Analisis ketimpangan distribusi pendapatan dengan fungsi produksi cobb-douglas

ABSTRAK
AYU LEMBAYUNG. Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Menggunakan Fungsi
Produksi Cobb-Douglas. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO
BUDIARTI.
Dalam tulisan ini dipelajari model pertumbuhan ekonomi Moav (2002). Model Moav
memperlihatkan adanya ketimpangan sosial antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan
masyarakat berpenghasilan tinggi. Ketimpangan sosial tersebut disebabkan oleh distribusi
pendapatan yang tidak merata. Pada model Moav ini ada suatu daerah ambang, dimana daerah
ambang menjadi tolak ukur untuk menentukan apakah suatu masyarakat masuk ke kelompok
berpenghasilan rendah atau tinggi. Fungsi produksi yang digunakan pada tulisan ini adalah fungsi
produksi Cobb-Douglas.
Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Maple 13 dan Mathematica 7. Secara
keseluruhan dari kasus yang diamati, masyarakat berpenghasilan tinggi mencapai kondisi stabil
lebih dulu, disusul oleh daerah ambang, dan yang terakhir adalah masyarakat berpenghasilan
rendah.
Kata kunci : ketimpangan, pertumbuhan ekonomi-Moav

ABSTRACT
AYU LEMBAYUNG. Analysis of Unequal Income Distribution with Cobb-Douglas Production
Function. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.
This paper studies the economic growth model by Moav (2002). Moav model shows the

existence of unequal income distribution between low-income with high-income community. That
kind of unequal income distribution is caused by uneven distribution of income. On this Moav
model, there is one area called the threshold. Threshold becomes a benchmark to determining
whether a society is categorized into low- or high- income community. The production function
used in this paper is the Cobb-Douglas function.
The dynamics of this model is described as difference equation of low-income, threshold, and
high-income community. Simulation study on the model is carried out using Maple 13 and
Mathematica 7.0 software. Overall, from the observed case, high-income community will reach a
stable condition earlier, followed by the threshold, and then the low-income community.
Keywords : Moav-economic growth, unequal income distribution

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi adalah proses
kenaikan output per kapita yang terus
menerus dalam jangka panjang. Simon
Kuznet
mendefinisikan
pertumbuhan
ekonomi suatu negara sebagai kemampuan

negara tersebut untuk menyediakan barang–
barang ekonomi yang terus meningkat bagi
penduduknya, pertumbuhan kemampuan ini
berdasarkan pada kemajuan teknologi dan
kelembagaan serta penyesuaian ideologi
yang dibutuhkan.
Pertumbuhan
ekonomi
tersebut
merupakan salah satu indikator keberhasilan
pembangunan. Dengan demikian makin
tinggi pertumbuhan ekonomi biasanya
makin tinggi pula kesejahteraan masyarakat,
meskipun terdapat indikator lain yaitu
distribusi pendapatan.
Distribusi pendapatan yang tidak merata
mengakibatkan adanya ketimpangan sosial.
Ketimpangan sosial yang terjadi dalam
pertumbuhan ekonomi ini di masyarakat
dipengaruhi oleh sistem dinamika yang

menghasilkan
keseimbangan
dari
pendapatan masyarakat yang berpenghasilan
rendah
dengan
masyarakat
yang
berpenghasilan tinggi.
Dalam kasus ketimpangan pendapatan
pada pertumbuhan ekonomi ini, akan
dikembangkan
model
perekonomian
terbuka, di mana evaluasi pendapatan dalam
setiap kelompok masyarakat diatur oleh
sistem
dinamik
yang
menghasilkan

keseimbangan
antara
masyarakat

berpenghasilan
tinggi
dengan
yang
berpenghasilan rendah.
Distribusi pendapatan dan pembangunan
ekonomi menunjukkan ketidaksempurnaan
pasar modal. Hal ini menunjukkan bahwa
ketimpangan
pendapatan
dalam
pertumbuhan
ekonomi
mempengaruhi
kinerja perekonomian dalam waktu jangka
panjang.

Perekonomian setiap periode pasti
berbeda dengan perekonomian pada periode
sebelum atau sesudahnya. Oleh karena itu,
ketimpangan sosial dalam pertumbuhan
ekonomi ini, sedikit banyak dipengaruhi
oleh model overlapping generation (OLG).
Model ini merupakan model kunci secara
makroekonomi
modern
yang
mengaplikasikan siklus kehidupan manusia.
Oleh karena itu, karya ilmiah ini akan
merumuskan model dinamika sistem
ekonomi yang dalam pertumbuhannya masih
mengalami ketimpangan antara masyarakat
berpenghasilan rendah dengan masyarakat
berpenghasilan tinggi.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Menganalisis model pertumbuhan

ekonomi yang menunjukkan adanya
ketimpangan
antara
masyarakat
berpenghasilan
rendah
dengan
masyarakat berpenghasilan tinggi.
2. Melakukan simulasi terhadap model
tersebut.

2

II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa
definisi dan penjelasan istilah yang
digunakan dalam karya ilmiah ini.

Return to scale dapat diklasifikasikan
menjadi:

1. Return to scale konstan, jika efek
dalam
output

2.1 Istilah Ekonomi
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan
ekonomi
adalah
perkembangan
kegiatan
dalam
perekonomian yang menyebabkan barang
dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat
bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi
menunjukkan
persentase
kenaikan
pendapatan nasional riil pada suatu tahun
tertentu, dibandingkan dengan pendapatan

nasional riil pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003)

2.

Return to scale berkurang, jika efek
dalam
output

3.

Return to scale meningkat, jika
efek dalam output
(Nicholson 2002)

Faktor Produksi
Faktor produksi adalah variabel–variabel
input yang digunakan dalam proses produksi
untuk menghasilkan output.
(Mankiw 2003)

Fungsi Produksi
Produk Marjinal

Fungsi produksi untuk suatu barang
tertentu,
dengan
menyatakan input
capital dan
menyatakan efisiensi modal manusia
sedangkan tanda titik–titik pada fungsi
produksi di atas menunjukkan kemungkinan
digunakannya
input
produksi
lain,
memperlihatkan jumlah output maksimum
yang diperoleh dengan menggunakan
berbagai alternatif kombinasi input produksi.

Misalkan didefinisikan fungsi produksi
dengan
menyatakan input
capital dan
menyatakan efisiensi modal
manusia. Produk marjinal dari suatu input
adalah output tambahan yang dapat
diperoleh dengan menambah input yang
bersangkutan 1 unit, sedangkan input–input
lain dianggap konstan. Secara matematis
dinotasikan sebagai berikut:

Fungsi produksi Cobb–Douglas

Produk marjinal per kapita

dimana
dan kesemuanya merupakan
konstanta positif. Jika
, fungsi

Cobb–Douglas memperlihatkan return to
scale yang meningkat, jika
,
fungsi ini memperlihatkan return to scale
yang menurun, jika
, fungsi CobbDouglas memperlihatkan return to scale
konstan.
(Nicholson 2002)
Return to Scale
Return to scale adalah keadaan ketika
output meningkat sebagai respon adanya
kenaikan yang proporsional dari seluruh
input. Jika diketahui fungsi produksi
dan semua input dikalikan
dengan suatu bilangan positif
, maka

Produk marjinal modal manusia

(Nicholson 2002)
Tingkat Pengembalian
Tingkat di mana barang saat ini dapat
ditransformasikan menjadi barang masa
mendatang. Misalnya, tingkat pengembalian
satu periode sebesar 10 persen menyiratkan
bahwa melepaskan satu unit keluaran pada
periode ini akan menghasilkan 1.10 unit
keluaran dalam periode berikutnya.
(Nicholson 2002)

3

Kondisi Mapan / Steady State
Ekonomi yang berada pada kondisi
mapan adalah suatu keadaan dimana modal
per kapita pada periode sekarang sama
dengan modal per kapita pada periode
sebelumnya.

Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia.

(Zhang 2006)

Model Pertumbuhan Ekonomi dengan
Perkembangan Teknologi

(Mankiw 2003)

Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas adalah fungsi yang
menunjukkan kepuasan seseorang dari
mengonsumsi barang dan jasa, yang
dinotasikan sebagai berikut:

dengan
adalah kegunaan/utilitas total,
dan
merupakan banyaknya
produk yang dikonsumsi.
Fungsi utilitas Cobb-Douglass

dimana

dan

adalah konstanta positif.
(Nicholson 2002)

Dalam model ini, fungsi produksi secara
umum ditulis sebagai berikut:
Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia dan
adalah
perkembangan teknologi.
(Mankiw 2003)
Modal
Modal adalah segala barang-barang yang
diciptakan manusia dengan tujuan untuk
menghasilkan barang-barang lain atau jasajasa yang akan digunakan masyarakat.
(Sukirno 2004)
Upah
Upah adalah biaya penggunaan satu
pekerja selama satuan waktu tertentu.

Teori Pertumbuhan Neoklasik
Teori pertumbuhan aliran neoklasik
menjelaskan tentang penyebab terjadinya
pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan
ekonomi ini menekankan pada efisiensi
tenaga kerja dan stok modal sebagai
penyebab utama pertumbuhan ekonomi.
Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai
berikut:

(Nicholson 2002)
Elastisitas
Elastisitas adalah ukuran persentase
perubahan suatu variabel yang disebabkan
oleh satu persen perubahan variabel lain.
(Nicholson 2002)

dengan
adalah output pada saat ,
adalah stok modal pada saat ,
adalah
efisiensi tenaga kerja,pada saat
dan
adalah waktu.
(Mankiw 2003)
Bentuk spesifik dari hubungan teori
pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai
fungsi produksi Cobb-Douglas yang
menambahkan faktor perubahan teknologi
sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi.
Model
Pertumbuhan
Perkembangan Teknologi

Tanpa

Dalam model ini, fungsi produksi secara
umum ditulis sebagai berikut:

Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi adalah ukuran
tingkat perubahan output akibat dari
penggunaan input.
(Nicholson 2002)
2.2 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem Dinamik Waktu Diskret
Sistem dinamik adalah suatu sistem yang
berubah sesuai dengan waktu. Sistem
dinamik dengan waktu diskret dinyatakan
sebagai berikut:

4

dengan

merupakan fungsi dari

.

(Tu 1994)
Titik Tetap / Titik Equilibrium
Diberikan sistem persamaan diferensial

Titik
disebut titik tetap jika
Titik tetap disebut juga titik krisis atau titik
kesetimbangan.
(Kreyzig 1993)

Persamaan Beda
Konsep persamaan beda (difference
equation) digunakan dalam analisis sistem
dinamik dengan variabel diskret untuk
menunjukkan dinamika/perubahan suatu
variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi
, nilai berubah jika nilai
berubah
dari integer yang satu ke integer berikutnya,
misal
dan seterusnya.
Pola perubahan
digambarkan dengan
istilah ‘beda’ (difference).
Misalkan
menunjukkan besar
perubahan
pada dua periode berurutan,
sehingga dapat ditulis

Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa merupakan
suatu persamaan yang melibatkan turunan
pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi
sebarang atau peubah tak bebas terhadap
peubah
bebasnya.
Suatu
persamaan
diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan
sebagai berikut

dengan
(

merupakan peubah tak bebas
dan peubah bebas.
(Farlow 1994)

Dengan
adalah nilai pada periode ke .
Sedangkan
menunjukkan nilai
pada suatu periode setelah periode ke .
Bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai
berikut:

Misalkan
, maka kita dapat
menyatakan
dalam
hingga
.
Hal yang sama berlaku juga sebaliknya,
dalam hal ini jika persamaan berbentuk
.
(Chiang & Wainwright 2005)

5

III PEMBAHASAN
Model ketimpangan sosial dalam
pertumbuhan ekonomi ini diusulkan oleh
Moav pada tahun 2002. Model Moav ini
digunakan
untuk
menunjukkan
ketidaksetaraan
antara
penduduk
berpenghasilan rendah dengan penduduk
yang
berpenghasilan
tinggi
dalam
pertumbuhan ekonomi.
3.1 Model Produksi dan Harga

dimana

,

,

, sehingga kita dapatkan
, dengan
adalah suatu fungsi
pertumbuhan ekonomi sebagai berikut:

Model produksi dan harga dalam model
Moav ini mempertimbangkan pemodelan
overlapping generation (OLG). Dalam
setiap periode perekonomian, pemodelan
OLG ini menghasilkan produk atau
komoditas yang bersifat homogen/tunggal
yang dapat digunakan baik untuk konsumsi
atau pun untuk investasi. Produksi yang
terjadi dalam kurun jangka waktu tertentu
menggunakan teknologi return to scale
konstan.
Output yang dihasilkan pada waktu
dengan menggunakan modal
dan efisiensi
modal manusia
adalah

Akibatnya

adalah konstan.

3.2 Titik Tetap / Titik Equilibrium
Investasi dalam modal fisik dan manusia
dibuat satu periode di muka.
Fungsi produksi yang digunakan pada
karya ilmiah ini adalah fungsi produksi
Cobb–Douglas, sehingga persamaan output
tersebut menjadi

dimana investasi dalam modal fisik dan
manusia dibuat satu periode sebelumnya,
dengan asumsi bahwa tingkat pengembalian
modal konstan, dinotasikan oleh . Modal
yang terbatas akan menghasilkan pergerakan
ekonomi internasional.
(3.1)
(bukti pada Lampiran 1).
Dari
sifat–sifat
fungsi
produksi,
diketahui bahwa upah per unit sumber daya
manusia,
, secara unik ditentukan
mengingat tingkat pengembalian modal
konstan dari waktu ke waktu, karena:

Perilaku
neoklasik

produsen

memiliki

fungsi

dengan

dengan
adalah efisiensi modal
manusia,
adalah total output, dan
adalah total modal. sedangkan
adalah
jumlah output per kapita, dan
adalah
modal per kapita. Perilaku optimal produsen
diperoleh dari produk marjinal yang
menentukan harga faktor–faktor produksi.
Fungsi produk marjinal terhadap modal
menentukan nilai tingkat suku bunga,
sedangkan fungsi produk marjinal terhadap
efisiensi modal manusia menentukan tingkat
upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari
fungsi warisan. Fungsi adalah kontinu,
penambahan suatu kondisi tetap diperlukan
pada pengembalian modal, yaitu:
(3.2)

(bukti pada Lampiran 2).

6

Fungsi produksi yang digunakan adalah
fungsi Cobb–Douglas dengan pengaruh
teknologi sebagai berikut

Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia, sedangkan
adalah perkembangan teknologi. Kita tulis
kondisi marjinal dalam intensitas modal
(3.3)

dengan
dan
. Fungsi utilitas
ini dirancang untuk menghasilkan fungsi
warisan. Warisan yang diberikan oleh
individu
yang lahir pada periode
dinyatakan sebagai berikut

(3.4)
dengan
(bukti pada Lampiran 4).

(bukti pada Lampiran 3).
3.3 Model Individu
Seperti pada OLG, pada model ini
individu hidup juga dalam dua jangka
waktu. Kekayaan awal individu merupakan
kekayaan yang berasal dari orang tua mereka
atau warisan.
Individu hidup dalam dua periode,
memiliki orang tua dan juga anak.
Hubungan antara orang tua dan anak
tersebut menciptakan sebuah kelompok.
Ketika individu berada pada periode kedua,
orang tua individu tersebut berada pada
periode pertama. Dengan kata lain, untuk
individu pada periode , individu muda pada
waktu dan tua pada waktu
. Individu
yang lahir
pada
waktu
akan
mengalokasikan
pendapatannya
untuk
individu yang lahir pada waktu
, jadi
total pendapatan yang diterima oleh individu
pada waktu
yaitu
, antara
konsumsi rumah tangga individu
pada
waktu
,
, dan warisan atau
harta keturunan, yang diterima individu
pada waktu
,
. Sehingga
batasan anggaran adalah

3.4 Pembentukan Modal Sumber Daya
Manusia
Pada periode pertama yaitu kehidupan
individu diperiode , individu-individu
mencurahkan seluruh waktu mereka untuk
akuisisi modal manusia. Individu-individu
tersebut
juga
mendapatkan satu unit
efesiensi modal berupa keterampilan tenaga
kerja dasar dari individu
, yang
diinvestasikan dalam pendidikan,

(3.5)
keterangan:
= Tingkat modal manusia dalam
bentuk keahlian individu pada
waktu
.
Diasumsikan bahwa pengembalian modal
marjinal individu, untuk
, adalah
lebih besar daripada pengembalian modal,
. Diasumsikan juga pengembalian
modal, , cukup rendah, yaitu
,
maka
.

Setiap orang memaksimalkan utilitas waktu
hidupnya,
dengan
bergantung
pada
pemakaian dalam dua periode kehidupan.
Fungsi utilitas yang memaksimumkan untuk
setiap waktu adalah fungsi utilitas yang
diturunkan terhadap , dan turunannya
. Utilitas
adalah sama dengan 0,
waktu hidup mereka dinyatakan sebagai
berikut

3.5 Kondisi Mapan (Steady State) dalam
Persamaan Beda Linear
Pada dasarnya, hubungan antara modal
per kapita dalam waktu dua periode seperti
ini akan cukup kompleks dengan persamaan
beda yang non linear sehingga komponen di
dalamnya juga non linear. Persamaan
adalah persamaan non linear. Akan

7

digambarkan nilai
pada garis horizontal
(sumbu ) dan nilai
pada garis
vertikal (sumbu ). Kemudian tarik garis
, yang secara definisi mewakili titik–titik
nilai yang konstan dari waktu ke waktu.
Garis
merupakan garis kepastian karena
di sepanjang garis tersebut
,
modal per kapita tidak akan berubah
sepanjang waktu. Dengan kata lain,
perekonomian berada pada kondisi mapan.
Modal per kapita adalah sebagai berikut:

Di luar nilai–nilai kondisi mapan, dapat
menggunakan gambar yang sama untuk
menjelaskan evolusi nilai dari waktu ke
waktu.
Gunakan garis
untuk
memproyeksikan
nilai–nilai
keesokan
harinya terhadap nilai–nilai hari ini di sumbu
.
Pemetaan antara
dan
merupakan pemetaan turun sebelum atau
daerah ambang dan pemetaan naik setelah
atau daerah ambang. Kita amati keunikan
yang memotong garis
sehingga
. Perpotongan
dengan
garis
menunjukkan
bahwa
perekonomian berada pada kondisi mapan.
Pada Gambar 1, dimulai dengan nilai yang
berada di bawah daerah ambang, per total
kekayaan menurun dari
ke
,
sedangkan untuk nilai yang di atas daerah
ambang, per total kekayaan meningkat dari
ke
.

secara unik ditentukan atau
dipengaruhi oleh warisan periode kehidupan
pertama
yang didefinisikan sebagai
berikut
(3.6)

Dari persamaan (3.4) dan (3.6), evolusi
total kekayaan dari suatu kelompok secara
unik ditentukan sebagai berikut:

Syarat-syarat:


, jika




,

jika

(bukti pada Lampiran 5).
dengan
diketahui.
untuk
semua . Pembatasan pada nilai parameter
sangat diperlukan agar dapat menghasilkan
pendekatan model pertumbuhan ekonomi
Moav.
Agar persamaan beda ini berada dalam
kondisi mapan maka
.
Diasumsikan tingkat total kekayaan individu
yang tidak menerima warisan, , lebih besar
dari tingkat upah . Berdasarkan persamaan
Dari persamaan di atas, untuk menghasilkan
suatu kondisi yang mapan maka
. Dapat disimpulkan bahwa
individu yang berpenghasilan rendah
terperangkap dalam

Gambar 1 Evolusi Pendapatan.
3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan
Dari persamaan di atas, total kekayaan
individu periode kedua dalam kehidupan

jerat kemiskinan, sehingga pendapatan
yang diterima individu tersebut hanya
diperoleh dari gaji saja,
, karena
(3.8)

8

(bukti pada Lampiran 6).
Diasumsikan
bahwa
tingkat
pengembalian modal manusia,
, dan
besarnya tingkat maksimum pendidikan, ,
adalah cukup besar, sehingga seorang
individu yang menerima warisan
akan memberikan warisan yang lebih besar
pada keturunannya

Asumsi ini dinyatakan dengan

Asumsi ini menghasilkan berbagai
kelompok berdasarkan tingkat
total
kekayaan. Individu pada periode
dapat
dikatakan memiliki total kekayaan tinggi
jika total kekayaan individu tersebut lebih
besar dari total kekayaan individu periode .

Dari persamaan (3.7) dan ingin
menghasilkan kondisi mapan maka
1= = . Dapat dilihat bahwa ada total
kekayaan yang berada di atas kisaran
perangkap kemiskinan (pendapatan tinggi)
yang ditentukan oleh
(3.9)
(bukti pada Lampiran 7).
Dalam dinamika ekonomi, terdapat
ambang penghasilan,
. Dari
persamaan (3.7) dan ingin menghasilkan
kondisi mapan maka
.
Persamaan ambang ditentukan oleh
(3.10)
(bukti pada Lampiran 8).
Dapat dilihat bahwa kelompok yang
memiliki total kekayaan di bawah ambang

batas
konvergen ke tingkat
masyarakat berpenghasilan rendah, yang
dicirikan oleh rendahnya modal manusia dan
tidak adanya warisan dari generasi
sebelumnya dan kelompok yang memiliki
total kekayaan di atas ambang batas
konvergen ke tingkat pendapatan
berpenghasilan tinggi yang dicirikan oleh
tingginya tingkat modal manusia dan
besarnya warisan yang diterima dari
generasi sebelumnya.
Oleh karena itu, terjadilah ketimpangan
sosial dan dengan memberikan total
kekayaan awal rata–rata di atas tingkat
ambang
, ketimpangan sosial akan
mempengaruhi investasi pada modal
manusia dan output dalam jangka panjang.
Jadi, sistem dinamika,
yang
digambarkan
dalam
, menerangkan
persamaan
adanya tiga titik tetap, yaitu : titik tetap
berpenghasilan
tinggi,
titik
tetap
berpenghasilan rendah, titik tetap ambang
batas pendapatan. Kelompok dengan
penghasilan awal di bawah ambang batas
konvergen ke kondisi stabil total kekayaan
rendah, kelompok dengan penghasilan awal
di atas ambang batas konvergen ke kondisi
stabil total kekayaan tinggi.
Untuk
keturunan
yang
tidak
mendapatkan
warisan
dari
generasi
sebelumnya, dan tidak adanya investasi pada
modal
manusia
mencirikan
adanya
perangkap
kemiskinan.
Kecilnya
kecenderungan untuk memberikan warisan
untuk keturunan berikutnya adalah cukup
rendah seperti pada produk dengan
pengembalian modal manusia yang kecil,
, adalah kurang dari satu, lalu perangkap
perangkap kemiskinan akan tetap ada
bersamaan
dengan
keseimbangan
pendapatan yang tinggi.

V SIMULASI
4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan pada
Saat Kondisi Mapan (Steady State)
dalam Persamaan Beda Linear
Persamaan beda linear dalam
sebelumnya
sudah
dijelaskan
pada
persamaan (3.7), yang dapat ditulis sebagai
berikut

Syarat-syarat:


,

jika




,
jika
Parameter-parameter yang digunakan
untuk mensimulasikan model di atas adalah
konstan sehingga konstan.
Simulasi dari model tersebut merupakan
simulasi
total
kekayaan
masyarakat
berpenghasilan rendah, daerah ambang, dan
masyarakat berpenghasilan tinggi terhadap
modal per kapita pada saat kondisi mapan.
Oleh karena itu, untuk simulasi ini dibagi
menjadi tiga kasus. Kasus 1 untuk total
kekayaan
masyarakat
berpenghasilan
rendah, Kasus 2 untuk total kekayaan daerah
ambang, dan Kasus 3 untuk total kekayaan
masyarakat berpenghasilan tinggi.
Kasus 1
Simulasi total kekayaan terhadap modal
per kapita pada saat kondisi mapan untuk
masyarakat berenghasilan rendah dengan
model total kekayaan

a
b

Gambar 2

Kurva total kekayaan terhadap
modal per kapita pada saat
kondisi
mapan
untuk
masyarakat
berpenghasilan
rendah.
Pada Gambar 2, a adalah garis
pemerataan dan b adalah kurva total
kekayaan
masyarakat
berpenghasilan
rendah. Pada gambar dilihat bahwa kurva
total masyarakat berpenghasilan rendah
sudah memotong garis pemerataan. Hal ini
menunjukkan
bahwa
masyarakat
berpenghasilan rendah sudah mencapai
kondisi setimbang.
Kasus 2
Simulasi total kekayaan terhadap modal
per kapita pada saat kondisi mapan untuk
daerah ambang dengan model kekayaan
simulasi menggunakan software Maple 12
(Program dapat dilihat pada Lampiran 10).

a
c

simulasi menggunakan software Maple 12
(Program dapat dilihat pada Lampiran 10).
Gambar 3

Kurva
total
kekayaan
terhadap modal per kapita
pada saat kondisi mapan
untuk daerah ambang.

10

Pada Gambar 3, a adalah garis
pemerataan dan c adalah kurva total
kekayaan untuk daerah ambang. Pada
gambar dilihat bahwa kurva total daerah
ambang sudah memotong garis pemerataan.
Hal ini menunjukkan bahwa daerah ambang
sudah mencapai kondisi setimbang.

Agar dapat terlihat dengan jelas
perbandingan dari ketiga gambar tersebut,
berikut adalah gambar yang dari ketiga
kasus yang diplotkan dalam satu kurva

Kasus 3
Simulasi total kekayaan terhadap modal
per kapita pada saat kondisi mapan untuk
masyarakat berpenghasilan tinggi dengan
model total kekayaan

a
d

Gambar 4

Kurva total kekayaan terhadap
modal per kapita pada saat
kondisi
mapan
untuk
masyarakat
berpenghasilan
tinggi.

Pada Gambar 4, a adalah garis
pemerataan dan d adalah kurva total
kekayaan untuk daerah ambang. Pada
gambar dilihat bahwa kurva total masyarakat
berpenghasilan tinggi sudah memotong garis
pemerataan. Hal ini menunjukkan bahwa
masyarakat berpenghasilan tinggi sudah
mencapai kondisi setimbang.
Kasus-kasus yang telah disimulasikan,
yaitu masyarakat berpenghasilan rendah,
daerah
ambang,
dan
masyarakat
berpenghasilan tinggi menunjukkan kondisi
yang telah setimbang, karena pada simulasi
ini ketiga kasus mempunyai persamaan yang
sudah dalam kondisi mapan.

Gambar 5

Kurva kondisi kesetimbangan
distribusi pendapatan pada
saat kondisi mapan.

Dapat dilihat pada Gambar 5, masyarakat
yang berpenghasilan tinggi mencapai
kondisi mapan atau setimang lebih dahulu
dibandingkan
daerah
ambang
dan
masyarakat berpenghasilan rendah. Dapat
dilihat juga pada Gambar 5, masyarakat
berpenghasilan tinggi mempunyai total
kekayaan di atas daerah ambang dan
masyarakat berpenghasilan rendah memiliki
total kekayaan di bawah daerah ambang.
4.2

Simulasi Pertumbuhan Modal per
Kapita

Simulasi yang akan dibahas adalah
simulasi untuk pertumbuhan modal per
kapita.
4.0

3.5

3.0
kt

menggunakan software Maple 12 (Program
dapat dilihat pada Lampiran 10)

2.5

2.0

1.5
0

5

10

15

20

t

Gambar 6

Pertumbuhan Modal per
kapita

11

Gambar
6
menunjukkan
bahwa
pertumbuhan modal per kapita terhadap
waktu mengalami peningkatan karena
pemetaan yang dihasilkan merupakan
pemetaan naik. Kenaikan modal per kapita
tersebut akan membentuk kurva cekung atas
pada
yang menandakan bahwa

.

untuk jangka waktu tersebut peningkatan
modal per kapita akan semakin drastis
sedangkan pada
kurva tersebut
akan terus naik hanya saja kenaikannya tidak
begitu drastis bahkan akan menjadi konstan
pada waktu tertentu yang pada akhirnya
perekonomian konvergen ke kondisi mapan.

V KESIMPULAN
Pada karya ilmiah ini diberikan sebuah
model
pertumbuhan
ekonomi
yang
diusulkan oleh Moav yang dipengaruhi oleh
model Overlapping-Generation. Model
OLG ini menjelaskan bahwa setiap orang
hanya hidup dalam dua periode.
Total kekayaan pada kondisi mapan
secara unik dilambangkan dengan untuk
total
kekayaan
masyarakat
yang
berpenghasilan rendah,
untuk daerah
ambang, dan
untuk total kekayaan
masyarakat yang berpenghasilan tinggi.
Total kekayaan yang berada di bawah
daerah ambang, konvergen ke masyarakat
berpenghasilan rendah, sedangkan yang
berada di atas daerah ambang, konvergen ke
masyarakat berpenghasilan tinggi.

Masyarakat
yang
mempunyai
pendapatan rendah mencapai suatu kondisi
mapan atau kondisi kesetimbangan lebih
lama dibandingkan daerah
ambang.
Masyarakat yang berpenghasilan tinggi
mencapai suatu kondisi kesetimbangan lebih
dulu
dibandingkan
daerah
ambang.
Masyarakat
berpenghasilan
tinggi
mempunyai total kekayaan di atas daerah
ambang,
sedangkan
masyarakat
berpenghasilan rendah memiliki total
kekayaan di bawah daerah ambang.
Untuk simulasi pertumbuhan modal per
kapita didapatkan kurva yang berbentuk
cekung ke bawah. Modal per kapita akan
meningkat seiring dengan berjalannya
waktu, namun akan konstan ketika mencapai
suatu titik tertentu, hal ini menunjukkan
perekonomian konvergen ke kondisi mapan.

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN
FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011

DAFTAR PUSTAKA
Chiang CA and Wainwright K. 2005.
Fundamental
Methods
of
Mathematical Economics. Edisi Ke4. Mc Graw-Hill Companies inc,
New York.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to
Differential Equation and Their
Application. Mc Graw-Hill, New
York.
Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik
Lanjutan. Terjemahan Bambang
Sumantri. Gramedia Pustaka Utama,
Jakarta.
Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi.
Edisi
Kelima.
I
Nurmawan,
Penerjemah: CW Kristiaji, editor.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Macroeconomics
Edition.

Moav O. 2002. Income Distribution and
Macroeconomics: The Persistence of
Inequality in a Convex Framework.
Economics Letters. Vol 75:187-182.
Nicholson. 2002. Teori Mikroekonomi.
Binurpa Aksara, Jakarta.
Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori
Pengantar. PT Raja Grafindo
Persada, Jakarta.
Tu PNV. 1994. Dynamical System. An
Introduction with Application in
Economics and Biology. Second
Revised and Enlarged Edition.
Springer-Verlag, Berlin.
Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical
Systems, Bifurcations and Chaos in
Economics. Elsevier, Amsterdam.

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN
FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011

ABSTRAK
AYU LEMBAYUNG. Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Menggunakan Fungsi
Produksi Cobb-Douglas. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO
BUDIARTI.
Dalam tulisan ini dipelajari model pertumbuhan ekonomi Moav (2002). Model Moav
memperlihatkan adanya ketimpangan sosial antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan
masyarakat berpenghasilan tinggi. Ketimpangan sosial tersebut disebabkan oleh distribusi
pendapatan yang tidak merata. Pada model Moav ini ada suatu daerah ambang, dimana daerah
ambang menjadi tolak ukur untuk menentukan apakah suatu masyarakat masuk ke kelompok
berpenghasilan rendah atau tinggi. Fungsi produksi yang digunakan pada tulisan ini adalah fungsi
produksi Cobb-Douglas.
Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Maple 13 dan Mathematica 7. Secara
keseluruhan dari kasus yang diamati, masyarakat berpenghasilan tinggi mencapai kondisi stabil
lebih dulu, disusul oleh daerah ambang, dan yang terakhir adalah masyarakat berpenghasilan
rendah.
Kata kunci : ketimpangan, pertumbuhan ekonomi-Moav

ABSTRACT
AYU LEMBAYUNG. Analysis of Unequal Income Distribution with Cobb-Douglas Production
Function. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.
This paper studies the economic growth model by Moav (2002). Moav model shows the
existence of unequal income distribution between low-income with high-income community. That
kind of unequal income distribution is caused by uneven distribution of income. On this Moav
model, there is one area called the threshold. Threshold becomes a benchmark to determining
whether a society is categorized into low- or high- income community. The production function
used in this paper is the Cobb-Douglas function.
The dynamics of this model is described as difference equation of low-income, threshold, and
high-income community. Simulation study on the model is carried out using Maple 13 and
Mathematica 7.0 software. Overall, from the observed case, high-income community will reach a
stable condition earlier, followed by the threshold, and then the low-income community.
Keywords : Moav-economic growth, unequal income distribution

Judul

: Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi Produksi
Cobb-Douglas
Nama : Ayu Lembayung
NRP : G54070054

Menyetujui,

Pembimbing I

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
NIP. 19631228 198903 2 001

Pembimbing II

Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan
pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah
Pemodelan Matematika dengan judul Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi
Produksi Cobb-Douglas. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1.

Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S dan Ir. Ibu Retno Budiarti, M.S selaku dosen
pembimbing atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis; kepada
Bapak Dr. Hadi Sumarno, M.S selaku penguji;
2. Ayahanda Muslim Narbuko dan Ibunda Diana Ilyas yang banyak memberi nasihat dan
dukungan, perhatian serta do’a yang tak terkira, Kakakku Ratih Widdyastuti yang selalu
memberi semangat belajar dan mengingatkan tiada henti, serta Reza Ikhsan atas segenap
perhatian dan semangat, kesabaran serta do’anya selama penyusunan skrispi;
3. Keluarga Besar Ilyas: Mamatin, Bu Ita, Om Andi, Bukde Rum, Bukde Lastri-Pakde
Mukhlis, Bukde Eni-Pakde Uus, Bukde Wiwi-Pakde Iyan, Abang Kai, Mba Riri, Fadli,
Rani, A’ Didit, Lala, A’ Teguh, Alan, Lintang, Akbar, Ajie, dan A’ Kiki atas dukungan,
perhatian dan do’a yang tak terkira.
4. Keluarga besar dan staf Departemen MatematikaFMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu
Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam
penyusunan skripsi;
5. Teman-teman satu bimbingan: Mutia, Diana, dan Dika yang selalu saling mengingatkan
dan membantu dalam penyusunan skripsi;
6. Teman-teman terbaikku di kampus: Sri, Mutia, Rahma, Della, Tyas, Fajar, Denda, Rofi,
Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat dan bantuan serta
mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi;
7. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Mutia, Sri, Rahma, Tyas, Della, Fajar,
Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora, Lugina,
Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil, Ikhsan,
Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin, Imam,
Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro atas segenap
dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen
Matematika;
8. Kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: kak nia, kak wira, kak copi, kak arum, kak tami,
kak apri, kak supri, kak slamet, kak diah dkk yang telah memberikan banyak informasi
dan motivasinya;
9. Keluarga besar kosan Ginastri: Cefti, Novia, Rina dkk yang telah memberikan bantuan,
informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan skripsi;
10. Keluarga besar kosan Puri 9: Nuning, Riska, Susan, dan Ibu Yanti yang telah
memberikan bantuan, informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan
skripsi;
11. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Agustus 2011

Ayu Lembayung

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN
FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Tangerang pada tanggal 21 April 1989 sebagai anak ke dua dari dua
bersaudara, anak dari pasangan Muslim Narbuko dan Diana Ilyas. Tahun 2001 penulis lulus dari
SDN Pondok Pinang 10 Pagi Jakarta Selatan. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 48 Jakarta
Selatan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 32 Jakarta Selatan dan pada tahun yang sama
penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat
Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus
Mahasiswa Matematika) sebagai sekretaris staf Departemen PSDM periode 2008/2009. Selain itu,
penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain divide komisi disiplin pada
acara MPKMB 2008, divisi acara Math Expo pada tahun 2008, divisi dokumentasi pada acara
Math League pada tahun 2008, divisi kreatif pada acara MPD Matematika pada tahun 2009, divisi
publikasi dan dokumentasi Lomba Karya Cipta Mahasiswa pada tahun 2009, divisi danus
Matematika Ria (Pesta Sains) pada tahun 2009, dan divisi acara pada acara MPD Matematika pada
tahun 2010.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………........
ix
DAFTAR LAMPIRAN ……………………………………………………………...
ix
I

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ………………………………………………………………….
1.2 Tujuan .................……………………………………………………………….

1
1

LANDASAN TEORI
2.1 Istilah Ekonomi ……………………..………………………………………......
2.2 Sistem Persamaan Diferensial...………………………………………………....

1
3

III PEMBAHASAN
3.1 Model Produksi dan Harga ………...……………………………………………
3.2 Titik Tetap/Titik Equilibrium ……….…………………………………………...
3.3 Model Individu ….………………………………………………………………
3.4 Pembentukkan Modal Manusia …………………………………………………
3.5 Dinamika Kondisi Mapan ………………………………………………………
3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan ………………………………………………

4
5
5
6
6
6

IV SIMULASI
4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan …………………………………………………
4.2 Simulasi Pertumbuhan Modal per Kapita ………………………………………

8
10

KESIMPULAN ………………………………………………………………………

10

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………..

11

LAMPIRAN ………………………………………………………………………….

12

II

V

DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Halaman
7
Kondisi Mapan Saat
………………………………………………………
Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan rendah ………………………….
9
Kurva Total Kekayaan Daerah Ambang ……...………………………………….......
9
Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan Tinggi ………...………..............
10
Kurva Kondisi Kesetimbangan Distribusi Pendapatan …………………….................
10
Kurva Pertumbuhan Modal per Kapita ..………………………...……………………. 10

DAFTAR LAMPIRAN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Halaman
15
Mendapatkan Persamaan …………………………………………………………...
15
Mendapatkan Persamaan
………………………………………………………..
Menentukan Tingkat Pengembalian Modal dan Tingkat Upah………………………..
16
Mendapatkan Persamaan Warisan …………………………………………………….. 17
Mendapatkan Persamaan Total Kekayaan …………………………………………….. 17
18
Mendapatkan Persamaan ……………………………………………………………
18
Mendapatkan Persamaan ……………………………………………………………
19
Mendapatkan Persamaan ……………………………………………………………
Simulasi Gambar 2 dengan Menggunakan Software Maple 13………..……………… 19
Simulasi Gambar 3 dengan Menggunakan Software Maple 13 ……………………….. 19
Simulasi Gambar 4 dengan Menggunakan Software Maple 13……………………….. 19
Simulasi Gambar 5 dengan Menggunakan Software Maple 13 ……………………….. 19
Simulasi Gambar 6 dengan Menggunakan Software Mathematica 7 ...……………….. 22

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi adalah proses
kenaikan output per kapita yang terus
menerus dalam jangka panjang. Simon
Kuznet
mendefinisikan
pertumbuhan
ekonomi suatu negara sebagai kemampuan
negara tersebut untuk menyediakan barang–
barang ekonomi yang terus meningkat bagi
penduduknya, pertumbuhan kemampuan ini
berdasarkan pada kemajuan teknologi dan
kelembagaan serta penyesuaian ideologi
yang dibutuhkan.
Pertumbuhan
ekonomi
tersebut
merupakan salah satu indikator keberhasilan
pembangunan. Dengan demikian makin
tinggi pertumbuhan ekonomi biasanya
makin tinggi pula kesejahteraan masyarakat,
meskipun terdapat indikator lain yaitu
distribusi pendapatan.
Distribusi pendapatan yang tidak merata
mengakibatkan adanya ketimpangan sosial.
Ketimpangan sosial yang terjadi dalam
pertumbuhan ekonomi ini di masyarakat
dipengaruhi oleh sistem dinamika yang
menghasilkan
keseimbangan
dari
pendapatan masyarakat yang berpenghasilan
rendah
dengan
masyarakat
yang
berpenghasilan tinggi.
Dalam kasus ketimpangan pendapatan
pada pertumbuhan ekonomi ini, akan
dikembangkan
model
perekonomian
terbuka, di mana evaluasi pendapatan dalam
setiap kelompok masyarakat diatur oleh
sistem
dinamik
yang
menghasilkan
keseimbangan
antara
masyarakat

berpenghasilan
tinggi
dengan
yang
berpenghasilan rendah.
Distribusi pendapatan dan pembangunan
ekonomi menunjukkan ketidaksempurnaan
pasar modal. Hal ini menunjukkan bahwa
ketimpangan
pendapatan
dalam
pertumbuhan
ekonomi
mempengaruhi
kinerja perekonomian dalam waktu jangka
panjang.
Perekonomian setiap periode pasti
berbeda dengan perekonomian pada periode
sebelum atau sesudahnya. Oleh karena itu,
ketimpangan sosial dalam pertumbuhan
ekonomi ini, sedikit banyak dipengaruhi
oleh model overlapping generation (OLG).
Model ini merupakan model kunci secara
makroekonomi
modern
yang
mengaplikasikan siklus kehidupan manusia.
Oleh karena itu, karya ilmiah ini akan
merumuskan model dinamika sistem
ekonomi yang dalam pertumbuhannya masih
mengalami ketimpangan antara masyarakat
berpenghasilan rendah dengan masyarakat
berpenghasilan tinggi.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Menganalisis model pertumbuhan
ekonomi yang menunjukkan adanya
ketimpangan
antara
masyarakat
berpenghasilan
rendah
dengan
masyarakat berpenghasilan tinggi.
2. Melakukan simulasi terhadap model
tersebut.

2

II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa
definisi dan penjelasan istilah yang
digunakan dalam karya ilmiah ini.

Return to scale dapat diklasifikasikan
menjadi:
1. Return to scale konstan, jika efek
dalam
output

2.1 Istilah Ekonomi
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan
ekonomi
adalah
perkembangan
kegiatan
dalam
perekonomian yang menyebabkan barang
dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat
bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi
menunjukkan
persentase
kenaikan
pendapatan nasional riil pada suatu tahun
tertentu, dibandingkan dengan pendapatan
nasional riil pada tahun sebelumnya.
(Mankiw 2003)

2.

Return to scale berkurang, jika efek
dalam
output

3.

Return to scale meningkat, jika
efek dalam output
(Nicholson 2002)

Faktor Produksi
Faktor produksi adalah variabel–variabel
input yang digunakan dalam proses produksi
untuk menghasilkan output.
(Mankiw 2003)

Fungsi Produksi
Produk Marjinal

Fungsi produksi untuk suatu barang
tertentu,
dengan
menyatakan input
capital dan
menyatakan efisiensi modal manusia
sedangkan tanda titik–titik pada fungsi
produksi di atas menunjukkan kemungkinan
digunakannya
input
produksi
lain,
memperlihatkan jumlah output maksimum
yang diperoleh dengan menggunakan
berbagai alternatif kombinasi input produksi.

Misalkan didefinisikan fungsi produksi
dengan
menyatakan input
capital dan
menyatakan efisiensi modal
manusia. Produk marjinal dari suatu input
adalah output tambahan yang dapat
diperoleh dengan menambah input yang
bersangkutan 1 unit, sedangkan input–input
lain dianggap konstan. Secara matematis
dinotasikan sebagai berikut:

Fungsi produksi Cobb–Douglas

Produk marjinal per kapita

dimana
dan kesemuanya merupakan
konstanta positif. Jika
, fungsi
Cobb–Douglas memperlihatkan return to
scale yang meningkat, jika
,
fungsi ini memperlihatkan return to scale
yang menurun, jika
, fungsi CobbDouglas memperlihatkan return to scale
konstan.
(Nicholson 2002)
Return to Scale
Return to scale adalah keadaan ketika
output meningkat sebagai respon adanya
kenaikan yang proporsional dari seluruh
input. Jika diketahui fungsi produksi
dan semua input dikalikan
dengan suatu bilangan positif
, maka

Produk marjinal modal manusia

(Nicholson 2002)
Tingkat Pengembalian
Tingkat di mana barang saat ini dapat
ditransformasikan menjadi barang masa
mendatang. Misalnya, tingkat pengembalian
satu periode sebesar 10 persen menyiratkan
bahwa melepaskan satu unit keluaran pada
periode ini akan menghasilkan 1.10 unit
keluaran dalam periode berikutnya.
(Nicholson 2002)

3

Kondisi Mapan / Steady State
Ekonomi yang berada pada kondisi
mapan adalah suatu keadaan dimana modal
per kapita pada periode sekarang sama
dengan modal per kapita pada periode
sebelumnya.

Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia.

(Zhang 2006)

Model Pertumbuhan Ekonomi dengan
Perkembangan Teknologi

(Mankiw 2003)

Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas adalah fungsi yang
menunjukkan kepuasan seseorang dari
mengonsumsi barang dan jasa, yang
dinotasikan sebagai berikut:

dengan
adalah kegunaan/utilitas total,
dan
merupakan banyaknya
produk yang dikonsumsi.
Fungsi utilitas Cobb-Douglass

dimana

dan

adalah konstanta positif.
(Nicholson 2002)

Dalam model ini, fungsi produksi secara
umum ditulis sebagai berikut:
Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia dan
adalah
perkembangan teknologi.
(Mankiw 2003)
Modal
Modal adalah segala barang-barang yang
diciptakan manusia dengan tujuan untuk
menghasilkan barang-barang lain atau jasajasa yang akan digunakan masyarakat.
(Sukirno 2004)
Upah
Upah adalah biaya penggunaan satu
pekerja selama satuan waktu tertentu.

Teori Pertumbuhan Neoklasik
Teori pertumbuhan aliran neoklasik
menjelaskan tentang penyebab terjadinya
pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan
ekonomi ini menekankan pada efisiensi
tenaga kerja dan stok modal sebagai
penyebab utama pertumbuhan ekonomi.
Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai
berikut:

(Nicholson 2002)
Elastisitas
Elastisitas adalah ukuran persentase
perubahan suatu variabel yang disebabkan
oleh satu persen perubahan variabel lain.
(Nicholson 2002)

dengan
adalah output pada saat ,
adalah stok modal pada saat ,
adalah
efisiensi tenaga kerja,pada saat
dan
adalah waktu.
(Mankiw 2003)
Bentuk spesifik dari hubungan teori
pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai
fungsi produksi Cobb-Douglas yang
menambahkan faktor perubahan teknologi
sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi.
Model
Pertumbuhan
Perkembangan Teknologi

Tanpa

Dalam model ini, fungsi produksi secara
umum ditulis sebagai berikut:

Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi adalah ukuran
tingkat perubahan output akibat dari
penggunaan input.
(Nicholson 2002)
2.2 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem Dinamik Waktu Diskret
Sistem dinamik adalah suatu sistem yang
berubah sesuai dengan waktu. Sistem
dinamik dengan waktu diskret dinyatakan
sebagai berikut:

4

dengan

merupakan fungsi dari

.

(Tu 1994)
Titik Tetap / Titik Equilibrium
Diberikan sistem persamaan diferensial

Titik
disebut titik tetap jika
Titik tetap disebut juga titik krisis atau titik
kesetimbangan.
(Kreyzig 1993)

Persamaan Beda
Konsep persamaan beda (difference
equation) digunakan dalam analisis sistem
dinamik dengan variabel diskret untuk
menunjukkan dinamika/perubahan suatu
variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi
, nilai berubah jika nilai
berubah
dari integer yang satu ke integer berikutnya,
misal
dan seterusnya.
Pola perubahan
digambarkan dengan
istilah ‘beda’ (difference).
Misalkan
menunjukkan besar
perubahan
pada dua periode berurutan,
sehingga dapat ditulis

Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa merupakan
suatu persamaan yang melibatkan turunan
pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi
sebarang atau peubah tak bebas terhadap
peubah
bebasnya.
Suatu
persamaan
diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan
sebagai berikut

dengan
(

merupakan peubah tak bebas
dan peubah bebas.
(Farlow 1994)

Dengan
adalah nilai pada periode ke .
Sedangkan
menunjukkan nilai
pada suatu periode setelah periode ke .
Bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai
berikut:

Misalkan
, maka kita dapat
menyatakan
dalam
hingga
.
Hal yang sama berlaku juga sebaliknya,
dalam hal ini jika persamaan berbentuk
.
(Chiang & Wainwright 2005)

5

III PEMBAHASAN
Model ketimpangan sosial dalam
pertumbuhan ekonomi ini diusulkan oleh
Moav pada tahun 2002. Model Moav ini
digunakan
untuk
menunjukkan
ketidaksetaraan
antara
penduduk
berpenghasilan rendah dengan penduduk
yang
berpenghasilan
tinggi
dalam
pertumbuhan ekonomi.
3.1 Model Produksi dan Harga

dimana

,

,

, sehingga kita dapatkan
, dengan
adalah suatu fungsi
pertumbuhan ekonomi sebagai berikut:

Model produksi dan harga dalam model
Moav ini mempertimbangkan pemodelan
overlapping generation (OLG). Dalam
setiap periode perekonomian, pemodelan
OLG ini menghasilkan produk atau
komoditas yang bersifat homogen/tunggal
yang dapat digunakan baik untuk konsumsi
atau pun untuk investasi. Produksi yang
terjadi dalam kurun jangka waktu tertentu
menggunakan teknologi return to scale
konstan.
Output yang dihasilkan pada waktu
dengan menggunakan modal
dan efisiensi
modal manusia
adalah

Akibatnya

adalah konstan.

3.2 Titik Tetap / Titik Equilibrium
Investasi dalam modal fisik dan manusia
dibuat satu periode di muka.
Fungsi produksi yang digunakan pada
karya ilmiah ini adalah fungsi produksi
Cobb–Douglas, sehingga persamaan output
tersebut menjadi

dimana investasi dalam modal fisik dan
manusia dibuat satu periode sebelumnya,
dengan asumsi bahwa tingkat pengembalian
modal konstan, dinotasikan oleh . Modal
yang terbatas akan menghasilkan pergerakan
ekonomi internasional.
(3.1)
(bukti pada Lampiran 1).
Dari
sifat–sifat
fungsi
produksi,
diketahui bahwa upah per unit sumber daya
manusia,
, secara unik ditentukan
mengingat tingkat pengembalian modal
konstan dari waktu ke waktu, karena:

Perilaku
neoklasik

produsen

memiliki

fungsi

dengan

dengan
adalah efisiensi modal
manusia,
adalah total output, dan
adalah total modal. sedangkan
adalah
jumlah output per kapita, dan
adalah
modal per kapita. Perilaku optimal produsen
diperoleh dari produk marjinal yang
menentukan harga faktor–faktor produksi.
Fungsi produk marjinal terhadap modal
menentukan nilai tingkat suku bunga,
sedangkan fungsi produk marjinal terhadap
efisiensi modal manusia menentukan tingkat
upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari
fungsi warisan. Fungsi adalah kontinu,
penambahan suatu kondisi tetap diperlukan
pada pengembalian modal, yaitu:
(3.2)

(bukti pada Lampiran 2).

6

Fungsi produksi yang digunakan adalah
fungsi Cobb–Douglas dengan pengaruh
teknologi sebagai berikut

Nilai
dan
masing–masing adalah
elastisitas pendapatan terhadap modal dan
efisiensi modal manusia, sedangkan
adalah perkembangan teknologi. Kita tulis
kondisi marjinal dalam intensitas modal
(3.3)

dengan
dan
. Fungsi utilitas
ini dirancang untuk menghasilkan fungsi
warisan. Warisan yang diberikan oleh
individu
yang lahir pada periode
dinyatakan sebagai berikut

(3.4)
dengan
(bukti pada Lampiran 4).

(bukti pada Lampiran 3).
3.3 Model Individu
Sep