. Perjanjian kerjasama tersebut berbentuk Kerjasama
Operasional (KSO) selama 25 tahun, serta Kerjasama Management (KSM)
dengan Pemerintah Kabupaten Labuhan Batu dan Pemerintah Kabupaten Dairi.
Diharapkan kerjasama ini akan meningkatkan mutu pelayanan air bersih di daerah
tersebut.
Secara garis besar daerah operasional PDAM Tirtanadi dikelompokkan
menjadi 2 bagian, yaitu Wilayah Pelayanan I (Kota Medan dan sekitarnya) yang
terdiri dari Cabang Utama, Cabang Sei Agul, Cabang Padang Bulan, Cabang
Medan Denai, Cabang Belawan, Cabang Tuasan, Cabang Sunggal, Cabang Deli
Tua, Cabang H. M. Yamin, Cabang Diski dan Cabang Amplas. Daerah Kerjasama
Operasi/Kerjasama Manajemen (Daerah Operasional 2), yang terdiri dari
Kabupaten Deli Serdang, Simalungun, Toba Samosir, Mandailing Natal, Tapanuli
Tengah, Nias,Tapanuli Selatan, Kabupaten Labuhan Batu dan Kabupaten Dairi.
Secara keseluruhan pipa yang digunakan PDAM Tirtanadi yaitu terbagi 2
yaitu pipa dinas dan pipa distribusi. Pipa dinas merupakan pipa yang mengalirkan
air ke pipa distribusi dimana ukuran pipa dinas ini adalah 8”. Sedangkan pipa
distribusi adalah pipa yang mengalirkan air ke rumah pelanggan dimana ukuran
pipa ini adalah 3” dan 4”.
Semakin banyaknya jumlah penduduk maka semakin meningkat pula
kebutuhan masyarakat akan air bersih. Oleh karena itu PDAM Tirtanadi berusaha
semaksimal mungkin dalam memenuhi kebutuhan masyarakat. Seperti wawancara
yang dilakukan oleh Media Sumut kepada Direktur Operasi Perusahaan Daerah
Air Minum Tirtanadi Sumatra Utara, Mangindang Ritonga pada tanggal 24
Januari 2013 mengatakan ketersedian produksi air di Kota Medan sudah tidak
seimbang. Kondisi itu disebabkan pertumbuhan perumahan yang membutuhkan
sambungan baru. Dengan pemasangan sambungan pipa baru diharapakan dapat
3
menyelesaikan masalah yang ada yaitu masalah pendistribusian air dan masalah
persediaan air. (Ritonga, 2013)
Menurut hasil wawancara dengan salah satu karyawan PDAM Tirtanadi
Cabang Padang Bulan, Ramli mengatakan bahwa akan ada pemasangan pipa baru
untuk Perumahan Golden Palace yang terletak di Jl. Saudara Padang Bulan.
Dimana jenis pipa yang digunakan adalah jenis pipa PVC yang terbuat dari besi,
ukuran pipa yang digunakan adalah 3” dan sumber air yang akan dialirkan berasal
dari Sibolangit.
Dalam hal ini timbul masalah, apakah pipa yang akan dipasang akan
optimal? (studi kasus PDAM Cabang Padang Bulan). Dikatakan optimal jika pipa
yang terpasang minimum untuk mengurangi biaya tanpa mengurangi fungsi dari
pipa air tersebut.
Misalkan terdapat beberapa alternatif untuk melakukan kunjungan –
kunjungan (visiting) dari satu tempat ke tempat – tempat yang lainnya, tentu dapat
segera dicari tahu alternatif yang cukup baik adalah dengan mencari jarak yang
terdekat antar tempat itu. (Nugraha, 2011)
Dalam masalah jaringan air dapat digunakan suatu cabang ilmu
matematika, yaitu matematika diskrit yang membahas mengenai teori graph.
Jaringan pipa air yang terpasang direpresentasikam ke dalam graf terhubung, tidak
berarah dan berbobot. Dimana kedua ujung dari pipa direpresentasikan sebagai
vertex V dan panjang pipa air direpresentasikan dengan edge E. (Jhonsonbaugh,
2005)
Salah satu cara meminimumkan panjang pipa air adalah dengan
menggunakan pohon rentang minimum. Misalkan G = (V, E) adalah graf takberarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di G terdapat sirkuit. G dapat
diubah menjadi pohon T = (V, E) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang
ada. Caranya yaitu dengan memutuskan salah satu sisi pada sirkuit hingga tidak
ada sirkuit pada G. Jika di G tidak lagi ada sirkuit maka pohon T ini disebut
dengan pohon merentang. Disebut merentang karena semua simpul pada pohon T
sama dengan simpul pada graf G dan sisi-sisi pada pohon T merupakan sisi-sisi
pada graf G. Diantara pohon merentang yang ada pada G, yang paling penting
4
adalah pohon merentang dengan bobot minimum. Pohon merentang dengan bobot
minimum ini disebut dengan pohon merentang minimum atau Minimum Spanning
Tree (MST).
Algoritma adalah deskripsi langkah – langkah penyelesaian masalah yang
tersusun secara logis pengambilan keputusan untuk pemecahan suatu masalah.
Algoritma ditulis dengan notasi khusus, notasi mudah dimengerti dan notasi dapat
diterjemahkan menjadi sintaks suatu bahasa pemrograman (Zakaria dan Prijono,
2006). Algoritma yang dapat diterapkan pada masalah pohon rentang minimum
diantaranya adalah Algoritma Program Dinamik dan Algoritma Greedy.
Algoritma Program Dinamik adalah salah satu teknik matematika yang
digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap
ganda. Inti dari teknik ini adalah membagi satu persoalan atas beberapa bagian
persoalan. Kemudian memecahkan tiap saat sampai seluruh persoalan telah
terpecahkan. Dalam pengerjaannya Algoritma Program Dinamik harus memiliki
kompleksitas data yang besar dan jika dikerjakan secara manual algoritma ini
akan bekerja secara lambat dan rumit.
Algoritma Greedy merupakan metode yang paling populer untuk
memecahkan persoalan optimasi dengan membentuk solusi langkah per langkah
(step by step). Terdapat banyak pilihan yang perlu dieksplorasi pada setiap
langkah solusi. Oleh karena itu, pada setiap langkah harus dibuat keputusan yang
terbaik dalam menentukan pilihan. Keputusan yang telah diambil pada suatu
langkah tidak dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya. Pendekatan yang
digunakan di dalam Algoritma Greedy adalah membuat pilihan yang “tampaknya”
memberikan perolehan terbaik, yaitu dengan membuat pilihan optimum lokal
(local optimum) pada setiap langkah dengan harapan bahwa sisanya mengarah ke
solusi optimum global (global optimum).
Algoritma yang termasuk ke dalam tipe Algoritma Greedy antara lain
Kode Huffman, Algoritma Dijkstra, Algoritma Prim, dan Algoritma Kruskal yang
ketiganya digunakan dalam menyelesaikan permasalahan optimasi pada graf. Kali
ini pembahasan akan ditik beratkan pada pemecahan masalah pembentukan pohon
merentang minimum.
5
Dalam tulisan ini penulis akan menggunakan strategi Algoritma Greedy
dalam menentukan pohon rentang minimum pada jaringan air di Perusahaan
Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang Padang Bulan.
Berdasarkan latar belakang masalah di atas maka penulis memilih judul
“STUDI JARINGAN AIR DI PERUSAHAAN DAERAH AIR MINUM
(PDAM) TIRTANADI DENGAN ALGORITMA GREEDY”.
1.2.Rumusan Masalah
Berdasarkan pada latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalah
dalam penelitian ini adalah bagaimana meminimumkan jaringan air yaitu panjang
pipa dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya akan
meminimumkan biaya pemasangan pipa yang akan dipasang di Perumahan
Golden Palace Jl. Saudara (studi kasus PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan).
1.3.Batasan Masalah
Adapun batasan masalah yang tertera dalam tulisan ini adalah hanya
meneliti pipa jaringan air di PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan. Tidak
menggunakan program dalam penyelesaian masalah. Algoritma yang digunakan
adalah Algoritma Greedy. Konsep graf yang digunakan adalah graf tidak berarah,
berbobot dan terhubung.
1.4.Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menimumkan jaringan air
yaitu panjang pipa dengan menggunakan Algoritma Greedy yang pada akhirnya
akan meminimumkan biaya pemasangan pipa yang akan dipasang oleh PDAM
Tirtanadi Cabang Padang Bulan di Perumahan Golden Palace Jl. Saudara.
6
1.5.Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Manfaat bagi penulis
Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu
yang telah dipelajari untuk mengkaji permasalahan tentang jaringan air
PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan.
2. Manfaat bagi pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan informasi mengenai Algoritma
Greedy dalam menyelesaikan masalah jaringan air dan sebagai acuan
dalam pengembangan karya tulis ilmiah.
3. Manfaat bagi perusahaan
Menjadi bahan pertimbangan untuk memperoleh pengoptimalan
jaringan air yaitu meminimumkan panjang pipa sehingga tidak
menimbulkan
kerugian
pada
panjang
pipa
yang
digunakan.
7
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Dengan merepresentasikan ujung rumah yang satu dan yang lainnya juga
antar ujung pipa sebagai vertex dan panjang pipa direpresentasikan sebagai edge
dari suatu graf berbot, terhubung dan tak berarah, maka Algoritma Greedy dapat
menentukan pohon rentang minimum dari graf tersebut.
Menurut sket yang terlampir (Lampiran 1) panjang pipa yang akan
digunakan untuk pembangunan Perumahan Golden Palace Jl. Saudara adalah 876
m. Sementara setalah dianalisis dengan menggunakan Algoritma Greedy panjang
pipa yang dapat digunakan untuk pembangunan perumahan tersebut adalah 828
m, yaitu dengan tidak digunakannya sisi 140 yang dihubungkan oleh
dan
dengan panjang 14 m, tidak digunakannya sisi 143 yang dihubungkan oleh
dan
dengan panjang 16 m dan tidak digunakannya sisi 144 yang dihubungkan
oleh
dan
dengan panjang 18 m (Lampiran 18). Berarti PDAM Tirtanadi
Cabang Padang Bulan dapat menghemat 48 m pipa untuk pembangunan jaringan
air di perumahan tersebut. Hal ini berarti jaringan air yang akan dipasang di
Perumahan Golden Palace Jl. Saudara belum optimal.
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 140 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
dapat dialirkan melalui
sedangkan pada
dan
aliran air
, hanya saja aliran air mengalir pelan karena di sekitar
simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat pasokan air dari simpul
lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
. (Lampiran 19).
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 143 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
dapat dialirkan melalui
sedangkan pada
dan
aliran air
, hanya saja aliran air mengalir pelan karena di sekitar
61
62
simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat pasokan air dari simpul
lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
. (Lampiran 19).
Untuk kasus tidak digunakannya sisi 144 yang dihubungkan oleh
, pada
aliran air dapat dialirkan melalui
aliran air dapat dialirkan melalui
dan
dan
dan
sedangkan pada
, hanya saja aliran air mengalir pelan
karena di sekitar simpul yang tidak digunakan lagi sisinya harus mendapat
pasokan air dari simpul lain yang masih terhubung dengannya yaitu
dan
,
,
.(Lampiran 19).
Memininumnya panjang pipa yang digunakan tidak terlalu berdampak
pada aliran air. Aliran air akan tetap mengalir ke setiap rumah, hanya saja pada
saat beban puncak (jam tertentu dimana penggunaan air maksimal) air akan
mengalir pelan. Selebihnya air akan mengalir normal karena graf yang
diimplementasikan pada jaringan air merupakan graf terhubung.
Sehubungan dengan panjang pipa yang belum optimal, maka anggaran
biaya yang akan digunakan untuk pemasangan pipa air juga belum optimal.
Anggaran biaya yang digunakan oleh PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan
untuk pemasangan pipa air tersebut adalah Rp 168. 044. 700 dengan panjang pipa
876 m. Jika menggunakan panjang pipa yang telah diminimumkan oleh Algoritma
Greedy yaitu 828 m maka anggaran biaya yang digunakan adalah Rp 158. 836.
896. Maka PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan dapat menghemat biaya
sekitar Rp 9. 207. 804.
5.2
Saran
Pada tulisan ini penulis meneliti jaringan air yang akan dipasang di
Perumahan Golden Palace Jl. Saudara (Studi Kasus PDAM Tirtanadi Cabang
Padang Bulan) dan dengan menggunakan Algoritma Greedy diperoleh hasil yang
lebih optimal. Maka disarankan kepada PDAM Tirtanadi Cabang Padang Bulan
menggunakan Algoritma Greedy untuk membangun jaringan air tersebut.